（概率论与数理统计专业论文）部分变量均值随组别变动情况下正态总体的统计推断.pdf

摘要 对试验单元重复测量得到的数据称为重复测量数据。它在社会科学，医学和金融 学等领域有着广泛的应用对重复测量数据正态模型人们往往用一个正交矩阵对观察 值进行正交变换，考察变换后的数据的特点，提出了本文所研究的问题 设p 维随机向量序列x h _ ，j 0 相互独立，来自具有相同协方差阵的正态分 布，五被划分为两部分，捌= ( 瑚”，磺”) ，这里砑是m 维随机向量，磺是 p _ m 维随机向量，i = 1 ，n ，j = 1 ，吼其中在第j 组有珊次观测，；：1 = n 假设x ；，瑚独立同分布，均值为p ( ”，碟) + 。，一，+ ，。，碟l + 。，j 独立同分 布，均值为p ；l j ，j = l ，口，参数，p ( ”，弘n ，p 扩皆未知肛( 2 ) 的极大似然估 计显然为：。碟，在协方差矩阵是一般情形下如何估计肛i l ) ，础”及其具有 这种均值变动特点的向量的协方差矩阵，进而做出统计推断，这是本论文主要研究的 问题 本论文分为六章，第一章给出了此间题的实际背景，第二章用条件分布和回归方 法给出了上述情况下各参数的极大似然估计，第三章讨论参数估计的性质，第四章给 出了检验问题肛；”一= 卢：l 的似然比检验统计量及其分布，第五章考虑了协方差 阵问题，最后一章给出了一个实例 关键词t重复测量，极大似然估计，正交变换，均值变动，条件分布，回归，似然比 检验，渐近分布 a b s t a c t r 印e a t e dm e a s u r e m e n t 8 ( r m ) a n a l y 8 i 8r e f e rt ot h ep o o u n go fo b s e r t i o n s0 na c r 0 8 s - s e c t i o no fh o u s e h o l d s ，6 r m s j e t ca v e rs e v e r a lt i m ep e r i o d 8 t h e ya r ew i d e l yu 8 e d i nm a i l yf i e l d s ，f o r 畎咖p l e ，t h e8 0 c i 出8 c i e n c e s ，f i n a n c ea n ds oo n f 0 rr md a t af r o m n o r m a ld i s t r i b u t i o n ，t h eo b 8 e r v a t i o n 8 甜eo f t e nt r a n s f o r m e db ya no r t h o g o n a lm a t r i ) ( b yo b s e r v i gt h ec h 盯a c t 凹i s t i c0 ft r a 璐f o r m e dd a t a ，w ep u tf o r w a r do l i rq u e 8 t i o n l e tp 1r a n d o mv e c t o r8 e r i e s 蜀，kw h i c ha r ed i s t r i b u t e da c c o r d i n gt o 吼1 1 t i v 扫旺i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o nw i t hc o m m o na n du n k n o w nc a w i a n c em a t r 政l e t 捌b ep a r t i t i o n e da ：8 ( 砑”，砖，) ，s l l c ht h a t 砑i sam 1v e c t o r 汪l ，m j = 1 ，口l e tx ：，x 嚣 b ei n d e p e n d e n ta n di d e l l t i c a ld i s t r i b u t i o nw i t hu n k n o w n m e a v e c t o rp ( 2 ) a n d 碟0 押，一l + l j ，碟+ 唧，jb ei i dw i t hu n k n o w nm e a nv e c _ t o rp ；，j = 1 ，口t h i 8t h 船i si 8d e v o t e dt os t u d y i n gh o wt oe s t i m a 七e 芦i ，p r a n dc o v 盯i a n c em a t r i x w i t hp ：u 、啊f y i n gw h e nc o v a r i a n c em a t r i xei sg e n e r a l s i xa s p e c t 8o fw o r ka r ec o n s i d e r e d t h e r s ta s p e c t 