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山东大学硕士学位论文 l 6 v y 过程驱动下的f b s d e 的解的存在唯一性 刘新玲 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 正倒向随机微分方程( f o r w a z d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 。f b s d e ) 的 研究已经有了比较好的结论，p e n g 和l 【1 0 在1 9 9 9 年得到完全耦合的f b s d e 的解的存 在和唯性在本文中，我们主要得出了由 晰过程驱动的f b s d e 的解的存在唯性 现在不仅数学家而且金融经济学家都对正倒向随机微分方程感兴趣，因为正倒向随机微 分方程在金融数学中有很重要的应用在以往的文献中仅考虑由布朗运动驱动。或者是 布朗运动和p c e s i o n 过程混合驱动的正倒向随机微分方程，一个很自然的想法是能否把这 类方程推广到一般m v y 过程的情形? n u l a r t 和s c h o u t e n s 【6 】得到由类瞻v y 过程驱动的 饲向随机微分方程在l i p s c h i t z 条件下的解的存在唯性，这类1 6 v y 过程是由n u a l a r t 和 s c h o u t e n s 在文【5 l 中引入的本文的主要目的就是研究由这类m 、，y 过程驱动的正倒向随 机微分方程的解的存在唯性 本文由四部分组成 第一章，引言，主要叙述前人的工作和问题的由来，以及概括的介绍一下本文的主要 工作 第二章一预备知识，其中包括对文章中符号的解释，相关定义的给出另外，还介绍 了经典的正倒向随机微分方程 一 id 规= b ( t ，瓤，挑，) d t + o ( t ，挑，z t ) d b t - d y t = y ( t ，a ，y t ，盈) d t 一d b t ，0 t s t iz o = n y t = 西( 卯) 解的存在唯性结论以及关于l 6 v y 过程的预备知识 第三章一存在唯性的证明，这是本文中最重要的一章，也是最核心的一章在这一 章中，首先给出了本文所要讨论的由l 6 v y 过程驱动的正倒向随机微分方程 fd x t = b ( t ，五一，k 一，磊) 疵+ 墨l ( ，五一，k 一，a ) d h f ” 一d k = ( t ，瓦一，k 一，z , ) d t 一罂lz t d h o ，0 ts t 【x o = dy t = 西( 场) 山东大学硕士学位论文 其中 b ：n 【o ，卅死冗解( 1 2 ) _ 冗， 盯( ) ：n 【0 卅冗冗解( 1 2 ) _ 兄， ，：q 【0 ，卅兄冗衅( f 2 ) 一e 垂：q 冗_ 冗 而后，我们应用p e n g 和w u 【1 0 l 中的方法来证明了上面方程解的存在和唯一性 第四章金融应用在文章的最后，我们又讨论了一类由雎v y 过程驱动的金融模型 投资者的财富过程为 f 妣= h 咄一q + 一r d t d t + 巩墨l a t ( o , i r z ( ) i ，( o ) = w o 0 我们目的是得到一对最优投资组合( c t ，? r t ) m 2 ( 0 ，t ) m 2 ( 0 ，t ) ，使得指标 脚 f 7 篙扩出+ m 击审8 ) 最大化 关键词正倒向随机微分方程；l 6 v y 过程；两两强正交鞅；g r o n w a l l 不等式；可料 表示 i i 山东大学硕士学位论文 t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o r f b s d e sd r i v e nb yal d v yp r o c e s s x i n l i n gl i u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p 凡c h i n a ) a b s t r a c t i nt h es t u d i e so ff o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h e r eh a v eb e e nm a n y g o o dr e s u l t s p e n ga n dw ui l o o b t a i n e dt h ee x i f f f n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t so f 岍c o u p l e d f o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n1 