（应用数学专业论文）多段分红及二维风险模型的破产概率的研究.pdf

中文摘要 本文致力于研究分多段分红的对偶风险模型及二维风险模型的破产理论， 主要研究了分三段分红的对偶风险模型的折现红利的期望函数，并对带有扰动 项的二维风险模型的破产概率做了研究。根据内容本文分为如下四章： 第一章主要对破产理论的研究背景、主要研究成果以及代表性研究方法作 一简单介绍，给出t l u n d b e r g 经_ 典破产模型的确切表述，基本假定和主要结 论，并重点介绍了f e l l e r 的更新论证技巧和g e r b e r 的鞅方法，使我们能对破产 理论有一个初步的了解。 第二章作为对a n d r e w 的二分段分红的对偶风险模型的推广，给出了当初 始剩余在不同门限水平上的期望红利函数所满足的积分一微分方程，并得到了 当收益服从参数为a 的指数分布和分布函数为f ( z ) = ：1a i ( 1 一e 一风) 时的折 现红利函数的解析式；迸一步研究了带有扰动项的分多段分红的对偶风险模型 的期望红利函数，求得期望红利函数所满足的积分微分方程，以及与积分微 分方程等价的更新方程。 第三章主要研究了二维对偶风险模型的破产概率，应用更新论证技巧得到 生存概率圣m i n 所满足的积分一偏微分方程，并应用l a p l a c e 变换，得到积分偏微 分方程的解。 第四章主要研究了带有扰动项的二维风险模型的破产概率，应用鞅论的技 巧，在轻尾条件下，求l u n d b e r g - t y p e 在无限时间内的破产概率的上界：并 对破产概率的上界进行讨论，获得雪( ) 的相关性的强弱影响着破产概率可达到 的上界。 关键词 风险模型，破产概率，红利，积分一微分方程，次更新方程 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os t u d y i n gt h er u i nt h e o r yo nt h ed u a lr i s k m o d e lw i t hs e v e r a ld i v i d e n dr a t e sa n do nt h eb i d i m e n s i o n a lp e r t u r b e dr i s km o d e l w i t ho rw i t h o u ts t o c h a s t i cd i s t u r b a n c e ，w h i c hi n c l u d e st h ed i s c o u n t e de x p e c t e d f u n c t i o na b o u tt h ed u a lr i s km o d e lw i t ht h r e ed i v i d e n dr a t e sa n dt h er u i np r o b - a b i l i t yo nt h eb i d i m e n s i o n a lp e r t u r b e dr i s km o d e l t h et h e s i si sd i v i d e di n t o f o u rc h a p t e r sa sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h er i s kt h e o r ya r es i m p l yi n t r o d u c e da b o u ti t sb a c k g r o u n d ，m a i n r e s e a r c hr e s u l t sa n dt h er e p r e s e n t a t i v em e t h o d st od e a lw i t ht h ep r o b l e m ，a n d p r e c i s ef o r m u l a t i o no nt h el u n d b e r gc l a s s i c sr u i nm o d e la r eg i v e nw i t ht h eb a s i c a s s u m e sa n dm a i nc o n c l u s i o n ，a n df u r t h e rt h er e n e w a lp r o o fs k i l lf r o mf e l l e ra n d t h em e t h o do fm a r t i n g a l ef r o mg e r b e ra r ee m p h a s i z e dt og i v i n gap r e l i m i n a r y u n d e r s t a n do nt h er u i nt h e o r y s e c o n d l y , b yg e