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带慢变参数的强非线性振动分析及其应用 专业：应用数学 博士生：蔡建平 指导教师：李怡平教授 摘要 k u z m a k - l u k e 的多尺度法拓展应用于研究较一般形式的带慢变参数的强非 线性振动系统，得到解的周期性条件和渐近解。理论结果还应用于求得用椭圆函 数表示的平方、立方非线性振动的渐近解。两个典型的算例：广义v a nd e rp o l 振动和慢变长度的单摆证实本方法的有效性。 广义k b m 法拓展应用于带慢变参数的强非线性振动系统，理论上可以得到 系统的任意阶渐近解。此方法可视为k b m 法和椭圆k b ( e k b ) 法的推广。本文还 具体研究有多项式阻尼的立方非线性振动。三个典型的算例：广义v o nd e rp o l 振动，r a y l e i g h 方程和慢变长度的单摆证实此方法是有效的。通过比较，还证明 此广义k b m 法与k t t z n a a k - l u k e 的多尺度法的首阶渐近解等价。 应用摄动法研究强非线性振动方程时经常遇到这样的困难：派生方程的解无 法用已知函数表示。本文提出等效非线性化方法和近似势能法克服这个困难，使 得方程的首次近似解可以用椭圆函数表示。这两种方法还分别应用于研究自由电 子激光的电子振动方程和计算从慢变振动系统势能井逃逸的时间。与t a y l o r 级数 展开法相比，这两种方法的优点是它对大幅振动有效。多个算例表明这两种方法 与数值方法的结果相当一致，而当振幅不是很小时，t a y l o r 展开法有较大的误差。 从振动系统的势能井逃逸往往等同于系统的失败。为了让系统在振动状态下 运行，我们必须控制从势能井逃逸的时间。本文首先应用多尺度法求得有负阻尼 的平方非线性振动方程的渐近解，然后j a c o b i 椭圆函数模的性质用于推得从振动 系统势能井逃逸的时间。此方法的优点是计算简便且有较高的精确度。 通过对系统的两个小参数：磨擦系数和慢变摆长参数的阶的比较，推导出慢 变长度的单摆的更准确的渐近解，从中可以清楚地看到两个小参数对解的影响。 k a l e e k i 假设在确定投资决策和新设备安装之间存在延滞，这一思想被引入 传统的i s l m 模型形成有时滞的i s l m 经济周期模型。h o p f 分叉定理将用于预 测对时滞参数的分叉极限环的出现。出现极限环的关键因素是k a l e c k i 的时滞参 数，而不是通常假设的s 形投资函数。作为例子，一个有时滞的线性系统证实有 关的理论结果。 关键词：强非线性振动，摄动法，慢变参数，渐近解，i s l m 经济周期模型 s t r o n g l y n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n sw i t hs l o w l yv a r y i n g p a r a m e t e r sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s m a j o r ：a p p l i e d m a t h e m a t i c s n a m e ：c a i j i a n p i n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r l iy i p i n g a b s t r a c t 1 1 1 em u l t i p l es c a l e sm e t h o do fk u z m a k - l u k ei se x t e n d e df o rt h es t u d yo fs t r o n g l y n o n l i n e a ro s c i l l a t o r sw i t hs l o w l yv a r y i n gp a r a m e t e r sa n dt h ec o n d i t i o n so f p e r i o d i c i t y a n d a s y m p t o t i c s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d t h e o r e t i c a lr e s u l t sa r eu s e dt o g e t t h e a s y m p t o t i cs o l u t i o n s o f q u a d r a t i ca n d c u b i cn o n l i n e a r o s c i l l a t o r s ，w h i c ha r ee x p r e s s