（运筹学与控制论专业论文）hilbert空间中线性系统的若干问题.pdf

大连理工大学博士学位论文 掂苗 摘要 控制理论是控制系统工程的理论基础，它处在数学、计算机科学和工程学交叉发展的 前沿，它在以自动化、计算机、机器人等为代表的新技术革命中发挥着重要的作用目前， 控制理论的原理和方法的应用领域已经远远超出了工程技术的范畴。它在生物、生态、医 学、经济、金融和社会学等方面都有着广泛的应用控制理论研究的对象是系统本文我 们是在套代数框架下研究h i l b e r t 空间中线性系统的稳定化、强稳定化以及一般估计问 题其中，本文的第三章属于系统稳定化范畴：第四章属于强稳定化范畴，最后一章属于估 计问题范畴 第二章我们简要回顾了论文中用到的算子理论的基础知识对一些基本概念、基本定 理等做了描述 在第三章中，我们首先介绍了h i l b e r t 空间中的控制理论，在扩展空间的结构下引入了 物理上的“关联性”的概念其次介绍了线性时不变系统中的内部稳定性理论，基本思想是 将一个线性系统表示成一个2 1 算子矩阵的值域其中的矩阵元素是关联的稳定性可被 看作等价于这样一个矩阵的左关联逆这通常称为素分解方法经典的y o u a - k u s e r a 定理 【l ，2 】就是以此方式给出的最后利用y o u l a - k u 芒e r a 参数化定理给出了多个系统同时稳定化 的一个充要条件 在第四章中，我们研究了线性时变系统的强稳定化问题，即要求控制器是稳定的系统 稳定化问题这主要源于在实际控制问题中，工程师们更愿意用稳定的控制器首先，不同 于以往的给定系统有双互素分解。我们考虑的系统是只有一个左或者右单素分解的对于 有单素分解的系统己= b 一1 a 我们给出了稳定控制器的一个参数化表示，并将得到的稳定 控制器参数化应用到同时稳定化问题和鲁棒稳定性问题中，给出了一系列新的结果特别 的，当a 是紧算子的时候，结论是成立的；其次，在套代数的结构下，利用线性关联系统强 稳定化的一个充要条件【3 】，给出了解决强稳定化问题的一种新方法应用套代数中的内外 分解理论，该问题与一个算子和考虑的套代数之间的最小化问题相联系，并给出了此最小 化问题的一个最优解，以及基于h a n k e l 型算子的一个解；最后，考虑了加权灵敏度最小化 问题在强稳定下的情形，将我们得到的稳定控制器参数化结果【4 】应用到加权灵敏度最小化 问题中。分别给出了它在时不变和时变情形下的最优解 在第五章中，我们主要讨论了一般的时变估计问题以及多目标h 2 h 。估计问题 a v r a h a z nf e i n t u c h 已经考虑过一般的估计问题【5 】。利用套代数中算子的内外分解理论他 给出的公式仅依赖于给定的数据本章第一节，利用算子中的内外分解理论以及b a n a c h 空 间的对偶理论，将估计问题约化为某个算子与讨论的套代数之间的一个距离问题同时给 出了最优时变估计器的存在性并且将该问题与一个同h a n k e l 算子类似的线性时变算子 相联系，这一算子可以用来求解线性时不变情形的标准最优日o o 问题我们应用了h a n k e l i h i l b e r t 空间中线性系统的若干问题 算子是紧的一个充分必要条件，并且在此情形下最优估计器可以被计算出我们用到的方 法仅与输入一输出有关，并没有用到任何的状态空间实现，因此所得结果可以用到无限维的 线性时变系统；本章第二节，我们引入了多目标日2 日o o 估计问题，用b a n a c h 空间对偶理 论和算子理论给出了它的一个最优解，并且证明了该解满足一个全通性质 关键词：线性系统；h i l b e r t 空间；套代数；算子理论；关联性；素分解；稳定化；强稳定化；控 制 i i 大连理工大学博士学位论文 p r o b l e m so nl i n e a rs y s t e m si nh i l b e r ts p a c e a b s t r a c t a sk n o w nt oa l l ，c o n t r o lt h e o r yi st h et h e o r e t i c a lf u n d a m e n to fs y s t e m a t i ce n g i n e e r i n g i ti si nt h ed e v e l o p m e n tf o r e l a n do fm a t h e m a t i c s ，c o m p u t e rs c i e n c ea n de n g i n e e r i n g a n di t p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h en e wt e c h n i c a lr e v o l u t i o n ，w h i c hr e p r e s e n t a t i v ei sa u t o m a t i z a t i o n ，c o m p u t e r ，r o b o ta n de t c a tp r e s e n t ，i th a sb e e nw i d e l ya