（凝聚态物理专业论文）pq宇宙超弦及其节点的引力辐射.pdf

摘要 宇宙学与粒子理论的结合产生了令人兴奋的进展。粒子理论始终追求用统一的理论 来描述自然界的基本相互作用。但是理论所要求的能标之高不论是今天还是未来的实验 水平都是无法实现的。唯一可能的观测只有来自对早期宇宙的探索。另一方面，宇宙学 也需要粒子理论来解释新的观测数据，以期最终揭示宇宙的奥秘。早期宇宙温度极高， 环境复杂，因此我们今天很难找到关于当时的直接的证据。但是有一些事件也许会一直 存留到我们这个时代，比如相变。在大爆炸之后，早期宇宙经历了一系列的相变过程， 相应的会形成许多结构缺陷。宇宙弦就是其中的一维拓扑缺陷。 基本弦作为弦论中基本的理论模型，与宇宙弦之间有着明显的不同。但是在膜世界 理论中这种看法被彻底改变了。在弦论的研究中人们提出了膜暴涨的概念。膜暴涨机制 的引入很好的解决了标准宇宙模型中的几个重要问题。而且当两个膜在暴涨结束时会发 生湮灭，从而产生出具有宇宙弦形态的f 一弦和d 一弦，或者由这两者形成的束缚态一( p ，q ) 弦。这些弦就被称作宇宙超弦。 本论文旨在对0 ，q ) 宇宙超弦的引力辐射进行计算和讨论。我们先从一个弦的情形入 手，给出了引力辐射功率的计算公式。在这个基础上对三个弦形成一个节点时系统的引 力辐射进行了详尽的讨论，并且给出了相应的功率计算公式。 关键词：宇宙弦，宇宙超弦，节点，引力辐射 a b s t r a c t t h e r eh a v eb e e nr a p i da n de x c i t i n gd e v e l o p m e n t so v e rt h el a s tf e wy e a r so nt h ei n t e r f a c e b e t w e e np a r t i c l ep h y s i c sa n dc o s m o l o g y p a r t i c l ep h y s i c i s t sp u r s u i n gt h eg o a lo fu n i f i c a t i o n w o u l dl i k et ot e s tt h e i rt h e o r i e sa te n e r g ys c a l e sf a rb e y o n dt h o s ea v a i l a b l en o wo ri nt h e f u t u r ei nt e r r e s t r i a la c c e l e r a t o r s a no b v i o u sp l a c et ol o o ki st ot h ev e r ye a r l yu n i v e r s e ，w h e r e c o n d i t i o n so fe x t r e m et e m p e r a t u r ea n dd e n s i t yo b t a i n e d m e a n w h i l ec o s m o l o g i s t sh a v es o u g h t t ou n d e r s t a n dp r e s e n t l yo b s e r v e df e a t u r e so ft h eu n i v e r s eb y t r a c 啦t h e f th i s t o r yb a c k t ot h a t v e r ye a r l yp e r i o d t h ee a r l yu n i v e r s ew a sa ni n t e n s e l yv i o l e n te n v i r o n m e n t ，s oi ti sn o te a s yt o f i n dd i r e c tt r a c e so fv e r ye a r l ye v e n t s t h e r ea r eh o w e v e r s o m es p e c i a le v e n t st h a tm a yh a v e l e f tt r a c e ss t i l lv i s i b l et o d a y , i np a r t i c u l a r , p h a s et r a n s i t i o n a f e r