（概率论与数理统计专业论文）三角组列的完全收敛性.pdf

摘要 几十年前在统计学中由p 1 l h a h n o s 和w a s s i l yh o e f d i n g 提 出l 统计量，设弦i 1 为独立同分布的随机变量序列，u 。是以 矗一一。) 为核的i j 统计量，即 ， 、一i e ：i ”ir b 一1 i 州1 年蔫9 1 “ 其中蹦b 文j 为r “+ 尺的n l 元实可测函数。由于u 统计量主 要讨论大样本的有关性质，关于u 统计量的中心极限定理、 b e r t y - e s s e e n 界限、强大数定律、重对数律、不变原理的讨论前 人作过许多工作。也就是说独立同分布的随机变量和许多经典结 果可类推到u - 统计量上。 又完全收敛性的概念( 文中有介绍) 最早是由许宝禄和 r o b b i n s 于1 9 4 7 年提出的，由b o l e 1 c a n t e l l i 引理可知完全收敛 性包含了几乎处处收敛性。 我们在这里仅考虑核h 为丘：斗矗的u 一统计量，在第一章里 讨论了三角组列菇，o ，l f c ”n 2 的行和：也= 削0 工， 的完 全收敛性。 定理中的条件降低了对矩的要求，得到了类似文献1 2 h 3 】中 的结论；定理3 的结论推广到更一般的情形，且包含了文献【2 】【3 j 中的结论。 最后还提出关于址，= j ，一。) 随机足标和的完全收敛性的 ：“q 思考，这是作者下一步要解决的问题。 ，7 ，! 一i 在第二章里，讨论z o = j ：7 ( 一：， 7 ，) 利用强不变原理，可 、2 l ：j 。 用一列独立正态的随机变量去逼近。，在证明的过程中用到了 h o e f f d i n g 分解以及对应于实值的情形的征明过程类似，见文献 【6 】，当然由于v o n m i s e s 统计量同0 统计量有密切的关系，对 于v o n m i s e s 统计量也有类似的结果。 第三章主要是考虑加权_ l 统计量，利用h o e f f d h l g 分解和 经典的重对数律的证明方法得到加权【i 统计量的一个重对数 律：还讨论墨! l j k f = 1 ；是k ，z ：l ；的两个独立复制的随机 变量序列，得到f ，和玎之间的一个解祸不等式。 综上所有的讨论都只是在实可测空问上，在b a n a c h 空间上 也应有类似的结果。 致谢：衷心感谢林正炎教授、陆传荣教授、张立新教授、 苏中根教授、陈上珠教授、张奕副教授传授给我以知识和启迪； 特别感谢林正炎教授、陆传荣教授对我毕业论文的精细指导：对 数学系的全体老师和系资料室的工作人员给我的帮助表示感谢； 最后要对我的同班同学给我学习和生活上的帮助表示感谢! a c k n o w l e d g 州e n t s w i t h o u tt h eh e i po f 州d i r e c t o r s ，t h e i d e a sa n dt h er e s u l t so ft h i sd i s s e r t a t i o n w o u l d n tc o m et om e as p e c i a lt h a n k st o p r o f e s s o rz h e n g - y a nl i n ，p r o l e s s o rc h a n g r o n g l u ，p r o f e s s o rl i x i nz h a n a ，p r o f e s s o rz h o n g g e n gs ua n dp r o f e s s o rs h a n g z h i c h e n ，w h ot e a c h m et h ek n o w l e d g ea n di n f l u e n c ew t h i n k i n 口 工dl i k et ot h a n ke v e r y o n ea tm a t h d e p a r t f o r t h e i rh e l pi nm a k i n gt h i sd i s s e r t a t i o n 第一节引言 第一章 三角组列的完全收敛性 完全收敛慧的溉念景旱是由h s u 和r o b b m s 于1 9 4 7 年在支献1 1 中提 出的：设玩，”三1 是一列缒机变量，若耐拄意静占，0 有 壹p j 7 i ，p 。