（应用数学专业论文）一维反铁磁链方程组局部光滑解的存在唯一性.pdf

l 前言 大多数晶体具有有序的磁结构，即在无外加磁场时，晶体的每个单元晶 格内至少有一个原子的平均磁矩是非零的 最简单类型的磁性晶体，比如铁磁体f e ，n i ，c o 和d y 等，如果它们的 温度不超过一个临界值，也就是居里温度，则其所有原子平均磁矩有相同的 方向，此时铁磁体具有自生磁矩，即非零的微观的磁矩，甚至在没有外加磁 场下也是这样 在居里温度或n e l l 温度下，这样介质有磁化现象，称之为铁磁介质， 1 9 0 7 年w e i s s 提出了分子场的假说来说明铁磁体物质的磁性1 9 2 8 年 h e i s e n b e r g 对w e i s s 提出的分子场理论进行了解释h e i s e n b e r g 认为自发 磁化是由于电子自旋转角动量之间的相互耦合而产生的 l a n d a u 和l i f s h i t z 于1 9 8 5 年研究铁磁体的磁畴壁运动时首次提出 的磁化运动方程即铁磁链方程或l a u d a u l i f s h i t z 方程，它是研究磁化运动 的有力工具因为铁磁链方程和自旋波所揭示的磁化粒子运动的两个方向， 与计算机的磁性记忆材料的正向与反向状态有着密切的联系，可以由此开发 高性能磁记录设备的新途径和新技术方法有趣的是，铁磁现象与超导现象 是两个相互关联的现象，磁化理论和超导性机理可以统一在一个理论框架内 2 1 所以，近年来，对自旋波和铁磁链方程的研究越来越引起各国数学，物 理工作者的重视，并投入大量的资金和研究力量美国和欧洲的一些国家及 香港地区的一些研究机构，已成功的将铁磁链方程的理论应用于与计算机硬 件，高性能磁记录设备和高性能录音设备的开发 近年来低维磁性系统的研究也受到了人们广泛的重视，一方面是由于氧 化物高温超导体的发现，试验上已证明氧化物高温超导材料有很强的反铁磁 关联，并且是高度各向导性的材料f 3 1 ，而在另一方面磁性薄膜和磁性多层 膜，以及正在引起人们重视的有机强磁体等都具有十分独特的物理特性f 4 1 ， 研究材料磁学性质的最基本模型是h e i s e n b e r g 模型1 9 8 3 年h a l d a n e 5 1 在 研究和总结前人研究的基础上，提出半整数自旋反铁磁链的基态与激发态之 间有能隙h a l d a n e 的大胆猜测立即引起人们从实验和理论上研究低维磁 性系统的热潮，这是由于基态与激发态之间有能隙与没有能隙可以使系统的 物理性质有本质上的不同如果系统的基态与激发态之间没有能隙，那么系 统的各种关联函数及与之相关的各种物理性质的渐近行为是代数衰减的；而 系统的基态与激发态之间有能隙存在，那么系统的各种关联函数及与之相关 的各种物理性质的渐近行为是指数衰减的 自旋s = i 1 的反铁磁h e i s e n b e r g 链已有严格的b e t h e a n s a t z 勰，从这 个精确解人们已经知道s = i 1 的反铁磁h e i s e n b e r g 链是无能隙的，然而到 2 目前为止我们并没有s = 1 的反铁磁链的严格解，数值模拟技术，例如有限格 点的对角化 6 ，7 ，量子m o n t e c a r l o 模拟f 8 , 9 ，i 0 1 等，已被用来研究s = 1 反 铁磁h e i s e n b e r g 链存在能隙而在另一方面实验上也发现有一大类系统，例 如c s n i c l 3 ，f l b n i c l 3 和n i ( 王如n 2 ) 2 n 0 2 c 1 0 4 等材料【1 1 1 ，它们的键内 耦合相当强，而键问耦合很弱，从而可以看作一维系统，其物理性质可以用 s = 1 的单粒子各向异性的反铁磁h e i s e n b e r g 链 h = j s t s 3 + d t j s ；1 2 得到描述，上式中的d 是表征单粒子各向异性的参数，s 是三维自旋向 量d = o 时的各向同性h e i s e n b e r g 链的基态和热力学性质已被广泛的研究 1 2 ，1 3 j 无外加磁场，无耗散的，经典的一维l a u d a u l i f s h i t z 方程 z t2 zxz t m l a k s h m n a n 等得到了上述方程的形如z = z ( x c t ) 的自旋波解 z = a c o s d ￥+ b c o s ( k z w t l + c s i n ( k x w t ) s i n o 其中a , b ，c 为冗3 中相互垂直的单位向量， a ，k 为任意实常数， u ：= 七2 c o s 他们通过变换 u u 。i ：= 。s i i n n 。0 。c i o 。s 咖曲 ( u 3 = c o s 0 得到了特殊的孤立波解 c 。