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四川大学硕士学位论文 摘要 运输网络中相关流量的均衡问题 应用数学专业 研究生黄渊指导教师黄南京教授 1 9 1 2 年，p i g o u 首次讨论了交通网络均衡问题。随后，很多学者都先后对这 一问题进行了研究并取得了相当完善的成果。本文在一般交通网络理论的基础 上，讨论了在一个网络之中有两个相关的流量这一客观存在而不容忽视的情 况。 本文主要探讨了以下三个方面的内容：( 1 ) 、在叙述j w a r d r o p - - 般网络均 衡原理之后，给出了定义一般均衡的一个引理。正是这个引理，使得交通网络 中的均衡问题同一个变分不等式等价。接着，讨论了一个交通网络中有两个相 关流量的情形，并给出了相关均衡的定义。( 2 ) 、利用均衡同变分不等式及投 影算子之间的关系，给出相关均衡存在的等价性条件。即这对均衡流是一组投 影算子的不动点。因此，研究交通网络的相关均衡就转化为一个求不动点的问 题。( 3 ) 、在等价性条件的基础上，对欧式乘积空间赋以新范数。在新范数下， 乘积空间仍是完备的线性赋范空间。在乘积空间中适当构造了一个向量函数， 研究该函数的不动点。为此，我们给出了口一强单调e l l l i p s c h i t z 连续的定 义。当成本函数对其变元p 一强单调及l l i p s c h i t z 连续时，相关均衡的存在性 和唯一性就得到了解决。特别是，当定理中的0 、l 函数为常数时，可以得到一 些特别的结果。 关键词交通网络相关均衡变分不等式8 一强单调l l i p s c h i t z 连续 四川大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e e q u i l i b r i ap r o b l e mo fr e l a t i v ef l o w si nt r a n s p o r t a t i o nn e t w o r k s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：y u a nh u a n g s u p e r v i s o r ：n a n - j i n gh u a n g a f t e rp i g o uf i r s ts t u d i e dt r a f f i cn e t w o r ke q u i l i b r i u mp r o b l e mi n1 9 1 2 ，m a n yp e o p l e c o n s i d e r e dt h i sp r o b l e ma n do b t a i n e dp e r f e c tr e s u l t s o nt h eb a s eo fg e n e r a lt r a f f i c n e t w o r kt h e o r y , t h i sp a p e rd e a l sw i t has p e c i a ln e t w o r kw h e r ea r et w or e l a t i v ef l o w si n t h en e t w o r k w ec a ns e et h i ss i t u a t i o ni no u re v e r y d a yl i f ea n di tc a nn o tb ei g n o r e d t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ef o l l o w i n gt h r e ec o n t e n t s ：( i ) a f t e rs t a t i n gg e n e r a l w a r d r o p sn e t w o r ke q u i f i b r i u mp r i n c i p l e ，w ed e s c r i b eal e m m aw h i c hi st h eb a s eo f t h ed e f i n i t i o no ft h ee q u i l i b r i u m b yu s i n gt h ea b o v el e m m a ，t h et r a f f i cn e t w o r ke q u i l i b r i u mp r o b l e mi se q u i v a l e n tt oav a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m a f t e rd i s c u s s i n gt h e s i t u a t i o nt h a tt h e r ea r et w or e l a t i v ee q u i l i b r i u mf l o w si nas a m en e t w o r k ，i m