（计算数学专业论文）用分段线性化方法和线性化θ方法来解非线性的微分方程.pdf

摘要 文章分别用完全的和非完全的分段线性化方法和线性化口方法来解 非奇异的和奇异的非线性微分方程，并以p r o t h e r n 和r o b i n s o n 问题为例 研究了两种线性化方法在解这类问题时的稳定性，得到结论是对于这个问 题分段线性化方法是爿一稳定的，但不是s 一稳定的，而线性化口方法s 一稳 定的条件是去9 1 文章还给出了不同类型的数值例子，通过与其他方 二 法的对比来说明线性化方法的准确性的特点同时说明了各类线性化臼方 法与r o s e n b r o c k 方法的关系 文章还用二阶中心差商线性化口方法和四阶紧凑型线性化口方法来解 一维的反应一扩散方程，提出了一种三层的新的线性化目方法；然后利用 不同方法来近似7 a c o b i a n 矩阵得到各类不完全的线性化占方法；给出了 数值例子来对比不同的线性化矽方法的特点，以及同一方法中用不同的方 式来近似j a c o b i a n 矩阵对数值解准确度的影响 最后文章给出了一类可以得到分段连续解，分段可微解的非标准的线 性化目方法 关键词：分段线性化，线性化疗方法，非线性问题，有限差分 第1 页共4 0 页 a b s t r a c t f u l l ya n dp a r t i a lp i e c e w i s e 一1 i n e a r i z e dm e t h o d sa n d1 i n e a r i z e d 目一m e t h o d sa r eu s e dt os o l v et h er e g u l a ra n ds i n g u l a rn o n l i n e a r e q u a t i o n s ，a n dt h es t a b i l i t yo f t w os y s t e m sm e t h o d sf o r t h e p r o t h e r na n dr o b i n s o np r o b l e ma r er e s e a r c h e d i ti ss h o w nt h a t p i e c e w i s e l i n e a r i z e dm e t h o d sf o rt h ep r o t h e r na n dr o b i n s o np r o b l e m a r ea s t a b l e ，b u tn o ts s t a b l e ：w h i l et h el i n e a r i z e do - m e t h o d s a r es - s t a b l es of a ra s 0 1 a n da l lt h em e t h o d sd e s e r i b e da r e 2 a p p l i e d t ot h en u m e r i c a le x a m p l e s 1 i n e a r i z e d0 一m e t h o d sa n d r o s e n b r o c km e t h o d sa r ec o m p a r e d c e n t e r e dd i f f e r e n c e 0 一m e t h o d s ，c o m p a c t d i f f e r e n c e o f f o u r - o r d e ra c c u r a c y 护一m e t h o d s ，a n dan e wt h r e e l e v e lo - m e t h o d s f o ro n ed i m e n s i o n a lr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sa r ep r e s e n t e d a n da 1 1k i n d so fp a r t i a l1 i n e a r i z e d 口一m e t h o d s w h i c hd e d u c e db y d i f f e r e n tw a y so fa p p r o x i m a t i n gt h ej a c o b i a nm a t r i xa r ep r e s e n t e d t h em e t h o d sa b o v e a r et e s t e da n d c o m p a r e db y as y s t e mo f r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s t ot h ee n d ，ak i n do fn o n s t a n d a r d1 i n e a r i z e d0 一m e t h o d s ，f r o m w h i c