tt h eb i gb a n g ，t h eu n i v e r s e u n d e r w e n tas e r i e so f p h a s et r a n s i y i o n s t h e s em a yh a v el e dt ot h ef o r m a t i o no fd e f e c t s c o s m i c s t r i n g sa r el i n et o p o l o g i c a ld e f e c t s f u n d a m e n t a ls t r i n g ，a st h ef u n d a m e n t a lo b j e c t so fs t r i n gt h e o r y , w e r ev e r yd i f f e r e n ti nm a n y w a y sf r o mc o s m i cs t r i n g s b u tt h i sp i c t u r eh a sc h a n g e di nb r a n ew o r l d t h er e c e n td e v e l o p m e n ti ns t r i n gt h e o r yi st h ec o n c e p to fb r a n ei n f l a t i o n t h ea n n i h i l a t i o no ft w ob r a n e sa tt h ee n do f b r a n ei n f l a t i o ni st h o u g h tt ol e a dt ot h ef o r m a t i o no fc o s m i cs u p e r s t r i n g sw h i c hc a nb ee i t h e r f u n d a m e n tf - s t r i n g s ，d i r i c h l e td - s t r i n g s ，o rq ，q ) 一s t r i n g s ，b o u n ds t a t e so ft h et w o t h i sp a p e ra i m st oc a l c u l a t ea n dd i s c u s st h eg r a v i t a t i o n a lr a d i a t i o ne m i t t e db yc o s m i cs u p e r - s t r i n g s w es t a r tw i t has i n g l es t r i n go fc a s e ss t a r t ，g i v e nt h ef o r m u l af o rc a l c u l a t i n gg r a v i t a t i o - h a lr a d i a t i o np o w e r o nt h i sb a s i s ，t h es y s t e mw h i c ht h et h r e es t r i n g sf o r maj u n c f i o ne m i tt h e g r a v i t a t i o n a lr a d i a t i o na r ed i s c u s s e di nd e t a i l ，a n dg i v e nt h ef o r m u l af o rc a l c u l a t i n gr a d i a t i o n p o w e r k e y w o r d s ：c o s m i cs t r i n g ，c o s m i cs u p e r s t r i n g , j u n c t i o n ，g r a v i t a t i o n a lr a d i a t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：纽指导教师签名： 矿 驯矿年6 月哆日沙矽年p 明 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 1 学位论文作者签名：琨丸 。