（理论物理专业论文）弯曲时空中的sagnac效应.pdf

弯曲时空中的s a g n a c 效应 摘要 旋转坐标系中的一些特殊现象数百年来一直吸引着无数的物理学家 和天文学家，用干涉仪测量旋转系效应的实验研究可以追溯到x i x 世纪 末1 9 1 3 年，s a g n a c 利用一个迅速旋转的圆形干涉仪，测得以相反方向 沿圆周构成的闭合回路传播的两束单色相干光束的干涉条纹与干涉仪静 止时相比产生a z = 4 譬的移动；两束反向传播的光束绕行一周回到出 发点时产生时间差为a t = 。= 1 铲从此以后，人们把此种效应称为 s a g n a c 效应1 9 6 0 年激光器的问世，使人们对s a g n a c 效应兴趣再一才提 升基于s a g n a c 效应研制出来的干涉型光纤陀螺近年来已普遍应用于各 种导弹，飞机导航以及汽车导航控制中很多技术还在等着进一步的检 验，因此，对s a g n a c 效应的深入讨论和研究具有重要的意义本文，我 们将着重研究弯曲时空中的s a g n a c 效应以及诸引力参量对此效应的一些 修正 s a k u r a i 通过与磁a h a r o n o v - b o h m 效应的类比，得到了s a g n a c 效应的一 阶近似。利用c a t t a n e o 的空时分裂原理，我们引入。引力磁”a h a r o n o v - b o h m 效应，把s a k u r a i 的理论进行了推广，得到了s a g n a c 效应完整的表述， 并且证明了此结果适用于广义相对论本文我们重点讨论了s c h w a r z c h i l d 场，k e r r 场，k e r r - n e w m a n - k a s u y a 场中的s a g n a c 效应我们发现，在弯 曲时空中，s a g n a c 效应除了与旋转参考系的角速度有关外，中心质量源 的引力质量，比角动量，引力电荷和引力磁荷也对此有一定的贡献引 力质量会使观测到的s a g n a c 效应加强，相反，引力电荷和引力磁荷却会 减弱此效应特别是，在中心质量源旋转的时空中，即使是在不旋转的 参考系中也可以观测到此效应 另外我们还讨论了引力波探测中( 主要是l i s a 计划) s a g n a c 效应的应 用l i s a 计划要发射三个绕太阳公转的探测器，将它们置于三角形的三 个顶点上，三个探测器用激光联系，顺时针和逆时针的光束沿三角形区 域的边缘路径c 传播，s a g n a c 时间差a t = 壶n d e 在a l 的条件 下可以用来求引力波引起的局部旋转角速度q 但是，在线性近似下， 硕士学位论文 当引力波的波长满足极限条件a 2 e 时，s a g n a c 时间差变为零 关键词：广义相对论，s a g n a c 效应，a h a r o n o v - b o h m 效应，弯曲时 空，引力波 弯曲时空中的s a g n a c 效应 i i i t h e e f f e c t o f r o t a t i o n o n s p a c e - t i m e h a v e a l w a y s b e e ns o u r c e s o f s t i m u l a t i n g a n d f a s c i n a t i n gp h y s i c a li s s u e sf o rt h el a s tc e n t u r i e s t h es t o r yo ft h ei n t e f f e r o m e t r i c a l d e t e c t i o no ft h ee f f e c t so fr o t a t i o nd a t e sb a c kt ot h ee n do ft h ex c e n t u r y i n1 9 1 3 s a g n a c v e r i f i e d h i se a r l y p r e d i c a t i o n s ，u s i n g a r a p i d l y r o t a t i n g l i g h m p t i e a l i n t e r f e r o m - e t e r i nf a c t ，o nt h eg r o u n do fc l a s s i c a lp h y s i c s ，h ep r e d i c t e dt h e o n o w m gf r i n g es h i f t ， f o rm o n o c h r o m a t i cl i g h tw a v e 8i nv a c u u m ，c o u n t e r - p r o p a g a t i n ga l o n gad o s e dp a t h i n a r o t a t i n g i n t e r f e r o m e t e r ：z = 4 q f - s 1 1 1 1 e t i m e d i f f e