（应用数学专业论文）sturmliouville算子及akns算子的逆问题.pdf

t h ei n v e r s ep r o b l e mo ft h es t u r m l i o u v i l l e o p e r a t o ra n d t h ea k n s o p e r a t o r ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：a is h u l i s u p e r v i s o r ：p r o f w e ig u a n g s h e n g c h a n g a nu n i v e r s i t y , x i a n ，c h i n a 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论 文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成 果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：支硝利乃j o 年乡月乃日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属学校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请 专利等权利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的 学术论文或成果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 2 。p 年月加日 2 0 l o 年6 月7 , o 日 割 t 树 广 妨乡 名 孔 别 名 作 节 划 师 摘要 微分算子理论主要研究如下两个方面：特征值和特征函数以及将任意函数按 特征值、特征函数展开成级数( 或积分) ；基于一定的谱数据寻求微分算子的存在唯 一性以及重构。前者称为微分算子的谱分析，后者称为逆谱问题。微分算子理论 在数学物理、力学等领域有着广泛应用。本文主要研究具有重要理论和应用价值 的s t u r m l i o u v i l l e 算子和a l ( n s 算子的逆特征值问题。 众所周知，b o r g 已经证明了两组完整的谱可以确定一个s t u r m - l i o u v i l l e 算子 或a k n s 算子( 即势函数和边值条件) 。另一方面，有反例表明，当一组谱中缺失部分 特征值时，势函数不能被唯一确定。此外，h o c h s t a d t 曾证明在已知一组谱和一组缺失 有限个特征值的谱时，势函数可以通过方程的解确定。 本文对s t u r m - l i o u v i l l e 问题的研究将应用h o c h s t a d t 的方法，考虑由三组谱确定势 函数和边值条件的问题，即证明s t u r m - l i o u v i u e 问题的势函数可以由【o ，1 1 区间上的一 组整谱和【0 ，口】、【o ，1 】( 0 口 1 ) 区间上的两组部分谱唯一确定。特别地，在这两个区 间内，分别可以去掉任意一个特征值，势函数仍可以被唯一确定。 在上述问题研究的基础上，进一步研究定义在l 2 ( 【0 ，1 】，c 2 ) 上的a k n s 算子的逆问 题。证明在k1 1 ( o 口 1 ) 区间上的势函数已知的情况下，用两组部分谱可以确 定f 0 ，1 1 区间的势函数。 关键词：逆问题，特征值，特征函数，谱，s t u r m - l i o u v i l l e 问题，a k n s 问题 a b s t r a c t d i f f e r e n t i a lo p e r a t o rt h e o r ym a i n l yc o n c e r n st w oa s p e c t s o n ei st h ee i g e n v a l u e s ，e i g e n f u n c t i o n sa n de x p a n d i n ga n yf u n c t i o ni nt e r m so fs e r i e s ( o ri n t e g r a t i o n ) b ye i g e n v a l u e sa n d e i g e n f u n c t i o n s t h eo t h e ri st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dr e c o n s t r u c t i o no fa d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r t h ef o r m e ri sc a l l e dt h es p e c t r aa n a l y s i so fad i f f e r e n t i a lo p e r a t o ra