（光学专业论文）多量子比特纠缠态制备的腔量子电动力学方案.pdf

摘要量子纠缠是量子力学不同于经典物理最奇特、最不可思议的特征。在量子信息学领域，量子纠缠被当作极为重要的资源广泛地用于量子隐形传态、量子密集编码、量子密钥分配和量子计算等方面，实现量子信息的过程就是对量子态进行操纵的过程量子纠缠在检测量子力学基本理论方面也有着重要的意义虽然现今人们对两粒子或者两体系统量子纠缠的认识已经比较全面，并提出了大量的制备方案，但是对于多粒子或者多体系纠缠，人们还在努力研究探索之中。充分探讨量子纠缠的特性在量子理论和量子信息科学中具有十分重要的意义本文基于腔量子电动力学理论研究多原子纠缠态制备，提出了制备多原子量子比特原生纠缠态，g h z 态和态的新方案我们提出了一个理论方案制备四原子比特原生纠缠态( g e n u i n ee n t a n g l e ds t a t e ，简称g e s ) 在方案中四个分离的光腔中各有一个原子，在光和原子的相互作用为大失谐的条件下，通过对输出光场的探测来使原子比特塌缩为g e s 。我们发现在理想情况下，得到四原子比特g e s 的概率为1 对得到的g e s 进行不同的幺正变换可以得到1 6 个独立正交的g e s 8 这1 6 个g e s s 形成四原子比特的原生纠缠态表象，这种原生纠缠态表象有助于我们对多粒子纠缠的研究我们考察了四比特的g h z 态i g h z 4 ) ，态l 眦) ，簇态i c l 4 ) 和对称d i c k e 态f d 4 ) 等典型的纠缠态在这个原生纠缠表象中的表示我们还研究了探测器效率对方案的影响，发现光子探测器的探测效率不会影响得到的纠缠态信息的丢失，但会降低纠缠态制备的成功概率我们还提出了一种基于腔q e d 方案制备多原子g h z 态和w态。该方案装置主要是由线性光学元件组成，理论上这种方案制备态的成功概率也可以达到1 我们利用一型四能级原子和光场的相互作用来实现纠缠态的制备；两束经典光用来实现原子比特h a d a m a r d操作，单光子源用来实现原子比特控制相位门；通过合适控制光场与原子的作用顺序和恰当的原子态初始化就可以得到多原子比特纠缠态。关键词：量子纠缠；腔量子电动力学；纠缠态；分束器；马赫一曾德尔干涉仪器。a b s t r a c ti i iq u a n t 啪e n t a n g l e m e n ti 8o n eo ft h em o s ts t r i b n ga n du n i m a 西n a b l ef e 加t u r ef 研q u a n t u mp h y s i c sd i 脑e n t i a t i n gf r o mc l a s s i c 猷衄i c s p r e p a r a t i o na n dm a n i p u l a t i o no fq u 加t 岫e n t a n g l e ds t a t 髑l i 铝a tt h eh e 础o ft h eq u a n t 啪i n f o m l a t i o n q u a n t u me n t a n g l e m e n tp l a ya ni m p o r t a n tr o l ea n du s e dw i d e l ya sap r i n c i p a lr e s o u r c ei nq u 趾t u mt e l e p o r t a t i o n ，q u a n t u md e i l s ec o d i n g ，q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ，q u a n t u mc o l p u t a t i o n ，a n ds oo n t h ep r o e e 鼹o fp e r f o r m i n gq u a n t u mi n f b r m a t i o nc a nb er e g a r d e da st h ep r o c e s so fm a n i p u 1 a t i o no fe i l t a n g l e d8 t a t e s q u a n t u me n t a n g l e m e n tp l a yac r u c i a lr o l ei nt e s t i n gt h ef b u n d l e 】：l t a lp r i n c i p l 嘴o fq u 髓t u mm e c h a n i 铅b i p 叭i t ee n t a n g l e ds t a t 鹤h a 聊b e e nl 【n o w nv e i r yw e l lb ys c i e n t i s t sa n ds o m eo fg e n e r a t j o ns c h e m 锵h a v eb e e np r o p o s e d h a w e v e r ，加m t i p 枷i t ee n t a n g l e ds t a t 髑御es t i l lu n d e rr e s e a r c h t bi i 销t