醇v 鹤t h ep r a c t i c a lb a c k g r o u n d 0 fq u e 8 t i o n t h e8 e c o n dg i v e sm a 对m u nl i k e h h o o de 8 t i m 砒i o no fp a r a m e t e r 8b yc o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o na n dr e g r e 8 8 i o nm e t h o d t h et h i r dd i 8 c u s s e ss o m ep r o p o s i t i o n so f p a r 咖e t e re s t i m a t i o n t h ef o u r t hg i 懈1 i k e l i h o o dr a t i ot e 8 ts t a t i 8 t i cf o rt e 8 t i n gp l 叫= = p r t h e 觚hc o n s i d e r sc o v a r i 8 皿c et e s tw h i 西i 8p u tf o r w 盯di nc h 印t e r0 n e t h e h i 出as m p k i s 百v e n 肫删。础n 们p 瑚e s j 鼬p e a t e dm e 删t e m e n t s ，m 商叫ml i k e l i h 0 0 de s t i m a t 嗵 o r t h o g o n a lt r a n s f o r m ，m e 8 nc h a n g e s ，c o n d i t i o n 8 ld i s t r i b u t i o n ，r e g r e s s i o n ， l i k e l i h o o dr a t i ot e s t ，a p p r 确m a t ed i s t r i b u t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发袭娥撰 霹过的研究成果。对本文的研究做出蘸嚣贡献盼个人和集体，均已在文中作了明确 说嗳劳表示谢意， 作者签名：丕楚三磊 日期： 学位论文使用授权的说明 口舌量 本人完全了解华东师范大学鸯荧缳露、使用学位论文的规定，学校有投绦辩擘 馥论文磬囱国家圭管部露或英攒定礁掏遴交论文翁毫孑激霸纸蓑敷。毒蔽将学攮谂 交用予菲赢裁强静豹少量复割势允洚蹬文进入学校国书锫被查阕。有投将学校论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。像胬的 学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 丕堂磊 o 面堂如 导师签名： 日期： 辑似 、 第一章问题的提出华东师范大学硕士论文1 第一章闻题的提出 重复溯爨( r 印e 越勰m e a s u r e ) 是指对蔺一观察对象( 受试者、瘸入、动物、植物、 机器等) 的同一观察指标在不同时问点上进行的多次测檄在生物医学上常称为l o n _ 枣t u d 泣a ld 8 媳，经济学上常称戈p 她dd 8 t 8 这类炎糕鼹来描述一个总体啦绘定撵 本在一段辩黼的情况，并对样本串每一个棒本单位都遴行多重蕊寨这种多薰观察既 包括对样本单位在某一时期( 时点) 上多个特性进行观察，也包括对该样本单位的这 蝗特性在一段时闻的述续观察。窀在医学、经济学、管理学、社会擎、心理学等等几乎 所有辩学研究领域内都哥觅到铡如在生豹学中，为了解某种生物艇长发育蹴律对其 嫩长过程进行追踪观察所得到的资料在临床医学研究中，为了解病人的瘸情变化对 毒关病情靛测拯豫进赞连续的装溅熙碍刭的疑辩。在环境葶； 学中，对睡一个撼区在不 瓣时闯点上的污染勃掰测量的炎辩。在毒秘教骑试验率，将某种纯食物给予受孕罐瓿 以观察每一胎中胎鼠的畸胎数或张亡数，也属于重复测撼资料。因为同一胎的胎鼠对 凑物的反皮豢震，较幂阉骀螅舱鼠对毒物的发痘素质雯共有一致热。在： 生会辩学孛， 舞霹最著名酌两个p a 艄ld a t 8 数据集，一个是俄亥俄大学酶全国遗踪调查n l s ) 数据集( t h en a t i o n a ll o n 西t u d i n 献s u r v e y 8o fl a b o rm 淞k e te 冲e r i e n c e ) ；另个是 密露根大学的收入动态追踪调查( p s i d ) 数据集( t h ep a n e ls t h d yo fi n m ed p n 8 m 溉) 。黧复浏量资料由于是辩两一单位孵某项观察糖标进辛亍的多次测萤，因此这 贱测量之间襻在着某种相关性这嶷资料能摄示个体( 包括个人、众业、地区或国家) 之闻存在差异，露单独的时超序列秘横截爱残察不能有效反映这种差异。