（运筹学与控制论专业论文）相关重尾风险变量和（或加权和）的尾渐近性.pdf

摘要 摘要 自从上世纪6 0 年代以来，重尾分布已经在分支过程，排队论，风险理论包括 金融等领域中有了广泛的应用。特别地，重尾分布在保险领域有其特殊的地位。 在财产保险业中，重尾分布( 如次指数分布) 已经被认为是个体索赔额的标准模 型。因此人们有必要对“大额索赔”即重尾分布发生的规律进行研究，这对保险业的 发展具有重要的意义。同时，在早期的金融保险等研究中，总将对象视作独立同 分布的随机变量。而在实际情况中，它们之间往往存在某种相依关系，并不一定 独立。 本文仍然以重尾分布为研究对象，讨论了两个重尾随机变量加权和的尾渐近 性。全文共分四个部分： 第一章是重尾分布的介绍。介绍了重尾分布的定义及其子族，对重尾分布和 的研究进行了简单概述，并阐明了本论文的研究内容。 第二章在c o p u l a 函数方法下讨论了随机变量的加权和。文中介绍了c o p u l a 函 数的定义及功能，得到了两个同分布随机变量加权和的尾概率的渐近性质。 第三章主要讨论了正规变化重尾分布加权和的尾渐近性。得出了正规变化重 尾分布加权和的尾概率的渐近性质，并通过蒙特卡罗方法，对这个结果以及文献 3 6 】 中的另一个类似的结论进行了模拟。 最后一章，我们对本文讨论的内容进行了总结，并对以后的研究进行了展望。 关键词：重尾分布，c o p u l a 函数，正规变化，尾相关系数，蒙特卡罗 a b s t r a c t a b s t r a c t s i n c et h e19 6 0 s ，h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n sh a v eb e e nw i d e l yu s e di nb r a n c h i n g p r o c e s s e s ，q u e u e i n gt h e o r y , r i s kt h e o r yi n c l u d i n gi n s u r a n c ea n df i n a n c ea n do t h e rf i e l d s e s p e c i a l l y , h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n s a lev e r y i m p o r t a n tt oi n s u r a n c e f o re s t a t e i n s u r a n c e ，h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n s ，s u c ha ss u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，h a v eb e e n r e g a r d e da ss t a n d a r dm o d e lf o ri n d i v i d u a lc o u n t e r c l a i m c o n s e q u e n t l y , i ti se s s e n t i a lt o s t u d yi t sc h a r a c t e r i s t i c sa n di sh e l pt oi n s u r a n c e sp r o g r e s s i nt h ee a r l yr e s e a r c h e so n i n s u r a n c ea n df i n a n c e ，t h e o b j e c t sw e r es u p p o s e dt ob ei n d e p e n d e n t ，i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s h o w e v e r , i nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，t h e r em a ye x i s t s o m ed e p e n d e n c ea m o n gt h e s er a n d o mv a r i a b l e s a n dt h e ym a yn o tb ei n d e p e n d e n t i nt h i sp a p e r , w es t i l lr