i g a t ef u l l yq u a i i t u me n t a n g l e m e n ti s 讥t a lf o rb o t hq u a n t u mt h e o 眄a n dq u a n t u mi n f o m a t i o ns c i e n c e i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so u rr e s e a r c ho ng e n e r a t i o no fa t o n l i cq u b i t se n t a n g l e ds t a t e s 、，i ac a v i t y - q e d w bp r 叩0 8 eat h e o r e t i c a ls c h e m et og e n e r a t eg e n u i n ee n t a n g l e ds t a t 鹤o ff o u ra t o 血cq u b i t si n8 e p a u r a t e do p t i c 以c a v i t i e su s i n gt h ea t o m - l i g h t 眦e r a c t i o i lu n d e rt h ec o n d i t i o no ft h el a r g ed e t u l l i n ga n ds i n 斟ep h o t o nd e t e c t i o n 8 w es h o wt h a tg e s so ff o u ra t o i i l i cq u b i t sc a nb ep r o d u c e dd e t 鲫：i l i n i s t i c a l l y s t a r t i n g 丽t ho n ep r e p a r e dg e sw eh a v ef o u l l dt h es i ) c t e e no 吡o n o m a la n di n d e p e n d e n tg e s 8 i ti ss h o wt h a tt h e s es i ) ( t e e ng e s sb u i l dan e w 锣p eo fr 印r e s e n t a t i o nt h ef o u r - q u b i t 彤，8 t e m ，t h eg e n u i n ee n t a n g l e d s t a t er e p r e s e n t a t i o n t h i sr e p r e s e n t a t i o np r 0 们d e su sw i t hn e wi n -t e r e s t i n gi i l s i g h ti n t ob e t t e ru n d e r s t a n d i n g 舢l l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n t i ti si n d i c a t et h a tt h eg h z8 t a t ea n d 8 t a t e ，t h ec l u s t e rs t a t e ，a n dt h e 跚m e t r i cd i c k es t a t ef o raf b l l r - q u b i ts y 8 t e mc a nb ee x p l i c i t l ye x p r e s s e di nt e r l so ft h es 斌e e ng e s s w ea l s oc o n s i d e rt h ei n 丑u e n c eo ft h ei i n p e r f t i o no fp h o t o d e 卜t e c t o r 8i nt h es c h e m e ，a n di n d i c a t e dt h a tt h ei n e 伍c i e n c yo fp h o t o d e t e c t o r sd o e sn o ta 艉c tt h eq u a l i t yo ft h eg e n e r a t e de n t a n g l e ds t a t e s ，b u ti td e c r e a s e st h es u c c e 鹃p r o b a b i l i t y i vw | ep r e s e n tac a v i t y - q e d - b a s e ds c h e m et og e n e r a t eg h zs t a t ea n d s t a t ef o rm u l t i q u b i ta t o 1 s t h e8 c h e i n em a k e su s eo fl i n e a ro p t i c a ld e v i c e sa l l da l s oh a sa ni d e a ls u c c e s sp r o b a b i l i t yo f l 0 0 