（应用数学专业论文）平面时标线性自治系统的渐近行为.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究 成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：壑煎日期：生碰：查：兰z 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大 学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅 本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) ，4 1 学位论文作者签名：耋! 煎指导教师签名：缓趁 日期：兰竺6 ：兰：兰f 日 期：2 叠i ：! 遁 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：尘垒虽亟学院瑚嘲电语地2 丝膨f 通讯地址：i 蜇孽盟爱露 5 弱西络鹏邮编：f 五q 垒 引言 众所周知，微分方程经过差分后引出差分方程，并且已经对微分( 差分) 方程理 论进行了系统研究随9 ，1 0 ，1 1 ，】2 ，13 j 实际经验告诉我们，微分方程的许多性质经差分 化后是保留的，而且差分算子 ( 埘m ) = 地半盟 与微分算子 知溉盟半幽 - _ 0n 的结构十分类似；但是也有一些微分方程的性质与其对应的差分方程的性质是有差 异的，例如，在l o 百s t i c 模型中利用差分算子代替微分算子后，将产生混沌，在研究 生态模型时常有两种情况：第一、生命长、世代重叠并且数量很大的种群，常常可 近似地用连续过程来描述，通常表为微分方程，第二、生命短、世代不重叠的种群， 或者虽然是生命长、世代重叠的种群，但在数量比较少时，常用离散过程来描述，通 常表为差分方程而现实世界中的许多现象并不能单纯用连续或离散的模型解决 例如，有一种蝉，它的生命周期一幼虫生长经过1 7 年，而成虫只能活大约一周，则建 立的模型就是连续与离散并存的同样，在工程学、经济学、物理学、神经网络学、 社会科学等领域都出现无法仅用连续或是离散的模型刻画的现象因此就启发人 们研究一个更一般的方法，可以将连续与离散统一在1 9 9 0 年德国数学家s t e f a n h i l g e r 在他的p h d 论文中建立了时标( t i m es c a l e s ) 理论一一个连续与离散计算的统 一方法1 j 此文发表后引起数学家的广泛关注时标意义下动力学方程的结果不仅 与实数集或整数集有关，而且可能与更一般的时标有关若在一般时标意义下去研 究动力学方程，则可以得到更一般的结果，通过不同的时标体现微分方程和差分方 程的相似性和差异性，能够避免许多重复工作，这也体现了时标意义下微积分的两 个主要特征是一致性和延展性既能体现微分方程和差分方程相似的性质，又能揭 露二者的差异性及更广泛方程的性质在1 9 9 6 年l a l 【s h m l k b n t h 等f 2 建立了时标 上动力学方程的李雅普诺夫稳定性理论b o h e r 和& e e m 。n 2 0 0 1 年f 3 系统地分析 了时标上动力学方程的重要性质g a r d 和h o * k e r 2 0 0 3 年f 4 】进一步对时标上的动 力学方程的稳定性和不稳定性作以研充文献 1 4 ，1 5 ，1 6 1 7 ，1 8 1 9 ，2 0 ，2 l 】是对不同类型 动力学系统的渐近行为的研究而 2 2 ，2 3 是对于时标下微积分基本理论的研究还 有2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 1 研究了时标上动力学方程边值问题解的存在性1 3 2 研究时 标上2 阶矩阵动力学系统的振动理论以及 3 3 ，3 4 】讨论了时标上的偏微分方程和时 