（应用数学专业论文）非光滑区域上具bmo系数退化椭圆方程的w1p估计.pdf

北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 本文考虑在r e i f e n b e r g 平坦区域上具有小的b m o 半范的一类退化椭圆型方 程的弱解在w 1 护上的全局估计，得到此类方程的理论对方程系数和区域在 较弱条件下的正则性要求，即系数具有小的b m o 半范，区域为r e i f e n b e r g 平坦 区域，从而改进了经典理论对系数的连续性和区域边界曲面的l i p s c h i t z 连 续要求文章主要利用各种水平集的包含关系，采用改进后的v i t a l i 覆盖引 理、h a r d y 1 i t t l e w o o d 极大值函数和紧性方法，凭借c a f f a r e l l i 建立的函数类 的一种等价测度描述，得到内部估计，然后再建立在r e i f e n b e r g 平坦区域上得 出w l 护全局估计，从而得到文章的主要结论本文分为如下四个部分： 第一章介绍偏微分方程正则性研究的发展背景及两个重要的历史结论，给 出方程系数分别在h 6 1 d e r 连续和有界可测这两种条件下，某几类方程的正则性 理论及主要的研究方法 第二章介绍了介于上述两种椭圆系数正则性假设( 极强和极弱条件) 之间的各 种正则性假设的最新研究情况以线性椭圆方程为例，在对系数a i j ( x ) 和定义区 域的正则性要求由强到弱的过程中，给出方程弱解正则性的各种结果及对应的 研究方法，从而提出本文所要研究的问题 第三章考虑椭圆型方程 一d i v ( ( a ( 力v “，v h ) 譬a ( x ) v “) ：d i l ，i 厂i p 一2 f ， x q 当其系数矩阵a ( x ) 满足( 反尺) 消失时，给出了方程在有界开集qc 瞅上 的w l 护内部估计 第四章通过对方程系数和定义区域要求的放松，即：a ( x ) 满足( 抗尺) 一消 失，区域为( 反尺) 一r e i f e n b e r g 平坦区域，采用改进的v i t a l i 覆盖引理以及c a f - f a r e l l i 的胪空间等价性理论，得到上述方程d i r i c h l e t 问题的w 1 炉全局正则性结 果 第五章总结了前四章的主要内容，并给出与该问题有关的最新研究成果及 其发展前景 关键词： 尺) 一消失；r e i f e n b e r g 平坦区域；逆向h 6 1 d e r 不等式；改进的v i t a l i 覆 盖；全局估计 分类号：0 1 7 5 2 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yc o n s i d e r st h ew 1 护g l o b a le s t i m a t e sf o rt h ew e a ks o l u t i o n so f ac l a s so fd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n s t h ep r i n c i p a lc o e f f i c i e n t sa r es u p p o s e dt ob e i nt h ej h o n n i r e n b e r gs p a c ew i t hb m os e m i n o r m sa n dt h ed o m a i ni sa r e i f e n b e r g d o m a i n u n d e rt h i sw e a k e rr e s t r i c t i o nt ot h ec o e 币c i e n t sa n dt h ed o m a i n t h er e g u l a r i t y r e s u l to ft h i sc l a s so fe q u a t i o n si so b t a i n e d ，w h i c hm o d i f i e dt h el i p s t i c zc o n t i n u i t y r e q u i r e m e n tt ot h ec o e f f i c i e n t sa n dt h eb o u n d a r yo ft h ed o m a i n t h ep r e l i m i n a r yt o o l st o i n v e s t i g a t et h i sq u e s t i o na r et h em o d i f i e dv i t a l ic o v e r i n gl e m m aa n dh a r d y - l i t t l e w o o d m a x i m a lf u n c t i o n b yu s i n gt h ei n c l u