n dt h el a t t e ri st h e i n v e r s es p e c t r ap r o b l e m t h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o rt h e o r yh a sm a n ya p p l i c a t i o n si nt h ef i e l d o fm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，m e c h a n i c sa n ds oo n i nt h i sp a p e r , w em a i n l yc o n s i d e rt h ei n v e r s e p r o b l e mf o rb o t ho ft h es t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o ra n dt h ea k n so p e r a t o rw h oh a v ei m p o r t a n t t h e o r ya n da p p l i c a t i o nv a l u e s a sw ea l lk n o w , b o r gh a sp r o v e dt h a tas t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o ro ra na k n so p e r a t o r ( a e t h ep o t e n t i a la n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ) c a nb ed e t e r m i n e db yt w of u l ls p e c t r a l b e s i d e s ， t h e r ea l ec o u n t e r - e x a m p l e si m p l yt h a tw h e ns o m ee i g e n v a l u e sa l em i s s e di no n es p e c t r u m ，t h e p o t e n t i a lc a l ln o tb ed e t e r m i n e du n i q u e l y f u r t h e r m o r e ，h o c h s t a d th a sp r o v e dt h a tw h e nw e k n o wo n ef u l ls p e c t r u ma n do n ep a r t i a ls p e c t r u mi nw h i c hf i n i t en u m b e r so fe i g e n v a l u e sa l e m i s s e d ，t h ep o t e n t i a lc a nb ed e t e r m i n e db yt h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s f o rt h ei n v e r s es t u r m - l i o u v i u ep r o b l e mi nt h i sp a p e r , w eu s et h em e t h o do f h o c h s t a d t sa n dc o n s i d e rt h ep r o b l e mo fd e t e r m i n i n gt h ep o t e n t i a la n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s b yt h r e es p e c t r a t h a ti st op r o v et h a tt h ep o t e n t i a lo n 【0 ，1 】c a nb eu n i q u e l yd e t e r m i n e db yaf u l l s p e c t r u mo n 0 ，1 】a n dt w op a r t i a ls p e c t r ao n 0 ，口】a n d 【o ，1 】( 0 口 1 ) r e s p e c t i v e l y o nb o t h o ft h e s et w o s u b i n t e r v a l ，a n yo n eo f t h ee i g e n v a l u e sc a i lb em i s s e di ne a c hi n t e r v a lr e s p e c t i v e l y a f t e rt h e s et w oe i g e n v a l u e sb e i n gm i s s e d ，t h ep o t e n t i a l sc a na