p p l i e di nm a n yf i e l d ss u c h a sb i o l o g y , e c o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m y ，f i n a n c ea n d s o c i o l o g y s y s t e mi st h er e s e a r c ho b - j e c to ft h ec o n t r o lt h e o r y i nt h i sd o c t o r i a ld i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h es t a b i l i z a t i o n ，s t r o n g s t a b i l i z a t i o na n de s t i m a t i o np r o b l e mi nt h ef r a m e w o r ko fn e s ta l g e b r a si nh i l b e r ts p a c e s t a b i l i z a t i o no fl i n e a rc a u s a ls y s t e m si ss t a t e di nc h a p t e r3 ：s t r o n gs t a b i l i z a t i o np r o b l e m i si n v e s t i g a t e di nc h a p t e r4 ；a n dt h el a s tc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h eg e n e r a le s t i m a t i o n p r o b l e m s i nc h a p t e r2 ，w es i m p l yr e c a l ls o m ep r e l i m i n a r i e sa b o u to p e r a t o rt h e o r y , a n dd e s c r i b e t h ef u n d a m e n t a lc o n c e p t i o n sa n dt h e o r e m s i nc h a p t e r3 ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ec o n t r o lt h e o r yi nh i l b e r ts p a c e t h ep h y s i c a l n o t i o n so fc a u s a l i t ya r e p r e s e n t e di nt h ef r a m e w o r ko fe x t e n d e ds p a c e s s e c o n d l y , w ep r e s e n t i n t e r n a ls t a b i l i t yo ff e e d b a c ks y s t e m s t h ef u n d a m e n t a li d e ai st or e p r e s e n tal i n e a rs y s t e m a st h er a n g eo fa2 1o p e r a t o rm a t r i xw i t hc a u s a le n t r i e s s t a b i l i z a t i o ni ss e e nt ob e e q u i v a l e n tt ol e f tc a u s a li n v e r t i b i l i t yo fs u c ham a t r i x t h i si sa l la p p r o p r i a t ef o r m u l a t i o n o fw h a ti su s u a l l yc a l l e dc o p r i m ef a c t o r i z a t i o n t h ec l a s s i c a ly o u l a - k u s e r ap a r a m e t r i z a t i o n t h e o r e m 1 ，引i sp r e s e n t e di nt h i sf a s h i o n f i n a l l y , w eg i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rs i m u l t a n e o u ss t a b i l i z a t i o no fs e v e r a ls y s t e m sb yu s i n gy o u l a - k u 6 e r ap a r a m e t r i z a t i o n t h e o r e m i nc h a p t e r4 ，w em a i n l ys t u d yt