滞微分方程的一些性质还有许多综述、评述文章，例如，2 0 0 4 年张炳根综述时标 滞微分方程的一些性质还有许多综述、评述文章，例如，2 0 0 4 年张炳根 5 】综述时标 1 预备知识 我们首先介绍一些时标中的基本定义和重要定理，这些概念的定义以及定理的 证明可以参见文献叶 定义1 1 任意一个实数集豫的非空闭子集称为一个时标，记为口， 例如瓜，z ，uf 2 ，2 k + l j ，康托集 k z 定义1 2 定义前跃算子口：t 一，后跃算子p ：一冒，满足 盯( t ) ：一i n f s 可：s t ) ， p ( t ) ：= s u p s 丌：5 ( t ) g m i n n 讯e 函数p ：一职+ = o ，o 。) ，满足肛( t ) = 口( t ) 一t ，v 亡若口( t ) = t ，点t 称为 右稠的，否则称为右散的i 若p ( t ) = t ，点t 称为左稠的，否则称为左散的 忡jt m s 唧) ，s 伽】，s 哪 o ，丑的邻域矿仰 u = 0 一d ，t + d ) n ，d o ) ，使得l ，( 口( t ) ) 一，扣) 一，6 ( t ) p ( t ) 一s 】f ei 口0 ) 一sl ，v s 矿 ，( t ) 称为，在t 点的d e t d 导数若对于v t t ，6 ( t ) 存在，称，在智上d e ：t 口可导 显然，当t = 豫时，6 ( t ) = ，( t ) i 当t = z 时，6 ( t ) = ， + 1 ) 一，( t ) = ，( t ) 定义1 4 设函数f ：t r ，若f ( t ) = ，( ) ，t ，称f 为，：t r 的原函数， 那么我们定义 ，( t ) t = f ( 8 ) 一f ( r ) ，s t 定义1 _ 5 若函数，：丌一r 在上的右稠点处连续，左稠点处存在左极限，则， 称为右稠连续函数所有右稠连续函数，：耳一r 的集合记为c ，d ( 丌) 若，c ，d ( t ) ， 则，可积 定义1 6 若函数p ：冒一r ，满足1 + 肛( t ) p ( t ) o ，俨，则称p 为回归的， 所有回归且右稠连续函数，：t 一豫的全体记为历= 砑( t ) = 露( t ，r ) 定义0 0g ) ( t ) 一p ( ) + g ( t ) 十卢( t ) p ( t ) g ( t ) ，”，鼽q 露，则留关于。是阿贝尔群称 群留为回归群定义e p ( t ) = 一瑞，v 亡计显然印贸 定义1 7 对于 o ，定义 c h ：= z c 。一；) jr ：= z c i 孑r 且z 一；) i a ：= 。c fz r 且z 一j ，i h ：= z c l名+ l = ) 特别地，当 = o 时，令c o ：= c ，：= r ，0 ：= r ，a o ：= 0 令z ：= z ci 一吾 o ，z c 定义 酬班：掣，：；掣 显然一 r ( z ) o ，v 亡； r 计若1 + 即 旺吼表示t 与南之问时标中点的个数i 阿矽fe p ( t ，s ) 1 = e 印( e 堡韭专 ；“剑r ) 定理1 4 令p 舅，t o t ，。o r ，则 。= p ( t ) 茁4 ，z ( o o ) = z o ( 1 3 ) 的满足初值问题唯一解为z ( t ) = z o e e p ( t ，t o ) 定义1 1 1 若( 1 1 ) 是回归的且，：一r 是右稠连续的，则称 是回归的 可= p 0 ) 可+ ，( ) ( 1 4 ) 4 2 平面时标线性自治系统的渐近行为( 丌) 本文考虑时标卫下的二阶线性系统 募三：j 仁- ， 其中o ，6 ，c ，d 豫，x = ( 。，g ) 7 ，a 砑( t ，j + 却( t ) 可逆且右稠连续) ， 口 61 舾【。aj 显然z ( o ) = f ( o ) = o 是系统( 2 1 ) 的解下面为了研究系统( 2 1 ) 的渐近性，所以考虑 时标可，跏圃= + o 。 