9 9 9 i nt h i st h e s i s ，w eg e tt h et h e o r e m o ft h ee x i 8 t e n c ea n dt m i q u e n e mo fs o l u t i o n sf o rf b s d ed r i v e nb ybm 、，yp r o c e s 8 n o to n l y m a t h e m a t i c i a n sb u ta l s of i n a n c i a le c o n o m i s t sa r ei n t e r e s t e di nf b s d e b e c a u s ef b s d eh a v e i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e m a n yr e s e a r c h e sh a v eb e e nd o n ea b o u tf b s d e d r i v e nb yb r o w n i a nm o t i o no rb yb o t hb r o w i n a nm o t i o na n dp o e s i o np r o c e s s hi tn a t u r a lt o e x t e n ds u c he q u a t i o n st 0t h ec 4 目$ eo fl 6 v yp r o c e s s e s ? n u a l a r ta n ds o h o u t e n s 【6 】e s t a b l i s h e dt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rb s d ed r i v e nb yal d v yp r o c e s so ft h ek i n dc o n s i d e r e d i nn u a l a r ta n ds o h o u t e n s 【5 】w i t hl i p s c h i t zc o e f f i c i e n t s t h em a i na i m so ft h i st h e s i si st o i n v e s t i g a t et h ee x i 宕t 龇c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rf b s d ed r i v e nb ya 塘v yp r o c e s s t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff o u rc l m p t e r s ； c h a p t e r1 ：a ni n t r o d u c t i o n ，s t a t et h ew o r k so fp r e d e c e s s o r sa n dt h eh i s t o r yo fq u e s t i o n ， i n t r o d u c et h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si ng e n e r a l l y c h a p t e r2 ：p r e p a r e dk n o w l e d g e ，i n c l u d et h ee x p l a n a t i o no fn o t a t i o n s ，r e l a t e dd e f i n i t i o n b e s i d e s w ea l s oi n t r o d u c et h ec l a s s i c a lc o n c l u s i o ni nt h ee x 坤e 虹a n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n s f o rt h ef o n o w i n gf b s d e id 观= b ( t ，挑，) d t + o ( t ，魂，挑，) d b 一d l k = f ( t ，舭，轨，z t ) d t 一d 黾，0 s t t 【知= d打= 雪( 卯) a n dt h er e l a t e dk n o w l e d g eo fl 6 v yp r o c e s s c h a p t e r3 ：t h ep r o o fo fe x l 时e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rf b s d e n o t 曲如t h e m o s ti m p o r t a n tc h a p t e r ，b u ta l s ot h ec e n t e ro ft h et h e s i s i nt h i sc h a p t e r ，w ef i r s t l yg i wt h e i i i 山东大学硕士学位论文 2 2 3 2 。