（凝聚态物理专业论文）粗几何上的算子代数及指标问题.pdf

内容摘要 粗几何上的指标理谂是“非交换几何”领域近十年来发矮起来黔重要 研究方肉，英主要问题“租b a u m c o n n e s 猜测”希望用可计算的拓扑不 变量“糇k 。同调黎”来计算盎非紧空间的粳几秘结构产生的指标c + 代 数的k 。避论群。受膨张圉上粗b a u m 。c o n n e s 獍测豹反谚( 2 0 0 0 年) 驰 扁发，我们试图利用指标代数熊l 弋数结构 乍为联系几何与分析之润的桥梁 来研究糖b a u m ，c o l l n e s 猜测。 本文的主要工作基本上完成了上述构想躲第一步研究任务，比较系统 地刻画了糨几何上的指标舞予代数，即r o e 代数与一致r o e 代数的理想 结构的凡傅构造。整个疆究工作的关键与突破口是我们引入豹对指拣代数 豹“控制切割技术”。本文述研究了离散群的岛赢辍到致凸b a n a c h 室阔 的粗几何嵌入问题。 全文共露章。 第一章弓；入控制切割技术，研究了粗空闽上瓣一致r o e 代数豹理想 绩构，诞明了一致r o e 代数的繇 可理想中的有限传撵算予烩为该壤怒中 算予的控制切割，并用粗空间的予空间理想格、糖几何广群的开不变子集 格等对一致r o e 代数的理想进行了分类。 第二章嗣用第一章的结果，结合s c h u r 暴子技术，完整刻画了爨有 g - y u 的“性质a ”的离敬度最空间上的一致r o e 代数的理想结构，同时 磅究了一致r o e 代数中酌“鬼理想”现象，并弓 入“近戗膨胀图”的构 造展示了在r o e 代数中产生“鬼理想”怪蕊象懿广泛途径。 第三章利用紧冀予的奇异傻分解把第一章弓| 入的对一致r o e 代数的 控制惦副技零捺广到r o e 代数，涯鹗了r o e 代数的任簿理想中的有限传 播算子同样恰为该理想中算子的控制切割，并迸一步引入了糖几何空润上 的“秩分布”缩掏对r o e 代数豹理想进行了分类。 第四章涯明了两个可数离散群如柒都能粗嵌入到致凸b a n a c h 空 间，则它们的囊由积也可以粗嵌入到一致凸b a n a c h 空间，从丽满足粗几 薅n o v i k o v 猜测( 利翊了k a s p a r o v 与y h 予2 0 0 4 年的最掰结果) 。 关键溺：褪赶露，算子代数，理慧，离散群，b a n a c h 空弱 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw es y s t e m a t i c a l l yc h a r a c t e r i z et h ei d e a ls t r u c t u r eo ft h er o e a l g e b r a sa n dt h eu n i f o r mr o ea l g e b r a s ，w h i c ha r ei n d e xo p e r a t o ra l g e b r a s a s s o c i a t e dw i t ht h ec o a r s eg e o m e t r ya n di n d e xp r o b l e m so fn o n c o m p a c ts p a c e s w ei n t r o d u c eac o n t r o l l e dt r u n c a t i o nt e c h n i q u e ，w h i c hp l a y sac r u c i a lr o l e i nt h ew h o l ew o r k o t h e rr e l a t e dp r o b l e m sa r ea l s od i s c u s s e d t h et h e s i s c o n s i s t so f f o u rc h a p t e r s ， i nc h a p t e ro n e ，b yi n t r o d u c i n gac o n t r o l l e dt r u n c a t i o nt e c h n i q u e ，w es h o w t h a tt h ec o n t r o l l e dp r o p a g a t i o no p e r a t o r si na ni d e a lo ft h eu n i f o r mr o e a l g e b r aa r ee x a c t l yt h ec o n t r o l l e dt r u n c a t i o n so fe l e m e n t si nt h ei d e a l i t f o l l o w st h a tt h el a t t i c eo ft h ei d e a l so ft h eu n i f o r mr o ea l g e b r ai nw h i c h c o n t r o l l e dp r o p a g a t i o no p e r a t o r sa r ed e n s e ，t h el a t t i c eo ft h ei n v a r i a n to p e n s u b s e t si nt h eu n i ts p a c eo ft h eg r o u p o i di n t r o d u c e db ys k a n d a l i s ，t ua n d y u ，t h el a t t i c eo ft h ei d e a l so ft h ec o a r s es t r u c t u r e ，a n dt h el a t t i c eo f t h ei d e a l so ft h ec o a r s es p a c ea r em u t u a l l yi s o m o r p h i c t h e s el a t t i c e sa l s o c l a s s i f yt h ei d e a l so ft h eu n i f o r mr o ea l g e b r a i nc h a p t e rt w o ，w eu s et h er e s u l t si nc h a p t e ro n et oc o m p l e t e l yd e s c r i b et h e i d e a ls t r u c t u r eo ft h eu n i f o r mr o ea l g e b r a so ft h ed i s c r e t em e t r i cs p a c e s w i t hy u sp r o p e r t ya ，w ea l s oc h a r a c t e r i z et h eg h o s te l e m e n t si nt h eu n i f o r m r o ea l g e b r a sb yu s i n gi d e a ls t r u c t u r e + s 1 i g h t l yw e a k e n i n gt h er e q u i r e m e n t o fa ne x p a n d e rs e q u e n c e 。