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四川大学硕士学位论文 摘要 西型随机微分方程的指数稳定性及其应用 应用数学专业 研究生刘宗树指导教师徐道义教授 随着科学技术的飞速发展，随机因素对系统的影响日益受到人们的重视。 而作为概率论与常微分方程相结合发展而成的随机微分方程这一边缘学科，自 伊藤于1 9 6 1 年首次发表“论随机微分方程”一文来，得到了广大理论科学工作 者和实际应用科技人员的重视。随机微分方程的稳定性理论，在确定性微分方 程稳定性理论与随机过程理论的基础上发展特别迅猛，而且应用也越来越广泛。 它主要应用于系统科学，工程控制，生态学等各方面。在这些新兴的科学技术 中，大量出现了随机微分方程的问题。例如在随机干扰下的控制问题，通讯技 术中的滤波问题，声纳探测潜艇的问题，生物数学模型的建立问题，都依赖于 随机微分方程的研究和解决。 稳定性的重要意义可想而知，小至一个具体的控制系统，大至一个社会系 统，金融系统，生态系统，总是在各种偶然的或持续的干扰下进行的。承受这 种干扰之后，能否保持运行或工作状态，而不至于失控或摇摆不定，至关重要。 所以随机微分方程的稳定性问题有重要的理论意义和广泛的应用背景。 本文主要分成三章。第一章引言，主要对本文的主要内容及知识结构做一 个简单的介绍。第二章主要介绍随机微分方程的发展及随机微分方程稳定性的 a 一些基本概念，利用局部鞅收敛定理和i t o 公式研究具有可变时滞随机微分方 程的指数稳定性，得到了与时滞无关的几乎必然指数稳定性的充分判据。第三 章介绍随机神经网络稳定性分析的研究现状，并运用我们的主要结果给出具有 变时滞的随机神经网络指数稳定的充分条件。 关键词：随机时滞微分方程，肋积分，几乎必然指数稳定，鞅收敛定理，随 机时滞神经网络，m 矩阵 四川大学硕士学位论文 a b s t r a c t e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f i t s s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n da p p l i c a t i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：z o n g s h u l i u s u p e r v i s o r ：d a o y ix u w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h es c i e n c ea n d t e c h n o l o g y ，p e o p l eh a v ea t t a c h e d v e r yg r e a ti m p o r t a n c et oe f f e c t so fs t o c h a s t i cf a c t o ro nt h es y s t e md a yb yd a y s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( s d e ) i s a m a r g i n a ls u b j e c t ，w h i c hi s a c o m b i n a t i o no fp r o b a b i l i t yt h e o r ya n do r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s i n c el t o p u b l i s h e d “t h e o r yo fs t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”( 1 9 6 1 ) ，m o r ea n d m o r es c i e n t i f i ct h e o r yw o r k e r sa n da p p l i e dt e c h n i c a lw o r k e r sh a v ep a i dm u c h a t t e n t i o nt oi t t h et h e o r yo fs d ew h i c hi sb a s e do nt h ec e r t a i nd i f f e i e n t i a l e q u a t i o na n ds t o c h a s t i cp r o c e s s ，i sg r o w i n