根据线性代数中的基本理论可知，存在非奇异矩阵t ，使得j = n 4 t ，j 为约当 标准型令戈= ( 孟，口) 7 ，作代换贾= t x 僻= t 一1 贾) ，由x 6 = a x ，得 贾= t 。y = t a x = t a t 一1 贾= ，贾 于是系统( 2 1 ) 化为 贾= j 贾 ( 2 2 ) 由线性变换的理论可知，标准型j 的形式由系统( 2 1 ) 矩阵a 的特征根的情况决定 设特征方程为a 2 + 砧+ g = o ，其中p = 一陋+ d ) ，g = 0 d 一6 c ，a l ，a 。为矩阵a 的特征根 a 。：! 孥篓丝，沁：兰 笙二鱼 “1 一i 一 2 i 一 当卢( t ) o 时，假设：( i ) g 南一南；( i i ) g o ，则九魔且凡o ，i = l ，2 定理2 1 当p 2 4 口o 时，系统( 2 2 ) 可能有两种情况j ( i ) 系统为 纂鬻 仁s ， 满足初值孟( t o ) = 童o ，口( o ) = 口。的通解为 r 2 ) 系统为 主0 ) = 圣o e ， ，t o ) ，雪0 ) = 雪o e ：( 亡，t o ) ( 2 4 ) ：a 童 ：量+ 雪 6 ( 2 5 ) 其中a = 一，其满足初值岳( 如) = 童o ，i ( 亡0 ) = 蜘的通解为 ) = 靴心，蛐， 鲫) 咱训鲕低r 丁南丁) ( 2 6 ) 证明：由定理1 2 ，易求情况( 1 ) 及( 2 ) 中( t ) 的通解下面只需求解情况( 2 ) 中( t ) 的通解 口( t ) = “( t ，t o = 钆( t ，t o = e ( 亡，t o = e ，o 蜘+ 而丘e x ( t o ，a ( r ) ) e - ( r ，如) 叫 + 孟。丘而南而8 ( 7 - ，如) r 】 + 甓矸万赢j j 习丽e t o ) r 1 ( 舶+ 孰j 三南r ) 证毕 口 定理2 2 口 o ，p 2 4 口 o 闻特征根为同号异删，此时系统( 22 ) 为( 2 3 ) 俐若p i ，口 警一孛，则。里l 岔( t ) i = o 。，。里ii ( t ) 1 2 o 。 一t ) 若o o 且p o ，则。皇i 叠( t ) l = m 。当l ( t ) = o - 砂若p o ，口 警一孛且口 o ，由定理1 8 得，。里臻i 童( 圳3o 。，。里ii ( ) 1 2 o o 当p ：，g 警一毒时，由g 害一寿得，o k ，所以些 一砉，由定理1 8 得，。里i 面( t ) i = 。o ，。里1i ( t ) l = 。 ( i i ) 当g 警一刍时，o p 2 4 9 o 时，a z a t o ，故面 一砉 一砉，由定理1 8 ，。兰恐li ( t ) l = n 。皇1 ( t ) | _ o 当弘i o 且沁 a l o ，故一p 一 ；2 4 口 o 得，扎 o 得，一p + “蕊 一；，而a l o ，故o 芦 一砉 o a 2 ，系统( 2 2 ) 为( 2 3 ) 遭i ( ) 1 2 。，此外 倒若g o ，由定理1 8 得，。当恐l ( t ) i = o 。 7 从而l + a 2 一1 ，综上一1 1 + a 2 1 + a 1 o ，所以 l o ，1 + 1 p 一；，故o l + a 1 一p ，故1 + a 2 一1 ，综上o 1 + a 1 1 ，1 + a 2 一古得，p 2 一幻 ，所以何一4 口 p 一；， 勇口么l 十a 1 p 一；，得到一l 1 + a l 一p ，那么1 + a 2 一1 ， 综上一l 1 + a 1 o ，1 + 如 鲁一吉得，p 2 4 9 ，所以 矛一4 口 p 一， 故1 + a l 一1 ，从而1 + a 2 1 + a 1 o a 2 倒当o q * 一矗时，( 叠，口) 随着t 的增加横坐标趋于无穷，纵坐标趋于口， 以妙当p g 等一矗时，( 童，) 随着t 的增加横坐标趋于无穷，纵坐标跨越 原点趋于口摆动+ 一圳当q o a 2 得，1 + a l 危 1 ，l + 2 一古时，p 2 4 9 ( ；一p ) 2 ，又因为p ，故“两 ；一a 从而 o 鲁一告，所以( ；一p ) 2 p 2 4 q ( ；一p ) 2 ，由p “= 面 ；p ，进而一1 1 + 。 