（运筹学与控制论专业论文）凸化集与方向可微函数的近似广义海森矩阵.pdf

摘要 凸化集的概念最初是针对正齐次函数引入的，并规定其是一个凸紧集它能描述一 个正齐次函数的上凸和下凹近似，由于方向导数是正齐次函数，故在实际应用中，我们 一般用凸化集来讨论方向可微函数的方向导数随着认识的不断深入，人们将凸化集的 概念加以推广，将其应用到连续函数中，只限定其是一个闭集即可，丽不一定是凸集或 紧集由于凸化集越小就越能很好地描述一个函数，故又引入了极小凸化集的概念，但 寻找凸化集的极小问题和唯一性问题至今仍然未得到很好的解决本论文取得的主要结 果可概括如下t 1 第2 章由于拟可微函数是一类重要的非光滑函数，本文将凸化集的概念引入到拟可 微函数中进行讨论。得出了拟可微函数的凸化集关于线性运算是封闭的结论；构造 了拟可微函数的两个凸化集( 其中的一个比另一个要l j g ；拟可微函数取极大极小运 算仍然有凸化集，并给出了其运算公式 2 第3 章对于推广概念的凸化集，我们用其来研究拟凸函数与伪凸函数；各种运算法 则与极值性质被给出；具有等式约束与不等式约束的k _ t 充分条件被给出 3 第4 章基于实值函数凸化集的思想，对于方向可微函数又引入了近似广义海森阵的 概念，它是近似海森阵概念的一种推广，我们利用它推导出了连续方向可微函数的二 阶泰勒展式；关于近似广义海森阵的极小利用正贝4 性条件给出 关键词：凸化集；广义凸；广义单调；近似广义海森阵；方向可微 a b s t r a c t t h en o t i o no fc o n v e x i l i c a t o ri so r i g i n a l l yg i v e nf o rt h ep o s i t i v e l yh o m o g e n e o u s f u n c - t i o n s a n di ti sd e f i n e d8 sac o n v e xa n dc o m p a c ts e t i tc a nd e s c r i b et h eu p p e rc o n v e x a p p r o x i m a t i o n a n dl o w e rc o n c a v ea p p r o x i m a t i o no ft h ep o s i t i v e l yh o m o g e n e o u sf u n c t i o n s b e c a u s ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ei st h ep o s i t i v e l yh o m o g e n e o u sf u n c t i o n ，w ea p p l yt h ec o n - v e x i f i c a t o rt ot h ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo ft h ed i r e e t i o n a l l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o ni nt h e a p p l i c a t i o n w i t ht h ed e e p e rr e a l i z a t i o nt h en o t i o no fc o n v e x i f i c a t o ri se x t e n d e df o ra c o n t i n u o u sf u n c t i o na n di ti sd e f i n e d 船ac l o s e ds e ta n di ti sn o tn e c e s s a r i l yc o n v 6 xo r c o m p a c ts e t a st h es m a l l e rc o n v e x i f i c a t o rc a nd e s c r i b et h ef u n c t i o nb e t t e r ，s ot h en o - t i o no fm i n i m a lc o n v e ) d 丑c a t o ri 8i n t r o d u c e d b u tt h eq u e s t i o no ff i n d i n gc o n d i t i o n sf o r m i n i m a lc o n v e x i f i c a t o r so fac o n t i n u o u sf u n c t i o na n da l s oo fg u a r a n t e e i n gu n i q u e n e s so f m i n i m a lc o n y e x i l f i e a t o r sh a sr e m i n d e ds of