n e r a l i z i n gt h er e s u l t sf r o ma n d r e wo nd u a lr i s km o d e lw i t h t w od i v i d e n dr a t e s ，as e to fi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ed e r i v e dt os a t i s f yb y t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dd i v i d e n d sf u n c t i o na td i f f e r e n tt h r e s h o l dl e v e la n dt h e a n a l y t i ce x p r e s s i o nf o rt h ed i s c o u n t e de x p e c t e df u n c t i o nw h e nt h ep r o f i t sf o l l o w a ne x p o n e n t i a lf u n c t i o no ram i x t u r eo fe x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n f u r t h e rm o r e ， t h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ee q u a l e dr e n e w a le q u a t i o na r eo b t a i n e d ， w h i c hm u s tb es a t i s f i e db yt h ed i s c o u n t e de x p e c t e df u n c t i o na b o u tt h ed u a lr i s k m o d e lw i t ht h r e ed i v i d e n dr a t e s t h i r d l y , t h eb i d i m e n s i o n a ld u a lr i s km o d e li sm a i n l ys t u d i e d ，i n t e g r o - p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di t ss o l u t i o ni so b t a i n e du s i n gt h em a r t i n g a l et e c h n i q u e a n dt h el a p l a c et r a n s l a t i o n l a s t l y , t h er u i np r o b a b i l i t yo ft h eb i d i m e n s i o n a lp e r t u r b e dr i s km o d e la r e 1 1 s t u d i e d ，w h o s eu p p e rb o u n do fl u n d b e r g t y p ew i t h i ni n f i n i t t i m ei so b t a i n e d a n dd i s c u s s e df o rt h ee a s eo fl i g h t t a i l e du s i n gt h em a r t i n g a l et e c h n i q u e ，t h e c o n c l u s i o ni sg o t t e nt h a tt h es t r e n g t ho ft h ed e p e n d e n to fb ( t ) s t r o n g l yi m p a c t t h eu p p e rb o u n dc a nb ea c h i e v e d r i s km o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y , d i v i d e n d ，i n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，d e - f e c t i v er e n e w a le q u a t i o n 1 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查 阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论 文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论文收录到中国学位 论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 挡旌 指导教师签名： 2 卯7 年 多月知日 z 刀7 年 石月 o1 3 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：爿巳盔缝 加7 年么月少日 两北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 破产理论的研究背景及方法 破产理论作为精算数学的一个重要组成部分，主要用于处理保险业中的 随机模型。