olo 年占月了了日 西北大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 关于宇宙弦和宇宙超弦 长期以来，人们有一种朴素的信念，世界是统一的，各种基本相互作用应该有统一 的起源。现在出现了一些所谓的“大统一理论”，对这种统一进行了有益的尝试并取得了 一些令人兴奋的理论预测。然而这些理论所要求的能量标度都非常之高，以至于不论是 目前还是在可预见的未来，我们的实验水平都无法对其做出科学的检验。缺乏实验的支 持，理论自身是很难使人信服的。 另一方面，对宇宙微波背景辐射( c m b ) 的观测使我们能够推断，早期宇宙一定是 由辐射为主的高温高压气体物质所组成的。以辐射为主的宇宙温度( t ) 的二次方与时 间( t ) 的倒数满足简单的正比关系，即t 2k1 t 。在宇宙诞生的极早期，大约0 - - - - , 1 秒 之间，宇宙温度高达1 0 2 8 k ，完全能够达到“大统一理论”所要求的能量标度。所以对早期 宇宙的研究和观测似乎成为了对这些高能理论进行验证的唯一可行的平台。当然，早期 宇宙的巨大能量会使得我们不可能得到任何关于早期宇宙的直接信息。但是我们能够寻 找到关于宇宙“大爆炸”所遗留下的间接的证据。理论认为在“大爆炸”之后，随着时间的 推移，温度的逐渐下降，早期宇宙经历了一系列的高温相变过程。在h i g g s 机制的作用 下，真空h i g g s 场会发生自发对称性破缺。我们知道在相变过程中，对称性发生破缺， 一般都会形成拓扑缺附1 2 , 3 】。早期宇宙相变过程中所形成的拓扑缺陷，一些是稳定的， 它们能够存在很长的时间，甚至到我们这个时代。缺陷的维数是多样的，比如点缺陷( 磁 单极) ，线缺陷( 宇宙弦) ，面缺陷( 势垒墙) 等，以及这些缺陷的组合形态。所以简而言 之，宇宙弦就是早期宇宙发生高温相变所产生的一维拓扑缺陷【4 5 ，6 ，7 1 。 宇宙弦这一概念最早是1 9 7 6 年由t o mk i b b l e 等人提出的【8 1 ，他们认为，宇宙大爆 炸所产生的威力应该形成无数细而长且高度集聚的管子。后来在很多理论模型中都找到 了一些解并把它可以解释为宇宙弦。人们对宇宙弦的兴趣逐渐被提起。 著名的弦理论是目前可以统一一切基本相互作用的最可能的理论【9 】。在所有的场论 中都存在由无穷大所引起的困扰，其根本原因就是假设的点粒子模型。而弦论的基本出 发点就是认为组成物质的基本单位不是点粒子而是基本弦( f 弦) 。弦是长为1 0 。3 5 m 的 一维曲线，有开弦和闭弦两种形态。弦的张力极大，对应于1 0 1 9 g e v 的能量。弦的激发 或振动被解释为给出基本粒子的能谱，所有粒子对应于一种给定的振动，所有已知的粒 第一章引言 子都假定为弦的基态所描述。但是人们很快发现弦理论也不能消除所有的无穷大。人们 又引入了时空的超对称性。在超对称性理论中，所有粒子具有假说的伴粒子。超弦理论 似乎能消除所有的无穷大，但是却要求时空的维数为1 0 维，甚至2 6 维。也就是说宇宙 应该有1 0 个维度，其中的6 维是弯曲的非常小，所以我们能够感知到的只有剩下的4 维。 这些基本弦与宇宙弦有着显然的不同之处。首先，它们的能量尺度差别很大。f 弦 具有p l a n c k 尺度，对应的能标为1 0 1 9 g e v ，是宇宙弦或g u t 尺度的一千倍。而且f 弦 不可能延伸到宏观尺度。如果你试图将一根f 弦拉伸到可见尺度，它将会发生断裂并重 新形成多个f 弦。 人们已经认识到基本弦与宇宙弦之间可能存在着深刻的联系。我们可以通过其他的 机制使时空的1 0 维降到4 维，特别是膜世界理论【1 0 1 。在超弦理论中，并不仅有弦一种 客体，还可能存在两维的膜或类似的更高维的客体，可以被称作p 膜( p 代表维数) i i , 1 2 】。 例如一个点粒子是0 膜，一根弦是1 膜等。还能得到d 膜( d p 膜) ，这里d 表示d i r i c h l e t 边界条件【l3 1 。相应的还有反膜，石膜。一个d 膜和一个面膜带有等量但相反的守恒荷， 它们会彼此吸引。一般的讲，在膜世界模型中，物质存在于一个嵌入在更高维时空中的 超曲面上，这个超曲面就称作膜。物质被限定在膜上而引力可以感知到额外维的存在并 在额外维传播。我们的宇宙也许就是一个类似于膜的客体。在标准宇宙模型中有几个重 要的问题无法解决，诸如平坦性困难，视界困难。为了解决这些问题，人们又提出了膜 暴涨的概念。所谓膜暴涨是指宇宙在早期的一段时间经历了一次指数膨胀阶段。