l s ob eu n i q u e l yd e t e r m i n e d b a s i n go nt h es t u d y i n go ft h ea b o v ep r o b l e m ，w ec o n s i d e rt h ei n v e r s ep r o b l e mo ft h e a k n s o p e r a t o rd e f i n i n go nl 2 ( o ，l 】，c w ep r o v et h a tu n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ep o t e n t i a l o nt h ei n t e r v a l 【口，1 】( 0 o 0 ，0 2 ，变换算子( t r a n s f o m a t i o n 叩e r a t o r s ) 的结构比s t u r m l i o u v i u e 算 子更复杂，这使得应用它们解决逆问题更困难。然而，在解析系数的情况下，变换 算子和s t u r m - l i o u v i l l e 算子有相同的“三角”形式。s a l d m o v i c h 唧和k h a c h a t r y a n 应用 “三角 变换算子研究了由谱函数恢复半无界区间上带有解析系数的自伴微分算子的 逆问题和逆散射问题。 逆谱理论的一个更有效的方法是结合周线积分思想的谱映射方法。l e v i n s o n 嘲首 次将周线积分思想应用于s t u r m , l i o u v i l l e 算子( 1 1 3 ) 的逆问题的研究。l e i b e n s o n 将l e v i n s o n 的这一思想进一步推广，研究了在谱“分离的限制条件下( 1 1 6 ) 的有 界区间上的逆问题。微分算子( 1 1 6 ) 的特定边值问题的谱和加权数( w e i g h tn u m b e r s ) 作 为逆问题的谱数据。( 1 1 6 ) 在有限区间内的逆谱问题的研究参见【2 8 】。微分算子在半无 界区间上的讨论更为复杂，尤其是非自伴( n o n s e l f a d j o i n t ) 的情况。w e y l 矩阵的概念和 周线积分思想的发展促使了非自伴微分算子( 1 1 6 ) 的逆问题理论的产生。 高阶微分算子逆问题的研究可以参见【2 9 】和【3 i ) 】。高阶微分算子的不完全逆问 题( i m c o m p l e t ei n v e r s ep r o b l e m s ) 及其应用参见【3 l 】和【3 2 】。对于这类逆问题，使用了 标准模型( s t a n d a r dm o d e l s ) 的方法，给出了一大类不完全逆问题的构造性解。这个方 法同样被应用于梁( b e a m ) 参数由自然振动( n a t u r a lo s c i l l a t i o n s ) 的频率确定时的弹性理 论( e l a s t i c i t yt h e o 哆) 的逆问题中。这个问题可以简化为由w e y l 函数确定四阶微分算子 ( 胪( z ) 门= a h ( x ) y ，p = 1 ，2 ，3 关于微分方程的逆问题有许多文章。一些系统与s t u r m - l i o u v i l l e 算子类似。例 如d i r a c 系统。但是一般情况下，系统的逆问题是复杂的，如算子( 1 1 6 ) 。相关内容可 参见【3 3 】和【3 4 】。 所谓s t u r m l i o u v i l l e 问题，就是要解决： 【1 】 ， i 一( z ) y ，) ，+ q ( x ) y = a y ， 可( o ) c o s q + p ( 口) y 7a ) s i n a = 0 ( 1 1 7 ) i ( 6 ) c o s l 3 + p ( 6 ) 可，( 6 ) s i n ? = 0 ， 是否存在特征值与特征函数? 【2 】对于【a ，6 】上给定的函数( x ) ，能否按特征函数系展开? 3 第一章引言 1 8 3 6 年。s t u r m 和l i o u v i l l e 在期刊d em a t h 6 m a t i q u e 上的同一期上发表文章，讨论如 下微分方程边值问题： 一秒+ q ( x ) v = 入y ，0 z 1 ( 1 1 8 ) 其中入是复参数，口是在区间【o ，1 】上平方可积的实值函数。s t u r m 和l i o u v i l l e 提出问 题：方程( 1 1 8 ) 是否存在满足边值条件 v ( o ) c o s o e + y 7 ( o ) s i n a = 0 ，v ( 1 ) c o s 卢+ 矿( 1 ) s i n f l = 0 ( 1 1 9 ) 的非平凡解。其中q ，卢是实数，且q ，卢【0 ，7 r ) 。 b o r g 对逆s t u r m - l i o u v i l l e 问题的研究做出了巨大贡献嘲，他的研究为这一学科 的发展奠定了重要基础。