（凝聚态物理专业论文）三维介质球结构光子晶体的理论研究.pdf

中文揍要 本论文是用多黧数射璁论米磅究懿是三维余震球结构的光子熬体健输特性， 内容安排如下： 第一章将简单地介绍光予晶体概念，歉展历史以及碰用。 第二章系统介绍三维球结构能带计算的多熏散射方法，给出理论公式，计算 方法等。 第三章是利用多麓散射方法计算各向昴性树料构成的球结构三维光予晶体 酶能带褥瞧，显示各辩筹瞧孝芎藕主辍方商对带黻鹣谣麓俸瘸，本牵最后将绘出金 属材料在纳米尺度构成的球结构光予晶体的传输性质。 关键词 光子晶体，能带，多羹散射，各向异性介质 孛圈凳类号j0 4 6 9 2 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w eh a v ec a l c u l a t e d3 - d i m e n s i o n a l p h o t o n i c sc o m p o s e do fs p h e r e s ，a n d s t u & e dt h et r a n s m i s s i o np r o p e r t i e s ，t h ec o n t e n t sa r e a r r a n g a t 勰f o l l o w s , i nt h ef i r s tc h a p t e r , 1w i l lg e n e r a l l yi n t r o d u c es a m eb a s i cc o n c e p t sf o rt h ep h o t o n i c c r y s t a l s ，t h ep r o g r e s so f l t sd e v e l o p m e n t ，a n dt h ea p p l i c a t i o n s mt h es e c o n dc h a p t e r , t h em u l t i p l es c a t t e r i n gm e t h o d sv a l lb ei n t r o d u c e d ；s o m e f o r m u l a sa n dc a l c u l a t i n gm e t h o d sw i l lb eg i v e n i nt h el a s t c h a p t e r , w ec a l c u l a t et h ep h o t o n i cb a n ds t r u c t u r e sf o rs i m p l el a t t i c e s c o m p o s e do fi s o t r o p i cs p h e r e s ，w l u c hi n d i c a t et h em e c h a n i s mo ft h eo n e n t a t i o no f m a j o ra x e s a tt h ee n do ft h i st h e s i st r a n s r m s s i o n so fp h o t o n i c c r y s t a l s w i t h n a n o m e t e r - s p h e r e sh a v eb e e nc a l c u l a t e d k e yw o r d s p h o t o m cc r y s t a l ，b a n ds t r u c t u r e , m u l t i p l es c a t t e n n g ，i s o t r o p i cm a t e r i a l s 【c l c 】0 4 6 9 3 第一节概述 第一章光子晶体简介 1 9 8 7 年y a b l o n o v i t c h 1 和j o h n 2 在讨论如何抑制自发辐射和光子局域 时，把能带概念引入光波和电磁波，首次提出了光子晶体的概念，从此开辟了物 理学研究的一个新领域光子晶体，光子晶体研究逐渐成为热门研究领域，相 关文献逐年增加，光子晶体也由理论研究逐步走向应用，全新的光子晶体器件被 寄予厚望来取代传统的半导体器件和传统的光学器件。 光子晶体是指电介质结构具有周期性调制的材料。由于这种周期性的结构， 使得电磁波在光予晶体材料中传播时受到布拉格散射的调制，形成能带，这种能 带成为光子能带，光子能带之间形成的带隙成为光子带隙，因此光子晶体又称为 光子带隙材料。频率处于带隙中的电磁波在光子晶体中的态密度为零，因而不能 传播。 圆蚓鼹澎 t 静 强 o 脚 态莳艘 厂 强$ o 畔e q q ：i 礤竺爷 弋f * m 珏t 士镬3 厂 图1 - 1 1 、( a ) 一维、二维和三维光子晶体示意图。( b ) 光子晶体能带结构和态密度 阴影部分代表光子带隙。 