（概率论与数理统计专业论文）对三种再保险风险模型的破产概率以及破产赤字的研究.pdf

摘要 风险理论是近代数学的一个重要分支，主要应用于金融，精算， 保险，风险投资以及风险管理方面。经典的风险模型是由一个随机点 过程来刻画索赔次数，由一组相互独立同分布的随机变量来描述索赔 额。后经发展和推广，得到了更新风险模型，c o x 风险模型等。风险 理论已经相当成熟。本文在对风险理论的发展以及前人的结果进行阐 述的基础上，着重研究了几类再保险风险模型的破产概率以及破产赤 字。 在第一章中，主要介绍了再保险的发展历史，包括国际再保险 以及中国再保险的发展情况。 第二章主要介绍了与本文相关的一些基础知识，包括经典风险模 型的主要结果、齐次泊松过程、测渡论相关知识、再保险知识等。 第三章主要介绍了成数再保险风险模型，包括不带利率的和带利 率的，得到了破产概率以及破产赤字的相应的表达式或满足的积分一 微分方程。 第四章主要介绍了溢额再保险风险模型，包括不带利率的和带利 率的，得到了破产概率以及破产赤字的相应的表达式或满足的积分一 微分方程。 第五章主要介绍了超额赔款再保险风险模型，包括不带利率的和 带利率的，得到了破产概率以及破产赤字的相应的表达式或满足的积 分一微分方程。 本文在思路上的起点仍是经典风险模型，但是本文根据具体情况 进行讨论，紧密联系实际。所以文中讨论的模型及相关结果对相关行 业的运作有一定的指导意义。 关键词：鞅方法，调节系数，成数再保险，溢额再保险，超额赔款再保 险。 a bs t r a c t 硒s kt h e o r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho ft h em o d e mm a t h e m a t i c s ， w h i c hi sm a i n l ya p p l i e di nf i n a n c e ，i n s u r a n c e ，r i s ki n v e s t m e n ta n dr i s k m a n a g e m e n t c l a s s i c a lr i s km o d e li st h eo n e ，i nw h i c has t o c h a s t i cs p o t p r o c e s si su s e dt od e s c r i b et h et i m e so fc l a i md a m a g e s ，a n dag r o u po f s e p a r a t es t o c h a s t i cv a r i a b l e sa r eu s e dt od e s c r i b et h ea m o u n to fc l a i m d a m a g e s t h e nb yd e v e l o p i n ga n dp o p u l a t i n gi t ，w eg e tr e n e w a l 慰s k m o d e l ，c o xm s km o d e l ，a n de t c ，t h u s ，r i s kt h e o r yh a sb e e np r e t t ym a t u r e t h i sa r t i c l ep u t sm o r ee m p h a s i so nt h er e s e a r c ho nt h er u i np r o b a b i l i t y a n dd e f i c i td i s t r i b u t i o no fs e v e r a lr e i n s u r a n c er i s km o d e l sb a s e do nt h e e l a b o r a t i o no ft h ed e v e l o p m e n to ft h er i s kt h e o r ya n dt h es e n i o r sr e s u l t s i nt h ef i r s t c h a p t e r , w em a i n l yi n t r o d u c e dt h eh i s t o r yo ft h e d e v e l o p m e n to f r e i n s u r a n c e 。 