m 则袜完全收敛到0 ，记怍j j 与o ：由b o r e l c a n t e u i 引堙知，芫全收敛1 皇蕴苣几乎处处收效性。 设u 。= 矗e j ：工) 1 1 ! ” 2 ( o ，工：j 厶f 工，上，j + h ( x ：，- ：) 士。 一h ( x ，工。) 。剐工：， 。) 一7 j f 置。，一。j 引理 1 ) 设弦 1 为一列独立匾分布的随机变量序列，又存 = ! 芏f 7 ，11p ( 2 ，傻e i i j 二，口。= 0 7 刚 e 甲一 2 ) 设o 。，一：，一。满足条阵 、，：0 ，e b o ，1 ：0 ，j _ 2 3 ， f 1 ，2 ， 、】l 又1 兰，c2 d 有 e 3 - 。蔓2 雹工，- f 1 3 ) 证羁分别匣文献f 7 】 8 国f 置工：，j 。j = e 霹一切x 或立i 一爹逐笼鲮) i l ，4 j 易知由r 1 4 ) 可推娥e u 2 = 0 ，因：“一“只与 ! 工一， 。有关，两 墨 秘汪j 。工。；j r 一 j ；= 0 当l ，蔓t 则由条件麓望的基本睫质不难得 到“：沁，+ 毽。：) = o ，一2 ，“， 静z t f i 。之一 为鞍差序列。 考毫 昱( 1 7 & 。：r - y ) 在给定 j ；：j 的条件下 ， “，= 鬲；，j 一，j ( x 。一，为f 一1 个独立蓐分布变量之窝，窿众戋j 费事 实【3 ，育 吲；揖= ，- 扛( “。! 舅。：j ，； 江5 ) 壶引理i 知 f = ，。) ) 蔓2 f ”一1 万( 咒：) 6 ) 豆毒杰 m g 。 = 0 ，毽 f 。r 。= ，) t g ，( r i 肛i 酱( h j ! 扩 7 ) 塞i 167 荨= il ? ；蒜始s 。 ， i 弼是yj 毫孬。 ：是程握控制裁萤定霪易褥 f f ：，- ? 舢引n i 这囊考嘉蟊一f 形式弱三舞愿别：设瞄。，f 1 鼍一铡骜立黪缝觌交萋 亭列t 置有褶慝豹分布蕊羲州l l 三蹙缓剐衙一。ll j h n11 ，j 三 ”。= 觏一。一其呼，h ：只一斗矗最pf l 三p = 2 i 彰，司织的退他匏梭函 数。即 和 e r 淞协妒汹) m ( 1 8 ) f 。 ( j ，f 妒( 凼) = f 。 ( 置f ) f ( 缸) = 0对任意的s ，f“9 ) 对于击萎州：，e ) 寸。，的证明。h e r o l d 。e h l 血g 2 和 d e h l i n g d e r t k e ra n d p h i l i p p 3 分别在j “ ( 置) ，) ) ：f ( 出妒( 咖) m 和 ff ( i x ，j ) l o g j 致砖y 】) 2 f ( 出妒( 谚，) 。鬈 1 = ? u l c 月 妻一。p | ( ：，x 。i ，”名，j f 邝：，工。j ，”1 j 4 2 ： ! 、i j = ij i 】 c ，1 + ”- p iz h ( x 。，。1 ： ”乃，对每一f ”，m 一! ，j 。_ ! ”石 c = 2 l 1 n ， ! r1 ，、 蔓n p i e - i 知 = !lj ：p 丸瞵一 。名、l u j j p 伽( 工， 。一： l f j p 丸( 。j 一。】，“乃 呵c 一j ( 2 5 ) 。至p ； ( 工：，一。j ；9 ，n 蔓c 烈一。，x 。) ，。z 下面估计：，因为j ： ：j 。与j 。是独立的，爵茏由f u b i n i 定 理可知 。m 十 、i 口 疗 i 5” r ： ! 扩酬萎啦ii2p月；f ：( h = j ：；妻”叩f i 丸( er i ，。名k 船2 u ( ， 对于( 2 6 ) q a 的级数，有 n 。p | 。；， # = ”。j d 医溉瞄；，f 卜e h 。伍 r ；!i i i ” 而当1 p e i h ( x 由c h e b s c h e v 不等式可知 , ；2 n，一、i p l ( 丸( x 。，f j e h 。僻，f ) j ，n 乃 u 一 j 月一x e i h 。( 工。f 】2 月：j ；i c n 一乃h 2 ) f f 出) * = j 0 7 f x ，! m 二7 呻0 f “呻。) ( 2 6 ) if 矿译 押 ij f 厂_， r 觋 印 珂 厂0、 ，p 玎 、吖 + 2 ，2 ，f ( ? ，? 