固体物理理论 3 中的许多概念、理论、计算方法对于光子晶体同样适用。 例如固体物理理论中的晶格、布里渊区、倒格矢、布洛赫波等概念被引入光子晶 体理论中；光子晶体中的电磁波也以布洛赫波形式存在；用于固体物理能带计算 的理论，如k k r 理论 4 也被借鉴到光子晶体能带计算。 光子晶体理论与固体物理理论虽然有许多相似的地方，但他们之间有着本质 的不同，光子晶体研究的是光子，需要解麦克斯韦方程组，光子是玻色子；固体 4 物理研究的是电子，需要求解薛定谔方程，电子是费米子。 自然界中就存在天然的光子晶体，如蛋白石，孔雀羽毛 5 等 第二节光子晶体的应用 光子晶体在诸多方面有着优良的特性，因而有着很广泛的应用。 高性能的平面天线和反射镜 当电磁波的频率落在光子带隙里，电磁波将不能穿过光子晶体而传播，这时 外界入射的电磁波如果不被材料吸收，几乎1 0 0 被反射回去。这与传统的金属 反射镜不同，传统的反射镜只对特定范围内的波段能够有效地反射，超过这个波 段范围将存在较大的吸收，而光子晶体可以把禁带设计在需要的频段范围内。利 用这一特点，可以设计新型的平面天线 6 ，利用光子晶体作衬底，可以有效减 小电磁波透过衬底而产生的能量损失，从而使能量几乎全部向有效空间发射。同 时研究表明，选取适当的材料，可以设计出一维光子晶体的全反射镜 7 。 光子晶体光纤 传统的光纤是将纯净的二氧化硅拉成细丝，利用全反射原理光波可以在其中 传播，由于是在介质中长距离传播，即使存在很小的吸收也会带来信号的衰减， 商用频率一般选在1 5 微米波段，因为对于这个波长吸收最小。1 9 9 8 年英国b a c h 大学研究人员利用二氧化硅棒和二氧化硅管拉丝，中间引入空气管缺陷的光子晶 体光纤 8 ，频率落在禁带范围内的光波可以在中间的空气管道传播，由于中间 是空气介质，所以可以在其中传播的范围比传统光纤要大。最近，他们又在中空 的管道里充入黎曼气体( 如图) ，在一端加泵浦光制成傲光器 9 ，在禁带波段内 的光波不能通过管壁透射出去，因而使管道内发生黎曼散射的效率大幅度提高， 从而可能实现用廉价红外波段的傲光转换昂贵波段( 如紫外波段) 的激光，预计 将来可以应用于医疗等方面，可以使成本大大降低。 5 震嚣嬲嚣鬻瓣鬻谲硪嘲 6 篡 砌环噪融 瀑鞴 移j 查籽 嚣一 灯i 呈 第二章光子晶体的理论计算的多重散射方法 第一节多重散射方法的概述 光子晶体的计算方法有很多 3 0 】，例如传输矩阵法 1 7 1 9 】，平面波展开法 【2 0 - 2 2 】，时域有限差分法 2 3 2 5 】和多重散射法 2 6 2 s 。处理一维光子晶体用传输 矩阵法很有效，平面波展开是用得比较多的一种方法，但在处理金属介质等问题 的时候，由于在金属介质和背景材料的界面上，电场会发生迅速变化，因而不得 不增加平面波数量以提高精确度，但这种结果会带来计算量难以在实际中实现， 时域有限差分法是比较通用的计算方法，尤其是在在处理介质情况比较复杂的时 候，缺点是当处理的体系含有体积较小的介质时，计算所需划分的网格要很细， 这会迅速增加计算量，从而影响计算的可行性。在一些特定的体系中，多重散射 法也是一种有效的计算方法，它可以克服其它计算方法的不足。 多重散射方法，在固体能带理论里也叫k k r 4 ，2 9 方法，将光子晶体每个原 胞看作是一个散射中心，电磁场的波函数将被展开成球谐函数，散射体边界处的 入射电磁场可以看成是初始入射场与其它所有散射体的散射场的叠加，因此一旦 单个散射体的散射性质确定，最后问题可以归结到求解本证方程问题，可以得到 光子晶体能带。 第二节三维介质球的多重散射方法 对于三维介质球结构，多重散射方法是将电磁波展开成球面波的形式，然后 带入麦克斯韦方程组，求解本征值，从而计算出能带结构 3 1 3 5 。 首先 v x e 一= 卸号，v “一卸e ， ( 2 2 1 ) v v e k e = 0 v v x h k 2 h = 0 e s u ) = z e i ，。u ) n 2 ( 七，o ) + 6 船m 2 ( 后，) 】 j ( 护南善n 2 ( t r j ) + 础m 胁剐】 2 - 2 - 2 以：() 7 e l u ) = 一l e f a ( ) n o ) f 、v ，r a + c 船m 2 ( 勺，) 】 刚d 一- - 者，磊 _ 1 - - s c n - l m n ) n 瓢) + 础m 2 ( 饥) 】( 2 - 2 几t一3 ) 这里 e ，( ，) ，h ，( _ ，) 】是散射的电场和磁场； e ，( ，) ，h ，u ) 】是第j 个介质球内的电场 和磁场，其中， 爿刚他1 ) 黜( 2 - 2 - 5 ) k 是背景介质的波数，k 是第j 个介质球内的波数，k 2 = 2 掣，1 ( 或一) 是 背景介质( 或第j 个介质球) 的磁导率。对于求和，n 取值从1 到m ，m 取值 由呻到+ n 。