e g a r dt h eh e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n sa st h em a i no b i e c ta n d d i s c u s st a i la s y m p t o t i c sf o rt h ew e i g h t e ds u mo ft w oh e a v y - t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e s i tc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r sa sf o l l o w s ： c h a p t e r 1i n t r o d u c e st h en o t i o n sa n ds u b c l a s s e s o fh e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o n ， s u m m a r i z e ss o m er e s u l t sr e g a r d i n gt h es u mo fh e a v y - t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e s ，a n d e l u c i d a t e sw h a tw ew i l lr e s e a r c hi nt h ep a p e r c h a p t e r2d i s c u s s e st h ew e i g h t e ds u mo fr a n d o mv a r i a b l e sb yc o p u l af u n c t i o n i n t h ep a p e rw ei n t r o d u c et h en o t i o n sa n df u n c t i o n so fc o p u l af u n c t i o n ，o b t a i ns o m e a s y m p t o t i c sf o rt h ew e i g h t e ds u mo ft w oi d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s c h a p t e r3m o s t l yd i s c u s s e st a i la s y m p t o t i c sf o rt h ew e i g h t e ds u mo f r e g u l a r l yv a r y i n g d i s t r i b u t i o n s w eo b t a i nap r o p e r t yo ft a i l p r o b a b i l i t i e so ft h ew e i g h t e ds u mo ft w o r e g u l a r l yv a r y i n gr a n d o mv a r i a b l e s ，s i m u l a t ei t sr e s u l ta n da n o t h e rr e s u l tr e f e rt o 3 6 ， u s i n gm o n t ec a r l o sw a y s i nt h el a s tc h a p t e r , w es u mu po u rc o n c l u s i o n s ，g i v ea p r o s p e c to fo u rs t u d yi nt h e f u t u r e k e y w o r d s ：h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n , c o p u l af u n c t i o n ，r e g u l a rv a r i a t i o n ，t a i ld e p e n d e n c e c o e 伍c i e n t ，m o n t ec a r l o i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 日期：弘哆年r 月7 t e t 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：堑耸导师签名：王垒盛 j 日期：加谚年f 月ve t 第一章绪论 1 1 重尾分布简介 1 1 1 引言 第一章绪论弟一早珀下匕 自从上个世纪6 0 年代以来，重尾分布已经在分支过程，排队论，随机游动， 风险理论，金融保险等领域有了广泛的应用。