（应用数学专业论文）三阶非线性差分方程解的振动性与渐近性.pdf

j 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明。此处所提交的硕士论文三阶非线性差分方程解的振动性 与渐近性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确 的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名吻玩褫吃日期i o 上l a r 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 三阶非线性差分方程解的振动性与渐近性系本人在曲阜师范大学攻 读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲 阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了 解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大 学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分 内容 僦名z 巾叹日期珊上心 导师貅自锺啉沙。j - 倦 。i 曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 根据内容本论文分为四章 第一章概述了本文的研究背景和研究问题 在本文第二章中，我们研究了三阶非线性中立时滞差分方程 ( 厶( z n + 胁z 住一r ) ) 7 ) + g n ， n - a ) = 0 ， n n o ， ( 1 1 ) 解的振动性与渐近性问题，其中定义为前跳差分算子，对于任一实数列 z n ) 有z n = x n + l z n ，0 0 我们利用r i c c a t i 变换和不等式估计给出了当0 0 时，方程( 1 2 ) 的 非振动性定理在第二节中建立了当o 0 时，方程( 1 2 ) 的振动性定理所得 结论推广和改进了p a r h i 和p a n d a 的相应结果最后，通过三个例子来说明所 【- 曲阜师范大学硕士学位论文 得结果的重要性 关键词：三阶差分方程；非振动性；振动性；r i c c a t i 变换；渐近陛； 广义差分算子 u o s c i l l a t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro f t h i r d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s a b s t r a c t t h ed i s s e r t a t i o l li sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt ot h ec o n t e n t t h ef 泣8 tc h 印t e rs u m m a r i z e st h eb a c k g r o u n da n dt h em a i np r o b l e m so f t h i sr e s e a r c h i nt h es e c o n dc h a p e r ，w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o r o ft h et h i r d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ( ( 如( z n + 一下) ) 7 ) + ，( 一盯) = 0 ， n n o ，( 1 j ) w h e r ead e n o t e st h ef o r w a r dd i f f e r e n c eo p e r a t o rd e f i n e db ya x n = x n + l 一孙 f o ra n ys e q u e n c e z 亿) o fr e a ln u m b e r s ，0 0 b yu s i n gr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n de s t i m a t e so fi n e q u a l i t i e s ，w ee s t a b l i s h 8 0 m es u m c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h a te v e r ys o l u t i o n ) o fe q ( 1 1 ) e i t h e ra p p l i c a t i o n so s c i l l a t e so rs a t i s f i e sl i m n 。