七7 p 七一1 o 为x 寸时的缓变函 数，且，b ) 斗氏哼c i = ) ，若对于l p c2 ，有如下条1 ；搴满足 以- y ? ，纽t ) r 妒( 矗以方) cm ( 2 7 ) 和 k ) 妒( 出) = 沁j 1 扩( c 分) = 0 ， 对；。，j 眩8 ) 刚有 1 i ：j 罗扫一，f 力驴j 罗蹦j 。j 玎乍s ( 。c ，f 占 0 ( 2 9 ) 一 = 0 m ”m 引理1 如若，f r 、) ) 0 为x + + 时的缓变函数，则 i ) 列任何r ，0 ，玎 0 ，任 可自然数k ，有 啦n l ( q 2 t ) 杰2 1 ( ，刁) - c 2 2 一如2 t ) i i )对可， 0 ，任何目然数k ，有 啦，0 7 2r ) 妻2 ，l ( 2 ，刁) c ：2 。1 ( , 7 2 。) j = k 定理2 的证明：不妨设7 k ) 单调增，且z k ) 寸。，k m 1 ，利用分位 数变换，不失一般性，可设工。是服从【o ，l 】上的均匀分布。令 自。( f 。，j 。) = i ，o 。蚝舭。l 1 r ：_ 1 ，h j l o ，j 。j = h ( x ，一。j h j ( 一。，一。j 于是 博 2 1 j 一尸 | ，p 工。j j 占2 j 4 ( 2 1 1 ) h ：，：， 由引理l ，可知 、j；，_j 鬈 h f ) 一 l 4 r 宝2 j i ( 2 ，) p ： i 工：。j 。兰27 = 1 下面还需证 = 妻2 i ( 2 j ) 量p ：2 。l 烈工 j-l归j 主p 扮! 船： j ? cz “ 奎2 j 啦0 = lj 二l c 2 。i ( 2 l p ( 2 2 1 心 = 1 s ( 匹【i 烈f 。，f 。j 琏一：，。) 9 ) c 。 量t ( 2 ，彬j v _ h ，f 。，一。i2 ( 2 1 2 ) 占2 7 0 ( ，1 3 ) 西为x ，置，x 。与工。是独立的，因此由f u b i n i 定理可知 妻，( 2 ，) p l 匿a ，( 工， ，= jl - ( 五。l 占2 名l 曼妻，2 ，) p i l ( ，r j 占2 名 曲 ( 2 1 4 ) j = ：l 月， 当1 p 2 时，有 e t b 。，哇，l 塑一 曼c 2 。 ， 2 f 兰c 2 。：i - j ；j 2 一j 。；j 。、0 c 2 一矿1 女f 工，fj ， ( f 、，j j i c 酢圹o ( j 寸j 扶( 2 1 1 ) ( 2 1 4 ) 式表明：为证( 2 9 ) ，只需再证 i 吩( _ - f ：) - f ，口 l ： 月 ； 4 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 而当1 p 一 f ，l b ， r ， 。芦 r m ，l、 b ，电 ) fr i、 一l _ c 】 玎 1 、1 7 卜 7 。一 c 一 工 酞 f 川 、j彰、 b 广 ， l口、 ， 。甲- 一 c 0 ，有 和 则有 ( 双而y ；! l o g l h ( x ，y 】r f 【出) f ( 巧，) ”巧 c c c ( 29 ) 一- f i t 月 第三节非随机足标的完全收敛性 引理2 町设髓机变量工l ，工! 是 i d 序列，星e ! x ，f 。 ，其甲 2 。 0 ，有 i e ；：二! ( 2 1 8 ) 证明：当2 jc n12 川瞳，由缓变函数的性质知有，( 2 一) i c ，( 2 一) ，设 吩工f 一h = 。工l ，一 f 母一也“。名j 瓦 l ，。e = 6 工r 一n 一5 ，j 一n 于是 z h ( x ，f- - 、 妻n e - z l ( ”j p i 瓦( 一，工。1 ，c 2 一名j n = 【f f 一n o - - 1 l ( ”j p l ! z h , ( x 月= 1i ( ” c 善2 “p ”，( j ) p ：，m 。a d x + ：j 荟瓦( f ”一一1 三2 名 l l ( 盖；，。i 乡；。