r 是第j 个坐标系( 坐标原点位于第j 个介质球的中心) 中的位置 矢量，矢量球谐函数m 2 ，n 2 ，i 由如下给出， m 2 ( 豇，r ) = 【i 石。( c o s o ) e o f 。( c o s o ) e d 】d ? ( 鼢) e x p ( f m 咖) n 2 ( 毛r ) = 【f m s 口概+ 打一c o ，s 。日) e ，】吉导 群( 胁) 】e x p ( 嘶) ( 2 2 6 ) 一阳 、 。 q ”( h + 7 ) 掣( e o s o ) 吾e x p ( i m o ) 吆( k ，r ) ：【r 。( c 。s p ) 栅。( c o s 跏 三挈唧( 删) + 嘭掣s 日) ；旱【杉( 打) e x p ( z 删) 席a r 并且满足方程 v x v x m 2 - k 2 m 2 = o ，m 2 = v n 2 ， v x v x n 2 一酽n 2 = o ，n 2 = v m 2 ， ( 2 - 2 7 ) v ( v 瑚) + 驴峨= o 这里覃( 是第一类关联l e g e n d r e 函数，由如下给出 s 芹( 功= 南( 1 “筹妒卅 职州- 1 ) “等蔫并( 2 - 2 - 8 ) ，掣甲出= 乏备苦捌靠 z 。( j 是从四个b e s s e l 函数中适当选取的：第一类、第二类球b e s s e l 函数厶和n ( 后 面也成为球n e u m a n n 函数) ，第一类、第二类球h a n k e l 函数噬1 和硝”，即 = 两个辅助函数7 r 。( c o s 0 ) g l r 。( c o s 0 ) 定义如下 玎。s 9 ) = j 五m 万第s 钆f 。和s 日) = 嘉掣( c 。s 8 ) ( 2 2 1 0 ) 慧篡删i n o d 日o ! 鲁高靠 2 ， r ( v 。+ ) s = 罨半兰裂靠 。 e ，( 力= 一峨。【p 篇n 出( 后，_ ) + g 船m 裟( 七，r g ， h ，( 加一盖j , m r g 釉蹴( 七，。) + p 嬲m 盟( 后，。) 】( 2 - 2 - 1 2 ) 它包含两部分：( 1 ) 初始的入射波和( 2 ) 所有介质球的散射场，因此它可以写 成 e l ( ，) = e 。( _ ，) + e ，( ，) ， i - i ，( _ ，) = h 。( ) + h ，( ，) ( 2 2 一1 3 ) i jl 丰i 在上面所有的方程中，假定场的时间调谐项是e x p ( 一i 6 0 t ) ，并且被省略掉了。 将标准的边界条件 【e l u ) + e ，( ) 】x e y = e j u ) x e y ， i n 。u ) + j ( 朋e ：7 = h ，e 妒 应用到第j 个球表面，可以得到 ( 2 2 - 1 4 ) 9 、j 9 2 2 ， l 2 3 4 = = i | = ，j ， 以碟硝 这里 五( 一) 础= ( 竹一) c 船+ 噬”( x a 嘲 z 麓镒三搿镒：燃( 2 - 2 - 1 5 ，p ，【五( ) 】，g 料= ， 睡”( ) 】仍船+ 川：一工( 州，乃) 】馏 耻i j 。t x i ) p 豫= a i 螋 j 嘏+ 让m j j 。m l x j ) d 2 勺2 锄2 学p q - = 等= 嚣 a i 是球j 的半径，c o 是真空中的光速，可。( 弹一) 是背景介质( 球j ) 的折射率。 解方程组( 2 - 2 1 5 ) 中的齐次线性方程得到 n 2 = 口? 础，螂= 醪9 2 ，础= 掣g ：；：? d 。u ) = 西n 础 ( 2 - 2 1 6 ) m i c 系数”，噬”，掣，7 由如下给出， 。c n ：竺堕厶! 竺兰! ! 兰厶! 兰鲨二竺墨! 兰丛竺兰玉! 竺! 兰鲨 “” m ，2 ( 竹) 联”( ) 】一硝1 ( ) 【 ( 一) 丁 6 c n ：竺! 厶! 竺兰! ! 兰厶! 兰丛二竺厶! 羔! ! 竺兰五! 竺苎! 丛 “ i j j j 。( 竹一) 【群”( ) 】，一p h ”( x j ) m y x j j , , ( m x y ) ，on1 叭 。c ，：些厶! 兰! ! 兰垡! ! ! 兰塑二竺：垡! ：! 兰! ! 兰厶! 兰! ! ： 怕。1 ” _ “，i ( m x ) x h j ：”( x ，) 一p 磁”( x j ) m x x ( m j x _ ，) 总的入射场由( 2 - 2 1 2 ) 式给出，假定初始的入射波可以以球j 为中心展开成 e 。( ，) = 艺f e 。l 啦j ) n o ) f l - ，_ ) + g 臻m 2 ( 七，o ) 】， h m ( 2 2 1 8 ) h 。( ) = 一面k 惫吲q 一( j 7 n 2 ( | | ，) + 硪恤2 ( 后，巧) 同样，他们也可以以第0 个球的中心为坐标原点的主坐标系下展开，这是 ( 2 2 1 8 ) 式系数以? 