2 2 2 2 2 2 2 = = = = 2 三一 f o l l o w i n gf b s d ed r i v e nb yal 鲫p r o c e s s l 击瓦2b ( t ，j “一，k 一，z t ) d t + 辇1 口( t ，托一，m 一，五) d 碰) 一d k 2 f ( t ，五一，k 一，z t ) d t 墨l 历d 碰”，0 t t 【x o = 口埒= 雪( 赫) a m o n g b ：n 【0 ，卅冗冗埠( f 2 ) _ 冗， 口o ：n f o , t 1 冗冗鸩( f 2 ) 一冗， ， ：n 0 卅冗冗脾( f 2 ) _ 冗， 量 ：n x 冗_ 冗 t h e l ，ep mt h ee x i s t e l l c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n su s i n gt h em e t h o d i n 【lo 】w m 钯nb y p e n g a n dw u c h a p t e r 4 ：a p p l i c a t i o n s i n f i n a n c e i nc o n c l u s i o n ，w e i n v e s t i g a t e a p 8 t 咖o f f i n a 心d r i v b yal d v yp r o c e s s t h ew e a l t ho fi n v e s t o rw h os t a r t sw i t h8 0 m ei n i t i a l d o m t 蛐 0t h u s i sm o d e l e db y ， jm 。【r 咄一龟+ ( 胁一r t ) r t d t + 丌t 鐾l 毋d 碰) 【。( o ) = w o o o u rp u r p o s ei st of i n da no p t i m a ls t m t e g yt om a x i m i z et h ee x p e c t e du 锄t y o ft h ew e “t h 讹咖e f 上7 篙c 一+ 女南审q k 町。r o r d s ：脚p r o c e s s ；f o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q 嘶妣；p a i r w i 8 e s t r o n g l yo r t h o n o r m a lm a r t m g m m ，g r o n w a l li n e q u a l i t y , p r e d i c t a b l er 印m 眦t 8 t i o n i v 原创性声明 本人郑重声明。所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文的研究作出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名，二q 蠡簪叁一 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留，使用学位论文的规定，同意学校保留或 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅； 本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 7i 论文作者签名，基逝企导师签名 碜期，掣 山东大学硕士学位论文 第一章引言 经典的随机微分方程的研究已经有了近半个世纪的历史，而且无论是在理论还是在 应用上，都已经取得了辉煌的成果，而饲向随机微分方程( b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i i f e r l m t i a l e q u a t i o n s ) 的研究相对起步比较晚，其线性情形是由b i d m u t 在1 9 7 8 年提出的，而非线性 情况的基本框架是由p e n g 和p a r d o u x1 9 9 0 年在【7 】提出并证明其存在唯性的在这个 基础上，倒向随机微分方程和正向随机微分方程得到了广泛的研究一般的，一个正倒向 随机微分方程包含个j 型倒向随机微分方程和一个耦合的p