（应用数学专业论文）拓扑学在粗糙集理论中的应用.pdf

中文摘要 粗糙集理论是由波兰数学家z p a w l a w 首先提出的一种处理不确定性知识的 数学理论，它能有效地分析和处理不精确，不确定与不完整等各种不完备信息， 并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。近几年来，它在机器学习和知识发现， 数据挖掘，决策支持与分析等方面都有广泛的应用。目前，粗糙集理论已经成为 信息科学最为活跃的研究领域之一。 本文在最小描述元的基础上结合拓扑覆盖近似空间特有的性质，阐述了拓扑 覆盖的约简问题以及拓扑基与最小描述元的关系，得到了一些有相关的结论，并 举例说明了有关的结论。而后将p a w l a k 粗糙集中的粗糙隶属函数推广到一般覆盖 粗糙集中的粗糙隶属函数。在一般覆盖粗糙集中的粗糙隶属函数的基础上引出了 一个基于粗糙隶属度函数的广义粗糙集模型，并且给出的它的相关性质。 最后定义了模糊粗糙集上的一对近似算子，并结合模糊拓扑学知识给出了这 对近似算子的一些相关性质。 关键词：粗糙集，最小描述元，拓扑覆盖，粗糙隶属函数，模糊粗糙集，模糊 拓扑。 a b s t r a c t t h er o u g hs e tt h e o r yw a sp u tf o r w a r db yp r o f e s s o rz p a w l a w ，a sa m a t ht h e o r y t 0 咖d v 吼c e r t a i nk n o w l e d g e i tc a r la n a l y s i sa n dp r o c e s se f f e c t i v e l ya l l k i n d so f 椭删t yi n f o r m a t i o n a si n e x a c t n e s s ，u n c e r t a i n ，u n c o m p l e t e d ，f i n di m p l i c a t i v e 虹0 w l e d g ea n do p e no u tp o t e n t i a lr u l e s a tt h el a s t f e wy e a r s ，i th a sb e e nu s e d e x t e n s i v e l yi nt h ef i e l d so fm a c h i n e l e a r n i n g a n dk n o w l e d g ea c q u i s i t i o n ，d a t am m m g d e c i s i o ns u p p o na n da n a l y s i s a tp r e s e n t ，t h et h e o r yo fr o u g h s e t sh a sa l w a y sb e c 锄e t h em o s tl i v e l yd o m a i ni nt h ei n f o r m a t i o ns c i e n c e 。 t h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e rp u t sf o r w a r dt h ec o n c e p t so f m i n i m u md e s c n p t l o n e l 锄e n ta i l dt o p o l o g i c a lc o v e t i n ga p p r o x i m a t i o ns p a c ea n d e l a b o r a t e st h er e l a t i o n b 帆e e nm i n i m u md e s c r i p t i o n e l e m e n t sa n dt o p o l o g i c a la p p r o x i m a t l o n s p a c e 嘶g i n a lr o u g hm e m b e r s h i pf u n c t i o ni sd e f i n e db yu s i n g e q u i v a l e n c ec l a s s e s ，w ew l l l e x t e n di ti i lg e n e r a l i z e dc o v e r i n g s p a c e sb a s e do nt h ec o n c e p to f m 椰m u m d e s 面p t i o ne l e m e n t ， w ec a nu s et h i sk i n do fr o u g hm e m b e r s h i pf u n c t i o nt od e 缸n e a 舵z vs e t ，s ow ec a ni n t e g r a t e t h ec o n c e p to