h es t r o n gs t a b i l i z a t i o no fl i n e a rt i m e - v a r y i n gs y s t e m s w ek n o wt h a tp r a c t i c i n ge n g i n e e r sp r e f e ru s i n gs t a b l ec o m p e n s a t o r sf o rt h ep u r p o s eo f s t a b i l i t y t h i sg i v e su sam o t i v a t i o nf o rc o n s i d e r i n gw h e t h e ro rn o tt h e r ee x i s t sas t a b l e c o m p e n s a t o rf o rag i v e np l a n t f i r s t l y , w eo b t a i np a r a m e t r i z a t i o no ft h es t a b l ec o n t r o l l e r s f o ral i n e a rt i m e - v a r y i n gs y s t e mlw h i c ha d m i t sa c o p r i m ef a c t o r i z a t i o nb a a l s ow e s t u d yt h es i m u l t a n e o u sa n dr o b u s ts t a b i l i z a t i o np r o b l e m sf o rt h i sc l a s so fs y s t e m s i n p a r t i c u l a r ，t h e s er e s u l t sh o l di fa i sc o m p a c t s e c o n d l y , w ep r e s e n tan e wa p p r o a c ht os o l v e t h es t r o n gs t a b i l i z a t i o np r o b l e mi nt h ec o n t e x to fn e s ta l g e b r a s an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h es o l u t i o no fs t r o n gs t a b i l i z a t i o np r o b l e m s a i su s e da sab a s i st od e v e l o p i i i t h e o r e t i c a lr e s u l t sl e a d i n gn e wi n s i g h ti n t ot h es o l u t i o no fs t r o n gs t a b i l i z a t i o np r o b l e m s b y u s i n gi n n e r - o u t e rf a c t o r i z a t i o ni nn e s ta l g e b r a s ，t h i sp r o b l e mi s r e l a t e dt oam i n i m i z a t i o n p r o b l e mb e t w e e na c e r t a i no p e r a t o ra n dt h en e s ta l g e b r a t h em i n i m u mi ss o l v e da n di s s h o w nt ob ee q u a lt ot h en o r mo fa h a n k e lt y p e s e n s i t i v i t yp r o b l e mw i t hs t a b l ec o n t r o l l e r s w e o p e r a t o r f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h ew e i g h t e d r e d u c ei tt oam i n i m i z a t i o np r o b l e mu s i n g t h ep a r a m e t r i z a t i o no fs t a b l ec o n t r o l l e r st h a to b t a i n e di no u rp a p e r 【4 j a n dt h eo p t i m a l s o l u t i o n sa r eg i v e ni nt h ec a s e so ft i m e - i n v a r i a n ta n dt i m e - v a r y i n g ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s sag e