r e n c e a s s o c i a t e d t o t h e f r i n g e t u r n so u tt ob e ：& = j 越= 等学a f t e rh i m ，t h ee f f e c to fr o t a t i o no ns p a c e t i m e w a sn a m e d s a g n a ce f f e c t ”i n1 9 6 0 ，t h ef i e l do fl i g h t - o p t i c a ls a g n a ci n t e r o m e t r y h a dar e v i v e di n t e r e s ta f t e rt h ed e v e l o p m e n to fl a s e r a sac o n s e q u e a c e , t h e r ew a s a ni n c r e a s i n gp r e c i s i o ni nm e a s u r e m e n t sa n dag r o w t ho ft e c h n o l o g i c a la p p l i c a t i o n s ， 8 u a ha si n e r t i a ln a v i g a t i o n ，w h e r et h e ”f i b e e r - o p t i c a l 留r o a l eu s e d t h er e s e a r c ho i l t h es a g n a ce f f e c ti 8o fg r e a ti m p o r t a n c ea n ds i g n i f i c a n c e ，t h e r e f o r e ，a t t a c h e sal o t o fi n t e r e s tr e c e n t l y i nt h i sp a p e r ，w ec o n c e n t r a t eo i lt h es a g n a ce f f e c ti nc u r v e d s p a c e t i m e s ，i no r d e rt oo b t a i nt h eg e n e r a lr e l a t i v i t yc o r r e c t i o n s t h ed e r i v a t i o no fs a k u r a ii sb a s e d af o r m a la n a l o g yb e t w e e nt h ea h a r o n o v - b o h me f f e c ta n ds a g n a ce f f e c t w h i c hi st h ef i r s to r d e ra p p r o x i m a t i o n t h ec a t t e n o 8 s p l i t t i n gi sa d o p t e d ：i tw i l le n a b l e 憎t od e s c r i b et h eg c o m e t r o d y n a m i c so ft h er o t a t - i n gf r a m ei nav e r yt r a n s p a r e n ta n dp o w e r f u lw a y i np a r t i c u l a r ，c a t t e n c o ss p l i t t i n g a l l o w st og e n e r a l i z e dt h en e w t o n i e ne l e m e n t s w es t u d yt h ee f f e c ti ns c h w a r z c h i l d ， k e r ra n dk e r r - n e w m a n - k a s u y ar i d & w e 咖d i s t i n g l l i 8 ht w oc o n t r i b u t i o n s ：t h e 缸to n ei sp r o p o r t i o n a lt ot h ea n g u l a rv e l o c i t yo ft h eo b s e r v e r a n dt h eo t h e ro n ed e - p e n & o nt h eg r a v i t a t i o n a ll n a s 8 ，a n g u l a rm o m e n t u mp e ru n i tm 羽8 ，t h ee l e c t r i ca n d m a g n e t i cc h a r g e so ft h eg r a v i t a t i o n t h eg r a v i t a t i o n a lm 嘲i st op r o d u c et h es a g n a c e f f e c