e d b yj a c o b i a ne l l i p t i c f u n c t i o n s t w o t y p i c a le x a m p l e s ，g e n e r a l i z e d v a nd e r p o l o s c i l l a t o ra n dp e n d u l u mw i t hv a r i a b l el e n g t h ，s h o wt h e e f f i c i e n c y o ft h e p r e s e n t m e t h o d a g e n e r a l i z e dk b mm e t h o di s e x t e n d e df o rt h e s t u d y o fs t r o n g l yn o n l i n e a r o s c i l l a t o r sw i t hs l o w l yr a r i n gp a r a m e t e r sa n dt h es o l u t i o n so f a r b i t r a r yo r d e ra r e o b t a i n e d t h e o r e t i c a l l y t h ep r e s e n tm e t h o d i sa l le x t e n s i o no fc l a s s i c a lk b mm e t h o d a n de l l i p t i ck bm e t h o d c u b i cn o n l i n e a ro s c i l l a t i o n sw i t hp o l y n o m i a ld a m p i n ga r e s t u d i e di nd e t a i l s t h r e ee x a m p l e s ，g e n e r a l i z e dv a nd e rp o lo s c i l l a t o r , r a y l e i g h e q u a t i o na n dp e n d u l u mw i t hv a r i a b l el e n g t h ，v e r i f yt h ee f f i c i e n c yo ft h ep r e s e n t m e t h o d c o m p a r i s o n sa r ea l s om a d et os h o wt h a tt h eg e n e r a l i z e dk b m m e t h o di s e q u i v a l e n t t ot h e m u l t i p l e s c a l e sm e t h o do fk u z m a k - l u k ef o r t h ef i r s to r d e r a p p r o x i m a t i o n w h e nw ea p p l yp e r t u r b a t i o nm e t h o d st o s t u d ys t r o n g l yn o n l i n e a ro s c i l l a t o r s w e o f t e nm e e tt h ed i f f i c u l t y ：t h es o l u t i o n so fr e d u c ee q u a t i o n sc a n n o tb ee x p r e s s e db y k n o w nf u n c t i o n s m e t h o d so f e q u i v a l e n tn o n l i n e a r i z a t i o na n da p p r o x i m a t ep o t e n t i a l s a r ep r o p o s e dt oo v e r c o m et h i s d i f f i c u l t ys u c ht h a tt h el e a d i n ga p p r o x i m a t i o n sa r e e x p r e s s i b l ei nt e r m so fe u i p t i cf u n c t i o n s t h et w om e t h o d s a r ea l s ou s e dt os t u d yt h e m m o t i o no fe l e c t r o ni nf r e e e l e c t r o nl a s e r ( f e l ) a n d t oc a l c u