z n = 0 o u rr e s u l t ss o l v e8 n o p e np r o b l e mp o s e db ys a k e r t w oe x a m p l e si l l u s t r a t i n gt h ea p p l i c a t i o n so f o u rr e s u l t sa r ea l s og i v e n 1 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yt h en o n o s c i l l a t i o na n dt h eo s c i l l a t i o no fa c l a s so ft h i r d - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s 。溉：蜘) + 口n ：鲰= f ( n ，y n ，6 蜘，：) ，n n ，( 1 2 ) w h e r eni st h es e to fn a t u r a ln u m b e r s ，a ，b r o ) ，ri st h es e to fr e a l n u m b e r s ， m ) a n d ) a l er e a ls e q u e n c e sw i t h p n 0a n d ，：n r 3 一r t h em a i nr e s u l t si nt h i sc h a p t e ra r ed i v i d e di n t ot w op a r t s i nt h ef i r s t p a r t ，n o n o s c i u a t o r yt h e o r e m sf o re q ( 1 2 ) w i t ha 0 a r ee s t a b l i s h e d o s c i l - l a t o r yt h e o r e m sf o re q ( 1 2 ) w i t hn o , u 0 且 ，( 札) 一l ( v ) = 夕( 札，可) ( t 一u ) ，u ，t ，0 ，夕( u ，u ) 钍 0 在线陛条件下，即，( u ) = u 时，他们假设条件( i ) 和( i i ) 成立，通过r i c c a t i 变换建立了方程( 2 1 1 ) 的振动准则在非线性条件下，他们假设条件( i ) 一( 谢) 均成立，通过将关于，的条件化简为r i c c a t i 差分不等式，建立了方程( 2 1 1 ) 新的振动准则 t h a n d a p a n i 和m a h a l i n g a m 1 4 】研究了三阶非线性中立型时滞差分方程 ( ( 厶( z n + 一r ) ) ) + g 竹，( 一盯) = 0 ， n n o 解的振动性的充分条件 在线性条件下，即l ( u ) = u 时，他们通过广义r i c c a t i 变换得到了新的振 动准则，改进了 1 1 】的结果同时，在非线性条件下他们假设条件( i ) 一( 讹) 均成立，建立了新的振动准则 在【1 1 ，1 4 】的基础上，s a k e r 1 9 研究了三阶非线性中立型时滞差分方程 ( ( 如( + z n r ) ) 1 ) + q f ( x n 一盯) = 0 ， n n o ( 1 1 ) 其中7 是正奇数比，且，y 1 ，7 和d r 是非负整数，且7 - 仃，实数列 ) 罂伽、 如) 黯n 。、 ) 巽伽、 ) 黯如和函数f ，满足。 ( 1 ) _ ) 黯伽和 d n ) 黯伽是正实数列，且 n e 曼( 圭) = n 壹- - ：n 0 ( 去) 一 ( 岛) 0 p n o , u 0 且 警k o s a k e r 利用r i c c a t i 变换给出了方程( 1 1 ) 新的振动性和渐近性准则，所得结果 推广和改进了 1 4 】的相应结果 2 曲阜师范大学硕士学位论文 在本文第二章中，我们研究了当0 ，ys1 时方程( 1 1 ) 解的振动性与 渐近性问题，其中定义为前跳差分算子，对于任一实数列【z n 有z n = z n + 1 一z 他，0 k o 我们利用r i c c a t i 变换和不等式估计给出了当0 0 时，方程( 1 2 ) 的 非振动性定理在第二节中建立了当a 0 时，方程( 1 2 ) 的振动性定理所 得结论推广和改进了p a r h i 和p a n d a 3 6 】的相应结果最后，通过三个例子来 说明所得结果的重要性 4 第二章三阶非线性中立时滞差分方程解的振动性与渐近 性 2 1 引言 本章主要研究三阶非线性中立时滞差分方程 a ( c n a ( d n a ( x n + p n z n r ) ) 1 ) + q f ( x n 一口) = 0 ， n n o ， ( 1 1 ) 解的振动性与渐近性问题，其中定义为前跳差分算子，对于任一实数列 茁n 有= z 1 一z n ，0 k o u 方程( 1 1 ) 的解是一个非平凡的实数列 z n ) n o 一仃) ，且当n n o 时， z n ) 满足方程( 1 1 ) 如果当n = n o - - 0 ，n o - a + l ，礼。一1 时z 住= 厶， 则方程( 1 1 ) 有满足初始条件的唯一解如果对每一个仃1 n o 存在n 钆1 ， 使得x n x 外1 0 ，则称方程( 1 1 ) 的解 z n ) 是振动的，否则是非振动的 g r a e f 和t h a n d a p a n i 1 l 】研究了三阶非线性时滞差分方程 a c c , , a c d ( 而；) ) ) + q n f ( x n 一口十1 ) = 0 ， 礼r ， ( 2 1 1 ) 的振动性，其中 5 o 。；。； 第二章三阶非线性中立时滞差分方程解的振动性与渐近性 ( i ) ) n - - n 。和 d 胆o o 伽是正实数列，且 n 妻- - ：n o ( 圭) = n 虽- - - - - n o 厂1 ) 一独 ( i i ) o 且 ) 黯n 。有一个正子数列5 ( 沈) ，：r _ 冗是连续函数，u f ( u ) o , u 0 且 ( u ) 一f ( v ) = g ( u ，钉) ( 让一移) ，缸，口0 ，g ( u ，移) u 0 在线性条件下，即，( u ) = u 时，他们假设条件( i ) 和( i i ) 成立，通过r i c c a t i 变换建立了方程( 2 1 1 ) 的振动准则在非线性条件下，他们假设条件( i ) 一( i i i ) 均成立，通过将关于，的条件化简为r i c c a t i 差分不等式，建立了方程( 2 1 1 ) 新的振动准则 t h a n d a p a n i 和m a h a l i n g a m 1 4 研究了三阶非线性中立时滞差分方程 a ( c 竹a ( d n a ( z n - t - p n x n - - t ) ) ) + q y ( z n 一盯) = 0 ， 扎n o ， ( 2 1 2 ) 解的振动性的充分条件在线性条件下，即，( u ) = t 时，他们通过广义r i c c a t i 变换得到了新的振动准则，改进了 1 1 】的结果同时，在非线性条件下他们假 设条件( i ) 一( i i i ) 均成立，建立了新的振动准则 在【1 1 ，1 4 】的基础上，s a k e r 1 9 】研究了三阶非线性中立时滞差分方程( 1 1 ) ， 其中7 是正奇数比，且，y 1 ，7 和仃是非负整数，且丁矿，实数列 ) 黯伽、 d 一c on 。、 ) 黯n 。， ) 甚n 。和函数，满足， ( 日1 ) ) 甚竹。和 如 黯加是正实数列，且 量( 妾) = n “- - - - n o 1 ) 一 ( 上如) 0sp n o , u 0 且 型 k o u 7 6 曲阜师范大学硕士学位论文 s a k e r 利用r i c c a t i 变换给出了方程( 1 1 ) 新的振动性和渐近性准则，所得 结果推广和改进了【1 4 】的相应结果 本章主要研究当0 0 ， 0 ，( 如磊p 0 ( ，) z n 0 ， 0 引理2 2 2 若 。