i nc h a p t e rt w o ，w ef o c u s e do ns o m er e l a t e db a s i ck n o w l e d g e ， i n c l u d i n gt h e r e s u l to fc l a s s i c a lr i s km o d e l ，h o m o g e n e o u sp o i s s o n p r o c e s s ，a n dk n o w l e d g e r e l a t e dt om e a s u r e s c r o s s i n gt h e o r y a n d r e i n s u r a n c e i nc h a p t e rt h r e e ，f o u r , a n df i v e ，w ec o n c e n t r a t eo nq u o t as h a r e r e i n s u r a n c er i s km o d e l ，s u r p l u sr e i n s u r a n c e 硒s km o d e la n de x c e s so f l o s sr e i n s u r a n c em s km o d e lr e s p e c t i v e l y , w h i c hm a i n l yi n c l u d e dt h e z e r o i n t e r e s tr a t eo n ea n dt h eo n ew i t hi n t e r e s tr a t e ，a n dw eg o tt h e c o r r e s p o n d i n gm a n i f e s t a t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t ya n dt h ed e f i c i t d i s t r i b u t i o no rt h es a t i s f y i n gi n t e g r a la n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 、 t h i sa r t i c l es t a r t sw i t ht y p i c a lr i s km o d e l ，b u ti td e v e l o p sa c c o r d i n g t ot h ec o n c r e t es i t u a t i o na sn o tt ob ec o n f i n e dt ot h ef r a m eo ft h i sm o d e l a n da t t a c h e dt i g h t l yt ot h er e a l i t y 1 1 1 em o d e l sa n dt h er e s u l t sd i s c u s s e di n t h i sa r t i c l ea r ec e r t a i n l yo fs o m eg u i d i n gs i g n i f i c a n c et os o m er e l a t e d i n d u s t r i e s k e yw o r d s ：m a r t i n g a l ea p p r o a c h ，a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，q u o t as h a r e r e i n s u r a n c e ，s u r p l u sr e i n s u r a n c e ，e x c e s so f l o s sr e i n s u r a n c e 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的 学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在 论文中作了明确的说明。 作者签名：萑卤墨 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学 位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根据国家或湖南省有关部 门规定送交学位论文。 作者签名：楚2 亟至导师签名日期： 年月一 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 国际再保险的发展历史 再保险与原保险都是首先从海上保险开始萌芽的，但再保险的出现必然晚于 原保险。 从1 4 世纪开始，海上保险在西欧各地商人中间流行，逐渐形成了保险的商业 化和专业化。