w bu t i l i z et h e 一t y p ea t o m j co 昏r e s o n a n ti n t e r a c t i o nw i t ht w oc l a s s i c a l6 e l d sa n das i n 甜o p h o t o ns o u r c et or e a l i z et h eh a d a m a r do p e r a t i o na n dc o n t r o lp h a s eo p e r a t i o n b yc o n t r o l l i n gt h ei n t e r a c t i o ns e q u e n c ea n dp r o p e r l yp r e p a r i n gt h ei n i t i a ls t a t eo ft h ea t 伽啮，w ec a ne a u s i l yp r o d u c ee n t a n g l e ds t a t e so fa t o m i cq u b i t 8 k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；c a 访够q e d ；e n t a n g l e ds t a t e b e 锄s p l i t t e r ；m ac ! h z e h n d e ri n t e r f e r o m e t e r 5 8 硕士学位论文湖南师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：剖枥叫年占月2 日湖南师范大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文本学位论文属于l 、保密口，在一年解密后适用本授权书2 、不保密面。( 请在以上相应方框内打誓 ”)作者签名：冽祝云日期：m 庳占月日导师签名2 莎们日日期。矽伊f 影日多量子比特纠缠态制备的腔路子电动力学方案第一章绪论从上世纪初到现在，量子力学经历了1 0 0 多年的完善与发展，已经成为了现代物理的两大支柱之一近二十余年来，随着量子理论广泛、深入地应用，极大地促进了量子理论本身和其相关领域的发展，从而产生了许多崭新的学科。量子信息科学就是在人们试图如何将量子力学的基本理论和概念应用到现代信息科学技术的构建中，结合量子力学、信息科学和计算机科学所形成的一门崭新的交叉学科，涉及物理、数学、计算机、通讯、工程和材料等多门学科。量子信息学的诞生和发展反过来极大地丰富了量子理论本身的内容，有助于加深对量子理论的理解，帮助解决量子理论中存在的一些基础性问题，同时还为量子论的实际应用带来了全新的更为光广阔的前景，自从它诞生以来，无论在理论上还是试验上都发展非常迅猛，显示出广泛的应用前景量子纠缠现象是量子力学不同于经典物理学的最奇特的、最不可思议的特性，它首先被e i n s t e i n ，p o d 豳k y 和r d s e n 【1 】所注意到。量子纠缠的一个至关重要的特性是可以对系统进行局部测量以鉴别无论相隔多远的量子态。最近十年，量子纠缠已经成了量子力学中许多基础工作的中心，特别是与量子不可分性、b e u 不等式的违背、e p r 佯谬等相关问题的研究密不可分。除了这些基础方面，量子纠缠为量子信息传输和量子信息处理提供了新的物理资源，因此量子纠缠态的产生和操作是量子信息学的基本问题。近年来，许多物理学家提出一系列不同类型纠缠态的制备方案 2 1 3 】，并有一些方案在实验上得到了验证【1 4 一1 8 1 这当中大多是利用参数下转换来获得两个光子的极化纠缠，但是要获得多个光子之间的纠缠却并非易事。随着腔q e d 技术的发展，基于腔q e d 技术制备原子或离子之间的纠缠态引人注目；1 9 9 7 年h a g l e y 等人首次在腔q e d 实验中制备出了两个原子的纠缠态 1 9 】多粒子纠缠态比两粒子纠缠具有更为普遍的构成和性质，是量子信息科学走向应用不可缺少重要资源。经众多科学家的努力在多粒子纠缠态制备方面已有一些科研成果 1 4 _ 1 7 ，2 0 】本文的重点是基于腔q e d 理论制备多原子纠缠态。第二章对量子纠缠的基本概念、纠缠的度量方式以及纠缠的应用作简单介绍第三章介绍光与原子相互作用理论，包括半经典理论和量子理论硕士学位论文第四章中我们提出了一个成功概率为1 的理论方案制备四原子比特原生纠缠态，并找到了一个四原子比特系统的原生纠缠态表象，这种纠缠态表象有助于我们对多粒子纠缠的研究，我们考察了几种四比特的典型的纠缠态在这个纠缠表象中的表示第五章中我们还提出了多原子g h z 态和w 态的制备方案，这些方案可扩展性较好，理论上制备2 n 个原子的g h z 态和沙个原子的w 态的成功概率也可以达到1 第六章对本文的工作进行了简要的总结，并对这一领域的发展前景做了展望多量子比特纠缠态制备的腔量子电动力学方案第二章量子纠缠2 1 