（概率论与数理统计专业论文）常利率下风险模型破产问题的研究.pdf

经典的风险模型是考虑理赔次数过程为泊松过程，个别理赔额序列独立同分布 且与理赌次数过程相互独立，保费率为常数的情形在此模型下，当个别理赔额服 从指数分布的时候，f i l i pl u n d b e r g 和c r a m e r 等人得到了破产概率的显示表达式 此外，利用w i l l i a mf e l l e r 介绍的更新理论的方法，他们得到了破产概率的指数上 界，g e r b e r ( 1 9 7 3 ) 利用鞅的方法也得到了同样的结果关于破产严重性问题近来引 起了广泛的关注d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 8 8 a ，b ) 、g e r b e r 和s h i u ( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 ) 、g e r b e r 等( 1 9 8 7 ) 、w i l l m o t 和l i n ( 1 9 9 7 ) 以及y a n g 和z h a n g ( 2 0 0 1 a ，b ) 等都就破产时刻、破 产前瞬时盈余和破产时赤字的分布进行了分析 经典风险模型没有考虑到利率因素的影响在实际操作中，保险公司的大部分盈 余来自于投资的收入，所以有固定利率的风险模型正日益受到人们的关注s u n d t 和 t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 研究了常利率下复合泊松模型的终极破产概率。而且在个别理赔额服 从指数分布的特殊情形下，他们还得到了终极破产概率的显式解y a n g ( 1 9 9 9 ) 考虑 了常利率下离散时间风险模型，利用鞅的方法得到了l u n d b e r g 型不等式以及破产概 率的非指数型上界在常利率且有随机投资收入的假设下，p a u l s e n 和g j e s s i n g ( 1 9 9 7 ) 得到了l u n d b e r g 型不等式 本文主要考虑常利率下的风险模型，对破产严重性、破产概率的上界以及再保 险中的自留额等问题进行了分析具体来说包括以下几方面的内容： 当初始准备金为“时，第一部分引进了与常数利率d 和l a p l a c e 变换自变量口 相关的罚金折现期望值雷6 ，。( u ) 利用更新理论的方法得到西6 。( u ) 满足的一个积分 方程，又利用l a p l a c e 变换的技巧得到了该期望值的初始值西6 。( o ) 的精确解，从而 给出罚金折现期望值应满足的解的形式在此基础上，用分析的方法讨论了破产前 华东师范大学博士学位论文( 2 0 0 4 ) i i 瞬时盈余、破产时的赤字和破产时刻联合与边际分布的折现期望值，并得到它们之 间满足的一个关系式，它推广了d i c k s o n ( 1 9 9 2 ) 、g e r b e r 和s h i u ( 1 9 9 8 ) 以及c a i 和 d i c k s o i l 。( 2 9 0 2 ) 中的结果此外还分析了破产前瞬时盈余、破产时的赤字和破产时刻 的联合与边际矩的性质 假设保单到达时间间隔服从指数分布，理赔次数过程为一般更新过程，且保单 到达过程与理赔过程相互独立，称之为泊松一更新风险模型第二部分通过构造离 散上鞅和利用递归的方法，分别得到泊松一更新风险模型中终极破产概率的两种上 界在具体实例中，通过模拟计算对这两种方法进行了比较，并说明了它们的优劣 性 考虑有息力的s p a r r ea n d e r s o n 风险模型在有限时间内破产概率的上界问题 s p a r r ea n d e r s o n ( 1 9 5 7 ) 研究了理赔为一般更新到达风险模型的终极破产概率，此 后，理赔为非p o i s s o n 到达风险模型的研究得到了极大的关注m a l i n o v s k i i ( 1 9 9 8 ) 和 w a n g ( 2 0 0 2 ) 分别研究了s p a r r ea n d e r s o n 模型中有限时间内破产概率的l a p l a c e 变 换，当个别理赔额服从指数分布或混合指数分布时，他们给出了相应的l a p l a c e 变 换的显示表达式第三部分通过构造一个连续上鞅得到了有息力的s p a r r ea n d e r s o n 风险模型在有限时间内破产概率的上界当理赔时间间隔服从指数分布、混合指数 分布以及e r l a n g ( 2 ) 分布等常见分布时，相应破产概率的上界作为特仞情形得到 