数学平面向量课件.ppt

课题：平面向量,一、向量及其运算,5.1向量5.2向量的加法与减法5.3.实数与向量的积5.4平面向量的坐标运算5.6平面向量的数量积及运算律5.7平面向量数量积的坐标表示,5.1、向量,1.有向线段的定义2.有向线段的要素有哪些？,二、向量的有关概念,1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,数量与向量的区别：,数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；,向量有方向、大小，双重性，不能比较大小.,一、复习引入,2.向量的表示方法：用有向线段表示；,3.零向量、单位向量概念：,长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的。,长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.,用字母a、b等表示；,用有向线段的起点与终点字母：,向量的大小长度称为向量的模,记作.,4.平行向量定义：,方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作abc.,5.相等向量定义：,长度相等且方向相同的向量叫相等向量.,说明：向量a与b相等，记作ab；,零向量与零向量相等；,任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.,6.共线向量与平行向量关系：,平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.,说明：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；,共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.,例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等四边形ABCD是平行四边形的充要条件是_模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.,例2下列命题正确的是（）,A.与共线，与共线，则与c也共线,B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点,C.向量与不共线,则与都是非零向量,D.有相同起点的两个非零向量不平行,D,四、课堂练习：,1平行向量是否一定方向相同？2不相等的向量是否一定不平行？3与零向量相等的向量必定是什么向量？4与任意向量都平行的向量是什么向量？5若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？6两个非零向量相等的充要条件是什么？7共线向量一定在同一直线上吗？,3.如图所示，菱形ABCD中，共线向量的是：互为相等向量的是：,2.数学符号的意义是什么？,1.向量与数量有何区别？,一、知识回顾：,A,B,C,D,5.2向量的加法与减法（一）,二、实际问题分析：,某人从A地到B地，再从B地到C地，则,情况一：A、B、C三点不在同一直线上.,情况二：A、B、C三点在同一直线上.,图1）,图2）,图3）,？,1）,2）,3）,那么，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的新的向量，,当第一个向量的终点成为第二个向量的起点时,就是这两个向量的和.,1.根据向量加法的定义得出这种求向量和的方法，,三、向量加法的定义：,称为向量加法的三角形法则.,2.两向量和仍为向量.,A,作法：,A,C,B,1.过图中的点A连接DC，,题后思考：,向量加法的平行四边形法则.,就是与的和，,A,C,B,D,再以已,知向量为邻边作平行四边形ABCD，,起点的对角线,向量和的方法称为,这种作两,则以A为,练习二,1.根据右图所示填空：,A,D,C,B,发现：,1.向量加法既满足交换律，又满足结合律.,2.多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合来进行.（有兴趣的同学在课后可以试证明课本98页所给的例子）,思考题：讨论之间的大小关系.,5.2向量的加减法（二）,一、复习引入,1.向量的加法,求两个向量和的运算，叫做向量的加法,2.几何中向量加法,即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。,如左图，同学们可以看到向量a、b，它们的和为向量c。即a+b=c,a,b,c,如果我们把上式进行移项，可得c-a=b。,这么说来，向量c与向量a进行了减法运算，得到向量b。像这样求两个向量的差的运算叫做向量的减法。,c,a,b,那么向量的减法有什么规律呢？,我们来看一个例子：已知向量a、b求作向量a-b。,a,b,首先，平移向量a或b使他们起点相同。,好，现在开始作向量a-b。问题：向量a-b的方向朝哪儿？是向a的末端，还是向b的末端？,a-b,从加法的概念考虑,所求的向量a-b与b的和为a，因而向量a-b应以b的末端开始，指向a的末端。,可以得出结论：向量的减法的差，方向指向被减数。,相反向量,讲到这里，我们要引入一个概念：相反向量,a,与向量a的长度相等，方向相反，这样的向量叫做向量a的相反向量，记作-a。,-a,想一想，如果向量a、b互为平行向量，它们的差怎么求呢？,a,b,可以把向量a-b看成向量a+(-b)，这样就把减法问题转化为加法问题了。,a,b,例题：如图，平行四边形ABCD，AB=a，AD=b，用a、b表示向量AC、DB。,A,D,B,C,a,b,注意向量的方向，向量=a+b,向量=a-b,例题3,A,B,C,D,a,b,c,d,BD=a+_=c+_AC=b-_=_+_DC=_-(_+_)BC=_+_+_,解答,例题3,A,B,C,D,a,b,c,d,BD=a+d=c+(-b)AC=b-a=d+cDC=b-(a+d)BC=a+d+c,下一题,5.3实数与向量的积(一),向量的加法(三角形法则),如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.,作法:,在平面中任取一点o,o,复习,例题讲解,小结回顾,引入练习,新课讲解,定理讲解,课堂练习,向量的加法(平行四边形法则),如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.,作法:,在平面中任取一点o,过O作OA=a,过O作OB=b,b,以OA,OB为边作平行四边形,则对角线OC=a+b,复习,例题讲解,小结回顾,引入练习,新课讲解,定理讲解,课堂练习,向量的减法(三角形法则）,如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.,b,作法:,在平面中任取一点o,过O作OA=a,过O作OB=b,则BA=a-b,复习,例题讲解,小结回顾,引入练习,新课讲解,定理讲解,课堂练习,复习,例题讲解,小结回顾,引入练习,新课讲解,定理讲解,课堂练习,+,+,=,定义：,一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|(2)当0时,a的方向与a方向相同；当0时a与a方向相同；0时a与a方向相反；=0时,a=04.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使b=a。,O,引例：设e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1,e2之间的关系怎样呢？,在平面内任取一点O,作OA=e,OB=e,OC=a.,过点C作平行于OB的直线,与直线OA交于M;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于N.,则有且只有实数1,2，使得OM=1e1,ON=2e2,由于OC=OM+ON，所以a=1e1+2e2.,也就是说，任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式.,平面向量基本定理：,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=1e1+2e2,O,我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。,例题1.已知向量e1,e2，求作向量-2.5e1+3e2,e1,e2,作法:1.如图任取一点O,作OA=-2.5e1,OB=3e2.,2.作OACB.,于是OC