引言量子纠缠是存在于多体量子系统中的一种最奇特的特性，指的是各个子系统的量子状态之间是相关且是不可分离的情况，即对一个子系统的测量结果无法独立于对其他子系统的测量参数，这种由相关且是不可分离的两个或多个子系统的量子状态所构成的系统的状态称之为量子纠缠态应当强调是，量子纠缠并不是一个完全依赖于态的表达方式的纯形式的东西：在某种表达方式下存在，而在另一种表达方式下不存在；它是一种物理的存在，它与态叠加原理以及量子态和测量的非定域性密切相关【2 1 】2 2 量子纠缠态简介量子纠缠现象首先是被e i n s t e i n - p o d 幽k y r d s e n ( e p r ) 1 】在1 9 3 5 年注意到的量子力学特有的现象其概念和术语由薛定谔于同年首次引入量子力学，并且称其为“量子力学的精髓”【2 5 1 个孤立的微观体系a ，其状态一定可以用一个纯态来完备地描述但若考虑它和另一系统( 或是外部环境) b 有相互影响，这些难以避免的直接( 或间接) 的相互作用将会导致a 和b 状态之间的量子纠缠。简之，量子纠缠是量子系统的一种非局域关联性质，主要表现为对两个或两个以上部分构成的复合系统中的任何一个子系统的测量结果依赖于其他子系统的测量【2 4 1 在物理描述上，构成复合系统的两子系统的纠缠可以定义为【2 3 ，2 4 ，2 7 】：考虑体系a 和b 组成的两体系统，设i i ) 为a 系统的一组力学量完全集的共同本征态，b ) 为b 系统的一组力学量完全集的共同本征态，则i t ) b ) 可以作为复合系统a + b 的一个完备基，复合体系的任意量子态i 雪) 可以表示为它们的线性叠加卫) = j ) ，巧( 2 1 )如果不存在以任意方式划分这个复合系统为两个子系统，而使得i 皿)能够表述为这两个子系统态矢量l 妒t ) 和i 忱) 的直积形式，那么我们就称i 皿) 是一个纠缠态硕士学位论文推广到由多个微观粒子构成的复合量子系统的情况为：如果一个由n 个部分构成的复合系统的态矢量用i 皿) 来描述，它都不能表示为由任意态矢量i 妒z ) ，i 仍) ，i 如) 一i 伽) 来描述的子系统态矢量的直积形式，即i 皿) = i 妒。) 圆i 砂z ) ol 也) i 妇) ，那么这个复合系统就是个纠缠系统，l 皿) 则称为n 体的纠缠态对于系统处于混合态的情况，其状态只能用密度矩阵来表示，纠缠的定义也相对要复杂一些对于由两部分组成的简单复合系统，可以表述为：如果它不能表示为p ( a ，b ) = 产只陬( a ，b ) ) ( 皿 ( a ，b ) l ( 只o ，；只= 1 ) 的形式，使得其中每一个成分态慨( a ，b ) ) 都是非纠缠态( 可分离态) ，那么我们就可以说这个复合系统的混合态是纠缠态。一般地，一个多粒子体系的量子态，如果它的子系相应的约化密度矩阵是混合态密度矩阵，则为纠缠态，反之，若约化密度矩阵是纯态密度矩阵，则为非纠缠态 2 2 ，2 6 】爱尔兰物理学家b e l l 在1 9 6 4 年根据隐变量理论推导出著名的b e u不等式 2 8 】，并预言量子力学超出b e l l 不等式的限制。这一预言已经在许多实验中用两粒子的b e l l 态得到验证【2 9 ，3 0 】，并称最大违背b e l l 不等式的纠缠态为最大纠缠态，在两粒子情形下通常被称为b e u态。1 9 6 9 年，b e l l 不等式被c l a u s e r ，h o r n e ，s h i m o n y 和h o l t 进行了推广，得到了更易于为实验验证的b e l l 不等式形式，现称之为c h s h 型的b e l l 不等式 2 3 ，3 1 】对于两粒子构成的复合系统的态可用四维的h i l b e r t 空间的态矢量完全展开，所以两量子比特最多有四个b e i l 态：旷) 柏= 击1 0 ) 巾) b + 1 1 ) a j l ) b ，( 2 2 )旷) 们= 击1 0 ) a 1 0 ) b _ | 1 ) 小) b ，旷) a b = 击| 0 ) a 1 1 ) b + 1 1 ) 巾) b ，旷) 船= 击l o ) 巾) 口_ 1 1 ) 巾) b ，它们构成四维h i l b e r t 空间的一组完备的正交归一化基矢，称之为b e u基。由于一个量子比特( q u b i t ) 的密度算子可以用2 2 的矩阵来描述，对它进行的任意局域幺正操作，刚好就可以由p a u h 矩阵以，多量子比特纠缠态制备的腔最子电动力学方案以，和单位矩阵子。来完全表示。其中，= 屯= ( ) ，协3 ，；知= ) 这样通过对不同的b e l l 态实施单比特的幺正操作就可以实现四个b e l l 态之间的转换。从信息存储的角度来考虑，由于l 矿) a 日，i 皿) a b是四个相互正交的状态，因而可以在这四个态中编码两比特的经典信息【2 2 】g r e e d b e r g e r 、h o m e 、和z e i l i n g e r 将b e u 态推广到了多粒子的情形【3 2 1 由n 个粒子构成的复合体系的g h z 态可以表示为：l g 日z ) = 丢( 1 0 0 0 0 ) 士1 1 1 1 l ) ) ，( 2 4 )v z多粒子纠缠态中还有另一类常见的，在局域测量甚至有粒子损失的情况下仍然能以一定的概率维持最大纠缠的纠缠态，被称作为态阻l ，通常可以表示为以下形式：1i ) = 去i 一1 ，1 ) ，( 2 5 )v v其中l 一1 ，1 ) 表示包括所有一1 个。