m e d i a t e l y , w es t a t et h ed e f i n i t i o no fr e l a t i v ee q u i l i b r i u mf l o w s ( 2 ) t h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o ni s a l s op o s e d t h r o u g ht a k i n ga d v a n t a g eo f t h er e l a t i o n sb e t w e e n ae q u i l i b r i u mp r o b l e ma n d av a r i a t i o ni n e q u a l i t ya sw e l la sap r o j e c t i o no p e r a t o r t h a ti s ，t h er e l a t i v ee q u i l i b r i u m f l o w sa r ef i x e dp o i n t so fas e to fp r o j e c t i o no p e r a t o r s s ot h ep r o b l e mo fs t u d y i n gt r a f f i c n e t w o r kr e l a t i v ee q u i l i b r i u mf l o w sa r et r a n s f o r m e di n t oan e wp r o b l e m ，t h a ti st of i n d f i x e dp o i n t s ( 3 ) o nt h eb a s eo fe q u i v a l e n tc o n d i t i o n ，w ee n d o wan e wn o i l nt ot h e e u c l i d e a np r o d u c ts p a c e ，s ot h a ti ti sa l s oac o m p l e t es p a c e w es t u d yt h ef i x e dp o i n to f t h ef u n c t i o nt h a tw a ss u i t a b l ym a d ei nt h ep r o d u c ts p a c e t og e tt h ea i m ，w eg i v et h e d e f i n i t i o n so f0 一s t r o n g l ym o n o t o n ea n dl - l i p s c f r zc o n t i n u o u s e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nt ot h ee q u i l i b r i u mp r o b l e ma r eg u a r a n t e e dw h e nt h ec o s tf u n c t i o n i s0 - s t r o n g l ym o n o t o n ea n dl - l i p s c h i t zc o n t i n u o u so ni t sv a r i a b l e s p e c i a l l y , w h e n0 a n dla r ec o n s t a n t s ，am o r eg e n e r a lr e s u l tc a nb ea c h i e v e d k e yw o r d s ：t r a f f i cn e t w o r k ，r e l a t i v ee q u i l i b r i u m ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，0 一s 仃o n g l y m o n o t o n e ，l l i p s c h i t zc o n t i n u o u s i i 四川大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 网络均衡的产生及其发展 交通网络中，流量的网络均衡问题主要是决定从起始点到终讫点的所有路 径上的交通流量，从而使该网络上的流量按照要求达到最优，这是经典的网络 均衡问题。这个问题p i g o u 早在1 9 1 2 年就讨论过，p i g o u 当时研究了一个有两个节 点、两条路径的简单网络。此后，k n i g h t 在1 9 2 4 年对这一问题作了进一步的研 究【1 。交通网络问题的设置是由与该网络的潜在用户相对应的需求方、由网络 自身提供的供应方和与运输成本相对应的价格三个方面构成的。当起始点和终 讫点之间的路径上的运输成本等于由市场价格确定的成本需求时，均衡就出现 了。 