hw ec a ng e tp i e c e w i s ec o n t i n u o u sa n dp i e c e w i s ed i f f e r e n t i a b l e s o l u t i o n sf o rr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sa r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：p i e c e w i s e l i n e a r i z e dl i n e a r i z e d 0m e t h o d s n o n l i n e a rp r o b l e m f i n i t ed i f f e r e n c e 第2 页共4 0 页 第一章分段线性化方法和线性化曰方法概述 微分方程的解在数学意义上的存在性可以在非常一般的条件下得到 证明，这已经有许多重要的结论但从实际应用上来讲，人们需要的往往 并不是解在数学上的存在性，而是在我们所关心的某个定义范围内，对应 于某些特定的自变量的解的取值或是近似解，即微分方程在该范围中的数 值解 一些常微分方程的初值问题可以通过解析方法来得到准确解，但对一 些不能得到解析解的问题我们是通过数值方法来得到近似解在这些方法 中一般分为一步法和多步法，前者例如e u l e r 方法、口方法、r u n g e k u t t a 方法等；后者包括a d a m s - b a s f o r t h 方法本文将探讨用完全的和非完全的 分段线性化方法和线性化目方法来解奇异的和非奇异的非线性微分方程 初值问题和一维的反应一扩散方程的初边值问题 通过隐式方法得到非线性常微分方程的数值解时需要解非线性的代 数方程，这可能会影响迭代过程的收敛稳定性r o s e n b r o c k 在 1 中提出 了一些避免解非线性方程组的方法，这些方法通常被称为线性隐式的 r u n g e k u t t a 方法( 或改进的r u n g e k u t t a 方法) 这些方法中每一个时 间步长要计算一个j a c o b i a n 矩阵，这个需要一个庞大的计算量，为了避 免这个大计算量s t e i h a n g 和w o l f b r a n d t 在 2 中提出了一系列的方法 来近似这个7 a c o b i a n 矩阵，我们通常称这些方法为w 方法 在近十年来j i r a m o s 和c m g a r c i a l o p e z 提出了分段线性化方 法和线性化目方法 1 8 来解非线性的常微分方程( 组) 通过把非线性项 关于前一时间步长线性化来实现，同时通过不同的方法来近似j a c o b i a n 篦3 贾其4 0 匿 矩阵来引进完全的、三角的、对角的分段线性化方法和线性化口方法 在文章 5 中作者把非奇异的常微分方程的非线性项用t a y l o r 展开来 近似，实现线性化导出了完全线性化的目方法，这种方法是隐式的，但得 到的是一个显式的解，而且这种方法是4 一稳定的但是这种方法对计算 速度和计算机的存储要求很高，因为一般需要计算稠密的矩阵的逆，而且 当口从0 5 开始减小时，格式的精确度会降低很多 在文章 3 中作者用分段线性化方法来解l o g i s t i c 方程，得到个差 分格式，这个差分格式是线性稳定的而且具有保持定点的特征文章把对 于l o g i s t i c 方程的几种不同方法：e u l e r 向前方法、t a y l o r 方法、c e r t a i n e 方法、a d o m i n i a n 分解方法与分段线性化方法进行了对比：分段线性化方 法是基于把0 ，r ) 线性化得到线性常微分方程，从而得到分段的解析解； 而向前的e u l e r 方法经常是得到一个从t 。n t 。积分式，然后利用插值来 逼近，0 ，t ) ，从而通过积分来得到差分格式文章还通过在t a y l o r 时保留 更多的项得到了更高精度的分段线性化方法 在文章 4 中，作者用线性化8 方法来解l o g i s t i c 方程，得到一个显 式的解，这个解是关于前一时间段得到的解、时间步长和参数目的函数， 得到了一些关于定点和线性稳定性的特征 在文章 6 中，作者以非线性问题d u d t = ，0 ) ，“( 0 ) = ，“e 婀“，fs 婀”为 例讨论了线性化方法的一些特征这两种方法对守恒性问题不是保持能量 守恒的文章还得到了分段线性方法误差的表达式，以及通过迭代的方法 来减小误差的方法 文章 9 提出了二阶非线性奇异的常微分初值问题的线性化方法这种 方法得到了常系数的常微分方程，然后通过积分得到分段解析解文章通 第4 百其4 0 贾 过这种方法得到的解与齐次的、非齐次，线性、分线性的l a n e e m d e n 的 准确的渐进的解的比较得到这种方法的准确度情况分段线性化方法即使 