最后，在有息力的更新风险模型的基础上，我们考虑了再保险的影响这里假 设再保费的计算采用期望值原理，其类别属于超额赔款再保险通过研究有息力的 s p a r r ea n d e r s o n 风险模型在有限时间内破产概率的上界与自留额的关系，利用第三 部分的结论，在使其破产概率的上界达到最小的意义下确定保方的自留额 关键词：个别理赌额，破产时刻，破产前瞬时盈余，破产时的赤字，利率，复合 泊松模型，终极破产概率，鞅，罚金折现期望值，更新过程，递归，再保险，自留额 a b s t r a c t i nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，t h en u m b e ro fc l a i m sf r o ma ni n s u r a n c ep o r t f o l i oi sa s s u m e dt of o l l o wap o i s s i o np r o c e s s ，t h ei n d i v i d u a lc l a i ms i z e sa x ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l r a n d o mv a r i a b l e s ，a n dt h ep r e m i u m sa r ed e s c r i b e db yac o n s t a n tr a t eo fi n c o m e i nt h i s k i n do fm o d e l ，t h ec l e we x p r e s s i o nf o rt h er u i np r o b a b i l i t yi s g i v e nb yf i l i pl u n d b e r g a n dc r a m e rw h e nt h ec l a i ma m o u n ti s e x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d f u t h e r m o r e ，t h e yg e t t h ee x p o n e n t i a lu p p e rb o u n db yt h ea i do far e n e w a lt e c h n i q u ei n t r o d u c e db yw i l l i a m f e l l e r ，w h i c hi sa l s op r o v e db yg e r b e r ( 1 9 7 3 ) u s i n gam a r t i n g a l ea p p r o a c h t h ep r o b - l e mo nt h es e v e r i t yo fr u i nh a sr e c e n t l yr e c e i v e dar e m a r k a b l ea t t e n t i o n i nd u f r e s n ea n d g e r b e r ( 1 9 8 8 a ，b ) ，g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 ) ，g e r b e re ta 1 ( 1 9 8 7 ) ，w i l l m o ta n dl i n ( 1 9 9 7 】 a n d y a n g a n dz h a n g ( 2 0 0 1 a ，b ) ，t h ed i s t r i b u t i o n so ft h er u i nt i m e ，t h e s u r p l u si m m e d i a t e l y p r i o rt or u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i nw e r ec o u s i d e r e d i nt h ec l a s s i c a lr i s kt h e o r y ，i ti so f t e na s s u m e dt h a tt h e r ei sn oi n v e s t m e n ti n c o m e h o w e v e r ，船w ek n o w ，al a r g ep o t i o no ft h es u r p l u so ft h ei n s u r a n c ec o m p a n i e sc o m e s f r o mi n v e s t m