w a r d r o p 在1 9 5 2 年用如下两个原理的形式叙述了网络均衡的条件【2 3 】： 第一原理；所有实际被使用的路径上的运输时间不超过任何只有单一交通 工具经过的路径上的运输时间。 第二原理：平均运输时间最少。 当时，w a r d r o p 用运输时间来刻画运输网络中路径上的流量均衡。后来 的研究人员进一步用运输成本来衡量交通网络中的流量分配合理与 否。继s a m u e l s o n 在1 9 5 2 年研究了不受拥挤交通影响的空间价格均衡问 题后【4 ，b e c k m a n n 、m c g u i r e 和w i n s t e n 于1 9 5 6 年首次在数学上严格地阐述了 均衡的条件 5 。实际上，b e c k m a n n 、m c g u i r e 和w i n s t e n 在1 9 5 6 年建立了均 衡问题和一个通过适当构造的优化问题的k u h n t u c k e r 条件之间的等价 性 5 】。因此，均衡的环节和路径流量可以通过求解数学规划问题而得 到。d a f e r m o s 茅l s p a r r o w 于1 9 6 9 年首次使用“用户最优”( 即u e ) 和“系统最 优”( s o ) 这两个词来区分在运输网络中用户为了自己的利益而单方面选择自己 的运输路线和用户从整体利益出发，为使整个运输网络的总“成本”最小而选择 路线这两种不同的情况 6 】。需要说明的是，当时他们研究的所谓“成本”实际上 是道路的拥挤程度，即阻抗。每位用户只从自身的利益出发寻找使自己的阻抗 四川大学硕士学位论文 最小的路径，用户之间互不协商，经过不断的系统内部调整后，达成的平衡状 态即u e 态。在后一个问题中，所有用户能接受统一的调度，大家共同的目的是 使系统的总的阻抗最小。这种平衡状态即( s o ) 态。在s o 态的时候，路径分为 两类：一类路径上有流量，其阻抗边际值总是互相等值的：另一类路径上没有 流量，其总阻抗边际值大于或等于约束值。所以，s o 状态是边际成本而不是总 成本达到了均衡。 一般系统均衡同包括商业均衡在内的其它类型的均衡是相联系的。在过去 的几十年里，不论是在建立网络模型还是寻求系统阐述、计算更一般的网络均 衡方面，都出现了大量的研究。对一些比较复杂的抽象模型也得出了大量的成 果，比如更一般的复合运输模型和在某些环节上以自己的方式计算成本的多类 用户模型。因而，交通网络作为一般网络的特例，在这期间也得到很全面的 发展。对一般网络的研究，之所以迅速发展并取得相当完善的成果。要归因 于d a f e r m o s 的贡献 7 】，正是d a f e r m o s 把有限维变分不等式成功地运用于一般网 络的研究之中，使得我们能对抽象的网络给出定量的分析。从而，不论是一般 网络，还是其特例交通网络都在方法论上有了空前的进步。 我们所研究的具有弹性需求的交通网络均衡就是同每个起讫点对( o ，d 对) 之间的运输相联系的运输无效函数或运输需求函数是给定的【7 。为了达到均 衡，就需要对交通流量进行配流。而所谓的交通配流【8 】，就是知道一定的交通 需求量或给定的弹性需求模式，求出流量在网络上的分布格局。形象地说，就 是给定网络上总的交通需求量或需求模式，按照某种准则将这些流量分配到网 络上，从而使流量在网络上按照需要达到最优。 在最近十多年来，许多文章都讨论了网络均衡和变分不等式之间的密切 的联系【9 一1 1 。因而越来越多的入对运用变分不等式来研究网络均衡产生了浓 厚的兴趣 1 2 1 4 】。由于变分不等式和线性互补问题理论已取得了迅猛的发展， 网络均衡作为其运用对象，自然也得到了多方位的发展。这中既有研究交通 网络均衡的；也有研究其他网络均衡的。如出现了环境网络 1 5 1 8 、知识网 络 1 8 - 1 9 和金融均衡 2 0 2 h 等新型问题。就研究交通网络而言，既有对数量值 成本函数研究的，也有研究向量值成本函数的；既有对确定性交通网络进行研 究的，也有对随机均衡原理及其配流进行研究的 8 。 一2 一 四川大学硕士学位论文 目前，利用变分不等式理论研究网络均衡、分析模型已经成为与静态、动 态最优化理论并行交叉的有效途径之，在非对称的交通配流模型、组合模 型、动态交通分配模型等研究中有广泛的应用前景 2 2 】。 1 2 一般变分不等式及其与优化问题的等价性 变分不等式是描述一般系统均衡现象的有效数学工具 2 3 1 ，许多数学问题都 可以表示为一个变分不等式问题。如方程组问题、数学规划问题、互补问题、 不动点问题以及博弈问题等。优化问题就是在给定的约束集下，根据问题的实 际情况使目标函数极大或者极小化。常见的目标函数来自利润、成本、市场份 额和投资组合风险等。约束条件通常就是有限的预算、资源及变量的非负性 等。有限制和无限制条件的优化问题都可以转化为一个变分不等式问题。 定义1 2 1 设k 是霸维欧式空间冗n 中的一个闭凸集，f 是从x 到毋的一个连续函 数。那么，有限维变分不等式问题v i ( f ，) 就是确定一个z + r “。使得下式成 立 ( f ( z + ) ，z z + ) 0 v x k 优化问题与变分不等式之间的等价性可用如下两个命题来说明： 命题1 2 2 设矿是下列优化问题的一个解： 这里，是一个连续可微函数，k 是一非空闭、凸集。