在解的奇点和零点也能得到较好准确性的解，事实上分段线性化方法可以 得到比那些基于摄动的方法更好的解，而且这种方法的准确度依赖于问题 方法的非线性程度，而可能不是关于步长是单调的 文章 1 0 把线性化方法应用于经典和量子力学的一些模型：非线性 d u f f i n g 方程，l a n e e m d e n 方程，散射长度计算问题这解决这些问题过 程中可知即使对一些高度奇异的问题线性化方法也能得到一些比较精确 的解，但这些问题是无法用一些基于摄动的方法所无法解决的而且如果 采用变步长的线性化的方法，这些步长可以根据解来自行调整，这样可以 大大提高解的准确性 线性化o n 法也可以被用来解决一些非线性的偏微分方程问题，以 反应一扩散方程为例，在很多文章 1 3 卜 2 1 被作为研究的对象在文章e t 8 中，把线性化目方法用于解决一维的反应一扩散方程得到了完全的，对角 的，上、下三角的线性化口方法，把这些方法得到的解和用隐式的完全线 性化的迭代方法e 2 2 j 得到的解进行了误差比较，显示了前者的明显优势 这些方法的一般过程是，利用臼方法，同时离散时间变量，然后把非线性 项线性化，最后利用不同的离散方法去离散空间项当然有的时候为了特 殊的需要，不再离散空间项，得到非标准的差分格式，得到一些分段连续 或者分段可微的解 1 6 、 2 0 、 2 1 对于多维的反应一扩散问题也同样可 以使用线性化口方法解决，当然要通过不同a d i 方法或分离算子方法 ( o p e r a t o r s p l i t t i n g ) 可以把多维的问题转化为一维的问题 第5 页共4 0 页 第二章分段线性化方法和线性化o t q 法解常微分方程 的初值问题 第一节分段线性化方法 1 用分段线形化方法解非奇异问题 考虑以下常微分方程初值问题 罢= ， 。， ( 2 1 1 ) ( 0 ) = ， ( 2 1 2 ) 其中f 为自变量，“为应变量，o ，“) 是关于f ，“的非线性函数，而且在，= 0 处可能奇异 考虑区问( o ，r ) ，把它分割成子区间( f 。】，f 。= 0 在原问题中，如果 o ，“) 在，。处是非奇异的，( ，“) 在点“，) 处t a y l o r 展开，取前两项得到 i d u = ，。) + j 。一) + r 。- t ) ，t n 一 ( 2 1 - 3 ) “o 。) = ， ( 2 1 4 ) 其中，：罢，r ：娑这是一个线性常微分方程，可以得到其解析解 d “d f “) = z n + 毒i + ) ( e 冲( f - - t ) ) _ 1 ) 一o _ ) ，s r 鲥。，c z s ， 其中兀= o 。，) ，以= ，o 。，“。) ，l = r o 。，“。) 令扛f 。_ 。，得到 ，硼+ 去( 六+ 习( e x p 吣) _ 1 ) 一 汜， 2 用分段线形化方法解奇异问题 如果几，“) 在f 。处奇异，把原问题中醚j f ( t ，“) 在点( f 。，“。) 处t a y l o r 展 开得到 害= 。，) + ，以。一) + r 以。一k ：) ， “o 。) = ， 问题的解可以表示为 ，碣+ 古h 一玉j o + , j k 蛾卜1 ) _ ， 0 r t n “， ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 其中：| + ，= 厂( f 。，“。) ，。= ，( f 。，“。) ，l + ，= r ( f 。，) 由以上近似可知的得到的格式关于血。是一阶精度的，可以通过 t n + 2 j 处t a y l o r 展开得到二阶的精度的如下格式 ，鸹+ 去h ：一等等+ 东卜蝇- 1 ) 一鲁缸。c z - 。， 其中六m = ，e n + i 2 “。) ，j 。v ：= t ，t n + i 2 “。) ，l 小= r e n + i 2 ，u n ) 3 可变步长的分段线性化方法 上面方法得到分段解析解中需要计算矩阵的指数，如果利用 c a y l e y h a m i i t o n 定理来计算，将出现大量的计算为了降低计算量经常 采用对角阵去近似原矩阵，或者利用p a d e 逼近来近似原矩阵其实为了 避免矩阵指数的计算可以把线性化的方程的解设成幂级数的形式，即 “( ，) = 二。q e 一，。) ，f p 。，+ ， ，把它代入线性化后的方程，比较( ，一，。) 同 次幂的系数可得 d 02 “ a l = 六， 2 口2 = 以口l + l ， j a j = j a 卜i ，y = 3 , 4 要使幂级数收敛的条件是满足 第7 页共4 0 页 ；m 垆s u 一踟“ 由以上可知只要满足 i k 阻。 