n e r a le s t i m a t i o np r o b l e ma n dm u l t i o b j e c t i v eh 2 日e s t i - m a t i o nd r o b l e m a f e i n t u c hh a dc o n s i d e r e dt h ep r o b l e m 5 l ，a n dg a v ef o r m u l a st h a td e p e n d o n l yo nt h eg i v e nd a t au s i n gi n n e r - o u t e rf a c t o r i z a t i o n f o ro p e r a t o r si nn e s ta l g e b r a s i n t h ef r o n to ft h i sc h a p t e r ，u s i n go p e r a t o ri n n e r - o u t e rf a c t o r i z a t i o n ，w er e d u c et h ee s t i m a t i o n p r o b l e mt oad i s t a n c em i n i m i z a t i o nb e t w e e n ac e r t a i no p e r a t o ra n dt h en e s ta l g e b r amq u e s - t i o n i nt h es a 朋 1 et i m e 。t h ee x i s t e n c eo fa no p t i m a lt i m e - v a r y i n ge s t i m a t o ri sg l v e n a l s o w er e l a t eo u rp r o b l e mt oal i n e a rt i m e - v a r y i n go p e r a t o ra n a l o g o u st ot h eh a n k e lo p e r a t o r , w h i c hi sk n o w nt os o l v et h es t a n d a r do p t i m a lh p r o b l e mi nt h el i n e a rt i m e - i n v a r i a n tc a s e a tl a s t w ep o i n tt oan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h i c hg u a r a n t e e sc o m p a c t n e s so f t h eh a n k e lo p e r a t o r ，a n di nw h i c hc a s et h eo p t i m a le s t i m a t o rc a nb ec o m p u t e d o u ra p - p r o a z hi sp u r e l yi n p u t o u t p u ta n dd o e sn o tu s ea n ys t a t es p a c er e a l i z a t i o n ，t h e r e f o r et h e r e s u l t sd e r i v e dh e r ea p p l yt oi n f i n i t ed i m e n s i o n a l 如1 vs y s t e m s i nt h el a s to ft h i sc h a p t e r ， w ei n t r o d u c em u l t i o b j e c t i v eh 2 h o oe s t i m a t i o np r o b l e m w bu s e t h eb a n a c hs p a c ed u a l i t y t h e o r ya n do p e r a t o rt h e o r yt og i v ea ne x a c ts o l u t i o n a l s ot h es o l u t i o n i ss h o w nt os a t i s f y a na l l p a s sp r o p e r t y k e yw o r d s ：l i n e a rs y s t e m s ；h i l b e r ts p a c e ；n e s ta l g e b r a ；o p e r a t o rt h e o r y ； c a u s a l i t y ；c o p r i m ef a c t o r i z a t i o n ；s t a b i l i z a t i o n ；s t r o n gs t a b i l i z a t i o n ；c o n t r o l 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作 