fr o u g ha n df u z z ys e t s t h e ns o m e e x 锄d 1 e sw i l lb ei l l u s t r a t e dt od e s c r i b et h ec o n c l u s i o n s f i n a l l y ，ag e n e r a l i z a t l o nm p a w l a kr o u 曲s e tm o d e lw a so b t a i n e db a s eo nt h em e m b e r s h i pd e g r e eo fg e n e r a l i z e d c o v e r i n gs p a c e s ，a n dt h er e l e v a n tp r o p e r t i e s a r ea l s og i v e n 。 t h et t l i r dp a r to ft h i sp a p e rp u t sf o r w a r dt h el o w e ra n du p p e ra p p r o x i m a t l o n so f m e舵z vr o u g hs e t m o d e l s o m ec o n c l u s i o n sa b o u tt h e l o w e ra n du p p e r a p p r o x i m a t i o n sh a v eb e e n o b t a i n e d 。 k e y w o r d s ：r o u g hs e t s ；m i n i m u md e s c r i p t i o n e l e m e n t ；t o p 0 1 0 9 i c a l c o v e n g ； m e m b e r s h i pf u n c t i o n ：f u z z yr o u g hs e t ；f u z z yt o p o l o g y 。 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：灵志屯 签字日期：d 莎年厂月五8 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：晏，乏池 签字日期： p 譬年r 月蟛日 导师签名：晏韶绔 签字日期：a 睥6 ， z 日 拓扑学在粗糙集中的应用 第一章绪论 1 1 粗糙集理论研究概况 粗糙集理论是波兰数学家于1 9 8 2 年提出的。针对知识库，引出了不精确范 畴等概念，并在此基础上形成了完整的理论体系粗糙集理论。起先粗糙集理 论的研究地域仅局限于东欧的一些国家，直到1 9 9 0 年前后，由于该理论无需任 何先验信息，只通过发现数据间隐藏的关系，就能揭示潜在的规律、提取有用信 息。而且粗糙集理论的有效性在数据挖掘、机器学习、智能控制、模式识别、故 障诊断等方面也得到大量应用和证实，这才逐渐引起各国学者的广泛关注。 1 9 9 2 年，第一届关于粗糙集理论的国际学术会议在波兰召开，这次会议主 要讨论了集合近似定义的基本思想及其应用。 1 9 9 5 年a c mc o m m u n i c a t i o n 将其列入新浮现的计算机科学的研究命题。 1 9 9 8 年，国际信息科学( i n f o r m a t i o ns c i e n c e ) 杂志还为粗糙集理论的研 究出了一期专辑。 粗糙集研究在国内虽然起步晚，但发展较快。2 0 0 1 年“第一届中国粗糙集 与软计算学术研讨会”在重庆邮电大学举办。2 0 0 3 年中国人工智能学会粗糙集 与软计算专业委员会成立。这个专业委员会在不到一年的时间就吸引了中国6 0 多家高校和科研院所的科研人员。在2 0 0 5 年9 月在加拿大举办的粗糙集研究国 际会议上，中国学者的论文甚至超过了会议采用论文总数的四分之一。 近些年来，由于该理论在机器学习、数据挖掘、知识发现等方面的广泛运用， 研究逐渐趋热。目前，粗糙集与模糊集、神经网络、遗传算法等理论已经成为当 前国内外计算机及相关专业的研究热点。粗糙集理论已成为信息科学最为活跃的 研究领域之一。 1 2 粗糙集理论的主要研究方向 经典粗糙集理论是以等价关系为基础，利用特定空间上的等价关系将其进行 战0 分，每个分类称为概念。其主要思想是利用已知的知识去描述( 或接近) 未知 的知识。在粗糙集的研究中，为了使得粗糙集理论有更为广泛的运用。研究者对 经典粗糙集理论做了许多有价值的推广。对粗糙集理论的推广目前是较热的研究 方向。对粗糙集理论的推广主要有以下两种方法r i o ：( 1 ) 构造性方法：( 2 ) 代 数性( 公理化) 方法。( 1 ) 构造性方法是对经典p a w l a k 粗糙集模型的一般推广， 江西师范大学硕士毕业论文 其主要思路是从给定的近似空间出发去研究粗糙集和近似算子。