名1 l f n f 2 1 9 ) 由于f 是连续的，利用分位数变换，不失一般陛，可设工，服从【o ，l 】上的 均匀分布，由引理l ，娄似于定理2 的( 2 1 2 ) 式的证明可知 x ：v - 卜2 鼻 j 一， 0 f、 护 “、 一 矿 。h = = 厅 衍 一 r 。_，； 尸 卯 坝 圹 。 |， 1 玎 ， z 占 一 l 月 茁 ，fl、 护 聍 ，“、 一 矿 。 十 e ，q。忘m 啦 g ，- 。一 c 一 ， 1 6 s 怕：，。，一( j 9 j | 。cc c c ( 2 2 0 ) 下面估计，2 ，由于工。，o 。与j 。独立( 对固定的n ) ， 墨觉由f u b k n i 定理可知： 。厂； 、 ，：s ”2 ，o l cp l l ，( j ，f 】e 2 n j 击 肛1 i ：州 。 厂、，、 荟矿! 船j ? ) 旧l ( 砖弦户 b 2 1 ) 。 厂j、|，i 、 下证( 2 2 1 ) 中的级数”：z 旧炉li j ；! f 】5 j 2 2 2 ) 口= ! 1 是收敛昀，到于2 一 0 有 一o - z l ( n ) p fi ，口。， h = llj = ” c 量2 止一! ，( 2 ，) p j ，( 一，f j 占, b 。2 矗 。= o2 j = 二一口。 。 阢( l = 三：籀 一：， 由缓变函数的陛质可知，i j 式可推出删一，工。】t 。所以列 2 。曼玎 o 有 ，i 2 姜：”- 1 ”z ( 271，羔+。p|品vh，( o j 有 f j 1 p i 乃，f j 一自，憾，f ) l 5 - 27 l ： i e 。- o 一岛i 兰c 占一。2 1 e j j ，f 卜e ? ( x 。 f 2 2 6 1 其中g 为常数，g 后面待定i 由引理2 ，当2 ” g 2 “o ) 时，有 e l ( 州o + ， j ：”。 e h s ( x 。：t jj c 妻矿z 一；e h ( 1 ) f ) 一砚( 工。，圹 4 1 + 。e i ，( 一) 一吼( j - f 】i i ，5 1 i w j 。、? 2 11 兰c 1 善2 。“”2 lf 予，【一；，f j e h 。f y 。ti 一+ 2 ”：f ；i ( ，f ) 一砚i ，r ；i l 一 、 7 故 1 8 ，i ! ( 薹：“。一二，2 。) 2 一；? ：，；薹，。l 、姜”q ! 。( f i j ( f 一”e i h ，悸卜e h 。弦j 。 + 2 e ； j i 。 下面分两种情形分别讨论 t ) - e h ：( x ) ； ( i ) 若u i h w ：，圳 哆则有 ，、 ：一 f 记江，f 1 一e h ，f f ，f j 。 c 。j ( i i ) 若j j 瞄! ，fj 一= m ，在引理1 中不妨令露= l 则 利，矿1 e ( i h r x , , , = 二c 2 叱l ，+ ? ；j “f 2 f 1 4 川h ( x 一心 2 t 1 。i 1 。 ( 2 2 7 ) ，臂妒 j ( 2 2 8 ) 又e i h ，( 。：，f j e h ( x ：, t i 。曼2 ；e i h j f j ，t 。：2 ；叵【慨一，。f l 。_ 档，圹掣 j c 主江 乓，矿、。殛 ( 22 9 ) 、1 一肌一f五 缸。 f ，f、 北 ， ，一 m f、l g 了 h 广h 卜 f p 。一 c i， r 自j f ，f11 c 一 v， f 吼 一 。 a j f ，j、 ，p - _ _ ，- 、 cf 由于l 蔓pc2 ，可取g ，0 ，使g 一1 + g 【，k - ) 4 j c o ，于是 f 2 州，( 2 02 又对一切i ：2 0 充分大，口一形c o , e p q ，窿，则有 量：小叫，( 2 巾一 名：，圭e 舨“州瞄州嘧。i j = l t - 1 、。 = = 茎z ( d 。确z ( 2 ，) 砉叵【i m ( x 。z l i ，b 。一：，。置j ；! ，! ：。】 = = 薹 l 一心，r 1 9 ， ：。一，。i 。j ：，| 。；。j 】姜z j d 一；3 z ( 2 ，) 妻2 j = ( 。鹄2 t ) f 【| 慨帆，_ 觚。+ ； c 量f b 瞄， 。t ( 1 h i ：_ vz ) 他i 。，矿誊：】 陬工1 9 扪 涵蚓。) j cz ( ! 3 2 ) 综台f 2 2 5 ) - ( 2 3 2 ) 式即有( 2 2 3 ) 式成立。