那么，z + 是下列变分不等式问 题的解： ( v f ( x ) ，z z + ) 0 比k 命题1 2 3 假设f ( x ) 是- - 个凸函数，那么定义1 2 1 中变分不等式问题的解也是 命题1 2 2 中优化问题的解。 1 3 一般网络基础知识 一般交通网络中，符号及含义如下【2 6 】： 一3 四川大学硕士学位论文 a 一网络有向弧( 即路段) 集合。 b 一产生运量的起始点集合。 f 一吸收运量的终讫点集合。 r s r r ，s f 表示一个起讫点对( o d 对) 。 w 一连接起始点和终讫点的所有路径的集合。 l k 。一连接o l d 对r s 的所有路径的集合，显然p 冬w 。 9 ，。一所研究的时段内从r 至 1 s 的交通需求量，r r ，8 f 。 9 一表示向量( ，9 。) ，r 冗，8 f 。 a r ，肛? 一表示运输网络中d d 对r s 之间的路径k 上的交通约束量( o a ? s p ? ) 。 a k ，胀一路径上的交通约束量，其值分别为，_ r f a r 和，咒。f z 3 。 a ，p 一分别表示向量( ，a ，) 和( ，肛? ，) 。 嚷。一o d 对r s 之间路径k 上的成本函数k i 诈。 伉一表示路径七上的流量的成本：c k = ，叽。fc ( h ) 7 。 d 一表示路径成本向量( ，q ，) 。 西一路径流量关联矩阵( ，垂”，) ，r r ，s f 。 圣”表示向量( 一，圣? ，) ，惫职。，r r ，s f 。 圣：8 一当路径k 么时，其值为l ；否则，其值为0 。 ? 一o d 对r s 之间路径k 上的流量，r r ，s f 。 k 一表示路径上的流量：h k = ，甑。f 危? 。 表示向量( 一， ，- - ) ，v k w ，r 。，r r ，s f 。 采用以上的符号，最初的用户能接受统一调度的一般交通网络的系统最优 问题可表示成如下的数学规划问题【6 】： r a i n z ( h ) =m i n c k ( h ) h , 一d 一 四川大学硕士学位论文 昭= 虬，v r r ，s f w w f 0 ，v k 。，r r ，s f 这里z 是整个网络的运输总成本。根据命题1 2 1 和命题1 2 2 。这个问题有一个等 价条件： v z ( h + ) ，h 一h ) 0 v h + e k 这个问题经过许多科研人员的不懈努力，已经有相当完善的结果。目前，一般 要考虑的流量h 是一个m 维的行向量，这里m 表示w 中元素的个数，即所考虑网 络所有路径的条数。可行流量必须满足如下的约束及守恒条件 ”= 虬，v r 兄，s f - k a ? h ? 肛r 8 ，v k ，r 。，r r ，s f 如果用路径流量矩阵来表示，可行流量的集合可表示为 k = r ”i 西 = 9 ，a h s p ) 其中空矗= ( ，；昭， 以下我们都假设非空， ) = ( 一，班。，) = g 从而不难得出k 是非空闭凸集。 一5 四川大学硕士学位论文 第二章相关流量的网络均衡 2 1 均衡原理及其等价描述 用户均衡原理就是在均衡点，在连接每个o d 对r s 之间的所有被使用路 径上有相同的成本，且小于或等于任何未被使用的路径上的成本。用g ( ) 表示 从到，p 的连续成本函数向量，则均衡原理可用数学语言叙述为： c ? ( ) 吩( ) 寺峪= 心r 8 或n 唧r s = 帽 对任意o d 对r s 及任意a ，p 坼。都成立。在文章 2 7 1 中给出了如下的均衡流的 定义： 定义2 1 1 一个可行流量h k , q 做一个均衡流，当且仅当 事实上，有下列引理 ( e ( 是) ，h + 一h ) 芝0 v h + k 引理2 1 2 设k 是可行流量的集合，h + k 。则下列两个叙述是等价的 ( i ) ( g ( ) ，一h ) 兰0 v ，k ( i i ) 对任意o d 对r s ，及任意，卢p 有 c ? ( ) c 7 ( ) = h y = 卢。r s 或n 唧r 8 = a 矿 证明：( 1 ) ( i ) 辛( i i ) 在( i ) 成立的条件下，如果( i i ) 不成立。那么，一定存在某个o d 对r s 及两条路径q 仉么。使得以下三式 c 1 3 ( h ) 昭( ) ? 挂 一6 一 四川大学硕士学位论文 同时成立。于是，令 定义向量，如下： 那么，因为 以及 所以 同理 6 = r a i n 心一曙，峪一峪) k a ，p “u r s k 坼。 k k 。 a ? 7 0 ? + 5 = 丘8 丘8 = ，g + j ? + 心一h ? = 心 a ? 冬尼3 p ? a 矿巧3 p 矿 从而易知a f 卢。且当删r s 时，( 中，) 。= 帆。尼”= 妊肌。 ? = 。而当伽= r 5 时， ( a 2 f ) 。= ( 圣，) ，。 = 妊阱。口 = k 。，。，口伊+ 口+ = 阱。，。，p 铲+ 昭+ d + 嗲一d = 阱。