（应用数学专业论文）一类新型浅水波方程的散射问题和适定性理论.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了一类新型非线性浅水波方程( d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程， 简称为d g h 方程) 的散射理论和c a u c h y 问题的适定性理论。d g h 方程是d u l l i n ， g o t t w a l d ，h o l m 从e u l e r 方程出发，利用渐近扩张思想研究无旋不可压缩无粘浅 层受地球重力和流体自身表面张力影响的运动规律，得到的一类1 + i 维新型单向 浅水波方程。 在第二章中，通过揭示d g h 方程的双哈密顿结构和l a x 对形式，研究了相 应的s c h r o d i n g e r 算子的谱图理论，获得散射数据，解决了正散射和反散射问题。 第三章主要研究d g h 方程初值问题的局部适定性、整体适定性、b l o w u p 问题； 将d g h 方程化为非局部形式，运用k a t o 定理，得到了初值问题解局部适定性理 论；利用谱图理论，获得了一致先验估计，并由此证明了：当初始位势满足一定 的正定性条件时，相应的解具有整体适定性；在对初值问题解的奇异性的讨论中 获得了b r e a k i n gw a v e 存在的一个充分性条件。第四章研究了d g h 方程的孤立波 解的轨道稳定性理论，通过对线性化h a m i l t o n i a n 算子进行谱分析，将孤立波的 轨道稳定性问题转化为判定修正的能量函数是否是波速的凸函数，从而得到了结 论：d g h 方程的所有的孤立波是轨道稳定的。在第五章中，研究d g h 方程的初 值问题的解与相应的c a m a s s a - h o l m 方程的解之间的关系；通过对线性化d g h 方程的基本解的讨论，证明了当色散系数趋于零时，d g h 方程的解趋近于 c a m a s s a h o l m 方程的解。第六章研究d g h 方程的初值问题的解与相应的 k o r t e w e g d e v r i e s 方程的解之间的关系；通过建立一些必要的一致先验估计，得 到了：当d 寸0 时，d g h 方程的初值问题的解收敛到相应的k o r t e w e g d e v r i e s 方 程的解。注意到当0 9 = 0 时c a m a s s a h o l m 方程存在尖峰孤立波解：当0 3 0 时， 这类型的解不存在，而此时d g h 方程的尖峰孤立波解却存在；第七章给出d g h 方程的这类新型尖峰孤立波解存在的条件。 关键词：d g h 方程，双哈密顿结构，适定性，散射数据，极限行为 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h es c a t t e r i n gp r o b l e ma n dt h ew e l l p o s e d n e s so fc a u c h y p r o b l e mf o ra n e wn o n l i n e a rd i s p e r s i v es h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o n s ( t h es o c a l l e d d u l l i n - o o t t w a l d h o l me q u a t i o n ，i e ，d g he q u a t i o n ) d g he q u a t i o ni st h e1 + 1 q u a d r a t i c a l l yn o n l i n e a re q u a t i o nf o ru n i d i r e c t i o n a lw a t e rw a v e s ，w h i c hw a s d e r i v e db y d u l l i n ，g o t t w a l d a n dh o l m ，b yu s i n g a s y m p t o t i ce x p a n s i o n sd i r e c t l y i nt h e h a m i l t o n i a nf o re n l e r se q u a t i o n si nt h ei r r o t a t i o n a li n c o m p r e s s i b l ef l o wo fas h a l l o w l a y e ro fi n v i s c i df l u i dm o v i n gu n d e rt h ei nf l u e n c eo fg r a v i t ya sw e l la s s u r f a c e t e n