ge s p e c i a l l yf a s ta n di t sa p p l i c a t i o ni s a l s om o r ea n dm o r ee x t e n s i v e i ti s m a i n l yb ea p p l i e d t o s y s t e ms c i e n c e ， e n g i n e e r i n gc o n t r o l ，e c o l o g y ，e t c i nt h e s en e w l ya r i s e ns c i e n c et e c h n i q u e s ， l a r g en u m b e ro fq u e s t i o na b o u ts d ea r ea p p e a r e d ，s u c ha s c o n t r o lp r o b l e m u n d e rt h es t o c h a s t i ci n t e r f e r e n c e ，t h ef i l t e rw a v ew i t h i nt h ec o m m u n i c a t i o n t e c h n i q u ep r o b l e m ，t h eq u e s t i o na b o u tt h es o n a r p r o b e s i n t o s u b m a r i n e ， t h e e s t a b l i s h m e n tp r o b l e mo f l i v i n gc r e a t u r e m a t h e m a t i c sm o d e l t h e y d e p e n do nr e s e a r c ha n dr e s o l v eo fs d e t h ei m p o r t a n tm e a n i n go fs t a b i l i t yi s i m a g i n a b l e f r o mas m a l ls p e c i f i c c o n t r o ls y s t e mt oab i gs o c i a ls y s t e m ，f i n a n c i a ls y s t e m ，e c o l o g ys y s t e m ，e t c i ti s a p p e a r e du n d e rt h ev a r i o u sa c c i d e n t a lo rc o n t i n u o u sd i s t u r b a f t e rb e a r i n gt h i s i n t e r f e r e n c e ，s y s t e mi su n c e r t a i nt ok e e pt oc i r c u l a t eo rw o r ka p p e a r a n c ea n di s u n l i k e l yt ol o s ec o n t r o lo rs w a y ，s ot h es t a b i l i t yo fs d eh a v ei m p o r t a n tt h e o r i e s m e a n i n gw i t he x t e n s i v ea p p l i e db a c k g r o u n d n 一 四川大学硕士学位论文 t h i st e x ti sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1i sap r e f a c et h a tg i v e sa s i m p l ei n t r o d u c t i o nt ot h em a i nc o n t e n t sa n dt h ek n o w l e d g es t r u c t u r e c h a p t e r2 d i s c u s ss o m eb a s i cc o n c e p t so ft h es d ea n dt h es t a b i l i t yo fs d e ，b yu s i n g m a r t i n g a l ec o n v e r g e n c et h e o r e ma n di t of o r m u l a w eo b t a i n e ds u f f i c i e n tc r i t e