重笈测薰毙 麓好造瑷别和度量纯对闯序列和缝横截面数据所不能发现的影确掰索。困诧铝在社会 科学、医学和金融学等领域有着广泛的应用园内外有不少专家学者研究重复测量问 题，魏c r o w d e r 和珏躺1 9 9 0 ) ，v o n e s h 和g h i n 豳l h ( 1 9 9 7 ) 讨沦了攀因子重复溅量方 熬分析( r ma n o 、锄，a o m o u e l 讨论了多元重复灏量模垄的方差分醑( m r m a n o v a ) 针对不同的角度，学糟们提出了不同的方法 考虑单隧予重复测爨模型，缀定组闻因予蠢q 个水平，其中谯繁j 个承平上进行 了码次试骏，j = i ，g ，晌墩变量x ，氍p 个时刻转器l 进行璐测，这p 个时刻就 题组内因子的p 个水平。如果组问因子和时阉因子不存在交互作用，即有下述线性模 獭t 场自祟弘+ 勺+ 蕊 卵+ 7 + 5 甜 ( 1 1 ) 第一章问题的提出 华东师范大学硕士论文2 这里 ，一1 ，口，表示组间因子( 组) 的水平， t = 1 ，n f ，表示第j 组的观测个体， = l ，p ，表示组内因子( 时间) 的水平， = 【，一，k 衙】7 表示第j 组第i 个单元在时刻k 的r 个观测值 p = 协，肛， 表示综合平均， 巧= h 1 ，勺， 7 表示第j 组的固定效应， 也( j ) = 峨u ) 一，) ， 表示第j 组的第i 个试验单元的随机效应， 饥= m l ，- 一，讥， 表示时刻k 的固定效应， t f = 玎，l j ， 表示第j 组第i 个单元在时刻k 的随机误差， 模型( 1 1 ) 满足下面的约束条件t 假定u k 和最o ) 相互独立，并且 玎k = 【6 玎k l ，玎 ， i 1 d v ；( o ，e 。) 最o ) = 也( ) 1 ，一，也o ) ，】7 d ( o ，6 ) 令 = 阢- ，0 = 则的协方差矩阵e 为 = c 伽( 瑶) = o e 。+ 矗 6 = 1 l 场1 2 2 1 2 2 p l 场p 2 场1 r 2 ， 。+ 5 e 6 e d 。+ d d 5 d 。+ 6 ( 1 2 ) f 1 3 1 其中表示p p 的单位矩阵，占表示元素都是1 的p p 矩阵。此外，本文还用 矗表示元素都是1 的p l 向量这里吃= y e c ( ) 代表把矩阵按列拉直， 0 1 1 勺 。触 o 1 1 讯 ，m 第一章凌蘧辫攫娄 华东瘁范大学硖士埝文3 代表k n e c k e r 积 令玑表示具有下述形式的p p 派定嫩黥， 阢一如一矗)( 1 4 ) 这里u 是p ( p 一1 ) 的矩阵由于矾臌交，所以由 e ) 川一仨麓p 等) = ， 可褥 秽一毽，u 1 u l p t 令毪= 殇玩， 剜 所以 = i 玛l 】_ ，玛p = 陷( 2 ) 】= 圪1 1 1 2 2 1 2 2 p 1 磁础 增- ，。，均， c d ( 埯) = 。渊( 殇汲) = 船# ( 袈霸) 埯) ) = 筑 矗) ( 玟矗) = ( 敬岱矗) ( 矗岱。+ 易 5 ) ( 甄固0 ) = 固。十玩占玑 e 5 = 矗o & 十以靠商镰o e 6 = 圆。十瞄 p ；。 固a 。+ p 嚣4 0 o飘 0 0 oo + 。 ( 1 5 ) 整= 整 鋈墼墼堡垒 兰窭錾薹盔兰茎主篓塞4 注慧翻( 1 5 ) 式懿秘方差矩箨懿 瓣惫凌嚣豢势o ，这表舞强一， 茹莛撵互独立 懿，弊羟它们的谤方差阵努秘鸯； c 鲫( 瞄1 ) = e e 十p 咒d 。( 自) = c 一2 ，p 幽于玲l = p 一 靠，盼2 ，均一= c ，所以 塌，= = 矿 伽+ - 十嘶+ 弧+ 女) = l p = 多弘+ p 露+ p 茂秭+ p _ 留蠹 k = l p 璐= 派，t = l p = 峨琅( p + 吩+ 也。) + 饥，十e 玎，) 副= 1 = + e ； ， = 2 ，。，p 迭凰巩，表示矩阵u 的第( ，自) 个元素，】= m ，坳 u 。 则玢l 和 ，女= 2 ，p 的均值分别为； e ( 臻1 ) ；p 弘+ 砖眷 窖 焉) = 壤， 女一2 ，一，芦 我钓可滚蕾黉毪串戆磁l 懿驽蠢是专缀j 凑荧系；强，一2 ，爹懿：连毽足与辩 凝k 簿关系，不疆题测缀羽懿变铯覆燮纯。 关于具有( 1 式形式的协方差鳍梅的梭验问题，遗常人街( 见参考资料 1 】) 撼 藏乎原始数据= ( - ，) ，关予协宵藏矩阵e = c w ( ，) 的检验闻 麒 凰：= o 嚣。十靠圆5 磷为了基于正交变换后的数据( 2 ) = = 均c ，一 - ，p ，关于协方差矩阵p 一 ”( m 孙，k 釉的检验问题 塌：e 一如一l 圆。 ，眦 第一章潮题姆提出华东帮范夫学硕士谶文5 我们可以褥到z 酪是舍套了珐。后的检验，如果不舍去；】应该如何检验该l 可题。 