l a t et h ee s c a p et i m ef r o m t h ep o t e n t i a lw e l lo fas l o w l yv a r y i n go s c i l l a t i o ns y s t e m c o m p a r e dw i t ht h em e t h o d o f t a y l o rs e r i e se x p a n s i o n s ，t h ea d v a n t a g e o ft h et w op r e s e n tm e t h o d si st h a ti ti s v a l i df o rr e l a t i v e l yl a r g e o s c i l l a t i o n s s e v e r a le x a m p l e ss h o wt h a t t h er e s u l t so f p r e s e n t m e t h o d sa r ei ng o o d a g r e e m e n t w i t ht h en u m e r i c a lr e s u l t s ，w h i l et h er e s u l t so f t a y l o rs e r i e se x p a n s i o n s h a v el a r g ee r r o r sw h e nt h ea m p l i t u d e sa r en o ts m a l l e s c a p ef r o map o t e n t i a l w e l li so f t e ni d e n t i f i e dw i t hs y s t e mf a i l u r e i no r d e rt o o p e r a t e t h e s y s t e mw i t ho s c i l l a t i o n ，w e h a v et oc o n t r o lt h ee s c a p et i m ef r o ma p o t e n t i a lw e l l f i r s t l y , t h em u l t i p l es c a l e sm e t h o di sa p p l i e dt oo b t a i nt h ea s y m p t o t i c s o l u t i o n so fq u a d r a t i cn o n l i n e a ro s c i l l a t o r sw i t hn e g a t i v ed a m p i n g s e c o n d l y , t h e c h a r a c t e ro fm o d u l u so fj a c o b i a ne l l i p t i cf u n c t i o ni su s e dt od e d u c et h ee s c a p et i m e f r o mt h ep o t e n t i a lw e l l t h ea d v a n t a g e so ft h ep r e s e n tm e t h o da r ee a s yc a l c u l a t i o n a n d g o o da c c u r a c y c o m p a r i s o n so f t h eo r d e ro ft w os m a l lp a r a m e t e r s ，t h ec o e f f i c i e n to ff r i c t i o na n d t h es l o w l yv a r y i n gp a r a m e t e ro fl e n g t h ，l e a du st o g e tm o r ea c c u r a t ea s y m p t o t i c s o l u t i o n so fp e n d u l u mw i t hs l o w l yv a r y i n gl e n g t h , f r o mw h i c ht h ee f f e c to ft h et w o s m a l lp a r a m e t e r so ns o l u t i o n sc a l lb es o o nc l e a r l y k a l e c k ia s s u m e dt h a tal a ge x i s t sb e t w e e nt h ed e f i n i t i v ed e c i s i o nt oi n v e s