a ro p e n t h em a i nr e s u l t s ，o b t a i n e di nt h i s d i s s e r t a t i o n ，m a yb es u m m a r i z e da sf c l l l o w s ： 1 c h a p t e r2 ，b e c a u s et h eq u a s i d i f f e t e n t i a b l ef u n e t i o ni sa ni m p o r t a n tc l a s so ft h en o n - s m o o t ha n a l y s i s 嘶d i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e st h ec o n v e x i f i c a t o rt ot h eq u a s i d i f f e r - e n t i a b l ef u n c t i o n t h ec o n c l u s i o nw ed r a wj 8t h a tt h ec o n v e x i f i c a t o r so fq u 鼬i d i f f e r - e n t i a b l ef u n c t i o n si sd o s e da b o u tl i n e a ro p e r a t i o n ；w ec o n s t r u c tt w oc o n v e x i f i c a t o r s f o rq u a s i d i f f e r e n t i a b l ef u n e t i o u s ( o n ei ss m a l l e rt h a nt h eo t h e r ) ；m i n i 出趣a n dm a x i - m i z i n gq u a s i d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n ss t i l la d m i tac o n v e x i f i c a t e r ，a n dt h e i ro p e r a t i o n a l f o r m u l a sa r eg i y e n 2 c h a p t e r3 ，i nt e r m so ft h eg e n e r a f i z e dc o n v e x i f i c a t o r ，w ep r e s e n tt h ec h a r a c t e r i z a - t i o no fp s e u d o c o n v e x i t ya n dq u a s i c o n v e x i t y ；k ts u f f i c i e n tc o n d i t i o nw i t he q u a l i t y a n di n e q u a f i t yc o n s t r a i n t si sp r e s e n t e d ，v a r i o u sc a l c u l u sr u l e sa n d e x t r e m a l i t ya b o u t c o n v e x i f i c a t o r s & r eg i v e n 3 c h a p t e r4 ，t h ed e f i n i t i o n so ft h eg e n s r a l i z e ds e c o n d - o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ea n d t h eu p p e ra n dl o w e ra p p r o x i m a t eg e n e r a l i z e dh e s s i a nm a t r i c e sa r ei n t r o d u c e d ；g e n - e r a l i z e dt a y l o r se x p a n s i o n sf o rd i r e c t i o n a l l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n sa r ep r e s e n t e db y u s i n ga p p r o x i m a t eg e n e r a l i z e dh e s s i a n ；w ep r e s e n tc o n d i t i o n si nt e r m so ft h es e to fe x - t r e m e p o i n t sf o rm i n i m a la n dt h eu n i q u em i n i m a la p p