和拿名将用o 。0 和群代替，假定整个系统足以一个波矢为 k 的平面波描述， k = 后( e ，s i n a c o s 卢+ e ys i n a s i n p + e ：c o s a ) 并且有一个线形极化角r ，这里r = o 对应的是t m 模式，电场矢量在入射平面 1 0 内震荡；，= n 2 对应的是t e 模式，磁场矢量在入射平面内震荡。入射平面由z 轴确定，那么可以得出 碟= 赤( c o s a ) c o s 7 - i ，r m s 咖i i l y 】e x p ( 一i m p ) g = = 赤防。( c o s ) c o s y - i z , 。( c o s a ) s i n y 】e x p ( q 研卢) ( 2 2 - 1 9 ) 对于一般的j ，有 如此e x p ( e k d o ，) 成”，g 臻n = e x p ( i k d o 加掣 ( 2 2 2 0 ) 这里的d o 是第0 个球到第j 个球的展开矢量，在导出( 1 9 ) 式时用到展开 + + i e x p o k r ) = e 【a 。n 裟( 后，r ) + b 。m 一。( u ( 、，kr ) + c 。i 艺( t r ) 】 ( 2 2 2 1 ) n = om = - - t l i 表示单位并矢，并且 a 。= i 2 ( ，l n + + 1 1 ) ( ( n 聃- 历m ) ) ! ! n 川。s 吼) 破+ s 以) 威】e x p ( - f 吨) b 删= 而2 n + l 百( n j - j 丽m ) ! 矿 哳榭( c 。s 吼) 六一( c o s 吼) 藏】e x p ( 一l 喊) ( 2 - 2 2 2 ) c 。= ( 2 n + 1 ) 篙裂，讯c o s 嘶e 卅z 嘞) 其中e = k j k i = k k ，瓯，最是单位矢量，如图1 所示，注意到初始入射平面波电 场 e o e o i ( 0 i 8 y + 盘8 1 n y ) e x p ( m d( 2 2 2 3 ) 刊i 魄c o s 7 + 以s i n y ) e x p ( t k 。i ：，) e x p 【f k d o ) 其中r ( ) 是第0 ( j ) 个坐标系的位置矢量。 第j 个球的总的入射场的第二部分，也就是所有其他球的散射场，同样要在第j 个雒标系中展开，这需耍矢量蛮换理论 m 譬( ，) = 硼飞，j ) m 出( _ ，) + 舌搿力( ，) n 2 ( 州， 而 这里4 和b 中的角标( j ) 表示径向函数的表达式应是z ( “，我们这里展开球f 的散射场，= 3 。在球j 的表面，任意球l ( ，j ) 可以展开成如下形式， e ，( ，) = z k 0 n 窖( j | ，耳) + 6 】：) m 2 ( 七，r ) 】 = 一i 瓦 础n 2 ( 七，- ，- t - - q 。( tj m 出( 后，) 】 = 去善删啪砧托a q ) m o ) ( 蚂) 】 q 呀2 印 一孟善【础n 2 ( t ) + 蒯m 2 ( 岛。) 】 这里 础= 一【碟u ，伽0 + 碟( ，j ) 礤】 p 船：一v , u 【铭u ，伽0 + 磷u ，j 蝴】 ( 2 2 2 6 ) 系数 , c q , j ) = 争 - m 。, ( f ，) ，磁( f ，力= 挚磁( 力 d md m 可以得到，( 9 ) 式中的系数可以由如下给出， 础= 比力+ p 掣邓2 儿d 嘏碟u ，) + 醪碟( z ，川 础：9 2 n + 兰g 船呵2 n l j v , u 【。箩聪( f j ) + 醪( ，朋( 2 - 2 - 2 7 ) | j悼iv u 将( 3 0 ) 式代入( 1 4 ) 式，解线形方程，得到散射因子， 础= 毋础= 比n 一【( i ) u v 。( ，j ) + 础碟( ，州； l “” j ( 2 - 2 2 8 ) 础= 搬= 妒 g 缈一若莓瞵( i ) d 朋u v u + 甥( f 朋 光子能带 对于光子晶体能带计算，必须求出固定态解p 竺力= 9 2 力= o ，另外对于周期性格 子，引入一对系数( j s ) 来表示一个介质球，这里的j 表示单胞序号，s 表示单胞 里球的序号，这样( 3 1 ) 式可以写成 一碟= 舻l a 。, a 2 ( u ，卢) + 醵碟( 如，i s ) 1 “竺卿二= ( 2 2 2 9 ) 占嚣= 舻l 盘曰= ( f f ，矗) + 醵铭 ，y s ) l 、“ 定义 1 2 “- - 。( s ) ( k ) = 口2 e x p - l k ( r + ) 】 础( k ) ：圭磁，e x p 【_ l k ( r ，州】 2 呼3 0 r ，表示第j 个单胞的位置，而表示球位于单胞中的位置，从( 3 2 ) 式得出 一“- - 。