（计算数学专业论文）一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用.pdf

硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 摘要 图像恢复过程就是对给定的退化图像或噪声污染的图像，根据某种先验知识 来重建和恢复原有图像的过程，传统的线性去噪方法在去噪的同时破坏了边缘、 线条、纹理等图像特征，如何在去噪的同时保持边缘，是本文要探索的问题。 本文在介绍分析了p - m 各项异性扩散方程、全变差模型( t v 模型) 、鲁棒 统计后，详细论述了贝叶斯方法、鲁棒性估计理论与变分偏微分的统一性本文 由最大似然估计得到保真项为。范数的图像恢复模型，同时从鲁棒统计的角度， 找到能拟合图像梯度模直方图的三个概率密度函数：哥西密度函数、t 密度函数 和韦布密度函数后，基于h u b e r 定理，推导得到相应的三个势函数妒作为图像恢 复模型的正则项，从而对高斯噪声和脉冲噪声分别建立相应的去噪模型。实验表 明：1 ) 当噪声为高斯噪声，用保真项为厶范数的模型去噪效果比较好；当噪声 为脉冲噪声，用保真项为厶范数的去噪模型去噪效果比较好。2 ) 本文提出的保 真项为三个密度函数推导得到的势函数，都能在去噪的同时有效的保留边缘。相 比而言，保真项为哥西密度函数对应的势函数去噪效果最好。 关键字：各项异性扩散，正则化，鲁棒统计，图像恢复，图像建模，变分偏微分 硕士论文 一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去嗓中的应用 a b s t r a c t h a g er e s t o r a t i o ni s t or e c o n s l z t l c to rr e s t o r eo r i g i n a li m a g e sf r o mg i v e n d e g r a d e di n 扭g e so rn o i s e - p o u u t e di m a g e sw i t hs o m ep d o r ik n o w l e d g e t r a d i t i o n a l l i n e a rf i l t r a t i o nw i l lb l u re d g e s ，l i n e s ，t e x t u r e sa n do t h e ri m a g ef e a t u r e s t h i sp a p e r s r e s e a r c hf o c u so nd e n o i s i n gw h i l ep r e s e n ，i n ge d g e s b yi n t r o d u c i n ga n da n a l y z i n gp c r o n aa n dm a i l i k sa n i s o 位o p i cd i f f u s i o nm o d e l ， t h i sp a p e re s t a b l i s h e st h ec o n n e c t i o n sa n du n i f i c a t i o na m o n gb a y e s i a ni n f c w n c e ，t h e v a r i a t i o n a lp d em o d e l sa n dr o b u s ts t a t i s t i ct h e o r y 1 1 1 i sp a p e rp r o p o s e st h e 上口i l o r m a sf i d e l i t yf r o mm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n b y 丘t t i n gt h eh i s t o g r a mm o d l l l eo f i m a g eg r a d i e n tf i e l d , t h i sp a p e rg a i n st h et h r e ep o t e n t i a lf u n c t i o n sa s f r o mt h r e e d e n s i t yf u n c t i o n s ：g e x id e n s i t yf u n c t i o n 、td e n s i t yf u n c t i o na n dw e i b