r o x i m a t eg e n e r a l i z e dh e s s i a n s ； s e v e r a lc a l c u l u sr u l e sa r eg i v e nf o rd i r e c t i o n a l l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n si nt e r m so f a p p r o x i m a t eg e n e r a l i z e dh e s s i a n 1 1 k e y w o r d s ：c o n v e x i f i c a t o r ；g e n e r a l i z e dc o n v e x i t y ；g e n e r a l i z e dm o n o t o n i c i t y ；a p p r o x - i m a t eg e n e r a l i z e dh e s s i a n ；d i r e c t i o n a l l yd i f f e r e n t i a b l e 1 1 1 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名日期 1 绪论 本章首先简要地介绍凸化集的产生背景及发展状况，极小凸化集的研 究状况，概述本文的研究内容以及取得的主要结果 1 1 凸化集的产生背景及其发展概况 非光滑分析或不可微分析与优化随着二战后运筹优化与控制变分问题) 的研究 与应用的迅速发展，在凸分析不断完善，极大值函数( 极大极小问题) 及l i p s c h i t z 函 数的微分性质与极值问题的研究不断深入的基础上，逐步形成了一个新的研究热点， 带来了7 0 年代集中地系统地广泛地研究与发展五六十年代较为有影响性与奠基性的 工作为凸分析，以f e n c h e l ，r o c k f e l l a r 等为代表 r o c l d e l l a r ( 1 9 7 0 ) ，极大极小问题，以 p s h e n i c h n y i ( 1 9 6 9 1 9 7 0 ) 和d e m y a n o v m a l o z e m o v ( 1 9 7 2 1 9 7 4 ) 等为代表，非光滑函数 ( 包括l i p s c h i t z 函数) 的极小化算法，以s h o r ( 1 9 7 4 - 1 9 8 0 ) 及p o l j a k ( 1 9 6 9 ) 等为代表 七十年代初c l a r k e ( 1 9 7 3 1 9 7 5 ) 关于l i p s c h i t z 函数微分学的研究取得了突破性的进展， 以l i p s c h i t z 函数为主的非光滑分析与优化已形成独立的研究领域，众多的欧美学者，尤 其是年轻学者，迅速地进入这领域的研究，很快地形成一个崭新的研究热点并很快地 将研究工作推向高潮，由前苏联学者的关于非光滑分析与优化的研究转入以美欧等国家 的学者关于l i p s c h i t z 函数的分析与优化的研究 非光滑的研究中凸函数是一类重要的函数，它所具有的一个重要性质是其局部极小 点是全局极小点 令q c 册是个开凸集，函数f ：q 一兄在q 上称为凸的，若 f ( o x l + ( 1 一a ) x 2 ) a ，( 9 1 ) d - ( 1 一n ) ，( 七2 ) ，h a l ，x 2 n ，v n f 0 ，l 】 每个凸函数在q 上是连续且 ，协；9 ) _ 。器褊( ”，g ) 口d r l 2 l 1 大连理工大学硬士学位论文，凸化集与方向可徽函数的近似广义海森矩阵 其中 a ，( z ) = r l f ( z ) 一f ( x ) ( 口，z z ) ，、白q ) 集合a ，( 。) 称为，在z 点的次微分，这个集合是非空的，凸的，闭有界的i ) f ( x ) 中 的任意元素称为，在点的次梯度由j 一j m o r e a u 与r t r o c k a f e l l a r 发现的次微分是 一个重大的突破，它使得函数的各种极值条件得到很好的研究但是在实际中有许多的 函数并不是凸函数，也找不到像次微分这样的集合例如令函数f ：舻一冗在开凸集 xcr ，譬x 肥潮= u m 霉$ u 丛掣# 托护掣型掣u a d f ( x ) = c d r “i j 。 ) ：z 。，z q ( ，) ， 一h m ，7 ( z t ) ) ， 其中q ( i ) 是一个满泓度集，其中，是可微的，集合o d f ( z ) 是，在点的c l a r k e 次微分，不等式 这隐含着 腑计= 蝉迎掣 a j o 船堑掣- ，们一口1 0n ”47 唑u p 丛掣= 肥，) a l o 砧( 。；g ) _ 。；血s a f ( x g ) ，疋( 叫g ) 2 艘嚣一9 ) 。