s 日= t a n h ( cx c t ) ) 2 1 日= t a n 一1 t a n h ( c 一c t ) ) 2 + 甲 其中c 为常数波速 具有外加磁场的一维l a u d a u l i f s h i t z 方程 z t = z x z z z + z xh 其中h = ( o ，0 ， 3 ) ，h a 0 的常量k n a k a m u r a 和t s a s a d a 在 1 4 中，得 到了上述方程的孤粒子解 c o s 0 = l a c o s h 。2 ( 竺挈) 西= + 互1c ( x - - c t - x o ) 砘n 一1 。万2t a n h ( 辛) ) 其中常数z 。，由初值确定，常数a ，f 满足关系式 a ：2 一磊c 2 ，r ：( 丸一( 艺1 人们对于经典的各向异性铁磁链方程组 1 5 五= 一a zx ( z a z ) + 卢z a z ，t = o x r 解的存在唯一性进行了广泛的研究，并且应用了多种不同的方法，此处o l ，口 为常数，满足“ = 。，= 。l 0 2 i ，z 为未知的三维向量函数，当q = o b 寸， 上述方程为强退化，强耦合非线性抛物型方程组，文献 1 6 1 1 1 7 1 等1 1 作研究 了其h 1 弱解的整体存在性在饱和情形，亦即初始函数满足 z ( x ，o ) i = c o 0 其中岛为常数时，其古典解的局部存在性在 1 8 中得到了考虑，当o 0 时，上述方程的皿的弱解存在性在 1 9 中进行了讨论。特别对于一维磁饱 和情形，上述方程古典解的整体存在唯一性在 i 8 p o 中得到了证明，在非 磁饱和情形，也就是说，放宽限制条件，对较广泛的一类初值函数 i z ( z ，o ) 1 = 妒( 。) g ， c o 为正常数，l a u d a u l i f s h i t z 上述方程组的初值问题 笼i 笺。舅姚刁邯孤蝴 光滑解的存在唯一性在 2 1 中讨论 反铁磁链方程：前面已经提到，由于反铁磁链方程和超导电性理论可以 统一在一个理论框架内，因此引起人们很大的兴趣，但针对反铁磁链方程的 数学研究还刚刚起步，对于带阻尼的反铁磁链方程的一维问题，丁时进，郭 柏灵得到了整体光滑解的存在唯一性，对于高维问题则得到了弱解的存在性 f 2 2 ，2 3 在反铁磁体中，例如相变物质m n ，n i ，c o ，f e 的碳酸盐，无水的硫酸唑， 氧化物和氟化物等，当外磁场为零时，在每个单元里面原子的平均磁矩相互 抵消换句话说，反铁磁体是由一组亚晶格( 称作磁性亚晶格) 所组成，如果 反铁磁体的温度低于临界温度，即n 6 e l 温度时，原子的平均磁矩都是非零 的在间距为n 的亚晶格中，如果同方向的磁化向量变化很慢时，我们可以 得到如下的一维反铁磁链方程组f 2 4 4 ( z ，t ) s 2 f r + ，1 、 ( 。，) qxl r 十 1 1 1 j 如砝 她钯 一 一 喊峨 2 2 + 一 陇 _ u h u 5 1 二 _ 地_ 班 ，cll 其中口= ( “l ，t 2 ，u 3 ) ，亏= ，v 3 ) 是反铁磁链方程组的自旋向量 1 9 9 1 年以前的研究工作主要是有关初边值问题的弱解周毓麟，郭柏灵 在2 5 ，2 6 ，2 7 ，28 1 中应用l e r a y s c h a u d e r 原理证明1 维铁磁链方程组整体弱 解的存在性，应用对空间变元离散的方法证明1 维铁磁链方程的非线性初边 值问题整体弱解的存在性，以及应用g a l e r k i n 方法证明多维铁磁链方程整 体弱解的存在性直到1 9 9 1 年周毓麟，郭柏灵，谭绍滨在f 2 9 利用差分法 和一些特殊估计通过具有含e 的g i l b e r t 项的l a u d a u l i f s h i t z 方程给出了 日3 的先验估计，证明了整体光滑解的存在唯一性，使得长期未解决的整体 解的存在唯一性得到了解决后来郭柏灵，丁时进等在3 0 ，3 1 1 中，黄海洋 在 3 2 中把这些方法应用于更一般的l a u d a u l i f s h i t z 方程，也得到了它们 存在整体光滑解，1 9 9 2 年，f a l o u g e r s 和a s u g e r 在3 3 1 中也得到了类似 于周毓麟，郭柏灵f 2 5 2 6 1 的结果 2 0 0 2 年夏天，柯朗研究所的j s h a t a h 教授在中国科学院数学所的晨兴 中心讲学也提到了反铁磁链方程组( 1 1 ) ，本文主要是用类似周毓麟，郭柏 灵，谭绍滨 2 0 的方法，首先应用差分法证明了该方程组对应的粘性方程组 的整体弱解的存在陛，然后对s = 1 的情形做了日2 估计，最后针对= 0 证明了局部光滑解，不足之处是没有得到= 0 时的整体光滑解，主要原因 是方程组( 1 1 ) 中的一阶导数使得无法得到e = 0 时的日2 估计 文中，我们用粘性消除法证明了整体具如下周期初值条件的反铁磁链方 程组( 1 1 ) 的局部光滑解存在唯一性 ，仃( z ，0 ) = 碗( z ) ，zeq 面( z ，t ) ，( z ，t ) i r l i r +( 1 2 ) 敢。