r i a f o ra l m o s ts u r e l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t yw h i c hi s i n d e p e n d e n to fd e l a y s c h a p t e r3 c h i e f l yr e s e a r c h t h es t a b i l i t yo fs t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r k ，a n d g i v es o m e s u f f l c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fs t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r k w i t hv a r i a b l ed e l a yb yu s i n go u rm a i nr e s u l t k e y w o r d ：s t o c h a s t i cd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i t oi n t e g r a t i o n ，a l m o s ts u r e l y e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ，m a r t i n g a l ec o n v e r g e n c et h e o r e m ，s t o c h a s t i cd e l a yn e u r a l n e t w o r k ，m m a t r i x 3 一 四川大学硕士学位论文 第一章引言 随着科学的发展，社会的进步，越来越多的科技成果运用到现实生活，比 如电器设备，通讯设备，交通工具等等。而对于航空航天，战略装备，环境保 护也是世界各国致力于发展的对象。但对于这些系统来说，研究他们运行的稳 定性是一项必不可少的方面。一个系统若想在工程中发挥作用就必须具备稳定 性。稳定性理论是研究动态系统中的过程( 包括平衡位置) 相对于干扰是否具 有自我保持能力的理论，它的概念最早源于力学，它刻画了个刚体运动的平 衡状态，它的发展为工程技术，特别是自动化，控制理论等提供了广泛的应用。 随着科学技术发展的日新月异，对系统有较高的要求或随机因素不可忽略时， 利用随机系统来处理问题，就成为自然而必要的手段。例如：比较简单的电路 系统可以忽略噪声的影响，但对于大规模的集成电路来说，避免随机噪声的影 响是不可取的，它会增大误差，影响系统的稳定性能。而对于具体的每一个系 统来说，它容易受到各种客观因素的影响，有些影响可以忽略不计，但有些随 机因素对系统的稳定性影响却是致命的。所以在随机因素的干扰下，考虑系统 的稳定性是动态系统研究中的一项必须具备的方面。随机系统建立在生物学、 医学、电子学、物理、化学、计算机科学、控制科学、材料科学等基础上。其 成功应用的例证涵盖了智能控制系统、信号处理、模式识别、智能计算等方面。 随机微分方程正是在确定性微分方程稳定性理论和随机过程理论的基础 上发展起来。从数学上看，随机微分方程是介于微分方程和概率论之间的边缘 分支，它是两个数学分支互相渗透的结果，因此随机微分方程的研究领域是及 其广阔的。在这些领域中，随机微分方程稳定性理论的研究，正如同确定性常 微分方程稳定性理论的研究一样，是研究它的解的定性理论的一个重要方面， 无论是对于基础理论的研究，还是应用技术的研究，都具有十分重要的意义。 神经网络系统是由大量的、同时也是简单的处理单元广泛地相互连接而形 成的复杂网络系统。神经网络既是高度非线性动力系统，又是自适应系统，可 用来描述认识，决策及控制等智能行为。其对众多学科的包容性，理论分析方 法的多样性，在工程技术中应用的广泛性是其它学科无法比拟的，它涉及到生 物学、医学、电子学、数学、物理、化学、计算机科学、控制学、材料科学等。 近些年来，许多科学家提出了许多种具备不同信息处理能力的神经网络，并被 一5 一 四川i 大学硕士学位论文 广泛地成功的运用于模式识别、语音识别、图象处理、信号处理、系统控制、 最优化决策以及求解非线性代数问题等方面。神经网络理论的应用研究已经渗 透到各个领域。2 0 世纪8 0 年代以来，在控制领域，将神经系统和传统控制技 术相结合取得了许多令人鼓舞的结果。