e n ti n c o m e i nr e c e n ty e a r s ，t h er i s km o d e l sw i t hd e t e r m i n i s t i ci n t e r e s tr a t e h a v eb e e np a i dm o r ea t t e n t i o n s u n d ta n dt e u g e i s ( 1 9 9 5 ) c o n s i d e r e dt h eu l t i m a t er u i n p r o b a b i l i t yi nac o m p o u n dp o i s s o nm o d e lw i t hac o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e ，a n dt h e yg e t i t se x a c ts o l u t i o na tt h es p e c i a lc a s eo fe x p o n e n t i a lc l a i ms i z e s y a n g ( 1 9 9 9 ) c o n s i d e r e da d i s c r e t et i m er i s km o d e lw i t hac o n s t a n ti n t e r e s tf o r c ea n db o t h l u n d b e r g - t y p ei n e q u a l i t y a n d n o n 。e x p o n e n t i a lu p p e rb o u n d sf o rr u i np r o b a b i l i t i e sw e r eo b t a i n e d b yu s i n gm a r t i n g a l e i n e q u a l i t i e s u n d e rt h ea s s u m p t i o no fs t o c h a s t i ci n v e s t m e n ti n c o m e ，b u tac o n s t a n t i n t e r e s tr a t e ，al u n d b e r g - t y p ei n e q u a l i t yw a so b t a i n e di np a n i s e na n d g j e s s i n g ( 1 9 9 7 ) t h i st h e s i si sd e v o t e dt oa s t u d y o fs e v e r i t yo f r u i n ，u p p e rb o u n d sf o rr u i n p r o b a b i l i t y 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其它个人已经发表或 撰写过的研究成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意 作者签名日期 学位论文使用授权声明 加。啦蚯2 1 0 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的趵少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阕有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：亭、f 导师签名t 筏谤乒之 日期；沙。锻牛， 2 , q 日期： o 州。中。哟 第一章序言 关于破产理论的问题已经成为保险精算学研究的重点，它主要研究保险业中的 随机模型保单持有者若遭遇损失可以根据投保条款向保险人索赔，保险人则对被 保险人进行赔付，即理赌( c l a i m ) 聚合风险模型是将所有的保单视为一个整体，以 每次理赔为基本对象来建模该模型中，理赔的到达次数( t h en u m b e r o fc l a i m s ) 用一 个随机点过程来表示，由保险人支付的每次个别理赔额( i n d i v i d u a lc l a i ms i z e ) 表示 为一类随机变量，保险人收取一定的保费以维持公司正常运作称保费收入与( 平 均) 理赔额的差值为”安全负荷”此外，通常还假设保险公司有一定的初始准备 金在不考虑利率、通货膨胀、运营费用和支付红利等因素的前提下，保险公司的 盈余可以划分为两个部分：具有不确定性因素的理赔作为负债部分，保费收入和初 