u l ld e n s i t y f u n c t i o nb yh u b e rt h e o r e mr e s p e c t i v e l y t h e n , w ep r o p o s ec o r r e s p o n d m gm o d e lt o d e n o i s cg a u s s i a nn o i s ea n dp u l s en o i s e e x p e r i m e n t ss h o wt h a t ：1 ) g o o dd o i s i n g e f f e c tc a nb ea c h i e v e df o rg a n s s i a nn o i s e sw h e nf i d e l i t yi s z 2n o r m , w h i l ew ec a n a c h i e v eg o o dd e n o i s i n ge f f e c tt op u l s en o i s ew h e nf i d e l i t yi s 厶l l o r m 2 ) t h et h r e ep o t e n t i a lf u n c t i o n sd e d u c e df r o md e n s i t yf u n c t i o n sc r t la c h i e v eab e t t e r c o m p r o m i s eb e t w e e nn o i s e ，s u p p r e s s i n g a n de d g e - p r e s e r v m g t h em o d e lw i t h r e g u l a r i z a t i o nt e r md e d u c e df r o mg e x id i s t r i b u t i o nh a st h es t r o n g e s td c n o i s i n g c a p a b i l i t y k e y w o r d s ：a n i s o t r o p i ed i f f u s i o n , ，r e g u l a r i t y ，r o b u s t s t a t i s t i c ， i n l a g em o d e l i n g ，v a r i a t i o n a l p d e 堡圭丝奎二翌茎三苎堡竺盐塑里堡堡堡查鲨墨茎垄查些塑窒旦 图表目录 1 1 几种图像处理的抽象模型算予 1 2 不同图像的建模方法比较6 2 1 各项异性扩散 2 21 v 模型去噪， 1 5 3 1 二次函数2 0 3 3t u k e y 双边滤波函数2 2 3 4l 1 函数 3 5h u b e r 函数 2 3 2 3 3 6h a m p l o 函数2 1 3 7a n d r e w ss i n e 函数。 3 9l e c l e r c 函数 3 1 0 枷p 1 r 函数 4 。1 广义高斯分布” 2 4 2 4 。2 5 4 2 图像的八领域系统 4 3l e n a 图像。 4 5h o u s e 图像 4 6p e p p e r 图像 。2 5 2 6 。3 ( 1 3 3 3 4 3 4 4 7l i o n 图像 。3 4 4 8b o a t 图像3 4 4 9p e n g u i n 图像。 4 1 0 四个函数密度图。 3 4 3 5 4 1 l 指数分布 4 。1 2 哥珏分布 v 3 6 。3 7 硕士论文 一种基于鲁棒统计韵图像建模方法及其在去噪中的应用 4 1 3t 分布 4 1 4 韦布分布 4 1 5 肼= 0 5 时韦布函数的去噪效果 4 1 6 图像的八领域系统 4 1 7l c n a 图像高斯去噪 4 1 8p e p p e r 图像高斯去噪 4 1 91 v 模型的阶梯效应 4 2 0l e a f 和b o y s 图像脉冲去噪 4 2 1l i o n 图像脉冲去噪 4 2 2 韦布函数v s 中值滤波 3 7 ：；l i ，3 9 4 0 4 4 4 5 5 0 ! ；l 4 2 3l e n a 图像脉冲去噪 4 2 4p a n d a 图像脉冲去噪 4 2 5b o a t 图像脉冲去噪。 v i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：垒嫩d 6 年6 月吕 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：叠邋。