这些成就加强了人们对神经网络系统的 进一步认识，引起了世界许多国家的科学家、研究机构及企业界人士的关注， 也促成了不同学科的科学工作者联合起来，从事神经网络理论、技术开发及应 用于现实的研究。同时，神经网络是一种复杂的力学系统，这种特性决定了它 被实际应用的前提是神经网络系统具有一些较好的基本特性。如稳定性、收敛 性、周期运动及稳定性等。一种神经网络系统若想在工程中发挥作用就必须具 备稳定性，因此在神经网络的设计和分析中，稳定性的分析是极为重要的且必 不可少的一个环节。由于神经网络系统本身所具有的复杂性，所以它易于受到 其它外界随机因素的影响。对某些随机因素来说，系统的稳定性受到影响可能 不大，但对系统有较高要求或随机因素的影响不可忽略时，利用随机系统来处 理问题显得尤为重要。所以研究随机神经网络系统的各种稳定性就成为目前需 要解决的问题。 本文在第二章里面，主要介绍了随机微分方程的发展历程以及研究随机微 分方程稳定性现状。利用局部鞅收敛定理和o 公式，研究具有可变时滞的随 机微分方程的指数稳定性，得到了关于该系统与时滞无关的几乎必然指数稳定 性的充分判据，推广了现有文献中的某些结果。本文在第三章中，简要介绍随 机神经网络稳定性发展，列举了随机神经网络稳定性研究的最新成果，运用了 本文的主要结果给出了对具有变时滞的随机神经网络的指数稳定性的充分条 件。 一6 一 四川大学硕士学位论文 第二章随机微分方程的指数稳定性 2 1随机微分方程稳定性的研究背景 在自然界中。事物的变化过程大体分成两类：确定性过程和随机过程。所 谓的确定性过程就是指事物的变化过程符合必然的变化规律，具有确定的表达 式，也就是说确定性过程是可以用关于时间t 的确定的函数来加以描述的变化 过程。随机过程则是指在变化过程中没有确定的变化形式的过程，这类事物的 变化不能用关于时间t 的确定性函数加以直接描述。然而在研究实际物理现象 的数学模型时，从一个物理问题转到一组数学方程绝不会是完全精确的。由于 它的不确定性、复杂性、不可避免的给数学模型带来一些不确定性因素。而在 诸如经济金融、保险、人口增长理论、信号处理等领域，不确定性因素往往是 问题的关键所在，不可忽视。在二十世纪，随着这一类实际问题的大量出现， 促进了随机分析的构建和发展。 布朗运动( b r o w nm o t i o n ) 最初是由英国生物学家布朗于1 8 2 7 年根据观察 花粉微粒在液亟上作“无规则运动”的物理现象而提出的。1 9 0 5 年爱因斯坦 ( e i n s t e i n ) 首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有 了显著的发展。这方面的物理工作理论在s m o l u c h o w s k i ，f o k k e r ，p l a n c k ， b u r g e r ，f u r t ho r s t e n i n ，u b l e n b e k 等人的努力下迅速发展起来了。但数学 方面却由于精确描述太困难而进展缓慢，直到1 9 1 8 年才由维纳( w i e n e r ) 对 这一现象在理论上做出精确的数学描述，并迸一步研究布朗运动轨道的性质， 提出了在布朗运动空间上的测度和积分。这些工作使得对布朗运动及其研究得 到迅速丽深入的发展。1 9 2 3 年，维纳本人就布朗运动给出了一系列严格的研究 成果，所以布朗运动也称为w i e n e r 过程。 随机微分方程的研究是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速 发展起来的。然而，早在随机过程严格的数学理论建立之前二十年，就已经提 出了微分系统的随机积分问题。1 9 0 2 年，g i b b s 在讨论统计力学问题时，研究 了保守力学系统的h a m i l t o n j a c o b i 微分方程组，它的积分初始状态是随机 的，这就是最早的随机微分方程问题 1 。1 9 0 8 年，l a n g e v i n 2 在研究布朗 运动时得到了下述随机微分方程 1 四川大学硕士学位论文 州掣= - p 工( f ) + y o ) ( 2 1 1 1 ) l 其中，x ( t ) 表示液体微粒在某一方向的运动速度。一卢x o ) 表示介质中分子运 动对微粒碰撞构成的随机作用，这种形式的方程叫l a n g e v i n 方程。 1 9 3 4 年至1 9 3 8 年s b e r n t e i n 引进了随机微分方程 3 - 4 ，并证明该方程 所确定的随机变量的极限分布是k o l m o g o r o v 方程的基本解。在s b e r n t e i n 的框架下，i i g i h m a n 5 - 7 独立建立了随机微分方程的理论。