b o r g 的结果的很多证明是由l e v i n s o n 给出的嗍。1 9 7 3 年， h o c h s t a d t 证明了势函数可以由一整组谱和缺失有限个特征值的另外一组谱唯一确 定口6 1 。缺少的特征值可以用方程的解代替。这一结果已经被广泛推广，如推广到弦方 程鲫，加权的s t u r m - l i o u v i l l e 问题3 射，左定的s t u r m l i o u v i l l e 方程眇1 等等。 近期，g e s z t e s ys i m o n 证明了三组谱可以唯一确定势函数嗍。对于方程一圹+ g ( z ) = a 2 y ，p i v o v a r c l m 【也证明了它的势函数可以由三组谱唯一确定m 1 。至于振动 方程，p i v o v a r c h i k 证明了由三组谱可以唯一确定振动方程嗍。更多的相关文献可以参 见【4 3 】和m 】。 d i r a c 算子逆问题的研究与s t u r m - l i o u v i l l e 算子的逆问题的研究有很多类似之 处。a r i a t y u n y a n 4 5 1 模挖5 lm a r c h e n k o 定理闱，他证明了特征值a n ，n = 0 ，士1 ，4 - 2 ，和 正规化系数q n = l i v 1 l t l 2 ( o ，1 ) ) 2 ，t t , = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ，( ，i ( o ) = s i na ，y n ，2 ( o ) = 一c o sa ) 唯 一确定势函数q ( x ) 。m a l a m u d 将b o r g 定理翻做了推广，他证明了一个算子在一侧 边值条件不同，另一侧相同的两个边值问题的谱唯一确定势函数。他还证明 了h o c h s t a d t 和l i e b e r m a n 定理结论的推广，即一组谱和( 0 ，万1 ) 区间的势函数可以唯 一确定整个区间( 0 ，1 ) 上的势函数。 1 2a k n s 算子谱与逆谱问题的研究现状 广义量子力学的研究对象主要是有穷多个自由度的场，这时粒子可以产生、湮灭 和相互转化，系统的粒子可以不守恒，理论是相对论的。为了描述广义量子力学的基 本方程，1 9 2 6 年，k l e i n 和g o r d o n 提出了描述自由电子的相对论性波动方程，即 ( i 危晏+ y ) 2 矽= ( 一h 2 c 2 v 2 + m 2 c 4 ) 矽， ( 1 2 1 ) 4 长安大学硕士学位论文 砂= ( 篡三) ， p ( r ，t ) = 砜( r ，) = 妒( n ) + 矽( r ，t ) ， ( 1 2 2 ) 显然由( 1 2 2 ) 式定义的p ( n t ) 是正定的。1 9 2 8 年，d i r a c 提出了自由电子的波动方程组 形式 丢爰他( n 亡) + ( 。t j v f j + 警岛仍) = o ， ( 1 2 3 ) 或写成向量形式 i l i - - 爰 d 22 ( - i 耽a 。v + m c 2 3 ) b ， ( 1 2 4 ) 这就是自由电子的d i r a c 方程，其中矽( r ，t ) 为多分量波函数，o l = ( o l l ，o r 2 ，q 3 ) ，o t l ，o r 2 ， 0 1 3 ，口都是共轭对称的n n 矩阵且满足： 1 ) o l ；= q ；= 翻= ， 2 ) o t i q j + 哟叱= 0 ， ( 1 2 5 ) 3 ) q t 卢+ 届q i = 0 5 第一章引言 如果粒子所处的势场为v ，则d i r a c 方程为： i 危爰妒= ( 一 阮q 。v + m c 2 卢+ q y ) 妒， 其中矽( r ，t ) 为多分量波函数，o t = ( o t l ，q 2 ，0 1 3 ) ，q 1 ，q 2 ，q 3 ，p 都是共轭对称矩阵且 满足( 1 2 5 ) 。 另一方面，令( m ，g m ，厂) 是一个0 + g ) 维黎曼流形( r i e m a n n i a nm a n i f o l d ) ，厂是 维( c o d i m e n s i o n ) 为q 的叶状结构( f o l i a t i o n ) ，g m 是与厂相关的类丛度量( b u n d l e - l i k e m e t r i c ) 。 回忆由厂的正切丛( t a n g e n tb u n d l e ) l 和法丛( n o r m a lb u n d l e ) q 确定的序列 0 一lj t m - 5q 一0 9 m 是一个类丛度量的假设意味着在法丛q 笺l 上上的诱导度量( i 1 1 d u c e dm e t r i c ) 9 q 对所 有的x r l 都满足和乐群不变性条件( t h eh o l o n o m yi n v a r i a n c ec o n d i t i o n ) o ( x ) g q = 0 ， 其中o ( x ) 表示关于x 的李导数( l i ed e r i v a t i v e ) 。 