a r d o u x - p e n g 型倒向随机 微分方程p e n g 和w u ，a n t o n e u i ，m 8 ，p r o t t e r ，y o n g 等专家进行了一系列的研究，并将其 结果应用到金融经济中( 参见【1 】，【3 1 ，【4 】) 脚y 过程是对布朗运动和p o s s i o n 过程的一种推广2 0 0 0 年，n u a l a r t 和s c h o u t e n s 在 文( 5 】中引入了类雎v y 过程，并得到了这类l 苦v y 过程的可料性表示2 0 0 1 年，n u a l a r t 和s c h o u t e n s 在文【6 】中证明了这一类撕y 过程驱动的b s d e 在l i p s c h i t z 条件下的解的 存在唯性 本文中我们所要研究的正是上述雎v y 过程驱动下的正倒向随机微分方程( f o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) 的解的存在唯性我们将通过p e n g 和w u 在 【1 0 】中引入的方法来处理上述问题，另外，我们还会给出类l 6 v y 过程驱动下的倒向随 机微分方程在金融中的应用 完全耦合的正倒向随机微分方程的般形式为 ld 瓤= b ( t ，轨，y t ，) 巩+ 口( t ，觑，轨，z t ) d b t 一d 玑= f ( t ，a t 挑，气) 出一z t d b t ，0 t s t 【知；n 卯：雪( 即) 其中且为概率空间( o ，p ) 上的标准布朗运动 n u a l a r t 和s c h o u t e n s 所得到的可料性表示为 f = e 旧+ ；z 1 矽删， 其中碰。为标准正交幂跳过程。在第二章中有对幂跳过程和硝的详细介绍 从而可以得到我们本文中所要讨论的方程 fd x t = b ( t ，j “一，k 一，z t ) 出+ e t - - l a ( t ，五一，k 一，z t ) d 碰o 一d k = f ( t ，五一，坫，五) 出一墨l 磊d 碰“，0 s t s t 【弱：口埒：圣( 勋) l 山东大学硕士学位论文 要得到上述方程的唯性，我们需要下面通常的l i p s c h i t z 条件 ( h 1 1 ) ： ( i ) a ( t ，t ) 关于1 是一致l i p 的，即存在常数c ，使得i4 ( t ，“) 一a ( t ，t ，) i ci 一t ，i ， v 缸，t ，m 2 ( o ，t ；冗完 蟹( f 2 ) ) ； ( i i ) 对v ，a ( ，“) m 2 ( o ，t ) ， ( i i i ) 圣( x ) 关于x r 满足一致l i p 条件，即存在常数c 使得下面的式子成立 i 西( x ) 一圣( x 7 ) i s c i x x 7 f ，y x ，x 7 m 2 ( 0 ，t ；冗) ， ( i v ) vx ，v ( x ) 铲，乃，p ) 和下列条件 ( h 1 2 ) ：( a c t ，t ) 一a ( t ，动，一面) 一凤i 戈1 2 一岛i 矿1 2 ， ( v ( x ) 一西( _ ) ，x 一弱o ， y “= e 刃，霄= ( 置e 动，j = x 一- x , p = y 一_ ，2 = z 一乏 其中风，岛，是非负常数，且鹿+ 岛 0 而证明唯性时，则只需要条件( h i 1 ) 和( h i 3 ) 即 ( h 1 3 ) ：( a c t ，“) 一a ( t ，动，一劭一愚i 口1 2 , 圣( z ) 一西( 季) ，$ 一动p li 1 2 ， v = ( z ，可，z ) ，西= 忙，_ ，- ) ，童= z 一- ，痧= y 一可，2 = z 一- 其中伤 0 ，p l 0 最终我们得到本文核心的定理t 定理3 2 2 若条件( h 1 1 ) 和( h 1 3 ) 成立，则方程( 3 1 1 ) 存在唯一的适应解( x ，k z ) m 2 ( 0 ，t ；冗冗 埠( 产) ) 在论文的最后一章中，我们介绍了一类m 、r y 过程驱动的简单的经济模型，投资者的 财富方程为 j 灿= h 蚍一龟+ ( m r t ) t r t d t + 研墨l 蠢) d 耐 l ( ，( o ) = j 0 o 我们目的是得到一对最优投资组合( c t ， f i t ) m 2 ( o ，t ) m 2 ( o ，功，使得指标 j ( c = e z 7r l e i - 4 tc 姐出+ i _ 与哼一) 2 山东大学硕士学位论文 最大化并且，我们通过下面的定理给出了方程个显式解 定理4 2 1 在4 1 节假定条件下。