1 9 4 2 年i t o 8 利用随机微分方程研究了关于m a r k o v 过程的k o l m o g o r o v 方程。直到1 9 5 1 年， i t 0 9 才独立建立了下述i t 0 型随机微分方程的理论 d x ( t ) = b ( x ，t ) d t + a ( x ，t ) d w ( t ) x ( t o ) 。 ( 2 1 2 ) 其中w ( t ) 是w i e n e r 过程，d x ( t ) 为i t o 意义下的随机微分，随后随机微分方程得 到了很快的发展。 在常微分方程稳定性理论的研究中，l y a p u n o v 直接法是确定一般的非线性 系统稳定性的较为一般的方法。1 9 5 9 年l e b e r t a i n 1 0 等人首先提出了用 l y a p u n o v 稳定性的概念和方法来研究随机微分方程解的稳定性，随后主要由于 美国的b u c y ，k u s h n e r ，k o z i n 等人的努力，随机l y a p u n o v 稳定性理论得到了 迅速的发展。a r n o l d ( 1 9 7 2 ) ，f i r e d m a n ( 1 9 7 6 ) ，h a s m i n s k i l l ( 1 9 8 1 ) ，m a o ( 1 9 9 1 ) 1 1 1 5 3 对随机模型进行了稳定性分析。1 9 7 1 年，r f c u r t a i n 1 6 将随机微分 方程理论推广到了h i l b e r t 空间，由于f k o z i n 1 7 ，u g h a u s s m a n 1 8 ， a i c h i k a w a 1 9 3 等人的工作，h i l b e r t 空间中随机微分方程稳定性理论得到了 很快的发展。 2 2 随机微分方程稳定性研究的发展及现状 1 9 0 8 年，l a n g e v i n 在研究b r o w n 运动时得到了如下的随机微分方程 。掣= - p 。( f ) + y ( f ) d f 其中y ( t ) 为随机作用力。 一8 一 四川大学硕士学位论文 1 9 5 1 年，i t o 建立了下述i t 0 型随机微分方程的理论 d x ( t ) af ( t ，x ) d t + c t ( t ，x ) d w ( t ) ( 2 2 1 ) 其中w ( t ) 是具有i n 维分量的w i n e r 过程， ，：r + x r “_ r “， 1 9 ：r + x r “_ r “ 1 9 6 5 年，s k o r o k h o d 证明了当a 去时，i t o 型随机微分方程 z d x ( t ) = g ( x ( f ) 矽p ) t 芑0 ( 2 2 2 ) 在初始条件x ( t 。) = x 0 ( x o e r ) 下，解是唯一存在的，其中w ( t ) 是一维标准维 纳过程，g 是一维有界的实值函数，且满足： i g ) 一g ( _ ) ，) i s k ( x 一_ ) ，) 。，v x ，y e r ，口，去 其中k 是大于零的常数。1 9 7 1 年y a m a d a 和w a t a n a b e 发展了这一结果，证明了 当口二时方程( 2 2 2 ) 存在唯一解。 2 1 9 6 7 年，h a s m i n s k i l i 给出了线性随机系统 d r ( f ) = a j o ) 出+ 芦x ( o d w ( t ) x ( t o ) = 矗 ( 2 2 3 ) a ，u e c 在大范围内随机渐近稳定的充要条件r e ( a 一：1 2 ) c 0 。同时a r n o l d 进 一步建立了保证( 2 2 3 ) 零解均方渐近稳定的条件r e ac 一妄i 肛2 。 二 1 9 6 7 年，s y s k i 将随机微分方程分成三大类： 1 ) 具有随机初始条件的随机微分方程 这是最简单的情况，即方程本身不受随机因素的影响，面随机性 仅仅出现在初始条件的情形。 2 ) 具有随机作用项的随机微分方程 例如：掣：，o ( f ) ，f ) + _ ) ，( f ) 工( t o ) ：( 2 2 4 ) a t 其中y ( t ) 是方程的随机作用项，它是某个随机过程 3 ) 具有随机系数的随机微分方程 l 四川大学硕士学位论文 例如：掣= ， ( f ) y ( f ) ) ， z ( f 。) ( 2 2 5 ) d t 其中y ( t ) 是随机过程。 