对于一个特异的区域“cm ，“中厂的叶( 1 e a v e s ) 作为一个黎曼淹没( r i e m a n n i a n s u b m e r s i o n ) ，：“- 1 夕cn 的纤维( f i b e r s ) 给定，这里1 夕是黎曼流形n 的一个开子集。 对于交叠区域以n ，上相应的局部转移函数( 1 0 c a lt r a n s i t i o nf u n c t i o n s ) a = 厶。方1 是等距同构( i s o m e t r i e s ) 。进一步，记v 为厂的法丛q = t m l 的典范联 络( c a n o n i c a lc o n n e c t i o n ) 。它的定义是 v x s = 丌( x ，k 】) x r 三，v x s = 7 r ( v 磐k ) x r l 上， ( 1 2 6 ) 其中s r q ，相应于s ，在典范同构( c a n o n i c a li s o m o r p h i s m ) l 上竺q 下k f l 上。联 络v 是可度量的，无扰的( t o r s i o n f r e e ) 。它对应于模型空间n 的黎曼联络踟。v 的曲 率( c u r v a t u r e ) 矽定义如下 f 嗄y = v x v y v y v x v x ，y 】，x ，y t m 因为对于任意的x r 己叩，有i ( x ) 胪= 0 ，所以我们可以定义厂的里奇曲率( r i c c i c u r v a t u r e ) p v ：r q r q 和标量曲率( s c a l a rc u r v a t u r e ) a v 为 ，( s ) = 崛玩，严= 如( ，( r ) ，e o ) ， 其中 日 。：1 ，2 ，口是q 的一组正交基。如果模型空间n 是爱因斯坦的( e i n s t e i n i a n ) ，那 么厂称为爱因斯坦的，即 ，= l 口a y i d ， ( 1 2 7 ) 长安大学硕士学位论文 其中仃v 是常横向标量曲率( c o n s t a n tt r a n s v e r s a ls c a l a rc u r v a t u r e ) 。 厂的第二个基本形式为 q ( x ，y ) = 7 i - ( v f r ) x ，y f l ( 1 2 8 ) a 为q 一值，双线性，对称的。 厂的平均曲率向量域( m e a nc u r v a t u r ev e c t o rf i e l d ) 定义为： 7 - = q ( 岛，忍) ， ( 1 2 9 ) i 其中 最) 扛1 2 i p 是l 的一组正交基。l 的平均曲率形式，对偶形式( d u a lf o r m ) 一；定义为 k ( x ) = 夕q ( 7 ，x ) x r q ( 1 2 1 0 ) 如果k = 0 ，叶状结构厂称为最小的( 或调和的) 。 令q 刍( 厂) 是所有基本r 形式的空间( b a s i cr - f o r m s ) ，即 q 夸( 厂) = q 7 ( m ) i l ( x ) = 0 ，秽( x ) 咖= 0 x r l 如果k q 刍( 一，厂称为是等参的( i s o p a r a m e t r i c ) 。已知仡是闭的，即，如果厂是等参 的，则如= 0 。因为外导数( e x t e r i o r d e r i v a t i v e ) 保持基本形式( 即对于( 厂) ，p ( x ) d e = 0n i ( x ) d = o ) ，限制定义为d b = d l n b ( 一。d b 的伴随算子如为 如= ( 一1 ) q ( r + 1 ) + 1 军( d b k b 八) ；i 咖咖q 刍( 芦) ， ( 1 2 11 ) 其中k b 是k 的基本分量且辜：q 岛( 厂) - - 4 q 分7 ( 厂) 是一个星号算子( s t a ro p e r a t o r ) 嗍。 q 刍( 厂) 上的基本l a p l a c e 作用( t h eb a s i cl a p l a c i a na c t i n g ) 定义为 a b = d b 6 b + 6 b d b 如果厂是由m 组成的叶状结构，基本l a p l a c e 算子是普通l a p l a c e 算子( o r d i n a r yl a p l a c i a n ) 。 在欧几里得分割函数( e u c l i d e a np a r t i t i o nf u n c t i o n ) 中积分出，费米子( f e r m i o n s ) 得 - n | z = 肛a 】d e t i d ( a ) 一m i l e x p - s a 1 ， ( 1 2 1 2 ) 。 i = 1 其中s a 】是纯规范理论作用( p u r eg a u g et h e o r ya c t i o n ) 。