随着海外贸易和航运业的发展，保险人承担的风险责任越来越大， 客观上产生了分保的需求。1 3 7 0 年，一位意大利海上保险人首次签发了一份转 嫁风险责任的保单。这份保单保的全程是从意大利的热那亚到荷兰的斯卢丝，原 保险人将全航程分作两段，自己只承担地中海段航程的保险责任，而将航程从加 的丝到斯卢丝段风险较大的责任部分转嫁给其他保险人承担。这种做法与现代再 保险分配保额或分担赔款以控制责任的办法不同，但从分散风险的原理来看，仍 属再保险的开端。 早期保险业务的经营，一般是由保险人独立承保，如遇保额较大，一个保险 人不能全部承担时，就采用共同保险的方式，由几个保险人联合承保。由于共同 保险带来了保险人相互间的竞争，又出现了临时再保险，即由一个保险人先承保 全部业务，再将超过自身承担能力的责任部分分保给其他保险入，分出人与分入 人之间没有稳定的业务联系，只是在需要分保时，临时确定分出与分入的条件和 费用。临时再保险比共同保险在分散风险方面有其优势，因而作为一种重要的经 营方法为保险业所采用。 在欧洲大陆国家，根据1 6 8 1 年法国路易十四法令、1 7 3 1 年汉堡法令和1 7 5 0 年瑞典保险法令，再保险经营在这些国家都是合法的。由于各国政府的大力支持， 欧洲大陆的再保险得以持续发展。 i 1 1 经济发展与再保险的变革 1 8 世纪中叶以来，工业革命兴起，随着工商业的繁荣与发展，带动了保险业 的相应发展，也使再保险从内容、方法到组织形式诸方面都发生了深刻变法。 由于临时再保险需要各有开保险公司逐笔磋商，手续烦琐，联系松散，费时费力， 且在未商妥之前，原保险人处于无保障状态，这种再保险安排方法已满足不了保 险业务发展对再保险的需要；经过初期临时再保险同业相互之间的了解，合同再 保险便应运而生了。合同再保险由分保双方事先签定分保合同，约定业务范围、 分保条件、额度、费用等，在合同期内，对于约定的业务，原保险人必须分出， l 硕士学位论文 第一章绪论 再保险人必须接受，无须具体通知，自动生效，双方定期结算盈亏。这种分保方 法使分保双方建立了长期稳定的业务联系，简化了分保手续，提高了工作效率， 适应了保险业务发展对再保险的大量需求，因此，它逐渐成为一种主要的分保方 法而成为世界各国保险同业所普遍采用。1 8 2 1 年，巴黎国民保险公司和布鲁塞 尔业主席合公司签定了第一个定分保合同，从而，合同再保险广为流行。整个 1 9 世纪是合同分保迅速发展时期，其优越性为人们所广泛认识。再保险业务原 来是在经营直接保险业务的保险人之间进行的，随着再保险业务的不断发展和保 险公司之间竞争的加剧，要求再保险公司经营专业化，至f j l 9 世纪中叶，开始出现 专业再保险公司，专门从事再保险业务。1 8 5 2 年，德国科隆再保险公司创立， 成为世界上第一家独立的专业再保险公司。专业再保险公司的出现对促进再保险 业务的发展发挥了很大的推动作用，特别在分保技术方面显示出专业化的优越 性。 传统的再保险方式是比例再保险，由分保双方以保险金额为计算基础分配 责任。1 9 世纪后期特别是进入2 0 世纪以来，随着工业的持续发展和科学技术的日 新月翼，巨灾风险巨额损失不断增加，带来了对再保险的新的要求。因此，为解 决巨灾风险和巨额风险的保障问题，以赔款为基础计算分保双方责任额的另一种 分保方式一超额损失再保险( 即非比例再保险) 便产生和发展起来了。1 9 1 0 年， 英国第一次签定了赔款分保合同。由于这种赔款分保方式对巨灾风险和巨额损失 的保障作用显着，手续也较为简单，这种分保方式不断发展，现已成为各种保险 业务特别是意外险和责任险所普遍采用的一种再保险方式。 1 1 2 国际再保险市场的形成与发展 再保险市场是买卖再保险的场所以及其他交换形式的总和。再保险市场伴随 着再保险的产生而存在，随着再保险的发展而发展。一般来说，地理界限对再保 险的限制较小，巨大的保险责任有必要超越国界，进入国际市场，寻求更大的保 障。随着保险和再保险事业的发展，产生了一些世界性的再保险公司，他们在许 多国家的重要城市设立分支机构，吸收当地保险公司的再保险业务，逐渐形成了 国际再保险市场。 1 2 我国再保险业的发展 我国再保险业发展的历史不长。建国后我国保险业及再保险业务一直是由中 国人民保险公司独家经营。中国人民保险公司由于是国家保险公司，风险由财政 兜底，人民币业务一直不办理分保。随着其他保险主体的出现，1 9 8 8 年根据保 2 硕士学位论文第一章绪论 险企业管理暂行条例的规定，国内开始办理3 0 法定分保业务，由人保再保部 代行国家再保险公司的职能。1 9 9 6 年人保组建集团公司，成立了中保再保险有限 公司。至此，国内才有了一家经营再保险业务的专业公司。