日本的伊藤于1 9 5 1 年首先提出的i t o 型随机微分方程是( 2 ) 类方程的特 例，而i t o 型方程是目前随机微分方程研究中的主要方向。因为它的解过程是 m a r k o v 过程，因此它对随机过程理论和控制理论都有着十分重要的意义。 1 9 7 3 年，f r i e d m a n 也讨论了随机常微分方程零解的渐近稳定性。 h a s m i n s k i l l 在1 9 8 0 年系统地给出了随机微分方程( 2 2 1 ) 平衡点的几 种稳定性定义，即：随机稳定，随机渐近稳定和大范围随机渐近稳定。 1 9 8 8 年，g a r d 在文献 2 0 中给出了一系列应用l y a p u n o v 函数方法判定 ( 2 2 1 ) 零解随机稳定和随机渐近稳定的条件，并运用这些条件讨论了自治方 程的随机稳定性。 1 9 8 4 年，a r n o l d ，o e l j e k l a u s 和p a r d o u x 考虑了方程( 2 2 3 ) 的指数稳 定性，在文中给出了方程零解几乎处处指数稳定的条件，并讨论了稳定条件中 的l y a p u n o v 指数与p 阶矩指数稳定中l y a p u n o v 指数之间的关系。 1 9 8 4 年，m o h a n m m e d 2 1 考虑系统 f a x ( t ) = ，( f ，x ( f ) ，x ( t v ) ) d t + m 工( f ) ，x ( t r ) ) d ( f ) f 0f 2 ，6 ) i z p ) 。妒( f ) t 卜f ，0 】 其中f 是大于o 的时滞项， ，：r + r 4x r “一彤，g ：r + r 6 x r “一r w ( t ) 是m 维分量相互独立的维纳过程，初值函数妒o ) c ( 卜f ，o 】；彤) 他应用 l y a p u n o v 函数判别方程( 2 2 6 ) 零解p 阶矩渐近稳定的方法。 1 9 8 6 年k o l m a n o v s k i l l 和n o s o v 在假设系统( 2 2 6 ) 中对函数f 和g 满 足l i p s c h i t z 条件和线性增长的条件下，证明了如果对于p 2 ，存在正数 c 。c ：和c 3 ，并存在连续函数v ：r + c ( 【一f ，0 i ；r “) 一月，使得 c l 悟( o ) 1 9s c ：l 悟l l ，( f ，亭) r + c ( 【一f ，o 】；r “) 和 e 形( f ： ”) 一e 彤( f 1 ， ) ) ) s c 3 f , , 2 e k ( s ；妒) 1 9 d s ( 2 2 7 ) t 2 t 1 0 四川i 大学硕士学位论文 成立，则系统( 2 2 6 ) 的零解是p 阶渐近随机稳定的。 1 9 9 0 年，m o h a n m m e d 2 2 给出了线性时滞微分方程几乎处处指数稳定的条 件，这是随机时滞微分方程关于指数稳定的最早成果。1 9 9 1 年，x m a o 又讨论 了一类非线性随机时滞微分方程的几乎处处指数稳定性。 1 9 9 4 年x m a o 2 3 ，全面讨论了随机微分方程和随机泛函微分方程的指 数稳定性。近期关于随机微分方程的指数稳定性有如下几个方面的工作： x m a o 2 4 将泛函微分方程的r a z u m i k h i n 技术应用到如下中立型随机 泛函微分方程： d 【上( f ) 一g “) 】= ，( f ，x , ) d t + g ( t ，x , ) a w ( t ) ( 2 2 8 ) 得到了解的指数稳定性。 x m a o 将r a z u m i k h i n 技术应用到如下滞后型随机微分方程 出( f ) = f q ，x , ) d t + g o ，x t ) d w ( t ) ( 2 2 9 ) 得到了解的指数稳定性。 t t a n i g u c h i 2 5 等利用半群理论研究了如下h i l b e r t 空间滞后型随机泛 函微方程的解的存在唯一往和指数稳定性。 d x ( t ) = 【- 4 x ( f ) + 厂( f ，t ) i 如+ g ( t ，x , ) d w ( t ) ( 2 2 1 0 ) 7 2 c a r a b a l l o 2 6 等讨论了如下随机偏函微分方程 x ( f ) = 妒( o ) + f o t 4 ( s , x o ) ) + ，( s ，t ) 】出+ 工g o ，t ) d 形o ) ( 2 2 1 1 ) 得到了解存在唯一性和指数稳定性。 