故有，2 ： 所以( 2 1 5 ) 式获证，定堙证毕。 注：文献 2 】 3 】甲的结果是本定理的特殊情形。 下面提出我们直想解决的问题：随机足标和鸵完全牧敛：_ 生。 设汪。i 兰1 为l d ，h ，序列，h 、，：，为定义于同一概一i 。f , 一- - 上的只取 正整数值的随机变量，称“。= 【y ，一。) 为f l ! d ，、的随机足标和，列 ：o ” 2 。的完全收敛1 兰的讨论是我g 】下一步急待耋里决的阉题能西专7 母罨蠼2 郡样的结累。 参考文献 ( 1 h s u 、pt j 3 n dr o b n - - h1 1 9 1 7 3 1 9 3 二l ( ? j n j ：譬? o 薯，：r ? ：，：? 冀i 竹j ： t 二j i ； 。； 0 为雾数，琏x ) 0 ( x 0 ) 当芰寸时表缓变 函数( r = 1 时设，扛) 拟增) ，若，f ，2 ，f ( ，矿，( 日( 工，) ) cm ，旦 e 苫( ) = 0 ，v a r g ( x ：j = o - 2 ，剿存在一独立髓枫变量序列碱，i 1 ， f 兰a 7 ( o ，盯2 ) ，使得 荟”“2 如) p 学降。2 剥孤蒯 一弛如 ：若t i t x ) = x p 班满足条俘心) ，撼：j 还有下述两个摧论 摊论1设玲，f 1 为独立同分布的随机变量序列，又 t - 2 i ，r 1 ，7 扛0 ( x 0 ) 当善峥霹为缓变涵数( ，= l 霹i - 2 l ( x ；叛 增) 蒋下述条件满足 万k l a j1 ”，【k ，】：) c 。，且点- g ( x 。) = 0 酗存在一列独立正态随机变量序列， _ 。，f l ， f ! a io i f 么嘣嘴硒拈 使得 荟卵2 砌妒1 唆一2 翮”i 2 ，h ) o ( x ，0 1 当工斗时为缓变函数( ，= 1 时没“x 1 拟增) ， 若 f 旧( 一。1 。( i g ( _ 。l 。) c m 且f g 伍。) = 0 ，r 么，g ( ：) ：盯2 则存在一列独立正态随机变量序列 j ：，f 1 ，f 兰a t ( o ，盯：) 使得 砉“擀汹姒一：副石卜v 刚 由推论i ，我们可得下述完全收敛性定理 推论3设w 。，2 1 为独立同分布的随机变量序列， 1 圭t o ( x 0 ) 当z 叶。时为缓变函数( ，= 1 时设z ( x ) 拟 增) ， 若f ：g 工，r g 江，j ! ) c 。 ，且 g ( x 。) = o ，则 争2 如) p f 嘤：净卜。 其甲g n 和g ( o ：j 分别为r 1 i ) 和r 1 ：) 式所定义。 在定理2 中取r = 1 s n f t x l = 1 即可得下述强不变啜理( 见文献矗 ) 推论4 设h 掣f x 、一o j 拟增，扮。，1 j 为独立扁分布的随机 变量序列，e g ( x 。) = 0 ，v a r g ( 上l j 1 ，g ( x 。j 如定理1 所定义，假设 m i i i f 冬拿掣，0 对v 占，0 成立。 爿 j 若阿( 烈工，j ) t ：。：则存在独立属分布的标准正态变量序列 j ：j 1 j ， 使得 目 g ( x 。j 一r = o ( 胁h ：= 1 第二节引理及定理的证明 在定理的证明过程甲，需用到下面两个引理。其中有引理1 见文献 2 ，引理2 见文献e 3 1 ， 4 ， 5 弓l 理1 设f x 1 o | ，x ，0 1 ，当x 呻m 时为缓变函数，则对任意的 j ，0 ， x 6 ，& ) 拟增，x - b l 扛) 拟泽。 引理2 设汪。卵2 1 ) 为独立随机变量序列，厨。= 0 ，e r ； 2 ，x 0 ，有 、 ， f ，i l ! x p y x 一，f e 心。 管ij 一7管5 其中爿为一绝对常数。 定理1 的证明：对七以考虑退化的u 一统计量，应用t t o e f f d i n g k u t 22 g ( o ，) + k r 。 - ： 其, m r 。为一阶退化( 一的统计量；要证f 1 3 ) 式，即要征对v 占 0 r 。 垂童 rjll p 荟力二砌j p 学j 2 喜g ：孝et 船tj - s i n v h ( 栉) 0 、r e “! a ) 、巫x _ ；圭每摇蘸所定义。