所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他己申请学位或其 他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文 中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目： 作者签名：一日期：年一月一日 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文工作的知识 产权属于大连理 二大学，允许论文被奄阅和借阅学校有权保留论文并向国家有关部门或 机构送交论文的复印件和电子版，可以将奉学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目： 应磁囱进立z 竭章至当! l 羔磊透丝差幸! 塑塑 作者签名 导师签名： 7 5 日期：俎年上月兰日 日期：碑年上月皿日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 控制论是2 0 世纪4 0 年代由数学家n w i e n e r 创立的一门学科我国科学家钱学森 1 9 5 4 年在其专著工程控制论中，对那个时代工程控制理论基础作了系统总结，并提出 了一系列新的控制问题，为控制论的发展以及在自动控制中的应用起到了推动作用在目 前快速发展的科学技术中，控制论科学正处在数学、计算机科学和工程学交叉学科的发展 前沿控制理论已把强有力的理论成果带到现代技术中，作为控制系统工程的理论基础，它 正处在以自动化、计算机、机器人等为代表的新技术革命的核心目前，控制理论的原理 和方法的应用领域已经远远超出了工程技术的范畴，它在生物、生态、医学、经济、金融 和社会学等方面都有广泛的应用控制理论研究的对象是系统从观念上讲，控制可描述为 影响动态系统行为的过程。控制闯题是基于可以利用的数据，去确定系统的输入，以达到设 定的目的 数学在控制论科学研究中有两重作用，一是利用数学建立合理的数学模型以精确的描 述控制问题；二是在建立数学模型后，利用数学理论解决所提出的控制问题，并期望提出新 的数学问题 本文我们是在套代数框架下，研究h i l b e r t 空闯中线性时变系统的稳定化、强稳定化 以及一般估计问题本章主要回顾控制理论的历史以及发展概况，前两节对它们进行简单 的介绍；本章第三节介绍算子理论基础知。 叭e l ；本章的第四节，我们将简单概括本文的主要研 究工作 1 1 控制理论简介 众所周知，控制理论是在人类征服自然的生产实践活动中孕育、产生、并随着社会生 产和科学技术的进步而不断发展、完善起来的早在古代，劳动人民就凭借生产实践中积 累的丰富经验和对反馈概念的直观认识发明了许多闪烁控制理论智慧火花的杰作例如， 我国北宋时代( 公元1 0 8 6 1 0 8 9 年) 苏颂和韩公廉利用天衡装置制造的水运仪象台，就是一 个按负反馈原理构成的闭环非线性自动控制系统：1 6 8 1 年d e n n i sp a p i n 发踞了用做安全 调节装置的锅炉压力调节器；1 7 6 5 年俄国人普尔佐诺夫f i p o l z u n o v ) 发明了蒸汽锅炉水位 调节器等等 1 7 8 8 年，英国人瓦特( j a m e sw a t t ) 在他发明的蒸汽机上使用了离心调速器，解决了蒸 汽机的速度控制问题，引起了人们对控制技术的重视以后人们曾经试图改善调速器的准 确性，却常常导致系统产生振荡 实践中出现的问题，促使科学家们从理论上进行探索研究1 8 6 8 年，英国物理学家麦 克斯韦f j c m a x w e l l ) 通过对调速系统线性常微分方程的建立和分析，解释了瓦特速度控 制系统中出现的不稳定问题，开辟了用数学方法研究控制系统的途径此后英国数学家劳 斯( e j r o u t h ) 和德国数学家古尔维茨( a h u r w i t z ) 分别在1 8 7 7 年和1 8 9 5 年独立地建 l h i l b e r t 空间中线性系统的若干问题 立了直接根据代数方程的系数判别系统稳定性的准则这些方法奠定了经典控制理论中时 域分析法的基础 1 9 3 2 年，美国物理学家奈奎斯特( h n y q u i s t ) 研究了长距离电话线信号传输中出现的 失真问题，运用复变函数理论建立了以频率特性为基础的稳定性判据，奠定了频率响应法 的基础随后，伯德( h w b o d e ) 和尼柯尔斯( n b n i c h o l s ) 在2 0 世纪3 0 年代末和4 0 年 代初进一步将频率响应法加以发展，形成了经典控制理论的频域分析法，为工程技术人员 提供了一个设计反馈控制系统的有效工具 第二次世界大战期间，反馈控制方法被广泛用于设计研制飞机自动驾驶仪、火炮定位 系统、雷达天线控制系统以及其他军用系统这些系统的复杂性和对快速跟踪、精确控制 的高性能追求，迫切要求拓展已有的控制技术，促使了许多新的见解和方法的产生同时， 还促进了对非线性系统、采样系统以及随机控制系统的研究 1 9 4 8 年，美国科学家伊万斯( w r e v a n s ) 创立了根轨迹分析方法，为分析系统性能 随系统参数变化的规律性提供了有力工具，被广泛应用于反馈控制系统的分析、设计中 以传递函数作为描述系统的数学模型以时域分析法、根轨迹法和频域分析法为主要 分析设计工具，构成了经典控制理论的基本框架到2 0 世纪5 0 年代，经典控制理论发展到 相当成熟的地步，形成了相对完整的理论体系为指导当时的控制工程实践发挥了极大的 作用 经典控制理论研究的对象基本上是以线性定常系统为主的单输入单输出系统。