这包括d i r a c 算子d 的行列式。 估计这个行列式的一个方法是正规化这个理论使之有有限个d i r a c 算子的特征值扎。 第一章引言 这个理论的一个正规化( r e g u l a r i z a t i o n ) 已经存在，即有有限个格点间隔。和有限四 维体积( f o u r - v o l u m e ) v 的格规范理论( 1 a t t i c eg a u g et h e o r y ) 。由手征对称( c h i r a ls y m m e t r y ) 和指标定理( i n d e xt h e o r e m ) 知d i r a c 算子的谱是约束的：谱密度j d ( a ) 是关于原点对 称的，即p ( 入) = j d ( 一a ) ，且对于给定的规范区域构形( g a u g e f i e l dc o n f i g u r a t i o n ) ，存在 数7 是零模态的( z e r om o d e s ) 。 剩余特征向量的分布是怎样的? 谱密度给出了无序的特征值集的总体分布，但 是仍然存在更多的细节问题。格规范理论方法为这些问题提供了重要依据。对于每 一个规范区域构形，可以得到d i r a c 算子的一系列的特征值入t 。这里，由于谱对称， 只考虑个正特征值。将这些特征值按大小排序得入1 a 2 1 m ，n 芝1 ，m # n 进一步，如果m 1 ) 是一平方可和的复数序列，那么 证明由已知条件， i i ( 1 + 口m n 6 n ) o o m ，n 1 ，m n 哪nb l c z ，m # n 南，n ，几1 ，m n仇，n 1 ， 。 其中c 为大于零的常数。上式右端可以被估计成 哪蠹如南=。 1 = 0 ( l 。佗g n ) 在这些圆周上是一致的。 引理2 1 3 设( m 1 ) 是一复数序列，满足 = m 2 7 r 2 + 0 ( 1 ) 那么，对于每一个n l ， 是关于入的整函数，且 i i 刁z m - - 万) 、= 互1 ( 一1 ) 州i + 0 ( l 。n g n ) ) 在a = n 2 7 r 2 + o ( 1 ) 上一致成立。 证明仅证明最后一个结论。由s i n 弧弧的乘积展开式，得 i 耐in 等笋：- - n 2 7 r 2 孤d 百s i nv 顷i a = n 2 。r 2 = 知州 由引理2 1 i 可知这与所给乘积之商 磊z f m - - 丽a = 1 + 0 ( l 。n g n ) 对于入= n 2 7 1 - 2 + d ( 1 ) 是一致的。 2 2 亚纯函数相关知识 本节回顾与微分算子相关的亚纯函数的相关性质( 参见【5 2 】) 。 1 3 鬻 舢狮 m 第二章预备知识 如果函数f ( z ) 在点a 是解析的，周线c 全在点a 的某邻域内，并包围点a ，则根 据柯西积分定理 f ( z ) d z = 0 j c 但是，如果a 是f ( z ) 的一个孤立奇点，且周线c 全在a 的某个去心邻域内，并包围 点a ，则积分 l f ( z ) d z j c 的值，一般来说，不再为零。并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起 来，有 定义2 2 1 设函数f ( z ) 以有限点a 为孤立奇点，即f ( z ) 在点a 的某去心邻域0 k a i r 内解析，则称积分 去化) 烈r i z _ 0 i = 则 p r ) 为f ( z ) 在a 的留数，记为r e s f ( z ) 。 ：= a 由柯西积分定理可知，当0 p r 时，留数的值与p 无关，利用洛朗系数公式有 2 r - - 1 - i 。f ( 如c - 1 ， ( 2 2 1 ) 即 r e s f ( z ) = c 1 ：= 口 这里c 一1 是，( z ) 在z = n 处的洛朗展式中z l - - 五这一项的系数。 由此可知，函数在有限可去奇点处的留数为零。 引理2 2 2 ( 柯西留数定理) y ( z ) 在周线或复周线c 所范围的区域d 内，除a 1 ，a 2 ，a n 外 解析，在闭域d + d + c 上除口1 ，a 2 ，a n 外连续，则( “大范围 积分) 上化) d z = 2 7 r i 篇z r e s 。f ( 巩 ( 2 2 2 ) 引理2 2 3 设口为f ( z ) 的佗阶极点， m = ) 赫， 其中妒( z ) 在点。解析，妒( n ) 0 ，则 r e s f ( 加锱 ( 2 2 3 ) 1 4 长安大学硕士学位论文 这里符号妒( o ) ( 口) 代表q o ( a ) ，且有妒- 1 ) ( o ) = l i m 咿( n - 1 ) ( z ) 。 z - f a 推论2 2 4 设a 为f ( z ) 的一阶极点， 则 妒( z ) = ( z n ) ，( z ) ， r t e sf ( z ) = 妒( o ) 名= 口 推论2 2 5 设a 为y ( z ) 的二阶极点， 妒( z ) = ( z o ) 2 ，( z ) ， ( 2 2 4 ) 则 r e sf ( z ) = 妒7 ( n ) ( 2 2 5 ) 引理2 2 6 设n 为，( z ) = 籍的一阶极点( 只要妒( z ) 及矽( z ) 在点口解析，且妒( n ) 0 ，矽( n ) = 0 ，( o ) 0 ) ，则 r e s y ( 扣端 ：= d z 矿i 皿- 留数的概念可以推广到无穷远点的情形。 