x m a o 2 7 2 8 等人将l a s a l l e 不变原理推广n t 下述随机微分方程和随 机泛函微分方程 出( f ) = f ( t ，x ( t ) ) a t + g ( t ，x ( t ) ) d w ( t ) ( 2 2 1 2 ) d r e ) = ，o ，工g ) ，x , ) d t + g p ，x ( o ，x , ) d w ( t ) ( 2 2 13 ) x m a o 2 9 等讨论了如下不确定性随机泛函微分方程 d x ( t ) = 【0 + 4 ) z 0 ) + ( 曰+ 8 ) x ( f r ) l d t + 【a c x ( t ) + a d x ( t ) l d w ( t ) ( 2 2 1 4 ) 得到了系统r o b u s t 稳定的条件。 v d r a g a n 3 0 等得到了下述具有奇异扰动的t o 随机微分方程的指数稳 四川大学硕士学位论文 定性。 d h ( f ) 【4 - ( f ) + 4 z x z ( f ) 】出+ 荟筏_ o v m ( f ) 2 2 1 5 s 出z ( f ) = 【4 ( f ) + 4 z z ：( f ) 似+ 荟4 - x l ( f l 机( f ) ( 2 2 1 6 ) 罗交晚，邹捷中，候振挺 3 1 研究了下述m a r k o v 调治的随机时滞微分方 程 西r ( f ) = 厂0 p ) ，z ( f 一( f ) ，t ，( f ) ) ) 积+ g ( x p ) ，z ( f t ( f ) ，f ，0 ) ) 矽h 7 ( f ) 给出了上述方程的比较原理，得到了平凡解的矩指数稳定性。 2 3 关于稳定性的预备知识 设qcr 。，q 是包含原点的n 维开邻域，i 爿0 ，+ m ) ，w ( x ) e c q ，r i ， v ( t ，x ) c 【，q ，尺】分别表示定义域为q ，i x r ，值域为r 的连续函数。 定义2 3 1 ：w “工) 在q 上正定，若在q 上w ( x ) 20 ，且w ( x ) = o ，当且仅当x = o ； 称函数( z ) 在q 上负定，若一( x ) 在q 上正定。 正定函数，负定函数通称定号函数，也叫l y a p u n o v 函数。 如：w ( x l ，x ：) = 2 x t + 霹+ 2 x i x ，为正定函数。 定义2 3 2 ：称函数v ( t ，x ) e c 1 q ，r 1 正定，若存在正定函数 w ( x ) e c q ，r 】，使v ( t ，z ) 2 ) 且y ( t ，0 ) s 0 若一v ( t ，x ) 正定，则称v ( t ， x ) 为负定函数如：v ( t ，五，屯) = 0 + p 。) 研+ 霹) 在8 ，0 时也称为正定函数。 定义2 3 3 3 2 ： 函数c e c o ，r 】，r i 是严格单调上升函数，且妒( 0 ) = 0 ， 则称妒是属于k 类函数，也称禊函数，记为妒k 。 定理2 3 “3 3 ：对于在l x l ls 日上给定的任意正定函数w o ) ， 必存在两个函数竹，吼k ，使得竹( 删) s ( 工) 5 ( ) 。 定义2 3 4 ：f ( t ) g c 1 ，r 】，= t 。，+ o 。) ，vt e l ，下面四个导数 四川大学硕士学位论文 d e 1 d + ，o ) 。牌云( ，( r + “) 一，( r ) ) d + ，p ) = ! 匦( ，( f + ) 一，( f ) ) 1 0 + “ ( 2 3 1 ) d 一，( f ) 。粤云( ，( f + ) 一，( f ) ) d ，( f ) = 亘堕( ，( f + ) 一，( f ) ) 分别称为厂g ) 在t 处的右上导数、右下导数，左上导数，左下导数，它们统称 d i n i 导数。 给定一个微分系统： 拿。f ( t ，z ) ，其中f ( t ，x ) e c t i 彤，r “】 ( 2 3 2 ) a t 定理2 3 2 3 3 ：设函数y ( f ，x ) s c i q ，r 1 】，q c r “且矿( f ，z ) 关于x 对f 一致 地满足局部李普希兹条件，即i y ( f ，工) 一y ( r ，y ) i s l l l x e l i f j v ( t ，工) 沿方程( 2 3 2 ) 的解x ( f ) 的右上导数，右下导数分别为 胛以圳) 2 画枷地洲川力) i ( 2 3 3 ) d + v ( t ，工( f ) ) - 。l i m + l 。 y ( r + ，z + ( f ，x ) ) 一y ) 定义2 3 5 3 4 ：称实矩阵爿= a ； 。