n ) 是方程( 1 1 ) 的最终正解，引理2 2 1 中情况( j ) 成 立，则对某一充分大的n 1 ( n 1 伽) ， ) 是不等式 ( 岛( 如) 7 ) + k q n ( 1 一一口) 一口0 ，n n l ，( 2 2 2 ) 的正解 证明由条件( 危2 ) 可得 磊) 为正数列由引理2 2 1 的情况( ，) 可推得， 当礼n l 时z n ( 1 一) 于是，存在n 2 n l + d r ，使得 x n 一口( 1 一p ，l 一盯) z n 一口 由上式和条件( 3 ) 知，不等式( 2 2 2 ) 成立 引理( 2 2 2 ) 证毕 引理2 2 3 1 1 4 1 若 z n 是方程( 1 1 ) 的最终正解，引理2 2 。l 中情况( i i ) 成立，则存在佗1 n o ，使得 一- r 而z n ，扎n 1 ( 2 2 3 ) 8 引理2 2 4 若条件( h i ) 一( 九3 ) 成立，引理2 2 1 中情况( j ，) 成立，且满 足下述条件 ( h 4 ) 器加i 瓿q - 磊= o o ； ( 危5 ) 击( = 丢= 蔬2 ) ；： 则方程( 1 1 ) 的每一个非振动解 z n ) 满足 l i r az n = 0 ( 2 2 4 ) 证明 假设 z 体 是方程( 1 1 ) 的非振动解不失一般性，设对于充分大 的n l ，当佗n l 时一口 0 ，此时引理2 2 1 成立( 当 z n ) 最终为负时， 证明过程与此情况类似，令= 一将方程( 1 1 ) 等价代换即可) 由( 2 2 3 ) 可得，存在个礼2 n l ，使得 口老，礼 ( 2 2 5 ) 由引理2 2 1 中的情况( j ，) 可知磊是递减的，又仃r ，故( 2 2 5 ) 可变形为 z 砥z n ，n n 2 ( 2 2 6 ) 由条件( 九3 ) 和( 2 2 6 ) 可得 ( c n ( 厶) 7 ) + r 塞兰= 。， n 他 ( 2 2 7 ) 因为 ) 是递减的正数列，所以1 i i 。z n = b 0 下证b = 0 我们假设b 0 ，即当n _ o o 时，有_ b 0 此时存在n 2 仇1 使得 当佗n 2 时，有z n b ( 2 2 7 ) 可变形为 ( c n ( d n ) 1 ) + r 再k 磊q n 6s 。， 仃扎2 9 箜三童三阶非线性中立时滞差分方程解的振动性与渐近性 令乱n = c ，l ( d 竹) ，y ，则 一再k 云q = 争，礼礼2 对上式从n 2 到他一1 求和，得 u n 2 - b k 三而q 焉8 8 2 n 2 一 由条件( h 4 ) 可知，我们能找到一个充分大的珊，使得当n 锄时，有 一等三n - 1 忐 则 讯吲7 一等专三n - 1 忐 对上式从珊到n 一1 求和，得 c 椒咫c 屯a z n s ) r - - 等t 莹- - - - n 3 眭8 = 1 7 , 3 忐) 由于当礼n o 时 0 ，上式可变形为 c 椒腿一警t 挑= n 38 萎- - - - n 3 忐) 一( 警) 号妾( 萎壶量忐) ； 对上式从n 3 到佗一1 求和，得 7 z n 3 - - ( 等) ；茎壶( 量丢量毒杀) 毒j 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由条件( 危5 ) 可知当n _ 时，一一0 0 ，这与是正数列矛盾因此 b = 0 ，即h n l ，l 。z n = 0 由条件( 九2 ) 知，0 0 ， ( ( 厶磊) 7 ) 0 故 ( 厶) 1 ：( 如。) 7 + 1 c s a ( d , a z , ) r c ，l 厶( 厶) 7 ， 佗佗1 归n 1 ( 2 2 i 0 ) 由于( ( d n 磊) 7 ) 0 ，则 一口( 厶一仃一口) 7 ( 厶) 1 由( 2 2 1 0 ) ，上式可变形为 ( 如一口一仃) 7 一矿矗一盯( 如一盯一盯) 7 c - n 氏一仃( d ，i ) 1 ，死n 2 = n 1 + o r 故 ( 如一盯一一) 1 c n 氏一口( 厶磊) 7 ，n 死2 = n 1 + 盯 ( 磊一仃) 7 c n $ , l - , , a 丽( d n a z n ) y ， n n 2 ：n l + 仃 a 二一 1 1 柄坠型掣，礼独 一d 一 引理2 2 5 证毕 引理2 2 6 1 纠对所有的z 秒 0 且p 1 ，有护一矿2 1 一p 一秒) 卢 引理2 2 7 假设存在一个二重数列 ，n ：m n o ) ： ( i ) ，m = 0 ，m o ； ( 施) 一 0 ，m 死o ； ( i i i ) a 2 h m ，n = 日m ，n + 1 一。