定义2 2 7 设。为函数f ( z ) 的一个孤立奇点，即y ( z ) 在去心邻域n 一 ：0 ， h r ) 为y ( z ) 在点。的留数，记为r e s ：。of ( z ) ，这里f 一是指顺时针方向( 这个方向很自然 地可以看作是绕无穷远点的正向) 。 引理2 2 8 如果函数，( z ) 在扩充口平面上只有有限个孤立奇点( 包括无穷远点在 内) ，设为a l ，口2 ，a n ，o o ，则( z ) 在各点的留数总和为零。 本章主要回顾了无穷级数与亚纯函数相关内容，为后续章节的讨论奠定基础。 1 5 第三章s 球m - l i o i i e 问题的逆问题 长安大学硕士学位论文 又由u o ( x ) 满足第二边条件得 呦( 7 r ) c o s # + u ：( 丌) s i n b = c 【( 丌，a o ) c o s # + ( 7 r ，a o ) s i np 】 = 一( 入o ) = 0 ， 所以w ( 一x o ) = 0 。 另一方面，如果入。满足w ( a o ) = 0 ，那么由( 3 1 3 ) 得 ( 7 r ，a o ) c o s 5 + ( 7 r ，a o ) s i n b = 0 所以( z ，知) 满足方程( 3 1 1 ) 的两个边条件，因此它是特征函数，入。是特征值。证毕。 引理3 1 2设入= 8 2 ，s = 仃+ i t ，那么当入一。时，在0 z 7 1 上， 矽( z ，a ) = c o ss xs i na + o ( i s l 一1 e i 陋) ； ( z ，a ) = 一s s i n s x s i n a + o ( e 1 2 妒( z ，a ) = c 0 6s ( 7 r z ) s i nb + o ( i s l 一1 e 1 2 i ( 万一。) ； 妒7 ( z ，入) = 一s s i n s ( t r z ) s i n f l + d ( e _ 一z ) 一致成立。 证明把咖( 入) 看成是 的解。那么( z ，入) 满足 ( z ，a ) = c o s s x s i nc t 一了s i n s xc o s a + 1f o s i n s ( z 一洲) 媳入) 武 ( 3 1 4 ) 设( z ，入) = e l t l z f ( x ，入) ，代入上式得 f ( x ，入) 设 c o s s x s i n a 一了s i n s x c o s ae - l t l z + lf o x s i n s ( s 一) e 删z 一) 飚入) p ( 入) 2 晌m a x 丌i f ( z ，姚 1 7 认 口 z 2 d ，l c 托肌 叱 叫咖 一 扩 = = 斗q “”吖、 第三章s t u r m l i o u v i l l e 问题的逆问题 又 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 长安大学硕士学位论文 假设入不是( 3 1 1 ) 的特征值。若( 3 1 7 ) 的解存在，设为圣( 。，a ) ，那么 圣( z ，a ) = q 砂( z ，a ) + q 矽( z ，a ) + ! ，( z ，a ) ，( 3 1 8 ) 其中( z ，a ) 、矽( z ，a ) 同定理3 1 2 ，! ，( z ) 为( 3 i 7 ) 中的第一式，满足 y + ( o ，入) = y “( o ，a ) = 0 的特解。那么 以) = 丽1z 霉( 似，啪( ) 一北，砌( x , a ) ) 瓜) 必， 其中u ( 入) 是、妒的w r o n s k i 行列式( 见( 3 1 3 ) 式) 。 为求西( z ，入) ，先求( 3 1 8 ) 中的q 、岛，将( 3 1 。8 ) 代入第一边条件， q ( 妒( o ，入) c o so c + ( o ，入) s i na ) = q u ( a ) = 0 由于a 不是特征值，( 入) 0 ，所以q = 0 。将( 3 1 8 ) 代入第二边条件， 所以 那么 设 q ( 咖( 丌，, x ) c o s 9 + ( 7 r ，a ) s i n 3 ) + 焉z 霄( 蜥娥叫孙砌淞 + 丽s i n 9z 霄( ( ) 娥，a ) 一北砂协，a ) ) 瓜) 武 = 0 q = 一丽1 o 丌媳堋) ， 咆入) 2 丽- 1 o 地删洲玳) 武 + 南上( 地入) 蛾入) 一媳a ) 炮a ) ) 玳) 必 一南上能入) 妒( z ，入) 玳) 必 一南z ( z ，入) 矽( ，a ) 瓜) 必 忐壮 攀麓器 ， 第三章s t u r m l i o u v i l l e 问题的逆问题 长安大学硕士学位论文 因此，可以提出如下问题：有几种方式可以使得质量沿着弦分布产生所给定的 组频率? 