w ei n t r o d u c et h ec o n s t r u c t i o no fa na l m o s te x p a n d e r s e q u e n c e ，f r o mw h i c hg h o s ti d e a l sa r i s ea sw e l l i nc h a p t e rt h r e e ，w eg e n e r a li z et h em a i ni d e aa n dr e s u l t si nc h a p t e ro n ef o r t h eu n i f o r ma l g e b r a st ot h er o ea l g e b r a s w ea 1 s oi n t r o d u c et h en o t i o no f r a n kd i s t r i b u t i o n so nac o a r s es p a c ea n ds h o wt h a tt h el a t t i e eo ft h ei d e a l s o ft h er o ea l g e b r a si nw h i c hc o n t r o l l e dp r o p a g a t i o no p e r a t o r sa r ed e n s ei s i s o m o r p h i ct ot h el a t t i c eo fa l tr a n kd i s t r i b u t i o n so nt h ec o a r s es p a c e 。f o r a 越s c r e t em e t r i cs p a c ew i t h ! u sp r o p e r t ya ，t h ei d e a ls t r u c t u r eo ft h er o e a l g e b r ai sc o m p l e t e l yd e t e r m i n e db yt h er a n kd i s t r i b u t i o n s 。 i nc h a p t e rf o u r ，w es h o wt h a ti ft w oc o u n t a b l ed i s c r e t eg r o u p sa r ec o a r s e l y e m b e d d a b l ei n t oau n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c et h e ns oi st h e i rf r e ep r o d u c t ， s ot h a tt h ec o a r s en o v i k o vc o n j e c t u r eh o l d sf o rt h i sf r e ep r o d u c t ，b yan e w w o r ko fk a s p a r o va n dy ui n2 0 0 4 k e y w o r d s ：c o a r s eg e o m e t r y ，o p e r a t o ra l g e b r a s ，i d e a l ，d i s c r e t eg r o u p b a n a c hs p a c e a b s t r a c t c h a p t e r1 ( p a g e1 ) i d e a ls t r u c t ur eo fu n i f o r mr o ea l g e b r a so fc o a r s es p a c e s l e tq ( x ，) b et h eu n i f o r mr o ea l g e b r ao fac o a r s es p a c e ( x ，占) w i t h u n i f o r m l yl o c a l l yf i n i t e c o a r s es t r u c t u r e b yac o n t r o l l e dt r u n c a t i o nt e c h - n i q u e ，w es h o wt h a tt h ec o n t r o l l e dp r o p a g a t i o no p e r a t o r si n 8 ii d e a ljo f 嘭( x ，) a r ee x a c t l yt h ec o n t r o l l e dt r m i e a t i o n so fe l e m e n t si nf i tf o l l o w s t h a tt h el a t t i c eo ft h ei d e a l so ft h eu n i f o r mr o ea l g e b r aq ( x ，占) i nw h i c h c o n t r o l l e dp r o p a g a t i o no p e r a t o r sa r ed e n s e ，t h el a t t i c eo ft h ei n v a r i a l l to p e n s u b s e t si nt h eu n i ts p a c eo ft h eg r o u p o i dg ( x ) i n t r o d u c e db ys k a n d a l i s ，t u a n dy u ，t h el a t t i c eo ft h ei d e a l so ft h ec o a r s es t r u c t u r e ，a n dt h el a t t i c eo f t h ei d e a l so ft h ec o d z s es p a c exa r em u t u a l l yi s o m o r p h i ct h e s el a t t i c e sa l s o g i v er i s et oat y p eo fc l a s s i f i c a t i o nf o rt h ei d e a l so fq ( x ，) c h a p t e r2 ( p a g e3 1 ) a l m o s te x p a n d e r sa n dg h o s ti d e a l si nu n i f o r mr o ea l