，t ) ，( 。，t ) i r l i r + 其中d 0 ，qci r l ，周期为2 d ，面( z + 2 d ) = 碗( z ) ，碗扛十2 d ) = 玩( z ) l f r o l = l 碗li 1 首先给出( 1 1 ) 的具有相同周期初值条件( 1 2 ) 的带粘性项的方程组 j 面= 一百( 矗碗。) + 霄( 2 9 + 2 0 碗一2 a 2 瓯。) 【玩= 一e 秽x ( 订碗。) + 方( 2 9 一2 a 或一2 a 2 咤。) 其中e 为g i l b e r t 阻尼常数忙 0 ) 及其等价形式 首先证明了 5 ( z ，t ) q i r + ，1 。、 ( z ，t ) n i r + 1 1 6 j ( 。，。) n i r + f 1 4 1 ( 。，) q i r + 、 面固 卜凹晒 o 卜卜 z z _ u _ u _ 训 ，、l 凳 ：菩i 搋 阱狲嚣阳钢 训札川 擘| = j | _ 毗_ 班 定理1 1 设面( z ) ，面( z ) h “( f 2 ) ，则“纠口纠在f o ，j 中存在局部 光滑解面( z ，t ) ，疗( z ，t ) 觚) = ( 篓睨( 0 其中常数t o 0 与 在第四节中，我们证明了( 1 4 ) 一( 1 2 ) 的全局光滑解的存在性忙 0 1 定理1 2 设西( z ) ，曷( z ) 嚣( q ) ，t 7 0 ( x + d ) ：谝( z d ) ：碗( 。+ d j ： 碗( 。一d ) ，则对任意的r 0 ，一纠一口2 j 存在光滑解( 画( 。，t ) ，仃( z ，f ) ) 且 , f f ，d g ( 丁) ，其中 g ( t ) = ( 篓哪，t ；( ) n ( f 刍+ t f 2 j h k - 2 s h ( 0 】t ；抄。) ) ) g ( t ) = ( 瞻( o ，t ；( q ) ) ) nrz ，( o ，；日m 墙1 、s = u ：= 、7 7 ， 在第五节中我们证明了( 1 i ) 一( 1 2 ) 的局部光滑解的存在性忙：0 1 定理l 3 设面( z ) ，而( z ) 日2 ，s 2 ) 传4 7 ，则存在t o o 使得 f 7 r 2 ，一f 2 夥存在局部光滑解( 口( z ，t ) ，方( z ，f ) ) 且疗，方o ( t 0 ) ，其中 f 2 】 c ( t o ) = 瞧( o ，t o ；日k - 2 s ( n ) ) 在第六节中我们证明了( 1 4 ) 一( 1 2 ) 的光滑解的唯一性 定理1 4 设碗( 卫) ，面( z ) h ( n ) 伪4 且百( z ，巩耐z ，t ) 是( s 4 7 一 f 纠的光滑解，则矗( 。，t ) 可( 茁，n 6 嘞 日驴 州 n l 如乃 吲驷秩 2 局部光滑解( 0 ) 在这一节中，我们用差分法证明了( 1 3 ) 一( 12 ) 的局部光滑解的存在唯一 性，首先介绍几个与g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式相关的引理： 引理2 1 胆印设q ，r 为任意实数，j ，m 为任意整数，满足1 q ，r 。， 0 j 0 及常数c 0 使得 s u p 妒锄( t ) ，6 2 讳( t ) 1 1 2 c ， 0 0 使得 s u p f5 2 瓯( t ) ，6 2 碗( t ) l 2s c 0 0 ，使得 s u p 妒磊，扩访lj 2sc ， o s t s t o s u p 一渺q 诹t ，矿- 2 砒l j 2s c ，( 2 ) ， 0 t 4 ) 0 0 使得 香( 。，z 川= 1 ，f 妖。，f ) = 1 ， s u pi | d ( 。，t ) ，疗( z ，t ) l 日- sc 0 0 使得 s u pi j 也。( z ，) ，记。( 。，t ) 怯( f 2 ) c 0 t | | 碗。( z ，t ) ，盈。( z ，t ) i i l 。( q r ) c ， | | 心t ( z ，t ) ，碗t ( 。，t ) j i l 。( q r ) c ， ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 49 ) 其中c 不依赖于t 和d 证明将( 3 1 ) 关于。