( 2 ) 代数方法 也称为公理化方法有时也称为算子方法，这种方法不是以二元关系为基本要素， 它的基本要素是一对满足某些公理的一元( 集合) 近似算厶h ：2 u 一2 u ，即粗 糙代数系统( 2u ， ，u ，n ，三，日) 中近似算子是事先给定的。这种方法研 究的明显优点是能够深刻地了解近似算子的代数结构，其缺点是应用性不够强。 1 3 粗糙集理论与其它相关理论和领域的关系 对粗糙集理论研究的不断深入，与其他数学分支的联系也更加紧密。粗糙集 理论，有“算子论”和“集合论”两种不同的解释从算子的观点看粗糙集理论， 与之关系较紧的有拓扑空间、数理逻辑、模态逻辑、格与布尔代数、算子代数等， 算子论认为粗糙集理论在经典集合算子上添加了上、下近似两个一元算子，是经 典集合论的拓展：集合论则认为粗糙集理论只是改变了集合的运算，没有引进 新的集合算子，它们分别与模态逻辑和多值逻辑对应粗糙集和拓扑学都是基 于集合论的，两者的关系值得探讨。在本文中就研究了两者的关系。 粗糙集和模糊集理论在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了经典集 合论，两者之间具有一定的相容性，它们都可以用来描述知识的不确定性和不精 确性。但侧重面不同，模糊集是强调边界的不分明性，通过对象关于集合的隶属 程度来近似描述知识；而粗糙集是强调对象之间的不可分辨性，通过一个集合关 于某个近似空间的上、下近似来描述知识，即通过精确知识近似逼近不精确知识。 虽然模糊理论和粗集理论特点不同，但它们之间有着很密切的联系，有很强的 互补性。本文将结合模糊集理论和拓扑学对粗糙集进行了研究和推广，并得出一 些有较好的结论。 粗糙集理论研究不但需要以这些理论作为基础，同时也相应地带动这些理 论的发展。 1 4 本文知识结构安排 第一章绪论主要介绍粗糙集理论研究概况和粗糙集理论研究的发展方向和 使用的数学工具。在第二章结合拓扑学介绍有限论域u 上一类特殊覆盖拓扑 覆盖，将对其进行研究，并得到一系列的较好的结论，这将会进一步把拓扑学与 广义覆盖粗糙集理论联系起来。另外还提出一个基于隶属度的粗糙集模型，并介 绍了有关算子的性质。最后，在第三章将引出一对模糊上、下近似算子，而后 结合了拓扑学对这对上、下近似算子进行了研究，相应地得到了一系列相关的结 论。第四章对全文作了一个总结，并且对今后的研究工作提出了展望。 2 拓扑学在粗糙集中的应用 第二章有关拓扑学与覆盖粗糙集的一些结论 人们在实际运用和研究中对经典粗糙集理论进行了许多有意义的推广。 z a k o w s k i 把划分放宽为覆盖【，将p a w l a k 粗糙集理论推广到覆盖广义粗糙集 理论，并进行了深入的研究。w i l l i a m z h u 和f e i - y u ew a n g 在覆盖广义粗糙集的 基础上给出了约简的概念和方法1 2 | 。m i c h i r ok o n d o 【3 j 和e f l a s h i n l 4 ) 从拓扑结 构的角度研究了广义粗糙集理论。在非空有限论域的覆盖近似空间中，我们注 意到u 上的一个拓扑也是u 的覆盖。而拓扑覆盖具有许多特殊的性质，本章将在， 最小描述元的基础上结合拓扑学知识对拓扑覆盖做些初步的探讨 2 1 相关知识介绍 2 1 1p a w l a k 粗糙集理论相关知识+ 定义2 1i s 】：设u 是一个有限集合，我们称它为论域，r 是u 上的一个等价 关系。在粗集理论中，尺一般称为不可区分关系。等价关系r 在u 上生成一个划 分u r = k ，k ，匕) ，y l ，l ，y 埘称为由等价关系尺生成的等价类。对于任 意x u ，我们可以用这些等价类描述x ，其中下面两个集合 一r x = u i u rl x ) r x = u i u 尺iinx ) 分别称为x 的r 下近似集和上近似集。一般地也称 ，尺) 为近似空间。 下近似集星似) 也称为x 的r 正域，记作p r 似) ，它可理解为是根据知识r 判断肯定属于x 的对象组成的最大集合，上近似集页似) 理解为是根据知识尺判 断可能属于x 的对象组成的最小集合。u 一页( x ) 称为x 的r 负域，记作 n e g r ) ，它可理解为是根据知识r 判断肯定不属于x 的对象组成的集合， 页伍) 一墨) 称为x 的尺边界，记作锄d r ( ) ，它可理解为是根据知识尺既不能 江西师范大学硕士毕业论文 判断肯定属于x ，又不能判断肯定属于u x 的对象所组成的集合。 x 为可定义集当且仅当瓦( x ) = 星，x 为可粗糙集当且仅当页伍) 星( x ) 。 ， 记矽为空集，耐为x 在u 中的补，由上面的上下近似集的定义，我们有以 下关于p a w l a k 粗集的主要性质。 ( 1 l ) 星p ) = u ( 2 l ) 页) = 痧 ( 3 l ) 墨伍) 互x ( 4 l ) r ( x n r ) = 墨伍) n 星( ，) ( 5 l ) 墨( 墨伍) ) = 星似) ( 6 l ) 垦( 、x ) = - 1 页( x ) ( 7 l ) x yj 星( x ) 墨( 】，) ( 8 l ) 垦( - 1 堡( x ) ) = _ 1 墨( x ) ( 9 l ) v k u r ，墨( k ) = k 2 1 2 拓扑学有关知识 ( 1 h ) 页缈) = u ( 2 h ) 星) = 矽 ( 3 h ) x 至页伍) ( 4 h ) x ( x u r ) = 页) u 页( 】，) ( 5 h ) 页( 页( x ) ) = 页( x ) ( 6 h ) 页( 叫) = 、垦( x ) ( 7 h ) x 互yj 页( x ) 页( y ) ( 8 h ) 页( 1 页( 。v ) ) = _ 1 页( x ) ( 9 h ) v k u r ，页( k ) ：k 定义2 2 【6 】：设r 为u 上的一个拓扑fc2 u ，2 u 为u 的幂集，且满足 条件： ( 1 ) 矽f ，u f ， ( 2 ) 若k i ，k2 f ，则k ln k 2 f ； ( 3 ) 若集合簇口cf ，则有u 口f 。 若r 为集u 上的一个拓扑，则序偶 ，r ) 为一个拓扑空间，简称为空间，也 简记为u ，r 的每个元g 叫作一个r 一开集，简称开集。若a u ，使得一f ， 则称a 是一个闭集。 定义2 3 【6 1 设 ，r ) 为一个拓扑空间，ac u ，则包含彳的每个开集g 称为a 的一个r 一邻域，简称邻域。当a = 扛 cg f 时，称g 是点x 的邻域。我们用 4 拓扑学在粗糙集中的应用 r0 ) 表示彳的一切邻域组成的集族，称为a 的r 一邻域系，简记为) 。( 卜) ) 简记为g ) 。 定义2 4 【6 】设ac u ( 1 ) 称x u 是a 的附着点v g n ( x ) ，g n a 。 集a 的一切附着点组成的集叫做a 的闭包，记作j 。 ( 2 ) 称石u 是彳的内点铮3 g g ) ，gc a 。 集a 的一切内点组成的集叫做彳的内部，记作a 。 定理2 1 【6 】设彳是【，的任一子集，r 为u 上一个拓扑 ( 1 ) 孑：n f u ：p 是r 的包钔的闭集 是为关于拓扑ra 的闭包， ( 2 ) 彳。= u g u ：g 彳且g 是1 1 的开集) 是为关于拓扑ra 的内部。 定义2 51 6 1( 1 ) 是空间拓扑p ，r ) 的一个基营c1 1 且有v g r ， j 口c ，使得g = u a ( 2 ) 设p ，r ) 是一个拓扑空间，伊c2 u 。如果伊的所有非空有限子族的交构 成的集族，即 = s , ns 2n ns 1 s ，缈，z = - ，- 2 ，刀，九z + - ，。 是拓扑f 的一个基，则称集族缈是拓扑r 的一个子基。或称集族妒是拓扑空间 p ，r ) 的一个子基。 命题2 1 【6 1 是空间拓扑妙，r ) 的一个基甘cf 且v g r 、 v x g ，| v ，使得x vcg 。 证明：( 1 ) b ) 设是空间拓扑 ，r ) 的一个基且g 1 1 ，则cr ，且 = l ac ，使得g = u 口，若z g ，则jv 口c ，使得石vcg 。 ( 2 ) 仁) 设g f 。由假设，v x g ，j ，有工v ，cg 。则 扣= 曲帅范大学硕士毕业论文 g = u ，& ) cu cg ，故g = u ，圪。从而是空间拓扑p ，r ) 的一个基。 j e 【，j g x u 、 定理2 2 f 6 j 若集u 上的两个拓扑r l 与f 2 如有一个公共的基，则有r l = f 2 。 定理2 3 6 1 设u 是一个集，c2 u ，若满足条件 ( 1 ) 是的一个覆盖， ( 2 ) 若彳l ，a 2 且有工a in 彳2 ，则存在形，工形c4 厂、4 。 则u 上有唯一一个拓扑r 以为基。f 称为以为基生成的拓扑。 定理2 4 【6 】设缈c2 v 是集合u 的一个覆盖，则u 上有唯一一个拓扑f 以矽 为子基，称为以缈为子基生成的拓扑。 2 1 3 覆盖广义粗糙理论理论有关知识 设u 为一个非空有限论域，c 是u 中的一个集类。如果c 中子集非空，且 uc = u ，则称c 是u 的一个覆盖。称p ，c ) 为覆盖近似空间。 设r 为非空有限论域【，上的一个拓扑，若令r o = r 一移) ，其中为空集。 则有r 。为u 上的一个覆盖，称之为拓扑覆盖。称p ，r o ) 为u 上的一个拓扑覆盖 近似空间 定义2 6 f 2 】：设 ，c ) 是一个覆盖近似空间，任意给定x u ，称集合 簇k c l x k ( v s c x _ c s 八ss k k = s ) ) 为集合彳的最小描述 集类，记为m d 似) 。 对任意点z u ，称n 母l s m d ( x ) ，xx ) 为点z 的最小描述元，记为 蒯g ) 。在一般情况下最小描述元所d g ) 不定属于覆盖c 。 