在这种模型中，假设保险公司拥有初始资本钍，保险公司以某一费 率c 收取保费作为其收入，理赔发生过程描述为一随机过程，保险公司支付给 客户的理赔额被看成是一列随机变量，保费收入与理赔额均值的差额为安全负 载。 在破产理论中，一个重要的问题是研究保险公司破产的概率，即保险公司 最终资产为负的概率。在保险公司实务中，破产概率已成为评估保险公司偿付 能力的重要指标，也是保险公司控制风险的定量指标，对保险公司长期经营的 稳定性分析有重要意义。其借助于概率论和随机过程的知识，通过构造和研究 数学模型来刻画保险公司的风险业务。具体一点说，它是保险公司设计险种、 计算保费、制定再保险和代理保险策略的基础。 破产论的研究源于瑞典精算师l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论 文，c r a m 6 r 将l u n d b e r g 的工作建立在坚实的数学基础之上，l u n d b e r g 与c r a m 6 r 的工作已被公认为经典破产论的基本理论。 c r a m 6 r 的理论虽然在数学证明上是严格的，但分析方法较繁琐。f e l l e r 的 更新论证技巧及g e r b e r 的鞅方法，改进了破产理论的研究方法，在破产理论研 究中发挥了重要作用。近期大量研究文献所研究的模型虽较经典的模型有不同 程度的推广，但所使用的方法却基本上不外乎这两种方法。而在这两种方法的 证明过程中调节系数r 起着关键的作用。 1 2 破产论的主要研究成果 1 2 1l u n d b e r g - c r a m 6 r 的经典破产论 本节将给出l c 模型的严格表述、有关假定与主要结果。设保险公司在时 1 第一一章绪论 刻t 的盈余由f 式给出 ( ) u ( 亡) = 仳+ c t 一凰，t 0 其中u 是初始资本，c 是保险公司单位时问内征收的保险费率，瓦，k 1 表示 第尼次索赔额，( 亡) 则表示至时刻亡为止发生的索赔次数。下面为模型的三个基 本假定。 假定1 ( 独立性假定) 设( 托：k 1 ) 是恒正的独立同分布的随机变量序 列，记 。 r ( x ) = p ( x m z ) ，比0 p = e 刚= o 1 一f ( z ) 】出 n ( t ) ：t o ) 是以参数为a 的p o i s s o n 过程， ( 亡) ：t o ) 与 x ( 七) ：k 1 ) 是 相互独立的两随机变量序列。 假定2 ( 相对安全负载假定) 设c = ( 1 + p ) 札，其中口 0 ，称为相对安全 负载。i a s ( t ) = 眢x k ，v z 0 ，它表示至时刻亡的索赔总额。由模型的独立 性假定可知 e s ( t ) 】- e n ( t ) e x 1 】_ a 保险公司为运作上的安全，要求 矗一e 陋( t ) 】= ( c 一入p ) 0 ，t 0 故引出相对安全系数9 = 彘一1 。由p o i s s o n 过程具有的齐次独立增量和模 型的独立性假定知 以一s ( t ) ：t o ) 是齐次独立增量过程。由强大数定律 知l i m t 。o ov ( t ) = o 。，a 8 但盈余过程仍有可能取负值，这时称保险公司破产。破产时间定义为 t = i n f t ：u ( t ) o ) l u n d b e r g 与c r a m 6 r 研究的是保险公司最终破产的概率，定义为 皿( 让) = p ( t o olu ( o ) = u ) ，v u 0 ( 1 1 ) 2 两北大学硕士学位论文 以f 简称( 札) 为破产概率。破产概率司作为评价保险公司偿付能力的一个数 量指标。 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定) 假定个体索赔额的矩母函数 p o o，o 。 m x ( r ) = e 【e 7 x 】= g = d f ( x ) = 1 + r e r 吖1 一f ( x ) d x ( 1 2 ) ，0j o 至少在包含原点的某个邻域内存在，且下述方程 m x ( r ) = 1 + 页c ? 具有正解，而此解即为调节系数r 。