还不能 解决如时变参数问题，多变量、强耦合等复杂的控制问题 2 0 世纪5 0 年代中期，空间技术的发展迫切要求解决更复杂的多变量系统、非线性系 统的最优控制问题，例如火箭和宇航器的导航、跟踪和着陆过程中的高精度、低消耗控制 实践的需求推动了控制理论的发展，同时，计算机技术的发展也从计算手段上为控制理论 的发展提供了条件，适合于描述航天器的运动规律，又便于计算机求解的状态空间描述成 为主要的模型形式俄国数学家李雅普诺夫f a m l y a p u n o v ) 1 8 9 2 年创立的稳定性理论 被引用到控制中1 9 5 6 年，前苏联科学家庞特里亚金( p o n t r y a g i n ) 提出极大值原理；同年， 美国数学家贝尔曼f r b e l l m a n ) 创立了动态规划极大值原理和动态规划为解决最优控 制问题提供了理论工具1 9 5 9 年美国数学家卡尔曼f r k a l m a n ) 提出了著名的卡尔曼滤波 器，1 9 6 0 年卡尔曼又提出系统的可控性和可观测性问题到2 0 世纪6 0 年代初一套以状态 方程作为描述系统的数学模型，以最优控制和卡尔曼滤波为核心的控制系统分析、设计的 新原理和方法基本确定现代控制理论应运而生 现代控制理论主要利用计算机作为系统建模分析、设计乃至控制的手段，适用于多变 量、非线性、时变系统现代控制理论在航空、航天、制导与控制中创造了辉煌的成就 人类迈向宇宙的梦想变为现实 为了解决现代控制理论在工业生产过程应用中所遇到的被控对象精确状态空间模型 不易建立、合适的最优性能指标难以构造、所得最优控制器往往过于复杂等问题，科学家 2 大连理工大学博士学位论文 们不懈努力，近几十年中不断提出一些新的控制方法和理论，例如自适应控制，模糊控制， 预测控制，容错控制，鲁棒控制，非线性控制和大系统、复杂系统控制等，大大地扩展了控 制理论的研究范围 控制理论目前还在向更纵深、更广阔的领域发展无论在数学工具、理论基础、还是 在研究方法上都产生了实质性的飞跃，在信息与控制学科研究中注入了蓬勃的生命力，启 发并扩展了人们的思维方式，引导人们去探讨自然界更为深刻的运动机理，控制理论的深 入发展，必将有力地推动社会生产力的发展，提高人民的生活水平，促进人类社会的向前发 展 1 2h i l b e r t 空间中的控制理论 近些年来，利用状态空闯方法的鲁棒控制f 6 ，7 j 已经开始归类到线性有限维时不变系统 的日o o 控制中虽然状态空间方法【8 】的计算优势是不可低估的但它还是有一定缺陷的 在这些缺陷中，主要是有限维时不变情形的截除，它是从应用频域方法发展起来的更一般 的理论中得到的截除频域方法，它占据日控制理论【9 】发展的大多数中心阶段，呈现了 线性时不变系统( 无论有限维或者无穷维) 分析与控制器合成的一个自然的背景算子理 论方法在这一理论中起到了重要的作用，特别是t o e p l i t z 算子和s k e w - t o e p l i t z 算子通过 构造挠性束问题的鲁棒控制器，f o i a s ，6 z b a y 以及t a n n e n b a u m 的专著【1 0 】展示出了这一理 论的巨大力量 尽管控制器合成很大程度上依赖于时不变系统特殊的计算优势以及日最优控制与 经典的插值法之间的关系，但是在没有系统是时不变的假设下，这种分析也是可能的为什 么这是重要的? 因力即使是分析的完备理论，也不能给出最简单系统参( 舌) = u ( t ) 的设计鲁 棒稳定控制器的工具这一观点已被前面提到的内容表述但是。最近几年的研究活动表 明，应用现代数学方法对时变系统的研究已经自成体系这是一个科学的必然毕竟许多一 般的物理系统都是时变的另外线性时不变系统的研究中抽样数据方法的应用要求考虑 时变系统的分析关于抽样数据方法，详细的我们可以参考t c h e n b f r a n c i s 的专著【1 1 | 虽然线性时变系统控制器合成理论的发展已有了很大的发展但该理论目前还远远不 够完善在这一方向上有很多问题需解决此理论的本质困难是必须处理无穷维无穷重 数的模型算子理论方法对于解决这样的问题是有帮助的 g e o r g ez a m e s 在1 9 8 1 年发表的著名论文【1 2 】可以看成是现代鲁棒控制特别是日控 制的先驱并且在很大程度上，它是最先以算子理论的观点阐明最小平方最优控制理论 的，它开仓了算子理论与最优控制理论之间的相互作用这样一个时代虽然此方面的第一 篇文章是解决有限维线性时不变系统极限形式的，但是很快就可发现，给定一个算子理论 的公式，该理论可以很自然地在一个无穷维的背景下陈述上世纪六七十年代的算子理论 如s z n a g y , f o i a s 