例1 ：设u = 口，b ，c ，d ，e ) ，c = p ，c ) ， 口，6 ) ， 6 ，g d ) ， 西p ) ) 、 则朋项口) = 口，c ) ，扛，6 ) ) ， m d ( b ) ： 移，c ，d ) ，函，6 ) ) ， 刎g ) = 扛，c ) 6 ，c ，d ) ) ， m d ( d ) = 6 ，c ，d ) ，p ，p ) ， 6 拓扑学在粗糙集中的应用 m d ( e ) - - p ，e ) ) ； 加荆= 协， 聊荆= ， 聊反功= 移) ，聊d g ) = c ) ， r o d ( e ) = p ，p ) 事实上此时c 为u 上的一个覆盖，但非拓扑覆盖，有最小描述元研d ( 口) 、 耽d ( 6 ) 、m d g ) 、肌d 0 ) 均不属于覆盖c ，r ：有m d ( p ) 属于覆盖c 。然而下一节我 们将讨论到当c 为非空有限论域u 上的拓扑覆盖时最小描述元肌d g ) 都会属于、 覆盖c 。 显然可以得出以下结论： ( 1 ) 若r 为u 上一个拓扑，则r 0 一定为u 上一个覆盖。反之u 上的任一个覆 盖不一定为u 上一个拓扑覆盖。 ( 2 ) 最小描述元肌d g ) 不一定属于覆盖c 。 ( 3 ) c = 妇d g 】x u ) 为【厂上一个覆盖。 ( 4 ) 若r 为非空有限论域u 上一个拓扑，贝, l j m d g ) f 。 定义2 7设c 是论域u 的一个覆盖，k c ，如果k 是c k 中的 j 一些集合的并集，就说k 是c 的一个可约简的元素，否则，就称是c 的一个不可 约简的元素。 定义2 8 【2 】设c 是论域u 的一个覆盖，如果c 中的每个元素都是不可约 简的元素则称c 为不可约简的：否则，就称c 为可约简的。 定义2 9 【：】设c 是论域【厂的一个覆盖，称通过覆盖约简而得到的新的不含 可约简元素的覆盖称为c 的最简覆盖，c e , s br e d u c t ( c ) 。 命题2 2 【2 】设c 是【，的一个覆盖，k 是c 的可约元，则对所有石u ，覆 盖c 和覆盖c k ) 有相同的m d ( x ) 。 推论2 1 【2 】设c 是u 的一个覆盖，则对所有x u ，覆盖r e d u c t ( c ) 和覆 盖c 有相同的m d ( x ) 。 7 江西师范大学硕十毕业论文 命题2 31 2 1 设c 是u 的一个覆盖，r e d u c t ( c ) 为c 的最简覆盖，则 r e d u c t ( c ) 是唯一的。 2 2 拓扑覆盖广义粗糙集的有关结论 本节将拓扑学知识与粗糙集知识相结合，对拓扑覆盖进行研究，并得到一系 列的有价值的结论，这将会进一步把拓扑学与广义覆盖粗糙集理论联系起来。 命题2 4 若r o 为非空有限论域u 上的一个拓扑覆盖，则有对v x u ，有 研d g ) r 。 证明：由于f o 为非空有限论域u 上的- - 个拓扑覆盖，根据最小描述集类的 定义得对v s m d ( x ) 有s l ，从而脚d g ) = n ss m d ( x ) , x x ) r 。 命题2 5 若r 。为非空有限论域u 上的一个拓扑覆盖。令c = b d g ) i x u ， 则有c 为u 上r 。的最简覆盖。 证明：根据m dg ) 的定义有x r o d ( x ) ，从而有uc = u ，故有c 为u 上 一个覆盖。下证c 为u 上r o 的最简覆盖，首先证对vk r o c ，不妨设 k = k ，恐，； ，则有k 为r o 的一个可约简的元素且k ：om dg ，) 。事实上由 于vx i k ，有im d ( x ，) k ，从而o 历dg ，) 互k ，又因为而m d ( x ，) 因此有 k 冬9 。m dx i ) ，这样就可得到k = 粤，聊dg ，) ，因而对vk r o c 有k 为r 0 的可约简的元素。下证c 中不含有可约简的= 元素，反证，设x u ，假设肌d g ) 可表示r o m d g ) 中一些集合的并，不妨设m dg ) = 所d g 。) u u m d ( x 。) uk 。 u u k ，中m d ( x ，) r o d ( x ) ，k ，r o - c ，f 扯，s ，礼f 。因为z 肌d g ) ， 则必有存在某个i l 一，s 使得工m dg ，) 或有u ， 1 ，f ) 使得x k ，。若 x m d ( x ，) ，根据所d ( x ) 的定义有蒯g ) 胁d g ，) 从而必有聊d g ) = 蒯g ，) 矛盾! 若工k ，根据聊d g ) 的定义有聊d g ) k ，从而必有m dg ) = k 也为矛盾! 从而 拓扑学在粗糙集中的应用 c 中元素都为不可约简的元素。故有c 为u 上f 。的最简覆盖。 命题2 6 若r 0 为非空有限论域u 上的一个拓扑覆盖，令c 2 如dg ) i 工u ) ， 则c 为拓扑r 的基。 证明：显然有ccf 。y r - f fv g f ，v x g ，存在m d ( x ) c 且有 x m d ( x ) cg 。从而c 为拓扑r 的基。 例2 设u = a ，b ，c ，d ) ，在u 上定义拓扑r = 协以珏b 以kc ，研 。 