暴涨机 制的引入使标准模型的几个困难同时获得了解决。在指数膨胀的过程中粒子的视界早已 超出了可观测宇宙的大小，那么视界困难便不复存在。另一方面，由于急剧的指数膨胀， 使得暴涨前宇宙的初始形态的任何信息都被冲刷的荡然无存，因而平坦性疑难所要求的 苛刻的初始条件亦得以避免。考虑宇宙包含着这种膜与反膜。膜与反膜之间相互吸引， 就好像正负电荷一样。当它们相遇时就会像正负电子相撞湮灭成为光子一样发生湮灭产 生低维的膜。如果早期宇宙确实包含有这些膜与相应的反膜，并且分别存在于紧致维数， 那么它们之间会形成一个标量场，我们将场粒子称为暴涨子。这些暴涨子就是暴涨发生 和结束的动力学机制。一旦膜与反膜相撞并湮灭就会形成低维的膜。这就表明在膜暴涨 理论中不可避免的会形成d 弦。同样的也会形成基本弦( f 弦) 。这些f 弦和d 弦有可 能具有宇宙尺度并以宇宙弦的形态显现出来【1 4 , | 5 , 1 。p f 弦和q d 一弦还可能形成一种束缚 2 西北大学硕士学位论文 态，称为( p ，q ) 弦【1 6 】。这些宇宙弦又被称为宇宙超弦【1 7 1 。 1 2 宇宙弦的奇特性质 宇宙弦是一种大尺度宏观物质，理论上赋予了它许多奇特的性质。取名宇宙弦，顾 名思义，弦即为线。宇宙弦非常之细，直径还不到一个原子，而其长度在我们可观测的 范围内可以说有无限长。宇宙弦运动速度极快，能达到o 8 c 。这些弦具有极高的能量， 也可以说是一个极高密度的能量线。以统一弦为例，设一根弦单位长度的能量为，当 宇宙温度为正时发生相变，那么乃2 。我们知道宇宙弦是高温相变的遗迹，也就是说 1 0 2 8 k 。所以可想而知，它质量巨大，几厘米长的宇宙弦就比整个太阳的质量还要大。 宇宙弦形成之后会发生一系列的“重联”，每条弦的两端相互连接起来，或是与其它弦的 两端相联而演变成大小不同的环弦或横贯宇宙的长弦。这种弦的密度极大，引力极强， 一段具有两个端点的有限( 短) 弦会很快缩成一个点而消失掉。因此，存在于宇宙中的 宇宙弦只有两种，一是横贯宇宙的无限长的直弦，另一种是各种大小的环形弦。对于普 通的宇宙弦，这种发生“重联”的可能性是1 ，而对于f 弦和d 弦事情就没有这么简单。 对于d 弦，由于额外维的存在，它们会彼此“错过”在紧致的额外空间。而f 弦作为基 本的量子模型，它们的相互碰撞只有通过量子力学进行计算。一般的说，发生“重联” 的可能性对于d 弦为1 0 1 p 1 ，对于f 弦为1 0 - 3 p 1 。同样的道理，一根弦发生 首尾相联的可能性也会下降。另一种有趣的可能是，因为它们是不同的弦，当d 弦和 f 弦相遇时它们不能进行有效的“重联”，而会和一个合成的d f 弦形成一个三弦的节点 1 9 , 2 0 o 1 3 宇宙弦的观测 直接观测宇宙弦恐怕是极端困难的，它极细又不发光，并且速度很快。但它的密度 巨大，引力场很强，所以通常的观测办法是寻找关于宇宙弦的引力效应。典型的引力效 应比如说引力透镜或发出的引力波。 当光线经过强引力场时会发生偏转，从而使我们观测到的星体的影像与星体的实际 位置有一定的偏差，这就好像观测者与星体之间有一面透镜。我们把这种效应称为引力 透镜。大型的天体都会对观测形成透镜效应。比如说光线经过太阳附近时就会发生可观 测的偏转。宇宙弦是高度密集的，质量非常大，它所产生的引力场也极强，一定会使经 过它附近的光线发生大的偏转，从而产生引力透镜效应。宇宙弦可以看做个环形宇宙 3 第一章引言 透镜，它会产生两个影像，并且这两个影像的尺度是差别不大的。这一点是很重要的， 它使得我们能够分辨究竟是宇宙弦使光线发生了偏转还是其它星系的影响。因为对于通 常的球形星体，它们所造成的透镜影像一般都是奇数个，而且这些影像的尺度差别都很 大。这与宇宙弦就有了明显的区别。一段直而且静态的弦所产生的引力场是不寻常的。 粒子在弦附近感受不到引力加速度，因为一般的相对论张力等于弦单位长度的能量，张 力的引力影响被忽略。弦附近的时空是局域平直的但不是整体平直的。实际的上宇宙弦 不会是直线或静态的。当弦与弦之间相互交换粒子时，扭结结构就会形成。从大尺度来 看，有效张力与单位长度的能量不在相等。两点之间扭曲弦的总长度更大，单位长度的 有效能量u 也更大，有效张力t 的纵向分量的平均值会减小，即r u 。这就意味 着在弦附近存在着非0 的引力加速度。