特别地，重尾分布在保险领域有其 特殊的地位。 选定一个保险公司，我们收集该公司的各次理赔额的历史数据进行分析，往 往会发现在财务保险业中有这样一个有趣的现象，即“占总次数2 0 的那些理赔的 数额之和大约刚好是公司理赔额的8 0 ”( 见e m b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) t 1 】) 。也就是说， 这样一种事件发生概率很小，但又会对保险及金融业造成重大影响( 有时是毁灭 性的) 。而重尾分布很好的刻画了这样一种事件。在财务保险业中，重尾分布( 如 次指数分布) 已经被认为是个体索赔额的标准模型【l 】。因此，人们有必要对“大额 索赔”即重尾分布发生的规律进行研究，这对保险业的发展具有重要的意义。这也 是本文以重尾分布为主要对象的原因。 1 1 2 重尾分布的定义及其子族 设随机变量( r 优) x 具有分布函数( d f ) p ( x ) = p ( x z ) 支撑在 o ，o o ) ，即 p ( o ) = 1 ，f ( x ) o ，x 0 。其尾分布记为f ( x ) = l - f ( x ) 。按照e m b r e c h t s 和 o m e y ( 1 9 8 4 ) 【2 】等文献的叫法， 定义1 1 如果非负随机变量x 不存在指数阶矩，即 = f e 髓d f ( x 1 = o o ， f i t 0 椰 7 则称d f f 或相应的m x 是重尾的( h e a v y - - t a i l e d ) ，记彤为重尾分布族【。反之， 如果存在t o 0 ，使得 眈吖= f p 甜卵( x ) o o ，0 0 c 0 f 1 以上这些分布都定义在 0 ，) 上。 对重尾分布族的研究从上个世纪3 0 年代就已经开始，如今已经在分支过程 ( b r a n c h i n gp r o c e s s e s ) 【3 。5 1 ，排队论( q u e u e i n gt h e o r y ) o 】及风险理论( r i s kt h e o r y ) 【1 ，1 1 。1 3 1 等领域中有了广泛的应用，为了满足这些领域的应用，人们对重尾分布族进 行了深入的研究，下面我们介绍一些比较重要的重尾分布子族： 1 夕族( l o n g - t a i l e d ) ：对一切y o ( 或等价地，对j ，= 1 ) 有 h m f ( x 一- y ) ：1 x - - - a 0 ，( 石) 2 9 族( d o m i n 觚t - t a i l e d ) ：对一切o 0 ：对任意的乡 0 ，有 2 第一章绪论 l i m 掣：，v 钞o x - + , o o ，( 石) 5 e r v ( 一o t ，一厣) 族，其中0 口 x 在保险数学中的实际背景为：如果置，置分别表示单个的索赔额，则 p ( 五+ + 以 石) 表示有n 个索赔额的总和大于某个x 的概率， p m a x ( x , ，x 。) x 表示在这n 个索赔额中有一个索赔额大于某个z 的概率，当 x 充分大时，这两者的概率是相等的。此说明在这n 次索赔中有一次索赔的额度是 非常大的，以致于其它的i 1 1 次索赔相对于这次索赔而言是微不足道的。当x l ，x 。 独立不同分布时，e ( x + + x 。 z ) 将由尾部最重的那个变量决定【l3 1 。这就是所 谓的大额索赔问题，即为极端事件的问题，这类问题在现实中有着很强的应用价 值。 电子科技火学硕+ 学位论文 在过去的几年里，关于随机变量( 加权) 和的研究越来越受到重视，也取得了很 多成果。下面将简单介绍一下这方面的研究所取得的一些结论。在此之前，为了 应用起来方便，我们对一些符号进行假设和说明： 设 鼍，n = l ，2 ) 表示独立同分布的随机序列，它们具有共同的分布函数 ( d f ) f ( x ) = i - f ( x ) = 尸( x x ) ，设随机权和 = 幺五，刀= 1 ，2 ， k = l 见，行= 1 ，2 ) 表示另一独立于 五，n = 1 ，2 ) 的非负随机序列；设其最大值和极大 值为： 群= 燃和m 。o = 燃霹 此外，由1 1 节对重尾分布族的分类可知，夕表示的是长尾分布族；9 为控 制变化分布族；少表示次指数分布族；而勿一。