和一个l 的对称态的求和。具体到三粒子和四粒子情况可以表示为：i ) 3 = 去( 1 0 0 1 ) + 1 0 1 0 ) + 1 1 删) ，( 2 6 )、，o11 w 7 ) 4 = 去( 1 0 0 0 1 ) + 1 0 0 1 0 ) + 1 0 1 0 0 ) + i 1 0 0 0 ) ) ( 2 7 )2 0 0 1 年，h j b r i e g e la n dr r a l l s s e n d o r f 提出一种基于测量的量子计算所需的新型量子纠缠态，叫做c l u s t e r 态 3 5 1 对于一般情况下的c l u s t e r 态，他们都满足本征值方程：币n i 田c = ( 一1 ) i 皿c ，( 2 8 )其中相应的算符币口) = 拷 6 n ，_ 1 1 6 ( 。) 盯箩，n g h b ( a ) 表示与比特a 相邻的所有比特集合，并且 o ，1 在一维情况下c l u s t e r 态具有链式结，、l-、lln 吖o - oll0j j=以=巩玩硕士学位论文构，n 个粒子构成的一维c l u s t e r 态可以表示为：阶) = 刍。丝l ( 1 0 ) o + 1 1 ) 。盯) ，( 2 9 )这里盯妒1 三1 2 3 量子纠缠的度量纠缠描述共处于同一系统的几个子系的态之间量子力学特性，因此只对由几个部分构成的复合系统才有意义设一个系统由a ，b ，c ，等几个部分构成，复合系统的一般态可用密度矩阵p 描写。e ( p ) 描述态声的纠缠度( a m o u n to fe n t a n g l e m e n t ) 。由于物理上相互作用的两部分联合的幺正演化才可以产生纠缠，而局域操作和经典通讯只能产生经典相关，不可能产生量子纠缠，因此一个合适的纠缠度应具有以下几个性质【2 2 3 弘3 8 】：( 1 ) 如果声描述的态是可分离的态，即它可以表示为属于不同部分态的张量积：声= 仇硭圆茚圆，( 2 1 0 )其中舒，矽是分别描述各子系的密度算符，仇o ，；鼽= 1 那么e ( 声) = 0 ，( 2 1 1 )即对非纠缠态，纠缠度为零。( 2 ) 在相对各子系局域地幺正变换不改变总系统的纠缠度即：e ( p ) = e ( 巩圆声哦。畦) ，( 2 1 2 )这是因为局部的幺正变换仅表示局部基的改变，不应当改变各部分的纠缠性质。( 3 ) 在相对各部分的局域操作( 这些操作可以是各部分基的幺正变换、执行一般的测量、扩大或舍弃部分h i l b e r t 空间) 以及由经典通信协调起来的分别对各部分局域地执行联合操作下( l o c c ) ，总系e ( 卢) 不增加。因为由这类操作改变的各部分间的相关性只能是经典的，与量子纠缠不应当有关系。多量子比特纠缠态制备的腔骚子电动力学方案( 4 ) 设皿a 玑和垂a 矾是由a ，b ，多部分构成的复合系统态，纠缠度对这两个态的张量积应当是可加的，即e ( 皿a b 西a b ) = e ( 皿a b ) + e ( 垂a b ) ，( 2 1 3 )纠缠度对这两个态张量积应该是可加的目前，有代表性的两体纠缠度的定义有四种：它们分别是部分熵纠缠度、形成纠缠度、可提纯纠缠度、相对熵纠缠度一、部分熵纠缠度【2 7 ，3 7 】当两体量子态处于纯态i 妒) a b 时，a 和b 之间的纠缠度可定义为任意子系统约化密度算子的一n e u m a n n 熵( 又称部分熵) ，即e ( 1 妒) a b ) = s ( p a ) = 一j r r ( 声a f 他声a ) ，( 2 1 4 )其中肌为纯态i 砂) 以口下a 子系统的约化密度矩阵每| a = t r b ( i 妒) a b ( 妒i ) ( 2 1 5 )因为a 和b 总系统处于纯态，有s ( p ) = s ( 他) ，所以纠缠度可定义为任何一个子系统的v o nn e u m a n n 熵。作为两粒子最大纠缠态的b e l l态，对任意粒子a 或b 求迹后，约化密度矩阵都是单位矩阵的1 2 ，其纠缠度为( 以l 矿) a b 为例) ：e ( i 妒+ ) a 且) = s ( 声a ( 口) ) = 一2 r ( 丢i 0 9 2 去) = l ，( 2 1 6 )这里，：f ：? 1 ，为单位矩阵为方便起见在计算v | o nn u e m a n n 熵ul 时，对数的底数取成2 ，从而使得b e l l 基的纠缠度归一化为1 啪n e u m a n n 熵对于两体纯态而言是一个好的纠缠度量，它很自然地满足上面指出的纠缠度量的几个基本条件，并且在上述可逆操作下，保持守恒二，形成纠缠度【3 9 ，4 0 】假设由a l i c e 和b o b 分享的两个部分共处在混合态以b 态以b有无穷多种制备方法，假设其中一种是由纯态桫) 以几率见混合而成，我们把这种制备方式记为，声置b = 鼽| ) ( i ，鼽= l ，( 2 1 7 )tt上式也称为混和态以b 的一种分解。