如果弦的运动速度为l ，那么两个镜像之间的夹 角的表达式为【4 】 口= 璺堑竺盟s i n0 死1 一y ，) q 其中皿是源的角半径距离，仇是源到弦的距离，p 是光线与弦的夹角， 7 = ( 1 一y 2 ) 一啦，咋是速度的径向分量。 另一种经典的引力效应可以通过宇宙微波背景辐射进行观测。当高速运动的宇宙弦 经过我们观测场中时，会使电磁波产生蓝移或红移效应。 加速运动的宇宙弦是一个引力辐射源2 1 1 ，会向外发射携带有能量的引力波。环形弦 会不断的释放引力辐射直到能量耗尽消失掉。目前，对宇宙弦引力透镜效应的观测已有 令人兴奋的进展，而因为引力辐射的功率非常弱，极易受到外界环境的干扰，引力波还 未能被确切的探测到。但是有理由相信，在不久的将来宇宙弦的神秘面纱一定会被人们 揭开。理论工作者也没有闲着，已经对n a m b u g o t o 弦的引力辐射进行了详细的研究和 讨论【2 2 之4 1 。本论文旨在前人的基础上，对( p ，q ) 宇宙超弦的引力辐射进行系统的论述。 4 西北大学硕士学位论文 第二章引力辐射理论 引力场与电磁场有许多相似之处，自然我们会想到与m a x w e l l 方程具有辐射解一样 e i n s t e i n 场方程也应该具有辐射解。传播电磁辐射的是光子，同样的传播引力辐射的粒 子我们称之为引力子。但是e i n s t e i n 场方程是高度非线性的，使得精确求解非常困难。 引力波也远比电磁波复杂，因为引力波会对场源产生贡献。一种办法是寻求弱场条件的 方程解。在弱场条件下，我们认为引力波所携带的能量不足以对引力场的分布产生影响。 这就使问题的讨论变的相对简单。同时弱场近似也是一种有效的方法。因为目前所有的 观测都表明引力辐射的强度非常弱。还有一个更深层的原因是，一种基本粒子的准确定 义只有当它远离其它粒子时，对于引力子而言，它所对应的就是场方程的弱场解【2 l 】。 2 1 弱场近似 2 1 1 弱场下的e i n s t e i n 场方程 我们假设时空的度规接近于m i n k o w s k i 度规巩，= ( - 1 ，+ 1 ，+ 1 ，+ 1 ) ，即 鄂y = 吼y + 吆y 其中i 钆一 i 卅那么可 以做如下近似 卜卅却z + 阡2 i 拜i 叫1 + 学声 叫。+ 学一一孚一弘妻 q 4 。 其中妻兰手伴譬= 1 说明它是单位矢量。 当r g o 足够大时，上式就可以写成平面波的形式，我们做如下定义 令云兰麟k o 乏缈 ( x ，动三等p 3 礴yx t , g o ) e x p ( 一岳动 这样( 2 4 2 ) 可以表述为形如平面波的形式 吮y ( x ，f ) = e u ，( z ，g o ) e x p ( i k u x ) 1 2 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 乾 仁 、， t f x 须 跏 减 弘 卧 一 卜 k 纠 “ ， 甜 江 z1l 辑 p 矿 x i唧巾 功i l x 凹 誉一 小一 一p 弘 g gr 孵 丝r 、 ：x ，l矿 西北大学硕士学位论文 e t y 处口】以写成y 的f o u r i e r 受珙明彤瓦，返样嗣彤瓦便用趄采更万侵 气y ( x ，动兰等p 3 x 色，g ，动e x p 哳力 = 等p 3 x ，【乃y ( t 妫一互1 r d l ( x , c o ) e x p 依力 ( 2 4 6 ) = 4 r ce r y ( 尼，动一丢吼矿乃( 露，动 乃y ( 尼，砌= p 3 x 乞，( x 7 ，c o ) e x p ( - i t c ) ( 2 4 7 ) 我们还可以计算在f o u r i e r 变换下能动量张量的守恒方程： 了a t f ( x , t ) = 。= 万a ( 形( x ，功) p 砌) = 杀( 矽( x ，叫e - i 倒) + 专( 彤( x ，功) p - f 倒) = 一i c o e - z 倒 t 0 ( x ，妫】+ e - i 伽当 弧国) 2 4 8 d x j 嘉 衫( x ，缈) 】一f 研口( x ，仞) 】= 。 我们还可以找到乞y ( 后，彩) 所满足的代数关系式。将上式同乘以e x p ( 一磊动在对x 积 分得到： p 3 x 7 等【z ( x ，功卜z 吼八0 工t ，叻 ) e x p ( 一岳i 7 ) = 0 o d x p 3 x 7 轰【z ( x ，妫】e x p ( 一磊i )( 2 4 9 ) = i ，d 3 x 科f 7 ，功】e x p ( 一i f , 动 = 一曦秽( 尼，c o ) 皓 巧( t 动州蕊力 d 3 = 0 一。