t 缸dt h e nt 0r e d u c et h ee f f e c tm a d eb ye l e c t r i ca n dm a g n e t i cc h a r g e s 、es e e t h a te v 吼w h e nn = 0at i m ed i f f e r e n c ea p p e a r s ：t h i si sd u et ot h er o t a t i o no ft h e s o u r c eo ft h eg r a v i t a t i o n a lf i e l d i v硕士学位论文 m o r er e c e n t l yp r o p o s a l st h a tt h es a g n a ce f f e c tm a yb em a d et h eb a s i so fg r a y - i t a t i o n a lw a v ed e t e c t i o nh a v eb e e no fc o n s i d e r a b l er e c e n ti n t e r 鹊t t h ee x p e r i m e n t a l t e c h n i q u ee n v i s i o nal i s aw h i c h r o u n dt h es u ni nt h e e a r t h 8r e v o l u t i o n t h et h r e e d e t e c t o r s 丑o a ti ns p a c ef o r m i n ga t r i a n g l e c l o c k w i s ea n d c o u n t e r c l o c k w i s eb e a m s o na p a t hcw h i c hb o u n d sat r i a n g u l a r i ti sp r o p o s e dt h a tt h es a g n a ct i m ed i f - f e r e n c ea t = 刍r n d i nt h el i m i ta lc mb ee m p l o y e dt op r o b et h el o c a l r o t a t i o n a lv e l o c i t yqp r o d u c e db yt h e 酽a v i t 七i o n a lw a v e h o w e v e r ，i ft h e 争撕t 8 _ t i o n a lw a v e l e n g t hao b e y s 舻ea n dt ol o w e s to r d e ri nt h eg r 删t a t i o n a lw a v e c u r v a t u r e t h es a g u n ee f f e c tj st h e r e b yn u l l k e yw o r d s ：g e n e r a lr e l a t i v i t y , s a g n a ce f f e c t ，a h a r o n o v - b o h me f f e c t ，c l l r v c d 8 p e t i m ，掣删t a t i o n a lw a v e 硕士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的 内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的 作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担。 学位论文作者签名：胡平辉 2 0 0 7 年5 月7 日 弯曲时空中的s a g n a c 效应 4 1 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密吖。 ( 请在以上相应方框内打”) 储签名：谰平搭晦2 肋序月a 日 导师签名：瓦紊乃 日期：洳 年6 月 弯曲时空中的s a g n a c 效应 第一章绪论 1 1 引言 1 6 8 7 年，人类对自然界普遍存在的力一一引力的认识第一次升华， 牛顿创立了第一个引力理论在牛顿引力理论中，运动和静止都是相对 的，但空间概念是绝对的，时间概念也是绝对的，空间、时间和物质的运 动各自孤立地存在着，他们之间没有联系直到2 0 世纪初，这一理论都 是人们普遍接受的，唯一正确的引力理论随着人类智慧的发展，牛顿 引力理论的困难日益引起学者们的重视：它无法解释天文学家观测到的 事实一一水星轨道近日点的移动，无法解释物体的引力质量和惯性质量 为什么数值相等 1 9 1 6 年，爱因斯坦从全新的观点出发刨立了新的引力理论一一广义 相对论，这一新的引力理论是建立在等效原理和广义协变原理的基础之 上，这是人类对引力认识的第二次升华爱因斯坦刨立的广义相对论的 美妙在于，它将空一时几何和引力场统为一体，认为时间、空间会因物 质的存在和分布变得不平直，即发生。