1 9 9 9 年3 月，中国再 保险公司在中保再保险有限公司的基础上组建成立，从此我国再保险业进入了一 个新的发展时期。 再保险的监管主要集中于对法定分保的具体规定。法定分保一直采用比例分 保的形式，1 9 9 5 年以前 0 是初始资本，c 0 是保险公司单位时间内的保险费收入， 置，o 1 ) ，表示第i 次索赔额，( r ) 表示至时刻f 为止发生的索赔次数。其中作 出如下假定： ( 1 ) ( 独立性假设) 设 五：七1 ) 是非负的独立同分布的随机变量序列， 记 f ( x ) = p 墨对，v x 0 = e ( 五) = j ： 1 - f ( x ) c b c ( f ) ：t 0 ) 是以x ( x 0 ) 为参数的p o i s s o n 过程； t ：后1 ) 与 ( f ) ：t 0 ) 相互独立。 ( 2 ) ( 相对安全负荷假定) 设c - - ( 1 + p ) 2 z ，其中p 0 ，称为相对安全负荷。 ( 3 ) ( 调节系数存在唯一性假定) 个体索赔额的矩母函数 峨p ) = e ( e r x ) = f e r l d f ( x ) = 1 + ，j c o 矿【1 一f ( x ) 协 至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求下述方程 心_ 1 + 三， 5 硕士学位论文第二章预备知识 具有正解足。 若上述假定都成立，则有如下结果： 1 、邺) = 南； 2 、当个体索赔额分布服从期望值为的指数分布时， 1炒南旆 3 、l u n d b u r g 不等式：、壬，( “) e - r u ，v u o 4 、l u n d b u r g c r a m e r 近似：存在正常数c ，使得 y 似) 一仃鼬，h l i pl i m q j ( u ) e 砌= c 经典风险模型的结果为破产理论的发展奠定了基础，但由于经典风险模型本 身有着很多的缺陷，例如：对保费收入的描述不够合理，理赔到达过程的描述有 待于改进，于是很多研究人员对经典风险模型进行了推广，其中a s m u s s e n t 2 u 3 1 ， f e l l e r 1 2 1 ，g e r b e r l l 6 1 舯7 i ，吴梨1 4 】t 【1 5 1 3 7 1 ，p 暑】d 3 9 】m ，成世掣4 烨m 7 1 等为风险理论的发 展做了重大的贡献。 2 3 控制收敛定理 定理2 3 1 ：( 控制收敛定理) 设石e 三，b f cl ，石竺_ 厂或正山厂， 此时为可测空间( q ，f ) 的测度，若存在一非负可积函数g ，使得刀1 i l l g a e ，则可积，。l i m , u ( f ) = p ( f ) 。 2 4 更新论证技巧 l u n d b e r g - c r a m e r 近似的更新论证 更新论证技巧在证明函数的极限行为是是十分有用的。其一般思路如下所 述： 要探索函数彳( r ) 当自变量t 趋于无穷的极限行为时，可首先采用更新论证方 f 法，建立形如a ( t ) = 口( r ) + i a ( t - z ) g ( z ) d z 更新方程。其次，当分布函数g ( x ) 为非 占 格点分布，且函数口( f ) 在【o ，) 上黎曼直接可积( 关于黎曼直接可积可以查阅文 献 4 5 1 p 1 5 6 1 6 0 ) 时，由关键更新定理知： 6 t i 。一m = 壶肌砂 记矽( ”) = 1 一y ( 甜) = 尸( s ( ，) o ，r 叫s ( o ) = “) ，它表示初始盈余为“时，保险 公司永不破产的概率，也称为生存概率。对生存概率运用全概率公式，可得： ( ”) = 肛础 弘( “+ 订一z ) 订( z ) ) 出 ( 2 2 ) 令x = 材+ 订，代入上式即得： ) = 尝p 了p 一7 弘( x - - z ) 卵( z ) ) 出 上式两边同时对”求导，可得： 1“ ，( 材) ：兰( 甜) 一兰k ( 材一z ) d f ( z )，：( 2 - 3 ) 对( 2 - 3 ) 式两端自0 至f 积分可得： 多( f ) 一( 0 ) = 詈p ) e u + 詈j 弘。一z ) d o f ( z ) ) 如 o0 。00 = 罢矽( o ) 【1 一f ( u ) d u + j 弘 一z ) 【1 一f ( z ) 1 幽) 应 = 苎烈o ) 且 材) 】咖+ j t 烈f z ) 一烈o ) 】【1 一f ( z ) 体】c l - f ( 矽o ) = ( o ) + 兰肜( f z ) 【1 一f ( z ) a z o 6 由于当，- - o o ，o ) = 1 ，可得 l 叫0 ) + 互c 1 州瑚出酬0 ) + 知c ； 则5 f ，( 0 ) = 1 一( o ) = 吾= r b ，a 叫沪t 一詈删m 吾卜棚。