则表示的是正规变化族。并且满 足以下关系： 绕吨c pf 、c9cp ( 详见e m b r e c h t s 1 】) 。 对于非负随机序列( 以，胛= 1 ，2 ) ，如果f 历一。( 口 o ) ，只要随机序列 碱，n = 1 ，2 ) 满足某个合适的条件，r e s n i c k & w i l l e k e n s ( 1 9 9 1 ) t l s l i i l ! n j | 了如下关 系： p ( 包瓦 z ) 一尸( 包鼍 曲( 1 - 1 ) 但是，对于实际中的随机变量 以，n = l ，2 ) ，这个概率模型并不能直接应用。因 此，t a n g t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 ) 1 6 】对它进行了改进，设f 夕n 9 ，而 2 = 兀弓，江1 ，2 ， j = l ( 巧；f = l ，2 ，) 是一非负随机序列，得出了以下关系： p ( m 功一p ( o k x k x ) ，以- 1 ，2 ( 1 - 2 ) k = l 随后，t a n g & t s i t s i a s h v i l i 1 7 1 更进一步验证了当f e r v 时，( 1 2 ) 式成立。对范围 更广的情况，t a n g t s i t s i a s h v i l i 1 8 1 作了比较详细的研究，当f 夕时，存在常数 a ，6 ，0 x ) ( 1 - 4 ) 明显可以看出的是，条件( 1 3 ) 太苛刻，所以( 1 4 ) 也很难应用到实际当中。 相比较而言，在最近这方面的研究中，g o o v a e r t s ( 2 0 0 4 ) 1 9 1 得出的结论相比 上面的结论则更为具体： 定理1 1 如果d f f 历一。( 口 0 ) ，如果存在万 0 使得： e 够+ 子 x j p 【、丢限以 x j f ( 工) 善e 筇 ( 1 - 5 ) 对任意实数x ，设矿= m a x x ，0 ，下面的结果把定理1 1 推广到了无穷多个变量和 的情况。 定理1 2 如果d f f 勿一。( 口 0 ) ，如果下面的两个条件满足其中之一： 1 ) 0 口 0 ，使得畔砧 o o 和聊筇 o ，使得( 聊“) x j 万( x ) 荟e 够 ( 1 - 6 ) 由( 1 5 ) 和( 1 6 ) 式可以看出，以上定理可以直接进行数值计算，只需要满足所要求 的条件即可。w a n g & t a n g ( 2 0 0 6 ) 2 0 1 在此基础上作了更进一步的研究，简化了定 理1 1 和定理1 2 的条件，而且应用范围更广。w a n g t a n g ( 2 0 0 6 ) 2 1 】和g e l u k & n g ( 2 0 0 6 ) 【冽讨论的则是 鼍，以= 1 ，2 ) 为负相协随机序列的时候，随机权和及其 最大值尾概率的渐进性质。 在国内，关于这方面的研究也有很多，例如江涛推广了s g i b n e v 2 钾的结果， 他在次指数重尾这个大的范围内，推导出了随机部分和最大值的尾概率的一个渐 进等价公式。 以上所有的研究虽然都具有一定的理论和实用价值，但毕竟都是建立在 以，n = 1 ，2 ) 相互独立的前提下来讨论的。但是在现实当中，随机变量之间一般 都存在一定的相关性。比如在早期的保险风险研究中，人们总将对象( 如索赔额) 视作独立分布的随机变量。但在实际情况中，它们往往存在某种相依的关系。保 险中的大额索赔主要由飓风，洪水，地震或战争等引起，这些大额索赔往往不会 独立发生，而是受同一因素影响而连带发生；再如在股市中，由于一支股票的总 电子科技人学硕士学位论文 股本一定，因此这只股票的股东们所持的股票数既不可能相互独立，也不可能一 起增多或一起减少，而是你多我就少，或你少我就多。他们的股票数之间呈现出 负相依的关系。因此，独立性的假设太过严格，现实中绝对独立的情况几乎是不 可能的。所以，在相关性假设条件下的研究将更具有现实意义。 对于具有绝对连续边缘分布函数互，e 的风险变量五，五，当x 充分大，五，置 相关时，研究 p ( z + x 2 x ) ( 1 7 ) 的渐进性质，我们可以假设极限 c ：l i m r 一2 ( x ) 1 x - - + 0 0 f l ( x ) 存在( f l z 就是说，c 为正常数，当墨，五不同分布，墨较之五有更重的尾) 。