m t - m x ( r ) 在其收敛域内是严格意义的递 增凸函数，故方程若存在正解，则必定唯一。由( 1 1 ) ，( 1 2 ) 两式可知，调节 系数r 满足下列等式 会f o c 。e p , x 1 一f ( 训出= l 而 会o _ f ( 酬扣等= 而1 0 ) 为参 数的p o i s s o n 过程，这时m ( t ) = 她。 证明略，详见严颖( 1 9 9 5 ) 。 4 两北大学硕士学位论文 定理1 3 函数a o ( 亡) = a ( t ) + n m ( ) 是更新方程 a ( ) = n ( t ) + a ( t z ) d g ( z ) ，v t 0 的解，且在任意有限区间上有界；在有限区间上的有界函数类中，a o ( t ) 是更 新方程的唯一解。 证明略，详见严颖( 1 9 9 5 ) 。 定理1 4 ( 关键更新定理) 设更新间隔k ，k 1 ，服从非格点分布， j l e y 1 】 o 。如果函数n ( ) 在【o ，o 。】上黎曼直接可积，则有 熙。邢) = 高z 。0 ) 出 证明略，详见严颖( 1 9 9 5 ) 。 注o ( z ) 在 0 ，0 0 1 上黎曼直接可积的概念和通常意义下黎曼可积的概念有 别，关于黎曼直接可积的确切定义详见文献r o s s ( 1 9 8 3 ) 。 1 2 3 鞅方法 本节将介绍g e r b e r 提出的鞅方法。首先介绍有关鞅的一些基本概念。 定义1 1 称随机过程 x ( t ) ：t o ) 为一鞅，若有 ( 1 ) e i x ( t ) l 】 ，v t 0 ( 2 ) 对0 8 t ，恒有 驯x ( t ) i x ( r ) ：r 8 】= x ( s ) o s 定义1 2 称非负随机变量7 是关于随机过程 x ( 右) ：t o ) 的随机时间，若 对一切 t t ) 盯 x ( s ) ：8 亡) 其中盯 x ( s ) ：s 亡) 表示包含一切形如 x ( s ) z ：s 亡，z r 1 ) 的事件的最 小巧代数。 5 第一章绪论 特别的，称随机时i ；- t r ：关于随机过程 x ( 亡) ) 的停时，若 p ( t 0 0 1 = 1 不难验证，若7 是关于随机过程 x ( t ) ：t o ) 的随机时间，则对任意固定的时 n t 丁at = m i n 1 - ，t ) 是关于随机过程的有界停时。 定理1 5 设 y ( 芒) ；t o ) 具有零初值，且具有齐次独立增量过程。 记x ( 亡) = x ( o ) e y ( ，x ( 0 ) 为一常数。! 若i e ( e y ( ) ) = 1 ，则 x ( 亡) ：t o ) 为鞅。 证明略，详见成世学( 2 0 0 2 ) 。 定理1 6 设 x ( 亡) ：t o ) 为一非负鞅，则存在几乎处处收敛的有限极 限，即有 l i mx ( t ) = x ( o o ) a 8 t - - , o o 、 证明略，详见成世学( 2 0 0 2 ) 。 1 3 经典模型推广及代表性研究方法 继c r a m 6 r 之后，g e r b e r 成为当代研究破产论的领先学者，他不仅将鞅方 法引入到破产论的研究中，而且深化了经典破产论的研究内容。为了使模型更 符合实际，研究者对l u n d b e r c r a m 6 r 模型做了推广和改善，使其更贴近实际 的风险运作情况： ( 1 ) 对( z ) 的假定的推广：将 ( t ) ，t o ) 从p o i s s o n 过程推广到复 合p o i s s o n 过程和更新过程；s p a r r ea a n d e r s e n 用更新过程来描述理赔的到 6 两北大学硕士学位论文 来，建立了更新风险模型。该模型顾及到了理赔到达过程强度为可变性的情 况。e m b r e c h t s 将结果推广到了更新风险模型。 ( 2 ) 破产前瞬时盈余和破产时赤字：以往研究的问题大都集中在最终破产 概率 皿( u ) = p ( t l u ( o ) = u ) 也有研究有限时间内的破产概率 皿( 缸；t ) = p ( t t l u ( o ) = 让) g e r b e r 等对经典破产论研究的另一贡献是引入了刻画破产情形的如下随机变 量：x = u ( t - ) 与y = l u ( t ) i = 一u ( t ) ，其中y 表示破产时赤字，x 表示破 产前瞬时盈余。这样，除了破产概率皿( 扎) 外，刻画保险公司风险的概率规律 有 g ( u ；y ) = p u ( t ) - y ；t 0 使得 ， e t x d f ( x ) + 。，v 0 0 k - - 1 其中b ( t ) 为b r o w n i a n 运动过程。 这种推广是g e r b e r 首先提出的，d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 9 1 ) 得出了破产概率 满足的瑕疵更新方程。