0 ) ( k ) = 砰l j ：= ：( 州( k ) 硪( k ) + 豆管州( k ) 醪( k ) j 也，( k 删t , v , u 础州( k 础k ) + 积州( k 积k ) j ( 2 2 3 1 ) 当应用肿= 砰和噬4 = 噬“，则新的系数；珊“( k ) 和吾i 帅n n ( k ) 将与周期有关的 系数，无关， ：珊引( k ) = o 铭( 艮，j s ) e x p - i k ( r j + - r ，一) 】 否等飞k ) ：圭留= ( 以脚e x p h k ( r j + 一r i ) 】 2 _ 3 2 表示求和时除去7 = s 时的r j = o 点 根据( 4 ) 式，转换系数4 篡( 厅，声) 和占= ，矗) 给出如下， 这里的( 以吼声，九声) 是矢量r ，+ r j r ，一i 的球坐标，并且 e 纠叫“笺等拽鼎 岛= m + 1 ) + v o + 1 ) 一p ( p + 1 ) 】毛一l 吃= 等 ( p + 2 地“a q 七“地+ 2 k ：a q 1 】0 瓦丽2 n p + 叫3 a p + ，以+ + ( p + 2 ) ( p + 4 ) ( a + 3 ) ( 既+ 3 ) a p + f i q p + 2 ) ( p + 3 ) ( p 2 + 3 ) ( p 2 + 4 ) a ，+ 4 a 口，2 4 + 2 = o 这里的毛是规范化的高斯系数毛= 4 。l a o ，a q 定义如下 ( 2 - 2 - 3 4 ) 豇p 0 0 咖如弛舳 声 屯 w 矶 蛾 | 2 r 忙册赫豫 心 芹彳( 石) = 窆焉：= 2 。 q - - o ( 2 - 2 3 4 ) 中各量给出如下： ( 2 - 2 - 3 5 ) p = n + 矿一2 q ，p l = p 一州一“，p 2 = p + u ， a p = p ( p 一1 ) ( ，雄一“) 一( 聊+ “) ( 埠一v ) ( 行+ v + 1 ) ， a ，= 【p 2 - ( n - v ) 2 l i p 2 一( + v + 1 ) 2 ( 4 p 2 - i ) ，( 2 - 2 3 6 ) = i n i 毗v ，型半玛， 绋= m t n ( 一，v ，鲨掣) 由( 2 2 3 2 ) 和( 2 2 3 3 ) 可以得至0 五等( k ) = 巨：q f ，c 。：f ( s t ) ，( k ) ：o( 2 2 3 6 )n 百- 州r a n 州( k ) = 置= f 川b ，f ( s t 。) ”l ( k ) g = l 这里 f = ：= ：】( m - - e 磁1 ( 材埘) 第( c o s ) e x p f 嗍】e x p 卜4 k ( r ，+ ) 】( 2 2 3 7 ) 其中k = 一，( d 阻，虹) 是矢量r ，+ k 的球坐标。 式( 2 2 3 1 ) 的稳态解要求系数矩阵趋于零，系数矩阵为 ；，声) ( k ) + 万1 嘁瓯 日= i 4 巨等叫( k ) 巨箸“( k )； 张阱方屯嘁j ( 2 - 2 - 3 8 ) 疗：l 徭州( k ) + 方瓦瓯乳 鼢哪( k ) i ( 2 2 一。9 ) l 掣( k ) 毋) ( k ) + 方驴w 这里 积哪( k ) = 等烈们( k ) ，船m ( k h 万) t m n 。- - 。t o ( s t ( k ) 疗行由三，s ，以，历决定，而列由f ， ，“决定，s ，f = l ，2 ，l = l ，2 ，心， 这里的是每个单胞里介质球数量，心是最大次数，对于光子能带， 一般取吃= 5 。 第三章几种材料 第一节各向异性介质光子晶体的能带结构特性 在自然界中存在大量的各向异性介质口，对于各向异性介质，本 构关系通常写成 b 。纂h ( 3 十1 ) = u 其中e 为介电常量张量，肛为磁导率张量，这里的d 与e ，b 与h 不 再平行。如果e 为张量，弘为标量，则这种物质称为电各向异性介质； 如果p 为张量，e 为标量，则这种物质称为磁各向异性介质。有一类 各向异性介质，介电常数张量具有对称性，对于对称的矩阵，经过坐 标变换，总可以写成对角矩阵，这个坐标系称为主系统，e 可以表示 成 e = 雕劲 净h ， 如果q = q = 乞，则这种物质就是各向同性介质；如果8 y 乞，则 称这种物质为双轴介质；如果毛，s ，s ：中有两个相同，则称这种物质为 单轴介质，呈现各向异性的主轴称为光轴。 各向异性介质同样可以作为光子晶体的材料【3 7 4 0 ，这里我们选 择碲( t e ) 为研究材料，碲在可见波段和红外波段具有很好的单轴各 向异性，我们把单轴介质介电常量写成如下形式 鸡0 j 十3 ) 对于碲，= 3 8 4 4 0 ，s ，= o 5 9 9 ，心= g ，毛) “2 = 4 8 ，以= 岛“2 = 6 2 。 