0 ，使得对任何 ( o ) 和任 何ze 矗= # s c ：0 r e ( - z ) z + ，有k 川 忙0 时这种数值方法是s 一稳定 的而且在文章 1 2 中已经得到以上条件满足当且仅当 ( 1 ) 陋 1 ，z e 足( 2 3 1 0 ) ( 2 ) 铂枷上是嘲有界的 ( 2 3 1 1 ) 对于以上方法满足r 七) 0 ，觚1 ) 满足旭当r 七) 趋向于零时端 的极限不是有限的，故条件( 2 ) 不满足因此分段线性化方法对 p r o t h e r n r o b i n s o n 问题不是s 一稳定的 第1 2 页共4 0 页 2 线性化目方法的稳定性 对p r o t h e r n - r o b i n s o n 问题应用线性化台方法得到 ( 1 一a , e ) y 。= + 肋( 1 一口渺，+ h o s x 。) 一砑g 。) 】+ ( 1 一目妇g 。) 一幻g ，) 】( 2 3 1 1 ) 把g g 。) 在t 处t a y l o r 展开得到 0 一肋曰) 陟，+ 。一y ，) = h x c v ，一g g ，) ) + g g ，) 】+ h 2 e ( - x g7 g ，) + g ”g ，) ) ( 2 3 1 2 ) 可以改写成 y ，+ ，一g g 。) = fl + 丁二笺b 】”+ i 专万【- 饴b ) + ( 1 一砌口k o ，) + 融”如) 】一g g 。) ( 2 3 1 3 ) 从而得到 气。= ( + 南) s ，埘( 南一护舌电，x 。】 ( 2 。，4 ) 其中荆= 掣小而z ，蒯= 厅( 南一护鼢 要满足第一个条件，即卜高得到 0 ，使得对任何 ze r = 仁c ：o r e ( - z ) z ) ( 2 3 1 6 ) 满足1 - 2 0 。是满足的但若口 丢时 第1 3 页共4 0 页 以上条件当r e ( z ) 趋向于零时可能就不满足了，除非r e o ) = d 2j 而由以 上不等式可知 ( 1 2 e ) r 4 - z ) 2 2 r e ( - z ) + ( 1 2 8 ) i m ( - z ) 2 0 ( 2 3 1 7 ) 以上不等榄在以( _ 压，。卜心，压为半径的圆椭且口 ； 时成立 综上所述，分段线性化方法是4 一稳定的，但不是s 一稳定的，而线性 9 0 2 r 法s 一稳定的条件是三曰1 事实上，对于p r o t h e r n r o b i n s o n 问 题即使时间步长取得较大也能得到比较准确的结果 第四节完全线性化的目方法与r o s e n b r o c k 方法的关系 考虑非线性的常微分方程 “，= ，q ，t ) ( 2 4 1 ) 利用r u n g e - k u t t a 方法解以上方程得 其中 “川= “”+ i 6 ，吒， ( 2 4 2 ) 阵l u 矿“”+ a u j ( 2 4 3 ) 峨，= 厂i ”+ q t ，虬，) 一k j ”艺一k 7 ，g ”， ( 2 4 4 ) j = l r o s e n b r o c k 方法对应着 j - 1 i 口，= ，一= ( 2 4 5 ) j = a j = i 则( 2 4 4 ) 式变成 其中 ( s + l d ”蜘e ，= g 一 ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) g 。，：，( f ”+ ，u 。，) 一材”艺u j 一y ，g 一 ( 2 4 8 ) ，= 1 ，为n x 的单位矩阵 由( 2 4 2 ) ，( 2 4 7 ) 式可知 a n + l ：“n + 主6 ，( ，+ u ”h ) _ 1 g ， ( 2 4 9 ) 而对于问题( 2 4 1 ) 应用完全线性化0 方法可以得到 第1 5 页共4 0 页 “”+ l = ”“+ 女( ，一七& ，”r 1 ( ，6 n u n ) 一日嘧”) ( 2 4 1 0 ) 可以看出当s = 1 ，= 口，口，= 0 ，甜。= 0 ，对，= l ，2 ，i 一1 ，= 0 时，( 2 4 1 0 ) 式对应着( 2 4 9 ) 式因此线性化口方法属于r o s e n b r o c k 方法的故一阶 的r o s e n b r o c k 方法的稳定性保证了完全线性化口方法的稳定性 第1 6 页共4 0 页 第五节数值例子( 一) 例1 ：考虑问题 “= - g u “e ) ，( o ) = 1 ( 2 5 1 ) 以上方程有解析解 “o ) = ( 1 + ( m 1 ) ) 一”_ 1 ( 2 5 2 ) 利用这个问题来验证本文中的线性化方法的准确性取m = 6 ，g = 1 ，取 步长为0 0 0 0 1 ，0 0 0 1 ，0 o l ，0 1 所得的解如下图从图中可以发现取不 同的步长时，所得的数值解几乎是相等的当f = 5 时问题的准确解是 0 5 2 1 2 0 1 0 7 4 1 ，对于以上四种步长得到的数值解分别是0 5 2 1 2 0 1 1 0 8 3 ， 0 5 2 1 2 0 1 1 2 7 5 ，0 5 2 1 2 0 3 0 7 6 1 ，0 5 2 1 4 3 5 3 2 5 3 与准确解相比分别是从小 数点后第7 ，7 ，6 ，4 位可是不同由此可知当取比0 0 0 1 更小的步长无 助于提高数值解的准确性 ( 图中实线，虚线，十字虚线，十字线分别对应着步长0 0 0 0 1 ，00 0 1 ，0 o l ，0 i ) 例2 ：考虑非线性的l a n e e m d e n 方程 第1 7 页共4 0 页 y ”十三y + y 。