根据似然比原则，首先需要在正态总体的样本圪，的均值随着组j 的不同而不同， 两耘，一2 ，p 的均傻与缎别没肖关系时，一l ，j l ，g ，馈计 誓熟，玲。静耪方差簿 本文研究的问题是上述问题的一般化推广，设p 继随机向量序列x 小，墨；相瓦 独立，来自凝有相同协方麓阵的正态分布，托被划分为两部分，捌一( 硝”，碟”) 7 ， 这里碟是m 维随机勰爨，趔是p m 维随机国爨，i = l ，j = l ，蟊 冀孛在筹j 缳有q 次怼溅，；：，唧一n 。覆设置翌，商筝疆焱瓣分希，均毽菇 p ，磷+ 1 + l 加，磷x + ，独戏同分布，均值为以”，j = l ，q ，也就是茂 的第一部分变量的均值随观测组别的不同而不同，第：部分变量的均值不随观测组剐 的变动蔼变动。本文研究在这秘情况下如何估计参数，肛( 2 ，p h ，赭，从面傲嫩 程应酶襞诗接夔懿耀题。 关予溅态分布参数的极大似然估计问题，文献f 5 】利用分块矩阵的思想推导出了 正态分布的条件分布仍为正态分布的绪论，并且在文献【6 1 中用条件分布的思想给出 了缺失数掇下正态分雍参数盼极大似然储计方法此露这神矩阵分块瓣思想穗条传分 泰瓣毪纛疆续凄瑷在一篓文章孛，鲡文漱l l 鼙。再者，巍求不赛参数戆照毪表达式对， 可以考虑能用迭代算法，如e m 算法等等，这方面的文帝如1 1 5 、【l9 】等。参数的极 大似然估计求出以后，根据似然比检验原则，可以给出检验问题的似然比统计量，一 些情况下缝计量的精确分布可以求出，簌不能求出精确分布时可以考虑渐近努带，鳃 文黎蕊审奔绍的b 氆【廖魏涯骰。舅多 文簸【l 锈锌对缺失数据熬谤撬缭逡了舂关赢态 均值向蟹檎验的一些简单统计量，并比较了各种检验方法的势，这可以给我们一患的 启示 第二章参数的估计 华东师范大学硕士论文 6 第三章参数的估计 本章将给出待估计参数e ，p ( 钔，卢i ”，芦的极大似然估计为了方便地写出它 们的极火似然估计，本章通过日i 入一些记号，给出各参数具体的极大似然估计表达式， 接下来绘出具体的估计方法 2 1 一簸记号 将p 绒向量恐，落入第j 缀的样本墨的均值向缀以及p p 维协方藏矩阵e 剖 分如下t 蔓= 一弘怎芝) 其中，砑，西1 都为m 1 的向量，e 1 1 为m m 的矩阵，= 1 ，札，j ： 1 ，吼；l m = n 记m g 一扎l + t + ) = 趟 端 碟，。 x 鬻 z n x g = f ，舻1 弱( p m = i ；| _ 懦。， 爱p 碟i 础! ，恼。 x 臻i e；01；l ￥ ， ， ， 0；0，o；0l；l；o；0 第二掌参数磅话曹 华东簿莲夫学矮士论文 ? 她井还记 a 2 2 = x 7 x x 7 ( i 7 ) 一1 境 = 面2 捌7 一2 a ， o ；1 扎l 捌印扎) i o o = 曩2 ”( 厶。一未a 。j ：，) 耐2 1 丽= ：x = i 霹 霹。去毒1 2 毒；+ ，礤 焉= 籼= 丢；：差+ 。礤 利用上述符号表示，本节求出的参数的极大似然估计分别为 芦= ：x 肛1 1 ) = 2 2 兰 1 2 = 班= 胃十酋( x 丽一天乃，j = l ，- g ：x 7 ( 厶一； 矗) x 秀露 藏十秀氦 o rp ：。爿趴 儿玉j 箕孛 = j ，( 矗一镬矗) 1 ) x a 者 ! 五i ；y 7 ( 矗一( 如) 一1 ) ( 厶一x a 嚣x ，) ( 厶一e ( 办) 一1 一) y 下文具体讲述参数的极大似然估计方法栩引入的参数b 及。：的实际意义 2 。2 估计方法 本节我秘鼹条件分带秘鏊j 鞋方法绘黩参数秘显性表述式。在开始奔缓粪体鹣方 法之翦宠套缨一令寿关正态努毒条搏分帮懿弓l 理露矩箨正态努毒毂蹇义，嚣霹我弱熙 第二章参鼗舞售诗挚东蘩莛大学颈士论戈 8 弓 理t ：设x 一c p ，p z ， 。，将x ，芦和剖分如下x = ( 妻三) ，p 一 ( 煳弘( 笼弘俐1 儿岛刚n 疑巾弘1 2 = 1 1 + 1 2 e 看( x ( 2 一p ( 2 ) ，l l2 = j l 一1 2 蠢邑1 定义l 短阵正态努枣) ；设x 为稚芦魏梳筑阵，粥x a 0 。，( _ i f ，弦岱y ，当嶷仪 巍”e x 一a 每，形。玢，其孛形与y 努翱燕珏酚荨p 羧歪定阵，弘= 口e 西f 零文约定哭要说弱瘫箨正态努希，遮蘩掰懋嶷l 鳇拉壹运算来定义。 摄据雩 理l 可褥 p ( 砖，砑，p 2 ) ；) = p p 学妒，2 2 狰( 硝+ 1 2 砑( 霹一弘 弘耨 t 2 = n ? z 7 一一1 “ 第三章参数凿诗戆性凄华东瘴范大学硕士论文 1 2 服从非中心? 2 分布，记作t 2 一霉。；当p = o 时，称铲遵从( 中心) 铲分布，记作 严一瑶。 g l 理3 ( r 2 分布的性质) 耱a 一弭名( 托，嚣) 号一屿( 辩，c ) 耀互独藏，其中c 势磁常 数，爨 n ( c a ) 一1 “一露。 = ( c ) 一o p 旦亳掣耐( “) 。u 一哪蚺 珏嚣 其中a 一矿c ) 1 芦+ 引理4 ( 非中心f 分布的数学期望) 设f f ( n l ，他，7 ) ，其中7 是非中心参数，则f 的 数学期望为； 粥一警晶薹坠等群磊 引理5 ( g o c h r a i l 定理) ( a ) 设x 一心。，( m ，厶o ) ，c 为n 阶对称阵，则当且仪媸 俨= g 时， g x 一；积，嚣) 其中，r r o n ( 固，嚣一m 0 m ( b ) 设x 一 k 。p ( m ，厶固e ) ，c 和d 为n 阶对称阵。则当且仅当d d = o 时，x 姒 与x f d x 穗蛰 3 2 。参数稳计的一些性质 ( 1 ) 设随机矩阵x 一 k 。扣一。) 嘛p ( 弧厶o 2 2 ) ，b 为m n 阶矩阵，a 为n 阶对称 方阵如聚b a = o ，则露x 与x 7 a x 相互独立 涯骧；嚣为a 是辩释矩黪，遍谱分薅嶷理9 藿，存在蠢交矩薄f 楚 m r 。( 其中a 燕辩鸯线矩阵，a = 盛姆( a l ，知，) ，r = r 8 女( 国 令r = r ln ) ，f 1 ：肆r 帮 一( 冷 ) 第三章参数估计的性质 华东师范大学硕士论文 1 3 显然y 一 乙。( p 一。) ( r p ( 2 ) ，厶o 2 2 ) ，由此可见k 与m 是相互独立的 因为b a = o ，所以口r f a r = 口a r = 0 记口r = d = ( d - d 。) = ( 口r ，b r 。) ，其中d ，是m r 阶矩阵，则 所以d 1 = 0 而 b r r a r = ( 。岛) ( ：) = ( 。，a 。) = 。 b x x | a x b f r x = d y = d 2 k x r r a r r x = y 7 ( ：) y = 叫a m 这样，b x 和x a x 分别表示为相互独立的m 与k 的函数。所以b x 与x a y 相 互独立 特别的，取b = 7 ，a = ，n t ( “) - 1 l ，那么x 与a 2 2 = x x x i ( i ) - 1 i x 相互 独立 从上述也还可以得出i 7 x 与a 暑独立 ( 2 ) a 2 2 一啊p 一。) ( n g ，2 2 ) 证明t 记d = 厶一i ( 九) - 1 7 ，则d ，= d ，护= d 利用c o c l l r a n 定理证明，注意到d 是幂等矩阵，所以 由于 根据c o c h r a n 定理知 r n 础( d )打e ( d ) 打( 厶) 一挣( i ( i t ) _ 1 7 ) 打( 厶) 一打( ( ) _ 1 t 7 t ) n 一口 x 一t 。o 一。) p ( 2 ) ，厶 2 2 ) a 2 2 = x ( 厶一t ( 7 ) 一1 t 7 ) x = x + d x 第三章参数话甘静幢震 孥承舞范大学硕士论文 1 4 * 交跃w i 8 h a r t 分布i 一。如一g ，2 2 ，固 其中j 中心参数 暑一弘( 笱羹( 磊一( ) 一1 1 0 矗越渤 一弘( 2 域) ( 堍) 弘一p ( 2 暖蹦坼) 一1 l ( 魄) p 2 ) ， 篇0 定理褥诚 ( 3 ) 一口) 焉( 去如。) 一1 墨一警。一州菲串一舀参数”一( 去) 一芦( 2 ) 。j = 1 ，g 汪睽t 键x 7 一 葛蜀 出予墨一静一。) 船协，熹& 2 ) ，= l ，g ，a 篮一 一。) ( n 一热2 ) ，势鼠薄尝粳蔓 独立，由h 0 t e u i n g 铲分布得t ( 傩一g ) 而( 去a 2 。) “焉“臻。m ，。，”一( 去e 。2 ) 5 p 粥- 注意鼍，毫，t ，秘a z 握嚣独立 ( 4 ) 他e 1 1 “( 礼一( 口+ p 一竹0 ，1 l + 2 ) 证骥t 檄据公畿2 童砷，潦瓣簿交符号， - e 1 1 2 一y 尹y y ( 厶一x + ( 搿”x ) 。x “) y 舅冤一p r 8 蠢( 固= 扣黜e ( p ) 一一扭+ p 一懈) ，懿是鼗簿不麓直接稻带弓l 瑾 5 c o c h r 蜮定理，因为p 是睫枧矩阵，为了应甩g o c h r 鼢怒理，必绫让p 成为鬻数矩 阵，可以采用条件分布的方法 y 一m 。( x _ 8 + ，厶圆l ) ， 又因海 p x + 露+ 一( 厶x ( x “x ) 一1 x “) x + 曰。= o 根据弓l 纛5 e b 馥r a n 定理褥 n 磊五| x y p y | x 一甄渖一( g 斗p m ) ，2 ) 龟就是说在x 已翘静条锌下，扎妾氯的条件分带魁 积一国斗p m ) ，l l2 ) 。因 为托氐翡条嵇努蠢与缭定懿簸静嚣关，浙以嚣磊磊秘条待分带就是茏条侮努带，郅 秀矗弼。妇一国+ 芦m ) ，1 l 。) 第三章参数估计的性质华东师范大学硕士论文 1 5 ( 5 ) e ( p ( 2 ) ) = “( ，y 。