始准备金组成资产部分当保险公司的盈余小于零的时候，我们称之为”破产”虽 然此时并不意味着保险公司即将倒闭，保险公司可以通过追加资金来维持运营，但 是它能够作为保险公司财务预警系统的一个重要指标 1 1 经典的风险模型 给定完备概率空间( n ，p r ) ，以下的随机变量均为该空间上的随机变量设 n = ( t ) ；t 0 ) 为理赔次数过程，其中( o ) = o ；个别理赔额序列 k ) f 独立同 分布，其共同分布函数为p ( ) ，且p ( o ) = 0 ，均值为p l ，且 k p 与相互独立； 初始准备金为u ，则一般的盈余过程定义为 其中盈利过程s = s ( t ) ，t 0 ) 为 v ( t ) = u + s ( t ) _ ( t ) s ( ) = r i c t ) 一k k = l f 约定0k ：0 1 女= i 些壅竖堇盔堂垡堂篁堡盔垡丝2 2 这里( t ) 是时间 o ，胡内收到的保费总数若保费率为常数c 且连续收到保费，则 盈利过程为 n ( t ) s ( o = d 一k 该盈余过程的一个典型样本轨道如图1 1 ，其中a 为第女次理赔发生的时刻 设有强度a ，即e ( t ) = 地定义相对安全负荷( s a f e t yl o a d i n g ) p = 一1 a p l ( 1 13 ) 若c ，即意味着每单位时间内收到的保险费超过单位时间内所支付的理赔额的 期望值，此时有正的相对安全负荷若不作特别说明，约定相对安全负荷为正我 们主要讨论如下定义的破产概率问题 定义1 1 记 圉1 1 ：盈余过程的一个典型样本轨道 t = i n f tl u ( t ) o ) 为破产时刻，这里约定i n f = 。称 皿( “) = p r ( t 0 0 ) = p r ( u ( t ) 0 ，j t 0 ) 为终极破产概率若关注保险公司在某一确定时期内的经营状况，需定义有限时问 ( 0 ，司内的破产概率 皿，t ) = p r ( t t ) = 尸r ( u ( s ) o , h ( r ) o 。 定义1 3 称方程 ：z o 。e 脚( 1 一p 国) ) 由= 1 ( 1 1 6 ) 的非平凡根r 为调节系数 利用分部积分可以得到，定义1 3 中的调节系数r 即为方程 ( r ) = i c t 的非平凡根在假设1 2 下，r 是( 1 _ 1 6 ) 式的唯一正根 4 2 t 4 9 由( 1 1 4 ) 式可以得到破产概率的方程 雪( u ) = ：z 。o ( 1 一_ p ( 们) d + ：z ”雪似一们( 1 一p 国) ) d ( 1 1 7 ) 由于j 尹j ( 1 一p ( y ) ) d y = a p l c 1 ，所以方程( 1 1 7 ) 是一个瑕疵的更新方程将 ( 1 1 7 ) 式两边同时乘以e m 后，利用调节系数的定义即得到规范的更新方程 e 讹皿( u ) = ；e 砌f ( 1 一p ( ) ) 曲+ ：z “e 吲”们皿( u 一) e 珊( 1 一p ( ) ) 曲 于是由关键更新定理【6 7 t6 9 就可以得到关于破产概率的渐近公式如下： 雪( “) 一西c 1 e m ，u _ 。 其中 c 1 = - ：，f 。e r uz 。( 1 - p ( 。) ) d v d u c 2 ：查o vv e r ( 1 一p ( ) ) d v cj 0 5 此外，调节系数的另一个重要作用是可以用来确定破产概率的指数界，即下面 的l u n d b e r g 不等式 4 2 ，4 9 ，6 7 成立： ( 1 1 8 ) 洲垆卜二 皿。( u ) ： 。a e 一 f 。皿。一i ( u + d 一”) d p ( ) d t j 0j 0 z ”a e - , x t 上”唧【叫“+ d 一) 】d p ( 州t = a ( - 。r c f o e 助d p ( ) e 一如= e m 上式两边令n 。，即得不等式( 1 1 8 ) 1 2 鞅方法与破产概率的指数界 g e r b e r 利用鞅的方法也得到了破产概率的指数界本节我们首先给出关于鞅的 定义和一些基本结果，然后利用鞅方法得到( 1 1 8 ) 式 设f = ( 五，t 0 ) 是芦的单调不降的子a 代数流将由过程s = s ( t ) ，t o ) 生成的子代数流记为f 5 = ( 芹，t o ) ，其中筇= 口 s ( s ) ，8 t ) 生壅竖堇盔堂竖堂焦堡塞墅坐2 6 定义1 4 称实值随机过程m = m c t ) ，t 0 ) 为f - 鞍r 相应地f 上鞍j ，若该 过程满足； m ( t ) 是，f 可测的 f f je ( i mc t ) i ) 0 ，有五= n 只 定义1 6 称随机变量t ：q _ 【0 ，o 。 