6 年6 月日 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中e q 应用 i 绪论 在过去的几十年内，传统上属于工程的图像处理吸引了许多数学家的注意。 图像处理与分析是信息科学与工程中的一个主要的研究领域，就视觉和感知科学 的观点而言，图像处理与分析是从2 d 图像重建3 d 世界中的相对次序，几何 形状，拓扑关系，模式分类和动态分析的一个基本工具，是底层视觉处理的一个 重要阶段。因此，随着图像处理在当代的科学技术的广泛应用，如天文学和空间 探索、医学成像、分子成像、计算机图像学、人和机器的视觉、电信、自动驾驶、 监视录像等等，所有这些极不相同的专业领域使得有必要提供共同的数学基础。 因此数学应用到图像处理是社会发展的必然。 数学介入图像处理有两个主要目的，首先是建立计算机视觉的数学模型与科 学理论，其次是建立生物视觉的数学模型与科学理论。无论是哪种模型都要遵循 一个极其重要的准则通用性、适应性、精确性和计算的有效性。 1 1 图像处理系统 在大多情况下，图像处理可以看成一个输入输出系统： q o 寸三一q l 其中q o 表示观测到的单个图像或者图像序列，上是图像处理器，q l 把经过处理 的目标图像的结果输出图像处理的两个主要组成部分就是输入q 0 和处理器。 因此，在图像处理中，数学的两个关键问题就是输入数据q o 和处理算子工的建 模。因此，现代图像处理的数学方法主要分为( a ) 输入的视觉信号q 的建模和 表示。( b ) 图像处理算子工的建模。他们是相互独立但又紧密相连的：算子工很 大程度上取决于输入数据的模型 1 】。 工q q l ( 1 ) 去噪+ 去模糊 = h u + 疗干净而又清晰的u ( 2 ) 图像恢复 ，0 、。 整幅图”，n ( 3 ) 图像分割 目标k 。，q 。1 ，k = 1 , 2 ( 4 ) 运动估计 f u o ( 1 ) ，u o ( 2 ) ，)光流( 哥( 1 ) ，哥( 2 ) ，) 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 注：( 1 ) h 为模糊算子，以为加性噪声：( 2 ) q 整幅图像区域，d 图像数据 丢失的区域；( 3 ) 【蚝，q 】，q 为分割后的单独物体，为该物体的象素灰 度值；( 4 ) u o ) 为观察到的图像序列。帚( 是某一时刻的光流 1 2 图像建模的理论和方法的研究现状 2 为了能有效的处理图像，首先需要知道从数学的角度理解和表示图像。图像 建模和它的表示方法很大程度上决定了图像的处理模型。这里大约介绍三类图像 建模和表示方法。 1 2 1 统计建模方法 图像统计模型的研究可以追溯到1 9 7 5 年h u n t 提出的g a u s s 随机场模型，它 假定图像先验的多变量g a u s s 分布。对于特殊的短曝光天文图像，医学c t 图像 等，研究者们也曾提出了p o i s s i o n 随机场模型。但是最有影响力的模型是将图像 建模为m a r k o v 随机场( 瑚盯) 、g i b b s 随机场( g i 疆) 以及m a r k o v - g i b b s 随机 场( m g b f ) 。m r f 理论研究起源于6 0 年代，而g i b b s 随机场早在1 9 2 5 年就已 经由德国人i s i n g 提出，其实质性的进展归功于7 0 年代a v e r i n t s e v 和b e s a g 等人 的研究成果，即m a r k o v 随机场和g i b b s 随机场等价，称为h a m m e r s l e y - c l i f f o r d 定理，因为该定理表明关于g r f 的大量研究结果可以推论到m r f 。将图像建模 为m r f 最早由c r o s s 和j a i n 提出的，但是在d g e m a n 和s g e m a n 发表了采样 g i b b s 分布的随机松弛算法的研究后，该模型才被图像处理领域所关注。同时 s g e m a n 和d g e m a n 提出包括线过程的m a r k o v 随机场模型。 m a r k o v 随机场理论对于图像处理有广泛的应用，包括纹理合成、图像分割 和纹理分析，但对于合并相隔很远的象素有一定的困难。m u m f o r d 和z h u 从信 号的一个稀疏表示出发建立了m a r k o v 随机场模型，如小波域m a r k o v 随机场模 型。