s i o no fl e v e ls e t sa n dt h es t a n d a r da r g u m e n t so f m e a s u r et h e o r ya b o u tt h ec l a s so f 胪f u n c t i o n se s t a b l i s h e db yc a f f a r e l l i w es h a l lo b t a i n t h er e g u l a r i t ye s t i m a t e so ft h ee q u a t i o no nr e i f e n b e r gf l a td o m a i n t h ep a p e ri sm a d eu po ff o u rc h a p t e r s a sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e rw i l li n t r o d u c et w oi m p o r t a n th i s t o r i c a lb a c k g r o u n d sa b o u tt h i s q u e s t i o n f i r s t l y , w es h a l li n v e s t i g a t et h ec l a s s i cs c h a u d e rr e g u l a r i t yo ft h eb a s i cl i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n sw h e nt h ee l l i p t i cc o e f f i c i e n t sa r eh s l d e rc o n t i n u o u s s e c o n d l y , b y s t u d y i n gt h eh 6 1 d e rc o n t i n u i t yt ot h es o l u t i o n so ft h ed i v e r g e n te l l i p t i ce q u a t i o n sw i t h b o u n d e dm e a s u r a b l ec o e 伍c i e n t s ，w ee s t a b l i s h e dt h em a i no u t l i n eo fd eg i o r g ii t e r a t i o n a n dm o s e ri t e r a t i o n m o r e o v e r , t h es k i l l st os t u d yi n h o m o g e n e o u se q u a t i o n sb yt h i s c o n c l u s i o na r eo b t a i n e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es h a l lc o n s i d e ra l lk i n d so fc u t t i n g - e d g er e s u l t sa b o u t t h ew e a ks o l u t i o nr e g u l a r i t yo fe l l i p t i ce q u a t i o n sw h e na s s u m p t i o n so nt h ec o e f f i c i e n t s a r eb e t w e e nt h et w oe x t r e m ec o n d i t i o n sa b o v e a tt h es a m et i m e ，t h ec o r r e s p o n d i n g r e s e a r c hm e t h o d sa r eb r i e f l ys u m m a r i z e d a f t e rt h a tt h et o p i co ft h ep a p e ri sp u tf o r w a r d a n dt h ep r e l i m i n a r yt o o l sa r eg i v e n i i lt h et h i r dc h a p t e r , w es h a l lc o n s i d e rt h ei n t e r i o rw l pe s t i m a t e sf o rt h ee l l i p t i c e q u a t i o n sa sf o l l o w s ： 一d i v ( i a ( 工) v “，v h ) v - z za ( 劝v “) = d i v i f l p 一2 f , x q w h e r et h em a t r i xo fc o e f f