ta n dt h e i u s t a l l a t i o no ft h en e w e q u i p m e n t s u c h i d e ai si n t r o d u c e di n t ot h et r a d i t i o n a li s - l m m o d e lt of o r m u l a t eag e n e r a l i z e di s l mb u s i n e s sc y c l em o d e lw i t ht i m ed e l a y t h e h o p f b i f u r c a t i o nt h e o r e m i su s e dt op r e d i c tt h eo c c u i t e n c eo fal i m i tc y c l eb i f u r c a t i o n f o r t h et i m e d e l a yp a r a m e t e r t h e c r u c i a lr o l ei nt h ec r e a t i o no f l i m i tc y c l ei sk a l e c k i s t i m e d e l a yp a r a m e t e r , r a t h e r t h a nt h ea s s u m p t i o no f s s h a p e di n v e s t m e n tf i m c t i o n a n e x a m p l e i sg i v e nt ov e r i f yt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s k e y w o r d s ：s t r o n g l y n o n l i n e a r o s c i l l a t i o n ，p e r t u r b a t i o nm e t h o d ，s l o w l yv a r y i n g p a r a m e t e r , a s y m p t o t i cs o l u t i o n , i s - l m b u s i n e s sc y c l em o d e l 1 v 第一章综述 1 1 引言 振动是物质世界里无处不在的现象，例如：汽车、飞机等交通运输工具的振 动，轧钢机、夯土机等工业机械设备的振动，洗衣机、空调机等家用电器的振动， 人的心脏跳动，耳鼓、声带的振动以及声、光、电、磁的波动等等。从广义角度 看，经济的波动、股市的涨跌、月亮的圆缺、潮汐的涨落等都可以视为不同形式 的振动。 振动按其特性可分为线性和非线性振动两类。严格地说，一切实际的振动系 统都是非线性的。通常在某些情况下，线性化后得出的线性系统能够提供对真实 系统动力学特性的很好逼近。然而在一些问题中，线性化会引起较大的数量误差， 甚至会在分析和计算中出现本质的错误。因此，对非线性振动的研究显得尤为重 要。 非线性振动系统的数学模型为非线性微分方程。与线性微分方程不同，非线 性微分方程一般难于求得精确的解析解。目前研究非线性振动问题的方法，除实 验方法、数值方法外，常用的分析方法有定性方法( 或几何方法) 和定量方法。 定性方法一般是从非线性振动方程入手，根据微分方程本身的特点对其在相空间 的积分曲线做出定性分析，并据此判断系统的运动规律与振动特性。定量方法则 是建立各种求解非线性微分方程的近似解析方法，如平均法( k b 法1 、渐近法 ( k b m 法) 、多尺度法、谐波平衡法等，然后根据求得的近似解析解去研究系统 的运动规律和振动特性。和许多在数学上无法精确求解的物理与工程问题一样， 非线性振动研究除理论分析外，常常需要配合实验分析和计算机模拟。近三十年 来，由于计算机技术的迅速发展，使得许多非线性振动问题可以借助数值计算与 数值模拟方法予以解决，这使得对非线性振动问题的研究有了很大进展。 根据系统中非线性成分的强弱，非线性振动系统分为强非线性振动系统和弱 非线性振动系统。对此目前尚无严格的定义。弱非线性振动，目前已有多种有效 的近似解法，如l i n d s t e d t p o i n c a r e ( l p ) 法、平均法、渐近法( k b m ) 、多尺度法、 谐波平衡法、坐标变换法、等效线性化方法等等。这些方法在n a y f e h 1 3 1 、k r y l o v 和b o g o l i u b o v 4 、b o g o l i u b o v 和m i t r o p o l s k y 5 1 、m i c k e n s 6 、闻邦椿等【7 、陈 予恕 8 】、褚亦清和李翠英 9 、刘延柱和陈立群 1 0 等人的专著中都有详细的介绍。 