由于小波变换多分辨率的特征允许建立包括进程和远程相关性的m r f 模型， 近年来提出的分层的m r f 模型( 多尺度m r f 模型) 将图像建模为若干层( 又 称尺度) 的m r f ，在层与层之间建立因果关系。这种因果关系一方面与图像的 多分辨率一致，一方面将平面网格上的信息迭代扩散转换为信息在不同层次的传 递，从而得到类似于m a r k o v 链的非迭代前向、后向算法。 比较常用的统计模型还有混和概率密度分布模型，这种模型将图像中的每一 个象素的灰度值看作是几个概率密度分布( - - 般用g a u s s i a n 分布按一定的比例 2 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 混和) ，通过优化基于最大化后验概率的目标函数来估计这几个概率分布参数和 他们之间的比例。o i o r d a n a 等人讨论了一种利用隐m a r k o v 链模型的混合分布。 g u p t a l 等人给出了g a u s s i a n 混和分布模型。 图像统计解释和建模的另一个观点是基于鲁棒统计理论，认为建立图像模型 转化为鲁棒性估计中鲁棒性范数的定义，如可以选择包括l o r e n t z i a n 范数、h u b e r 范数、t u k e y 范数等著名的鲁棒性范数。m i c h a e ljb 以图像的梯度信息作为分析 样本，认为边缘是只在少量时间内出现、不同于平坦区域分布且另一种分布的数 据，它称为异常值( o u t l i e r ) ；而对于存在异常值的序列，使用一般的最 b - 乘 将导致极不稳定的分析和处理结果。他们分析了各项异性扩散与鲁棒统计估计理 论之间的关系，特别是他们分析了p o r o n a - m a l i k 各项异性扩散方程中的边缘停止 函数与鲁棒性范数之间的关系。 1 2 2 正则化空间的几何图像模型方法 在传统的数字图像处理中，线性滤波曾经引导图像建模主流，图像甜被建为 s o b o l e v 空间日1 ( q ) 。s o b o l e v 模型适应于图像的平坦区域，但是它将磨光图像 中边缘等重要的视觉特征，典型的例子包括基于热传导的各项同性模型。 图像边缘合法化模型中，一个著名的模型就是r u d i n 和o s h e r 提出的有界变 差模型( 简称b v 图像模型) 。对于一大类图像，包括国际标准测试图像的l e n n a ， 都具有有界变差的全变差。从几何的观点看b v 图像模型就是将图像建模为具有 典型水平集和有限长度的“轮廓”。另一个著名的模型是m u m f o r d 和s h a h 提出 的“目标与边缘检测”或称为m u m f o r d s h a h 模型，该模型认为理想的图像应该 是分片均匀的目标与正则的边缘曲线组成。从解的存在性证明可以看出， m u m f o r d - s h a h 模型是在b v 空间求解能量函数的最优解。 b v 模型较好的刻画了图像中视觉重要的边缘结构，但对于图像中小尺度的 重复结构模式，如纹理的描述，h a u s d o r f f 维数在o 1 部分并不能包含图像所有 小尺度信息2 0 0 1 年，小波的奠基人之一y m e y e r 进一步提出了基于“+ 1 ，” 模式的全变差最小和震动模式的纹理建模理论，其中：越称为图像的卡通部分， 可由b v 空间的函数来表示，而v 表示图像的纹理，通过与b v 空间一定意义上 的对偶空间进一步建模。在该模型中，纹理通过两个振荡函数蜀，9 2 来表示，。并 可通过构造 ，蜀，) 的能量泛函；而图像的卡通纹理部分的分解可以通过该能量 泛函的最小化导出的三个耦合的欧拉一拉个朗日方程进行迭代求解。 基于正则化理论，人们提出一系列与b v 模型和m u m f o r d s h a h 模型类似的 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 变分模型。在这些模型中正则化泛函【9 ( 工，v u ，v 2 “k 对应于图像模型，人们 从不同途径寻找合适的正则化形式，并导出了一系列图像模型。由于变分模型往 往可以导出非线性p d e ，而图像处理中的偏微分方程往往能找到相应的变分泛 函形式。因此，基于变分模型和基于p d e 的图像处理方法，被统称为变分p d e 方法以图像恢复为例，基于纯粹p d e 方法一般建立如下形式的p d e ( 边界条 件略) r a ， i = f ( x ，甜 ，f ) v u ( x ，r ) ，v 2 “ ，f ) ) 研 【 “( o 。