时空弯曲”根据广义相对论，空 间、时间的弯曲结构决定于物质的能量密度、动量密度在空间、时间中 的分布；而空问、时间的弯曲结构又反过来决定物体的运行轨道这使 人们对于时空和引力有了一个全新的认识，也是人类认识自然界历史上 的一次巨大飞跃引力场的研究从此获得了前所未有的发展，新的观念 也不断涌现自从广义相对论问世以来，又有许多人提出过新的理论， 但到目前为止，经得起实验和观测检验的，仍然只有爱因斯坦的广义相 对论最为简洁t h i r r i n g ，f e y m n a n ，w e i n b e r g 和d 姻e r 等曾企图修改洛 伦兹协变张量理论，虽然克服了各种困难，但最后的形式仍然与广义相 对论完全等效( 1 卅 在引力场很弱，时空曲率很小的情况下，广义相对论的结论同牛顿引 力理论的结论趋于一致；而在引力场较强，时空曲率较大的情况下，两者 的区别就变得明显虽然广义相对论已经被公认为比较精确地描写了引 力相互作用，但其引力场方程是一组非线性方程，形式比较复杂，理论问 硕士学位论文 题的研究远没有完成广义相对论曾一度被称为“理论物理学家的天堂， 实验物理学家的地狱”因为广义相对论的实验验证难度非常高，且不易 提出新的实验思想，加上技术水平的限制，到现在，在太阳系中，还只有 四种实验能检验出这种区别。它们分别是：( 1 ) 水星近日点进动阻8 】；( 2 ) 光线偏折【l ，2 l ；( 3 ) 引力红移p 1 1 】；( 4 ) 雷达回波的时间延迟【1 2 ，1 3 】 后来，关于脉冲双星的观测间接地验证了广义相对论对引力波存在的预 言【1 4 1 广义相对论的预言被证实，使得爱因斯坦的理论取得了巨大成功 1 9 1 7 年，爱因斯坦又将广义相对论运用到宇宙学中，大爆炸宇宙学是广义 相对论对宇宙学的成功应用【1 5 ，1 6 】，它奠定了现代宇宙学的理论框架 广义相对论不仅是研究天体结构和演化的重要理论工具，也是迄今为止 研究整个宇宙的结构和演化的最好的理论它无疑是宇宙物质行为以及 空间，时间和物质之间关系的完美而精确的描述 广义相对论的核心内容是爱因斯坦引力场方程 一；，= ， ( 1 1 ) 式中k = 4 1 r g c 2 ，曲率张量r ，和曲率标量r 都是g 。，的函数，能量一动 量张量7 0 即为所有产生引力场的质量分布和能量分布所以，引力场的 表达式中起参量作用的物理量数目比牛顿引力理论中的要多其中不但 有引力质量，还有电荷、磁荷、电的( 或磁的) 偶极矩、宇宙常数等等， 其中只有引力质量是广义相对论和狭义相对论所共有的引力参量 广义相对论的发展，在很大程度上取决于引力场方程的解和它们的 物理解释因此，引力场方程的严格解是爱因斯坦引力理论的重要内容 一般来说，只要给出一个严格解，就会预言一系列新的引力效应，但由于 数学上的复杂性，获得引力场方程的严格解是非常艰难的自广义相对 论问世以来，我们只获得十几个既有明显物理意义，又有明显形式的严 格解其中第一个严格解是著名数学家、天文学家ks c h w a r z s c h i l d 于1 9 1 6 年求得出f 17 】此解的唯一性于1 9 6 7 年由wi s r a e l 给出【1 8 1 9 6 3 年，新 西兰数学家r o yk e r r 通过解爱因斯坦场方程，得到了质量为m 、角动量 为j 的质量外部解，此解描述匀角速转动球体的外部引力场，我们称之 为k e r r 解【1 9 】；1 9 6 5 年，数学物理学家e z r an e w m a n 等人把k e r r 解推广 到带电的情况，得到了k e r r - n e w m a n 解，它描述匀角速转动荷电球体的外 部引力场f 2 0 1 9 8 2 年，日本物理学家m a s a h i r ok a g u y a 又将k e r r - n e w m a n 解推广到场源含电荷和磁荷的情况，得到了k e r r - n e w m a n - k a s u y a 解，此 解描述带有电荷和磁荷的匀角速旋转的球体的外部引力场f 2 1 1 这三个 解是目前所知的惟一用来描述具有自旋的质量外部引力场的爱因斯坦场 方程的严格解不过，爱因斯坦引力场方程正是以其复杂而美妙著称， 任何曾与之打交道的人都会为之倾倒，留下深刻的印象而爱因斯坦场 方程解也为我们研究各类引力场提供了基础 爱因斯坦引力场方程和场源物质及试验粒子的运动方程都是相当复 杂的，由这些方程可以引出许多新的推论这些推论对牛顿引力理论进 行了修正，给出了若干含有新参量的场方程或运动方程的新的特解和新 的附加条件，这些推论中，有一些具有明显的物理意义，我们称之为引 力效应擘 近年来，随着实验技术的迅速发展和测量精度的显著提高，人们不仅 仅局限于讨论某些理论预言的直接实验验证，而且还讨论这些引力效应 与广义相对论各基本原理之间的联系这些新的进展激励人们在解决广 义相对论一些特殊问题的同时，扩展对引力效应和引力实验的研究，并 进一步得出具体的推论因此，除了分析广义相对论断言的四个著名的 引力效应以外，我们有必要把广义相对论预言的许多其他引力效应进行 