占( 哪) ，协；9 琏慨m 删a x ( 咖) 上式表明c l a r k e 次微分可由相同的线性函数族 2 ( g ) = ( u ，g ) l v o a f ( x ) 2 ! 一生兰一 来构造方向导数，( 茁；g ) 的个上凸近似与下凹近似 现在产生的一个自然的问题是能够构造一个上凸近似与下凹近似的最好的线性函数 族是什么? 1 9 9 6 年v f d e m y a n o v 及v j e y a k u m a r 在 1 】中对于正齐次函数弓入了凸化集的概 念，即假设函数h ( g ) ：f p r 是阶正齐次函数，假定h 是连续的若存在一个凸紧 集口c 形使得 砸碧( ，9 ) h ( g ) o ! 驿扣，g ) m 即集合c 是函戴h 的上凸与下凹近似，则称这样的集合g 为函数h 的一个凸化 集它能表示函数的上凸和下凹近似，这个集合越小就越能很好地描述函数 若h 在集合c = 妇卵圳= 1 ，是有界的，尉凸化榘的存在是没有同题的z 即任 意中心在原点半径充分大的球均可取作凸化集注意在许多应用中函数h 通常取作广义 方向导数【1 】中作者利用凸化集来研究局部l i p s c t f i t z 函数达到极值的条件，并给出了 凸化集映射下的中值定理 1 9 9 9 年v j e y a k u m a r 与d t l u c 拓广了凸化集的概念，对于连续函数定义了其上 凸与下凹近似的非紧凸化集，即它是闭集而没有必要是有界集或凸集作者在【2 】中给出 了各种运算法则包括极值性质与中值定理，给出了极小凸化集的正贝0 性条件。且一个连 续函数关于凸化集的拟单调性与拟凸性质被给出 2 0 0 2 年，j d u t t a 与c h a n d a 在 2 j 的基础上作为链规则的应用对于不等式约束的 优化问题推导出了k k t 必要优化条件 1 2 极小凸化集 从凸化集的定义可以看出，凸化集不是唯一的在( 1 j 中凸集cc 舻是函数h 的一个凸化集，我们称岛为极小凸化集若不存在凸化集g 使得g 侥，cc 岛，取 k 幻) = ，9 ) ，令c ；e ( 习是h 。的一个凸化集，则 0 。g ( z ) 则点z 是，达到无约束极小( 大) 点的必要条件； 0 。荜g ( 霉) 则方向9 1 = i 蚤魏是，在z 点的个下降方向而方向9 2 = 一g l 是f 在 正点的一个上升方向这里l i = ( z ) 0 = m 峨e g i 数值忙( z ) l l 是下降及上升率 这些性质表明为何凸化集尽可能小是很重要的 下面给出两类特殊函数的极小凸化集的例子 令函数，在x 0 点是次可微的，即，( g o ；g ) = m a , x 。a ( 口，曲，其中ac ，是一个凸紧 3 查整里三型塑主兰堡垒茎：璺堡壅量查宣亘壅里墼笪鎏型墨堂壅壁壁 集易见集合a 是函数 ( 夕) = ，( 知；g ) 的个极小凸化集且它是唯一的极小凸化集 类似地，若 在如点是超可微的，即爿( 跏；g ) = m i n w b ( w ，g ) ，其中口是个凸紧集， 则集合b 是函数h 山) = 爿( o ；g ) 的唯一极小凸化集 目前，我们仅能对极少数的特殊函数求极小凸化集，对于绝大多数函数寻找极小凸 化集的问题仍然未得到很好的解决在f 2 】中作者；f ! f 用函数在一点有上正则紧凸化巢的 条件，得出函数的唯一极小上正则凸化集 1 3 本文主要工作 本文主要研究凸化集及其应用，主要工作如下： 在第二章中首先对于拟可微函数的发展概况及其拟可微函数的基本知识给予介绍， 引出了拟可微函数研究的不便之处，故凸化集的引入是很有必要的，讨沦了拟可微 函数的凸化集，得刭如下的结论： 8 ) 拟可微函数的凸化集关于线性运算是封闭的 b ) 在已得到的个拟可微函数凸化集的基础上又得到了个更小的凸化集 c ) 得出拟可徽函数的凸化集关于极大极小运算是封闭的结论 推广概念的凸化集被用于连续函数在第三章中利用凸化集来刻画拟凸函数和伪凸函 数；各种运算法烈与极值性质被给出；具有等式与不等式约束的k - t 充分条件被给 出 在第四章中基于实值函数凸化集的方法对于方向可微函数引入了近似广义海森阵的 概念；对于连续方向可微函数的泰勒展式利用近似广义海森阵给出；关于近似广义海 森阵的极小利用正则性条件给出 4 2 拟可微函数的凸化集 拟可微函数是一类重要的非光滑函数，它的方向导数是拟 线性的有了凸化集的概念以后我们将凸化集引入拟可微函数 中，在凸化集充分小的情况下，便能很好地描述拟可微函数的方 向导数对于凸化集的研究我们得到了如下的结论：拟可微函 数的凸化集关于线性运算是封闭的；对于一般的拟可微函数构 造了一个凸化集，并在此基础上又得到了一个更小的凸化集； 拟可微函数的凸化集关于极大极小运算是封闭的，并给出了其 运算公式 2 1 拟可微函数的发展概况 拟可微函数的定义是早在六十年代末由p b h e m 蝴( 1 9 6 9 ) 研究以极大值函数为背 景的集值问题的最优性条件时提出的，即一个函数在一点处的方向导数可表达为非空闭 凸紧集( 次微分) 