x ) = “o ( x ) 虽然b v 模型说明有界变差图像的水平集基本上都具有有限长度，但并没有 对水平集附加正则性条件，而一大类非纹理图像都具有几何正则性，因此大多数 p d e 都设法改变图像的曲率以实现特定的图像处理任务。著名的有p e r o n a - m i l i k 各项异性扩散方程，c a t t c 提出的规整化p e r o n a - m i l i k 方程，o s h e r 和r u d i n 提出 的图像增强型s h o c k 滤波器，w e i c k e r t 提出的基于张量方法的各项异性扩散方程， a l e r c z 和m a z o r r a 提出的结合s h o c k 滤波器和各项异性扩散方程的混和p d e 。 另一类几何图像模型是单纯的从图像的边缘曲线或者轮廓的角度来建模，被 称为主动轮廓模型。主动轮廓模型是1 9 8 7 年z a s $ 和t e r z o p o u l o s 提出的蛇模型 开始的，一般可分为参数化主动轮廓模型和测地主动轮廓模型。前者的曲线表达 用显式的参数化描述方式，几个代表模型有：k a s s 和t e r z o p o u l o s 提出的蛇模型， c o h e n 提出的b a l l o o n 模型，c h e n y a n gx u 提出的基于梯度矢量流的g v f 模型和 推广的g v f 模型等。后者则是将曲线嵌入在高维函数的零水平集中，最早由 c a s c u e sv 和m a l l a d i 分别提出，思想源于o s h e r 和s e r b i a n 所提出的解决的以曲 率相关速度沿法向前进的边界传播问题的水平集方法。 1 2 3 几何多尺度建模方法 一个稀疏表达式可以用特征化的较少几个参数近似的表示信号。稀疏表示同 时也是处理很多数学问题的强有力的工具。在1 9 9 0 年的国际数学大会上， d a u b c c h i e s 和d o n o h o 从数值分析和统计应用中的紧支小波基的角度对稀疏表示 式进行了解释。 小波变换为代表的经典多尺度分析的出现是稀疏表示发展史上的一个重要 标志。经典多尺度分析以c a l d e r o n 再生公式( 连续小波变换) 为起点，以1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 提出具有紧支集光滑正交小波基- - - - d a u b e c h i e s 基为催化剂，并以 4 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 1 9 8 9 年s m a l l a t 提出的快速算法为标志，从理论走向应用。 然而，最近研究表明经典小波基在表示图像的边缘是效果不好，而边缘是图 像不连续性所在，即具有线性奇异性的地方。x o n ( n 2 ) 维空间而言，表示，一l 维超平面状的奇异性时效果也不是很好。为了解决直线状和超平面状的奇异性， e j c a n d e s 和d l d o l o h o 完成了脊波( r i d g e l e t ) 的理论框架。脊波理论指出； 脊波分析等价于目标函数g a n d o n 变换域的小波分析，即通过r a a d o n 变换将不 同方向的线奇异性映射为点的奇异性，从而实现图像中直线特征的有效表示。 由于图像的边缘通常不是直线形的，对于曲线奇异性的目标而言，经r a n d o n 变换后，奇异性仍旧就是曲线，而不是一个点。于是e j c a n d e s 和d l d o l o h o 提出用单尺度脊波表示这种曲线的奇异性，并构造了r f o ，1 1 上的局部脊波框架。 基本思想是将曲线无限分割时，每一小段可以近似的看作直线段。单尺度脊波是 在一个基准尺度j 进行脊波变换。对应于单尺度脊波变换，e j c a n d e s 和 d l d o l o h o 构造了曲线波( c u r v e l e t ) 即多尺度脊波，它可以在所有可能的尺度 j 0 进行变换。对于2 d 图像而言，当图像具有奇异性曲线且曲线二次可微时， 则c u r v e l e t 可以自动跟踪这条曲线。而后，d l d o l o h o 进一步提出了更多的几何 多尺度分析工具，包括b e a m l e t 和w e d g d e t 等等。 1 3 图像建模方法比较 本章从三个方面对图像建模理论进行了全面综述。