= 0 ，( 2 5 3 ) 耳 y ( 0 ) = 1 ，y ( o ) = 0 ，0 口 2 的值y o ) 的绝对误差以一个比0 ) 的绝对误差更小的速率递增 如果令儿b 。) 一y 。= c a x 4 ，则从图中可以知p = 1 但是对一个非奇异 的初值问题，对于线性化格式如果t a y l o r 展开得到的精度应该是a x 2 ，由 此可见当把线性化方法用于解决奇异的初值问题时其准确度就下降了 第2 0 页共4 0 页 第三章用线性化秒方法解一维的反应一扩散方程 考虑维的反应扩散的初值边界问题 “，= “。+ s 6 ) ， ( 3 1 1 ) “( x ，o ) = “o ( x ) ，0 x s l ， ( 3 1 2 ) 甜( 0 ，f ) = 口( f ) ，“( 三，f ) = ( f ) ，0 t ， ( 3 1 3 ) 其中“e 辨”，& ) e 孵“是一个关于“的非线性函数 由于问题的非线性不能得到解析解，只能得到近似解下面利用线性化 口方法来解以上问题 设时间步长k = ，。一，。，离散时间变量得 垡之竺= 跣= 1 + o 一口皿二十o “) + o 一护) 厂o ”) ， ( 3 1 4 ) a ”= 女必：十 “三+ 女0 ”1 ) + 膏0 一目沙0 ”) ， ( 3 1 5 ) 其中 = “”1 一“”，0 0 0 时，以上方程的解为 硝：一s i n 眈：) 十占c 。s 似z ) + 要， ( 4 1 4 ) 其中a j ，b ，由下条件确定 0 = 一 。) = 2 。， ( 4 1 5 ) 0 = ，) = 笛 ( 4 1 6 ) g = o ) = 笃 ( 4 1 7 ) 由( 4 1 5 ) 、( 4 1 6 ) 、( 4 1 7 ) 可得 加而杀葡hc o s 机一a ? _ , c o s 2 , h , - 暑( c o s 讥一s 丑囊) ) ，c 4 瑚， e = 笛一暑 ( 4 - 1 9 ) 从而得到一个线性的有限差分格式 一笆一，s i n 工，厅，+ 雀s i n 旯，o ，+ 向，一1 ) 一笛+ ls i n h = 导( s i n q ，+ 一一，) 一s i n 2 , h ，- s i n 2 , h 。) ， ( 4 1 1 0 ) ，0 i 其中h ，= h 。一g 。= g ( x ，) 由以上差分格式得到越的值，把这些值代入方程( 4 1 4 ) ，在区间 k 。，一+ 】得到岔= “一“”，这种分段连续的线性化口方法给出了每个区间 h 。，k 】 中的解析解，但是这个解在k ，和h 。处是不可微的 当五2 0 时情况类似 第3 3 页共4 0 页 第二节分段可微解线性化口方法( 一) 如果把方程( 3 1 6 ) 在区间= k ，h 。】，0 - x , 三中绕着点一线性化得 到的方程也可写成( 4 1 4 ) ，只是满足 g = h i ) = 拦+ l ， ( 4 + 2 1 ) 硝o = o ) = 衅 ( 4 2 2 ) 解得 铲赤h 一专(cosx,h,-i)，la：cosaih, ，q z 。， 铲赤卜一+ 季( c 0 8 ， 2 。 日= 越一导 ( 4 2 4 利用区间j ，和。内_ 处，解的关于x 的一阶导数的连续性可以得到 以下差分格式 叠i 一( 叠i + 南) 笆+ 南 g h 丑。- ls i n 五，一l h 。 对阮曩j l ，上式简化为 ( 1 - c o s , z , 一t 扛一) + j _ i 蓦酉( 1 一c 。s 丑曩) ( 4 2 5 ) 鲁一b 毒 笛+ 缸= 盟 z 由以上差分格式得到的值，把这些值代入方程( 3 1 6 ) ，在区间 k 。，x 。】得到= “- - l n ，这种分段可微解的线性化口方法给出近似的分段 可微解，但是由这种方法在区间k ，x 。】得到的勰析解在_ 处不属于c 2 第3 4 页共4 0 页 第三节分段可微解线性化目方法( 二) 如果把方程( 3 1 6 ) 在区间，= b 。，z 。】，0 - x ，- l 中绕着点x ，。线性化 得到的方程也可写成 心+ 矾= c ( x 。) ， ( 4 3 1 ) 以上方程的解可以表示为 = a ，s i n 魄一) + b ，c o s “+ 。：) + 孚， ( 4 3 2 ) 只是满足 z = h i ) = 笃+ 。， 硝0 = o ) = q ( 4 3 3 ) ( 4 3 4 ) 蔺年，侍 小赤h 一帅s “ + 石g + i 唧扎) ，c 4 s s ， 马= 譬一孚 ( 4 3 6 ) - 也7 + 1 利用区间，和，。