但是，对于一般的强非线性振动，目前还缺乏象弱非线性振动那样有一整套 通用的近似求解方法。近十几年来这一问题已引起许多学者的关注并得到了广泛 研究。c h e u n g ( 张佑启) 等提出一种改进的l p 法研究具有二次、三次强非线 性系统的振动 1 l 】。c h e n ( 陈树辉) 等用椭圆l p 法研究平方、立方非线性振动 的周期解 1 2 ，1 3 1 。y u s t e 和b e j a r a n o 用椭圆k b 法研究立方非线性振动【1 4 】。 c o p p o l a 和r a n d 用平均法和椭圆函数研究立方非线性振动的极限环 1 5 】。 m a h m o u d 提出广义平均法研究一类强非线性强迫振动，后来又拓展用于n 维强 非线性系统 1 6 ，1 7 】。c v e t i c a n i n 拓展k b 法用于研究耦合两自由度强非线性振动 【1 8 ，1 9 1 。x u ( 徐兆) 等应用平均法和广义谐波函数研究一类强非线性振动并给 出平方、立方非线性振动的具体应n 2 0 。戴世强等提出广义k b m 法和修正的 完全近似法研究若干强非线性问题的近似解析解及v a i ld e rp o l 方程极限环的二 阶近似表达式 2 1 ，2 2 。l a k r a d 和b e l h a q 应用多尺度法和椭圆函数统一处理了平 方、立方非线性振动的高阶近似解【2 3 】。李骊提出能量法用于计算单自由度和多 自由度的强非线性系统的周期解 2 4 - 2 6 ，相关的研究也可见其专著 2 7 。c h a r t ( 陈 兆莹) 等应用摄动增量法研究强非线性振动的极限环及其稳定性 2 8 1 。l a u ( 刘 世龄) 等提出增量谐波平衡法( h b 法) 用于研究弹性系统的非线性振动及分段 线性恢复力系统的非线性振动 2 9 ，3 0 】。近年来，w a l u y a 和h o r s s e n 应用首次积 分法研究类立方非线性振动的渐近解及周期解的存在性和稳定性 3 1 3 3 】。 此外，还有一些学者提出一些混合方法用于研究强非线性振动问题。w u 和 c h i e n 提出多尺度法结合谐波平衡法研究一类强非线性强追振动【3 4 】。c h a t t e r j e e 提出基于平均法的谐波平衡法 3 5 】。m i c k e n s 提出线性化方法结合平均法研究弹 性恢复力不是位移的多项式函数的强非线性振动【3 6 】。d a s 和c h a t t e r j e e 提出 g a l e r k i n 方法结合多尺度法研究较一般形式的强非线性振动并给出多个应用算 例 3 7 】。c h e n ( 陈树辉) 等应用有限元法结合增量谐波平衡法分析平面结构的非 线性振动 3 8 1 。 对于一些不显含小参数的强非线性系统，l i a o ( 廖世俊) 提出同伦分析方法 研究有代数衰减振幅的正阻尼系统的自由振动 3 9 】。h e ( 何吉欢) 提出同伦摄动 2 法【4 0 】、变分迭代法【4 1 、线化和校i e g 去 4 2 。q i u ( 丘水生) 等提出等效小参数 法结合谐波分析研究脉冲宽度调制开关变换器 4 3 4 5 1 。w u ( 吴柏生) 等提出线 性化方法结合谐波平衡法研究有惯量和静力非线性的保守系统的大幅振动 4 6 。 上述研究强非线性振动的方法各有其优点，但目前肖无通用有效的方法，很 多研究工作正在继续开展。 在振动系统中，若质量、阻尼、刚度或干扰力等参数在一个振动周期内仅发 生微小变化，则该系统为慢变参数系统【5 。慢变参数系统广泛出现于工程技术 问题中，例如，自由电子激光的锥形振动器( t a p e r e d w i g g l e r ) 的振幅是慢变的 4 7 】， 不对称的行星运动是一个慢变的万有引力场 4 8 1 ，发电机的转轴表面的裂纹引起 转子刚度发生缓慢变化 7 ，线性介质在传播方向上缓慢改变折射率 4 9 ，测量货 车机械系统( w a g o n - m e a s u r i n g m e c h a n i s m s y s t e m ) j 5 0 】，深矿井提升电缆( d e e p m i n e h o i s t i n gc a b l e ) j 5 1 】，慢变质量的连续转子 5 2 1 ，带电的粒子在慢变磁场的运动 4 8 】， 卫星绕行星旋转的同轨运动 5 3 1 等等。 对于带慢变参数的非线性振动，k e v o r k i a n 在 5 4 】中给出一个简单的例子揭 示：如果不是选择恰当的快、慢尺度，传统的多时间尺度法失效。