是一个f 一停时，著对任意t 0 有 t t ) 五 下面我们给出简化了但是相当有用的停时定理 定理1 7 令t 是一个有界停时，即t t o o ； 4 ) 存在正数r ，使得e ( e - r s ( ) ) = e t ( m ( r 】_ “) t o ) e ( m ( t o at ) i t t o ) p r ( t t o ) = e ( m ( t ) i t t o ) p r ( t t o ) 由于在 t 。 上”+ s ( t ) s0 ，所以有 p r ( ts 如) 豆百订赢s 面再i = 彘e - r u 。s u 呸p 。e 幻( r ) ( 1 2 1 ) 选择r = s u p r ：g ( r ) o ) ，即r 是方程h ( r ) = c r 的解，也就是经典风险模型中 的调节系数，并在( 1 2 1 ) 式中令t o _ o o 即可得( 1 1 8 ) 式 1 3 再保险 随着社会经济的发展，巨额风险不断增多，保险公司要承保的标的金额有时会 很高为了分散风险，降低自己承受的财务压力，保险人可以再保险再保险提高 了原保险人的承保能力，使其能以有限的资金接受更高额的风险，从而使资金资源 得以优化运用，使原保险人的财务状况保持稳定关于再保险的分析主要包括风险 评估、自留额的确定、费率的厘定等方面 自留额( r e t e n t i o nl e v e l ) 指原保险人再保后承担的风险额度如果保险人自留额 定得过高，可能会因为承担过多的风险而影响到财务的稳定性；若自留额过低，则 会丧失大量利润因此在一定的标准下确定自留额是相当重要的下面我们简要介 绍一下再保险的分类，详细描述参见文 4 华东师范大学博士学位论文( 2 0 0 4j 8 按照再保费和总保费之比是否等于再保险人分担的赔款和总赔款之比，可以将 再保险分为比例再保险和非比例再保险两种形式 比例再保险形式主要有成数再保险( q u o t as h a r er e i n s u r a n c e ) 和滥额再保险 ( s u r p l u sr e i n s u r a n c e ) 成数再保险指原保险人将每一风险单位的保险金额按约定 的比例向再保险人分保的方式按照这种再保险方式，无需考虑分出公司承保的每 一风险单位的保额，在合同规定的限额内均按照双方约定的固定比率进行保费分配 和赔款分摊溢额再保险指原保险人给定一个最大保险金额作为自留额，当一个风 险单位的保险金额小于自留额时，原保险人承担全部风险；否则原保险人和再保险 人按照自留额和分出保额对总保额的比例来分摊赃款 非比例再保险主要有超额赔款再保险、停止损失再保险和最大赔款再保险等 超额赔款再保险指在给定自留额b 后，再保险量为磐一6 ) + ，这里。+ = m a x x ，o ) ，即当个别理赔额不超过b 时，原保险公司承担全部理赔；当个别理赔额 超过约定的自留额b 时，其超出部分由接受公司负责一定的额度 若以原保险人在一段时间内的总损失额为理赔基础，规定( 罂k 一6 ) + 为时 间 0 ，t 】内的再保险量，该种再保险称为停止损失再保险在这种再保险方式下，当 理赔次数很大时，小额的个别理赔额会很大程度的影响总理赔额 最大赔款再保险指再保险人仅承担一年内金额最高的若干次理赔额 1 4 本文主要内容 为了使保险公司有更翔实的信息作出央策，关于破产严重性问题如破产时刻、 破产前瞬时覆余和破产时赤字分布的分析引起了广泛的关注但是由于在大多数情 形下这些分布的解析解并不存在，所以得到相应的表达式是相当困难的，转而用各 种数学工具来研究这些分布的概率性质在经典风险模型中，当个别理赔额分布服 华东师范大学博士学位论文( 2 0 0 4j 9 从混合指数分布和混合g a m m a 分布时，【3 7 ，4 3 给出了破产概率和破产前瞬时盈余 分布函数的解析表达式 3 0 ，3 1 ，3 4 ，s s 中讨论了破产前瞬时盈余和破产时赤字的边 际分布的解析性质，以及它们之间的相互关系在个别理赔额完全离散的情形下， 3 2 ，2 9 利用递归的方法去计算了这些分布g e r b e r ( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 ) 利用与破产时刻、 破产前瞬时盈余和破产时的赤字相关的罚金函数的性质来研究它们的联合分布，他 们的结果表明罚金折现期望值函数满足一类更新方程此后，l i n 和w i l l m o ；通过 对更新方程性质的研究，给出了相应的矩满足的积分方程，从而可以用递归的方法 来求取矩的近似值 在实际操作中，保险公司的大部分盈余来自于投资的收入，所以有固定利率的 风险模型正日益受到人们的关注但有息力风险模型中。