忙 ，枷) = 詈弘川纠出+ 吾p ) 【1 廿】沈 ( 2 _ 4 ) 对上式两边同乘以e 甩，可得 。 p r ) _ j 1 1 叫z ) 】出哮甩p ) 【1 - 删出 ( 2 - 5 ) 作变量替换彳( ，) = p 豫y ( r ) ， 口( d = 吾p m 1 一f ( z ) 】如，厂( z ) = 詈口肥【l 一，( z ) 】 ， ( 2 5 ) 即变形为 4 = 口( f ) + j a ( t - z ) 厂( z ) 出 由于0 j 口( f ) 魂2 页彳2 c t ，由关键更新定理即知： 硕士学位论文第二章预备知识 l ，一i m e ( f ) - l i m 彳( f ) = i 旦一= c l ，斗i m 。沙( f ) = q 啦 1 z f ( z ) a z 2 5 鞅论的若干结果 定义2 5 1 ：设( q f ，p ) 为一概率空间，其中f 为p 完备化仃域。r = ( e ，r 0 ) 为f 的子仃一域，这里，t ，t 可以取为整数集或非负整数集。设对s f ，必 有e o 是一，一鞅。如果 ( 1 ) m e ，协o 、 ( 2 ) e i m ( s ) i t 。 定理2 5 1 - ( 1 ) 设适应的随机过程j = ( 以，e ，n c n ) ，y = ( ，e ，一e ) 为鞅 ( 上鞅) ，则+ 为鞅( 上鞅) ，五 为上鞅 ( 2 ) 设适应的随机过程x = ( 五，e ，刀n ) 为鞅( 下鞅) ，f 为凸函数，厂( 以) 且可 积则，( 五) 为下鞅。 定义2 5 3 - 随机变量t 在 o ，l ，2 中取值。称它为乙一停时，如果对每个刀0 ， 有 丁= 刀) e ，对t ，令b = 彳冗：an t = 力】e ，v n o ) 定理2 5 2 ： 设s ，t 为停时，( 瓯) 为停时列 ( 1 ) a 。墨，v 。瓯为停时。 ( z ) a e f , j 彳n 【s 丁】辱，a n s = 丁】毋。 ( 3 ) s t j f sc 辱 ( 4 ) 设- e e ，邑= s l + 叱，则黑为停时，且n 么= e n a ，称瓯为s 呲的局 限。 定理2 5 3 - 设有适应随机序列( 兄) ，停时t ，则坼。为辱一可测 定理2 5 4 ： 设( 以) 为一右连续的鞅( 上鞅) ，s , t 为有界停时，r s t ，则 有 e ix r l v , i - ( - 。 9 硕士学位论文第三章成数再保险风险模型 第三章成数再保险风险模型 成数再保险是再保险业务中按保险金额的成数计算再保险责任的一种方式， 是指原保险人( 分出公司) 将每一风险单位的保险金额，按约定的比率向再保险 人( 分入公司) 再保险的方式。按照这种再保险方式，不论分出公司承保的每一 风险单位的保额大小，只要是在合同规定的限额之内都按照双方约定的比率来分 担责任，每一风险单位的保险费和发生的赔款，也按双方约定的固定的比率进行 分配和分摊。为了理论分析的方便，假设不存在再保险人的赔款限额，假定这里 的保险公司和再保险公司都采用期望值原理来定义保险费用 3 1 不带利率的成数再保险风险模型 我们建立如下的成数再保险风险模型： u o ) = ”+ c a t - 口五 s ( t ) = a c t - 口五称为盈利过程。 对模型的解释 式中：材为保险公司的初始资金，0 口1 是保险金额的自留比例，五是保险公 司的第f 次理赔额，且五相互独立，有共同的分布函数f ( x ) ，均值为，( ，) 是 强度为名的齐次泊松过程，且与x 独立保险公司为了经营的安全，要求 科s ( r ) 】 o 3 1 1 破产概率 记互= i n f t o ，u ( f ) o 0 所以g ( ，) 在【o ，) 上为一凸函数，成而知存在唯一正常数天l 吏m g ( r ) = 0 定理3 1 3 ： 帆( r ) ，e ，r 。 是鞅，其中帆( ，) = 竺蝌 证明2 州圳p 彤 一 r _ e 1 砌胪 l 州小 j 帆( ，) ，f t $ 9 f o 是鞅。 z j l 理3 1 1 ：对于固定时刻，o ，互 ，o 是 帆( r ) ，e 。，r o 有界停时 证明：由定理2 5 2 即得。 定理3 1 4 ：在成数再保险风险模型的盈余过程 u ( f ) ，o 的条件下，最终的破 产概率为： ，、仑一黜 沙【“) 2 币而再习 硕士学位论文 第三章成数再保险风险模型 证明：取定，= r ，且f o t o 令气得： e - 翩= e 以( 互) l 互 尸 瓦 l 的共同的密度函数是( x ) ，记缈( x ) 为一有界函数。