求两次导，然后用诧。点乘( 3 1 ) 的第一个方程，用 碗。点乘( 3 1 ) 的第二个方程得 髦篆三j 嚣氅芝? 芝i 乏。4 - i 曼) ；竺篓乏焉兰要m ，【噍。唬。t = ( 1 丑1 2 回。畦。+ 魄。瑶。阿( 2 再一2 0 碗一2 。碗。) 1 。壤。” 在 - d ，d 上积分得 因为 爰岛咤。f 2 + 盘i 碗。 。 s 盎( 1 五1 2 司。站+ 2 岛( 订司。心。 + 2 a j ( 矗碗) 。碗。一2 a 2 岛( 面或。) 。碗。，、 岳岛l 谣。i z + 岛j 咤。i ， 【4 儿) 心“碗1 2 回。v 。z x + 2 仁) d p 回。碗。 一2 aj 兰名( 订碗) 。吃。一2 a 2 j 兰) d ( 仃魂。) 。t 碗。 - d2 ( 矗回一心。 = 一上。2 ( 面方) 。碗。 = 一仁2 ( 碗州吲心。 上d2 。( 霄玩) 一心z = 一上。2 。( 矗碗) z 瓦z z = 一72 a ( g 魄4 - 露五。) 咤。 3 一d 1 6 磁心如 | + 也 阿 面 班 以 ；坪 榭 蚓仁 d d 一 一 上|l 一2 a 2 ( 矗疵。) 。瓦。 j d = t 2 a 2 ( 面西。) 。瓯。 一一d = 2 a 2 ( 说碗。+ d 蟊。) 碗。 一d = f 一2 a 2 ( 碗碗。) - 碗。 j d 所以 ；磊d - d 。i 碗坪+ 仁i 诧。1 2 c ( 。l 疵 l 或。l l 心z z i + 上。j 碗1 3 | 屯z i + 上dl 或i m i 记r z i + 上。蚓l 记l 碗z 。| + 仁吲川外仁d 矧1 1 , i 。一+ 伫吲忱。i s c ( _ 。碗l 碗z l i 站z + _ 。l 叵站。i + 上。i 诧l i 吐z z l + 上。l 碗i i 碗。i + 仁吲。i + 仁d i + 仁吲i c ( s u p 戤或z 吲i 诧。1 1 2 + i l 碗l | 3 | i 咤。1 1 2 + i f 心l 咤。l i 。 + | j 碗 豇一 1 2 + 魂i + i 瓦川z | | 碗。i l z + l i 瓦。1 吨。i i z )( 4 1 2 ) 应用引理2 1 知 | | 碗| | 。e | | 瓯| | ；i j 心。i i 1 1 碗1 1 6 c l l 豇吲l 也。幅 i l 魂。1 1 2 c l l 盈憾| | 诧。幅 上述不等式 g ( | | 玩幢i l 碗。旧1o 豇悟1o 瓯。l 诧。i i ： + l l 订= t l j i l 碗。悟l l 叵。 l 。+ 刮吨。幢+ g ( 6 ) | | 瓯眩 + 刚碗。躬+ g ( d ) | | 碗眶+ 洲碗。幢+ c | ( 驯l 戤记惦 + | | 记旧| 碗。幢j | 碗。i i 。) se ( j f 碗幢i 心。幢+ i i 戤f 心。幅 + d f i 诧。幢+ g ( d ) i 戤幄+ d | i 吮。幅+ e ( d ) f i 瓦畦 + 6 | | 诧。i i ；+ g ( d ) | | 面噍瞧+ 1 1 , 7 。1 1 孝| | 碗。幢i i 碗。i i2 ) 1 7 应用h s l d e r 不等式得 ；磊d 上d 。i 说。1 2 + 仁dl 心。1 2 c + 扣础+ 割站。| 1 2 同理可得 ；丢刚2 + 仁d 。1 2 g + 扣一l ；+ 扣硼 联立( 4 1 3 ) 和( 41 4 ) 得 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 五d 上d 一1 2 懈。1 2 + 仁。1 2 + 仁。i z 茎c + ；仁。1 2 + j 1 上d 。 2 ( 4 1 5 ) 所以 面d 上d 。舭一2 + i 碗。1 2 + j 1 上d 。i 瓦。1 2 + ；伫l 畦一zs g 应用g r o n w a 1 不等式，由上式引理得证 推论4 1 设( 仃，回是，j 4 j 的光滑解，则存在常数c 0 使得 心，诧l | p ! c ， ( 4 1 6 ) 其中c 与d ，无关 用归纳法，我们不难得到 引理4 3 设百，仃是门圳的光滑解，且碗扛) ，诧扛) h 。( q ) ，面( z + d ) = 面( z d ) ，碗( z + d ) = 碗( 。一d ) ，则对任意的t 0 , k + 1 2 s ，k 2 s 使 得 掣巳i | 也t r ( z ，t ) ，碗t 一一扣，t ) lj 2 c ，( 41 7 ) 0 0 不依赖于d 和e 证明用魂。点乘( 3 1 ) 的第一个方程，在 一d ，+ d 上积分得 应用引理2 i 得 因此 同理得 。= ；爰仁吲2 + e 仁卜s 吲。 + 2 仁( 矗回或z + 2 a ( d 吲磁。 ( 5 1 ) 咤幢se j 阍l ；| f 或。幢s 扣诧。惦+ c 1 1 矗1 1 2 “- ( 5 2 ) ；磊d 上d 。槲+ e 1 2 s ；仁1 2 删m 1 8 f d ，d + 2 - 。i 碗i 碗l + 2 a 上。( 面谣) 碗z ( 53 五d 上d 。吲2 + s 仁d 1 2 ；1 2 + e l 1 5 f dr d 2 上。| 诧l i 碗l 一2 a 上。( 方或) 咤z ( 5 4 综合( 5 3 ) 和( 5 4 ) 得 j 爰( | j 戤j 层+ | | 碗；) + ；( | | 西圳! + i 碗川；) g ( f 也。幢+ j 吃。幔) + 2 。仁d ( 面碗) 碗。 r d 一2 。上。( 仃如) 吃z ( 5 5 ) 1 9 现在我们估计2 a 馏( 矗咬) 诧。和2 0 , 启( 订面) 诧。 用如点乘( 3 1 ) 的第一个方程得 b 蕊= ： ：d 城+ ：龄。髑。 诹皿= e 诧。碗+ e i 说 2 痢： j dj i d + 2 1 7 d 媾x 确i z + 2 击j ? d i o 矗z z 因此 r d 一2 。- 。( 面碗) 瓦z = ：如噍+ 三a ，。d 2 甄+ ；( 蠢回碗一1f d d v x t 。t - i 仁i 如坪+ 孑c 上d 。l 疋1 2 + 麦仁l 诧1 4 + 麦仁吲2 + ：仁川2 一；诧盈 s i 仁蚓2 + 孑c - d 。吲2 + 麦仁吲2 + ：伫吲2 一：仁d 碗吼+ a 同理可得 ( 5 6 ) r d 2 a 上。( f 西) 曼；伫 屯i 2 + 孝上d 。f 碗f 2 + 瓦上d 。f 吨f 2 + 五c 上d 。i 瓦2 + i ：瓦玩+ c t ( 5 7 ) 将( 5 6 ) 和( 5 7 ) 代入( 55 ) 得 因为 所以 ；知酬；+ i i ：1 1 2 ) + 扣酬；制划 ! ) g ( 1 + 2 。+ i i 。1 1 “2 ) 一：仁d 诧讯+ 五1 上d 。蚴。 ( 5 8 ) d ，o 一 五一d 伽z ；f du z 。2 圳2 ) + 到划；圳划| ；) s 叩圳训随2 2 ) 一：爰讽 ( 5 9 ) 令l j 面旧+ i i 玩旧= 】。，由( 5 9 ) 可得 磊d 即) + 爰仁甄c y ( t ) 所以 r dr dr t y ( 2 ) 一y ( o ) + 上d 西( 。) 瓦( 。) 一上dd ( o ) 瓦( o ) 冬c j o y ( 。) 出+ c( 51 0 ) 又因为 r d - 。矗( t ) 碗( t ) 一c 一去y ( t ) ；d 俐1 2；2 所以 ；y ( t ) e + c 0 2 y ( t ) 应用g r o n w a l l 不等式，引理得证 引理5 2 设矗( z ，t ) ，仃( z ，t ) 是似圳的光滑解，则存在t o 0 ，有如下一 致估计： s u p | d ( 。，t ) ，秽( z ，t ) | 1 日。茎c ， u s t 0 不依赖于和d 证明将( 3 1 ) 对z 求两次导，用碗。点乘第一个方程，在 一d ，d 上积分得 所以 t d 诧。心。c j d = e 仁t 瓦。+ s ( 2 矾。也。+ 2 仁d ( 矗州诧。 2 e 上。或。瓦。+ s 上。( i 磊 2 矗) z z 也。+ 2 上石) 。诧z t dr d + 2 n h 。( 矗谣) z 。碗。一2 a 2 上。旧诧。) 。丑。 ；高仁1 2 + c f _ ：i g 一2 = s 仁( 2 吼疵+ 2 ( 矗慨 ，d。f d + 2 a 。( 矗诧) 。心。+ 2 a 2 ( 瓦砚。) 碗。 ( 5 1 1 ) o u u 2 1 因为 s ( 1 或1 2 面) 。魂。= 一s ( i 诧1 2 回。心。 r d = 一5 上。心z z ( i 面1 2 心+ 2 面( 碗噍z ) ) ( j 。1 2 ) 一s 仁d 玩一( 吲2 如) = e 仁d 吲2 n2 s 陟划。1 3 ) ，d，d 2 5 上。瓦z z 订( 瓯盈r ) = 的正。i 瓦。碗z 1 2 ( 5 ，1 4 ) 在上述推导过程中用到了矗瓦。= 一；( i 丑j 2 ) 。，将( 5 i 8 一( 5 1 4 ) 代入( 5 i i ) 得 ；五d 上d 。谢+ s 仁。1 2 = e 仁吲2 1 2 + 8 s 仁陟叵。1 2 + 2 仁( d 疵。 + 2 。( 矗瓦) 。面z + 2 a 2 仁( 谠妃) 碗。 ( 5 1 5 ) 现在估计2 a 2 馏( 矗。吃。) 心因为蚓i1 ，所以d ，碗，矗魄构成了印的 一组标准正交基设面。= q d + 卢磁+ 7 ( 矗心) 不难计算得o = 一| 碗| 2 ，p ： 瓯戤。