i c i e n t sa ( x ) i s ( 蠡尺) - v a n i s h i n ga n dqi sab o u n d e do p e nd o m a i n i nt h ef o r t hc h a p t e r , w es h a l lm a k eo b s e r v a t i o n so nt h em i n i m a lr e g u l a r i t yr e q u i r e m e n t st ot h ec o e f f i c i e n t sa n dt h ed o m a i no ft h ed i r i c h l e tp r o b l e mf o rt h ea b o v e m e n t i o n e de q u a t i o na n dp r o v et h eg l o b a lr e g u l a r i t yu n d e rt h ea s s u m p t i o n st h a ta ( x ) i s ( 正r ) - v a n i s h i n ga n dt h ed o m a i ni s ( 反r ) 一r e i f e n b e r gf l a t w 色w i l lu s e t h em o d i f i e d v i t a l ic o v e r i n gl e m m aa n d t h ee q u i v a l e n c et h e o r yf o rl ps p a c ee s t a b l i s h e db yc a f f a r e l l i a tl a s t ，t h em a i nc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e ra r es u m m a r i z e d ，a n dt h ef u r t h e rr e s e a r c h p r o b l e m sa r ep r e s e n t e 智 ， k e y w o r d s ：( 反r ) 一v a n i s h i n g ；r e i f e n b e r g f l a td o m a i n ；r e v e r s eh t l d e ri n e q u a l i t y ； m o d i f i e dv i t a l ic o v e r i n g ；g l o b a le s t i m a t e c l a s s n o ： 0 1 7 5 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。 特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 。 学位论文作者签名： 乃伟芯即 签字日期：卅年7 月f 日 签字日期：卅年7 月f 日 导师签名： 签字日期： 砰锋坷 川年7 月伸 致谢 本文的工作是在我的导师郑神州教授的悉心指导下完成的，在论文选题、 研究、定稿的过程中，郑老师自始至终给了我大力的支持和无私的关怀感谢我 的导师，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样，他循循 善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪无论是在科研上，还是在平 时的生活中，他都给了我无微不至的关怀与鼓励他严谨的治学风格，广博的 知识，精益求精的科研作风，敏锐的学术思想和忘我的工作精神影响并鞭策了 我，是我今后生活与工作中一笔极大的财富，在此谨向郑老师表示深深的感谢 感谢卢寒芳、章腊萍、史志杰、李俐、王喜芬等师兄师姐对我的帮助和指 点，无论是在平时的学习，还是在论文的写作中，他们都给我提出了很多宝贵 建议，在此向他们表示真诚的感谢此外，在撰写论文期间，丁小文、张娜、司 涛涛、潘信飞等同学都给予我热情的帮助，我也从中学到很多知识，在此向他 们表达我的感激之情 最后，感谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，并给出批评意见回首 两年的研究生生活，自己的每一步前进，都离不开老师、亲朋和同学的支持与 教诲，在此表达我对他们最衷心的感谢! 北京交通大学硕士学位论文第l 章椭圆方程正则性问题的研究背景 第1 章椭圆方程正则性问题的研究背景 1 1 背景介绍 偏微分方程的经典理论所关心的是在经典意义下经典解的存在性和有关解 的性质，这样的考虑一方面是往往带来所研究问题的不方便，造成证明解在经 典函数类中存在性问题的困难；另一方面，也许在经典意义下问题本身就没有 解，而实际现象又是客观存在的，这又作如何解释呢? 