帽 = ( 垂h ) ，。 = g f 8 = 9 u 7 一 四川大学硕士学位论文 所以，中，= 9 于是，是一个可行流量，即，k 。但 ( g ( ) ，一h ) = k 。w 。r ，。f 。，。g ( ) ( 定”一 ) + 嘶。，。，p 印( ) ( 俨一 ) + c ? ( ) ( 口一7 露) + c ；r ( ) ( 伊一峪) = 昭( 忍) 一帽) + 叼( ) ( 伊一旧) = 6 g 岔( ) 一j c 岔( ) 0 这与已知对任意，k 都有( g ( ) ，一h ) 0 相矛盾。所以，在( i ) 成立时 ( i i ) 也成立。 ( 2 ) ( i i ) 寺( i ) 如果( i i ) 成立，对于r r ，s f 令 a = 血w 。j ? a 孑) 因为( i i ) 成立，所以当c ? ( 危) 昭( ) 时，有 ? ( ) = p ? 或九孑= a ? 成立。 反过来，对任意o l a ，b ，都有c g ( h ) c 穿( ) 时，成立。故存在实数使 得 s u p 第( 九) 刚i n fc 2 ( h ) z e ba t 因而，当日肌。时，g 矿( ) * 。可以断定口车a 。这是因为口 a 有c g ( h ) ，这与卵( ) 0 ，使得 h + = p ( + 一7 c ( h + ) ) 9 铲哺f 畦 r 畦童挺 而从 ， 四川大学硕士学位论文 引理2 1 5x 是一b a n a c h 空间。映象a ：x x 满足条件 a x a y l i 圣( 1 l x y l f ) ，比，y x 其中圣：【0 ，o 。) 一【0 ，o o ) ，使得v o ，都有圣( ) 0 ，使得 h i = p k ( h i o c i ( h l ，) ) 成立。同样可知，存在口 0 ，使得 h 2 = n ( h e 一卢( h i ，) ) 成立。 2 3 均衡的存在性和唯一性 在讨论相关均衡流的存在和唯一性之前。先定义一个从乘积空间胛 j 到f o ，o o ) 的非负实函数- | 1 1 。对任意( z ，y ) 尼”r r ”，规定 ( z ，y ) l l l = 恻i + 这里| | 是欧式空间通常的范数。如此规定之后，有 定理2 3 1 ( 尼“r m ，是一完备线性赋范空间。 证明 ( 1 ) 首先验证”1 1 是r “r ”上的范数。 显然，”1 1 1 满足范数定义中的第一、二两条性质。这里仅验证第三条性 质，不妨设( z 1 ，y 1 ) ，( x 2 ，2 ) 是r “彤“中的任意两点，那么， l l ( z l ，玑) + ( x 2 ，y 2 ) l h = l i 1 + x 2 ，y l + 掣2 ) 1 = i i x , + z 2 | | + i | 1 + 耽| | l i x l i | + i i x 2 1 i + i l g | | + j | 。| | = ( i i x l | j + i ，| | ) + ( 1 i 。2 | | + | | 口z 1 1 ) = i | ( z 1 ，y 1 ) lr l + i l ( z 2 ，y 2 ) l l l 故( 尼“r ”，”是一线性赋范空间。 ( 2 ) 证明( 驴r ”，是完备的。 一1 1 四川大学硕士学位论文 设 ( z 。，骱) ) 悬。是( 尼“胛，中的c a u c h y 序列，即对任意e 0 ，都存 在n 1 n ，使得 0 ( z 。，。) 一( x 。，孙。) l | 0 ，存 在2 n ，使得当m ，礼 n 2 时有 同时成立。故 x 。一z i | 0 ，k ( t ) 0 ，我们令圣( t ) ；k ( t ) ，t 显然西( t ) t 。由前 面的推算知 f ( x a ，y 1 ) 一f ( x 2 ，耽) i j l k ( j l ( 。1 一x 2 ，y l 一2 ) 1 1 1 ) i 扛1 3 ；2 ，y x 9 2 ) j | 1 si i ( z 1 一。2 ，9 1 一y 2 ) lj 1 = 圣( 1 l ( z 1 一z 2 ，可1 一o 2 ) l j l ) 根据引i t s l 2 1 5 可知f 在kxk 上有唯一不动点，不妨设( z o ，y o ) 是其唯一的不动 点。即 ( z o ，y o ) = f ( x o ，y o ) = ( f l ( z o ，u o ) ，易( z o ，u o ) ) 由f ( ，) 的定义可知存在正常数，y ，叩使得以下两式同时成立 日( 勖，y o ) = p u ( 勋一1 g ( x o ，u o ) ) 兄( 勖，y o ) = p k ( u o 日岛( 勖，y o ) ) 根据定理2 2 1 知( z o ，蜘) 就是k 中的一个相关均衡流。 我们给出了相关均衡的定义及其等价性描述，并在成本函数满足一定的条 件的时候，解决了相关均衡的存在性及唯一性问题。需要说明的是当定理中的0 i ，l i j ( i ，j = 1 ，2 ) 是常数函数的时候，由我们的结论可得出一些特殊的结果。 