对各向异性材料的光子晶体能带的计算与各向同性材料的光子 晶体能带计算略有不同，对于各向同性材料的光子晶体，由于布里渊 区的对称性，我们通常只需计算部分布里渊区，例如对于三维的立方 格子，只需要计算其中的1 2 4 便可知整个布里渊区的能带结构；而 对于各向异性材料，这种方向上的异性将一定程度上破坏布里渊区的 对称性。对于单轴介质，根据主轴的指向对称性，需要计算数量不等 的部分布里渊区。 我们计算时采取的是固定布里渊区，只计算固定某个布里渊区的 能带图，然后再实空间旋转晶体再计算这个区域的能带图，这等价于 固定了光子晶体而计算整个布里渊区。根据主轴方向的对称性，布里 渊区也会存在一定的对称性，因而只需计算出等价的布里渊区即可， 例如，当主轴沿坐标轴方向时，正向与反向是等价的，我们只需变换 主轴方向，使其分别沿( 1 , 0 ，0 ) ，( 0 ，1 ，0 ) ，( o ，0 ，1 ) ，即坐标轴的x ，y ， z 方向，然后分别计算部分布里渊区的能带图，即可得到整个布里渊 区的能带图。 已有的研究表明，由碲球材料构成三维光子晶体中，只有金刚石 结构具有完全带隙，而对于其他结构，如简立方，面心立方，体立方 等结构中，只存在部分带隙。而这些研究中都只考虑了主轴眼坐标轴 情况，并未讨论旋转主轴对带隙的影响。在我们的研究中，我们试着 改变主轴方向，从理论上看主轴方向对于带隙的影响。 首先我们考虑在f c c 结构中，主轴方向沿正方格子面对角线情形， 如图所示， 图3 - 1 - 1 主轴方向沿着面对角线方向，晶格结构为面心立方体( f e e ) 这时需要计算六个部分布里渊区的能带，变换的主轴方向坐标依次为 ( 1 ，1 ，0 ) ，( - 1 ，1 ，o ) ，( 1 , 0 ，1 ) ，( - 1 ，0 ，1 ) ，( 0 ，1 ，1 ) ，( 0 ，一1 ，1 ) ，这时仍然 只存在部分带隙，当填充率f = 3 0 0 寸，部分带隙宽度a 吐z 8 o ， 完全的带息没有被打开。但发现带隙宽度与文献中材料、结构、填充 率相同，但主轴方向沿坐标轴方向的光子晶体相比，部分带隙宽度有 所增加( 文献中带隙宽度为7 3 ) ，即主轴方向的改变会影响带隙宽 度。 害” 套 喜。 o 一i ，l 一 z x 塞- k 一眵x 、 ： 乏 一 、 ； j 。 寻 g 。 量 8 ” 害 g 。 喜 & 叠z 、bo 产 一 k k 吣 、 、 、 乏 、 。 r哥 毫 u lrxwki ( c ) 文 、 h k 、一 遮 一x 一一 一 一c、 蕞 j t 、飞 、， ( o 图3 - 1 2 当主轴沿正方格子面对角线时的光子晶体能带结构图，填充率f ： 3 0 ，只存在部分带隙，带隙宽度。z 8 o 下面，我们继续改变主轴方向，使其沿体对角线方向，这时我们需要 计算4 个不等价的部分布里渊区能带结构，主轴方向坐标分别为 ( 1 , 1 ，1 ) ，( 一l ，1 ，1 ) ，( 1 , - 1 ，1 ) ，( 1 ，l ，i ) ，晶体结构如图所示， 图3 - l - 3 主轴沿着体对角线方向，面心立方体结构( f e c ) 先计算填充率为f = 3 0 ，f c c 结构，计算结果表明完全的光子晶体带 隙被打开，如图所示，4 个部分2 3 带隙宽度。分别约为8 7 ， 5 6 ，6 4 和5 6 ，因而我们得到一个宽度为5 6 的完全光子晶体 带隙，同时，一个狭窄的8 - 9 带隙也被打开，4 个部分带隙宽度分别 为2 8 ，0 8 4 ，0 8 4 和0 8 4 ，因而完全带隙宽度为0 8 4 。相 应的能带图如下， 图3 - 1 - 4 主轴方向沿着体对角线方向，面心立方体( f c c ) 结构光子晶体能带 图，填充率f = 3 0 ，这时光子晶体完全带隙被打开。我们发现两个带隙同 时被打开2 - 3 带隙和8 - 9 带隙，带隙宽度分别为z5 6 和 a c o c o g o 8 4 我们又计算了不同填充率情况下带隙宽度的变化，如图3 一卜5 所示， f i l h n gr a t i o 图3 - l - 52 - 3 带隙宽度随填充率的变化 图3 - 1 5 是2 3 带隙宽度随填充率的变化关系图，发现在填充率f = 3 0 附近带隙宽度达到最大值，然后向两边依次递减 2 0 f i l h n gr a t m 图3 - 1 - 68 - 9 带隙宽度随填充率的变化 图3 - 1 6 是8 9 带隙随填充率变化的关系图，填充率f 在0 0 1 之 间的某个值，带隙宽度达到最大，当填充率达到o 4 时，8 9 带隙消 失。 对于f c c 结构，我们发现改变主轴方向，可以得到一个完全带隙，那 么对于其他的简单晶体结构，改变主轴方向，完全带隙是否能被打开， 下面我们仅计算一个填充率f = 3 0 的简立方结构的光子晶体带隙结 构，如图所示，将主轴方向仍然沿着体对角线方向，分别计算4 个不 等价的布里渊区，得到相应的能带图，如图3 一卜8 所示， 图3 - i 7 光轴沿着体对角线方向，简立方体( s c ) 结构 图3 - 1 - 8 光轴沿着体对角线方向，简立方结构的光子晶体能带结构图，填充 率f = 3 0 ，同样，一个完全带隙被打开，带隙宽度，z 3 3 。 