n 有 m l 证明 n - = - n l 0 ，m 他0 珥t ，n n l l + 日n n 牡k n = n l t + 1 2 加 ， m l ，n ( t o n + 1 一) = ( ，n 一，n + 1 ) t 2 2 7 l n = r l l = ，九l 1 一，n 1 l + 1 + 日m ，n 1 + 1 1 + l 一，f l l + 1 1 + 2 + = ，竹1 伽n 1 + l + 1 2 ，n 1 + + w i n - 1a 2 ，m 一2 一，m 一1 仇一1 = m 。+ + 1 2 ，住一m - 1 叫m b 一- - - n l m 一1 h m ，n l 1 + n = n 1 + 1 2 n 1 2 一一一 曲阜师范大学硕士学位论文 2 3主要结果 在本节中，我们将建立方程( 1 1 ) 的每个解 z n ) 或者振动或者满足l i r a n 。z n = 0 的充分条件 定理2 3 1 假设条件( 1 ) 一( 5 ) 成立，且存在个正数列 风) 甚伽使得 恕sup壹(kp,qt(1-pz_,)l=no一掣4 p z 卜 仁3 m o ，二疗， 则方程( 1 1 ) 的每个解 z n ) 或者是振动的，或者满足( 2 2 4 ) 证明 假设 z n ) 是方程( 1 1 ) 的一个非振动解我们不妨假设对于充分 大的n l ，当仃n l 时有x n 一盯 0 ，故引理2 2 1 ，引理2 2 2 ，引理2 2 3 ，引理 2 2 5 均成立当z n 0 的情 况即可 此时由( 2 2 1 ) 得 0 ，且由引理2 2 1 可得存在两种情况( ，) 和( ，) 首先我们考虑情况( ，) 由引理2 2 2 ，知 0 ，且 ：( ，队c 竹a ( d n a z n ) 、1 2 硫一仃 = ( ( “) 7 ) p n ：) + ( 兰) ( + ，( 厶+ 磊+ ) 一r ) 亍趔掣，啦+ 1 坩( 尝) 1 3 由( 2 2 2 ) 可得 a w , 生( - k q , , o - p n 一口) 磊一盯) + ( c ，l + 1 ( 厶+ 1 磊+ 1 ) 7 ) 7 付一盯 ：一风( k ( 1p r i m o ) ) + 全堕鱼! 兽墅生型坳一 詹n 一盯+ 1 ：一风qn+垒丛+1一pncn+la(dn+lazn+1)7hzn_a 陬+ 1 j 一仃j 一仃+ 1 其中q n = k q n ( 1 二一矿) 由引理2 2 1 情况( ，) 得z n 一叶12z n 一口 ( 2 3 3 ) 可变形为 一仃陬一砌一盯 z n 一仃j 一a + l 砌c n + 1 ( 如+ 1 磊+ 1 ) 7 一盯 一肌qn+垒!堕+1一一pncn+la(dn+lhzn+1)yazn_a p n + l 兹一盯+ 1 由引理2 2 5 可得 一如q n + 垒：堕+ l 一 砌+ l 一, r z n a + l ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 由引理2 2 2 ，知( ( 厶) 7 ) 一k q ( 1 一p n 一矿一口) 0 ，则 c n + 1 ( 厶+ 1 + 1 ) 1 c n ( 如) 7 由( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 可得 一砌q n + 垒：堕+ l p n + l ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) =一风qn+a#+n。+。一垒薹叁曼艺麦兰掣 一碱+ 垒p n + l 帅一告(d n 一盯 c r i + 1 ( 如+ 1 + 1 ) 7 1 4 z n 一口+ 1) 2 ( 2 3 7 ) 由( 2 3 2 ) 和( 2 3 7 ) 知 冬一砌骗+ 垒堕+ 一五p n ! n 磊- a + 。