问题( 4 2 1 ) 和( 4 2 2 ) 的最优解可以有如下磊= ( l e 一肛) 万击她和开t = i ；皇矿魄表示，并且最优值是亡再如一，其中期= e 学 o 畔壶+ 矗，3 ( s ) 出1 r 另外，还通过做图，讨论了模型参数对最优投资组合的影响 3 山东大学硕士学位论文 第二章经典结论的简单评述 在这一章中，主要介绍了f b s d e 和k v y 过程，给出本文的符号说明，以及给出由 酶r y 过程驱动的正倒向随机微分方程的模型，便于后面的讨论 2 1 经典正倒向随机微分方程的预备知识 设t 0 为有限的时间界限，( o ，只聊是某个给定的概率空间，( 最) 。，o 是它上的d 维 标准布朗运动，信息流矗= a ( 马) ，0 sst 考虑如下完全耦合的正倒向随机微分方 程- fd 兰b ( t ，施，机，施) 疵+ 盯( t ，兢，轨，) d 鼠 一口h = ，( t ，觑，执，) 出一魂d b t ，0 t t ( 2 1 1 ) lx 0 = 口鲴= 圣( 卯) 其中( z ( ) ，可( ) ，。( ) ) 7 铲x 冗印缈x d8 缈，t 0 ， b ：n 1 0 ，卅冗“缈缈。d _ 缈， 盯：q 【0 ，卅缈缈缈。d 叶舻。d ，：q 【0 ，司冗px7 r “，r “d 舻。d 西：n 舻_ 冗” 对于每个固定的( 毛弘：) b ，吼，是五循序可测的，对于某个m n 满秩矩阵g 。引 a = i ) ，a c 厶 = 一圣) c 岛”， 这里g 口= ( g a l ，g 锄，g a d ) ，g f 表示g 的转置矩阵，采用，) 和i | 表示通常意义下 h 1 、： ( i ) a ( t ， ) 关于 满足l i p 条件，即存在常数k ，使得下面的式子成立 i a ( t ， 1 ) 一a ( t ，a 2 ) i k ia 1 一k i ，v a t ，a 2 7 宅p + m + m x d ； ( 缸) v a 缈+ 仇+ 仇d ，a ( t ，a ) m 2 ( o ，正舻+ m + 仇。d ) ，t 【0 ，卅； ( i i i ) 西( 。) 关于舻满足一致l i p 条件； 4 山东大学硕士学位论文 ( i v ) vz r n ，圣( z ) l 2 ( n ，p ，r m ) 其中： 护( o ，t ) = i x ：x = ( 置) t 2 0 是五一适应的过程，并且满足 口 i i xj 1 2 = e l 五1 2 幽 0 ，并且当m n ( m 0 ，* 1 0 ( 相应的岛 o ) 我们有以下结果 引理2 1 1 假定饵1 ) 和( 2 ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 存在唯一适应解a ；( x ，x z ) 引理2 1 2 假定( 日1 ) 和( 2 ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 存在唯一适应解a = ( 蕾kz ) 5 山东大学硕士学位论文 2 2l d v y 过程的预备知识 假定x = 五，t o ) 是个定义在完备概率空间( n ，p ) 上的l d v y 过程，亦即x 是一个实值零初值平稳独立增量过程且有右连左极轨道五的特征函数为 e ( * ) = e 印【伽t 一百i 。2 2 t + 。上( e 池一1 一 o x l _ ( f 郴 0 ，p 是r 上的测度，满足厶( 1 护) ( 如) 0 ，l d v y 测度v 满足 i 。t u ( d x ) 0 成立，这蕴含着随机变量五存在任意阶矩此外。这一条件将保证下面 可料表示性的成立，可料表示性在我们的证明中起重要作用关于m v y 过程的具体结果 参看s a t o ( 2 0 0 0 ，i i i ) 或b e r t i o n ( 1 9 9 6 ，1 2 1 ) 对t 0 ，令 五 t e i o , 1 q 表示由x 生成的完备自然，一域流固定个时间区间【o 习， 并且令工2 ( n ，厅，p ) 表示所有平方可积可测五一的随机变量的空间p 表示厅圆b o ，钉 的可料口一代数下面引入一些记号，令碑表示平方可积) 蚝n t i 循序可测实值过程 妒= 血，t 【o 卅) 组成的空间，满足 ，t | l 庐f 1 2 = e 【i 也1 2d t o o 埠表示由月孕中所有可料过程组成的空间，月孕( 胛) 和解( j p ) 是相应的j p 值过程的 空间，范数定义为 j i 2 = e 【f 渊1 2 d r 。