计算结果表明，对于简立方结构的光子晶体，仍然可以得到一个完全 带隙，相应的带隙宽度7 * 3 3 ，与同样填充率的f c c 结构的带 隙宽度( 5 6 ) 相比，带隙宽度有所减小。 在实际中，如何制造一块但周晶体材料构成的主轴方向一致的光子晶 体将是一个问题，即如何控制主轴的方向。三维介质球结构的光子晶 体可以通过自组织生长的方法得到，对于单轴晶体，由于介质各向异 性，如果加入外场( 如电场) 等，也许可以实现对主轴方向的控制， 从而得到具有我们所需要求特性的光子晶体，当然这方面需要实验上 的进一步研究验证。 总结，通过对各向异性介质主轴实现控制，那么就可以实现对光 子晶体带隙的控制。 第二节金属介质材料光子晶体的传输性质 对于金属，在d r u d e 模型近似下，金属的介电系数可以表示成 纠一名2 ( 3 - 2 - 1 ) 这里m ，是体等离子体频率，金属的体等离子体频率一般是在紫外波 段，如铝的等离子体频率= 2 2 7 6 x 1 0 7 g h z 。 我们计算了纳米尺度的铝球构成的光子晶体，这里我们计算时忽略了 吸收项打一，即我们采用的模型，介电系数表示为 e , = l - 等( 3 - 2 - 2 ) 对于单个的自由电子金属球将呈现m i e 等离子体共振，共振频率 ，：熹 2 ( 3 - 2 - 3 ) ，钏一、丽 其中的，是多极子的量子数。 同时，对于低填充率的光子晶体，可以应用m g 近似【3 5 】，用等 效的介电函数表示 6 咿( ) = 2 a 3 2 ( 3 2 4 ) 在m g 近似下的 ) = 1 一厂面丽1 ( 3 - 2 5 ) 和 s ； ) = 1 + 厂f 丽1 ( 3 - 2 6 ) 其中f 是填充率，m ：( 1 一f ) 3 ，万：( 1 + 2 f ) 1 3 将( 3 - 2 2 ) 式代入( 3 - 2 - 5 ) 式，我们可以得出在频率在 【抓而，撕甬丽万嘭j 范围内将存在一个禁带，如图 8 8 ，一一 众j 10ls 2 0 k 图3 - 2 1 填充率f ；0 1 的金属介质光子晶体在m g 近似下得到的能带结构图 下面我们用多重散射方法计算的光子晶体能带结构和透射率，我们可 以看到m i e 共振与禁带同时表现出来， 图3 - 2 2 简立方结构光子晶体能带结构和透射率介质材料为铝，填充率f ： l o 下面是禁带附近透射率的局部放大，我们看到在禁带两侧透射率出现 强烈的震荡，但这些震荡的位置与( 3 2 - 3 ) 有点儿出入，这可能是 晶格的周期性所导致，当然，由于用多重散射的方法计算纳米尺度金 属球的能带并不理想，因此这方面没有深入研究。 f r e q u e n c y c op 图3 - 2 - 3 禁带附近的透射率 oo_善看si基 参考文献 【l 】e y a b l o n o v i t c h , p h y s r e v l e t t 5 8 ，2 0 5 9 ( 1 9 8 7 ) 2 】s j o l l l l ，p h y s r e v l e t t 5 8 ，2 4 8 6 ( 1 9 8 7 ) f 3 】阎守胜固体物理研究北京：北京大学出版社，( 2 0 0 0 ) 【4 1w j o h na n dn r o s t o k e r , p h y s r e v 9 41 11 l ，( 1 9 5 4 ) 5 】j i a nz i + ，x m d iu y 衄h o ul i ，x i n h u ah u , c h u nx u , x m g j u nw a n g , x i a o h a n l i u ，a n dr o n g t a n gf u , p n a s1 0 0 ，1 2 5 7 6 ( 2 0 0 3 ) 6 】e r b r o w n , c d p a r k e r , a n da k a d y s h e v l t c h , j o p t s o e a m b1 0 ，4 0 4 ( 1 9 9 3 ) 7 】y f i n k , j n w m n , s f a n , c ，c h e n , j m t c h e l ，j d j o a r m o p o o u s ，a n de l t h o m a s ，s c i e n c e2 8 2 ，1 6 7 9 ( 1 9 9 8 ) 8 j c k n i g h t ，j b m e n g , t 九b i r k s ，a n d p s t j r u s s e l l ，s e