分类研究许多引力效应因为比较微弱，或者因为夹杂在其他效应中难 以分出，在近期内还不能被实验所检验但是，随着观测技术、引力辐 射探测技术和空间技术等的发展将会有更多的引力效应为新的实验所检 验本文将通过与a h a r o n o v - b o h m 效应的类比，得狲s a g n a c 效应完整的表 述，并重点讨论弯曲时空中的s a g n a c 效应 1 2s a g n a c 效应 旋转坐标系中的一些特殊效应数百年来一直吸引着无数的物理学家 和天文学家，旋转系效应的干涉仅测量可以追溯到x i x 世纪最初，s i r o l i v e rl o d g e 曾建议用大的干涉仪来测量地球的旋转，后来他又提出把干 涉仪放到一个旋转的转盘上，用测得的结果与实验室标架下的结果进行 硕士学位论文 对比，从而揭露旋转系中的一些特殊效应，但这样一些早期的工作都没 有得到具体的结论直到1 9 1 3 年，s a g n a c 利用迅速旋转的干涉仪验证了 他早期的预测：如图( 1 1 ) 所示，在一个旋转的圆形干涉仪中，一束单色 光被分光器分为两柬，分别以相反的方向沿圆周构成的回路绕行一周后 回到出发点，在探测器上看到的干涉条纹与干涉仪静止时的条纹相比， 会产生以下的移动 z = 4 9 f - s ， ( 1 2 ) 这两柬光线反向传播一周产生的时间差为 出：a c a 2 ：_ 4 9 f s ( 1 3 ) c 、7 n 指转盘的角速度( 为一常数) ，s 是反向传播的两束光所围成的面积 矢量。尽管s a g n a c 的这些解释还是建立在经典物理( 甚至是。以态* 理 论) 的基础上，但s a g n a c 是发表时空中旋转效应实验观测结果报道的第 一人，从此以后人们就把这类效应叫做“s a g n a c 效应”在早期，很多人认 为s a g n a c 效应是否决狭义相对论的有力证据( 甚至包括s a g n a c 本人) ， 但事实上s a g n a c 效应不但适用于狭义相对论领域，甚至能使我们更进一 步的理解狭义相对论狭义相对论预言了在环形干涉仪中沿闭合回路反 向传播的两柬光的固有时和与两光束起点( 终点) 相对静止的钟的测量 具有如下的时间差， 4 ，r 2 q r 。c 2 ( 1 - 2 - - 7 = 娜：3 7 【1 - 4 ) 其中r 为环形干涉仪的半径，很明显，在一阶近似下( 1 4 ) 退化为( 1 3 ) 其实早在s a g n a c 发表他的实验验证之前，f r a a zi - i a r r e s 在他的实验中 就观测到了s a g n a c 效应，只是他起初没有意识到这是一种新的效应1 9 1 4 年，h a r z e r 认识到在i - l a r r e s 的实验中那些不可预料和不可解释的现象就 是s a g n a c 效应同时，h a r z e r 的实验也证明了s a g n a c 效应与介质的折射 率无关在早期的的理论研究方面，m i c h e l s o n 做出了很大的贡献，并且 他还和g a l e 在1 9 2 5 年用一个大的光学干涉仪成功的测到了由于地球的 自转所引起的一个相位移，测得的结果与他理论上计算的结果很好的吻 合 弯曲时空中的s a g n a c 效应 mm ， 矗静止 b 运动 图1 1 ：$ a g n s c 干涉仪示意图 s a g n a c 时间差( 1 3 ) 表明任何在旋转干涉仪中以相反方向沿封闭回路 传播的两柬相干光波都存在s a g n a c 效应，并与光波的波长和随动的传播 介质都无关，它只依赖于旋转盘的角速度和光在干涉仪中传播的两路光 程这说明s a g n a c 效应具有普适意义更让科学家们兴奋的是，实验证明 ( 1 2 ) 式和( 1 3 ) 式不仅仅适用于光波，而且适用于在旋转干涉仪中以相反 方向沿封闭回路传播的任何相干的4 物质”波只要两束波相对于转盘的 速度大小样，尽管它们在干涉仪中沿闭合路径传播的时间会根据物质波， 相对于转盘的速度有所不同，但是时间差( 1 3 ) 是一样的，且不管是对于 光波还是物质波，都与它们的物理特性无关这进一步说明s a g n a c 效应 具有普遍适用性，对它的研究具有重要的物理意义物质波的s 哪效 应已经被很多有名的实验验证了，例如，1 9 8 4 年的中子束实验f 2 2 】，1 9 9 1 年的c a 原子束实验 2 3 ，1 9 9 3 年的电子束实验1 2 4 1 随着科学技术的进 步，激光技术的发展，s a g n a c 效应的测量和实际应用都有很大的提高 基于s a g n a c 效应研制的光纤陀螺，除了在航天航空技术中用于导航，制 导，定位外，还可以用于石油钻井中跟踪位置，机器人控制等f 2 5 - 2 8 】 在全球任何地方，任何时间都可以实现全天候导航，定位和定时的g p s 系统也必须考虑s 昭a c 效应1 2 9 1 有很多物理学家通过各种不同的方法得到了s a g n 效应的一阶近 似，s a k u r a i 利用非相对论量子力学，牛顿力学并考虑一定的相对论因 硕士学位论文 素得出来的结果就是其中很经典的一例s a k u r a i 的理论是基于经典的 c o r i o l i s 力和l o r e n t z 力形式上的类比而得到的我们知道，相对于匀速转 动的参考系运动的质量为m o 的粒子所受到的c o r i o l i s 力表述为 f c 打= j ”协v n ，( 1 5 ) 而在磁场强度为b 的磁场中运动的带电量为e 的带电粒子所受到的l o r e n t z 力为 f 斯= ：v b ( 1 6 ) 如果一带电粒子束被分为两束，分别经历两条路径传播，然后会聚。 