则有垅d g ) = 函 ，r o d ( b ) = u ， 垅d ( c ) = p ，d ，脚d p ) = a 研 c = m d ( q xu ) = k ，如，d ，u 为u 上r 0 的最简覆盖。 c ，：c = 妙，k ) ，p ，d ) ) 为f 的基。 例3 设u = o ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，u 上的拓扑f = 协u 0 ，略 礴 3 4 ) ， 5 ) ， 2 ) ， 3 ) ，缸1 ，2 未 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ， o ，l ，2 ，5 ， 2 ，3 ，4 ) ， 2 ，3 ，5 ) ， 3 ，4 ，5 ) ， 2 ，5 ， 3 ，5 ， 2 ，3 ，4 ，5 ) 则有所d ( 0 ) = o ，1 ，2 ) ，m d ( 1 ) = 0 ，i ，2 ，所d ( 2 ) = 2 ) ， r e d o ) = 3 ，所d ( 4 ) = 3 ，4 ，m d ( 5 ) = 5 ) ； c = m 4 x ) l x u ) = o ，1 ，2 ) ， 2 ) ， 3 ) ， 3 ，4 , 5 为u - k f o 的一个最简覆盖。 且有c = 0 ，1 ，2 ) ， 2 ) ， 3 ) ， 3 ，4 ) ， 5 ) ) 为f 的基。 下面介绍一个基于【，上的任意一个覆盖，构造u 上的一个拓扑的方法。 命题2 7设c 为有限论域u 上的任意一个覆盖， 则 r1 r = x c u x = u m d ( x ) 为u 上的一个拓扑，其中肌dg ) 为覆盖c 下点x 的 l z x j 最小描述元。 证明：( 1 ) 由于u 聊d g ) = ，故矽f ，又由于u m d ( x ) = u ，故u f 。 jexeu ( 2 ) 若k l ，k 2 f ，t i i ek lnk 2 f 。即证k 。nk 2 = um d ( x ) 。显 x m k tf l k 2 然有k - n k z u m d ( x ) 。由于k 。f ，因此k = u 朋荆，从而对任意 9 江西师范大学硕士毕业论文 z k 。有朋d b ) k i ，同理对任意x k ：有朋g ) k ：，故当工k 。nk ：时有 m d ( x ) ck lf i 9 2 ，因而有u m d ( x ) c _ k 。n k ：，从而k 。f l k ：= u m d ( x ) 。 。6 k j f l k 2x e k i f l k 2 即有k lnk 2 f 。 ( 3 ) 设r = 体，r l i ， ，下证ur r ，令f = uk ，也即要证 f = u m dg ) 。事实上对任意i ，由于有k ，= um dx ) ，故 工e fx k ， f = u 嵫= uu m dg ) = um dg ) ，因此ur r 。这样就能证得r 为u 上 i e ll e lx gkj,lief 的一个拓扑。 由上面拓扑构造方法我们不难看出c k 曲dg ) i 工u ) 为所构造拓扑f 的 基。 例4 设u = a ，b ，c ，d ，p ) ，c = k c ) ， 口，6 ) ，侈，c ，d ) ，p ，p ) ) 则蒯g ) ：矗 ，r o d ( b ) ：函) ，所以) = 斜，所反力= 斜，所反0 = p ，p 从而我们可以构造u 上的一个拓扑： r = 劬斜， 6 ，p ) ，p ，a ，6 ， 口，c ) ，b 以协c ；， 6 ，以k 以缸p ，k6 ，吐k6 ，研，kc ，胡，k 吐p ) ， 6 ，c ，d ) ，侈，d ，e ， c ，d ，p ) ，a ，6 ，c ，d ) ，a ，现d ，p ) ，a ，c ，d ，p ) ， 6 ，c ，d ，p ，。 命题2 8 设u 为一个非空有限论域，c 是u 的一个覆盖，则在u 上存在 唯一的拓扑以c 为子基。 证明：由定理2 2 知结论显然成立。 命题2 9设u 为一个非空有限论域，c 是u 的一个覆盖，则以c 和 r e d u c t ( c ) 为子基能生成同一个拓扑。 证明：由约简的定义和子基的定义知结论显然成立。 命题2 1 0 设u 为一个非空有限论域，c 1 、c 2 为u 的两个不同的覆盖， 若r e d u c t ( c 1 ) = r e d u c t ( c z ) 。则以c l 、c2 为子基能生成同一个拓扑。 证明：由命题2 9 及定理2 3 知结论显然成立。 1 0 拓扑学在粗糙集中的应用 命题2 1 1若r 0 为非空有限论域u 上的一个拓扑覆盖，足拓扑r 的任 个基，或为中任意含有点x 的元素，则nb j = m dg ) 。 证明：根据历d ( z ) 的定义显然有聊dg ) n b ，。下证nb 。m dg ) ， 事实上由于m dx ) r ，故存在口c ，使得m dg ) = u 口，而x 聊以x ) ，从 而必存在某个丑，使得或口，且有召，r o d ( x ) ，因此有nb ，冬历d g ) 。 