《群论》课程教学大纲 赵红.doc

群论课程教学大纲课程名称群论英文名称Group Theory课程编号开课学期学分/周学时 4/4课程类型研究生公共基础课，本科生选修课先修课程线性代数，量子力学，固体物理选用教材赵鸿群论讲义主要参考书马中骐，物理学中的群伦，科学出版社，第二版，2006；徐婉裳，喀兴林群论及其在固体物理中的应用，高等教育出版社，1995。韩其智，孙洪洲，群论，北京大学出版社，1987一、课程性质、目的与任务本科程针对物理类研究生和高年级本科生。群论是一门抽象的数学，是物理类及相关专业学生从事科学研究应当掌握的基本数学工具之一，同时群论也是一门实用科学，对于物理学的各个领域具有广泛的应用。群论描述和研究自然界中的对称性，这种对称性可以是几何对称性，系统或方程的对称性，物理时空的对称性。对称性决定了系统共性或普适性质，从大的方面决定材料的性质，系统的性质，时空的性质。通过学习群论，为进一步学习粒子物理、高能物理核物理、量子力学理论、非线性动力学等理论物理相关学科奠定数学基础；使得凝聚态学科、微电子学科、材料、化学等学科的学生能初步应用群论知识进行相关的科学研究。二、教学基本要求群论课的内容丰富，具体专业的侧重点不同，因此本门课程教学以让学生掌握基本知识为出发点，兼顾理论物理专业和凝聚态专业的需求，争取在有限的学时情况下使学生仍然能建立起全面的知识体系。教学过程中可以精简一些传统的内容，但是要以培养研究型人才为宗旨，不能降低理论高度。具体要求如下：第一章讲群的基本知识，在建立群的基本概念的过程中，重点讲解对称性问题，强调对称性的几个层次，从几何对称性，物理体系的对称性，时空的对称性，从而到一般研究对象的对称性，让学生从具体的几何形状的对称性上升到抽象的对称性，为进一步深入学习抽象的群论理论做好准备。第二章讲群表示，这是群论基本知识的核心内容，要在学生对群的同构及同态的认识基础上引入线性空间和线性表示的概念。由于学生线性代数知识一般不是很好，需要补充和复习线性代数知识。第三章和第四章讲具体应用，前者应当侧重凝聚态各专业的学生的需求，使学生能从理论上推导和理解为什么只有32个点群，进而详细讲解32种点群的符号表示，掌握不可约群表示及其特征标表。空间群部分重点讲解为什么有那样一些空间群，空间群如何分类，详细讲解由于课时关系不能展开。第四章李群基础知识和SO（2）、SO（3）部分凝聚态和理论物理专业都需要掌握，作为重点讲解，使得学生对所学过的量子力学理论体系有更深入的认识。Lorenz群和李代数部分是一部分理论物理专业学生所必需，因此在时间允许的情况下进行一定介绍。群论在物理学的各个领域都有广泛的应用，可以根据教学进展情况选择一到两篇最新发表的应用群论解决问题的学术论文作为讲座以提高学生对群论学习兴趣，初步认识群论的实用价值。三、主要内容及学时安排章或节主要内容学时安排第一章群的基本概念和定理16第一节群的基本概念。什么是对称性，如何描述对称性？几何体的对称性，物理体系的对称性，时空对称性，更广义的对称性，群的定义，几种典型的群，重排定理。4第二节子群和陪集。子群和陪集的基本概念4第三节共轭类和不变子群。共轭类、不变子群、商群的基本概念。4第四节群的同构与同态。同态核定理，自同构，内自同构。4第二章群的表示理论22 第一节群的线性表示。线性代数复习；线性表示6 第二节等价表示，不可约表示，酉表示6第三节有限群表示理论。有限群表示的完全可约性，Schar 引理，正交性定理，群表示的特征标，可约表示的分解与群的正则表示，直积群表示6第四节置换群表示和杨图4第三章点群12第一节点群的基本概念。三维空间等距操作的描述，点群定义，第一类点群，第二类点群，点群的不可约表示和特征标4第二节晶体点群及其符号表示。32个晶体点群及其不可约表示，4第三节晶体空间群4第四章李群及其表示12第一节拓扑群和李群。拓扑空间，距离空间，流形，连续群，李群4第二节二维转动群。二维转动的描述，SO（2）的全体不可约表示2第三节三维转动群。用SO（3）描述空间转动，SO（3）的生成元和结构常数，李群三定理，SO（3）的不可约表示4第四节SU（2）群。用SU（2）描述空间转动，SU（2）的不可