电引蜒：萄，有关 西 3 l 蠢p 5 统计囊， 也畜前萄炎姒的结果，& # 挹定莲l ，老暖2 ，推论1 推论2 甲鹂口，挟为 k ，结论酝然成立。 参考文献 1 珏。e f f d i 髓，鞲。t h es t r o n gl “o fl a r g en u m b e r sf o ru - s t a t i s t i c s 。 i n s t i t u t eo fs t a * i s t i c sm i m e os e r i e sn o3 0 2 ，u n i v e r s i t yo fn o r t h c a r d i n a ：2 j 陵簧浆，韩正炎。溉含相藏交量豹强强莲宅科学出版社，t 9 9 7 。 1 3 ：s h 龇e n k 。，a i o nm l i m p r o v a b l e e s t i m a t e so ft h er a t eo f c o n v e r g e n c e 主nv a r i a n c ep r i n c i p l e i n ：c o l l o q u i am a t hs o c ij a 潞s b l y a i n o n d a r a m e t e rs t a t i s t i c a li n f e r e n c e b u & p e s t ( h u n g 舭y ) ， ( 1 9 8 0 ) 3 2 ，7 7 9 7 8 3 。 ：4 s a k h a n e n k o ，a i o ne s ti m a t e so ft h er a z eo fc o n v e r g e n c ei nt h e v a r i a n c ep r i n c i p l e i n ：a d v a n c e si np r o b a bi h e o r e yl i m i tt h e o l e m s a n dr a f a t e d羚o b l e m s 。b o r o v k o v ， ae d 强w y o r k ： s p r i n g e r ，1 9 8 4 ) 1 2 4 1 3 5 ! 羹s a 强e 赫o ，a i ，c o n v e r g e r ei 毪r a t ei nt h ev m i a n c ep r i n c i p l e f o rn o i r - i d e n * i c a l l y d i s t r i b u t e dv m i a b l ew i t he x p o n e n ti a l 息 吖 、；、仃 ，p b 孙 圮 ，：和o、，、。q、 | ，嚣 n l o m e n t s i n ：a d v a n c e si np r o b a b t h e o r y ：l i m i tt h e o r e m sf o rs u mo f l a n d o mv a r i a b l e s b o r o v k m ae d n e wy o r k ：s p r i n g e r ，( 1 9 8 5 ) 2 - 7 3 6 j 张立新，强不变原理与完全收敛性的统一形式，数学学报 1 9 9 8 ，4 1 ( 6 ) ，11 9 7 1 2 1 0 7 c s o r g o 强r e v e s zp s _ t r o n ga p p r ( ) x i m a ti o ni np r o b a b i l i t ya n d s t a r i s t i c s n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s 1 9 8 1 8 r g m i l l e r p k s e na n n w e a kc m n v e r g e n c eo fu _ s t a t i s t i c sa n d v o n - m i s e sd i f f e r e i n i a b l es t a t i s t i c sf u l l c t i o i lt h ea m _ l a l so f m a t h s t a t 1 9 7 2 ：4 3 ( 1 ) ，3 1 4 1 9 陈希孺，关于u _ 统计量和f 勿”一$ l i s e s 统计量的极限陛质，中国科学 1 9 8 0 ，( 6 ) 5 2 2 5 3 2 第三章 加权u - 统计量的一个重对数律 2 - 部分证明了关于独立同分布随机变量序列的加权l 统计量的一个重对数 律，类似于文献【3 】证明了一个加杈u 统计量的謦羯不等式 第节引言 设j ，一f 一是一列，矗随机变量序列，何屯，) ：r 。