o x j岛彩ro)exp(-ffox i x 3 z 一f n 巧砌州蕊跏3 x 7 = ( 2 5 。) 一 。 r 25 0 、 j 矽( 尼，动+ 乞巧i ( 尼，砌= o j 吒彤( 尼，砌= o 糟们怀舒 诈明( 24 3 ) f 24 4 ) 的常! ；f 满足谐和出标条件( 21 9 ) 与( 2 2 0 ) 。 1 3 第二章引力辐射理论 吒后= 吼y 七七y = 一矿+ 彩2 1 x 1 2 ：o 吒彩( z ，动= 4 r ck t y ( k ，动一三形巧( 尼，动 = 等 吒彤化动一互1 , k 矿t f ( k 例 = 一丝屯砑( 尼，动 ，动= 矿p 气，似动= 等 矿”乃，( 七，动一互1 矿y 吼y 露( 尼，动】 = 一4 g r ? ( k ，妫 显然可以得到 钆衫( x ，妫= 三屯( x ，妫 ( 2 5 1 ) 下面我们计算在妻方向单位立体角的引力辐射功率。因为， 一1 ，对能流矢量在 缈 时空中取平均得到( f 加 ，单位立体角的功率为 再利用( 2 3 2 ) 给出， d p = 嬲o ) = 钌( 尸) 等= ，一2 妻7 ( 尸) 拉 j 篆= r 2 x t i o = ，一 ) 拉 ( 2 5 2 ) 丽d p = 筹1 删讹动一拟纠】 = 案1 概柏耐 q 5 3 我们在利用( 2 4 3 ) 和( 2 4 4 ) 式最后得到下式， 面d p = 盟1 6 x g ( 4 ，g ) 2 t a ( k , c o ) - 扩巧限硝 哪妒扣咖蒯一警咖，妫1 2 ) 1 4 西北大学硕士学位论文 = 宰 r 舻( 露，妫乃，( 后，妫一三i 巧( 后，叫1 2 】 ( 2 5 4 ) 显然只要我1 门能够计算_ 出就动重张量的f o u r i e r 变换式，引力辐射的能量j 司趑就司以迸 行计算。 以上考虑的只是能动量张量如( 2 3 8 ) 式的情形。如果能动量张量如( 2 3 7 ) 那样 是f o u r i e r 分量的和。这时波区的场九，可以写成( 2 4 5 ) 式的平面波的求和形式。引力 场的能动量张量可以写成双求和的形式，即 ( 缸，) = 羔( ( 彬) ( 计扣彬) 1 2 ) = 1 6 n g o , p 矿( x ，妫扩善( 矿劬 一j 1 白吼2 。( x ，妫p 触；彳( 五o ) ) e - i a c t ( 2 5 5 ) o 彬 、。， = 篆莓；亿妫啪， + ，动爵( x ， e x p 【f ( 功一o f ) t 当我们在长到可以同最长的“拍周期 ( 最短的频率差的倒数) 相比的时间间隔取平均， 上式中的交叉项都会消去。因此功率由像( 2 5 4 ) 式的求和给出，场源中每个频率各有 一项。 面d p = 丢争丁知。( 尼，妫乃y ( 尼，妫一三l 砑( 后，动1 2 】 ( 2 5 6 ) 同样的当设场源的能动量张量如( 2 3 6 ) 那样是f o u r i e r 积分形式，则九，可以写成( 2 4 5 ) 式的平面波关于c o 的积分，引力波的能动量张量将由关于缈的二重积分给出，即 ( 。) = 麓( e a r ( 蹦) ( 卅扣彬) | 2 ) = 器【弘砒矿( 五s 。d o ) e a p ( 五妫e 一一丢 f d 砒；( z ，口础p 硝( x ，动e 砌】 、。 = 笪16 z r g 胪跏科p 扩( 工，) ( x ，妫一圭巧( x ，) 蠢( x ，r o ) e - j ( 妒咖 1 5 第二章引力辐射理论 被积函数中仍含有与时间相关的因子，但这时不存在“最长的拍周期 ，所以我们不计 算辐射功率而计算总的能量。它是将功率对所有时间积分得到的，对时间积分后，我们 得到一个关于功的万函数 je x p - i ( t o o j ) t d t = 2 历( r o 一 ( 2 5 8 ) 利用( 2 5 4 ) 可以计算在波矢量云方向单位立体角内的辐射能量为2 1 】： 丽d e = 协纂= 2 g d c o c 0 2 t 1 v ( 后，妫( 七，c o ) 一三2i i 巧( 后，妫1 2 】 ( 2 5 9 ) d q kd q 、7 7 删、7 7 l 。 、。 