s i o n c h a p t e r2s t u d i e s t h eb i h a m i l t o n i a np r o p e r t ya n dt h el a xf o r mo fd g h e q u a t i o n ，w h i c hi sa p p l i e df o rt h es p e c t r a lt h e o r yo ft h es c h r o d i n g e ro p r a t o r , h e n c e o b t a i n s “s c a t t e r i n gd a t a ，a n d d e m o n s t r a t et h es c a t t e r i n gp r o b l e ma n di n v e r s e s c a t t e r i n gp r o b l e m i nc h a p t e rt h r e e ，t h e l o c a l w e l l p o s e d n e s s ，t h eg l o b a l w e l l - p o s e d n e s s ，b l o w - u pt h e o r yo ft h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fd g he q u a t i o na r e r e s e a c h e d r e w r i t i n gt h en o n l o c a lf o r mo fd g he q u a t i o n ，u s i n gt h ek a t ot h e o r y , w e o b t a i nt h el o c a lw e l l p o s e d n e s so fd g he q u a t i o n ；a c c o r d i n gt os c h r o d i n g e ro p r a t o r s s p e c t u mp r o p e r t y , s o m ep r i o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e d ，w h i c hp r o v e t h a tt h es o l u t i o nh a s g l o b a lw e l l p o s e d n e s sw h e np o s i t i v ep r o p e r t yi sg i v e nf o ri n i t i a lp o t e n t i a l a f t e rt h e d i s c u s s i o na b o u ts i n g u l a r i t yo ft h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni s o b t a i n e d c h a p t e r4s t u d i e so r b i t a ls t a b i l i t yt h e o r yf o rs o l i t a r yw a v es o l u t i o nf o rd g h e q u a t i o n t h r o u g hs p e c t u ma n a l y s i sf o rl i n e a rh a m i l t o n i a no p e r a t o r , w et r a n s f e rt h e o r b i t a ls t a b i l i t yp r o b l e mf o rs o l i t a r yw a v ei n t oj u d g i n gw h e t h e rm o d i f i e de n e r g y f u n c t i o n si sc o n v e xf u n c t i o n so fw a v ev o l e c i t y , t h e nac o n c l u s i o ni sm a d et h a ta l l s o l i t a r yw a v ef o rd g he q u a t i o na r es t a b l e c h a p t e r5s h o w st h er e l a t i o nb e t w e e nt h e s o l u t i o no fi n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fd g he q u a t i o na n dt h a to fc a m a s s a h o l m e q u a t i o n u n d e rt h e d i s c u