的支撑函数，它可用于描述处理非凸问题但是这类函数并不能构成 一个线性空闻，因为它关于减法( 数乘一1 ) 不封闭这是影响p s h e n n i c h n y i 意义下的 拟可微分析与优化在七十年代中期发展的主要原因之一；当然，不具有半连续性是另一 个原因七十年代末八十年代初，d e m y a n o v ，p o l y a k o v a r u b i n o v ( 1 9 7 9 1 9 8 0 ) 推广了 p s h e n i c h n y i 的定义，弓f 入了新的定义，将方向导数的次可加性推广蓟拟线性，这就保证 了代数运算的封闭性其相应的微分运算可以建立等式关系，可以明确地描述该类函数 的一阶近似新的拟可微函数的定义称为d e m y a n o v ，p o l y a k o v a 和r u b i n o v 意义下的拟 可微定义( 简称d p r 拟可微或拟可微) 目前，文献中所说的拟可微多指d p r 意义下的 拟可微定义本论文所涉及的对象正是这一类函数作为一类独立的不可微函数类被确 认为是以专辑”q u a s i d i f f e r e n t i a b l ec a l c u l u s ”( m a t h p r o g s t u d y2 9 。d e m y a n o v & d i x o n 主编，1 9 8 6 ) 及d e m y a n o v r u b i n o v ( 1 9 8 6 ) 所著q u a s i d i f f e r e a t i a b l ec a c u l l s 一 书为标志拟可微函数类一个很关键的问题一直没有很好地解决，就是拟微分的不唯一 性，p a u 8 b c h k e 等( 1 9 9 0 - 1 9 9 7 ) 试图从最小的凸集对的性质来研究这一问题 5 大连理工大学硬士学位论文t 凸化集与方向可檄函数的近似广义海森矩阵 2 1 1 拟可微函数基本知识简介 令函数，定义在开集xc 舻且在每点z x 是方向可微的，称，在z 点是次可 微的若足( g ) = ，7 ( z ；g ) 是次线性的，即若存在凸紧集c ，使得 丘( 9 ) = 譬缀( ，9 ) ，r “ 同理超线性函数的形式为 i g ) = 警窜( h ，9 ) ，v 9 r n ， 其中y 是一个凸紧集很明1 i 垂i 数，是超可微当且仅当函数 = 一f 是次可微 次可微函效类是很多的，若函数的方向导数，( 巧g ) = 尼在z 点对于每个g 是上 半连续的，则函数，是次可微的很容易验证有限个次可畿函数的和与极大( 逐点上确 界) 仍是次可微函数同时次可微函效不是线性空间，这是我们引入另一个能够构成线 性空间的函数类拟可微函勘瞎售的原因 定义2 1 1 ：函数，定义在开集xc 舻称为是拟可微的，若在每点z x 是方向可微 的且它的方向导数尼0 ) 可表示为 丘0 ) 2 铤铲( ，疥+ m 。i i ，n 协，雪 ， 其中以y 是册的凸紧集 令 ( 9 ) 2 鬻努( h ，9 ) ，无( g ) 。譬势( h ，9 ) ， 始) _ ( 9 ) + 瓦0 ) 很明显，是个次线性函数，无是个超线性函数，因此尼( 口) = f ( 口) 是次线性函 数与超线性函数的和构成的空间l 中的元素凸紧集对毗明不是唯一定义的我们称 两个集合对 矾，与【观，是等价的，如果巩一k = 一k ，其中以，k 0 = 1 ，2 ) 是 凸紧集 令函数，在点z 是拟可微的凸紧集的等价类暇使得 丘( 9 ) 2 粉( ，g ) + 黪( ，9 ) ，v g 酽 称为函数，在。点的拟微分且表示为口，( z ) 属于这类函数的每个集合对称为一个拟微 分且表示为口，( z ) 若甜( z ) = 眇卅，则集合u 称为函_ 敦，在这点的次微分且表示为豇仁) ，集合v 称为函数，在这点的超微分且表示为刀( 习因此，移，( 甸= 巨，( z ) ，哥( 硼 6 2 枞可擞函数的凸化案 注意到集合曼，( 石) 和集合计( z ) 必须是作为拟微分对d ，( z ) = 匣， ) ，酊( 盘) 】成对 出现的；它们作为等价类的代表元不能被分开来研究 函数，在。点是拟可微的意昧着函数，在这氨有方向导数( d i n i 导数) ，且这个导 数可借助于拟微分艺叮( 。) = 艟玎( z ) ，o f c x ) 表示为拟线性函数其公式为 ，( q 夕) = h e m 岔，a x ( ，计+ 嚣恐) ( 九，毋 下面给出一些拟可微函效的例子 1 如果函数，在z 点存在梯度，则，在z 点是拟可微的很明显集合对，( z ) ， o ) 】 是，在z 点的一个拟微分 o ，v ，( z ) i 也是，在z 点的个拟微分也是很明显 的因此，既是次可微又是超可微 2 令函数，定义在开集x c 尼。上是一个凸函数，则函数，在点z x 是方向可微的 且 ，。们5 。戮】( ”，鳓， 其中 曼，( 砖= 秽r n l f ( z ) 一，( 印( ”，z z ) ，v z x 是，在石点的次微分因此，在。