内一处，解的关- t - x 的一阶导数的连续性可以得到 以下差分格式 彘一( 去+ 南p + 鑫铂 = 瓦i 亲孑= ( 1 一c 。s - _ 一) + 志( 1 一c 。s 丑“ ) ( 4 3 - 7 ) 对l j l ，上式简化为 鲁一皓+ 班+ 杠= 盟笋- 。8 ， 第3 5 页共4 0 页 由以上差分格式得到衅的值，把这些值代入方程( 4 3 2 ) ，在区问 i ，h 。】得到硝= z ”1 一“”，这种分段可微解的线性化一方法给出近似的分段 可微解，但是由这种方法在区间b 。j 得到的解析解在_ 处不属于c 2 第3 6 页共4 0 页 参考文献 i h h r o s e n b r o s k ，s o m eg e n e r a li m p i c i tp r o c e s sf o rt h en u m e r i c a l s o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 r s t e i h a n ga n da w o l f b r a n d t ，a na t t e m p tt oa v o i de x a c t7 a c o b i a n a n dn o n l i n e a re q u a t i o n si nt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fs t i f f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，m a t h c o m p t 3 3 ：5 2 1 5 3 4 3 j i r a m o s ，ap i e c e w i s e t i m e l i n e a r i z e dm e h o df o rl o g i s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n a p p l m a t h c o m p u t 9 3 ( 1 9 9 8 ) 1 3 9 1 4 8 4 j i r a m o s ，m a p so fi m p l i c i t ，l i n e a r i z e do - m e t h o d sf o rt h et h e l o g i s t i cd i f f e r e n t i a le q u a ti o n ，a p p l m a t h c o m p u t 9 4 ( 1 9 9 8 ) 卜1 5 5 j i r a m o s ，c m g a r c i a l o p e z ，l i n e a r i z e do - m e t h o d si o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g r g 1 2 9 ( 1 9 9 6 ) 2 5 5 2 6 9 6 j i r a m o s ，l i n e a r i z e dm e t h o d s f o r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，a p p l m a t h c o m p u t 1 0 4 ( 1 9 9 9 ) 1 0 9 1 2 9 7 a p r o t h e r o ，a r o b i n s o n ，o nt h es t a b i t i t ya n da c c u r a c y o f o n e s t e pm e t h o d sf o rs o l v i n gs t i f fs y s t e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s m a t h c o m p u t 2 8 ( 1 2 5 ) ( 1 9 7 4 ) 1 4 5 1 6 2 8 j i r a m o s ，c m g a r c i a - l o p e z ，p i e c e w i s e 一1 i n e a r i z e dm e t h o d sf o r i n i t i a l v a l u ep r o b l e m s a p p l m a t h c o m p u t 8 2 ( 2 3 ) ( 1 9 9 7 ) 2 7 3 3 0 2 9 j i r a m o s l i n e a r i z a t i o nt e c h n i q u e sf o rs i n g u l a ri n i t i a l v a l u e p r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a p p l m a t h c o m p u t1 6 1 第3 7 页共4 0 页 ( 2 0 0 5 ) 5 2 