s s i o na b o u tg e n e r a ls o l u t i o no fd g he q u a t i o n ，w ep r o v et h a t w h e nd i s p e r s i v e p a r a m e t e rc o n v e r g e st oz e r o ，t h e s o l u t i o no fd g he q u a t i o n c o n v e r g e st o t h a to fc a m a s s a - h o l me q u a t i o n c h a p t e r6g i v e so u tt h er e l a t i o n b e t w e e nt h es o l u t i o no fi n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fd g he q u a t i o na n dt h a t o f k o n e w e g d ev r i e se q u a t i o n o nt h eb a s i so fs o m ee s s e n t i a lp r i o re s t i m a t e s ，w eg e t t h a tw h e n 口斗0 t h es o l u t i o no fd g h e q u a t i o nc o n v e r g e st ot h a to fk o r t e w e g d e i i 江苏大学硕士学位论文 e q u a t i o n n o t et h a tw h e n0 9 = 0 ，t h ep e a k o ns o l u t i o no fc a m a s s a h o l me q u a t i o n e x i s t s ；h o w e v e rw h e n0 3 0 ，t h ep e a k o ns o l u t i o nd o e s n te x i s t ，b u tt h ep e a k o n s o l u t i o no f d g h e q u a t i o ne x i s t s i t sc o n d i t i o ni ss t u d i e di nc h a p t e r7 k e yw o r d s ：d g he q u a t i o n ，b i - h a m i l t o n i a ns t r u c t u r e ，w e u - p o s e d n e s s ，s c a t t e r i n g d a t a ，l i m i tb e h a v i o r i i i 学位论文版权使用授权书 y 9 3 8 0 3 1 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密a 。 学位论文作者签名：枉凿毫 五刀侈年4 月2 年日 指导教师签名：闲主中中 毋，年叶月，可日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，楚本人在导帮的指导下，独 立进行磷究工作所取得懿成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中淡疆确方式标明。本 人完全意识到本声骧的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 黍彩 基麓；2 叼参年中胄7 l 基 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章引言 近百年来，数学物理学家、力学家们利用动量守恒定律、质量守恒定律和变 分原理建立了许多流体运动的数学物理模型。在建立这些数理模型中，大多数都 是用非线性偏微分方程进行表示的，其中最经典的就是n a v i e r s t o k e s 方程。将 n a v i e r - s t o k e s 方程用各种数学方法进行渐进展开，获得了不同的流体运动方程， 特别是水波方程，如k o r t e w e g - d e v r i e s 方程、b u r g e r s 方程、b b m 方程、b o u s s i n e s q 方程等等。 近十年来，关于孤立波研究的工作在理论及应用方面均取得突破性成果。由 于它的研究涉及等离子体、凝聚态、光通讯、量子物理等倍受重视。同时，无论 是可积系统，还是耗散系统，系统的斑图选择演化及其时空动力学复杂行为规律， 因在拟序结构、高速光纤通讯、化学反应斑图、生物中斑图、纳米的量子效应等 方面的巨大潜在应用背景，使对它们的研究成为众多科技关注的热点之一。