一1 8 一 参考文献 参考文献 【1 k n i g h t ，eh ，s o m ef a l l a c i e si nt h ei n t e r p r e t a t i o n so f s o c i a lc o s t s ，q u a r t e r l y j c n a lo j e c o n o m i c s ，3 8 ( 1 9 2 4 ) ，5 8 2 6 0 6 【2 w a r d r o p ，j g ，r e s e a r c hs o m e t h e o r e t i c a la s p e c t so fr o a dt r a f f i c ，i np r o c e e d i o f t h ei n s t i t u t eo f c i v i le n g i n e e r s ，p a r t i i ( 1 9 5 2 ) ，3 2 5 3 7 8 3 w a r d o p ，j g ，s o m et h e o r e t i c a lo fr o a dt r a f f i cr e s e a r c h ，p r o c e e d i n g so f i n s t i t u t eo f c i v i le n g i n e e r s v i ，p a r t2 ( 1 9 5 2 ) ，3 2 5 3 7 8 4 s a m u l s o n ，ea ，s p a t i a lp r i c ee q u i l i b r i u ma n dl i n e a rp r o g r a m m i n g ，a m e r i t e c o n o m i cr e v i e w ，4 2 ( 1 9 5 2 ) ，2 8 3 3 0 3 ， 【5 】b e c k m a n n ，m ，m c g u i r e ，c b ，a n dw i n s t e m ，c b ，s t u d i e si nt h ee c o n o m i c a t r a n s p o r t a t i o n m ，y a l eu n i v e r s i t yp r e s s ，n e wh a v e n ，c o n n e c t i c u t ( 1 9 5 6 ) 6 1d a f e r m o s ，s c ，a n ds p a r r o w , e t , t h et r a f f i ca s s i g n m e n tp r o b l e mf o ra 目 e r a ln e t w o r k ，j o u r n a lo fr e s e a r c ho ft h en a t i o n a lb u r e a uo fs t a n d a r d 7 3 b ( 1 9 6 9 ) 9 1 - 1 1 8 【7 】d a f e r m o s ，s ，t r a f f i ce q u i l i b r i u ma n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，t r a n s p o r t a t i o n5 e n c e ，1 4 ( 1 9 8 0 ) ，4 2 - 5 4 【8 】周晶，随机交通均衡配流模型及其等价的变分不等式问题，系统科学与 学2 3 ( 2 0 0 3 ) ，1 2 0 1 2 7 ， 【9 】b o r w e i n ，j m a n dd e m p t e am h ，t h el i n e a ro r d e rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m a t h o f o p e r a t i o n sr e s e a r c h ，1 4 ( 1 9 8 9 ) ，5 3 4 5 5 8 【l 饿c h e r t ，g ，y a n dy a n g ，x ，q , t h ev e c t o rc o m p l e m e n t a r yp r o b l e ma n di t se q u ： a l e n c e sw i t ht h ew e a km i n i m a le l e m e n ti no r d e r e ds p a c e s ，j m a t h a n a l a p , 1 5 3 ( 1 9 9 0 ) ，1 3 6 1 5 8 1 9 童查奎堕 11 】i s a c ，g ，c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e ma n dc o i n c i d e n c ee q u a t i o n so nc o v e xc o n e s ， b e l 拓t t m od e l l u n i o n em a t h e m a t i c ai t a