一p ，所以1 + a 2 一p ，所以1 + a z o ，p 2 4 口= o 借征 根为重根，此时a = a t = k = 一，p ；，这时系统及其通解有两种可能情形 郧，= 掣茄篙：。 卜，；：麓三： c s 固 当p ；o 时，( 童，口) 在点( 而，蟊) 保持不动 一砂当o p ；时，随着t 的增加( 圣，口) 趋于d 一圳当p o 时，随着t 的增加( 量，口) 趋于无穷 一叫当； o 、7 【( 一1 ) ”牙o1 + i ”。1 + a o 2 淤群寓勰而黝：麓三； b s ， 倒当p ；o 时，( 叠，雪) 随着t 的增加横坐标在童。保持不动，纵坐标趋于无穷 f t ) 当p 时，随着t 的增加( i ，口) 跨越原点摆动且趋于无穷 证明情况( 1 ) 时， ( i ) 当p ；o 时，岳；，口；蜘，显然( 量，9 ) 在点( 而，啻o ) 保持不动 ( i i ) 因为o p ；，故o 1 一l 1 ，由( 3 2 ) 得，( 孟，口) 随着t 的增加而趋于无穷 ( i v ) 由； p ；得，一1 1 一g o ，由( 3 2 ) 结论易证 ( v ) 容易得到1 一g h o ，p 2 4 q 吖两共轭复特征根且实部非零j ，设a = o 士威作坐标变 换后得到满足初值r ( t o ) = r o o ，口( t o ) = 的通解为 忡，= 搿嚣。，：童三： 卜跏m a ， 当p o 时，( 孟，9 ) 在一条螺旋线上围着原点向外延伸运动且趋于无穷 一砂当o p 时肛，i ) 在一条螺旋线上围着原点运动且收敛于原点 一i 砂当； o ，则( = 蓍，口) 顺时针运动i 若卢 o 时，轨线顺时针运动；当卢 o ，l 十。 l ，即iri r ol ，由( 34 ) 得，结论成立 ( i i ) 此时一 o ，o 1 + o 1 ，即l ri lr 0i ，由( 3 4 ) 得，结论成立 ( i i i ) 此时一1 1 + a o ，即irl o ，p = o r 特征根为共轭纯虚根 设a = 土艇 俐当卢 o 时，雪) 在以原点为中心的同心圆族上顺时针运动 一 j 当卢 o 时，( 叠，雪) 在以原点为中心的同心圆族上逆时针运动 证明：aio ，即r r 0 ，由( 3 4 ) 得，结论成立证毕， 口 定理3 6 当p 时， 倒当o o 且q = 鲁一舌时，( i ，口) 横坐标随着的增加而趋 于以纵坐标在彘和一o 两个值处来回摆动 一砂当； o 且q = 鲁者时，( 孟，口) 横坐标随着t 的增加跨越原 点摆动而趋于d ，纵坐标在如和一蟊两个值处来回摆动 一训当p ；，口 o ，p 2 4 口 o 且g = 等一舌时，( 孟，) 随着t 的增加横坐标在蜘和一面。 两个值处来回摆动，纵坐标跨越原点摆动而趋于无穷 一叫当q o 且q = 挈一彘时，( 童，口) 随着t 的增加横坐标趋于无穷，纵坐 标在口。和一如两个值处来回摆动 俐当矿一4 9 = o ，p = 时，这时分两种情况讨论j 系统为( 3 2 ) 时，( 孟，口) 随着t 的增加在点( 而鲕) 和( 一，一函) 两个值处来回摆动 俐系统为( 3 3 ) 时，( 量，口) 随着f 的增加横坐标在而和一两个值处来回摆动，纵坐 标趋于无穷，但其符号是正、负值来回摆动 一砂当p 2 4 9 o 时，( i ，口) 在以原点为中心的同心圆族上顺时针跨越原点摆动 阳j 当卢 o 时，( i