实际上，在我们建立偏 微分方程模型的时候本质上是一个近似的过程，一个是忽略了次要因素，另一 个是为了运用微积分这强大的工具，把一些不能可微的地方用微分来处理了， 这样造成用经典解就不能反映实际问题的本质随着偏微分方程理论的发展和泛 函分析理论的日益成熟，从上世纪3 0 年代开始，分析学家便考虑在更广泛的函 数类中寻求问题解的存在性s o b o l e v 函数空间的引入为偏微分方程现代理论提 供了合适的研究平台，s o b o l e v 函数类是一种特殊的泛函空间，既没有经典解那 样要求函数具有很强的光滑性约束，又能为研究偏微分方程提供大量的泛函技 术，如：r i e s z 表现定理的变形l a x m i l g r a m 定理为线性散度型椭圆方程解的存 在性提供了重要的基础；算子的连续性方法，不动点理论和变分下半连续方法 等为非线性方程提供了泛函框架o l 数学家h i l b e r t 在2 0 世纪初提出的众所周知的2 3 个本世纪要解决的数学问题 中，第1 9 题和第2 0 题的笼统提法是： 第1 9 题：正则变分问题的解是否总是解析的? 第2 0 题：在解的意义适当延拓的意义下，满足边值问题的正则变分是否有解的 存在性? h i l b e r t 提出的这两个问题，立即得到从事偏微分方程工作的许多数学家 的深入研究，随着研究的逐步深入，衍生了许多与此有关的问题1 9 0 4 年，s b e r n s t e i n 就平面上单个非线性方程( n = 2 ，n = i ) 正则性给出了首个结论：平面 内的非线性二阶解析椭圆方程的c 3 类解是解析函数1 9 3 2 年，e h o p f 用不同 于s b e m s t e i n 的证明方法，将此结论从平面推广到任意维数情形，并证明了其 解的解析性，但仍是对于单个方程的1 9 3 9 年，i p e t r o w s k y 曾证明了一类椭圆方 程组解的解析性至1 9 5 7 年左右，c b m o r r e y ，l n k e n b e r g 和a f r i e d m a n 等人 的最后工作证明了：对于一般的线性和非线性解析椭圆方程组，每一个充分光 滑的解一定是一个解析函数这个所谓的充分光滑解，也就是说，解u 的光滑性 要达到c l 口期间r c a c c i o p p o l i ，s c h a u d e r ，a d o u g l i s ，s a g m o n 等对线性椭 北京交通大学硕士学位论文第l 章椭圆方程正则性问题的研究背景 圆方程组正则性问题都作出过重要的贡献 1 2 弱解正则性研究的历史突破及技术分析 1 线性方程的s c h a u d e r 理论 至5 0 年代，线性方程的s c h a u d e r 理论【2 7 1 得到完美的结果，对于如下的非散 度型方程 一日( x ) d i j u = 八力，x q 如果f c 罂，a i j ( x ) c 口( q ) ( o 口 0 使得 a i 嗣2 a q ( x ) 毒i 白a i , f 1 2 ，口p x ，v , f f ( 1 2 ) 则存在仅依赖于n ，口，a a 与a 口的正数r o l ，对v 0 r r o ，b rcq ， 有m 瑶( 昧) ，并且有估计 d 2 “k 鳓c 去口，鼬+ f 2 叫川。，j 其中c 只依赖于n ，a a 与a 口 考虑证明技巧上的不同，我们只给出其主要思路：不妨设a = 1 设鲰的球 心为x o ，应用凝固系数法，将方程写成 一a u ( x o ) d i j u = ， 其中7 = f + ( a i j ( x ) 一a i i ( x o ) ) d 玎u 贝0 d 2 u 口c d g c l f 口+ m d 2 u 口+ l u l 2 对川2 应用内插不等式，得 【萨“】口c 俨 d 2 u 口+ c l 门瑾+ 厅2 l u l o 】j ， 适当取r o ，则当0 0 ，0 0 0 使得 伽i 跏n f u _ _ _ 丢( 五批丸 ( 3 ) 若“w 1 , 2 ( q ) 为方程( 1 3 ) 的弱解，则有e s ss u p u e s s i 。n f u 即h a m a c k 不 等式成立；利用迭代技巧得，存在正常数0 0 及0 r 1 ， 使得对于v 昧cq ，都有 黜。s “鲴扣e s s c o s c b a x u + a rt lf i t + 鄹刖别 3 北京交通大学硕士学位论文第1 章椭圆方程正则性问题的研究背景 下面我们只简要概括一下此结论证明的主体思想：考虑 了竺收加划：盎 记w = 比一，并且记饥( 尺) ，u 。( 尺) ，w w ( r ) 为u ，y ，w 在啷( 劢) 上的振荡此方 程对1 ，是齐次的，故由h a m a c k 不等式得0 9 ，( o r ) ( 1 1 c ) w 。( 尺) ，0 0 l ( 这 是d eg i o r g i 迭代技术的结果) 于是 而对于w 满足方程： w ( o r ) 叫，( 躲) + ( 觚) ( 1 - 石1 ) u ，( 尺) + 2 1 1 w i i p ( 砌) ( 1 - 1 ) o j 。