寸r 是一个可测 对称函数，即对( 1 2 ，”】的任何一个排列有 h 一e j = k ：一一。j 记s 2 “，。；，其中k ，k 是讧，2 ：，。 的一个 子集定义“f s ) 为一个权，考察以为核的个加权i j - 统计量： ，。乏t t 拈w 口j( 1 ) 其中日心) = 仃， j e 互w 0 | ) = 1 ，若e 日口：，。，工! ) ：臼则巩对 于拶是无偏的。即有e f j = 二，r $ 弦口) = 臼。众知，关于实筐随机变量的重 对数傅，前人们f 乍出了许多完美的结果，其中椭趾和袖骶刎于1 9 4 1 年证明 这样一个定理， 即若墨工是f d 随机变量序列，且 e 工r = o , v a r x ：= d ! ，j = 1 ，2 ，足= 芝。，则 喈坤瓦2 _ 蠢订，a 8 ( 2 j” lo - 2 n l o gl o g 月j 2 、。 列于u - 统计量而言，j 寸应于实僮自情形，l e e 在文献 2 】甲，考虑一身丑 退化 核的u 统计量，在 工，j2l 为d ，v 的条_ | ：字下有类j 以的结果，下面以冠：囔 的形式叙述如下没峨= ( ：) 。州，。j ，定义条件攀望： 日。_ j = f f x ，k ，t 。，。r ，i 对。：】2 舟 方差t y ；= v a r h 。j 。) 特别遗= f 台r h l ( 1 1 i ) 定理a 【2 | u ，是以非退化核h 的一个l - 统计量，若 e h ( x ，一。卜臼，e h ( x ，。上。j ： 0 ，f m , 2 旧) c c ，则有 怒 唑u 一蠢篙舞2 证明：应用h o e f f d m g 分解 n 呱一目) ：七、o 。，) + 嘏。 持l 其中r 。是一阶退化的加权u 统计量 要证( 坝只要证 和 七r h ：( ，) 胁。s u p 声蒿面研 一 2 膏2 c r j 力1 0 2 l o g 栉i 矗 n r n 严瓦蠡= 。 。0 1 ) ， 其中 ( 5 ) _=) h ) ( 。芦 二 e r 巨 证明过程用到i 、面一些琐各知识。 定义： 设 只n 1 是递减神仃一域，若( a ) ，盯一域c 是递减的，的子盯 域。即f 三e 3 f 2 三fb ) 工。、即五。是关于只可测的；( c ) 工。 是可积豹，即f f o 。 。i 2 l ：( 如若f 。阪) = 工。a s 对v ，j ，n 且 m h ，称o 。为逆鼓。 引理1 ：设 。”l 是一个逆鞍，且x ：cc 。若存在 巳 为递增常数序 列，使得。：缸2 。一目二，) cc 。，暑s 么 n 一： 、， p is u p i 。一。 ，占j s8 1 口：厨毛j ( 5 ) 式的证明可以仿照独立随机变量的重对数律的证明方法。下面只证明( 6 ) ，只 需要证。! ! 兰一斗。 孙( 7 l 直接通过计算f 取：一r 0 。) ：0 0 3 j 由于 x n l o g l o g 7 、”7、 r 。是一个逆鞍且n7 7 ，。一是关于h 单调递增，医此根据引理1 及c l a e b v s h e v ? x a o g l o g n 不等式右 如帆 l ，, l ! n l o g l o g n 书 ! r 。, 2 ( n l o g i 。g n ) 。w2 污瞎一酸；j c ”一7 cmloglogn 【# ； 故有( 7 ) 式成立，从面( 6 ) 式获证。 对于所定义的加杈u - 统计量，两样可以有胆祸不等式，下面以足理的形式给出 定j 翌2 ： 设 _ 奠，! i ， 工! 。? ，l 分别是 一，i l 自两个独立复制的随 机变量序列， 记加权u i 统计量瓦2 丽2：；乏! 。 p ，- y ) ， 玎j = 意i ，纛詈? e i 一，j ， 若g ；南峪。，a 。：l o ， “i - l f 戢w ? 、，7 。1。：。 c 。，c 为正常数，有 瞄吩口小扭涔 其中8