用s 表示两条路径所围成的面积，若在s 存在着磁场b ，那么两条路径 的粒子的波函数有一个相位差 舶= 轰z 3 - d s ( 1 7 ) 即使在两粒子束经过的路径上b = 0 ，只要两路径所围成的封闭区域内 有磁场，圣就不为零，这就是著名的a h a r o n o v b o h m 效应f 3 0 】 基于( 1 5 ) 和( 1 6 ) 形式上的替换 三b 一2 种如q ( 1 8 ) c s a k u r a i 证明相位移( 1 7 ) 可以化为【3 1 】 舾= 百2 m o 厂n - d s j s ( 1 9 ) 五 如果n 定义为匀速旋转干涉仪的角速度，s 是沿干涉仪的圆周反向传播 的两束波所围住的面积矢量( 1 9 ) 就可以认为是在旋转的环形干涉仪中 反向传播的两束波的s a g n a c 相位移 圣；2 t o 。o s ( 1 1 0 ) 与相位移( 1 1 0 ) 所对应的时间差为 t = 竽= 皇西= 去西= 丽2 m 0 1 5 n s ( 1 1 1 ) u钟艏 弯曲时空中的s a g n a c 效应 我们应当强调( 1 1 1 ) 的得出包含了一些相对论的要素( 乩= e = ”舻) ，当 然在一阶近似下，如果我们认为静止质量m 等与相对论质量m o 时，( 1 n ) 式就退化为( 1 3 ) 式了 本文的组织结构如下：在第一章中，我们简单的介绍了s a g n a c 效应 自被认识以来国内外物理学家和天文学家的理论研究和实验探测，并简 单的推导了s a k u r a i 得出的s a g n a c 效应的一阶表达在第二章中，我们将 主要介绍s a g n a c 效应的一种推倒方法，并把它推广到广义相对论范围 通过与a h a r o n o v - b o h m 效应的类比，我们得到了弯曲时空中的s a g n a c 效 应效应的表达式在第三章中我们计算了s c h w a r , z d 3 f l d 场，k e r r 场，k e r r - n e w m a n - k a s u y a 场中的s a g n a c 效应我们发现，在弯曲时空中，s a g n a c 效 应除了与旋转参考系的角速度有关外，中心质量源的引力质量，比角动 量，引力电荷和引力磁荷也对此有一定的贡献引力质量会使观测到的 s a g n a c 效应加强，相反，引力电荷和引力磁荷却会减弱此效应特别是， 在中心质量源旋转的时空中，即使是在不旋转的参考系中也可以观测到 此效应第四章计算和讨论了目前引起科学家极大兴趣的引力波探测和 s a g n a c 效应之间的一些联系最后是全文的总结以及本人对这一研究领 域的一些展望 弯曲时空中的s a g n a c 效应 第二章平直时空中的s a g n a c 效应 在s a k l i r a i 的理论中，通过与a h a r o n o v - b o h m 效应的类比，得到了s a g n a c 效应的一阶近似在文献【3 l 一3 a 4 中，m a t t e o 等人把s a k u r a i 的结果进行了 推广和进一步的深化，得到了sa g ! 嗨c 效应的完整的表述，并且证明此效 应适用于广义相对论，下面我们简单的把他的推倒过程介绍一下 2 1s a k u r a i 理论的推广 为了把s a k u r a i 的理论推广到广义相对论领域，必须要用到c a t t a n e o 的空时分裂理论，这样便于我们清楚的描述旋转标架中的几何动力学， 也为我们的类比提供充分的理论依据，另外我们还必须要考虑到一定的 相对论量子力学因素用这种方法得出来的相对论s a g n a c 时间差在一阶 近似下与s a k u r a i 的结果是完全一样的并且此结果还可以应用到相对论 量子力学： 带电量为e 质量为弛的自由粒子的d i r a c 方程为 钆+ = 警) 皿和) 一0 ( 2 , 1 ) 其中皿( 力为波函数，z 兰 扩 为时空中的点在用四维势血描述的电 磁场中，通过变换钆一乱一i 卺4 ，波动方程可以写为 胪( 钆一i 杀) + 警瞅z ) = 0 ( 2 2 ) 如果田( z ) 是方程( 2 1 ) 的一个僻，那么我们可以得到有电磁场与带电粒子 相互作用的波方程( 2 2 ) 的一个与之相对应的解 or z 雪( 2 ) = 唧0 毫a ，( 一) d 一“) 皿0 ) ( 2 3 ) 。