j 或j 2 ，y = ( 矗西) 西。如j ：，因此 i d d ( 戤西z ) 诧。z = k ( _ 俳+ 警m 训k 。 = 仁啪丽吲心。+ 学m 弧一 2 i - 。l 诧1 2 ( 矗说) 诧z z ( 5 i 6 ) 在这里又用到了疗- 西。= 一 “叵j 2 ) 。，联立( 5 1 j ) 和( 5 ，1 6 ) 得 ；晏褂+ s 1 2 ，ur d 2 s 上。i 说1 2 i 碗。1 2 + 8 e - 。l 比西z 1 2 + 2 _ 。( d 回。z 面。+ 2 。上。( 矗吃) 。z 1 西。 + 5 a 2 _ 。i 碗f 2 ( 仃面) 磁z z ( 5 1 7 ) 另一方面 ；岳仁刚如 = 仁l 记【2 瓦陋矗z z + e i 面1 2 f f + f f ( 2 9 + 2 蟊一2 a 2 , g x 。) k 如 = e 刚2 心一心：。+ s 伫倒6 + 2 仁吲2 或掣诧) + 2 。伫诧1 2 碗( 矗魂。) 一2 。2 伫l 武1 2 晚( 面或一 一s 吲2 1 2 _ 2 s 仁陋心。1 2 + s 仁吲6 + 2 j 碗1 2 砭( 蠢瓦) + 2 口伫 霞 2 面浮瓦。) ， + 2 a 2 。l 豇1 2 ( 矗西) 叵。( 5 1 8 ) ；五d _ d 口 碗f 4 出十e 仁l 诧一碗+ 2 s i 五碗 = e d 吲6 + 2 仁吲2 五乍吃) + 2 。仁d 川z 吨乍训 + 2 a 2 吲2 ( d 谚站。 ( 5 1 9 ) 由( 5 1 7 ) 得 4 旦d tj ，- 。d 科地仁陶2 地m 划2 + 6 4 e 心1 2 i d，d + 1 6 上。( 面回z z 碗z + 1 6 。上。( 矗碗) z z 诧z + 4 0 0 2 仁i 疋r 仃碗) 碗。 由( 5 1 9 ) 得 5 ：d ；畋1 4 + 2 0 e i 瓦一瓯。2 十。u e 上d 。j 如碗。i ： _ 2 0 e 仁吲6 2 球吲 + 4 0 。上： 玩j 2 西( 云x 珏) + 4 0 0 2 _ ；1 咤1 2 裂碗x 雹。) 联立上述两式消去2 a 2 岱i 碗j 2 ( 哥心) 诧。这一项得 4 压d 上d 。l 磁坪+ 8 s 仁i 吃一z + 2 瞻仁瓯f 。 = j 篆刚m s s 舻划2 a s 划2 + 1 6 ( 矗方) 。- 疵。+ 1 6 a ( 矗谗) 。，或。 j d j d 一4 0 厂di 或| 。碗，( 矗咤) 一4 0 。l 或i z 吨( 霄碗。) ( 52 0 ) 一4 0 - 。i 或| 2 碗( 矗咤) 一。上口l 或1 2 吨。( 霄碗z ) ( 52 0 又因为 。8 啪划2 + 1 0 t 融划2 曼1 3 2r 。甜刚-曼恳1 2 随。i 2 一d s d 吲6 + c 伫坩 蔓j 仁d i d o l 6 + c ( d ) 驰“ s 6 _ 。刚6 + d 怯z 肛c ( d ) ( 5 m ) 取6 = 4 ，从( 5 2 0 ) 中可得 4 夏d 上d 。1 2 + 4 s 。1 2 + 1 6 e 仁刚6 = s 是仁吲4 + 1 6 仁( 寸吼。也 + 1 ( 矗吲碗- 4 0 仁吲2 碗( 5 x6a 咤) + 1 上。饵碗) z z 碗矗。l 碗j 2 碗 咤 r d 一4 0 a 一1 或1 2 矗。- ( 面诹。) ( 5 2 2 ) 一d 应用引理5 1 得 a 盖仁降a e 仁坪+ - e e 伫6 5 磊d _ d 。 碗1 4 + e ( 1 + i 碗。| | ；+ i 谣。i ；) + 1 6 a d ( 矗碗) 。魄。 茎5 丢仁1 到4 + g + 慨1 l i 圳划1 j ) ，d + 1 6 a ( 记壤+ 矗碗。) 。诧。 j 一王) 5 爰l 碗4 + g ”+ f | 碗圳；十f l 疋川；) + 3 2 a 仁( 瓦玩，) 碗。 r d + 1 6 。_ 。( 订。壤。) 面z 5 孤d f d 。瓦4 + g + g ( 1 + s 1 ，1 p i i 叵lr l 。) ( i 】丑。惦+ i 碗。1 1 9 ，d 一1 6 a 。( 西x 矗z 。) 记z 。 ( 52 3 ) 2 4 力j 佰计【52 3 ) 朗最后一项，用u 。点乘( 3 1 ) ，= i 王【一u ，u 上积分得 r d 一d ”m “ 一d 。如嘎x x + e 吲2 i f , + 2 仁( 矗研 r dr d + 2 n 。( d 碗) 碗z 。一2 a 2 上。玩z ) 碗z 。 所以 - 2 0 2 d ( 面训吨。 一仁d 珏碗x x - - 8 仁舭心州( 洲k 吨 j1 、f di j ? j 、。jf d 。 + 2 。- 。( 口瑶) z 。如+ 上。