聚合理赔过程增量不再具 有平稳性，这就带来一定的难度s u n d t 和t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 研究了常利率下复合泊松 模型的终极破产概率，特别地，在个别理赔额服从指数分布的情形下，得到了终破 产概率的显式解y a n g ( 2 0 0 1 a ，b ) 利用s u n d t 等的方法研究了破产前瞬时蕴余以及 破产时赤字的边际分布b r e k e l m a n s ( 2 0 0 1 ) 用递归( r e c u r s i v e ) 的方法得到常利率下 复合泊松模型在有限时间内破产概率的近似解但是，在有息力假设下，对风险模 型的研究还很不完善 本文在保险公司对盈余资产进行再投资的假设下，主要考虑了破产严重性、终 极破产概率以及有限时间内破产概率的上界，并利用有限时间内破产概率的上界讨 论了在保险中的自留额等问题具体来说，本文的结构如下： 假设常利率为d ，单位时间内的保费率为c ，第二章主要考虑如下风险模型： 哪) = u e 酏+ 舛一z e 州“计d z ( y ) ， ( 1 叫 r “1 其中z ( t ) = 宝1k 为聚合理赔过程定义罚金折现期望值 t = l 西5 ，。( t ) = e ( e 一。乃u ( u ( 2 了) ，i c 厂( 乃) i ) i ( 乃 o 。) ) ， 华东师范大学博士学位论文( 2 0 0 4 ) 1 0 其中乃，uc t f ) 和i t ( t 6 ) 1 分别是模型( 1 4 1 ) 对应的破产时刻、破产前瞬时盈余和破 产时的赤字，w 是一个非负的罚函数2 。2 得到圣缸( h ) 的积分方程( 2 2 2 ) 式，以 及西d 。( o ) 的显示表达( 2 2 1 3 ) 式在此基础上，得到了一系列破产理论及精算应用 中感兴趣的结果：2 3 给出了破产前瞬时盈余、破产时的赤字和破产时刻联合与 边际分布的折现期望值所满足的方程以及它们之间的一个关系式( 定理2 7 ) 作为 该结果的特例，可以推出它们的联合与边际分布的关系2 4 得到了破产前瞬时盈 余、破产时的赤字和破产时刻的联合与边际矩所满足的关系式 s p a r r ea n d e r s o n ( 1 9 5 7 ) 研究了理赔为一般更新到达风险模型的终极破产概率， 此后，理赔为非p o i s s o n 达到的风险模型的研究得到了极大的关注第三章假设保 单到达过程为一个p o i s s o n 过程，理赔过程为一般更新过程，这样构造了泊松一更 新风险模型，即盈余过程满足 d u 6 = c d m ( t ) 一d z ( t ) + d 阮d t ，( 1 4 2 ) 这里m ( t ) 是保单到达过程3 3 1 通过构造一个上鞅，得到了模型( 1 4 2 ) 的终极 破产概率的一种上界( 定理3 ，7 ) ；3 3 2 利用递归的方法得到另一种上界( 定理3 9 及 推论3 z o ) ，注3 i i 表明当个别理赔额的分布函数为n w u c 类时，有较简便的公式 计算出好的递归上界；最后在具体实例中通过模拟计算将两种方法得到的上界进行 了比较，说明了它们的优劣性， 第四章考虑有息力的s p a r r ea n d e r s o n 风险模型在有限时间内破产概率的上界 闻题。m a l i n o v s k i i ( 1 9 9 8 ) 和w a n g ( 2 0 0 2 ) 分别研究了s p a r r ea n d e r s o n 模型中有限对 间内破产概率的l a p l a c e 变换，当个别理赔额服从指数分布或混合指数分布时，他 们给出了相应的l a p l a c e 变换的显示解对于保险公司来说，如果能够得到有限时 问内破产概率的上界，就能够帮助其进行决策定理4 4 构造了有限时间【o ，t 0 】内 的一个连续时间上鞅，利用这个上鞅，定理4 7 得到了有限时间破产概率的一种上 界理赔间隔时间为指数分布、混合指数分布以及e r l a n g ( 2 ) 分布时相应的破产概 生壅竖薹盔堂竖堂垡堡塞垡型2 率的上界作为特例情形在5 4 4 中给出 为了转移风险，保险公司通常会进行再保险第五章在第四章模型的基础上假 设再保费的计算采用期望值原理，其类别属于超额赔款再保险定理5 4 表明方程 ( 5 1 3 ) 的根r w 是自留额彬的单峰函数，从而在使破产概率上界达到最小的意义 下可以确定保方的自留额定理5 8 利用第四章中有限时间内破产概率改进后的上 界对自留额的确定问题进行了再讨论 第二章罚金折现期望值的破产模型 2 1 介绍 p r ( xs 。) ，j 阶矩为功= 铲x j d p ( x ) ，j = 0 ，l ，2 ，l a p l a c e - s t i e t j e s 变换记为庐( s ) = j fe - s z d p ( x ) ，且设 五。