5 5 4 2 1 0 j i r a m o s l i n e a r i z a t i o nm e t h o d si nc l a s s i c a la n dq u a n t u m m e c h a n i c s c o m p u t e rp h y s i c sc o m m u n i c a t i o n1 5 3 ( 2 0 0 3 ) 1 9 9 2 0 8 1 1 l f s h a m p i n e ，a w i t t as i m p l es t e ps i z es e l e c t i o na l g o r i t h m f o ro d ec o d es c o m p u t a p p l m a t h5 8 ( 1 9 9 5 ) 3 4 5 3 5 4 1 2 c m g a r c i a - l o p e z ，j i r a m o s ，s - s t a b i l i t yo fp i e c e w i s e li n e a r i z e da n dli n e a r i z e d 口一m e t h o d s t e c h n i c a lr e p o r tl c ci t i 9 9 0 5 ，d e p a r t a m e n t od el e n g u a j e sc i e n e i a sd el ac o m p u t a c i o n ， e t s i n g e n i e rl ai n f o r m a t i c a ，u n i v e r s i d a dd em a l a g a ，s p a i n 1 9 9 9 1 3 m e h d id e h g h a n ，t h r e e l e v e lt e c h n i q u e sf o ro n e d i m e n s i o n a l p a r a b o l i ce q u a t i o n w i t hn o n l i n e a ri n i t i a lc o n d i t i o n a p p l m a t h c o m p u t 1 5 1 ( 2 0 0 4 ) 5 6 7 5 7 9 1 4 j i r a m o s ，l i n e a r i z e df a c t o r i z a t i o nt e c h n i q u e sf o r m u l t i d i m e n s i o n a lr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s a p p lm a t h c o m p u t ，1 0 0 ( 1 9 9 9 ) 2 0 1 2 2 2 1 5 j i r a m o s ，h e r m i t i a no p e r a t o rm e t h o d sf o rr e a c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o n s n u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 3 ：2 4 1 2 8 7 ( 1 9 8 7 ) 1 6 c m g a r c i a l o p e z ，j i r a m o s ，n o n s t a n d a r df i n i t ed i f f e r e n c e e q u a t i o n sf o r o d e sa n dp d e sb a s e do np i e c e w i s e1 i n e a r i z a t i o n a p p l m a t h c o m p u t 8 6 ：1 卜3 6 ( 1 9 9 7 ) 1 7 c m g a r c i a l o p e z ，p i e c e w i s e l i n e a r i z e d a n dl i e a r i z e d 第3 8 页共4 0 页 o - m e t h o d sf o ro r d i n a r ya n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c o m p u t m a t ha p p l4 5 ( 2 0 0 3 ) 3 5 1 3 8 1 1 8 c m g a r c i a - l o p e z ，j i r a m o s ，l i n e a r i z e d 目- m e t h o d s p a r t i i ：r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g r g 1 3 7 ( 1 9 9 6 ) 3 5