碗。z 面 由上式可得 r d 一1 6 。- d ( 面碗。) 碗。z 一：s 仁碗。一a 8 s 仁吲2 d 吨。+ 萼仁( 矗回。2 一云5 上_ d 乱。”。z 。一5 上dl “z r z 。+ i - n ( 矗回。 ：( 霄。碗) 。吨+ ；dv 一。x x u t + 1 6 a 上。( 霄碗) 。+ ；。 s s 仁训2 + c r ( 1 + i i 碗掘刊划i i 。) + ：暖 将( 5 2 4 ) 代入f 5 2 3 1 得 4 瓦d _ d 。1 2 + 4 e d 刚2 + 1 6 s e s 5 面d 上d 。l u 。1 4 + g + c ( 1 + s u p l l 或忆。) ( i l 诧。幢+ 瓦。旧 + 一8 d 碗。面 a 。d 4 面d _ d 。1 2 + 4 e 仁。1 2 + 1 6 e 上d 。川e 曼5 磊d 一d 。l “。1 4 + g + g ( 1 + 8 号p 1 1 碗1 1 l 。) ( 1 l 如。| f ；+ i 记。1 1 2 2 ) 一旦尸玩(526)a 一一上d “一毗 ( 5 2 6 j 因此 4 爰仁( 1 2 也坪) 姚仁( ：1 2 + k 2 ) + 1 6 e 盘甜啦n 叫 卿 + k 5 爰也1 4 + 5 五d 一d 。j 4 + e 1 + s u p ( i 碗忆。+ 旧剜c 一) l 碗圳i 刊圳) + ：( 丘面一仁卅c 由上式可得 4 丢( 忆+ 2 ) + 2 s 仁( 坪+ 坪) + 1 6 s 仁( 川6 + 吲6 ) + ；景伫城一s 墨伫( 啪一 兰c 1 + 5 世p ( l 诧l i l + i | 丑 i l 。c ) ( | 碗z | l ；+ 碗。】| ；) + g ( 5 2 7 ) 应用g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式，引理得证 推论5 1 设矗( z ，t ) ，订( z ，t ) 是仁4 j 的光滑解，在引理52 的条件下，则 存在常数c 0 使得 s u p | | 瓦( z ，t ) ，丑( z ，t ) i j l 。sc ，( 5 2 8 ) u 三蛭一c o 其中c 0 不依赖于e 和d 为了得到日3 的一致估计，用类似的方法，令西。= d 面+ 卢7 瓯+ 7 f f 记其 中= 矗- 五。= - 3 说诧。，卢= 碗唬。l 碗1 2 ，7 = x 吨) 武。i 瓦2 ， 最终可得到 引理5 3 设矗( 石，t ) ，疗( 。，t ) 是“，4 ，的光滑解，且面( 。) ，碗( z ) h 。( q ) ， 西( z + d ) = f r o ( z d ) ，碗扛+ d ) = 碗扛一d ) 存在t o 0 和常数g 0 使得 s u p | i 叵t p ( z ，t ) ，谆t p ( z ，t ) 1 1 2 c ，( 5 2 9 ) u s s 1 b 其中k ，s 为非负整数， 2 s ，c 依赖于| | 豌1 1 日4 n ) 1 1 ，| i 面0 1 1 日一( a ) l l ，不依赖于 d 和e 根据引理5 3 ，令e 一0 ，我们可以得到( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的局部光滑解的存在性 2 6 6 定理1 4 的证明 在这一节中，我们证明( 1 4 ) 和( 1 2 ) 的光滑解的唯一性，即定理1 4 证明设讥( z ，t ) = 面( z ，t ) 一f f 2 ( x ，t ) ，z i 2 ( z ，t ) = 魂( z ，t ) 一碗( z ，t ) ，( z ，t ) q i r + ，显然面l ( 3 2 ，t ) 是如下问题的解 j 矗1 t 2 e l 矗1 。2 石1 + e 矗l z z 十面l ( 2 西+ 2 。碗z 一2 矿百1 z z f 6 1 ) l 面t = 5 l 碗。1 2 丽2 + e 疡。+ 碗( 2 魂+ 2 n 西。一2 a 2 矗2 。：) 、 。 ( 6 1 ) 的第一个方程减去第二个方程得 面l t = e t d l 。+ 2 ( 3 l 访- t - 亟x 近) + 2 a ( 面1 矾。+ 碗画。) 一2 舻( 矗l 峦1 口+ 罚lx9 2 x x ) + l 矗l 。1 2 l + e 【( 晚。+ 矗2 。) 面1 。 ( 6 2 ) 用面1 点乘( 6 2 ) 在 一d ，d 上积分得 ；磊d _ d 。+ s 刚2 茎g 仁( 慨1 2 + i 1 2 ) + c | 伫( 对i ) + i 仁1 2 ( 6 3 ) ；磊d 上d 。1 2 + e 仁恢f 2 g 伫( 蚓2 + i 1 2 ) + g 仁( 阮i i l 1 2 + 榭) g 上。