点是拟可微的且可以选择下面的拟微分j o f ( x ) = 匿，( ， 0 1 1 这意味着一个凸函数的次微分 类似地，个定义在开集xc 尼。的凹函数，在每一点。是拟可微的作为它 的拟微分可以选取集合对口，( 动= 【 o ) ，讨( z ) ，其中 刃( 。) = 叫r “i f ( z ) 一，( 口) ( 锄，z g ) ，v z x ) 是，在$ 点的超微分 3 令x 是舻的开集，y 是r “的紧集，函数妒( 童，y ) 定义在x y 且是连续的且它 的偏锾分为a 妒f a z 令 由于 其中 f l ( 。) 2 学妒( 咖) ，2 ( 。) 2 磐妒( 砌) 爿( 啪) = 黝( 掣埘舱萨禳) ( 掣渤 r ( x ) = t f g l 妒( x ，) = ( z ) ) q ( z ) = g i 妒( 丑y ) = ，2 ( 。) ) 7 大连理工大学硬士学位论文t 凸化集与方向可徽函致的近似广义海壅! ! 降 则函数 ，2 在z x 是拟可微的，且可以选取下面的拟微分 口 ( z ) = 卧( z ) ， o ) 】，d 五( z ) = 【 o ) ，百( 。) 】 其中 ! l 狐( z ) = c o v r ”p = 妒：0 ，9 ) ，y r ( 。) ， 石丘( z ) = c o w r “i 伽= 以0 ，v ) ，p q ( z ) 因此 的极大值函数是次可微的且，2 的极小值函效是超可微的 4 函数，定义在凸集xc 舻称为是拟线性的如果它的水平集 zj ，( z ) ， o ) ) 对于 所有的x o x 是凸的 j - p c r o u z e i x 2 8 说明如果拟凸函数，在内点茹是方向可 微的，则它的方向导数，( ) 可表示为两个次线性函数的差，即一个次线性函数与 一个超线性函数的和因此，一个方向可微的拟凸函数是拟可微的 下面给出拟微分的主要公式。凸紧集对的代数运算( 包括拟微分) 与凸集空间的元 索运算方式是样的 吼，】+ 【巩，吲= 巩+ 巩，h + 吲 弛卅= 照姗m v a o o , 定理2 1 1 ：h 1 ) 伞函数 ，如在点是拟可截的则这些函数的和与积在点是拟可微的且 d ( + 五) 如) = d ( z ) - t - z 砺( z ) ， 口( 五) ( z ) = ，1 ( 茹) d ，2 ( 囝+ 五( 力d ( z ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 换言之，若8 垦 ( 霉) ，否 ( 。) ，【坌，2 ( z ) ，否，2 ( 互) 是函数 ，厶在。点的拟微分，则函数 矗+ ， ，2 的拟徽分匣( + ，2 ) ) ，孑( + ，2 ) ( 】，坦( 五) 如) ，百( 厶) ( 。) 】公式 为 旦( ，l + ) 扛) a ( 矗+ 矗) ( z ) i ( 茁) 垒，2 ( z ) - 勘 ，2 ) = 黝剃： 【 ( g ) 旦厶( z ) f ( 茹) 西 ( 。) 瓢俳) = 完毖甾： 【 ( z ) a ，2 ( g ) 一 = 曼 ( 茹) + 垦，2 ( z ) ， = 张( 动+ a 五( ， ，2 ( z ) f 班( 。) 若 ( ) 0 ，2 ( 。) 0 ， 止( 。) 坌 ( 0 若 ( ) s0 ，2 ( z ) 0 ， ，2 ( z ) a ( z ) 若 ( 。) s0 ，2 ( z ) 0 ， 五( z ) a ( z ) 若 ( z ) 0 ，2 0 ) 0 ， ，2 ( 。) a ( z ) 若 ( 茁) 0 ，2 ( 。) 0 ， ，2 ( 霉) a 扛) 若 ( 0 ，2 ( 。) 0 ， ，2 渔 ( 曲若 ) 0 ，丘( 。) 0 ， 五( 。) 曼 ( 。) 若 ( 茁) 20 ，2 ( 。) 0 8 ! 丝! 苎墨整竺堡苎墨 一一 2 ) 令函数f 在点z 是拟可微的则对于任意的实数a ，函数a ，在z 点也是拟可微的且 口( a ，) 扛) = a d ，( ) ( 2 1 ，3 ) 换言之，若匣，( z ) ，- 6 1 ( 。) 】是函数，在z 点的一个拟傲分，则 鼬似加 澎锚萋i 美 踟( 扣 甾曷萋i 銎 3 ) 令函数，在点z 是拟可擞的且j f ( $ ) 0 ，令 ( = 南，则函数f l 在点z 是拟可微 的且 11 d ( z ) = 口( 南) ( 霉) 一7 而口m ) ( 2 1 4 ) 换言之，若硷，( 妨，酚( 甸】是函数f 在z 点的一个拟微分，则可取 亟( 南) ( 芏) = 一南- ，( 巩- a 而1 ) ( 茁) = 一雨1 封( n 证明首先让我们观察函数，1 + ，2 ， 五，a 在z 点是方向可微的，且对于所有的 g 形下爵的等式成立： ( + 丘) ( 霸9 ) 厶) 扛；g ) ( a ，) ( 茁；9 ) ( ；) ( 叫口) = 爿( 茁；9 ) + 矗( $ ；g ) ， = ( z ) 矗如；g ) + ，2 0 ) 矗( 戤9 ) = a ，7 ( 。