从而nb ，= m dg ) 。 2 3 覆盖近似空间中的粗糙隶属函数及相关的应用 粗糙集理论用粗糙隶属函数来刻画知识的模糊性。e f l a s h i n 【。1 等人在 p a w l a k 粗糙集的粗糙隶属函数定义基础上将结论推广到拓扑空间中的粗糙隶属 函数并且利用粗糙隶属函数相应地定义出了一个模糊集合其定义如下： 定义2 1 0 1 4 】 若r 为非空论域u 上的一个拓扑，是它的一个基，对任意 x u 则基于拓扑覆盖r 0 的粗糙隶属函数为： = 样， 石u 其中b ，为中任意含有点x 的元素，二g ) 表示元素x 在拓扑覆盖f 。下隶属 于x 的程度，可以证明得到二g ) 与基的选取无关【4 】。x c 任, x c u ，用拓 扑覆盖的粗糙隶属函数就能定义一个模糊集： - - 戤，二g ) 】x u ) 由命题2 1 1 3 ；1 nb ，即为点x 的最小描述元，故此2 。l 式可表示为 啪) = 锴 下面将拓扑覆盖中定义的糙隶属函数再推广到般覆盖中粗糙隶属函数。 定义2 1 1当c 为u 上的一个覆盖，任意xsu ，则基于覆盖c 的粗糙 隶属函数定义为 江西师范大学硕士毕业论文 舶) = 帮一2 2 式) 其中m dg ) 为点x 的最小描述元，显然当c 为u 上的一个划分时，有脚d g ) 即为 点x 所在的等价类，此时我们定义的覆盖c 下粗糙隶属函数即经典粗糙集中的粗 糙隶属函数。当c 为u 上的一个拓扑覆盖，我们定义的覆盖c 下粗糙隶属函数即 为定义2 1 0 。相应地也能用一般覆盖上的粗糙隶属函数导出一个模糊集： 墨= 融，成g ) 】石u 。 模糊集和粗糙集理论在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了经典集 合论。虽然模糊集的隶属函数和粗糙集的隶属函数都反映了概念的模糊性，直观 上有一定的相似性，但是模糊集的隶属函数大多是专家凭经验给出的因此往往带 有很强的主观意志，而粗糙集的粗糙隶属函数的计算是从被分析的数据中直接得 到，故非常直观。也正因为如此，将粗糙集理论和模糊集理论进行某些“整合 后去描述知识的不确定性和不精确性比它们各自描述知识的不确定性和不精确 性就能显示出更强的功能。 ， 命题2 1 2设xcu ，f 为关于命题2 7 方法构造的拓扑，则x 关于r 的闭 包，内部分别为： x 一= b u k 要g 声o ，x 。= 缸u i ；g ) = 1 ) 。 证明： 先证又= 扛u k 要g bo 。 由定义2 4 n - 丁矢h ，只要证k u 恤；g ) o j 是由x 的一切附着点组成的集。 对任意x # u k ；g ) o j ，设聊d g ) 为覆盖c 中点x 的最小描述元，在命题2 7 方法构造的拓扑f 中显然有m d ( x ) f 且有m d g ) 也为拓扑覆盖r 一劬) 的最小描 述元， 而由互g ) = 锴 。可知，z d g ) n x 。故对任意g g ) ， 有朋荆cg ，从而就有gr 、x 矽，从而点x 为附着点。而集合k u k 耍g ) = 0 j 中任意点x 满足朋d g ) nx = ，故显然不为附着点。所以k u k ；g ) o 是由x 的一切附着点组成的集。 下证x 。= & u 陋；g 产1 ) 由定义2 4n - 矢l ：l ，只要证k u k ；g ) = 1 j 是由彳的一切内点组成的集。 拓扑学在粗糙集中的应用 对任意石u k g ) = 1 ，设聊d g ) 为覆盖c 中点石的最小描述元，在命题2 7 方法构造的拓扑f 中显然有肌d g ) f 且有聊d g ) 也为拓扑覆盖r 一移) 的最小描 航而峨”锴= l 碱m d 眯x ，故存在脚俅荆，有 m d g ) cx ，从而点x 为内点，而集合各u i o 霎g ) 1 j 中任意点x 满足 m d ( x ) 岱x ，故显然不为内点。所以k u 陋；g ) = l j 是由x 的一切内点组成的集。 例5 在例1 中若再令x = 扛，b ，c ，p ，则有 废= 掣扎 删= 峄巾 = 瞥= 互1 签= k ，1 ) ，( 6 ，1 ) ，g ，1 ) p ，1 ) ，g ，) 。 删= 掣乩 删= 掣= 。 则x o = 缸，b , c ，又= 扛，b ，c ，p ) 。 关于命题2 7 方法构造的拓扑为： f = 协 宙，鼢 砖 以k 6 ) ，墨，c ，k 翻，池0 ， 6 ，以 c ，奶，缸a ，拓6 ，c j ，k 魏以k g 以k 吐0 6 ，c ，奶，协z 砖b 盔砖k 抚g 巩k 包吐靠k g z 毒， 6 ，c ，z 吐奶 由定理2 1 知： ； x 。