另一 方面，关于浅水波方程相关性质的研究由于在超弹性材料力学及浅水波运动规律 研究中有广泛的应用前景而成为目前国内外数学物理学界关注的热点问题之一。 讨论浅水波方程解的相关性质( 特别是水波方程的局部适定性理论、稳定性理论、 散射理论、解的整体存在性及b l o w - u p 理论( 爆破现象) ) 并揭示波的传播规律， 在准确解释自然现象，确定物理材料属性等方面均具有极大的应用价值。 非线性偏微分方程c a u c h y 问题( 或称初值问题) 的定性理论在非线性偏微 分方程理论研究中有着非常重要的地位。由于物理学、力学和工程技术等方面的 许多问题都归结为偏微分方程的定解问题，因而数学物理方程最终目的是研究这 些问题的解法。但是，数学物理方程的任务也不只局限于是对具体的问题来研究 求解的方法，它还要对物理学、力学和工程技术中所可能碰到的方程及其定解问 题作系统的研究。这些研究有助于求解问题，也有助于把实际问题归结为偏微分 方程的定解问题。因此它一方面从量的侧面来考察这种归结的合理性，另一方面 又对定解问题的提法给出一定的要求。这样在数学物理方程就需要考虑适定性的 问题。 江苏大学硕士学位论文 1 2 研究现状和研究内容 在文献 1 中，r c a m a s s a 和d ，d h o l m 在研究浅水波运动规律时，用哈密顿 量的方法，根据物理原理( 参考文献 2 】 3 ) ，推导出新型非线性色散波方程( 即所 谓的c a m a s s a - h o l m 方程，简称为c h 方程) “f + 2 c o u 。一7 2 x x t + 3 u u ，= 2 u ，“捌+ 甜“船 ( 1 2 1 ) 其中“= “o ，x ) 表示工方向的水波流速( 或者表示浅水波的自由表面的高度) ，功是 一个与临界浅水波速度有关的常数。对任意，c a m a s s a - h o l m 方程( 1 2 1 ) 具有一 个l a x 对；具有双哈密顿结构，也具有无穷个守恒律。而对c o = 0 ，方程( 1 2 1 ) 有 c e - 1 ”叫形式的尖峰孤立波解，它在波峰处一阶导数不存在，这种行波解通常被称 为p e a k o n 更进一步的研究表明，方程( 1 2 1 ) 具有简单的多重p e a k o n ，这蕴含着 它有许多美妙的性质。 d u l l i n ，g o t t w a l d 和h o l m ( 参考文献【4 ) 从e u l e r 方程出发，利用渐近扩张 思想研究了无旋不可压缩无粘哉层受地球重力和流体自身表面张力影响的运动 规律，推导出一类1 + 1 维新型单向浅水波方程( 通常称为d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程，简称为d g h 方程) 脚f + c o ”，+ “m z + 2 ，行“，= 一y “船，x r ，r r ， ( 1 2 2 ) 其中“o ，石) 表示z 方向的流体速度，m = “一d2 “。表示动量，y c 。是区间长度的 平方，= 劝( 其中铴：= 2 0 0 ) 表示线性波速。 本文研究d g h 方程( 1 2 2 ) 的散射理论和初值问题的适定性理论。利用 m = “一口2 “。，相应地可以将d g h 方程的初值问题写成 u t - a 2 u = , + 2 c o u x + 3 u u z + y u 一= 甜22 u x u m + u u 一) ，r o ，x 月，( 1 2 3 ) l _ ，u 0 r ， j j 若将弱色散项，用强色散项y 仁一口2 u x x l 代替，则可得具有强色散项的 d g h 方程 【“：一1 2 , 2 “。，+ 2 0 0 u ，+ 3 u u 。+ y 0 一口2 “。上。= a 2 ( 2 “，“。+ “一l 1 t 0 ，x r ， ( 1 2 4 ) “( o ，x ) = g ) 。 d g h 方程( 1 2 3 ) 联系了两类相对独立的可积孤立波方程。一方面，当口z - - 9 0 2 江苏大学硕士学位论文 时，方程( 1 2 _ 3 ) 形式上成为k o r t e w e g d ev f i e s 方程( 简称为k d v 方程) “，+ 2 c o u x + 3 u u r = 一川 特别地，这种k d v 方程有光滑孤立波解 u ( x ，f ) = “os e c h2 ( ( x o t ) 4 u o y 2 ) ，c = c o + “o ； 特别的，当印= 0 时，对应的k d v 方程有光滑孤立子解。另一方面，令y o0 ， 则方程( 1 2 3 ) 形式上成为c a m a s s a - h o l m 方程 “t + 2 c o u ，一口2 “r + 3 u u ，= 口2 ( 2 u ，u “十甜“脯) ( 1 2 5 ) 关于c a m a s s a h o l m 方程( 1 2 5 ) 和d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程( 1 2 3 ) ，近年来已 有许多成果 1 - 1 1 。