r ( p ( 。) ) = ：2 2 证明；见参考文献【2 5 ( 6 ) e ( b + ) = b + 卜p + ( 喜) | 萎卜旷一卜。 一高* 铭籍( 讹) 。1 而誓口 其中 证明 一竹薹错鲁 e ( 务) = e ( ( x ”x ) 。x ”y ) = e ( e ( ( x “x ) - 1x “y i x + ) ) = e ( ( x “x + ) - 1x “e ( y l x ) ) = e ( ( x “x ) _ 1x “x b + ) = b + 由此可得访，j ；l ，一，g 和亩分别是相应参数的无偏估计同时 e ( 芦黝 e ( k ) + e ( 丑卢( 2 ) ) k + e ( e ( b p ( 2 ) l x ) ) k + e ( e ( i x ) 孑i ) = k + b p ( 2 ) 所以屯“，j = 1 ，g 也是相应参数的无偏估计。 因为 ”e c ( 蚕) 7 = ”e c ( y x + ( x “x + ) _ 1 ) = ( ( x x ) _ 1x + 圆k ) ”e c ( y 7 ) 第三章参数估计的性质 华东师范大学硕士论文 1 6 所以 f 8 r ( # e c 蚕；) = g ( v 8 r ( # e e 豁) l x 4 ) ) + y ( 露( 口e 。( 雾) ，l x ) = e ( ( x “x ) “x “固) ( 厶。e - 。) ( x + ( x “x + ) _ 1 。k ) + f 8 rf ( x + 7 x 。) 。x 4 ) 口e 。( ( x + 暑t ) ，) ) = e ( ( x ”x + ) 州x “圆，”) 寥+ ( x “x 。) 。k ) + y n r ( ( x + b + ) x + ( x + 7 x + ) 一1 ) = e ( ( x “x + ) 。艺，。) 由手 净是 n ，魄盛镓蜀、 j i - 咬式a 超爻； ( x “”) _ 1 的袭达式见( 2 ，2 5 ) 式，观察此筑阵的各辩紊，可必看到以蠹是逆w i s h a r t 分 布；一x 矗蔷x 。 的对鑫线笼素是嚣审心珏o t e l k n g 妒努枣， 辩霆线元素孛墨，焉， 和且船箍相互独立的；前上角矩繇中的 7 x 与a 者也是独藏的，因此e ( x ，x ) 一1 可 以求出。接下来给出具体的表达式 壶于 芝三蠡；= = ；舞哩( n 一。) 置去a 蹦) “而一芦。一。一扣一。，“ 其中非中心参数= m p ( 2 ) 7 1 材( 所戳 碣豫t 墨= 忑再詈， e 霹，= 再再浠e 署 e 鬟；a 叠t 廷 = e 鬟；e a 巷 e 囊i 1 2 f 百而二了j 炉蹦艘i j e x 矗篆x = e x e a 甚l 矿可乏丽i 梳胪者( n 一鳓一( p m ) 一1 “。”“” 嚣 ， ， 一一 第三章参数估计的性质 华东师范大学硬士论文 把上述期望值带入嚣“x - ) “就得到争的方差。 ( ? 露酝2 ) = 2 试鞠t 鼹参考文麸f 2 秘。 ( 8 ) 露( 1 1 2 ) 一日( j y 7 p y ) 一型篓# 堕冀1 1 2 嚣鞠t 令嚣1 1 2 鬲( d b 。2 ) ，y 端( v 1 ，坼m ) ) ，b 。= ( 吣) 6 f 巩) ) 鑫| 陵设鲡 嚣( 孙) | x ) 一x 6 ， 琰( 强) 一x + 嘞) ( 场一x + 沁) ) l x ) = ，2 厶。 因为p x + = x + p o ，于魁。 曰( y 7 p y ) 一e ( ( y x + 嚣+ ) p ( y x 茸+ ) ) 一( 曾( 露( ( ) 一x + 5 ) p ( 毪) 一x 6 j ) ) 瞄+ ) ) 一( 静妒g ( ) 一x + 6 g ) 毪) 一x + 妃) ) | x ) ) 一( d 珏。2 打p 如) 一( ( 竹一( g + p 一竹) ) 吒，2 ) = ( ( 牲一g + 芦一m ) ) e l 撇 绩沦褥诞。 ( 9 ) 霹( 1 2 ) 一! 二黑掣1 2 诺明一国前文的极大似然韬计蚤樗 窖1 2 ) 一e ( 雪2 2 ) 一f ( ( 矗一( 毒，1 ) 一1 ) x 蠢) ( 嚣) 一e ( e ( y 7 ( 矗一i ) _ 1 固x a 叠) ( 露) x ) 一e ( y ( 厶一# ( 矿) 一1 彩x a 者 蜀+ 嚣( 8 x ( 矗一 ( 矿 ) 一1 囝x 矗嚣丢三) 一暑e ( 磁2 ) 一坚罢型日2 2 一掣e 心 由以上性质可以得出霞，氐，蕺分男8 是相成参数玩幻；，。i 2 的露偏健计，黠此 我们可敬翻偏，使之戚为籀应参敷的无偏估计。 