表( 1 2 ) 给出了从奇异 性处理、表现手段、典型应用、表现方法以及可能的联系等五个方面对不同图像 建模方法综合比较。 统计模型是目前应用范围最广泛、方法多样、理论上可以处理边缘、纹理等 各种奇异性的比较完备的模型，同时也是其他模型的理论源泉，但涉及到具体的 分布函数估计，需要对训练数据进行复杂的、长时间的学习和训练过程。 基于正则化空间的几何图像建模方法，将导致一系列基于偏微分方程图像处 理方法，本文统称为变分p d e 。变分p d e 与其他方法有如下显著特征：1 ) 可以 直接处理图像中视觉上重要的几何特征，如梯度、切线、曲率和水平集；2 ) 可 以有效的模拟具有视觉意义的动态过程，如各项同性扩散、各项异性扩散以及信 息的传输机制；3 ) 基于能量函数的变分方法，它既可以采取成熟的数值计算方 法，也可以采取智能优化算法，如模拟退火、遗传算法等。但是，图像恢复与分 割中变分模型的选取、数值优化以及其他模型与方法的统一性方面，都存在许多 悬而未决的问题。 硕士论文 一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 几何多尺度模型提供了局部化时频分析和多尺度机制，目前是一个刚刚起步 不断发展的热门领域。 表1 2 不同图像的建模方法比较 淤奇异性处理表现手段典型应用表现方法可能的联系 统计模型边缘、纹理各种分布应用范围 可采取与各个模型 等各种奇异性函数最广泛很多方法都可以统一 正则化空间非纹理能量泛函图像恢复、数值迭代和由g i b b s 公 的几何模型的奇异性 和偏微分图像分割、智能优化方式与统计模 方程图像修补法型相联系 w a v e l e t ：点 图像恢复、具有快速算小波技术是 几何多尺度 r i d g d e t 直线 基或框架图像分割、法( 如小波b e s o v 空间 模型c u r v d e t ：曲线图像分析、的m a l l a t 算的非线性最 图像编码等法)优逼进 1 4 本文的主要内容和结构 图像恢复是图像处理的基本任务，传统的线性去噪方法在去噪的同时也模糊 平滑了图像的边缘和细节，怎样在去噪的同时有效地保留边缘是我们一直探索 的，本文基于鲁棒统计，提出了一种新的图像去噪方法，对高斯噪声和脉冲噪声 分别建模，由实验证明得到很好的效果 本论文共分四章，各章节组织如下： 第一章对图像建模理论和方法及主要工作进行了介绍。 第二章系统的研究了偏微分方程在图像处理中的应用和发展，介绍并分析 了著名的p m 各项异性扩散方程，同时引进了正则化模型，着重介绍了著名的 t v 模型( 全变差模型) 的理论和实现。 第三章在介绍m r f 方法以后，着重介绍了鲁棒统计，并详细论述了图像 处理中，m r f 方法、鲁棒性估计理论与变分偏微分的统一性。 第四章由最大似然估计得到图像恢复模型的保真项，同时从鲁棒统计的角 度，提出能拟合图像梯度模的直方图的三个概率密度函数，基于h u b c r 定理，推 导得到相应的势函数( 函数伊) ，得到图像恢复模型的正则项，从而对高斯噪声、 脉冲噪声分别建立相应的模型去噪，最后对实验结果进行综合分析和点评。 6 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 2 变分p d e 方法在图像恢复中的应用 图像增强，图像恢复，图像分割是图像处理与分析中的主要问题，是对图像 进行平滑和边缘检测等处理常用的方法；然而，图像的平滑和边缘细节的保留是 一对矛盾，传统的滤波在去噪的同时模糊了边缘，因此，新的有效算法一直是这 个领域活跃的研究热点。 源于能量最小化，变分方法的基本思想是将所研究问题归结为一个泛函极小 问题，然后应用变分方法导出一个或一组偏微分方程( 组) ，最后用数值计算方 法求解此偏微分方程( 组) ，得到所要的数值解基于p d e 的正则化方法可以看 成一种非线性的滤波技术，它以某种形式简化数据，使得只有那些只得注意的特 征被保持。 2 1 图像恢复模型 图像去噪是一种特殊的图像复原方法，也是图像处理中常用的技术，其过程 是根据一些已知的降质模型恢复原来的图像，是原图像某种意义下的最优估计。 其模型一般如下： 先考虑连续的情况。假设观察的图像是在一个有界区域上的二维函数 扩：q _ 【o ，1 】 其中，q c r 2 是图像区域，一般是方形区域，假设观察到的图像为： ( x ) = 而( x ) “( x ) + 行( x ) = 日i ( x ) + 行( x ) ( 2 1 1 ) 其中u o ，“，一，h 都是向量或矩阵，砧。