定义态以口的形成纠缠是对所硕士学位论文有分解e 中，纯态纠缠的统计平均的最小值：毋( 以b ) = m i n 鼽s ( 卢：4 ) ，( 2 1 8 )t其中以= t r 以，s ( 以) 是态以的啪n e u m a n n 熵可使平均纠缠达到最小值的分解被称为最小分解形成纠缠度的物理意义非常明显，就是在只允许相对各个部分的局域操作以及由经典通讯协调起来的分别对各部分进行的联合操作的情况下制备一个给定的量子纠缠态以b 所消耗的最大纠缠单态的最小数目，即所( p 蒯= 熙粪，( 2 1 9 )这是基于j d 船的最小分解是单个态最小分解；肌i 妒) ( 纠的简单直积的假设下成立的，如果不是，那么应该有如下的关系式存在：眦州：熙亮：熙掣( 2 2 。)可以看出丘1 ，( p a b ) 上1 f ( p a b ) ( 2 2 1 )形成纠缠有下列性质：( 1 ) 纯态的形成纠缠就为v o nn e u m a n n 熵。( 2 ) 分离态的形成纠缠为零( 3 ) 形成纠缠在局域操作和经典通信下不增加。由于计算形成纠缠需要找出待求混合态的最小分解，这不是一件容易的事情。对于两体两维系统，形成纠缠可以直接计算出来 4 0 】设以b 是两体两维系统中的一个混合态，定义另_ 个态面声= 唧圆唧矿唧圆勺，( 2 2 2 )这里唧= ca仁2 3 ，算子筇的本征值记为埒( 因为此算子为半正定矩阵) ，则硐协) = a 慨) ，且有a 1 a 2 a 3 a 4 o 。其中慨) 是筇的本征矢，定义肌口的多量子比特纠缠态制备的腔量子电动力学方案c o n c u r r e n c e ( 并发) 为c ( 芦a b ) = m a x ( 0 ，入1 一入2 一a 3 一九) ，那么肌b 的形成纠缠度为驰加日( 孕) ，其中h ( p ) = 一p 2 q 9 印一( 1 一p ) z0 ：鲍( 1 一力，( 2 2 4 )( 2 2 5 )( 2 2 6 )从上面的两个式子可以看出毋是c ( 朋b ) 的单调函数，即耶( p t ) =脐她) 当且仅当c ( p t ) = c ( 晚) 下面我们介绍一个计算两体纯态的并发的定理 4 1 1 对于由a ，b 系统组成的纯态l 咖) = o i o o ) + 6 1 0 1 ) + c l l o ) + d i l l ) ，它的密度矩阵为p = i 西) ( 纠，则直积矩阵可以写为筇= l 咖) ( 咖i d 0 圆口| ，l 咖) ( 咖l o _ 圆a _ ，( 2 2 7 )其中歹由( 2 2 2 ) 给出我们可以直接看出，l 蜘) = i 咖) 是筇的一个本征态，本征值为俐o 俐2 我们总可以找到另外三个态l 姑) ，詹= l ，2 ，3 ，这三个态线性独立，并且都与i 西) 正交因此，这三个态可以写为) = q q i 站) ，七= l ，2 ，3 ，本征值为零这样，从( 2 2 4 ) 我们得到c o n c u 玎e n c e 为c = i ( l 盯掣oo i 咖) i ：= 2 l o d 一6 c i ( 2 2 8 )因此对于一个纯态，c o n c u r r e n c e 可以定义为算符o 的平均值的绝对值通过对一个子系统求迹，并解出它的本征值，这些本征值是i 咖) s c h m i d t 系数q 的平方 4 2 j ，即聋= 。并发也可以用s c h m i d t 系数表示例如，a 系统的约化密度矩阵为，以： ：+ 嘤黑+ 兰1 ( 2 2 9 )以2i 口矿+ ”胛+ 1 6 1 2 厂瞄之跏以的两个本征值为a 1 ，2 去士言 1 4 ( | 6 1 2 l c l 2 + l n l 2 i d | 2 一n d 矿扩一6 + 扩) ( 2 3 0 )这样我们也可以得到c o n c 眦e n c e 的计算公式e ：2 瓜：2 脚一6 c i ( 2 3 1 )1 0 硕士学位论文三，可提纯纠缠度 3 9 ，4 3 】假设肌b 是被a l i c e 和b o b 分享的混和态，而且他们已制备了这个态的n 个拷贝，并假设当n o 。时，a l i c e 和b o b 可以从这n 个拷贝中通过局域操作和经典通信提取出m 个最大纠缠对，定义态肌b的可提纯纠缠度为昂( 啪) = 熙罢( 2 3 2 )对于两部分纯态，可提纯纠缠仍然等于v o nn e u m a n n 熵。对于一般的两体混合态，这个度量与最有效的提取方案有关，但是如何找到最有效的提取方案还是一个问题可提纯纠缠和量子纠错有着密切的联系 2 7 】。假设a l i c e 想通过量子通道传送给b o b 量子信息不失一般性，我们假设通道是一个量子位的退偏通道( p ) = p p + 字( 仃1 舻1 + 盯2 妒2 + 盯3 缈3 ) ，( 2 3 3 )其中盯。，眈，仃。是p a u l i 矩阵，定义为盯= ( ：三) ，盯2 = ( ：) ，铂= ( 三! 。) ，t 2 3 4 ，这个退偏通道是独立作用在n 个量子位上的。a l i c e 可通过这种办法传输量子信息：a l i c e 制备m 对b e l l 态，并把每个b e u 对中的一个量子位通过这个退偏通道送给b o b ，这时b e l l 态转换成了混合态p ，因此a h c e 和b o b 分享了m 对p 现在a l i c e 和b o b 实现纠缠提取，产生m b ( p ) 个b e u 态。