= 妇) u 6 ) ut ) u 扛，b u 口，c u 侈，c u0 ，b ，c - - a ，b ，c ) r 中元素对应的所有闭集为 u 慨g 谚窃k g 西吐k 6 ，4 吐矗6 g 砖k z 句，慨吐a ，溉g 习，k 谚吐 口c ，p ) ， 口，6 ，p ) ， 口，6 ，c ) ，缸p p ，口) ，移，p ) ，伽，c x 伽，p ) ，矗，c ) 缸，6 - p x p ) ，侈) ，k ) ，矽 、 由定理2 1 知： 牙= 扛，b ，c ，p ) f q u = 缸，b ，c ，p ) 江两师范大学硕七毕业论文 2 4 由粗糙隶属函数引出的粗糙集模型 定义2 1 2 设p ，c ) 是u 上的一个覆盖近似空间，任意x u ；基于 ( 2 2 ) 式定义的一般覆盖c 下的粗糙隶属函数。可引出关于近似空间p ，c ) 的 上、下近似面( x ) ，a p r ( x ) 分别定义如下： i 印，( = k 叫o 以l 堡丛x ) = 备u k ；g ) = l j 显然有翌二 ) 玩。 ( 2 3 式) ( 2 4 式) x 关于近似空间p ，c ) 的边界，负域分别定义为 6 聆d 似) = 面( x ) 一翌二伍) = i o b g ) ，从而对任意z s r 。) 有b ( z ) b g ) ，再 由y 。s r g ) 和r 是对称的，可知x s r 。) ，因此就得b g ) b g ) ，矛盾! 所以 b c 垦妊( b ) ) c ) 。 命题3 6 ：若，为u 上模糊拓扑t 上一个内部算子，则下面条件等价： ( 1 ) 对任意男，妙) ，b c ，“，p ”c ) ； ( 2 ) 对任意b f ( v ) ，b 是丁上开集当且仅当b 是丁上闭集。 证明：( 1 ) ( 2 ) 若b 是，上开集，要证曰是闭集，即证，( 矿) ：b c ，由于 ，为u 上一个内部算子，故只证旷j ( ) ，而b 是开集则，p ) = b ，由条件( 1 ) 矿讯j ( 劫) ，有b c ，眵) 。反之若占是丁上闭集，要证男是，丌集，只要考虑b c 2 l 江两师范大学硕十毕业论文 是丁上开集，就可得到b = c ) c 是开集。 ( 2 ) j ( 1 ) ，( b ) 是弃集，那么( ，p ) ) c 是闭集，由条件( 2 ) ( ，p ) ) c 是开集， 故，( ，( 曰) ) c = ( ，( b ”c 。而，( 口) 召，故( ，( b ”cdb c ，9 , n ；f f b c ，( ( j r ( b ) ) c ) 。 3 3 本章小结 本章在引出由模糊粗糙集中的一对由一般二元关系生成的上、下近似算子的 基础上，结合拓扑学研究了不同二元关系生成的算子的一些性质，得出了一些较 好的结论，使得拓扑学与模糊粗糙集理论之间的关系进一步明确。 拓扑学在耜糙集中的应用 第四章总结与展望 本文结合了拓扑学和模糊集理论对粗糙集进行了研究和推广，并得出一些有 价值的结论，使得拓扑学与广义覆盖粗糙集理论之间的关系以及模糊粗糙集与模 糊拓扑之间的关系得到了进一步明确。 4 1 本文的工作 本文所做的工作主要包括以下几方面： ( 1 ) 阐述粗糙集理论的主要研究方向和所需用的一些数学工具。 ( 2 ) 利用拓扑学研究了拓扑覆盖广义粗糙集，得到了非空有限论域u 上的拓 扑覆盖中的许多有价值的结论，使得拓扑学与广义覆盖粗糙集理论之间的关系进 一步明确。 ( 3 ) 推广得到的覆盖粗糙集中的一个粗糙隶属函数，介绍了该函数的有关应 用。并且利用推广的粗糙隶属函数引出了一个粗糙集模型，而后又进一步研究了 该模型的一些性质。 ( 4 ) 引出由模糊粗糙集中的一对由一般二元关系生成的上、下近似算子的基 础上，结合拓扑学研究了不同二元关系生成的算子的一些性质，得出了一些较好 的结论，使得拓扑学与模糊粗糙集理论之间的关系进一步明确。 4 2 进一步的研究工作 本文研究的广义覆盖粗糙集模型是以覆盖为基础，因此可进一步研究以一般 二元关系为基础的广义覆盖粗糙集模型。此外在本文中所用的数学工具是拓扑 学，研究了广义粗糙集的结构和性质，事实上也可以考虑用代数方法来研究广义 粗糙集的结构和性质，比如可以结合群、环、域建立完善的粗糙代数系统 江两师范大学硕士毕业论文 参考文献 1 】z a k o w s k iw ，a p p r o x i m a t i o n si nt h es p a c e 【j d e m o n s t r a t i o n m a t h e m a t i c a ， 1 9 8 3 ；1 6 ：7 6 1 - 7 6 9 2 】2 z h uw ，w a n gf y , r e d u c t i o na n da x i o m i z a t i o no f c o v e t i n gg e n e r a l i z e dr o u g h s e t s j i n f o r m a t i o ns c i e n c e s2 0 0 3 ，( 1 5 2 ) ：2 1 7 2 3 0 【3 m i c h i r ok o n d o ，o nt h es t r u c t u r eo fg e n e r a l i z e dr o u g hs e t s j 】i n f o r m a t i o n s c i e n c e s2 0 0 6 ( 17 6 ) 5 8 9