而在 一些研究当中，主要考虑随机变量五，五是对称可交换的，当然也就是同分布的， 这个时候我们总是把它们共同的边缘分布定义为f 。特别是，如果五，置独立时， 在对墨，墨作出某种假设之后，会有下式成立： p ( 五+ 五，2 z ) 一2 p ( x , 功 或者更加一般的情况是， 对于某个d f o ，o o ) ， p ( 五+ 置 功d p ( x t x ) 这将是一个很有实用价值而值得去研究的问题。 对于墨，鼍同分布而言，m d e n u i t ( 1 9 9 9 ) 【2 5 】给出了一个随机变量( 加权) 和 的尾概率的控制范围，即：如果它们的联合分布函数能被限制在某个分布函数 g ( 五，恐) ( ，x 2 o ) 之内，则有如下关系： ，一i n f ( f + d 寻h 睾刊 p ( c l 五+ c 2 五 功1 一s u p g i y ，x - yl ( 1 - 8 ) y 0 qc 2 其中c l ，c 2 为任意正常数。对于随机变量( 加权) 和的尾概率，( 1 8 ) 式虽然不是严 格意义上的上、下界，但这个范围对任意x 0 都成立。在此基础上，作为对( 1 8 ) 的推广，c o s s e t t e 2 6 1 ，e m b r e c h t s & p u c c e t t i 2 7 】以及m e s f i o u i q u e s s y 2 8 1 分别讨论了 n 个随机变量的情形。 但是，这些并不是我们想要的结果，因为它们完全没有涉及到重尾的假设条 件。如果给重尾分布族进一步分类，或者确定五，置的具体相关结构，那么肯定会 得到一些更加清楚、具体的结果。 6 第一章绪论 众所周知，随机变量相互独立只是一种理想状态，而c o p u l a 函数【2 9 。o 】的概念 及其理论的完善则对相依机制的研究提出了新方向，使得许多统计学家、经济学 家、数学家对它的研究越来越感兴趣。c o p u l a 函数是将联合分布函数与其边缘分 布函数联系起来的一个函数，它只是一个刻画相依的无量刚的量( 详见第二章) 。 在最近几年，c o p u l a 函数也被应用到了随机变量和的讨论当中，并且起到了很重 要的作用。 如果给定两个风险变量五，噩的分布e ，e ，( 1 7 ) 式将有怎样的渐近性? 或者 对五，五的c o p u l a 函数进行怎样的假设时，( 1 7 ) 式的渐近性会有比较清晰、直观 的描述? 这成为了比较有实际意义的研究方向。 给定五，五的c o p u l a 函数模型( 如a r c h i m e d e a n 模型) ，j u r i & w u t h r i c h d i - 3 2 】 利用尾相关系数( 见第三章) ，得出7 ( 1 7 ) 的个极限结果。w u t h r i c h t 3 3 】和a 1 i n k 【3 4 】 又将这个结果进行了拓展，得到了更加精确的结论，s c h r n i d t s t a d t m u l l e r t 3 5 q b 也 涉及到了这方面的讨论。还有a s m u s s e n & r o j a s - n a n d a y p a t 3 6 】则假设随机变量 五，五服从对数正态分布，它们之间存在一个多维的高斯c o p u l a 函数，最后也给 出t ( 1 7 ) 的等价式( 第三章将对这个结论进行模拟) 。a l b r e c h e r & a s i n u s s e n 【3 7 】的 第三部分内容中，作者分别通过几种重要的c o p u l a 函数，对随机变量和( 或加权 和) 的尾渐近性作了详细的讨论，得出了一些渐近结果。 但是到目前为止，在变量置之间相关的前提下，对两个以上或无穷多个随机 变量和的讨论还很少。在以后的研究中，这将是我们重点研究的方向。 1 3 本论文的选题和研究内容 当风险变量同分布时，h a l b r e c h e r 在文献【纠j 中讨论了两个相关重尾风险变量 和的尾渐近性。得到的主要结果如下： 定理1 3 已知厂m 墨，置同分布且相互依赖，它们的联系函数c ( 口，6 ) 绝对连续 且存在一阶偏导c 4 ( 口，6 ) ：o c i ( a 一, b ) ，那么 警小r 纠掣f ( x 啦) ，( x ) b ) 、7 与此等价的是， 尸( 五+ 置 石) = 1 一r c 口( f ( x f 。1 ( 嵋) ) 声。 