6 0 时2 p n + l ，( 2 3 8 ) 一口璐+ 】” 、7 经过运算，我们可以得到 一风q n + 掣 4 p n 6 二一；- ( 亟p n + 1 帅+ 箍) 2 一卜一镂) 即 她乏一f 砌骗一掣 4 几旺一 对( 2 3 9 ) 从7 1 , 1 到他求和，得 x o j n + l 飞卜l 壹= n l 卜警) 一1 一l 0 ，且由引理2 2 1 可得存在两种情况( ，) 和( i i ) 首先我们考虑情况( ，) 由引理2 2 2 知 ) 是时滞差分不等式( 2 2 2 ) 的一个正解 定义数列 n ) 为( 2 3 2 ) ，由定理2 3 1 可知，w n 0 且( 2 3 8 ) 成立 由( 2 3 8 ) 可得当n n l 时， 故 肪虢一伽脚a p n + ，一老略t 肌+ 1瑶+ 1 m - - 1 ( 仇一n ) a 风q n n = n 1 7 7 1 , - - n ) a 瓮， 接下来。经过部分求和可得 m - 1 m - i ( m 一几) a = 一( m 一佗) a w n ，一+ 2 ( m 一扎) a ， n 2 n 1 t l = 竹l 1 6 ( 2 3 1 2 ) 南 一一 ” + 以 n 一1 伽 一一。件 觚 瓦石 咖 帕 一 一 m m 一= 一 一 其中2 ( m n ) a = ( m n 一1 ) a 一( m 一咒) ，故 m 一1 n 一- - - n i( m n ) a = - ( m n 1 ) a w n l 十 由引理2 2 6 ，我们可以得到 竹1 一1 ，n 1 n - - - - , n l + 1 ( ( m 一亿) 一( m 一佗一1 ) a ) ( m n ) a 一 7 , 一n 1 ) a l + 1 1 , = 7 1 1 代入( 2 3 1 2 ) 得 m 一1 则 n = n 1 1 m a ( 故 ( m 一佗) a 风q n 仇一l n 一- - n i ( m 一亿) a 风q n m n l m n l 1 + 弋 m ) k 一去 ) 一嘉 仇一1 t l = n 1 ( m 一仃1 ) a l 一 + m l i , = 7 1 1 r n 一1 t l = n 1 仃i 一1 m 一1 ，l ：= n 1 2 1 - a w n + 1 2 1 - a 乞v n + 1 ( m n ) 瓦a p + 。+ z n = n l( m 刊a 表2 - 胨+ 1 ( ，t z - - n ) a 磊2 。一( 等 2 i a ( m n ) a ( m - 筹帅一糍( 等一 m - - n ) a p g n + l ( 风a p + n 。 历1 m l - - 1 ( m n ) 风q n ( n = n 1 仇一1 7 , 1 2 1 _ a ( m 一礼) a ) + 去 1 7 ) 2 ， t n 一1 i 一- - - n l 、) w n + 1 j 2 1 一 ( m 亿) a m - n ) 1 砖 f k p n 阳+ l ) 2 2 1 一a ( 仇一n ) a) 2 ， 毗 一 第二章三阶非线性中立时滞差分方程解的振动性与渐近性 即 去薹c ，a 卜一p 2 n i - i ( 帅a p n 一而2 刊1 - aa 2 佗o ； ( i i i ) a 2 h m ，n = 月仇，竹+ 1 一日_ m ，他0 ，m 凡0 如果 恕s u 峙1 m - - 1 。 k 陬骱( 1 一p n - - o ) 一p 瓴2 + 1b 哪 ，( 2 3 1 3 ) 其中 = ( 一鲤p n + l 蚓2 ，瓦= 告，= 一而a 2 h m , n ， 则方程( 王1 ) 的每一个解 z n 或者是振动的，或者满足( 2 2 4 ) 证明假设 z n ) 是方程( 1 - 1 ) 的一个非振动解我们不妨假设对所有的 佗n o 有z n 一口 0 1 8 此时由( 2 2 1 ) 得 0 ，且由引理2 2 1 可得存在两种情况( ，) 和( ，) 首先我们考虑情况( j ) 由引理2 2 2 知 ) 是时滞差分不等式( 2 2 2 ) 的个正解 定义数列 伽n ) 为( 2 3 2 ) ，由定理2 3 1 可知， 0 且( 2 3 8 ) 成立 由( 2 3 8 ) 可得当t 1 , t i , 1 时， t ，l 一1 ，n 肌吼一 r n 一1 一+ t n l 札= ：n l n = 住l= n l 由引理2 2 7 ，上式可变形为 m 一1 n = n l 日m m 一1 一 n = n l，n 彘以柑 j f k n 加q n m - i m ，+ w + l a 2 ，n + = h m 。