1 7 第瓣章均谴的检验华东蜉范大学硕士论文1 8 第四章均值的检验 在前文极大似然估计的基础上，本章考虑瑚的各组均值是否相等的检验问题， 即检验 风：p i l 一= p 峨：黧少存在i j ，使p ：1 巧” 魑蒋成立首先介绍已有的一些检验方法 4 1 ，邑骞的撩验方法 嚣菇磴骚跌茏态蕊。f 毋，t t ) ，巍不考虑j 喾馥壤塞对营先定义藏下各乎 穷秘t 冀中 g 一一 s s ( 2 硼= 唧( 剐 一丽) ( 硝”一厕 = l 口 s s ? = ( 硝一厕( 砖一厕7 ，= lt = l 乎= 亳喜礤， 两一熹塞萎霹， 。j 盅l ；= l 藉豫，s s r = s s ( ? 冗) + s s e 照然 s s e 服从w 0 ( 札一q ，1 1 ) 幽 如：“1 ) = p 轳成立时， s s t 服从w ( n 一1 ，n ) s s ( t r ) 服从i 蕾( g l ，n ) 萨 一 砖萨砖 脚 。州 | i 目船 第四章均值的检验华东师范大学硕士论文1 9 这里w 。代表w i s h a r t 分布常见的检验统计量如下 ( 1 ) w i l k 8 检验( w i l l 【s ，1 9 3 2 ) a = 丽黑岛， 当凰成立时，a 服从a 。m q ，g 一1 ) ，这里a 。代表w i l k s 分布。 ( 2 ) l 8 w l e y _ h o t e u i n gt r a c e ( l a w l e y l l 9 8 3 ；h o t e l l i n g ，1 9 4 7 ) 死日= t r 8 c e ( s s ( 丁r ) s s e 一1 ) 在凰成立的条件下，当( n g ) 一o 。时，一g ) 死n 的近似分布是x 象( 。一。) ( 3 ) b 盯t l e t t - n a n d 舢p i l l a it r a c e ( b 盯t l e t t ，1 9 3 9 ；n a n d a ，1 9 5 0 ；p i u a i ，1 9 5 5 ) 丁b p = t r n c e ( s s ( 丁r ) s s e 一1 ( j + s s ( t r ) s s e 一1 ) 一1 ) 当凰成立时，一g ) 码p 的极限分布是x 象( 。一- ) ( 4 ) r 0 y su n i o n i n t e r s e c t i o n ( u i ) 或者最大特征根检验( r o y 1 9 5 3 ) 珏= s s ( t r ) s s 曰- 1 的最大特征根 当j b 成立时，m g ) 珏的极限分布是( 口一1 ，t - ) 我们可以看到上述方法都没有用到砖1 反映的信息，如果要利用砖的信息，应该 如何检验 4 2 似然比检验统计量 当考虑随机向量j 搿的影响时，可以用似然比检验，此时需要求出全空间和约束 空间下似然函数的最大值 在全空间上，似然函数三( 芦，e ) 的最大值为； 譬数工( p ，) 2 三( 声，e ) = ( 2 n ) 一警l 露一唧( 一兰譬型) i 曩矗一e 印( 一半) 其中l 宏和耍五的表达式见上文公式( 2 2 3 ) 和( 2 2 ，7 ) 当原假设玷：芦；1 ) = 肛5 1 成立时，由表达式( 2 2 2 ) 知道：k 一： 第四章均值的捡验 华东师范大学硬士论文2 0 k 记v 一，此时似然函数的表达式为： “ln h 筘( 。戮霹译，舻渤；卜hp 蝌，霹蜉，芦 2 ) ；) 2 1 忙譬h 汁l n l h 尹x 乎3 | 弘稿，e 篮) 静( 。嚣| y + 口x 爹；e 1 1 2 ) l = l 。2 ) p ( 。g v 十口x 筹 = 磷p 舅雾| 芦灞，岛2 ) h p ( 。字l 矿+ 嚣砖；1 l + 2 ) 2 1 ) i = 1t = 1 盎2 2 夯缀的方法掇据上式第一壤可以求褥芦( 2 ) 藏2 2 的援大镁然德 。越时y 秘 1 l2 可霸为下述网扫模激韵参数t 砖：” ： 碟 毽h 。 x 蹙。 l 义冀” l 碟￥ l 毽h 。 l x 瓣 ( 州 记豆= ( ：) 用矩阵表示为t jy = ( 矗x ) 亩+ u le ( 秽) = o ，e 卿( c 酽) 一磊。黾挑，芷态努带 各参数的极大似然估计表进如下t 弘渤= 掣2 k 嘉x 霞：鱼盟之幽；款矗一扣球 百一y ( 厶一： 露) x ( x 7 ( 矗一：矗五) x ) “ 矿：f 一蓉鬻 ， 11111 e 1 1 2 2 i i ( 一( 厶一i 必) y ) ( y 7 ( 厶一i j n 蠢) 肖) ( x 7 ( 厶一i 矗矗) x ) _ 1 ( x 7 ( 厶一i j n 矗) y ) 驴= ：娄翘，x = ：娄砖 磺 敝 。蹦 | f 第四章均德盼检验 华东师范大学硕士论文2 1 所以在原假设成立时似然函数的最犬值为； ，吟臻强，。工舭) = 五晒，) 一( 2 霄) 一攀l 一唧一兰型雏妄夏睁e 暖一竿) 。 由似然比法则，相应的统计量是t 、，吟搿k ，。