随着金融和保险业的发展，一些研究已把其推广到了二 维及多维风险模型的情况。 ( 6 ) 考虑理赔额之间的相关性：实际经济活动中，由于各种因素之 间的相互作用，索赔额之间往往不是相互独立的，而是表现出某种相依 性。g e r b e r ( 1 9 8 2 ) 首先给出了理赔额为线性结构的离散时间破产概率的模型， 并利用鞅论( 臣 1 l e b e s g u e 收敛定理) 得到了破产概率的一般表现形式、近似式 和l u n d b e r g 不等式。z h a n g ( 2 0 0 5 ) 考虑了当理赔过程为线性结构的连续时间风 险模型 ( ) u ( 亡) = 乱+ c t 一五 l = 1 即第i 次的理赔额具有线性结构，咒满足 五= a l 五一1 + + 唧托- p + m + b l 瞰一1 + + 6 l 眦一l 8 两北大学硕士学位论文 其中1 ，a p ：n b l ，b t 都是大于0 小于1 的常数，比( i 1 ) 为非负的独立同 分布随机变量。在毗具有有界分布的假定下，得到了破产概率满足的一般形 式以及其非指数上界的表达式。 9 第二章对偶风险模犁的分多段分钉的研究 第二章对偶风险模型的分多段分红的研究 2 1 引言 在精算数学中，对古典风险模型有大量研究。古典风险模型至时刻的剩 余过程可表示为 u ( t ) = u + c t s ( t ) 其中，u 表示初始剩余，c 表示保险公司单位时间内的保险费率，s ( t ) 表示至时 刻的总索赔额。随着金融、公司业务和保险业务的发展，古典风险模型的对 偶模型越来越受到重视，对对偶风险模型的研究在文献中也大量出现，该模 型c r a m 6 r ( 1 9 5 5 ) ，a v a n z i e ta 1 ( 2 0 0 7 ) ，g e r b e r ( 2 0 0 8 ) ，a n d r e wc y n g ( 2 0 0 s ) 等 给与了研究。对偶模型的形式为 n ( 0 u ( 亡) = u 一以+ 咒 t 其中，仳为初始剩余，c 可表示为单位时间内支付的费用、科研支出等，引起初 始剩余递减；s ( t ) = e 值n ( 1 t 五为至时刻亡的总收益，可解释为知识产权收益、 红利、盈利等；托服从参数为a 的指数分布， ( 亡) ) 为参数为入的p o i s s o n 过 程。本章在a n d r e w ( 2 0 0 8 ) 的基础上，进一步研究在分三段分红时，对偶风险 模型的折现红利函数所满足的积分一微分方程及性质。 三分段门限水平为0 b l b 2 o o ，当0 口 b l 时，剩余以单位时间费 率c 1 递减：当6 1 u b 2 时，剩余 以单位时间费率c 3 递减。则动态剩余过程可表示为 d u c 亡，= 三三兰三三量 0 6 2 ) 出+ ( c 2 一c 1 ) f t e 一尻j ( 6 1 6 2 ) 出+ ( c 2 一c 1 ) 上e 。j ( 6 1 6 2 ) d t + c 2f o te - 6 t i ( b l b 1 ) d t 上式表示当u b 2 时，以红利率c 3 一c 1 支付红利；当b l 6 2 时，给定足够小的7 ，使得u c 3 7 - b 2 ，则 日( 札；b l ，b 2 ) = h a ( 钍；b l ，b 2 ) = ( c 3 - c x ) f o 下e 一嘞+ e 一( r 凰( u - - c 3 t ) + z fa e 一( a + 。0 风( u - c s t + y ) f ( 可) d y d t 两边同时对丁求导数得 ( c 3 一c 1 ) e 一6 r 一( a + j ) e 一( a + 6 ) 7 凰( u c 3 7 - ) = c 3 e 一( a + 占) r 瑞( u c 3 7 - ) 一a e 一( 入+ 6 ) r 凰(uc37+y)f(y)dy00 ， j 0 令7 _ 0 得 ( c 3 一c 1 ) 一( a + 6 ) 风( 钆) 一c 3 i t ；u ) = 一a 风( u + y ) f ( y ) d y ， j 0 当初始剩余b 1 u 6 2 时，给定足够小的7 - ，使得b l 6 2 其中，d o ，d 2 ，仇为常数，h i ，h 2 j o h l ( u ) 所满足的特征方程的特征根，s 1 ，7 1 分 别为凰( 让) 和h a ( u ) 所满足的特征方程的特征根。 