对于带慢变参 数的弱非线性振动，n a y f e h 用多尺度法研究质量或长度慢变的单摆 1 】， m i t r o p o l s k y 提出k b m 法用于研究自治、非自治的慢变系统的振动【5 】，闻邦椿 等应用k b m 法研究矿井提升机、转子等工程问题 7 】，陈予恕应用k b m 法研究 具有任意个准循环坐标的多自由度系统的非定常解 8 】。最近，m i t r o p o l s k y 等推 广k b m 法用于有时滞的弱非线性慢变参数振动 5 5 1 ，k o v a c i c 推广场方法( f i e l d m e t h o d ) 用于研究带慢变参数的弱非线性振动 5 6 】，a l a r n 等将统一的k b m 法用 于研究带慢变参数的n 阶非线性系统的瞬态响应和阻尼非线性系统 5 7 ，5 8 】。 对于带慢变参数的强非线性振动，1 9 5 9 年，k u z m a k 5 9 最先提出两变量展 开法研究 参地， ) 等+ g ( _ y ， ) _ o ( 1 - 1 ) 其中f = 8 t 是慢变尺度。k u z m a k 得到首阶渐近解但没有给出决定慢变相位的方 程。1 9 6 3 年，l u k e 在关于非线性拟周期波的论文 6 0 】中将k u z m a k 的方法拓展 到高阶并给出关于快尺度解的周期解性条件。1 9 81 年，k e v o r k i a n 和c o l e 在专 著 5 4 】中介绍了k u z m a k l u k e 方法并应用于分析立方非线性振动。1 9 8 8 年， b o u r l a n d 和h a b e r m a n 研究强非线性振动 参+ 州弘警+ ，* o 其中y ( 儿7 ) 是非线性势能且 ( y ，掣，7 ) 是宰的奇函数。与k l l z m a k 不同，他们认 d td t 为在快变尺度中存在周相移动( p h a s es h i 嘞并推导出确定周相移动的二阶微分方 程 6 1 。1 9 8 7 年，k e v o r k i a n 在其综述文章 4 8 】中应用多种摄动技术，如拟恒等变 换( k b 变换) 、y o nz e i p e l 法、多尺度法、平均法、绝热不变量( a d i a b a t i ci n v a r i a n t ) 等系统地研究所谓的带慢变参数的强非线性振动系统的标准型 孥= c f ( p q ， ；占) ，m = l ，2 ，m a t 皇： = 国。( p ；，f ) + 占g 。( p ，q ，7 ；s ) ，z ：l ，2 ， 包括方程( 1 - 1 ) 在内的许多振动方程，如非线性波、重返大气层飞行器、带电粒子 的动力学方程都可以转化为上述标准型。k e v o r k i a n 还证明多尺度法和平均法的 一阶渐近解完全相同并指出二阶渐近解也等价。1 9 8 8 年，k e v o r m a n 和l i ( 李怡 平) 系统地研究方程( 1 1 ) ，重新推导并简化了k u z m a k - l u k e 计算高阶渐近解的 方法并与拟恒等变换法进行比较 6 2 】。该文还应用f o u r i e r 级数展开法和近似势 能法克服由非线性带来的求方程( 1 1 ) 的派生方程( 占= 0 时) 解的困难。l i 、b o s l e y 和k e v o r l d a n 还将k u z m a k - l u k e 方法应用于研究自由电子激光 4 7 ，6 3 】。相关的 研究也可见k e v o r k i a n 和c o l e 的另一专著( 6 4 】。1 9 9 1 年，y u s t e 拓展c o p p o l a 和 r a n d 的e k b 法 1 5 ，6 5 】用于求得带慢变参数的d u f t i n g 方程 兰 ( f ) 司+ c 。( 7 ) 石+ c ，( f ) z 3 + e f ( x ，j ，f ) = 0 “ 的首阶渐近解并具体研究了变质量、线性阻尼的拟纯粹立方振动( q u a s i - p u r e c u b i c o s c i l l a t o r ) 和慢变长度的单摆【6 6 】。1 9 9 5 年，c v e f i e a n i n 应用绝热不变量结合e k b 法求得拟纯粹立方振动 置+ c 3 ( f ) x 3 = e f ( x ，量，f ) 的渐近解 6 7 】。 4 对于一般的带慢变参数的强非线性振动，多数摄动法难于直接应用，目前也 未见用于解决此类问题的其它较有效的摄动法，这使得这类问题的研究显得很棘 手。本文试图在这方面开展一些研究。 1 2 本文的工作 在第二章中，k u z m a k - l u k e 的多尺度法【5 9 ，6 0 拓展应用于一般形式的带慢 变参数的强非线性振动系统 窘+ g ( y = 州h 瓦d y ) ( 1 - 2 ) 其中7 = 占t 是慢尺度。