( r ) + 4 1 1 w p ( ) 尝耽小n q 尸三茎 故由弱解的极值原理，有 训p ( q ) c f o l n r ( x o ) l ：一 = c r l 一；凡， 其中f o = 旧b + 咿于是u “( 职) ( 1 1 c ) t o “( r ) + c o f o r l 一；故 0 r f 1 一n q ，使得“皑( q ) ，并且 魄僻) c ( 惫) 7 ( 。( ) + 凡弼) d eg i o r g i 的工作本质上解决了非线性椭圆和抛物方程弱解的适定性问 题，尔后m o s e r ，j n a s h ，j s e r r i n ，n t r u d i n g e r ，0 a l a d y z h e n s k a y a 和n n u r a l t s e v a 等对其方法加以改正和发展，建立了散度型非线性椭圆和抛物方程 的c 正则性理论，就单个方程来说得到了较为满意的结果与s c h a u d e r 理论比 较，存在着两个问题：一是d eg i o r g i 迭代得到弱解的h o l d e r 估计指数的不定量 确定性；二是两者比较主项系数a 6 ( x ) 的正则性函数类假设c 口和r 也存在着 过强和过弱，一个直接的想法是a i y ( x ) c o ( q ) 时怎样呢? 或者更弱一点，甚至 不连续情况时怎样? 下章，我们着重讨论主项系数a i j ( x ) 在连续或更弱条件下的 各种前沿研究成果、主要研究思路以及本文研究问题的提出 4 北京交通人学硕士学位论文 第2 章主项系数正则性减弱的研究 第2 章主项系数正则性减弱的研究 为了对偏微分方程解的正则性理论有个更加完善的了解，在这一章主要介 绍方程的主项系数a i j ( x ) 在介于上一章两种极端限制条件之间时，某几类方程弱 解正则性的各种前沿成果 2 1连续系数下椭圆方程的理论 1 考虑系数满足a ( 曲c ( 锄时，非散度型方程( 1 1 ) 的上尸理论 定理2 1 设方程( 1 1 ) 的系数a i y ( x ) c ( n ) 满足一致椭圆性条件( 1 2 ) ，厂l p ( f f 2 ) ( 1 p o o ) ，则存在仅依赖于n ，只人a 和a i i ( x ) 的连续模僻) 的正数r o 1 ，使得 对v o r r o ，若b r cq ，比w 尹( 昧) ( 1 p o o ) 在艮上几乎处处满足方 程( 1 1 ) ，则 ，、 l id 2 “l l 上，( ) c 了1i if i | p ( ) + 尺一2 l l “i i l p ( 昧) ， l “j 其中c 只依赖于以，p ，a a ，记a i j ( x ) 的连续模为似r ) = m a x s u pl a i y ( x ) - a i i ( y ) 1 主要证明思路是：利用凝固系数法将方程转化为常系数方程，利用常系数 方程的相关结果( 奇异积分算子的l p ( 1 p o o ) 有界性) 得出一定结论，再应用内 插不等式可得所要的结果 2 考虑系数满足a i j ( x ) c ( q ) 时，散度型椭圆方程 一d ，( ( x ) o i u ) = d i 厂( 力 ( 2 1 ) 的胪理论 证明过程中用到如下内插定理： ( s t a m p a c c h i a 内插定理) 设1 q o o ，若r 是l q ( q o ) 到l q ( q o ) 的有界线性 算子，又是l 0 。( q o ) 到b m o ( q o ) 的有界线性算子，即 t ui i l g ( q o ) c ll lui e g ( q o ) ，v m l q ( q o ) ， 0t u i b m o ( q o ) 冬c 2 1 1ui i l * ( q o ) ，y u r ( q o ) ， 则丁是( q o ) 到l p ( q o ) 的有界线性算子，即 0t u 忆( q 0 ) c l tui i 工，( q o ) ，v “l p ( a o ) ， 5 北京交通大学硕士学位论文 第2 章主项系数正则性减弱的研究 其中q p + o o ，c 依赖于n ，q ，p ，c 1 ，c 2 q o 是中的立方体，其边平行于坐 标轴 对a q ( x ) 分以下两种情况讨论： ( 1 ) 为常系数时，有如下结论： 定理2 2 - 没a f f 星( 2 2 ) 的系数为常系数且满足一致椭圆性条件( 1 2 ) ，厂l p ( 风) ，p 2 ，若u 是方程( 2 2 ) 的弱解，则d u l p ( b r ) 且有估计 d u 怯( 昧) c l l 厂i i l p ( n r ) 证明思路为：利用l id u 忆( ) c i i 厂忆( ) 及c a m p a n a t o 估计，得 i id ui b l 一( 鲰) c i if i i 工2 一( 鲰) ， 又因2 功( b r ) 2b m o ，可得 i ld ui i l p ( 鲰) c i ifl i ( 鲰) ，2 p + o o ( 2 ) a i j ( x ) 为变系数时，有如下结论： 定理2 3 设方程( 2 1 ) 的系数( x ) c ( _ ) 且满足一致椭圆性条4 q - ( 1 2 ) ，厂 ( q ) ，若u 是方程( 2 1 ) 的弱解，则有d u ：l o 。