j 相应的波函数从m 一皿7 出现了个相因子e x p “老( 一) 出一) 如图( 2 1 ) 所示，荷电q 的粒子束经过双缝f l ，玛分为两柬，进入有磁 场存在的空间，分别经历两条路径q 和q ，然后在p 点会聚，这时我 们看到的干涉条纹与没有磁场时相比会有一个移动 硕士学位论文 e 图2 1 ：带电粒子柬经过有磁场的空间 根据( 2 3 ) ，在有磁场的情况下，通过两条路径的粒子的波函数有一 个相位差 西= 未( 上。a 哆“一f c 2 触r ) = f c a 妇= 磊e ，! b 招 ( 。4 ) ( 2 4 ) 式表明两波函数的相位差在形式上正比于通过由q ，岛所围成的面 积s 的磁通量 a h a r o n o v 和b o l u n 把此实验装置改为在双缝装置后面紧邻处放置一个 细长的螺管( 垂直于纸面) ，管内部有磁场b ，磁通量为e ，在管外磁 场b = o ( 特别是在两束粒子经过的路径上b = 0 ，但a 0 ) ，如图( 2 2 ) 因为在两路径所围区域内磁通量不为零，所以依然有( 2 4 ) 式的相位差 从( 2 4 ) 式来看，相位差与相干粒子的物理特性无关，自旋不会影响 到磁a h a r o n o v - b o l n n 效应，因为它与限定在螺管内的磁场没有耦合但是 在旋转标架中运动的有自旋的粒子对相位差存在一定的影响，因为自旋 和旋转干涉仪的角速度会有耦合所以在旋转标架中传播的物质波与在 有磁场存在的空间中带电粒子的传播类比时，我们假设粒子没有自旋或 者自旋可以忽略不计 ， e 图2 2 ：磁a - b 效应 2 2 广义c o r i o l i s 力和广义l o r e n t z 力 为了将s a k u r a i 的方法拓展到相对论的领域，我们引入广义的c o r i o l i s 力和l o r e n t z 力首先我们选择一个物理标架，因为旋转盘上每点的世界 线都是类时的螺旋线，它们无交叉的充满整个r r 并设口= 詈，我们可以得到 d s 2 = 一【( 1 一等一r 2 舻) i 舻+ ( 1 一了2 m ) 一1 护+ r 2 妒+ 2 r 2 n 撕 ( 3 8 ) 在r = 矗= o o n s t 的轨道上，我们可以得到矢量场- y ( x ) 的各分量 矿圭志。f 南， ( 3 9 ) 一姗( 1 一警一形弹) 7 7 伽击一氚= 一( 1 一兰孑一萨铲) ；， ( 3 1 0 ) 知圭蛳矿= ( t - j 警l - r a n 2 ) ； ( 3 1 1 ) ：g j 产q 屯2 一1 - 警- r 2 f p 。 从而相位移( 3 1 ) 可以表示为 一舳2 秽南 时间差( 3 2 ) 可以写为 ， 凹： 竺型； ( 1 一警一萨俨) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 从式我们发现，在s c h w a r z s c h i l d 时空中，s a g n a c 效应除了与旋转参考系 的角速度有关外，还和中心质量源的引力质量有关并且在引力质量越 大的时空中这种效应就越明显 3 3k e r r 时空中的s a g n a c 效应 宇宙中的大部分天体都是旋转的，因此研究旋转物体的引力场是十 分重要和有实际意义的l e n s e 和t h i r r i a g 在早期用弱场近似方法得到过 硕士学位论文 旋转球状物体物体度规的近似解一直到1 9 6 3 年k e r r 才得到旋转轴对称 物体外场的严格解，称为k e r r 度规，用来描述一个匀角速转动球体的外 部引力场，在b o y e r - l i n d q t t i s t 坐标系中，k e r r 场度规由以下线元表达式 给出【1 ，3 5 ，3 6 】： d s 2 ：一( 1 - 誓) 2 + 昙d r 7 2 + g 2 + 卜2 m r a i s i n 一20 4 - ( r 2 + 舻) 】s m 2 影2 r r ；厂一v 1 - u 川o m9 叫 一下4 m r a s i n 2f f d 7 ”一 ( 3 1 5 ) 其中e = r 2 + a 2 c o s 2 ，a = r 憧+ 护一2 r l r * ，口= 差此处参量m ，口分 别代表场源的引力质量和比角动量( 即角动量与质量的比值) 并引入自 然单位制g = c = 1 球坐标( t ，r ，矿，) 的选取使得角动量与赤道平面垂 直利用坐标变换( 3 3 ) ，并设口= ；，我们可以得到 聍= ( 一l + 矿q 2 + r 2 q 2 + 2 m r ( 1 - 2 a 万q + a 2 一g 2 ) i 砸 + - 癸d r 2 + ( 0 2 + r 2 + 孚) 妒 + ( 2 f 2 a 2 + 2 q r 2 + 生堡竺：! ! 盟】疵。幼 ( 3 1 6 ) 其中：r 2 + a 2 2 m r 在r = 冗= c o n s t 的轨道上，我们可以得到矢量场 7 ( z ) 的各分量 其中 矿圭丁1 菰= ， 伽圭一何= 一石1 ， 圭蛳矿= ( 2 0 , a 2 + 2 q 舻+ 4 m a r 面( 1 型】 ： 1 - 2 舻一形铲一2 m r ( 1 - 厨2 a n + a 2 f l ：) 厂； 这样我们就可以得到引力磁势 苟= 丝7 0 = 一时+ q r 2 + 2 m a + 。