2 5 四极辐射 在电磁理论中，将一个电荷加速将产生电磁辐射。与此相似，我们将质量加速时能 获得引力辐射。对电磁辐射而言，起主要作用的是偶极辐射。电磁偶极矩的密度 p = 见尹( 2 6 0 ) 电磁偶极矩的密度对时间的导数得到电流 了：譬 ( 2 6 1 ) d t “ 、。 电磁辐射的推迟势公式为 砸力= 毪乒( 桫最卜刎如7 ( 2 6 2 ) 电流j 时辐射场的辐射源。与此类比，我们期望质量偶极矩密度1 = p 尹对引力辐射将 产生主要的贡献，但是质量偶极矩密度对时间的导数给出的是动量，而动量是守恒量， 所以不会给出辐射。因此，对引力辐射来说，起主要贡献的将是质量的四极矩。 到目前为止，我们在问题的讨论中只做了一个近似条件，那就是弱场近似。当然我 们在论述中也说到一些假设条件，比如设波区的半径远远大于场源半径，也远大于波长 等，而事实上这些假设的引入并不会影响讨论问题的实质，因为我们总是能够选择波区 足够的大以至于很好的满足我们的假定。现在我们再做近一步的近似，假定场源的半径 比波长小的多，即 r 缈1 ( 2 6 3 ) 对大多数的辐射而言，所发射的频率的量级为- 尺，其中矿是系统的经典的速度。所 1 6 西北大学硕士学位论文 以上面的近似司以等价的表述为v 1 。这可以看出，这个1 段设一般适用于非相对论的 低速系统。 我们知道h 一= r ，云= 菇，根据( 2 6 3 ) 式，显然云i 月彩 l ，这样( 2 4 7 ) 式 就可以近似的写为与波矢无关的积分 乃( 尼，动= p 3 码( x ，c o ) p 蕊i = p 3 玛( x ，妫 ( 2 6 4 ) 根据能量守恒式( 2 4 8 ) 下a t u ( x , c o ) = f 砑气x ，砌掣= f 砑0 0 ( x ，d o ) o x 。o x 。 旦学= 丁扩( 戈，动+ 石，皇三专妄璺塑 。2 6 5 ， o优g优f 2 6 5 1 = t 扩( 石，c o ) + i w t o ( x ，动石歹 对上式进行积分，我们用到散度面积分为零，得到 p 3 x t 驴( x ，c o ) = - i c o ，d 3 x t 。( z ，砌x ， ( 2 6 6 ) 皇望学x j x k 牮+ r 嘶( x ，功x j + t o y ( x ，动x 七 同样对上式积分我们得到 3 玎m ( 工c o ) x j i c o ，d 3 灯( x ，砌x f x ， p 3 订扩( x ，妫= 一等p 3 玎0 0 ( x ，动x ， ( 露，刎= 一等p 3 刀0 0 ( z ，动x ， ( 2 6 7 ) ( 2 6 7 ) 式中的因子丁0 0 ( x ，动x x ，恰好是质量密度四极矩。因此上述推理表明引力辐射 的主要贡献来自四极矩。 在量子理论框架中，辐射源的极矩数与辐射场的基本粒子的自旋之间有一个简单的 倍数关系，前者是后者的二倍。对电磁辐射而言，辐射源主要来自偶极矩，相应的辐射 场的量子( 光子) 的自旋为1 。对引力场而言，辐射源主要来自四极矩，对应的基本粒 子( 引力子) 的自旋为2 。 1 7 第三章宇宙弦 第三章宇宙弦 这一章我们将要学习关于宇宙弦的基础知识，包括弦的作用量，运动方程，弦的引 力辐射等瞰5 1 。作为下一章计算( p q ) 宇宙超弦的预备知识。 宇宙弦在时空中的轨迹可以看作一个二维曲面，称为世界面。世界面嵌入在背景时 空( m ，g ，) 上。世界面的方程可以写为参数形式= x ( 尹，孝1 ) ，尹和是世界面上 的坐标。背景时空的度规，在世界面上会产生一个新的度规，称为诱导度规。诱导 度规只作用在世界面上，也就是说只有在世界面上才有意义。背景度规与诱导度规 满足广义坐标变换，相应的背景时空的联络由g y 给出，世界面上的联络由给出，即 = 瓯y x ，dx y ，6 ( 3 1 ) 聪= 三g 肛( ，名+ 乳脚一，r ) ( 3 2 ) 圪= 丢( 勉，6 + ，口一，d ) ( 3 3 ) 其中x ，。暑等，拉丁字符表示背景时空的指标，希腊字符表示世界面上的指标，以 下皆同。 3 1 宇宙弦的运动方程 3 1 1 n a m b u - g o t o 作用量下的运动方程 n a m b u 认为弦的作用量应该是包含鼠，和一个未知函数x 卢，它应该满足( i ) 在时 空变换和规范变换下不会改变。( i i ) 作用量中不含有x 的二阶以上微分。