；口) ， = 一南，j ( 砌) 从定义上考虑函数 矗，它的导数可表示形式为芦1 如( 9 ) + 他矗( 蓟，其中弘t ，弘2 分别与 ( 茁) ，2 ( z ) 一致由拟可微的定义，函数“( g ) 0 = 1 ，2 ) 是空间三的元素，即它可以表 示为次线性函数与超线性函数的和由于二是个线性空间，函数p l z 2 0 ) + p 2 1 1 0 ) 也 属于三，这意味着函数 ，2 是拟可微的我们由函数 ( 盘) ，i = 1 ，2 的拟微分口 描述 口( ，2 ) ( 。) 令妒是个同前面的映射且每个函数z l ，凸集空间的元素a = 【以卅】使得 2 搿 ，9 ) + 学( h ，9 ) ，v g - 则妒( 1 1 ) = 口( ，1 ) ( 。) ，妒( f 2 ) = 口( ，2 ) ( 。) 由于映射妒是线性的，则 妒( 卢1 1 2 + p 2 1 1 ) = p 1 d ，2 ( 动+ 心口，l ( z ) 9 塑三查堂堡主堂垡堡塞! 苎垡叁皇查塑亘丝重墼塑堑型墨塑壅壁堕一 同时， 币( p l f 2 + p 2 1 ) = 口( ，2 ) ( 茹) 因此 口( ，2 ) 缸) = ( z ) d ，2 ( z ) + ，2 ( z ) d 扫) 因此，公式( 2 1 2 ) 得证 公式( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 可以类似的方式证得 从上面的定理我们可以看出，拟可微函数关于线性运算是封闭的 下面我们给出拟可微函数取极大极小运算 定理2 1 2 ：令函数 ，一，m 定义在开集xc j p 且在点z x 令 妒1 ( 茁) 2 寒害萧 ( z ) ，仇( z ) 2i n e l i l ：n m 0 ) 则函数| p 1 ，妒2 在z 点是拟可擞的且 口p t ( 。) = 【旦妒- ( z ) ，百i p 。( z ) 】 其中 曼妒1 ( z ) = c o u k e 置扛) ( 狐( 耋) 一否五( z ) ) 却t ( z ) = 瓢( 窭) ， 却z ( $ ) = 甄( z ) ， 酗( z ) = c o u t 。吲。) ( 瓢扛) 一鱿( z ) ) 这里【坌 ( z ) ，百 ( z ) 】是 在点茹的一个拟微分，r ( 。) 一a j i ( z ) = 妒l ( z ) ，q ( z ) = 矗i i k ( x ) = 妒2 0 ) ，= 1 ：n 证明略。 2 2 拟可微函数的凸化集 拟可微函数作为一类重要的非光滑函数，由于拟微分是凸集对，这就使得相应的算 法难以设计 1 9 9 7 年v f d e m y a n o v 提出了拟可微函数的凸化集的概念 1 】 凸化集在 很小的情况下，髓代表拟可微函数的一阶近似微分性质，因雨较拟微分更易使用 1 0 ! 坚! 苎鱼墼壁垒垡叁 - _ 。- _ _ _ _ - 。- 。_ _ - _ 。_ _ 。_ 。_ _ 。_ 。_ - _ _ _ _ _ 。- 。_ 。_ _ 。 2 2 1 引言 拟可微函数的定义是早在六十年代末由p s h e n n i c h n y i ( 1 9 6 9 ) 研究以极大值函数为背 景的集值问题的最优性条件时提出的。即一个函数在一点处的方向导数可表达为非空闭 凸紧巢( 次微分) 的支撑函数，它可用于描述处理非凸问题但是这类函数并不能构成 一个线性空间，因为它关于减法( 数乘一1 ) 不封闭这是影响p 8 h e n n i c h n y i 意义下的 拟可微分析与优化在七十年代中期发展的主要原因之；当然，不具有半连续性是另一 个原因七十年代末八十年代初，d e m y a n o v ，p o l y a k o w r u b i n o v ( 1 9 7 9 1 9 8 0 ) 推广了 p s h e n i c h n y i 的定义，引入了新的定义，将方向导数的次可加性推广到拟线性，这就保证 了代数运算的封闭性其相应的微分运算可以建立等式关系，可以明确地描述该类函数 的一阶近似新的拟可徽函数的定义称为d e m y a n o v ，p o l y a k o v a 和r u b i n o v 意义下的拟 可擞定义( 简称d p r 拟可徼或拟可微) 目前，文献中所说的拟可微多指d p r 意义下 的拟可微定义本论文所涉及的对象正是这类函数 近些年来，非光滑分析中大量的研究集中在广义次微分的发展上，由于它们对于非 光滑函数能够提供更强的极值条件和很好的运算法则，见f 5 】f l o 】最近，凸化集的概念 在非光滑分析和优化中巳被推广，统一和加强各种结果，见【1 】i 【1 1 ，1 1 2 】凸化集般被 假定为凸紧集，它对于一个函数能够产生上凸和下凹近似从优化和应用的观点，凸化集 关于优化条件和积分规则的描述提供了更精细的结果凸化集被用来表示极值性质和中 值条件的结果凸化集的最初定义是对于正齐次函数定义的，它能描述一个正齐次函数 的上凸和下凹近似，而拟可微函数的方向导数正好是正齐次的，故我们将凸化集的概念 引入拟可微函数中，我们知道拟微分不是唯一的且是一个集合对的形式，这不利于我们 对拟可微函数进行研究，凸化集在很小的情形下船更好地描述拟可微函数的微分性质， 它比拟微分要好用得多故我们将二者结合起来对拟可微函数进行更好的研究 2 2 2 预备知识 定义2 2 1 ：【4 1 设，是定义在开粜s r 8 上的函数，如果它在点2 0 s 处方向可微，并 且对任意的g 即，都有 厂( z o ；g ) l i r a f ( 。