定理1 4 已知，m 墨，五同分布且相互依赖，它们的联系函数c ( a ，6 ) 绝对连续 7 电子科技大学硕士学位论文 且存在一阶偏导c a ( 口，6 ) ：o c - ( a , b ) ，为它们的分布函数且f 夕，那么 l i m i n f 型掣 1 + 乞( 1 ，1 ) - e b ( 0 ，1 ) x - - o o f ( x ) 一 7、7 定理1 5 已知，让五，置同分布且相互依赖，它们的联系函数c ( a ，6 ) 绝对连续 且存在二阶偏导a ，0 ) o ，v a 【o ，1 】，为它们的分布函数且f 乡，那么 l i i i l 型岽掣_ 1 + 吒( 1 ，1 ) - e b ( o ，1 )x - - - a o f ( x ) “7、7 推论1 6 在定理2 条件不变的情况下 1iminf：!：!：!掣；三。j(1，1)+1nlxci(1，1)，1。名(o，1)x-+oo f( z ) “7 、“ 7” = 2 一m i n 五，詈+ c b ( o ，1 ) 定理1 7 如果，。勇一。( 口 0 ) ，兄= 0 ，则j p ( 墨+ 五 z ) 2 f ( x ) ( x 专o o ) l ，一任、 ，、 ， 、， 在上述结论中，定理1 3 、1 4 和1 5 实际上是利用c o p u l a 函数的方法，讨论了 两个变量和的尾概率尸( 五+ 置 x ) 的极限性质。定理1 7 则研究的是正规变化重 尾分布和的性质，从它的表达式可以看出，只要尾相关系数等于0 ，我们很容易就 得出随机和尾概率的数值解。 本论文所要研究的内容就是在h a l b r e c h e r 和s a s m u s s e n ( 2 0 0 5 ) 3 7 】的结论基础 上，进一步讨论加权和 z = c l 五十岛置 的极限性质( 其中c l ，c 2 为正常数) ，得出了一些相应的结论。但是，本人后来发现 h a l b r e c h e r ，s a s m u s s e n & d k o r t s c h a k ( 2 0 0 6 ) 6 1 】讨论了随机变量不同分布时和的 渐近性，本文的推理3 4 就成了它的一种特殊情况( 文献 3 7 】和 6 1 1 同名) 。因此， 本文做了进一步的工作，在第三章本人首先对推理3 4 进行了仿真模拟；然后介绍 了a s m u s s e n & r o j a s - n a n d a y p a 3 6 】中关于对数正态分布随机和的讨论，同时也对其 中的结论进行了仿真模拟。 第二章基于c o p u l a 函数的随机变量加权利讨论 第二章基于c o p u l a 函数的随机变量加权和讨论 2 1c o p u l a 函数的定义及功能 2 1 1c o p u l a 函数的定义及基本性质 定义2 1 ( n e l s e n ，1 9 9 8 ) 3 0 1n 元c o p u l a 函数是指具有以下性质的函数c ： ( 1 ) c = i = o 1 】； ( 2 ) c 对它的每一个变量都是递增的； ( 3 ) c 的边缘分布c ( ) 满足：c o ( ) = g ( 1 ，1 ，1 ，1 ) = ，其中 “【o ，1 】，玎【1 ，】。 显然，若互( ) ，瓦( ) 是一元分布函数，u 。= f o ( x n ) 是一随机变量，则 c ( 互( 五) ，e ( ) ，瓦( h ) ) 是一个具有边缘分布函数互( ) ，目( ) 的多元分 布函数。 定理2 1 ( s k l a r 定理) 3 8 1 令，为具有边缘分布曩( ) ，日( ) 的联合分布函数， 那么，存在一个c o p u l a 函数c ，满足： f ( x i ，h ) = c ( 鼻( x 1 ) ，c ( 吒) ，目( h ) ) ( 2 1 ) 若互( ) ，目( ) 连续，则c 唯一确定；反之，若互( ) ，r ( ) 为一元分布， 另v - 由式( 2 1 ) 定义的函数f 是边缘分布曩( ) ，目( ) 的联合分布函数。 通过c o p u l a 函数c 的密度函数c 和边缘分布互( ) ，凡( ) ，可以方便地求出 n 元分布函数f ( _ ，- ，h ) 的密度函数【3 0 】： 厂( 五，吒，h ) = c ( 互( j c t ) ，只( ) ，日( h ) ) 兀( 吒) ( 2 2 ) 其中 c ( ，甜。，甜) = 里气妾詈裂 六( ) 是边缘分布e ( ) 的密度函数。 由此可见，c o p u l a 函数为求取联合分布函数提供了一条便捷的通道。 另外，s k l a r 定理的重要性还在于，它为我们提供了一条在不研究边缘分布的 情况下分析多元分布相依结构的途径。 