l ( 肛，)、p ；”一_ p p ， o 2 1 五忑瓦矿 - 0 | 捧2 l 鼍 l e l l 2 l 蔷 取值在。和l 之问。根据点估计理论中的极大似然原联，似然函数可看作谯给定样 本x 下，参数有“多大可能。出现的种度量若a 取假较小，也就是分子较分母很 小时，在给怒样本情况下，原假设中的参数出现的可髓性缀小，即原假设风为真的可 巍经缀小。我蚋完全有理垂怀疑臻不真。也裁是当塌蒇盘时a 趋努于l ；嫩域成 立嚣 憝舞予e ；嚣踅当盖 e 簿錾缝骧霰设，冀孛c ( c l 秀醢验懿漆菇壤。 其实对上述假设检验闻惩，稳验 凰：p i l 一= 肛5 l ：至少存在i 曩使p 5 1 卢；” 与检验 塌：u 一= k 域：至少存在互使硪巧 是完全等徐鹃。舞暴x 是基籀矩箨，毽裁燕说x 是蘩熬撬瓣，筵对毽鼹碟翡缝验 可以转诬海多笼线性模蝥回赔系数的检验。 由于求似然比统计量 的精确分布时要用到线性模激的有约束的极大似然估计及 其线性检验知识，接下来介绍这方面的知识 4 。3 。约寒凝失羰然毽专爱蓑多嚣缎性横鳘夔线性攮验 ly = x 丑+ 致r 勰奄( x ) = 筘 直嚣= a 盖：$ x 热g ：s 丞r 掰漉a ) = s 牮 ie ( 矿) = o ，e 孙 ( 毫l 玎) = 厶圆 第四章均值的检验 华东师范大学硕士论文2 2 用晶表示有线性约束的b 的最小二乘估计，用台= ( x x ) 一1 x 7 y 表示无线性约束 a b = g 时b 的最小二乘估计 那么 晶= 台一( y y ) 一1 a a ( x 7 x ) 一1 a ， 一1 ( a 台一g ) q ( 百h ) = ( y x f 名) 7 ( y x 晶) = ( y x 宫) ( y x 台) + ( a 台一e ) 7 陋( x x ) 一1 a ， 一1 ( a 亩一a ) = q + 日 的无偏估计为 h2 再专石q ( ) n 一口十s 当u 一( 0 ，厶 ) 时，由上述最小二乘估计值可以得到b 和的极大似然估计西 和峦为， 昏= 舀h p2 i q ( 勖) 接下来介绍多元线性模型的线性检验问题，相关假定如下一 ：盂嚣。卟，刚 他。， ie ( c ，) = o ，g o ( e c c ，) = 厶o e ，o 式中， y ：n 口是n 组p 个因变量的观察值矩阵， x ：n p 是已知矩阵，r 口几七( x ) = p o ， 在上述假定下，检验线性假设 h o ：a b = c ，h l ：a b c ， 式中a ：s p ，r d n 七( a ) = s q 由似然比法则，全空间下似然函数的最大值是 置酱要l ( b ，) 2 l ( b ，) = 涮一等凇砖盯 第四章均值的检验 华东师范大学硕士论文2 3 在原假设4 b ：e 下，参数b 和的极大似然估计是豆+ 和金，因此似然函数的最 大值是 a 釜缆，o l ( b ，) = 三( 玑) = 唰一等) 1 2 畦钏一j 似然比统计量 、蚓；俐 “一而矛一丽乖 在模型4 3 1 和正态性假定下，如果原假设a 日= g 成立，有下述引理 引理6z ( 1 ) q 1 ( n p ，) ，日一i 碥( s ，) ； ( 2 ) q 和日相互独立； ( 3 ) a 2 加= d 黝一a q ”p ， 4 4 似然比统计量a 的分布 注意要利用上述线性模型的假设检验理论，要求x 是已知矩阵现在我们回到 瑞对叫的检验，如果耐是已知矩阵，弼对雹的检验就是对模型( 2 2 4 ) 的回 归系数矩阵进行检验由于e - - z 是在给定条件耐下j 搿的协方差阵，似然比统计 量a 是此条件协方差阵在全空间上的极大似然估计1 1 2 和在原假设芦；”一= p ：l 成立条件下的极大似然估计1 l2 的函数也就是说磷虽然是随机矩阵，但是似然 比检验是在霹i 给定情况下推导出来的。注意到n 。12 在给定碟的条件下的分布 就是无条件分布i 一国+ p m ) ，e - - z ) ，同理n 1 1 2 在给定x 的条件下的分 布也就是无条件分布，因此上述引理6 仍然成立 第疆章缘售酶检验华东簿范大学硬士凳突2 4 4 ，4 1 。a 旃分雍 由于检验的原假设是丑6 ：一一k ，因此可以取a 和c 矩阵分别为 4 ( q 1 ) ( g + p m ) = 一10 o一1 oo o 、 ，o o o o 、 ? k ，胁：卜? i ：ll 一：l l o o o o 缝验曩；：k - = 攻是否戚立羧游徐獠验攘蘩( 2 2 4 ) 孛翦蓬癌系数建磐8 一g 燕否成立。壤蕹弓 理6 絮遵，在骧缀浚藏嶷豹条舞下+ 因此 4 4 2 a 矗钰_ 渐进分布 ，善薹磊一w - 僦( 一妇+ p m ) ，l l2 ) n 丢i 二一w ( 件一( 1 + p m ) ，。2 ) a 2 加一a m m 一( 叶p m ) 口一l 当疆撬变量鲮矩是镶骂避鼗酶瓣数黪，嚣o x f l 9 4 9 ) 绘窭了睫撬变璧努枣懿一般