证明将收益的指数分布函数f ( ) = 1 一e - 砌代入风( “) 所满足的积分一微 触e 卢u 风( y ) e 一砌匆= ( a + 石) 风( u ) + c 3 磁( u ) 一c 3 + c 1 由算子矗一p 作用于方程的两边得 c 3 硝( 让) + ( a + j c 3 ) 膨( 乱) 一j 风( 缸) = - 5 ( c a c 1 ) 上式二阶微分方程的特征方程为 c a h 2 + ( 入+ 6 一c 3 卢) h 一6 p = 0 由特征方程可知，其有一个负根r l 和一个正根1 2 ，则微分方程的通解为 凰( u ) = d 0 e r l u + d 1 e r 2 u + 字 其中d o ，d 1 为常数。由d ( 6 ) 可得，当乱 b 2 时有 o h a ( 让) 字 经验证可知d l = 0 。即风( u ) 可表示为 h a ( u ) = d o e n u + 字 ( 2 4 ) 当6 l 乱6 2 时，把凰( 乱) 的解代入也( 仳) 所满足的积分一微分方程可得 ( a + 5 ) h 2 ( u ) 十c 2 哦( u ) 一c 2 + c l 1 4 两北大学硕士学位论文 批触z 6 2 啪) e 励咖+ 器沙地h 一1 3 ) + a p e 触凰( ) e 呐咖+ 丢竺等e 卢6 2 ( n 一 + ，u厂 。上 用算子笔一卢作用于上式得 入( c 3 一c 1 ) c 2 础( u ) + ( a + 5 一p c 2 ) 琏一p 6 凰+ ( c 2 一c 1 ) = 0 微分方程的特征方程为 c 2 h 2 + ( a + 6 一f l c 2 ) h p 6 = 0 其有一负根s 1 和一正根s 2 ，由微分方程的特解九。= 里铲可得 尻( u ) = d 2 e 以u + d 3 e 8 2 u + 当6 l i t b 2 时，由d ( 6 ) 可得 0 t 1 2 ( u ) c 2 。c 1 c 2 c l 6 6 1 仳6 2 e z ( u b 2 ) ( 2 5 ) 由( 2 5 ) 式可知，d 3 0 ，下面证明d 3 = 0 。对( 2 5 ) 式两边求关于让的导数得 呸( 仳) = d 2 s l e 町u + d a s 2 e 8 2 u 若b 2 一。，n u 也可趋于无穷，由凰为乱的增函数，可得d 2 0 5 1 h 2 0 ，h 1 ( 0 ) = o 得 把h i ( u ) 代入( 2 7 ) 式得 日1 ( 让) = d 4e 1 一e 2 u ) ( 入+ 6 + c l h l ) d 4 e h 一( a + 5 + o h 2 ) d 4 e 2 u = 群咖t 一筹一心+ 警e 触 一等e 触+ 坐8 1 - - f 【e ( 国幻_ e ( s 1 卅叫沙 +一a(e3-b c 2 - - 2 c 1 ) e - 卢b 2epu一_a(c2-c1)e-卢bl e 卢u + 垒望堕髦- = 一( r 1 ) b 2 e 卢u d0 p r 1 当0 b 2 时有 脚) ：c 3 - - c 1 ) 生掣型+ e r 水也慨) 其中磁是方程a 【尥( 口) 一1 】一c 2 0 = 6 的唯一负根。 证明设折扣率为6 ，令z = y b 2 ，殳正表示剩余过程减少至j j b 2 时的最短 时间。f l 丑h ( b 2 + u ) 可知，以费率c 3 一c 1 支付红利至时刻卫z 。由引理2 1 ，当 折扣率为j 时，至时间卫z 时的单位支付的现值为a 可= e 月扣。由a ”+ 曲= l 可 得= l - - 丁e r l z ，则至破产时的总红利折现为 h ( h + z ) = ( c 3 一c 1 ) a | + a ! h ( b 2 ) 1 1 一e r ；。 = ( c 3 一c 1 ) 字+ e r 茹风( 6 2 ) 因此，当6 1 5 2 时，为求凰( 牡) 的积分一微分方程，只需把上式代 入凰( 乱) 所满足的积分一微分方程可得 ( a + 6 ) 玩( ) + c 2 珥( 让) =ar沪u凰u+y)df(y)+型f1_f(b2j刊】0 = a 凰+ ) + 二二芏半f 1 一 一心) 】 u + 入 - 1 2 ( b 2 ) 一c 3 - - 6c 1 - - 1 6 。一。ue r j ( u + y - - 6 2 ) d f ( y ) 此结果类似a n d r e w 的( 1 2 ) 式。 定理2 3 若利润的分布函数为f ( z ) = ：1a i ( 1 一e 一岛茁) ，z 0 。其 中，历 阮 o ，i = 1 ，2 ，n ， 则日( 让；b l ，6 2 ) 可表示为如下形式 脚渤也，：艟 g 七e 毗u ，0 u b 1 e k e 8 u + 及，b l b 2 证明把凰( 让) 代入奶( u ) 所满足的积分一微分方程得 ( 入+ 6 ) - 1 2u ) + c 2 哦u ) 1 7 第二章对偶风险模犁的分多段分红的研究 = a 舶伊z 6 2 眦，e - a t y d y + 掣争e 制咖) 舢。