，n 1 ) 与 t ，0 相互独立，则到t 时刻聚合理赔过程 z ( t ) = x n 啪) = u e j t t - 硝一z t e 6 ( t _ x ) d z ( 巩( 2 1 2 ) 钟= o 拥”= b 黧 生壅竖堇盔堂竖主堂垡堡塞丝塑12 破产时刻表示为乃= i a f t ：( t ) o ) ，则盈余过程( 2 1 2 ) 的破产概率为 咖( “) = p r t 6 0 时，( 2 2 1 2 ) 式两边令s ：0 就得到 。一嘉石。0 引咖h 小嘞删皿卜 一；z 。( 娜出a 妒_ 唧h i 小咖删m 江 此即 喇o ) ：o o 型粤型鸳罢盟霉二塑型业 矗【 p l p 。( 。) = + a ) z 。e x p ( 一 丽五磊鬲面瓜 2 i 了a p a 瓦厶。o 州叫v e x p ( 一。+ 如。z ”引d s ) 扎( 2 t 2 1 3 ) 这里( 2 2 1 3 ) 式中的第二个等式是通过变量替换= = 6 v , t ：如后得到的，此外 靠一2 如，z 。庐t ( 如) ” e x p ( 一。+ 却t 上”声。( 曲) 山) 血， ( 2 _ 2 1 4 ) 缸。2 ；z 。0 伊1 唧( 一删懒肛c s ) 幽 2 z 。( c 一- 芦- ( 曲) ) v e x p a p ( 一。+ 砌。z 。j ；。( 如) d 。) 如( 2 - 2 1 5 ) 2 上( 。一l 芦l ( 曲) ) ( 一+ 如1f 。j ；1 ( 如) d s l 如( 2 - 2 1 5 ) 1 7 生查堡整盔堂垫堂垡堡塞鬯! 坐2 由( 2 2 - 1 3 ) 、( 2 2 - 1 4 ) 和( 2 2 1 5 ) 式得到 吣0 ) _ 岽z ”引州”e x p ( 一“+ 却t 肪灿) 曲 其中 一a ，a = c f o 。v ；e x p ( 一c ”+ - ，tz ”声t ( a s ) d 。) d v m a “ + 却1 上声1 ( d s ) 山) ( 2 2 1 6 ) 中令。叶o + ，得 2 等z 。州曲) e x p ( 一。协肛灿) 札 其中 一a = c z ”e x p ( 一+ a p - 0 2 声( a s ) d s ) d 。， 这是【1 3 】中的( 3 8 ) 和f 3 9 1 式 1 8 注2 1 偿2 纠式解决了c a i 和d i c k s o n 御咧提出的问题易见圣d 。( o ) 在a ：0 处连续利用分部积分，易看出白一。：。= m l ，一跏f 。：。g 豫 2 2 3 v o l t e r r a 类积分方程的解 ( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) 都是如下v o l t e r r a 类型的积分方程 = ( 。) + 上( ”) d s ( 2 - 2 2 0 ) 由 6 0 1 知，若自由项f ( 。) 绝对可积，核( g ，s ) 连续( 或有界可积) ，则对任意窖 o ，( 。) 存在如下形式的唯一解： 庐( 。) = ) + 上耳( 即) z ( s ) d s ， ( 2 2 2 1 ) 其中 k ( 叩) = ( ”) ，z s 0 ， m = l ( 叩) 2 ，( 。，t ) 一l ( t ，s ) d t ，m = 2 ，3 一 s o 七l ( z ，3 ) = 后( 茁，s ) ， 埘 研 七 z 互 l 池 陋 1 9 这里称g ( x ，s ) 为( 2 2 2 0 ) 式的预解( r e s o l v e n t ) 此外，咖( z ) 可以由如下递归公式得 到近似解： l 如( z ) = f ( z ) ， ( 2 2 2 2 ) iq 5 n ( z ) = z ( 。) + j 孑一1 ( s ) l ( s ) d s ，n 1 这样，利用( 2 2 2 ) 、( 2 2 1 6 ) 以及( 2 2 2 1 ) 和( 2 2 2 2 ) 式，我们可以求得西池( “) 的解 的形式，或者递归地得到其近似解 2 3破产前瞬时盈余、破产时的赤字和破产时刻分布的折现期望值 本节引入如下记号 妒d ，。( ) = 1 一玩，。