t = l 珥( f 2 ) 和解( f 2 ) 是相应的1 2 一值过程的空间，范数定义为 帅l i 2 = e 【l 毋1 2 卅，j0 = 其中1 2 = ( z l ，z 2 ，) l 鐾l 砰 0 的p d 妇m i 过程肌，那么所有的t e u g e l s 鞅等于 m a t 因此，碰1 = 与，并且对任意的 2 ，威= o 注记2 2 j如果五是布朗运动，那么对i = 2 ，3 ，第i 个标准正交幂跳过程等于 仉 n u a l a r t 和s c h o u t e n sf 5 l 的主要结果是可料表示性，即每一个平方可积随机变量f l 2 ( f l ，只p ) 有如下的可料表示性； f = e 旧+ 萎j ( 帮d 碰“， 其中五是空间解( f 。) 中的可料过程，磊= ( z f ”，曩2 ) ，彦o ，) n u a l a r t 和s c h o u t e n 8 ( 6 ) 的主要目的之一是研究脚y 过程驱动的倒向随机微分方程 一d y t = ，( t ，k 一，z t ) 出一( 4 露d 硝，k = f ( 2 2 1 ) i 一1 ，v 解的存在唯性，其中聊是与脚y 过程x 相关的阶数为 的标准正交t e u g e l s 鞅，可 料表示性在证明中起到非常重要的作用假设 ( h 2 2 1 ) f l 2 ( n ，j r , p ) ， ( h 2 2 2 ) f ：nx 【0 ，司r 庐一r 是个可测函数。满足，( ，0 ，0 ) z 珞， ( h 2 2 3 ) i 关于第三第四个分量是一致l i p s c h i t z 的，即存在g 0 使得出圆d p a ，对 所有的，施) ，渤，施) r 户，下面式子 f ( t ，1 1 z 1 ) 一f ( t ，1 1 2 ，施) l s c ( 1 讥一1 1 2 i + l i 以一名2 i i p ) 成立如果满足( ，o 这三条假设，( ，f ) 就称为是b s d e 的标准参数b s d e 的解是一对 过程化，z t ，0 t 研明； 缮( z 2 ) 使得以下关系成立t 对任意的t 【0 ，刁， m = f + 厂m ，历肛萎o o 上t 掣删 ( 2 。2 ) 定理2 2 1给定标准参数( ，f ) ，b s d e ( 2 2 2 ) 存在唯一的解形刁 7 山东大学硕士学位论文 其中 第三章l 6 v y 过程驱动的f b s d e 的解的存在唯一性 3 1l 6 v y 过程驱动的f b s d e 的唯一性定理 fd x t = b ( t ，j 巳一，k 一，g d d t + 墨l 口( t ，x t 一，k 一，磊) 删” 一d k = i ( t ，五一，m 一，z t ) d t 一墨iz t d 硪”，0 t t ( 3 1 1 ) l = dy t = 西( x t ) 我们假设 b：ox 【o ，卅冗x 冗x 鹏( 1 2 ) 一兄 盯( ) ：nx 【0 ，卅x 冗x 冗x 殍( f 2 ) - + 冗， ，：q 【0 ，t 1x 冗x 冗x 殍( 1 2 ) - + 冗， u = 妻) ，a c 亡，“，= 一三) c 以u ， 其中z = ( z ( ，z ( 钔，一，z ( “，) 7 ，盯= ( 矿( n ，叮( ，a ( 0 ，) f 定义3 1 1 我们称( x ，k z ) ：n x 【o t j = n n x m 2 r ( t 2 ) 为工d l j ! ，过程驱动的f b s d e ( 3 1 1 ) 的适应解，如果( x ，r z ) m 2 ( 0 ，t ；死x 冗x 埘；( z 2 ) ) 且它满足f b , g d e ( 3 1 1 ) 我们假定条件t ( i - 1 3 。t ) - ( i ) a ( t ，) 关于u 是一致l i p 的，即存在常数c ，使得ia ( t ，“) 一a ( t ，) i cl 一t ，i ， v 廿，( x ，k z ) 护( o ，t ；冗x 冗x 蟹( 1 2 ) ) ； ( i i ) 对v “，a ( ，u ) 护( o ，； ( i i i ) 圣僻) 关于x r 满足一致l i p 条件，即存在常数c ，使得下面的式子成立 i v ( x ) 一西( x 川c l x x i ，v x ，x 舻( 0 ，t r ) ； ( i v ) vx ，v ( x ) 驴，厅，p ) 8 山东大学硕士学位论文 下面的假设是这篇论文主要的假定条件； ( a 3 2 ) ： a ( t ，一a ( t ，- ) ，“一豇) s 一风l 贾1 2 一岛i 矿1 2 ， ( 圣( x ) 一圣( x ) ，x x ) 0 ， v = ( 五e z ) 西= ( x ，p ，面，盅= x x ，p = y r ，2 = z 一乏 其中厉，岛，是非负常数，且伪+ 屈 0 首先我们得到下列唯性结论， 定理3 1 1我们假定( h 3 1 ) 和( h 3 2 ) 成立，则工6 吖过程驱动的f b s d e ( 3 i 1 ) 最 多只有一个适应解 证明，令= ( x 0 ，k ，磊) ，= ( 弼，巧，z ) 为( 3 1 1 ) 的两个不同的适应解 我们令m = ( 五一弼，k 一巧，z 0 一z ) = ( 宠，e ，幺) ，从而 d 毫= 砸，兄一，卜，磊冲+ 豕( s ，五一，k 一，z o ) d m ； g = l 一踮= - ( 以五一，k 一，蜀) 幽一龟d n i o 其中 醌d y , 舒( s ，蜀一，k 一，z ) d h i 掣d 鲫 i = l i = 1 c o 0 0 爿( s ，x 0 一，k 一，磊) 彰”d m 2 ，月p 】 取s ，一) = 6 ( s ，一) 一6 ( t 一) 万( 5 ，一) = a ( 0 ( 8 ，一) 一口( 善，一) 7 ( 如u 。