( q ) 且有估计 d ui i 胪( q ) c “日t ( q ) + i if i i l p ( q ) ) 2 2 在m o r r e y 和c a m p a n a t o 空间的内部正则性 考虑( 曲c ( 五) 和口f 7 ( x ) c o ，u ( q ) 的两种情况下方程( 2 1 ) 在m o r r e y 空间 和c a m p a n a t o 空间的正则性首先对这两个空间做一个简单的介绍： 定义2 1 ( m o r r e y 空间( q ) ) 设p l ，p 0 ，q ( 工，p ) = f 2 n b ( x ，p ) 由( q ) 中 满足 ， s u pp 叫f l u ( z ) l p d z + 0 0 x e l 2 q ( j 力 o p d i a m n 、 的函数组成的集合赋以范数 | l p 一( 鳓= s u pp 叫f p 比 ； o p 。5 d n i a m g j o ( 工一) 后得到的线性赋范空间称为m o r r e y 空间( q ) 6 北京交通大学硕士学位论文第2 章主项系数正则性减弱的研究 定义2 2 ( c a m p a n a t o 空间髟p ( q ) ) 【2 7 】设p i ，p 0 ，由工尸( q ) 中满足 m p 班p 皇is u p 矿f) 一 a p l p d z ； + o o o 印：身茏m q j o ( x 护) 的函数组成的集合赋以范数 m i 抑一( 固= i l u l l z p ( o ) + m 】p 皿 后得到的线性赋范空间称为c a m p a n a t o 空间髟p ( q ) 下面给出当方程( 2 1 ) 的系数a o ( x ) 满足不同条件时的几个主要结论： 定理2 4 若u 为方程( 2 1 ) 的弱解，且为常系数，则当尸= 0 时，局部地有 上2 出鲴矿p i 砰出， 小一- 历p 1 2 d x _ c ( p ) n + 2 i h 刊2 出 定理2 5 若u 为方程( 2 1 ) 的弱解，且a t 。j 为常系数，则当尸0 时，有： ( 1 ) 若f 笼了( q ) ，0 n + 2 ，则d u 绥? ( q ，) ； ( 2 ) 若f 嚷( q ) ，则d u c k 0 , 5 ( q ) 定理2 6 设u 为方程( 2 1 ) 的弱解，且方程的系数a i j ( x ) c ( q ) 时，若厂 髟2 私( q ) = l 2 - u ( q ) ，0 ，z ，则d u 琵( q ) 且有估计 d u l i l z 一c i id ui i l 2 ( 国+ i i f l l l z , d 定理2 7 设u w 1 , 2 ( q ) 为方程( 2 1 ) 的弱解，且方程的系数a y ( x ) c o ，口( q ) ， 若广c o ，口( q ) ，则d u c 2 ( q ) 2 3 椭圆系数a i j ( x ) w 1 ，n ( q ) 下的正则性 1 反例 ( 1 ) ( p u c c i c 给出的) 设q = 工ii xi 2 ；= 、x 呼i x j 、( | 一a n ) + 6 i j i ) d i j 其中0 丽n 而- 2 ，为k r o n e c k e r 符号记a = 霄x i x , ( 1 一, k ) + 6 0 l t 7 - - l ， 可以验证l 为严格椭圆的，即，a f a 吲2 且 7 l = x 义 疗洲 = x a 栉斟 i i 以丁 北京交通大学硕士学位论文第2 章主项系数正则性减弱的研究 t r a 2 = a ；( j ) = z ( a i j ( x ) ) 2 = 1 2 ，l ( ，l 一1 ) - 2 a ( 甩一1 ) + 1 由于0 a 击但l ：w 2 2 ( q ) n 喇2 ( q ) 一 l 2 ( q ) 不是同构映射，如取某个2 ( q ) 上的g k ( x ) 为 咖，2 i x 胪 - i a 黜登 则在2 ，2 ( q ) n 州2 ( q ) 中无对应的解 ( 2 ) 设圭a + 易丽x i x d 玎，b = 哗警，m a x 2 一互n ，o i a l ，直接验证l 是一致 椭圆的： 吲2 ( 5 i j + 6 箫) 褊 ( 1 删旧2 ，v 手形 但对于 僻i 。