m o + c 1 g ) - - f ( m ，o ) a _ o + q 。墨戮一鲋+ 。回r a i n 产g ) 其中鲋( z o ) ，孙( 如) 是舻上的凸紧集，则称函数，在点知s 处是拟可微的， 坦，( 跏) ，酊( 铷) j 叫做，在点z o 的拟微分，宣，( z o ) ，酊( z o ) 分别叫做，在点z o 的次 微分和超微分显然，拟可徽函数的拟微分不是唯一的 定义2 2 2 ：对于集合s 上的拟可微函数，如果对于窖o s 存在一个凸紧集v 酽，使 l l 大连理工大学硬士学位论文。凸化集与方向可擞函效的近似广义海壅矩胯 得 v e l i v n 扣，g ) ，( 。o ；9 ) 号! 罗扣，g ) ，的兄“， 则称v 为，( ；9 ) 在点x 0 的一个凸化集显然，凸化来也不是唯一的 2 2 3 拟可微函数凸化集的线性运算 定理2 2 1 ：若函数 ，2 是舒中的拟可微函数，对于勒酽，a i ，a 2 r ，令h 1 ( g ) = 矗( z o ；9 ) ，h 2 ( g ) = ，i | ：z o ；珐a ，q 分别是h ，也的凸化案，胄咔c = a i g + a 2 q 是函教 a l h l - i - a 2 2 的一个凸化桌 证明由2 2 1 节拟可微函数知识的介绍可知，拟可微函数对于线性运算是封闭的，即 a l h l + k 2 h 2 是拟可微函数) 4 1 i + a 2 ，2 的方向导数我们只需证明函数h = h 1d - h 2 的情 况即可，即q + 国是函数 1 + 九2 的凸化集，a q 是a 1 的凸化集由q ，q 分别是 1 ， 2 的凸化集，我们有 0 峨( ，9 ) 5h i ( g ) ：! 鼙”，曲，坳r “， ( 2 2 1 ) 。m a n ( t og ) 2 ( 日) m 。a x ( v ，9 ) ，酽， ( 2 2 2 ) 从( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 可得 暑啦”，毋+ 。r a 。i 。n ( w , 9 ) h d g ) + ，b ( 夕) 要瞥扣，f ) + ：器警扣t 曲， ( 2 2 3 ) 由于 罟酝( ，g ) + 罟逝( ，口) = 。更磐( ，9 ) = m m e i n g ( ”，9 ) 翼野( ”，夕) + 翼誉( ”，g ) = 。跺一曲2 号豁( ”，9 ) ， 教对于加法结论成立 现令a r ，q 是h 的凸化集，函数h = a h i 是正齐次，对于a 兄，我们有 。r a 。i u l n ( w , 9 ) 1 0 ) m 。a x ( v , g ) ，如冗“， ( 2 2 4 ) 若 0 则有 a 恕( 也曲s a 1 0 ) s a 搿) ， ( 2 2 5 ) 由于 1 癌和，口) a 翼努( 9 ) = 。m i n g l ( 叫，9 ) 。黝( ”，g ) ， 1 2 2 拟可微函敷的凸化粜 由( 2 2 4 ) 可得 其中 若a 0 ，则从( 2 2 ，4 ) 可得 2 磐( ，9 ) h ( 9 ) 鼍豁扣，9 ) c = a 窃= f 口= a 口i t h g a 。m 。i 。n 。( ”，f ) a 1 ( 9 ) am 。e o 。x 。( d ，g ) ， ( 2 2 - 6 ) 由于 0 ， a 癌知，9 ) 2 嬲( ，g ) ，a 搿( ”，g ) _ r a i n 吡( w ，9 ) 因此，由( 2 2 6 ) 可得到 ：磐( ”，9 ) ( g ) s 鼍豁扣，g ) ， 其中c = a 研 由上面的推论可见，对于任意的h ， 2 r ， l g l4 - 2 岛是函数a l h l + a 2 2 的一个 凸化集，即拟可微函数的凸化集关于线性运算是封闭的 2 2 4 拟可微函数凸化集的构造 定理2 2 2 ：设，是j p 上的拟可微函数，d ，( ) 一匣，( z ) ，计0 ) 是函数f 在z 点的一 个拟微分，则坌，( 盘) + a ，( 动是，( 弼9 ) 在z 点的一个凸化集 证明因为函数，是j p 上的拟可微函数，故有 = ，怡；9 ) _ 。甜m a x 铲，9 ) + 。曲e 5 f ( x 卜9 ) ，v 9 钟 所以有 。嘏( 哪) o 琏。靠