例如：g u r n b e l 的l o g i s t i c 的二元分布为： 9 电子科技人学硕士学位论文 ，( _ ，屯) = ( 1 + g 。+ 已一却- i ，( 一，屯) r 2 它的边缘分布分别为： ，( 西) = ( 1 + e - x ) 一，( 而) = 1 + e - x ) 。1 令“，= ，( _ ) ，u 。= f ( 而) ，则 五2 f u ，) = 一l i l ( “i 1 - 1 ) ，而= ，u ：) = 一l n ( “；1 - 1 ) 相应的c o p u l a 函数为： c ( u ，“：) = ，( 一，吃) = f ( f u 。) ，f - 1 ( 1 1 2 ) ) = 1 + e x p 1 n ( “i 1 1 ) 1 + 唧 1 i l ( 甜；1 1 ) - i = ( “f 1 + u 2 一一1 ) _ - - u l 甜2 ( “l + z f 2 一“l “2 ) 一1 定义2 2 ( n e l s e n ，1 9 9 8 ) 3 0 1 若v ( “l ，“。，u j r ) i ， q ( “l ，u 。，u ，) - 2 时，c 一并不是一个c o p u l a 函数，这里引入这个概念的目 的是为了表述方便。 对任意的c o p u l a 函数c ，下面的式子都成立【3 9 】： c 一一 c c + 为直观起见，下面以二元c o p u l a 函数c ( u ，1 ，) 为例来说明c o p u l a 函数的基本 性质【3 9 】： 1 ) 对于变量u 和1 ，c ( u ，v 1 都是递增的；即若保持一个边缘分布不变，联 合分布将随着另一个边缘分布的增大而增大； 2 ) c ( 0 ，1 ，) = c ( u ，0 ) = o ，c ( 1 ，v ) = y ，c ( u ，1 ) = 扰；即只要有一个边缘分布的 发生概率为0 ，相应的联合分布的发生概率就为0 ；若有一个边缘分布的发生概率 为1 ，则联合分布由另一个边缘分布给出； 3 ) v ，“2 ，v l ，v 2 【o ，1 】，如果 x ) + p ( c 。五+ c 2 五 工，m a x ( c 。五，c 2 x 2 ) x ) = 1 一p ( m a 】【( q x i ，乞五) z ) 小p ( 五 x ) 1 + c 2 a c 6 ( 1 ，1 ) 一乞( o ，1 ) 】f h 。 ( x ) ” 证明：根据定理1 ，由f a t o u 引理和l h o p i t a l 法则，我们得到 l i mi n fp ( c i x l 2 c 2 x 2 x ) h 。 f ( z ) = l i m i n f x - - + c o l1 + r 71w q 一巳，攻等 f ( x ) f ( d z ) 狲脚缸丛一难， 1 5 叩r 与 、j 一 、_、三乞八j ， 一= 三乞 电子科技火学硕十学位论文 其中 小专n 咻。，卿f f ( x - - 碧c i z 凇， 黔f 掣掣n f 矧t , c l j 梨 ( 2 3 ) ，i m x - - i 。梨寸口科 协4 ， l 萼之上= r 二) = c 口f 2 4 ) f 一l， 觋剿i t “ 陆5 ， x _ i1 i 溉帮= 娥错卅陋6 ， 最后得： l i m i n f 工 s ( x ) 1 6 = c 2 州 刊万 二1镌雨 m 一乞 三乞一，x 制雨 m 第二章基于c o p u l a 函数的随机变量加权和讨论 缈f 笔产孙孙砟峥掣啦， _ 1 + 譬n ( ，( z ) ，1 卢( 出) c 2 “ 、 1 。 = l + c 2 口 c a ( 1 ，1 ) - c a ( o ，1 ) 】 2 3 本章小结 证毕。 本章首先对c o p u l a 函数的相关知识进行了介绍。c o p u l a 函数是将联合分布函 数与其边缘分布函数联系起来的一个函数，它是一个刻画随机变量相依的量。本章 通过c o p u l a 函数的方法，讨论了两个同分布重尾随机变量的加权和的尾渐近性， 得出了加权和尾概率的渐近性质。 1 7 电子科技火学硕士学位论文 第三章常用重尾分布的随机和的讨论 在保险业中，人们通常将正规变化型、对数正态型和w e i b u l l 型分布视为是最 具代表性的分布。这些分布在生存分析，可靠性分析，特别在局部破产概率的研 究中都有重要的应用，因此引起了人们的广泛关注和深入的研究。本文主要对前 两种分布进行讨论。 