篡 可验证u l ( x ) = i x l 一1 ，u z ( x ) = 0 都在空间w 2 ，2 ( q ) n 畎2 ( q ) 内，且均为此方程的 解所以唯一性不成立 反例表明对于方程 i a o ( x ) d i j u = 八功工q lm = 0 工施 ( 其中a i j l ”( q ) ，且存在常数a 使得d j 专i 6 a 坪，g ( 工) l p ( 1 p 0 ，可以不意味着是喊2 ( q ) - 口( q ) 的同构的若a i j ( x ) w 1 ，n 托( q ) ，则a i j ( x ) c o 口( q ) ，此时为s c h a u d e r 理 论对于a 7 ( x ) w 1 ，厅( q ) ，主要的结论为： 定理2 8 设方程 l 删u - a i j d i y u 锁力工篡 的系数满足a i j ( x ) w 1 ，“( q ) ，且满足一致椭圆性条件，八力口( q ) ，q 2 且a q c 2 ，则方程存在唯一解u w 2 ，2 ( q ) ，若q ，l ，则有 d u l l l 尚( 囝刊“i i l 2 ( q ) c i i f ( x ) l l l 町a ) 8 北京交通人学硕士学位论文箜兰童圭项系数正型壁速烫塑婴窒 2 4 椭圆系数口歹v m onl ( q ) 下的正则性 首先给出v m o 空间的概念及部分性质： 定义2 3 ( b m o 空间) 设f l 匕( ) ，称f b m o ，如果满足 i f s 字高j = i 八力一亢l 出 + o o 定义2 4 ( v m o 空间) 设厂b m o ，记 ( 厂) = s 脚u p 两，i f ( x ) 一无i 出，称， v m o ，如果满足娥y f ( r ) = 0 ，其中竹( r ) 称为厂的v m o 模 v m o 空间与一般的函数空间之间的关系为： ( 1 ) c ( q ) cv m o ( q ) ； ( 2 ) w l ，n ( q ) cv m o ，并且是它的真子集； ( 3 ) b e s o v 空间w o , h 口cv m o ，v o 0 e 若k f 及c ( a ，力为其序列的意义下的极限，则 0k fi l 胪c l l 厂驴， i ic ( a ，力i i p c l la1 1 , 1 1fi i ， 其中l ia 限为b m o 半范 主要结论为： 定理2 9 设“w 2 ，曰( q ) n 喇。( q ) 是方程( 1 1 ) 的弱解，f ( q ) ，其中1 qs p 0 很小时才适用在文献【2 2 中，r e i f e n b e r g 引进了r e i f e n b e r g 平坦区域，并证明它局部上是一个拓扑圆面，其典型例子就是著名 的v a nk o c h 雪花曲线，v a nk o c h 曲线是一种自相似的j o r d a n 曲线并且是一 个初级分形集在文献【ll 】中，作者构造了一种r e i f e n b e r g 平坦区域，其边界 在+ 1 中具有比n 更大的h a u s d o r f f 维数，这种区域在现实生活中能找到原型， 如：血管、肺脏的内部结构、股票市场数据图、细菌和蕨类的生长、云朵、山 脉等等在文献 1 0 ，1 1 ，1 9 ，2 0 ，2 l ，2 2 ，2 5 】中对r e i f e n b e r g 平坦区域的概念做了更深 一步的讨论值得注意的是r e i f e n b e r g 平坦区域是w l t p ( 1 p o o ) 扩张域( 具 体请参考文献 1 2 ，1 3 ，1 8 ) ，因此延拓定理和s o b o l e v 不等式在 尺) r e i f e n b e r g 平 坦区域上很有用，这对无论是抛物型还是椭圆型的方程的w 1 护正则性定理同样 重要对于具有非光滑边界的区域，这个性质在文献 1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 8 1 中有所阐述 另外，通过换算，定义2 5 与定义2 6 中的r 都能换成l ，其中6 为换算变量整篇 文章都把6 看作一个很小的正常数 对于定义在r e i f e n b e r g 平坦区域上，具有小的b m o 系数的椭圆方程 甜- d ：i 詈玎( 功。，“) = 。f 广二茎言二 的正则性己做出如下结果： 正m i p d x _ cj = i f 慨 v l p 譬a ( z ) v “) = d 如i 厂i p 2 厂 支乙竺 c 2 3 ， 的w 1 p 正则性结论，其中qc 为有界开集力求找到一个类似于 i v u l l z ，( n ) c i i f l l b , ( n ) ，1 p 2 时此方程弱解的相关正则性结果p = 2 的情况文 献 2 】中已做研究，而1 p 2 的情况可由对偶的方法得出结果 文章采用的方法与文献【7 ，2 6 类似，其中c a l d e r 6 n - z y g m u n d 分解在【7 】中被用 到，v i t a l i 覆盖引理在【2 6 】中被用到本文的主要工具是v i t a l i 覆盖引理、h a r d y l i t t l e w o o d 极大值函数和紧性方法 北京交通大学硕士学位论文第3 章具( 最回一消失主项的内