n 1 l 1 + 互 m 一1 竹= n l ，n 一1 n = n 1 k ，住、嘶l j 1 + j 垒锡卅 p n + 1 日m ，n 鲁硼州一 陬+ 1 们限1 日仇，n ，。+ 去 ( 2 3 1 4 ) 可变形为 仇一1 n = ，1 1 ，7 l l n = ，1 1 1 m 一1 n = n 1 竹垒+ 1 一 如+ 1 警( 佶一鲤p n + i 删2 惫嵋- 付= n l袅伽2 + - ( 2 3 1 4 ) 卜枷钒一警( 一瓮删2 鲰一 1 9 帕 = 一 眦 ( 一 第二章三阶非线性中立时滞差坌友堡堡塑堡塾丝皇堑堑丝 即 呈卜舯q n 一譬( n 一急删2 2 ，m n 0 ， 其中 ( m n ) a = ( m 一亿) ( m 一住+ 1 ) ( m 一佗q - 入一1 ) 2 ( m 亿) a = ( m 亿+ 1 ) a 一( m 一礼) a - , x ( m 一礼) a 一1 因此，当m 0 时，m = 0 当仇 n 0 时，日m ，n 0 ，a 2 h m ，m 0 曲阜师范大学硕士学位论文 推论2 3 2 在足理2 3 3 甲，如果条件【2 3 1 3 ) 抉为 熙8 印去蔓b 卅蒯m p n - - 矿，一玺，一 其中 = ( 入( m x - 2 一垒p n - f 1 而卅2 ， 则方程( 1 1 ) 的每个解t z n 或者是振动的，或者满足( 2 2 4 ) 推论2 3 3 在定理2 3 3 中，如果条件( 2 3 1 3 ) 换为 熙唧研蔓 ( 1 0 9 等陬岬一沪玺 一 其中 = ( 击c 唱等睁p 如n + l ( 1 0 9n 羽+ 1 2 ， 则方程( 1 1 ) 的每个解 z n ) 或者是振动的，或者满足( 2 2 4 ) 推论2 3 4 在定理2 3 3 中，如果条件( 2 3 1 3 ) 换为 恕s 印嘉三m - 1 ( m 刊q 础一) 一镑2 = o o ， 勖，n 一( 斋一等) 2 ， 则方程( i i ) 的每一个解 z n ) 或者是振动的，或者满足( 2 2 4 ) 接下来我们利用广义r i c c a t i 变换来研究( 1 1 ) 的解的性质 定理2 3 4 假设( 危1 ) 一( 5 ) 成立令 肌) 器伽是一个正数列我们假 设存在个二重数列 日n ，n ：m 佗o ： ( i ) h m ，仇= 0 ，m o ； 2 1 第二章三阶非线性中立时滞差分方程解的振动性与渐近性 1 2 0 ) 爿m 。n 0 ，m n2u ； ( i i i ) a 2 目击，n = ，n + 1 一日名，n 0 ，m 他0 如果 恕s u p 瓦1 m - - 1 i 繁嚷n 一，3 ， 其中 皿n = 砌lk c 1 一鼽一仃，+ 警一c 一寸一。，i ， 驴一兰 一面a 2 h m , n m 创， q ，l = 一r 一，一= 一7 f ，仇 n 2u ， 2 p n l ，0 一盯c n + 1 一盯 v1 1 m ，n 则方程( 1 1 ) 的每一个解 z n ) 或者是振动的，或者满足( 2 2 4 ) 证明假设 z n ) 是方程( 1 1 ) 的一个非振动解我们不妨假设对所有的 礼n o 有z 住一圹 0 定义 磊) 为( 2 2 1 ) ，则z n 0 故由引理2 2 2 可知( 2 2 2 ) 成立，且由 引理2 2 1 可知存在两种情况( i ) 和( ，) 首先我们考虑情况( ，) 令 眠= , o n ( 、c 钆a ( d n a z n ) r - + c n - a o l n - 1 z n - 矿) 、 由定理2 3 。1 的证明过程可推。 鲫础+ 帅a p - w 一告( 等) 2 协酏书) 一峥畿略， 因此我们可得 三t 1 - - j - 日m n 一三t i - - j 眠一三，n 丽p n n - a 2 ”( 2 3 1 6 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 其余的证明过程与定理2 3 2 证明过程类似，在此省略 接下来我们考虑情况( j ，) ，由引理2 2 4 的证明过程，可得( 2 2 4 ) 成立 定理2 3 4 证毕 推论2 3 5 在定理2 3 4 中，如果条件( 2 3 1 5 ) 换为 恕8 印瓦1 兰m - - 1 风卜1 一丹垂“刈。， o o ， 仇l 。