( t ) = e 【e - a t 6 i ( 乃 o o ) ，玩( t ) = l 一亿( “) ，妒( t ) = 妒o ( u ) - 6 一( 茹，引t ) = e 扣一。乃i ( 矿( 2 了) 譬，t v ( t , ) isf ) i ( 乃 。) 】， h 。( x , v l u ) _ 磊日抽( 训j u ) ， 瑶。( z 剧“) = e e 砧i ( 矿( 可) 。) i ( 乃 0 ，有 2 1 却z “警肿，出 = 觥一悬脚h 如( u ) + 咄n ( 0 , o “警出；( 2 3 7 ) 特别地，若o f = 0 ，则对任意u 0 有 却o “筹肿肛等铲呐一。a 地p l 。d t n ( 2 。_ 8 ) 证明；由( 2 3 5 ) 和( 2 2 2 1 ) 式得到 ( “) = 掣一羔肿) + ( 0 ) o ”警出 一蛔z “警邢胁 上式适当变形后即得( 2 3 7 ) 式 当a = 0 时，由( 2 3 2 ) 式可得 瓦= 筹+ 鄙) z “警此 从而就有 z “掣a t 一蒜一熹， 仁。驯 将( 2 3 9 ) 式代入到( 2 3 7 ) 式，整理后即得( 2 3 8 ) 式社 下面的定理给出凰。的表达式 定理2 4 凰，。( 。，j u ) = g 。忙，g ) ( j 孑掣疵+ 丽1 ) + 昔p 1 托+ ) + a p lj 孑掣p t ( t + u ) d t + ，。( t ) ，us 。， g i 。( 训) 锵出+ 而1 ) ( 2 _ 3 1 0 ) + 幽，n ( q v l o ) f 孑曼磷竽如 一蛔1 后帮 p l ( t ) + p l ( 可) 一p l ( t + 掣) l d 亡，u 茁， 茔壅竖堇盔堂壁堂垡堡塞墅丝2 其中 g n ( 。，) = c 。( 。，y l o ) 一咖，。( o ) j 一切1 只( g j ， 嚷。扛，f ) 3 c 凰，n ( z u l o ) 一a p l ( 只( z ) + p l ( 9 ) 一p 1 ( z + 姘 证明t 令w ( x l ，x 2 ) = i ( z 1 z ) i ( z 2s ) ，则 a ( t ) 2 z 。u ( t ，8 - - t ) d p ( s ) = f t u + t d p ( 。) i f 。s 。) 。( 芦! ) 一声。+ t ) ) i 。s 。) 于是由( 2 2 2 ) 式得到 刚钏i u ) = 掣一熹r i - p ( 5 uj 旷托删皿 c 十o uc + n 。， 、y o o ，u ，u + 上抽( u ，t ) 凰，。( z ，y l t ) d t = 掣一罴 p l ( u a 咖哟! ) _ 脚1 。蚓j c + d u c + 轧r 。 删，7 。t f ，一o t u ，、o 十可j + z “( 州) 凰小，非) 毗 又由( 2 2 2 1 ) 式可知 ( 叫= 掣一盎i p l ( 咖) + ) _ 帅 。蚓j c 十d uc + d nl 工一，。1 、f ，。o l “，、z 十y j l + c ”i o ) “譬m 一切t 上“冬睾铲旧o + 毋( 们只p 嚣+ 训以 从丽当“ z 嘲小) = 州们( j ( “警廊+ 熹) + 是坼刊 + 卸t z ”譬肿d 】c 地她( 2 3 1 2 ) 如p ( ) = c f 磋。( y l o ) 一如，。( o ) 卜却i b ( f ) 特另u 地，在推论2 5 中令。= o ，并利用( 2 3 9 ) 式，即得到破产前瞬时盈余分布 露0 i ”) 和破产时赤字的分布f ( v l u ) 所满足的表达式如下。 推论2 6 ( 钍) ： ) t o 出，u o ( 2 3 1 3 ) 妇 ， 毋 + 一 叫r 姒挚 小葡嘴 瑶碟学 世垃饥瓣瓣 ，-ijifl-i = 耐砖 舶= 器孵圳o ) _ 蜊一等) j + 肌刊 + 如o “等举铲p l ( t + ) 出+ 伽( “) ， ( 2 3 1 4 ) 最后，我们用分析的方法得到了 d ，n ( 曩和矗。( x l u ) 之间的一个关系式 定理2 7 设p 有连续密度p ，则对任意t 0 有， ( 咖) = 警群础圳i ( 2 3 1 5 ) 证明：首先证明 惋a ( x , y 1 0 ) = 掣砖小1 0 ) 3 1 6 ) 事实上， ( 2 2 1 6 ) 中令u ( z l ，嚣2 ) = i ( z lsx ) i ( x 2 冬”) 就有 1 = 击上”z 。e 嘲协) - _ ( 州) ) d f 机x p ( 一+ 如，o 。鼬) d s ) 拟 由于一d ，。与a 和u 无关，故有 w 蚓。) = 彘( 训协= 击出刊 z ”。 e x p (