文献【5 6 】研究t c a r n a s s a h o l m 方程( 1 2 5 ) 的数值模拟解和一 些守恒量的性质。文献 7 】研究t c a m a s s a - h o l m 方程( 1 2 5 ) 的对称性和可积性。文 献 9 用变分法的思想研究了方程( 1 2 5 ) 的孤立子。在文献 1 0 中，田立新等研究 了方程( 1 - 2 5 ) 的行波孤立子解和双孤立子解，并且引入凹凸尖峰孤立子及光滑孤 立子的概念；文献 1 1 研究了广义c a m a s s a - h o l m 方程及广义弱耗散c a m a s s a - h o l m 方程，并得到了类新的尖峰孤立子解；文献 1 2 获得了具有充分非线性色散项 的广义c a i n a s s a _ h 0 1 m 方程的紧孤立子c o m p a c t o n 解。在文献【1 3 【1 4 】 1 5 中，a c o n s t a n f i n 和j e s c h e r 研究了c a m a s s a h o l m 方程的h a m i l t o n i a n 结构、解的整体 存在性及解的b l o w u p 现象。在文献 1 6 1 中，a c o n s t a n t i n 和h p m c k e a n 通过对 谱不变本征值问题的研究，得至l j t c a m a s s a - h o l m 方程的可积性理论。在文献【1 7 中，a c o n s t a n t i n 和w a s t r a u s s 通过对线性化h a m i l t o n i a n 算子进行谱分析， 研究了c a m a s s a - h o l m 方程的孤立波的轨道稳定性问题，证明了：在小扰动下， 孤立波的波形是稳定的。在文献【1 8 【1 9 【2 0 中，a c o n s t a n t i n ，j l e n e l l s ，r b e a l s ，d s a t t i n g e r 和j s z m i g i e l s k i 等研究t c a m a s s a - h o l m 方程的散射问题：在初 始位势m oe 日1 ( 五) 满足f ( 1 + 帅h 。( x ) 陋 。o 的假定下，他们给出了 c a m a s s a - h o l m 方程( 1 2 1 ) 对应的s c h r o d i n g e r 算子的谱图在l 2 ( r ) 中的确切描述， 进而解决t i e 散射和反散射问题，证明了方程( 1 2 1 ) 在i s t ( 反散射变换) 意义 下是可积的。在文献 1 8 1 9 】中，j l e n e l l s 用一种新的方法讨论t c a m a s s a - h o l m 方程( 1 2 1 ) 的反散射问题，进而用实际例予表明，方程( 1 2 1 ) 的孤立波确实是孤 立子。在文献 2 1 】 2 2 】中，a c o n s t a n t i n ，j e s c h e r 和r d a n c l l i n 研究了非线性非 局部浅水波方程的解的“w a v eb r e a k i n g ”( 碎波) 问题，其中“w a v e b r e a k i n g ” 江苏大学硕士学位论文 是指方程的解( 也就是波) 本身在有限时间内有界，但它对空间变量的导数趋于无 穷。在文献 2 3 】中，郭柏灵和刘正荣通过使用平面的自治系统和数字模拟的定性 分析方法研究t d u l l i n - g o t t w a l d h o l m 方程的尖峰孤立波解。m i n y i n gt a n g 和 c h e n g x iy a n g 在文献 2 4 中利用分歧思想获得t d g h 方程的行波系统双波解的 具体表达式。j b o n a 和r s m i t h 在文献 2 5 中研究得到，在一定的意义下，k d v 方程可看作b b m 方程的极限。 在上面的研究基础上，本文研究了d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程的散射理论， c a u c h y 问题的局部适定性理论、整体适定性理论，解的极限行为，孤立波的轨 道稳定性，新型尖峰孤立波解。 符号说明：我们用h 。表示空间z p1 p o 。中的范数，即 饥= ( m 9 出h 空间三坤= r 伍) 表示全体l e b e s g u e 可测的、本性有界函数，的集合，其上的 范数定义为： 帆= 2 瓤溉l 厂 对任意的s r ，定义s o b o l e v 空间日。中的范数为： ，圳卜f f 6 坩刨2 鸳) 1 ，2 ， 其中夕皓) 表示，关于变量x 的f o u r i e r 变换。对任意的s r ，定义算子”如下 = ( 1 一) _ 而用( ，) ，表示s o b o l e v 空间日。