表示带有噪声的观测图像，甜表示特定的干 净图像，行表示噪声，h 是r ( q ) 到p ( q ) 上的线性算子，表示图像受到某个已 知的点扩散函数 ( x ) 的模糊，当日( x ) 是单位矩阵的时候，表示没有受到模糊。 图像恢复要解决的问题可以描述为：给定观察到的图像、模糊矩阵 日( 力和噪声方差口2 ，在所有满足 fl 胁( x ) 一甜。( x 1 出= o 嘶螂一小i 1 2 ： q 2 7 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 的“找一个“最优”的。现在是如何定义这样的“最优”。 2 2p d e 方程在图像恢复中的应用 在过去的2 0 年内，图像处理和分析吸引了许多数学家的注意，基于p d e 的 图像处理在这个领域得到广泛的重视，因为它在平滑噪声的时候有效的保持边 缘，现在基于变分方法和形变模型的p d e 方法已经成为图像分析和分析的一个 重要的工具。 2 2 1g a u s s i a n 滤波和线性尺度空间 p d e 在图像恢复中的应用至少可以追溯到d g a b o r 和a k 3 a i n 3 的工作。但 其实质性的创始工作归功于j j k o e n d e r i n k 4 和a p w i t k i n 5 的研究。他们严 格地介绍了尺度空间( s c a l es p a c e ) 的概念，尺度空间把一组图像同时在多个 尺度上表述。他们的贡献很大程度上构成偏微分方程进行图像处理的基础。图像 的多个尺度是通过高斯平滑获得的，他们指出，图像与具有递增方差的高斯函数 做卷积实现低通滤波，等价于求解以原图像为初值的热传导方程： 窑= 缸( 彬) ，出，o ) = u o ( x ) ( 2 2 1 1 ) 定义多尺度图像 ，f ) ：q x 【0 扣。) 专置，q c r 2 , ( 力为原图像。求解方程， 得到： u ( x ，乃，) = 甜似j ，o ) g o ， ( 2 2 1 2 ) 吼= 万1 p 扣p 2 r t 是高斯函数的方差，不同的t 定义了不同平滑的程度，这就可以定义一个尺 度空间，对于任意的尺度岛 0 时，通过解发展方程可得到 u ( x ，y ；t 1 ，发展方程如下： ( 1 ) p e r o n a - m a l i k 方程( d i v 形式) ： 詈= a 如( g ( i v “咖) ( 2 2 2 1 ) 其中：v u = ( 虬哆) 是图像函数的梯度，i v “l 一- - 、e i 2 ：虿2 是梯度模。 姗= ( 昙，旦 表示求向量的散度( 2 3 1 ) 中函数g ( i v 枷起到自适应光滑 的作用，文中建议的g g ) 有两种：g g ) = e 4 x ，砰g g ( x ) = 1 6 + g _ j ) 2j ，j 是梯度 门限。当g = i 时，( 2 31 ) 式便退化成经典的高斯滤波模型。若写成善一r 形式， 我们将更好的看出函数g 的作用。 ( 2 ) p e r o n a - m a l i k 方程( f 一刁形式) ： 令叩表示为梯度方向，f 表示与梯度方向垂直的切线方向，可以把他们写 成单位向量的形式： 善= ，7 = 何( i x 磊l y ) y ，、f “l 。“ 以，表示材在善和，7 方向上的二阶导数， 接下来我们将方程( 2 3 i ) 展开成善一1 7 方向得形式的p c r o n a - m a l i k 方程： 珥= g ( i v u l ) u c ；+ + i v u g l 【g i v ( 。i v l ) u 1 ) j u 钾 ( 2 2 2 2 ) 9 项士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 喜t 中， ：二二攀c 2 2 ：s ， 这里我们取g v ”2 了i 丽1 为了简单起见，我们假定g = 1 因为 g ( i v 4 ) 2 丽1 带枷3 4 膳觏确 = 南 喃喁) 包2 2 4 ， 铲再丽i 曰可铲j q 2 2 4 自从p e r o n a - m a l i k 扩散方程提出以后，人们对p e r o n a - m a l i k 方程的理论以及 应用做了大量的研究，也对它提出了各种改进。现在广泛采用的扩散方程为【7 】： t o u ( x , y , t ) = v 刚v g ，护( 础f ) ( 2 2 3 1 ) l o 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 这是因为考虑到图像本身的噪声，所以在计算扩散的幅度之前先要对图像进 行一次g a u s s i a n 平滑。