3 1 正规变化重尾分布加权和的讨论 3 1 1尾相关系数的定义 定义3 1 棚4 ( x ，】r ) r 是连续随机变量的向量，边缘分布函数分别为f ，g ，则 ( x ，) 丁的上尾相关系数为 乃：= 粤p ( 】， g 叫( u ) l x f _ ( “) ) 如果乃( o ，1 ，x ，】，称为上尾相关；如果乃= 0 ，x ，y 称为上尾独立。 乃：= l i 受p ( 】， f 叫( “) ) 2 擞p ( 】， z i x z ) 3 1 2 引理、定理及证明 引理3 1 五，五为同分布随机变量，且存在尾相关系数五0 ，m ，n 为常数， 则 1 ) 当0 胍) a j 、 j ， 2 ) 当0 n x ) 五 j 证明：令u ：麟， 第三章常用重尾分布的随机和的讨论 ，l i m p ( 置 撒i 五 舭) = ，l i m 。塑专群 ：l i m ! ! 圣三垡! 二! 孥! 圣型 “一p ( 五 u ) 当0 拧 m 时， 埭。l i m 。觜 当0 “) = 力 = l i m p ( x ： 甜l 墨 “) = 五 引理3 2 条件同引理3 1 ，c l ，c 2 为正常数，则 1 ) 当c l z ) ( 言 + c 一a ，i ( 言 2 ) 当c i c 2 时， p c i 五+ c ：置 x ，c t 一五，万( 言 + ( 言) 证明： p ( c l 五+ c 2 置 x ) p ( m a x ( q x , ，c ：置) z ) 2 p ( ( q x i 功u 【c 2 爿2 z ” = p f f , x , x ) + 尸( c 2 。砭 x ) 一p ( c ，墨 x ，c 2 置 x ) = 万( 言 + 万( 言 一p ( 墨 言l 五 x 乞l 万f x 乞) 结合引理3 1 即可得证。 定理3 3 f f , 矢l ：l f 兄( 口 0 ) ，设o 警) u ( p 和x 2 跏 = - ( 竿h 半h p8 _ q e x 玲詈 一尸f 五 ( 1 - 8 ) x ，x 2 塑1 一p f 五 垒，五 ( 1 - 8 ) x1 l c i c 2 l c lc 2 垃h f f ( ( 1 - a ) x ， + p ( p8xcl c 2c 1 如寄 l、，l c 2 一2 p f 五 o - 8 ) x ，五 ( 1 - 8 ) x1 l c ic 2 上面的第一个不等式通过图示很容易得到，第二个等式由多除少补原理可得。 因为e l 乞，根据引理3 1 ，可得 l i m s u p 丛! l 篓兰鱼墨三塑 x - + c l a f ry 、 竿 c tl v ( x ) 搿埘南+ 五乒= 铲+ 唾 p t ， 在0 万 0 ) ，五= 0 ，当x o o 时， p ( c l 五+ c 2 五 z ) 一( c ? + c ；) f ( x ) 由此可以看出，当c l = 巴= 1 时，p ( 五+ 五 x ) 一2 f 一( x ) ，此为a l b r e e h e r 3 7 1 3 1 3 模拟仿真 本节我们将对上面推论3 4 和另一个类似的重要结论【3 6 1 进行模拟，以检验它们 的正确性。 对于推论3 4 ，我们首先要找到一个服从正规变化重尾分布兄( 口 0 ) 的随机 变量，并确定它的尾部指数口；再通过蒙特卡罗方法，生成相应的随机数；然后 将随机数代入等价式，把相关数据列成表，观察当x 越来越大时，等价式是否趋于 成立? 3 1 3 1 正规变化重尾分布的构造 1 众所周知，设孝r ( 口，名) ，则r = 的分布称为逆g a m m a 分布。由于逆g a m m a 多 分布具有共轭性，在使用b a y e s 统计决策方法时，其先验分布和后验分布密度具 有相同的分布函数形式，因其使用方便，所以应用比较广泛。 根据正规变化重尾的定义，可以验证逆g a m m a 分布是正规变化重尾分布( 后 面将验证) 。下面，我们将构造一个逆g a m m a 分布去模拟验证推理3 4 。 首先，构造一个g a m m a 分布： 设随机向量( 巧，k ) 服从二维正态分布( o ，1 ；0 , 1 ；p ) ，它们的联合密度函数为： 2 l 电子科技大学硕士学位论文 m 隅) 2 司亏1e x p _ 高( y 1 2 - - 2 p y l y 2 + y 2 2 ) 】( 3 - 4 ) 相关系数ipl 0 为尾部指数，则 即，叫置叫= 尸工) = 1 _ p ( 争刁 斗尸( 一去 z 忑1 ) 斗2 尸( 。 o ) ，五= o 时， 溉掣：嫩祭e f q