如何识别一组数是一个振动方程的频率? l i o u v i l l e 提出当p 二阶连续可导 时，( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 可以转化为( 1 1 8 ) 和( 3 1 1 1 ) 。因此，逆d i r i c h l e t 问题可以被解释 为弦的纯音问题。 3 2 s t u r m l i o u v i l l e 问题逆问题的主要结论 考虑如下形式的s t u r m - l i o u v i u e 算子 l u ( x ) = 一让( z ) + q u ( x ) z 【0 ，1 】， ( 3 2 1 ) 满足边值条件 ( o ) + h 帕u ( o ) = 0 ( 3 2 2 ) 和 ( 1 ) + h l u ( 1 ) = 0 ， ( 3 2 3 ) 其中，九1 r 1 ，g 是实数且口l 1 o ，1 】。这样一个算子在h i l b e r t 空间己2 【o ，1 】内是自 伴的。令 九) 和 毗) 分别是l 在边值条件( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 下的谱和特征函数集。类似 地，令a ( 0 ，1 ) ，得到另外两个算子l 一在【0 ，a 】区间对应边值条件( 3 2 2 ) 和 ( 口) + h a u ( a ) = 0( 3 2 4 ) 的特征值是 p f ，；l + 在【a ，1 1 区间对应边值条件( 3 2 4 ) 和( 3 2 3 ) 的特征值是 p ；) 。 令g 被牙代替后，对应于与g 相同的边值条件，将得到另外三个算子三，三一和三+ ，设 它们的特征值分别为 九) ， 订) 和【豇产) 。那么，主要结论如下： 定理3 2 1 在上述假设和如下条件下， ( i ) 令a 一和a + 分别是p f = 订和p 产= 讨时特征值下标的无限集合，a i 和a 古分 别是盯订和p 豇产时特征值下标的有限集合。 ( i i ) 九) ， 酊) 和 p 产) 两两不相交。 九) ， 玎】和 口) 两两不相交。 那么 其中讶和啄满足 菇+ ( a n 一牙) 鳐= 0 ， 2 l j2，j ，l e e 口 口 0 1 o 口 z z 、l，、l， 一 砖 鳐 鲒 町时l，、【 i | _ g g 第三章s 1 r i 球m l i o u v i l l e 问题的逆问题 唁+ ( 入n g ) 啄= 0 鲒和砖满足 一 鲒+ ( k 一面) 站= 0 ， 咭+ ( 入n g ) 砖= 0 推论3 2 2 在定理1 的条件下，如果a o = o ) ，a o + = 1 0 ) ，那么q ( z ) = 牙( z ) 口e o 推论3 2 3 在定理1 的条件下，如果对于任意p ，f = 0 ，1 ，2 ，h o = 和) ，人吉= z ，且q ( a ) 一亘( 口) = 0 ，勇瞄么q ( z ) = 牙( 。) a e 。 3 3 证明 本节给出3 2 节中结论的证明。主要考虑算子己一和三一。对于算子l + 和三+ ，可 以用同样的方法得到类似的结果。 算子l 一是自伴算子，有离散谱且所有的特征值都是单重的。记 t ，一) 为特征函数 的集合。类似地，记 矛一 为三一的特征函数的集合。 引理3 3 1 首先定义两个h i l b e r t 空间，它们是l 2 0 ，a 】的子空间。 h 一= 厂l 2 0 ，a 】i ( 厂，町) = 0 ，i h o ， ( 3 3 1 ) h 一= 厂l 2 0 ，a 】i ( 厂，订) = 0 ，i h o ( 3 3 2 ) 由假设知，在日一内l 一的特征值和在雷一内三一的特征值相同。现在，对于i a 一， 定义一个算子t 一，它将h 一映射到膏一，那么( 入一三一) t _ ( 入一l - ) 一1 = t 一。 证明由定理3 2 1 的条件可得 t u 二= k 令，一日一，将，一展开成【蛎) 的形式得到 f 一= f 二吒 a 一 那么有 ，一 ( ，一，嵋) j n2 丽。 ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 长安大学硕士学位论文 如果入是复平面内不同于特征值的一个元素，算子( 入一l 一) _ 1 存在且是有界的紧算 子， ( 丁t 2 善甓 ( 3 3 6 ) 现在用t 一作用于( 3 3 6 ) 式得 t 一( a - l - ) q 厂= a - 舞。 ( 3 3 7 ) 为了证明( 3 3 7 ) 右端在无界算子一的范围内，利用结论 g = 肌坛 在三一的范围内的充分必要条件是 i 豇x g , , 1 2 。 n = o 善i 甓卜器 。a 一 ” n肛i o n ( 3 3 7 ) 式的右端在三一的范围内。y n y g 三一诟= p i 簖，所以 ( 入一三一) t 一( a l - ) 一1 ，一= t 一，一 ( a 一三一) 丁一( 入一i - ) 一1 = t