( 1 奶j 2 +2 ) + g 上。( 1 魂z 2 + i 蟊m f 2 ) + i 6 上。9 画i 用面h 。点乘( 6 2 ) 在【一d ，d 上积分得 ；- - 别一d 。2 + e 1 2 r d，d g 上。( 1 亩1 2 + | 透n + g 上。( 1 3 。1 2 + 1 亟z n + ；f 2 同理得 ；石d 上d 。坪托f i 搿i r dr d g 上。( 倒2 + ) + g 上。( i 厩z 1 2 + 1 3 - z 1 2 ) + i 2 7 ( 6 4 ) ( 6 5 ) ( 6 6 ) 联立( 6 3 ) ：( 6 4 ) ，( 65 ) ，( 66 ) 得 1d r o 1 2 7 互五一d ( i 1 l 。十i 叫2 i 一+ w l z j + ；s ( 仁阻2 ) r d g 上。( i 面1 1 2 + i 奶2 + | 面1 z l r d 2 + 疵。1 2 ) + e ( l 面- 。1 2 + l 厩。f 2 ) 一d 应用g r o n w a l l 不等式以及初始条件面l ( 。，0 ) = 0 ，亟( z ，0 ) = 0 得面1 0 ，魂= 0 ，即矗1 ( z ，t ) = 碗( 。，f ) ，魂( 。，t ) = 晚( z ，) 参考文献 f 1 1l a u d a u ，l ，d ，l i f s h l t ze m ，o nt h et h e o r yo ft h ed i s p e r s i o no fm a g n e t i cp e r m e a b i h t yi nf e r r o m a g n e t i cb o d i e s z s o w j e t u n i o n ，8 ，1 9 3 5 2 】z h a n g ，s ，c ，au n i f i e dt h e o r yb a s e do ns o ( 5 ) s y m m e t r y o fs u p e r c o n d u c t i v i t y a n da n t i f e r r o m a g n e t i s m s c i e n c e ，v 0 1 2 7 5 ，1 9 9 7 1 0 8 9 1 0 9 6 3 k a m p t ap m a g n e t i cc o r r e l a t i o n si n h i g ht e m p e r a t u r es u p e r c o n d u c t i v i t y p h y sr e p ，2 4 9 ：2 1 9 4 】g r u n b e r gp ，s h r e i b e rr ，p a n gy ，e ta 1 l a y e r e dm a g n e t i cs t r c t u r e s ：e v i d e n c e f o r a n t i f e r r o m a g n e t i cc o u p l i n go ff el a y e r a c r o s sc ri n t e r l a y e r s p h y sr e v l e t t ，1 9 8 6 ，5 7 ：2 4 4 2 5 】h a l d a n c e f ，d m ，n o n l i n e a r f i e l d t h e o r yo fl a r g e s p i nh e i s e n b e r ga n t i f e r r o m a g n e t s ：s e m i c l a s s i c a l l yq u a n t i z e ds o l i t o n so ft h eo n e d i m e n s i o n a le a s y a x i s n e l ls t a t e p h y sr e vl e t t ，1 9 8 3 5 0 ：1 1 5 3 6 】w h i t e s r ，h u s e da ，n u m e r i c a lr e n o r m a l i z a t i o n g r o u ps t u d yo fl o w l a y i n g e i g e n s t a t e so ft h ea n t i f e r r o m a g n e t i cs = lh e i s e n b e r gc h a i n p h y sr e v ，1 9 9 3 ， b 4 8 ：3 8 8 4 7 t a k a h a s h im s p i n c o r r e l a t i o no ft h es = la n t i