定义 ( “，彩) = e 国( 1 u ( 瓦) f ) 埘iv ( o ) = 甜 其中，为示性函数。 显然若取国( z ) = ，( x | 1 ) 则初始资本为甜，破产赤字小于 的概率为： ( 材，颤o ) = p i u ( t ) i - h ，瓦 o o l v ( o ) = ” 利用第一次索赔掣达时罄妻索赔额的大小，对妒【_ 应用全概率公式得： ( 咖) = 肛劫 ，妒( “+ 删一眠缈) 厂( x 出 + k 功 了a c t - a x ) f ( x 毋 令x = u + o t c t 得： m 州= 去卜以铷卜叭p 卜 + 去p 詈肚一z p 卜 整理得： 妒叫= 乏；f 伊( x 一训爿出+ 考善驴x 一嘲巾蚪矗 上式两边关于“求导得： ? 7 ( “，国) = 妄矽( 甜，国) 一去弘( “一口毛国矿( x ) 出_ 去卜( “一口x 矿( x ) 出 硕士学位论文 第三章成数再保险风险模型 对上式两边关于“在【o ，z 】上积分，则有： = 尝岫一去卜弘( u - - 口x , o ) ) f ( 帕 一去卜弘卜础出 对第一个二重积分作积分变换厂= x ，s = i t 一口x 得： 0 bm 0 砂( ，) 毋= k 0 妒( 等卜 一 对第二个二重积分作积分变换，= x ，j = 口工一材得： b 0 - i ( “一口x 沙( x ) 出= 0 了缈( 一s 矿( ，) 毋= 0 ( 一j ) f l f ( 警) 一f ( 吉) 卜 j一， 、一j 将上面两个变换后的积分代入原式有： 北砂m 功= 乏( 甸 1 一f 旧肛乏( 叫卜一f 啡( 3 - 1 ) 当z 斗o o 时，上式两边第一项都为0 ，所以： 们叫= 三a c _ o ( 扎lf ( 辨 甸= 乏功 1 一f 忙- 。- - = 。l f ( 铡凼 小f ( 铡凼= 卜州- 一，( 钟 卜，h 警) 卜= 卜卅f ( 跏 ( 3 - 2 ) 鬃j ：( 3 - 4 ) ，( 3 5 ) 式代入( 3 3 ) 式中，整理有： ( 乙缈) = 主弘( z 一，国， ，一f ( 鲁) d + 害了彩( z 一厂) ，一f ( 考) 厂 在上式两边同乘以e 危，得： ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) 缈” ，- ， ，知。 = 出x ， 、工 国 矗 口一材 。知。 rk二 硕士学位论文第三章成数再保险风险模型 嘶叫= p 揪z 以咖耖卜( 钟j o ”o l ” + 喾量殷国( z 一厂) 一f ( 考) y 记 彳( z ) = p 船( z ，缈) 刁( z ) = 二q 生c1 0 肥( z 一7 ) 一，( 考) ，厂 蚺耖h 譬) 则( 3 6 ) 式可以简化为： 彳( z ) = ，7 ( z - i - p ( z - p ) g ( p ) d # ，0 又因为： g ( p ) d b = 砝卟f ( 跏= 去 令“：曼则有： 口 = 斟! + 土1 0 ra r 印卵( 鲁) ) = 一 一一+ i e 甜il i 口ci o k 口，i 、7j ( 3 - 6 ) ( 3 - 7 ) 舒仰 c 即= 乏悟去弘啡乏一去p 刊= 泰鸩c 斗 又由尺定义知了g ( p ：1 从而可知，( 3 7 ) 式皂适定更新方程，由关键更新定 理可得： o l ( f ) 如。 一l i m e 出( z , c o ) = 亩而 o 。8 若缈( x ) = ，( x ) ，此时刁( z ) = 去! 严 ，一f ( 考) 厂由( 3 8 ) 式就可以得到： 1 4 硕士学位论文 第三章成数再保险风险模型 瑚嗽肛蝇叫叩一卜柏篙 3 2 带常利率的成数再保险风险模型 我们接着考虑带常利率的成数再保险风险模型破产概率以及破产赤字的分 布。在前面的模型中，并没有考虑保险公司的投资收入，而事实上，保险公司大 部分赢余来自投资，在这部分，我们主要考虑带常利率的风险模型。令( f ) 表 示f 时刻的盈余，则( ，) 满足下面的随机微分方程： d u 6 ( t ) = a c d t + 8 u a ( t ) d t - d s ( t )( 3 - 9 ) 其中s ( ，) = 口五，万为利率强度。其它参数的意义可以参看前面的成数再保险 风险模型。解此方程得： 啪一 掣一p 嘶) ： 3 2 1 带常利率的成数再保险风险模型的破产概率 记毛= i l i f f o ( f ) o ，表示破产时刻，如果对所有的f 都有o ) o 则 瓦- - - - 0 0 。