i e n e e2 8 2 ，1 4 7 6 ( 1 9 9 8 ) 9 】f c o u n y , f b e n a b l d ，gb o u w m a n s ，j c k m g h t ，a n dp s t j r u s s e l l ，p h y s r e v l e t t 9 3 ，1 2 3 9 0 3 ( 2 0 0 4 ) 1 0 】j d j o a n n o p o o u s ，r d m e a d e ，a n dj n w m a , p h o t o m cc r y s t a l s ：m o 触n gt h e f l o wo f l t g h t ( p r i n c e t o nu n i v p r e s s , n j ，1 9 9 5 ) 【1 1 】p h o t o n t cb a n dg a pm a t e r i a l s , n a t o , a s l , e d i t e db yc m s o u k o u l i s ( k l u w e r , d o r d r e c h t ，1 9 9 6 ) 【1 2 】p h o t o n i cb a n dg a p sa n dl o c a l i z a o o n , n a t oa r 形e d i t e db yc m s o u k o u h s ( p l e n u m ，n e w y o r k ，1 9 9 3 ) 【1 3 】c a c o n d a ta n d t r k i r p a t r i c k ，p h y s r e v b3 6 ，6 7 8 3 ( 1 9 8 7 ) 【1 4 】j m a r t o r e l la n dn m ，l a w a n d y , p h y sr o y l e f t 6 5 ，1 8 7 7 ( 1 9 9 0 ) 【1 5 】g k u d z l d ，bs h e r m a n , a n da k a d y s h e v i t e h ，j o p t s o c a m b1 0 ，3 4 6 ( 1 9 9 3 ) 1 6 1s j o h na n dj w a n g ，p h y s r e v l e t t 6 4 ，2 4 1 8 ( 1 9 9 0 ) 1 7 1j b p e n d r ya n dm a c k m n o n , p h y s r e v l e t t 6 9 ，2 7 7 2 ( 1 9 9 2 ) 1 8 1j b p e n d r y , j m o d o p t m s4 1 ，2 0 9 ( 1 9 9 3 ) 【1 9 】p m b e l l ，j b p e n d r y ，a n da j w a r d ，c o m p p h y s c o m m 8 5 ，3 0 6 ( 1 9 9 5 ) 【2 0 】k m l e u n ga n dy f l m ，p h y s r c v l e t t 6 5 ，2 6 4 6 ( 1 9 9 0 ) 2 l 】z z h a n ga n ds s a t p a t h y , p h y s r e v l e f t ，6 5 ，2 6 5 0 ( 1 9 9 0 ) 【2 2 1k ，m h o ，c t c h a r t , a n dc m s o u k o u l i s ，p h y s r c v l c t t 6 5 ，3 1 5 2 ( 1 9 9 0 ) 2 3 】ks y i e e et r a n s a n t e n n a sp r o g a 1 4 ，3 0 2 ( 1 9 9 6 ) 2 4 】c t c h a r t ，q l y u , a n dk m h o ，p h y s r e v b5 1 ，1 6 6 3 5 ( 1 9 9 5 ) f 2 5 1 八j w a r da n dj 。b 。v e n d r y ，p h y s r e v b5 8 ，7 2 5 2 ( 1 9 9 8 ) 2 6 1w h b u t l e r , p h y s r e v b1 4 ，4 6 8 ( 1 9 7 6 ) 【2 7 】k m l e u n ga n dy q m ，p h y s r e x , b4 8 ，7 7 6 7 ( 1 9 9 3 ) 2 8 1l m l ia n dz q z h a n g ，p h y s r e v b5 8 ，9 5 8 7 ( 1 9 9 8 ) 【2 9 】j k o m n g a , p h y s i c a1 3 ，3 9 2 ( 1 9 4 7 ) 【3 0 】k