娄篙e - ( 肛一触咱怕 用算子( 岳一p 1 ) ( 毛一仍) ( 岳一风) 作用于上式的两边，设其特征方程的特 征根为8 0 8 1 s n ，易，i = 0 ，1 ，n 为常数，其特解为及，则 n 巩( 札) = 既e 础+ 及 k = o 将也( 札) ，风( u ) 代f i , h l ( u ) 所满足的积分一微分方程 ( a + 5 ) h i ( u ) + c 1 h i ( u ) = 辜a 屈e 胁6 1h 1 ( y ) e - 胁d y + 妻壹等笺毋uc e(sk-tkit k = oi - - 1 ) 6 2 一e 书m ， = a 屈e 胁+ 等篝毋u 一e 。扩剐6 1 】 i ，。胃p t + 喜砒旷鼬1 一e 一胁，+ 熹e _ ( 肛r 0 ) 6 2 + 肾e 呐6 2 再次用算子( 盖一p 1 ) ( 名一仍) ( 差一风) 作用于方程的两边，可得佗+ 1 阶齐 次线性微分方程，设其特征方程的特征根为d o d 1 如，则 h i ( u ) = g 七e 吼，0 乱b l k = o 其中g 南，k = 0 ，1 ，几为常数。 2 3 带有扰动项的对偶风险模型 2 3 1 模型介绍 本节将进一步研究带有扰动项的对偶风险模型 u ( t ) = 钍一c t + 咒+ 仃叫( t ) ，t 0 t = l 的分红问题。其中， 叫( 亡) ，t o ) 为标准维纳过程，且独立于总收益过 程s ( t ) = 答五，其余变量的定义与前同。 1 r 西北大学硕士学位论文 d u a ：q 厂1e 一乳j ( 玩一l 矿( ) b i ) d t ，z ：1 ，2 j o yc让，6。，幻，=差l三ii三二三乏：2 2 3 2v ( u ，b l ，6 2 ) 满足的积分一微分方程 定理2 4 当初始剩余0 乱b l 时，y ( u ；b l ，b 2 ) 满足积分一微分方程 嬖w ) 一印y 铀) 一( 入+ 6 ) ( ) + a 厂6 1 ( 让+ z ) m ) 如 二 j o 1 9 第二章对偶风险模犁的分多段分纣的研究 ，d 2 一t + 入( “+ x ) f ( x ) d x + a t ，6 1 一u 广0 0 ( 仳+ x ) f ( x ) d x = 0 ，b 2 一札 当6 1 b 2 时，y ( u ；b l ，6 2 ) 满足积分方程 百g 2 昭7 ( 让) 一( c 2 + q 2 ) y 7 ( u ) 一( 入+ 6 ) ( u ) + a z ( u + z ) ，( z ) 出+ q 2 = 。 证明当o u b l 时，给定足够短的时i e d t ，使得0 u - c o d t + a w ( d t ) b l ， 由全概率公式可得 y ( u ；b l ，5 2 ) = ( u ) = e 一础 d t ) e v l ( u c o d t + o w ( d o ) 】+ p ( t 1 d t ) e e v 1 ( 让一c o d t + a w ( d t ) + x 1 ) i x 1 ( 0 ，b l u + c o d t a w ( d t ) ) 】 + e u c o d t + a w ( d t ) + x 1 ) i x l ( b l 一仳+ c o d t a w ( d t ) ， 6 2 一乱+ c o d t a w ( d t ) ) 】+ e ku c o d t + a w ( d t ) + x 1 ) i x , ( b 2 一u + c o d t a w ( d t ) ，o o ) 】 当6 1 u b 2 时，同样给定足够短的时i 日- d t ，使得b l 5 2 ，则有 y ( u ；b l ，b 2 ) = ( 乱) = e - - 。, d t q 2 d t + 尸( 乃 d t ) e v 3 ( u 一( c 2 + 乜2 ) d t + a w ( d t ) ) 】 + p ( n 班) = 1 一a d t + o ( d t ) 代入计算可得定理。 自然，可将结果推广到扎分段门限水平上，即 0 = b o b l b n b n + l = o o 当让处在不同剩余水平上时，y ( u ；b l ，b n ) - t 表示为 附 ，渤堆? 当6 l u b i + l ，i = 0 ，1 ，几时，费用支出率为q ，红利支付率为a ， 贝i j v ( u ，b l ，k ) 满足积分一微分方程 譬彬( u ) 一他+ q t ) 蟛( u ) 一( a + j ) k ( u ) + af uk ( u + z ) ，( z ) 出 二 ，0 p 0 0 + + a k ( 珏+ x ) f ( x ) d x + q t = 0 ，k 一 由剩余过程( t ) 可知，当让_ o 时，破产即刻发生：而当u o 。时，破产则永 不会发生。在佗分段门限水平下，y ( u ；b l ，6 n ) 同时满足下列极限 l i m y ( u ；b l ，k ) = l i m