对于( 2 3 7 ) 的方程一般采用n e u m a n n 边界条件( 这里 规定法向导数为零，对于方形区域这相当于对称边界条件) 和初值条件为： j 詈= 0 伽i x 施 ( 2 2 3 2 ) i u ( x ，y ，o ) = u o ( x ，y ) i nq 各项异性扩散已经广泛的应用在图像边缘检测中，在进行边缘检测之前先对 图像做一下各项异性扩散，既可以消除噪声的影响，又不会使边缘偏移，如图 ( 2 1 ) ，左边为噪声图，右边为去噪图，给出了各项异性扩散的结果。 2 3 正则化几何模型 2 。3 1 经典方法 图( 2 1 ) 各项异性扩散 对式( 2 1 2 ) 最直接的方法就是计算甜= u o h - 1 一，然而这样的方法实际 中不可行，因为日一般不可逆的，如在频域上考虑有州上m 】- 吖 】f 【缸】，f 【】表 示傅立叶变换。令g = 觑，村婀1 9 当且仅当砷】= 制，但如果f 【嘴于 零，这个除式就不存在另外，如果日是一个低通平滑算子，那么由于噪声叫珂】 的高频分量保持恒定值，除式f 玎】可办】随着频率的增加将会趋于佃，这将使 得估计的甜产生严重的振荡 一般图像复原采用最多的是最小均方误差，即问题 平l ( 一- u ) 2 d x ( 2 311 ) 得到“的近似解，此时”，u o 是确定的。这个最小二乘问题的欧拉方程为： l l 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 h h u = h + ( 2 3 1 2 ) 其中王r 是日的共轭伴随算子。解式( 3 1 3 ) 一般是一个不适定问题，因为z ，日 不是一直都一对一的，并且尽管，日是一对一的，它的特征值可能很小的，这 会引起数值的不稳定性 为了解决解的唯一性问题，t i k h o n o v 8 提出了对能量添加一个正则项，即 如下最小化能量泛函； n d 。n e ( ”) = l k 一协1 2 出+ 五l l v 1 2 d x ( 2 3 1 3 ) 其中a 是l a g r a n g e 常数。式( 3 1 4 ) 中第一项为保真项，第二项为正则项，五 是调节两项的参数，当a 很大时，所得结果光滑性较好，去噪高并模糊了细节； 当五较小时，其结果的拟合性较好，保持了边缘，但去噪程度低。( 3 1 4 ) 也就 是模型是为了寻找与图像逼近最好的，使得它的梯度是最小的。这里”所在泛 函空间是 f 矿1 。( q ) = 甜上? ( q ) v 甜( r ( q ) ) 。 通过对日的合理假设，最小化能量泛函( 1 1 3 ) 式具有唯一的解，并且这个解 具有n e u m a n n 边界条件在铀上，满足罢：0 ，其中以是讹的外法向，其对应的 o n 欧拉方程为 h * h u 一勉”= 日 ( 2 3 1 4 ) 方程中血为l a p l a c e 算子，具有各向同性，能够光滑图像但不能保持图像 的边缘，这正是前文所提到的各项同性扩散的高斯滤波偏微分方程。一般图像本 身在目标边界和边缘处允许不连续，具有不连续点和跳跃边缘，而t l k h o n o v 正 则化的解是连续的，这样用t n k h o n o v 的正则化方法得到的图像具有g i b b s 现象 ( 即不连续点被光滑掉或者边缘处具有微小的振荡) ，这些促使人们寻找更适合 的准则。 2 3 2t v 模型 总变分最小化方法作为一种非线性规整化方法具有良好的边缘保持性，因而 撂到广泛的关注，被认为是一种对噪声抑制、图像重建和复原有前景的方法。 l r u d i n 等人观察到带噪图像的总变分远远大于无噪图像的总变分，1 9 9 2 年 l r u d i n 、s o s h e r 和e f a = c e m i 9 提出了图像函数全变差( t v ) 作为衡量“最优” 的尺度，它是异性扩散方程中的特例，b v ( 有界变差) 空间代替s o b o l e v 空间 硕士论文一种基于鲁棒统计的图像建模方法及其在去噪中的应用 来刻画图像的性质。b v 空间被认为是非纹理图像较为合理的函数空间，而全变 差( t v t o t a lv a r i a t i o n ) 模型是b v 空间理论应用于图像处理的经典模型。而且 很多的数值研究表明，图像一般几乎时分段连续的，所以t v 方法在图像恢复有 着优越性。 2 3 2 1 有界变差函数基本理论i