中的内积。 本文的结构安排如下：第一章是引言；在第二章中，通过研究与d g h 方程 相应的s c h r o d i n g e r 算子的谱图理论，解决了芷散射问题；第三章主要研究d g h 方程的局部适定性、整体适定性、b l o w u p 问题；第四章研究d g h 方程的孤立 波解的轨道稳定性理论；在第五章中，研究了d g h 方程的初值问题的解与相应 的c a m a s s a h o l m 方程的解之间的关系；第六章研究了d g h 方程的初值问题的 解与相应的k o r t e w e g d e v r i e s 方程的解之间的关系；第七章给出了d g h 方程的 一类新型尖峰孤立波解。 江苏大学硕士学位论文 第二章d g h 方程的谱理论和散射理论 本章主要研究d g h 方程的谱理论和散射理论。首先推导出d g h 方程的两 个基本守恒量，通过引入泊松括号，得到了d g h 方程的双哈密顿表示；在此基 础上，利用g e l f a n d d o r f m a n 理论( 见文 2 8 ) ，获得了d g h 方程谱不变本征值问 题及其相应的特征函数的线性发展方程，推导出强色散d g h 方程的l a x 对；其 次，建立谱不变本征值问题的谱图理论，得到了连续谱和离散谱的精确描述；最 后，利用所建立的谱图理论，解决了d g h 方程的正散射和反散射问题。 2 1d g h 方程的哈密顿表示 为了研究d g h 方程( 1 2 3 ) 的谱理论，我们需要讨论它的守恒量和哈密顿 结构。 首先来推导d g h 方程( 1 2 3 ) 的一些守恒量。 引理2 1 1 设“= “6 ，x ) 是问题( 1 2 3 ) 的光滑解：函数u 在一 x o o 上无 穷次可微，且当h 寸m 时，“，“，“。，均趋于0 则 e o ) _ 专l “2 + 甜2 叱2d x = 点o 。) ， ( 2 1 1 ) f o ) ；告p + 如虬2 + 2 国“2 一心2d r = f ( u 。) ( 2 1 2 ) 证明：方程( 1 2 3 ) 两边同时乘以“0 ，x ) ，对x r 积分，分部积分后即得 ( 2 1 1 ) 方程( 1 2 3 ) 两边同时乘以3 “2 一a2 “：+ 4 c o u 一2 a 2 u u 。+ 2 膨。，对 x 月积分，分部积分后即得( 2 1 2 ) 证毕。 现在我们来研究d g h 方程的哈密顿结构。在有限维可积系统中，为了研究 哈密顿结构，很重要一点是要引进泊松括号，而d g h 方程可看为是无穷维的系 统。下面介绍在无穷维系统中如何引进泊松括号。 设 h = h ( u ) = h ( u ，“。，“。，) ( 2 1 3 ) 以下都假设函数u 在一o o x o ，即日强) 的零 点必定位于上半平面( 只要它存在) 。另一方面，如果席位于上半平面使得a 任) ：o ， 那么根据命题( 1 ) 以及式( 2 3 8 ) 中的关系式矽，) ；2 i k a ( k ) ，h n ) o ，我们 有 矽g ，七l 缈g ，后) ) ：0 从而妒g ，后l g ，i ) 线性相关：存在常数c ，使得矿g ，七) ：c 妒g ，七) 又由边界 条件 妒0 ，七) ae 一融( x 呻一) ，g ，j j ) 。m ( 工_ 。) ， 及y b ，七) 2 陋) ，考虑到y ”g ，七) = 一七2 妒g ，i ) + 7 7 m 妒g ，后) ，聊g ) 。日t 血) ，得 _ 兰查查兰塑主堂堡垒查 0 ，七) h 2 对微分方程( 2 3 1 ) 两边同时乘以g ，七) 的复共轭矿g ，七) 后，对x r 积分， 分部积分得 耍g ，后】2 日k = 后2 y 。，i 】2 凼+ 瓦1 + 而4 g 2 k 2 j t 聊l y g ，七】2 c ( 2 3 1 0 ) 另方面，对微分方程( 2 3 1 ) 求复共轭后，两边同时乘以g ，七) 后，对工胄积 分，分部积分得 r j l y o ，尼】2 西c = 后以1 妒g ，七】2 西c + i l 云+ i 4 石x - 西2 k + 2 。棚j p y g ，七】2 西r ，( 2 3 1 1 ) 月斗“十z ，： 其中七表示j j 的复共轭。 式( 2 3 1 0 ) 减去式( 2 3 1 1 ) ，我们有 。= 矗) l r 卅2 出+ 煮笔炒出1 r “，t 二，月 假若 。2 2 出+ 丽4 ( 2 2 炒2 出， 则 炒，后】2 出= 一硒4 g 而2 炒2 出， 联合式( 2 3 1 0 ) ，我们有 r 肌，_ j 】2 疵= 一丽4 g 2 百k z 出+ 拦考p 七】2 出 3 否南抄g ，七】2 办= 昙少( 圳2 威， 从而缈g ，七) ；y7 g ，七) ；0 ，这与y g ，i ) 是特征函数相矛盾。 因此，k 2 一k * z = o ；又因为i m ) o ，所以后仅存在于正虚半轴上。 