g 和h 为任意的非线性函数且假设当= 0 时，派生方程 有周期解。方程( 1 2 ) 的解的周期性用于确定快尺度t + ，k u z m a k 将它定义为 车。( f ) 。求得确定( f ) 的方程为 嘉 r 后却) 一r ( 厂，f ) 厶却= o 其中y 。= 厂( 妒，f ) 为首阶渐近解而妒= t + + 。 线性振动 窘+ 口( ) y + b ( m 2 = 碳) 鲁 理论结果还应用于平方、立方非 ( 1 - 3 ) 窘+ 口l ( 跏+ 6 l ( 跏3 谢渺， ) 等( 1 - 4 ) 对于系数的不同符号组合，详细推导了用不同的椭圆函数表示的渐近解。两个典 型的算例：广义v a i l d e rp 0 1 振动和慢变长度的单摆证实本方法的有效性。 在第三章中，戴世强和庄峰青的广义k b m 法【2 l 】拓展应用于方程( 1 2 ) ，理 论上可以得到系统的任意阶渐近解。此方法可视为k b m 和e k b 法的推广。本 文还具体研究有多项式阻尼的立方非线性振动 窘+ c i ( 砂c ：( 桫哦彬) 睦) “ ( 1 - 5 ) 其中，l 是正整数。三个典型的算例：广义v o n d e r p o l 振动，r a y l e i g h 方程和慢变 5 长度的单摆的渐近结果与数值解相当一致，表明此方法是有效的。通过比较，还 证明了此广义k b m 法与k u z m a k l u k e 的多尺度法的首阶渐近解等价。 应用摄动法研究强非线性振动方程( 1 1 ) 时经常遇到这样的困难：对一般的非 线性函数g ( y ，f ) ，方程( 1 一1 ) 的派生方程p = o ) 的解无法用已知函数表示。在第 四章中，由李怡平在 6 8 】中首次提出的近似势能法用于解决这个困难。在 6 8 】中， 非线性振动系统的势能用三次多项式近似表示使得方程( 1 1 ) 的首阶渐近解可以 用椭圆函数表示。对某些势能函数矿( y ，f ) = f g ( “，f ) 出为m 形，u 形和w 形的 强非线性振动，我们寻找四次多项式去近似势畿使得首阶渐近解可以用椭圆函数 表示。此方法还应用于计算从慢变振动系统势能井逃逸的时间。与t a y l o r 级数展 开法相比，此方法的优点是它对大幅振动有效。多个算例的比较表明此方法与数 值方法的结果相当一致，而当振幅不是很小时，t a y l o r 展开法有较大的误差。 在第五章中，一种等效非线性化方法首次提出用于克服方程( 1 一1 ) 中某些类型 非线性函数g ( y ，f ) 带来的困难。这种方法是用二次或三次多项式p ( y ，f ) 去近似 非线性函数g ( y ，7 ) ，使得方程的首次近似解可以用椭圆函数表示。最小二乘法 用于确定近似多项式的系数，即要求下式取最小值 r 1 ( g ( y ，f ) 一p ( y ，7 ) ) 2 妙斗r a i n 其中y l 和y ：根据势能函数y ( y ，f ) = f g ( “，f ) 出确定的振动范围选择。本方法还 应用于研究自由电子激光的电子振动方程 6 2 ，方程( 2 2 3 ) 】，得到比近似势能法和 f o u r i e r 级数展开法 6 2 】更精确的解。与t a y l o r 级数展开法相比，此方法的优点是 它对大幅振动有效。此方法的结果与t a y l o r 展开法、数值解的结果的比较表明此 方法是有效的。 负阻尼或外激励的作用可使振动系统的振幅在振动过程中逐渐增大，晟终从 势能井逃逸并终止振荡现象。从势能井逃逸往往等同于系统的失败。为了让系统 在振动状态下运行，我们必须控制从势能井逃逸的时间。第六章将详细研究从有 负阻尼的平方非线性振动系统( _ j ( y ，f ) 0 时，v 在y 。= 0 有极小值，因此方程( 2 1 8 ) 在y 。= 0 附近有周期解，其振动中心 = 0 。当n ( 7 ) 。时，矿在胪一需有极，j 、值，相应地方i 呈( 2 _ 1 8 胁。= 一器附近 有周期解，其振动中心y ，= 一箦筹随时间的变化缓慢移动。 ( 1 ) 4 ( f ) 0 的情况 对于这种情况，j y 程( 2 - 1 8 ) 的解可以用j a c o b i 椭圆函数表示，假设 y 。= a o ( 7 ) c ，1 2 【殿( v ) 妒，v ( f ) 】- 口。( ) 但2 1 ) 其中妒= t + + ，而置( v ) 是关于模i 的第一类完全椭圆积分。将( 2 2 1 ) 式代入方 程( 2 - 1 8 ) 得 2 2 k 2 4 ( 1 一v ) + a b o + 丑；+ 彳。 4 t 0 2 k 2 ( 2 v 1 ) + 口+ 2 厶占。 册2 ( “，v ) + 4 ( 鲥。一6 2 k 2 v ) 删4 ( “，v ) = 0 陀2 2 ) 其中