g e b r a s l e t q ( x ) b e t h e u n i f o r m r o ea l g e b r a o f a c o a r s es p a c e x w i t h u n i f o r m l y i o e a l l yf i n i t ec o a r s es t r u c t u r e w es h o wt h a t0 2 1o p e r a t o rgi n 皖( x ) i sa g h o s te l e m e n t i fa n do n l yi ft h ef i n i t ep r o p a g a t i o no p e r a t o r si nt h ep r i n c i p a l i d e a l ( g ) a r ea l lc o m p a c to p e r a t o r s i fx i sad i s c r e t em e t r es p a c ew i t hy u s p r o p e r t y ( a ) ，t h e na n yi d e a li n 皖( x ) i st h ec l o s u r eo f t h ef i n i t ep r o p a g a t i o n o p e r a t o r si ni ts l i g h t l yw e a k e n i n gt h er e q u i r e m e n to fa ne x p a n d e rs e q u e n c e ， w ei n t r o d u c et h ec o n s t r u c t i o no fa na l m o s te a ”p a n d e rs e q u e n c e ，f r o mw h i c h g h o s te l e n l e n t sa r i s ea sw e l l c h a p t e r3 ( p a g e4 9 ) r a n kd i s t r i b u t i o n s0 1 1c o a r s es p a c e sa n di d e a ls t r u c t u r eo fr o ea l g e b r a s w ei n t r o d u c ec o n t r o l l e dt r u n c a t i o n sf o ro p e r a t o r si nt h er o ea l g e b r a s 伊) o f ac o a r s es p a c e ( x ) ) w i t hu n i f o r m l yl o c a l yf i n i t ec o s z s es t r u c t u r e ， a n dr a n kd i s t r i b u t i o n so n ( x ，) w es h o wt h a tt h ec o n t r o l l e dp r o p a g a t i o n o p e r a t o r si na ni d e a lio fc + ( x ) a r ee x a c t l yt h ec o n t r o l l e dt r u n c a t i o n so f e l e m e n t si ni i tf o l l o w st h a tt h el a t t i c eo ft h ei d e a l so fc + ( x ) i nw h i c h c o n t r o l l e dp r o p a g a t i o no p e r a t o r s8 z ed e n s ei si s o m o r p h i ct ot h el a t t i c eo f a l lr a n kd i s t r i b u t i o n so n ( x ，) i fxi sad i s c r e t em e t r i cs p a c ew i t hy u s p r o p e r t ya t h e nt h ei d e ms t r u c t u r eo ft h er o ea l g e b r ac + ( x ) i sc o m p l e t e l y d e t e r m i n e db yt h er a n kd i s t r i b u t i o n so nx c h a p t e r4 ( p a g e6 6 ) u n i f o r me m b e d d i n g so ff r e ep r o d u c t si n t ou n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e s l e taa n dbb ec o u n t a b l ed i s c r e t eg r o u p sa n dl e tr=abb et h e i r f r e ep r o d u c tw es h o wt h a ti faa n dba r eu n i f o r m l ye m b e d d a b l ei n t oa u n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e ，t h e ns oi sf c o n s e q u e n t i f 3b yar e c e n t r e s u l to fk a s p a r o va n dy u ，t h ec o d s eg e o m e t r i cn o v i k o vc o n j e c t u r eh o l d s f o rf k e yw o r d s ：c o a r s eg e o m e t r y ，o p e r a t o ra l g e b r a ，i d e a l ，d i s c r e t eg r o u p ，b a - n a c hs p a c e m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) ：p r i m a r y4 6 l 8 0 2 c h a p t e r1 i d e a ls t r u c t u r eo fu n i f o r mr o e a l g e b r a so fc o a r s esp a c e s 1 i n t r o d u c t i o n t h eu n i f o r mr o ea l g e b r a sa n dt h ec o a r s er o ea l g e b r a sa r et y p i c a l l yc + 一 a l g e b r a so fp r o p e rm e t r i cs p a c e sw i t hc o a r s eg e o m e t r y , w h i c hh a v eg r e a t i m p o r t a n c ei ng e o m e t r y , t o p o l o g ya n da n a l y s i s ，s e e 【1 - 3 ，7 - 1 1 ，1 4 ，1 7 - 2 3 f o rad i s c r e t e ，b o u n d e dg e o m e t r ym e t r i cs p a c e ( x ，d ) ，t h eu n i f o r mr o ee l - g e b r aq ( x ) a r eg e n e r a t e db yo p e r a t o r sa = 【a z , xr 】，i nt h ef o r mo fx x m a t r i x ，o n 护) w h i c hh a v e 加i r ep r o p a g a t i o nm e a n i n gt h a ts u p d ( z ，z ，) a ，o 0 7 p r o o f f o rt c ：( x ，) a n d 0t h e r ee x i s t sr c t r l ( x ，) s u c ht h a t i tf o l l o w st h a t h e n c e ，s u p p e ( t ) 占 | | ，一冀。s | i t 一就l 0 。 ( a ) t h ee t r u n c a t i o no ft i sd e f i n e dt ob et h eo p e r a t o r 强= 江( 茁，箩) ! 姚们= t ( 茁i f 。k ( x , 篓y ) e ( b ) t h e 一t r u n c a t i o no ft i sd e f i n e dt ob et h eo p e r a t o r 霉= 正u p p e ( 妁 t h a t i s ， 疋c 茁，一 0 茹，萝x2 i f ；芝：；：i 。e 1 ， f ( o ，蓼) l 0 f o ras u b s e te x x ，d e n o t eb y 冶t h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n o fe 。n o t et h a tx 嚣c t r l ( x ，) f o ra l le ，f o r8s u b s e tygx ，t h e c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n 耵i sa l s or e p r e s e n t e da st h ep r o j e c t i o no f 驴( x ) o n t o 庐) t h u s ，i no u rn o t a t i o n ， x y = 。) ( y 8 a so p e r a t o r so i l 妒( x ) ，w h e r e y = ( 玑y ) ：y y f o ra no p e r a t o r t q ) ，d e n o t eb y ( t ) t h ec l o s e d ，t w o - s i d e di d e a lo f 皎僻) g e n e r a t e d b yt f o ra n yi d e a l ，o fq ( x ) ，d e n o t e c t r l ( i ) = i n c t r l ( x ，国 t h ec o n t r o l l e dp r o p a g a t i o no p e r a t o r si n ，r e c a l lt h a t 。f o re d e ) = z x ：3 y ，( 。，y ) e l e m m a3 4 l e te b eap a r t i a lt r a n s l a t i o n 。f o ra n yt 皖( x ) a n da u yg 0 ，w eh a v e x r ( s u p p 。) ( 即) 毫c t r l ( ；f o ra l lx z i tf o l l o w sf r o ml e m m a2 4 ( 1 ) t h a tx a d m i t sap a r t i t i o no ff i n i t e l ym a n ys u p p ( r ) 一s e p a r a t e ds u b s p a c e s ，s a y , x x 1 u 玛u - u t h u s ， z = z n x = ( z n x l ) i j ( z n 弱) u u ( z n x m ) a n d x z 2 x z n x l 十x z n x 2 + + x z a x m s i n c es u p p x z n x = a z n x 。，w ek n o wt h a tx z n 蔑c t r l ( x ，) f o ra l l i = 1 ，一，m t h e r e f o r e ，i no r d e rt os h o wx z ( t ) i ts u f f i c e st os h o w x z n x ( t ) f o ra 珏i f i xa l li d e n o t er = x z n 托r x 。n 墨a n dw = x z n x , w x z n 篮t h e n 影( r ) ，a n de 2 ( znx di sar e d u c i n gs u b s p a c ef o rb o t h 盂a n d 影s i n c e zn 托i ss u p p ( n ) 一s e p a r a t e d ，ri sad i a g o n a lo p e r a t o ro ne 2 ( x ) w i t h 酏) 。 冀忙 10 i fz = y z n x i o t h e r w i s e c o n s i d e rt h ec o a r s es u b s p a c e ( zn 五，占f 吕n 孔) o ft h ec o a r s es p a c e ( x ，占) s i n c e 抓飘占，t h eu n i f o r mr o ea l g e b r a 皖( zn 磁，e i z n 溉) i su n i t a l w i t ht h eu n i tx z n x i t h eo p e r a t o r sra n dwc a nb ev i e w e da se l e m e n