用( “) = p ( 乃 ) 表示破产概率。 定理3 2 1 ：对于风险模型( 3 9 ) 的破产概率满足以下积分方程： ( 砌+ 叫( “) = 口( 0 ) - 旯一f ( 詈卜一a 卜( 甜叫 一f 卜+ 艿卜( 犯 且口( o ) = 五掣一万鼽( z 净 证明：考虑s ( t ) 在很小的区i 司【o ，h j 司能发生的情况，对生存概翠 。占( 1 ，) = 1 - 吵a ( 甜) 利用后项微分法，得： q 占( “) = ( 1 一a h ) o 占( g ( “) ) 跏卜( 留( 办) 一z 炒+ 。( ) ( 3 1 0 ) 其中g ( 矗) ：粥融+ 口4 e 广 - o ，把( 3 1 0 ) 式的右这西占( g ( “) ) 项岳到主边，两边同 除以h ，再令厅专o o j | 导： 1 5 硕士学位论文 第三章成数再保险风险模型 ! 羔i 掣= 一a 西j ( “) + 2 l r 。j ( g ( ) 一z ) d f ( 言) + 。( 厅) 吨_ ) ( 如) 一施小) + 旯卜小一z 矽( 言) 上式用，代替”得 吨( r ) ( 研) = 一加占( r ) + a p 占( h 炒 在区间o ，“1 上对上式的变量积分，得： 、 f 占( f ) ( 研+ 口c ) 咖= 一名p j ( ，灿+ a o j 0 p 占( ，一z 矽匕产 oo“ 即： ( 融+ 础) 吼( “) 一伽叱( o ) 一万严( r p = 以严( r + 五班。一z 矽( 三户( 3 - 1 0 又因为： 了。( r y 矩+ 了00 i 占( r z 矽 - 一f ( 詈 - i d “=ol一， m 灿+ 轴，卜( 珊* 卜妒( 字卜 = m ， 1 - f ( 辨+ 期，m 剀蝴 = 卜c 1 _ 七肛酚c 叫 1 _ 七 抛母c q 1 - 七小 + 卜0 占。一z ) l ： - 一f ( 言) 出= 卜0 占( 甜一2 ) t f ( 昙) 出 所以( 3 一1 1 ) 可以简化为： ( 砌+ 口c ) 再( “) 一口细小) 一万卜0 以p = 小0 占( 甜一z ) ，一f ( 詈) 出l”j 由于西j ( “) = l 一( 甜) ，所以上式可以变为： ( 巍+ 叫( 矽_ 蝴( 0 ) 一李一七产一誓( 叫 1 - 创龙+ 毋( 啦( 3 - 1 2 ) 根据文献【3 0 】的定理2 6 1 有：( “) p 啦又由于西占( “) ( “) 所以有 娥( “) 烛少( ”) 。l i m e 一= o ， 1 6 硕士学位论文 第三章成数再保险风险模型 而 磐”( ”) ! 骢材缈( “) ! 鳃卯一= 0 故( 如+ 口c ) ( 材) ( 抛+ 口c ) 缈( ”) 专o ， 当材专 因此对( 3 一1 2 ) 式，令材一o o ，由控制收敛定理有： 口q ( o ) = 2 q p 一万化名( z 弘扬 定理3 2 2 ：对于破产概率( 材) 的l a p l a c e 变换满足下式 口c 一手一五岛( s ) 。( j ) 一万( s ) = 口鬈( 。) 一五岛( s ) 式中( s ) = 气( s ) = p 哺( 甜灿辱( s ) = 喃( s ) = p “丽 0 0 证明：对( 3 1 2 ) 式两边取l a p l a c e 变换整理即得。 由定理3 3 2 知1 ( 3 一1 3 ) 两边是关于0 ( s ) 的常微分方程，解此方程得： ( 归p j 叫舳( p ( x ) p 一忡出+ c ) 其中：荆；挚， q ( x ) = 一去 口( 。) 一珥( j ) ( o ) 的具体值可以参看文献【6 】，从而可以求出( “) 即破产概率。 3 。2 2 带常利率的成数再保险风险模型的破产赤字的分布 ( 3 - 1 3 ) 我们考虑在破产出现的情况下，关于破产前瞬间盈余( 巧) 和破 产赤字i ( 瓦) l 的罚金期望函数： 甲j ( 材，缈) = e 国( ( 巧) ，i ( 乃) 1 ) 乞埘l 【，( o ) = 甜 其中缈“，屯) 为一有界函数。当国( 而，而) = ，( 而x ) 时，为示性函数，则： 玩( 材，x ) = 甲占( “，缈) = p ( 1 ( 乃) l 历时， 原保险人才需要再保险，此时再保险的情形与成数再保险实质是一样的，罢相 当于自留比例，从而总索赔次数( f ) 可以看成两部分m ( f ) 和2 ( ，) ，其中l ( f ) 表示没有发生再保险的次数，2 ( f ) 表示发生再保险的次数。由齐次泊松过程的 稀疏与分解( 定理2 1 2 ) 知l ( f ) 是服从参数为i p 的泊松过程，2 ( t )