一) = i ( s ，一) 一m 8 t 一) 我们对兄e 用m 公式得到： d & g = 卜意7 ( 。，五一，k 一，五) + 筇( s ，五一，e 一，磊) 1 如 + 爿x 0 一，k 一，z ) 番d i m , o , 础】 i = 1 o o + 阮崧) + 觅静( 岛咒一，k 一，磊) l d 硝 t=l=l 9 山东大学硕士学位论文 由【0 , t 】取积分，并取期望得： e 薪岛一e 盔岛= e z 【_ 丘7 + 筇+ 若爿”犁胁 由a ( t ，) ，西( x ) 的定义，我们知道 e 【岛壬( x r ) 一x t 壬( x ) 】一e = e ( a ( t ，“) 一a ( t ，“) ，砬) d j 由a ( t ， ) ，西) 的单调性知 0 = e 戈 圣( x t ) 一岛圣( 砖) 】一e 盔岛 一角e f i 又1 2 幽一虎b f i 虫1 2 如。， 从而 一历e fj戈，出一岛ef0t12i 幺l z d s ：0 0o 一历e j 克出一岛ei 幺1 2 = j 又因为凤+ 角 0 ，所以i 兜 2 = 0 或l e l 2 = 0 下面分两种情况讨论s 若i 寇1 2 = 0 ，则葛；弼特别的，我们有圣( 而) = 圣( 弼，) ，则由b s d e 解的存在唯 性定理( 参见【6 】) ，得k = - - 巧，z o ；乏 若i e l 2 = 0 ，则k = 巧对i 或1 2 用i t 5 公式得到 d i 玩1 2 = - 2 玩1 + 2 2 】出+ 2 y , 2 a l l ( = 0 ， 所以磊= 0 ，所以磊；雹 由s d e 解的存在唯一性定理知咒；弼 从而解的唯性得证 口 1 0 山东大学硕士学位论文 3 2 解的存在性定理 定理3 2 1 我们韫定y t = f ，f ( n ， p ) ，且( h 3 1 ) 和( h 3 2 ) 成立。则存在唯一的 一组解( z b 执，盈) ，t 【0 ，卅，满足方程( 3 1 1 ) ，其中唯一性的结论同定理3 1 1 证明存在性定理，是个比较复杂的过程在证明之前，我们要先给出如下的假设和 两个引理 考虑下面族l d v y 过程驱动的f b s d e ，其中口f 0 ，1 】， 如p = 【( 1 一n ) 岛( 一谚) + a b ( t ，t 中) + a 】疵 + 【( 1 一o ) 风茗+ n 一( o ( t ，地) + 谚1 d 碰， = lf = l= 1 一d i 舻= f ( 1 一n 施( 露) + 吖( t ，醒) + 7 d d t 一孝d w l ( 3 2 1 ) t = l 端= 口，好= 其中。妒和7 为给定的m 2 ( 0 ，习中的取值于冗的函数，妒为 e t ( t 2 ) 中的取值于，z ”的函 数显然，当o = 1 时，( 3 2 1 ) 的解存在。表示当y t = f 时，( 3 1 ，1 ) 的解也存在 下面这个引理给出了。对口【o ，1 ) ，( 3 2 1 ) 的。存在区间 引理3 2 1 假定( h 3 1 ) ( h 3 2 ) 成立，则存在常数南，使得若对一个o t o 【0 ，1 ) ，( 3 2 1 ) 存在解( 一，矿o ，扣) 。则对任意的6 【o ，6 0 l ，( 3 2 1 ) 存在砷应于参数n = o t o + 6 的解 ( 一，俨“，一w ) 证明t 假设对任意的九，y 吖2 ( o ，q ，妒解( f 2 ) ，a 【o ，1 ) ，( 3 2 1 ) 都存在唯一的解， 则对于任意的 = ( 粕，舶，磊) m 2 ( o ，t ；冗冗 埠( f 2 ) ) ， 存在唯一的 t r o = ( x o ，k ，z o ) m 2 ( 0 ，t ；冗冗瞬( 1 2 ) ) 满足如下l d v y 过程驱动的f b s d e d x t = f ( 1 一。吣) 岛( 一k ) + a o b ( t ，仉一) + d ( 岛挑+ 6 ( t ，啦一) + 也1 d t + i ( 1 一咖) 岛( 一) + 蛳a ( 0 ( t ，t ) = lt = l o oc o + 6 慨魂+ f 以饥一) ) 十妒 】扭 ， t = 1f f i lt = - 1 一d 磁= 【( 1 一哪) 角j & + a o f ( t ，矾一) + 6 ( 一角瓤+ ，( t ，t t 一) ) + 7 d d t 一吞。