使用这些b e l l 态，利用隐形传态方案，a l i c e 就能传输m 既( ，) 个量子位未知态给b o b 。因此纠缠提取方案可以以这种方式用于两部分之间量子通道的纠错上，使得a l i c e 可以可靠的传输m b ( p ) 个量子位信息到b o b 四、相对熵纠缠度 3 8 4如果把纠缠浓缩和稀释的局域操作和经典通信看成是把纠缠态从非纠缠态区分出来的”测量过程”，纠缠度就和在执行一定次数的测量后，仍不能区分纠缠态和非纠缠态的概率有关v v 甜r a l 首先受经典概率论中区分二个不同的态所需测量的次数这一问题的启发，把纠缠态和非纠缠态看成二类不同的态，用通过局域操作和经多量子比特纠缠态制备的腔链子电动力学方案典通信区分它们的难易程度或它们之间的“距离”来度量纠缠，引入相对熵纠缠来度量纠缠混合态对于两个量子态以b ，相对熵纠缠定义为j 玖口( p a b ) = m i n s ( j 口 b l i a _ b ) ，口 b e u其中s ( p a b l i 盯a b ) 三t r ( p a b z 0 9 2 p a b p a b f d 9 2 p a b ) ，( 2 3 5 )( 2 3 6 )是量子相对熵d 是所有的两体分离态，即仃a b = ip i 盯jo 仃j 的集合d 集合中可使量子相对熵达到极小值的分离态称为量子态纵b的最近分离态以上是量子纠缠度量最具代表性的几种，实际上还有其他一些方法值得指出的是对于两体纠缠纯态情况，纠缠的度量已经很清楚，以上不同纠缠度定义所给出的纠缠度的数值都是相等的但对于两体混合纠缠态情况纠缠的度量比较复杂，目前这方面比较好的度量定义就是相对熵纠缠度。对于多体复合系统，因为其性质更具一般性，通常不易进行s c h m i d t 分解，因而对其进行定量的研究非常困难，甚至很难引入合理的纠缠度的定义通过对纠缠态纠缠度量定义的研究可以加深对量子纠缠态内部规律的了解，使得人们对量子纠缠态性质有更深刻的认识，有利于提出好的纠缠态制备的方案2 4 量子纠缠的应用量子纠缠作为量子力学领域的一朵奇葩，它独特的量子关联特性为量子力学挑战局域实在论提供强有力的支持，也奠定了它在量子领域中举足轻重的地位。尤其在信息科学飞跃发展，人们对信息的存储、传输和处理需求日益猛增的今天，量子信息作为一个将更新换代目前庞大信息产业的雏儿正在迅速崛起的时刻，量子纠缠就得到了更为广阔的使用空间和研究价值。在介绍量子纠缠的应用之前，首先需要了解如何对编码的量子态进行一系列的控制、操作和测量等情况。对量子比特进行的基本操作，通常称为量子逻辑门【2 2 2 3 ，2 7 】与经典操作不同的地方是量子操作通常是可逆操作，遵循幺正演化规律。根据量子信息理论，两个不对易的单的量子操作和一个非平庸的1 2 硕士学位论文两比特控制操作，就可以构建对量子系统的任一幺正操作，2 3 ，2 7 】常用的单量子比特逻辑门主要有j ，x ，z ，y 和h a d 锄a r d 门日记基矢1 0 ) = ( ：) ，1 1 ) = ( ：) ，那么这些门操作就可以表示为：j = i 。，i + 1 1 ) c - l = ( 三：) = 而，x = i o ) ( 1 l + 1 1 ) ( oz = l o ) ( o i 1 1 ) ( 1 iy = i o ) ( 1 i 1 1 ) ( o日= 扣，删制删邛以川= 击( ：( 2 3 7 )( 2 3 8 )( 2 3 9 )( 2 4 0 )二1 ) = 击c x 协仁4 - ，常用的两量子比特逻辑门主要有控制非门和控制一相位门其特征在于：当控制比特为i o ) 时，目标比特不改变；当控制比特为1 1 ) 时，目标比特进行一次非门操作( 对于控制相位门就是相对位相改变) 在两量子位的态矢空间的基底( 由一个量子位基矢的直积构成) ：畦阻，：畦、，1 1 0 ) =弘驴下，控制一非门和控制一位移门可用矩阵依次表示为：m d t =o oo 、ilo ol门o oll 印慨2l010 i卜也，目前量子纠缠应用比较多的领域主要有量子密集编码、量子隐形传态、量子密钥分配、量子远程态制备、量子远程克隆等等。下面我们就这些方面的应用作一些简单介绍。，乙巧屹谕盯=| |卸卜卜，llo10001loo 一，、r，i、iiliii0o10ool1ol00looo多最子比特纠缠态制备的腔最子电动力学方案1 3 一、量子密集编码量子密集编码( q u a n t u md e n 8 ec o d i n g ) 最先由b e n n e t t 等人提出【4 4 】，其概念主要就是利用量子纠缠现象实现只传送一个量子位而传送两个比特的经典信息【4 5 】方法的实现如下；通信的双方a l i c e 和b o b 各拥有处于最大纠缠态的b e l l 态l 霍+ ) a 口=去1 1 ) a i o ) b + i o ) a 1 1 ) b 中的一个量子比特( 下标a 和b 分别对应a l i c e 和手中的量子比特) 作为信息的发送方，a l i c e 通过对她所持有的量子比特实施四种幺正操作“，乳，苏，y a ，中的一种( 下标a 对应a l i c e 对a 粒子的操作) ，从而把她要传送的信息编码在这四种幺正操作中，然后把她的量子比特发送给信息的接受者b o b b o b 通过局域地对粒子a 和b 做联合操作就可以准确地知道这两个量子比特处于四个b e l l 态中的某个态中1 垂+ ) a b = 厶i 圣+ ) b ，( 2 4 4 )l 圣一) a b = 孑a i 垂+ ) a 日，i 霍+ ) a b = 忍l 圣+ ) a b ，l 皿一) a b = y l 垂+ ) a b 由上述方法，a i i c e 利用纠缠提供的量子通道，传送一个量子比特，b o b 就得到了两个比特的经典信息，这就实现了所谓的量子密集编码。