为m 矩阵，若下列条件满足 aetl：i，。 z = 1 ，z ，n 四川大学硕士学位论文 且存在常数d ，0 ，使得y d p 。，0 x- 2 ) a 0 ( i = 1 ，2 ，n ) ，口“0 ( i ，i ，= 1 ，2 ，n ) ， 且爿- 1 o ，即月- 1 为一个非负矩阵 3 ) a “ 0 ( i = 1 ，2 ，n ) ，口ds 0 ( f j , i ，= 1 ，2 ，n ) ， v 正数q l 亭= c o l ( 岛，岛，磊) ，代数方程组触= 毒，有正数组解q = c 0 1 ( 1 。，叩2 ，1 。) 4 ) 4 “，0 ( i = 1 ，2 ，n ) ，“9 0 ( f j , i ，= 1 2 ，n ) ，一爿是一个 m m f f z 稳定矩阵， g 队仅有负实部特征值。 d e 5 ) a 。) 0 ( i = 1 2 ，n ) ，口“s 0 ( i j , i ，= 1 ，2 ，n ) ，g = ( ，一d 一1 4 ) 自q 。镕 半j 至 p ( g ) o ，v x o ，当l l x o l i c 6 ( ，t o ) ，对一切 t f 。，有l l x ( t ，t 。，) 0c s 则称( 2 3 4 ) 的平凡解是稳定的。 定义2 3 ，7 ： 若对v ) o ，j 6 ( 卜o ，对v k ，当l l x 。i l c 6 时，对一切f t o f ， 有l l x ( t ，t 。，) l ics 则称( 2 3 4 ) 的平凡解一致稳定。 定义2 3 8 ：称方程( 2 3 4 ) 的平凡解是指数型渐近稳定的( 简称指数稳 定) 若对v ，o ，j a ，o ，j 6 ( ) ，v t 。，当l l x o l i c 6 时，有： i i x ( ，b ，) l ls e - a ( - t o ) ，( f 岂f 0 ) 四川大学硕士学位论文 定义2 3 9 ：称方程( 2 3 4 ) 的平凡解是全局指数型渐近稳定的( 全局指 数稳定) 。对v s ，o ，j ，o ，孤 ) 0 ，当怫l l c 6 时，有 忙p ，) 0k ( 6 ) e “o 吨 定义2 3 ，1 0 ： v t o ，v r 0 ，d r ，v e o ，q t = r ( f 0 ，而，r ，) o ，对v t 乏f 0 + 丁， 有l l x ( t ，t 。，r o ) i l cs 成立，则称( 2 3 4 ) 式的零解是全局吸引的。 定义2 3 1 1 ：v r 0 , v e o ，3 tz r ( r ，e ) o ，对v t t o + 丁，有l l x ( t ，t o ，r o ) l l 0 ，v e 0 ，3 t = r ( r o ，r ，s ) 0 ，对v x o d ，对t t o + r ， 有l l x ( t ，t o ，0 ) 0 t 成立，则称( 2 3 4 ) 式的零解是全局等度吸引的。 定义2 3 1 3 ：设( q ，ep ) 为一个概率空间，t 为一个实数集，如果对每一个 f 丁都有定义在( f 2 ，f ，p ) 上的随机变量x o ，甜) ，q 与之对应，则称依赖 于f 的随机变量族 x ( f ，w ) ，f r ) 为一个随机过程。如果参数集为连续时， 称随机过程为连续参数随机过程。如果参数集为离散时，则称随机过程为 离散参数随机序列。 为书写方便， x ( t ，) ，f r ) 常简记为 x o ) ，f r 】， 置) 或 x ( f ) ) 。 定义2 3 1 4 ： 设 x 0 ) ，f 丁) 是一个随机过程，如果对t 中任意n 个时刻 c f 2 0 ，有x ( t ) n ( 0 , c r 2 ) 一1 5 四川大学硕士学位论文 则称 x ( f ) ，t e t ) 为维纳( w i e n e r ) 过程或布朗( b r o w n ) 运动，如果盯= 1 则称为 标准维纳过程。 定义2 3 16 ：一个e 适应的随机变量序列 工。；nz 0 ) 称为鞅，如果对v n ，x 。可 积，且e 瓯+ 。fe ) = 五 口j 2 4几种随机微积分 2 4 1维纳积分 定义2 4 1 ：设 w ( t ) ，t o 为标准布朗运动，b ( t ) 是一个确定时间函数，在区 间 0 ，t ， 分点o = t o t 1 f 2 ， 0 a 在工程技术中经常遇到 j a x ( t ) = f ( t ，工( f ) ) + g ( f ，z ( f ) ) 讳( r )( 2 4 4 ) 【x ( t o ) = x o 这类微分方程，其中w (