d 磷 - 宝- 1 z t2 哪 埽= 1 1 山东大学硕士学位论文 下面我们要证明映射 + 6 ( u ) = u ：m 2 ( o ，t ；冗冗懈( z 2 ) ) m 2 ( o ，乃冗冗埘孕( f 2 ) ) 为压缩映射即要证下面的式子成立 e f i 以1 2 出棚t l 玩1 2 幽， 町( 。，1 ) ( 3 2 2 ) 令钍，= ( 一，矿，) 护( o ，t ；宠宠衅( f 2 ) ) ， u = ( x i ，) = l 。“( t ，) ， 并且记 n = ，口，2 ) = 0 一，”一l ，o 一一) ， 0 = ( y c ，p ，宕) = ( x x i , y y i ，z z ，) 则 d 也= 【( 1 一咖) 岛( 一磁) + a o 百( t ，阢一) + 占( 岛吼+ 取t ，u t 一) + 也) l 出 0 0 0 0 + f ( 1 - a o ) & ( - ) + o t o d ( ，仉一) i = 1t = l o o + j ( 岛磊+ 一( t ，饥一) ) 】d 碰”， t ；l- = - 1 c o 一疵= 【( 1 一咖) 尻宠+ 蜘_ ( ，仉一) + 6 ( 一p l 也+ 7 ( t ，t t 一) 博一龟删o = l 硒= 0 巧= 0 对兜e 用i t 5 公式有 貔e = 或哦+ 毫砣+ 统戒 = 【( 1 一蛳) 虎( 一坪) + a 0 5 ( s ，以一) e + 6 池仉+ 虱s ，一) 览) 】幽 + 1 0 - a o ) & ( - 崧) 只+ 咖酬8 以一) e i = 1i = 1 + 6 ( 岛幺+ 砂( a ，一) 幺】d 日j ) t：1=1 一【( 1 0 0 ) 3 1 霹一0 0 7 0 ，碥一) 毫一j ( 一以盔+ 7 ( 3 ，一) 危) 】如 + 彰寇d 日j + ( 1 一咖晒( 一磊“掣) d ( 碰“，础) i = 1i = 1j = l + 蛳爿一) 却( 删”，础) = l j r l + d 慨磊帮) + 再，( s ，) 磊u ) d ( 碰“，础) 山东大学硕士学位论文 整理得- 疏览= 0 0 匝( s ，c ，o ) 览一7 ( 以一) 毫+ 衣( 巩一) 彭】 t = l 一( 1 一伽) 胁霹+ 岛蜉+ 虎( 磊) 2 】 t ；l + 巩晚毛克+ 岛蟊磁+ 岛露彩) # l 一 + 6 i 7 ( 毛仉一) 克+ ( 8 ，以一) e + 爿。( 一) 磊“】d s + 【】d 础 从0 到t 取积分后取期望，得到 。= e r 咖( a ( 玩) 一a ( s ，以) ，o o ) 一( 1 一慨髫+ 岛蟹+ 岛薹( 帮) ) 2 1 + 6 ( 风毛危+ 岛如e + 岛筇象) + 6 ( a o ，) - a ( s ，) ，眈) d 8 由条件( 日3 1 ) ，( 舶2 ) ，知 a ( 以) 一a ( s 珥) ，晚) s 一角霹一屈哿， 似( ) 一a ( ) ，玩) p l 一i ，o o ) = e ( 壬，克+ 蟊e + 誉) 帮) 而 。毫s 墅善 同理得 6 ( 风氩屯+ 角如幺+ 岛簪) 崧) + 6 a ( s ，) - a ( s ，) ，玩) 幽 s c a l e ( i 砬1 2 + i 坑1 2 ) 如 ， j 0 综上所述结果得 厂风i克12+岛lel2幽s鼢e厂(1面12+i晚12)dslg) d s风i 克1 2 + 岛l e l 2 幽s 鼢e ( 1 面1 2 + i 晚 j oj o 我们注意到当风 0 ，岛0 时，由( 3 2 3 ) 可以推出 e r 风2 出鳓e r ( 2 + 1 0 。1 2 ) 幽 当历o ，岛 0 时，由( 3 2 3 ) 可以推出 e f 伍2 幽s5 c x e f ( 2 + i 蚶) 幽 ( 3 2 5 ) 1 3 山东大学硕士学位论文 另外，由于x 。x 为l 6 、，y 过程驱动的b s d e 的解，则对戈= x x 估计，可得 从而 危1 2 仍砸z r i 包1 2 d s + c l e f o t ( i ej 2 + 耋 忍oj 。) 出， e f 2 幽a 砌知汗幽+ c t e f f ( i 玩1 2 营棚幽，( 3 。6 ) 同理考虑，( 矿，2 ) = ( 1 ，一y i ，z z ，) ，对i a v y 过程驱动的b s d e 用同样的技巧，得到 e f 0 t ( i z l 2 + 霎2 肌研疆小幽仲j ( r i x , t 2 如 ( 3 2 刀 其中a 是依赖于尻。岛和r