值得一提的是与经典通信相比，量子密集编码还具有保密性好的特点。无论a l i c e 对其所有的量子比特作了四个幺正操作中的哪一个，都不会改变a 粒子的约化密度矩阵，以= ，2 因此即使窃听者截获了a 粒子，他也不能提取任何信息二、量子密钥分配众周所知，秘密通信安全依赖于密钥的安全。经典通信采用各种数学技巧防止窃密，但是原则上任何经典密钥都不是绝对保密的，都是可以破译的，要获得绝对保密的密钥应该建立在物理规律的基础上量子密钥就是依赖于量子理论的一种原则上绝对安全的密钥。量子密钥分配( q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ) 开创性的工作是由b e n n e t t 和b r 髑a r d 首先提出，也就是著名的b b 8 4 方案【4 6 】b b 8 4 方案基于两个非对易可观测量不能完全区分的物理原理假设通信的双方a l i c e和b o b 协商要建立一组量子密钥，a l i c e 随机的选择量子非对易基1 4 硕士学位论文i 助) = i o ) 1 1 ) 或者i 取) = | + ) ，| _ ) ) ，其中i + ) = 去( i o ) + 1 1 ) ) ，卜) =去( i o ) 一1 1 ) ) ，制备了2 n 个量子比特为i o ) ，1 1 ) ，i + ) 和i - ) 中的任意态，然后发送给b o b 。b o b 接收到这些量子比特之后，随机的选择对每个量子比特进行勃或奴的投影测量，并记下所用的测量基和测量结果。随后a h c e 和b o b 互相通报他们用来制备或测量每个量子比特的基这样大约有一半的几率他们对同一量子比特使用了相同的基，抛弃那些不相同基的结果在没有错误和干扰的情况下，他们得到了拥有n 个量子比特的随机串，这n 个量子比特就可以用作密钥。为保证他们所共享的量子密钥没有被第三方窃听，a l i c e 和b o b随机选择扎2 个对应的结果进行公开如果a l i c e 和b o b 使用的基相同而记录结果不一致k 则有第三方进行窃听，通讯终止在没人窃听的情况下，a l i c e 和b o b 把使用的基相同，而没有公开的n 2 记录结果作为密钥。b b 8 4 方案的一个最大的优点就是它被证明是一种绝对安全的分配密钥的方式【4 7 _ 5 0 1 另外，它的量子信号制备和测量也相对比较容易实现后来b e n n e t t 提出一种对b b 8 4 方案的修改方案 5 l 】，俗称b 9 2 方案，它的安全性是由不可克隆定理【5 2 】来保证的1 9 9 1 年，e k e r t 提出首个基于量子纠缠的量子密钥方案 5 3 1 假设a l i c e 和b o b 共享有2 n 对处于最大纠缠的b e l l 态i 虫一) a b = 去( i o ) a 1 1 ) b 1 1 ) a i o ) b ) 的量子比特，a l i c e 对她的量子比特随机地选择测量基屹或奴进行测量，由于量子关联，b o b 的量子比特被制备到锄或奴的本征态。b o b 随机地选择测量基对他自己的粒子进行投影测量。当b o b 对某个量子比特的测量碰巧和a l i c e 测量这个量子比特的基相同时，他们得到的结果应该是相关的。测量完毕后，a l i c e 和b o b 通过经典通道公开他们对每个量子比特测量所选择的基，这样对于大约有一半的量子比特使用了同样的测量基，那么他们得到的测量结果应该是完全相关的。这样他们就可以得到n 个比特的相互关联的随机串，这随机串就可以用来作他们的随机密钥串。与b b 8 4 方案一样，为了确保他们得到的随机串没有错误或者干扰，a l i c e 和b o b 随机选择n 2 个对应的结果进行公开。由于i 皿一) a 口是a 垆a 垆和子p 子罗具有本征值为一1 的本征态，如果他们测量的结果没有满足相关性疗垆方垆= 子蛤彦妒= 一1 ，则表示有第三方进行窃听，通讯终止如果没有窃听者的存在，最后他们同样能得到礼2 个量子比特作为共享密钥。e k e r t 方案最大的优点在于无论量子信道是否存在噪声，它都能安全地产生密钥。多蟹子比特纠缠态制备的腔造子电动力学方案1 5 三、量子隐形传态量子隐形传态( q u 肌t u mt e l e p o r t a t i o n ) 方案最先是由b e n n e t t 等人于1 9 9 3 年首先提出删，并于1 9 9 7 年被z e i l i n g e r 小组利用纠缠光子态最先在实验上演示【5 5 1 量子隐形传态的过程和基本原理可以简述为：在进行量子隐形传态之前，a h c e 和b o b 共享有一条量子通道l 雪一) a b = 去( 1 0