i m s u ph1 一垫粤九毛疋呶仇。 且m t l ot ：磊j 口h 乐矿” 7 则方程( 1 1 ) 的每个解 ) 或者是振动的，或者满足( 2 2 4 ) 推论2 3 6 在定理2 3 4 中，如果条件( 2 3 1 5 ) 换为 ) ： 黔p 嘉卦叫饥一百a 2 d n _ a ( f p n + 1 ) 2m - n ) 、- 2 卜 则方程( 1 1 ) 的每个解 z n ) 或者是振动的，或者满足( 2 2 4 1 2 4 应用 例2 4 1 考虑如下的三阶非线性中立型时滞差分方程 2 ( 他( 针击。) ) 5 材铀c 1 托2 _ - o ，喇， 其中7 = ，r = 1 ，盯= 2 ，c n = 且f ( u ) u = 1 + 让2 1 ，t 0 1 ，厶= n ，q n = 佗2 ，陬= 击 ( 2 4 1 ) 以及u ，( t | ) 0 由上述条件可知晶= ：o 去= 死+ 1 ，并且( 1 ) 一( b ) 成立 接下来验证条件( h ) ，( h 。) 以及( 2 3 1 ) 成立 由于 故条件( 九4 ) 三j 2 嗍- - _ 1n 2 舌2 三而n 3 1 + p n 1 一 t 氙 讲r n ：2 磊惫n + 1 一w 成立又 妻妾( 萎丢曩志) 专 = ；| s 2 ) 3 薹蜒薹禹) 薹丢( 蓑霎芸) 3 = 8 1 n = 2n 1 厂芸t = o s = o3 ) 3 = 卷篷掣) 3 = 三6 4 = 2 三n 觑t = o 叫 三6 4 = 2 三n ( 吾以佗一3 ) ) 3 = 去妻n = 2 丢以扎一3 ) 3 2 0 0 故条件( k ) 成立 3 ) 3 取风= 他，有 恕唧s 壹= n o 卜”卅掣0 、 4 p 。一 =恕8up壹一83(1一击)一硒s-可20 1j o 一 。 、。， = 舰8 u p 耋( s 3 ( 等) 一万 熙s u p 妻( s 3 ( 字卜硒南b 熙8 u p 壹8 = 0 ( s 2 ( 川) 一环b 、) 、 v 、v ， 故( 2 3 1 ) 成立 因此，由定理2 3 1 ，我们可知方程( 2 4 1 ) 的每一个解 z n 或者是振动 的，或者满足( 2 2 4 ) 例2 4 2 考虑如下的三阶非线性中立型时滞差分方程 ( 抛( 甜南) ) 3 ) + x n - 2 ( n + 1 ) ( 1 + - 2 ) = o , n 独 ( 2 4 2 ) 其中，y2 ，下= 1 ，盯= 2 ，c n = 元1 ，厶= n ，口n = 礼+ 1 ，= ；雨1 以及 u f ( u ) 0 且厂( u ) t 正= 1 + u 2 1 ，让0 由上述条件可知如= ：o1 = 坐掣，p n 一时，= 丢，并且条件( 1 ) 一( 3 ) 成立 接下来验证条件( 4 ) ，( h 6 ) 以及( 2 3 1 1 ) 成立 由于 0 0 0 0 1 0 0 忐p=誊=佗=oo，n ，叁磊+ - a + v 1刍1 + 丢一台一w 、_、_、 故条件( 4 ) 成立又 r 二 一d n = n 0 ( 萎 1 t - 1 三r q 么一 8 - - - - 7 , 0 詹蓑罱) 3 1 =1 + i 夕一 0 ( 3 1 t , 3 主n = 兰o 嘉( 三茎t = 三oc 亡一1 ，3 ) 3 薹嘉( 三 = 嘉妻扣一肛嘉妻( 一) 3 n - - - - o n = o = ( 3 0 n 一1 、3 、 s ) 2 1 ，) 3 n = o嘉( 扣叫) 3 故条件( 九5 ) 成立取m = n ，a = 2 ，仉= q n ( 1 一一仃) ，可得 m t - - m - - ，0 08 u p 嘉钉1 “ = 熙s u p 嘉仇_ m 产 l i ms u p 嘉r n o 。m ， l i ms 印嘉m _ o o m 产 l i ms u p 嘉m _ o o m 产 n = o ( m n ) ( 仇一n ) 2 ( m 一仃) 2 ( m n ) 2 f 1 l 再万2 ( m 一扎) 2 ) 2 一( n + 1 ) ) 2 2 n - - 一i m s u p 嘉 2 撬s u p ( 圭m 2 - 丧) 一熙s u p 丽i m 刍- - 1 = 0 0 m 一1 n - - - - - o m 亿) 4 ) 2 | - 2 ( m 一礼) 2 一( 凡+ 1 ) 1 2 i n 2 ( m n ) j 2 ( m