2 m l l a 2 , 记a ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 弯曲时空中的s a g n a c 效应 从而相位移( 3 1 ) 可以表示为 时间差( 3 2 ) 为 圣= 4 7 f r ml a m 2 + q 冗2 + 2 m a + 1 f 2 m f n 一2 j , ( 3 2 2 ) a t = 4 1 r o m 2 + n 萨+ 2 m a + n 2 m f a 2 1 ( 3 2 3 ) 把代入我们可以得到 a t = 4 m 两斋装南 限均 f 1 一口2 n 2 一j 铲n 2 一塑垡址三笺旦：! ：! 盟1 考 、 从( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 我们可以看出，旋转参考系的角速度，中心质量源的引力 质量和比角动量都对$ a g n a c 效应有贡献，并且引力质量能加强这种效应 特别应当注意的是当n = 0 时，此效应依然存在 垂= t = $ ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 也就是说，即使在一个不旋转的参考系中，依然可以观测到s a g n a c 效应 这主要是中心质量源的旋转造成的 3 4k e r r - n e w m a n - k a s u y a 时空中的s a g e s t 效应 很多天体都带有电荷和磁荷，而带有电荷和磁荷的旋转天体的引力 场相对来说是比较复杂的由于电荷和磁荷的作用，可能引起很多新的 引力效应，所以对含有电荷和磁荷的天体的引力场研究是很有意义的 1 9 8 2 年，m a s a h i r ok a s u y a 将k e r r - n e w m a n 解推广到场源含磁荷的情况，得 到了用来描述带有电荷和磁荷的旋转天体引力场的稳态严格解，即k e r r - n e w m a n - k a s u y a 解，为我们研究该引力场中的各类引力效应提供了基础 在b o y e r - l i n d q u i s t 坐标系中，k e r r - n e w m a n - k a s u y a 场度规由以下线元表达 量一 硕士学位论文 式给出【l ，3 5 】： d s 2 = - 【l 一2 m r - 。( e 2 + q 2 ) d t 2 + 丢d r 2 + 删 + ( 2 m r - e 2 - 一q 2 ) a 2 s i n 29 + ( 户+ a 2 ) l 8 i n 2 0 d 7 ，2 一下2 a s i n 2 0 i 2 m r - ( e 2 + q 2 ) d 妒d t 其中 = r 2 + 0 2 c 2 口， a = r 2 - i - a 2 + e 2 + q 2 2 m r , ， o 2 磊， ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 此处参量m ，e ，g 芦分别代表场源的引力质量、电荷，磁荷以及比角动量 并引入自然单位制g = c = 1 利用上面的方法，我们得到引力磁势为 击一f ( 铲+ a 2 ) n + a ( a f l - 1 ) ( 1 2 m 广r - 一q 2 - e 2 ) j ，, o 。 ( 3 3 1 ) 其中 ，熹 1 - ( r 2 + 扩) n 。一塾堕生警堕婪丝卜 ( 3 3 2 ) 同理我们可以求的相位移为 圣圭t 4 7 f m 懈+ 矿) q + a ( f b z - 1 ) ( 2 矿m r - q 2 塑” ( 3 黯) 与之相应的时间差为 a t - 4 1 r ( r 2 + a 2 ) n + a ( f 2 a - 1 ) ( 面2 m r 广- q 2 蔓2 】7 0 把矿代入得到 凹圭打d 1 等a 2 ) 装n 22m茎r-z-赫el-l-al|。-i-2ail-【一( 彤+ 一坚聋r 一j z ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 弯曲时空中的s a g n a c 效应 从( 3 3 1 ) 一( 3 3 2 ) 可以看出，除了旋转参考系的角速度，引力质量和比角动量 对s a g n a c 效应有贡献之外，引力电荷和引力磁荷也对此有一定的贡献， 它们会引起s a g n a c 效应的减弱，特别地，当q 。+ e 2 = 2 m r 时，引力质量 对s a g n a c 效应的加强与引力电荷和磁荷对此的减弱相互抵消对于这样 的天体，s a g n a c 效应就只与参考系的角速度和天体的比角动量有关了 弯曲时空中的s a g n a c 效应 2 5 第四章s a g n a c 效应与引力波 4 1 引言 1 9 1 8 年，e i n s