为了证明口0 ) 只有简单零点，我们只需证明如果：学( f 0 ) 满足 口阮) - o 则剖。o 事实上，对方程 缈劬g ，七x 妒0 ，七) ) ：2 此口仅1 1 2 江苏大学硕士学位论文 左石两边关十七求导，再根据口【f 引= 0 ，可得 a ( f 善) 2 丢秒_ j l 妒g ，七) ) + 矿g ，七l 矿o ，j 】 ) ) ) ， 其中a 表示关于后求导数。联合关系式妒g ，七) = c 妒g ，七) ，我们有 a ( f 手) = 昙 吉矿妇妒o ，七) ) + c 矿眵妒g ，七) ) ，( 2 3 1 2 ) 其中2 = 一乏_ 一叩 甜+ 专) ，即可= 一瓦4 c 丽t 2 k 2 + 1 ，由此将薛定谔方程( 2 3 1 ) 夺捶陆 ”= 一七2 y i 4 品o t 乏z k 而2 + 1 柳y 对方程( 2 3 1 3 ) 关于k 微分一次，得 矿”= 一尼2 缈一乏茏珊矿- 2 k v 2 yi 云2 r 聊y 4 a2 十 1 4 口2 + 7 。 上式乘以妒减去方程( 2 3 1 3 ) 乘以谚，可得 ( 沙一矿) = - 2 k v 2 + i 云乏孑 万肌 对上式左右两边关于变量x 在区间k ，。0 ) 上进行积分，我们有 矿眵，y ) = 一z 七l r 2 出+ r 百云乏孑 万m y 2 出 类似地，关于妒，我们可得 矿，伊) = 一z 七 妒2 出+ 瓦差虿聊伊2 出 ； 由上两式以及式( 2 3 1 2 ) ，考虑到_ j = = i f 是一个纯虚数，可知 西o f ) = - ：2 亭k c l ( 囊f 2 出+ i 云；宝毛i ， 妒2 出 = r c 【f j y i2 卉+ i 苫乏孑 万l 研妒1 2 凼 。 而口 ) 在k 的上半平面解析保证了函数口伍) 至多只有有限个零点。 ( 2 3 1 3 ) 从而引理 江苏大学硕士学位论文 田引埋2 3 1 ，根琚又献l 1 8 j 甲的足理1 2 ，找们得剑： 定理23 2 设m e h l c r ) 满足f ( 1 + i z i ) l m ( x 枷 o ，则 ( i ) 方程( 2 - 3 1 ) 的连续谱是【一，瓦而- 1j ( i i ) 又如果肌+ 国+ 击0 ，那么方程( 2 3 1 ) 至多存在有限个特征值，并 2 a 2 一。1 且均位于区间( 瓦而- i ，。j 内。 注记：定理2 3 2 表明，如果初始位势满足+ d + 击0 ，那么对 z 口 v f o ，只要聊o ) 存在，就有坍( ) + + 丢o 成立。 关于参数y 与对应于日伍) 的零点的谱参数a 之间的关系，我们有： 定理2 3 3 谱参数映射y 卜五p ) 在谱参数平面，五) 上描绘了一条严格 下降的光滑的曲线 证明：考虑谱不变本征方程( 2 2 1 ) ，对给定的参数，设其相应的特征值 和特征函数分别为丑p ) 和妒g ，t ) 由h u r w i t z 理论( 见文献 1 8 ) ，可知点 ( ，五( y ) ) 构成，五) 平面上的光滑曲线，因此我们只需证明这条曲线是严格单调 下降的。 事实上，对方程( 2 2 1 ) 关于变量y 微分一次，得 ( o r 2 - 2 t a 眵”一2 以+ 互y ”= 丢沙+ 五+ 国妒+ 五似+ 砂 ( 2 3 1 4 ) 上式( 2 3 1 4 ) 和在r 陋) 中作内积，得到 ( 仁2 2 咖”，d 一2 0 + 纠，叻= 三舻，缈) + 五( ( 聊一) 缈，力) + 五( 向+ 国p ，) ( 2 3 1 5 ) 又由式( 2 2 1 ) 与驴在r 陋) 中作内积，得 因此 z m 沙”，矿) = 丢+ 旯( 聊+ 国) ，d ， 1 4 江苏大学硕士学位论文 ( b 2 一：嬲眵”，妒) = ( i 1 + 五+ ) 妒，妒) 联合式( 2 3 1 5 ) ，有 一2 ( a + j y x g , g ) = 五( ( m + 砂，) ， 分部积分后，考虑到；f ，0 ，七) h 2 乜) ，可得 2 协+ 丘，) ( y ，y ) = 五( 白+ 国砂，p ) 式( 2 2 1 ) 和在r ) 中作内积，分部积分后得 一( 口2 2 五y ) ( y ，) = 去( 妒，y ) + ( + 国妙，y ) ( 2 3 1 6 ) ( 2 3 1 7 ) 联合式( 2 3 1 6 ) 和式( 2 3 1 7 ) ，我们有 2 兄( y ，y ) + z 互，( y ，) = 一要( 口2 ( y ，妒) + 丢( y ，少) + z 五( ，) 从而 五：二型兰掣 o ， r o ，七) 和p o ，七) 惟一地决定了o ，x ) n - - ；b - n ，设叩是谱不变本征值问题( 2 3 1 ) 的特征值，则其相应的特征函 数沙d ，x ) 可表示为 江苏大学硕士学位论文 小，哦) * 黪址也11x 鬟， ( 2 a z ) 其中c 。o ，七。) r ，k 。 0 ( 与时间r 无关)