最后找到了 一个作用量，文献中称之为n a m b u g o t o 作用量。 s = 一j 严d 2 孝 ( 3 4 ) 其中i t 是单位弦长的质量，y = 一d e t ( y 6 ) 。这个作用量在二维和四维都是广义协变的， 所以对于任何的背景度规和任意的未知函数，它的形式都不会改变。这也是我们所要求 的。 1 8 西北大学硕士学位论文 作用量方程( 3 4 ) 满足通常的e u l e r - l a g r a n g e 方程： 三三 专c 魏一茅= 。 通过计算我们可以将上式展开 矽2 = 三厂l 2 钐= 三2 尸吼 ( 3 5 ) ( 2 广6 9 缸x 五，4 ) ，6 一丢2 矿6 9 成，x a ，6 x 一口= o ( 3 6 ) 又根据( 3 2 ) ( 3 3 ) 式，弦的运动方程可以写为 广( x a 6 + 磁x i 口x 五，6 一r 二x ，。) = o ( 3 7 ) 3 1 2 光锥规范 如果选取适当的坐标条件，( 3 7 ) 式将会更加简单。通常采用的是光锥规范。我们 在曲面上选取两个实的坐标以和正，这样在二维面上的不变长度为 d s 2 = z ( 咀，旷) d q 矗疋 ( 3 8 ) 可见的对角元为零。我们总能够通过坐标变换矿一俨( 使度规的形式为 = 石，( 其中是二维的平坦度规) 这就是我们熟知的共型规范。这样的结果是使 b f 。c 6 等于零，运动方程( 3 7 ) 近一步简化 为 嘉+ + 击。一+ 2 嘟r 一= 。 ( 3 9 ) 或等价的写成协变微分的形式 x ：+ - = 0 ( 3 1 0 ) 的对角元为零，可以得到相应的规范条件 = 以，x ，+ x y ，+ = 墨+ + = 0 卫= 昂p x ，一x y 。一= 墨一= 0 即 墨+ 墨+ = x 一。墨一= 0 ( 3 1 1 ) 1 9 第三章宇宙弦 每个光锥规范下都可以定义一个类时的坐标f 和一个类空的坐标仃 f = 三( q + 正) ( 3 1 2 ) 仃= 三( q 一疋) ( 3 1 3 ) 这时世界面上的不变长摩可以写成对角形式 d s 2 l ( r ，a ) ( c l r 2 - d c r 2 ) ( 3 1 4 ) 运动方程的形式为 x 卜= r 甜老老 x u ；仃普舞+ 面o c t 面o f - t - x u ；刃瓦o f 瓦o c t = 。 ( 3 ) j 工；啊= z ：仃 相应的规范条件变成 h 耻( 墨啬屿剖o c t 心啬螺毒= 。 j x f 2 + 墨仃2 + 2 墨f 墨盯= 0 。墨一= ( 墨f 軎+ 乃普) ( 以蠹+ 髟警瑚 x f 2 + 墨仃2 2 x , f 。墨仃= 0 近一步整理得到规范条件为 墨f 2 + 墨仃2 = ox f 。墨盯= 0( 3 1 6 ) 3 1 3 n a r n b u g o t o 作用量在外曲率下的有效形式 如果弦的曲率很小但不能被忽略，这时我们可以将作用量展开为曲率的幂级数。我 们通过弦的外曲率张量k a a b ( 彳= 1 ，2 ) 来表述r i c c i 曲率，外曲率可以通过正交归一的类 空矢量力彳计算。，2 彳满足下列条件 n b = 一如，x 4 n 彳= 0 ( 3 1 7 ) 外曲率的表达式为k 曲= 一，4 x 6 。在二维中，r i c c i 曲率标曲率r 是外曲率的函数， 西北大学硕士学位论文 r = k 枷磁- k 。k 4( 3 1 8 ) 其中k 4 = 广6 砭。 我们取到k 的二阶，可以得到有效的作用量的形式为【5 】 s = 一f 少7 2 d 2 孝( 一t z k k 彳+ 卢r ) ( 3 1 9 ) 口和是无量纲的数。根据g a u s s b o n n e t 的理论，r 在世界面的积分等于韧的倍数， 所以并不影响运动方程。当外曲率消失时，也不会对运动方程产生影响。 3 2 宇宙弦在平直时空 3 2 1 标准规范 上节中我们采用了共型规范将方程的形式确定了下来，但是方程中仍然有可以考虑 的自由度。在对方程的分析中，我们可以方便的采取进一步的规范固定。我们假定背景 时空为平直的m i n k o w s k i 时空，度规g ，- - 钆，兰d i a g ( 1 ，一1 ，一1 ，一1 ) 。规范的选择通常采 用的是时f 8 - 3 规范，即认为世界面上的时间f 等于m i n k o w s k i 时空中的时间t 兰x o 。采取