交换提升，n e v a n l i n n a - p i c k 插值，以及n e h a r i 问题等，很快成为最优控 制理论中的基础知识此理论的重要部分已经在m v i d y a s a g a r 1 3 1 ，b f r a n c i s 9 1 ，f o i a s 和 3 h i l b e r t 空间中线性系统的若干问题 f r a z h o 【1 4 】等的专著中给出 我们知道，一个线性系统是作用在h i l b e r t 空间“上的一个线性变换厶该h i l b e r t 空 间具有一个自然的时间结构，它是满足标准的物理可实现条件的，即关联性一个线性系统 是稳定的，如果它是咒上的一个有界算子经典以及现代控制理论中研究的一个基本问题 就是应用反馈对不稳定的系统稳定化一般的，y o u l a 等人在1 9 7 4 年的一篇文章【1 5 】被公认 为是此方面研究工作的一个里程碑，并且在这篇文章中强稳定化问题被首次提出虽然该 文是限制在有理传递函数的经典情形，但其思想却可以推广到一般的结构框架下【1 6 】 y o u l a 等人【1 5 】引入的强内部稳定化概念解决了有理传递函数情形另外的一个简洁 描述是b d 0 a n d e r s o n 在1 9 7 4 年的一篇文章【17 】中给出的以此观点描述该经典问题的 方法首先在m v i d y a s a g a r1 9 8 5 年的专著【1 3 】中给出最近，强稳定化控制器存在性的充分 条件由日o o 控制问题的观点被阐明，此方面的一个比较新的结果参见h ( b a y 等人2 0 0 0 年的一篇文章【1 8 】强稳定化问题的表示与b a n a c h 代数中的等价问题是相联系的一个 b a n a c h 代数的1 一稳定性问题是：给定b a n a c h 代数b 中的一对元素f o ，6 ，满足b e z o u t 等 式x a + y b = 1 成立，其中z ，y b ，那么是否存在c 层，使得a + c b 是一个单位元? 对 于召= 日o 。这一情形，r n e i lf 1 9 】证明了它是成立的这表明了在复数域上每个可稳定化的数 量时不变系统是强可稳的n e i l 所得结果的矩阵情形还是未知的值得注意的是。在一个 给定的h i l b e r t 空间冗上，所有有界线性算子构成的b a n a c h 代数召( 冗) 不是1 一稳定的【2 0 1 以色列学者a f e i n t u c h 提出了这样的强稳定化问题：是否套代数是1 一稳定的他最近指 出【2 1 】：对于连续时间系统，稳定系统构成的代数的稳定秩是无限的因此双互素分解并不 能保证稳定的控制器存在我们可以在套代数的框架下考虑强稳定化问题 关于稳定问题的起源，我们可以参考m v i d y a s a g a r 的专著【1 3 】每个内部稳定的关联 线性时变系统都满足双互素分解，并且稳定它的控制器满足y o u l a - k u s e r a 参数化：它与线 性时不变系统中的经典结果是类似的然而一般的内部稳定并不等价于双互素分解的存 在性【2 2 2 3 1 自然的，我们要问：在这些控制器中是否存在稳定的系统这一问题的一个深 入结果是t r e i l i 9 1 给出的对于单位圆周上的单输入单输出线性时不变单分布系统每个 稳定的线性系统是强稳定的。也就是说，系统可以被一个稳定控制器稳定a q u a d r a t 最 近在其文章f 2 2 】中指出：这一结果可以推广到元素在稳定秩为1 的代数上的传递矩阵定义 的多输入多输出系统中因此这一结果对于多输入多输出线性时不变系统已经解决不同 于上面的方法，我们主要在套代数【2 4 】的结构框架下考虑了强稳定问题以及它在同时稳定 和鲁棒稳定性方面的应用 1 3 算子理论基础 算子理论 2 5 】是数学领域的一个重要分支十九世纪末和二十世纪初。由于对无穷维 线性空间、积分方程等问题的研究，算子理论得到了蓬勃的发展算子理论在数学的其它 分支以及物理学、机械学、控制理论等方面的应用，特别是，它对于量子力学研究的划时 4 大连理工大学博士学位论文 代的影响，奠定了它在数学领域的基础地位，并成为数学领域研究的主流方向之一算子 理论经过8 0 余年的发展，不仅丰富了算子理论本身，对数学发展的影响也是很大的最直 接的，算子代数、代数、复分析等数学分支的发展都受到算子理论的强大推动数学领 域本身以及其它学科不仅要求回答算子的一般问题，更要求研究特殊算子类，如：移位算 子、t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子等等对这些特殊算子类的研究以及对算子理论中一些基 本问题【2 6 】的回答促使了算子理论的深入发展与完善 自上世纪5 0 年代以来，函数空间上的算子理论一直是算子理论的中心方向之一，其中 乘法算子、t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子、复合算子是人们最为关注的这是由于这些算子 具有极其重要的理论及应用价值，例如，一些微分算子与积分算子经过f o u r i e r 变换后将会 变成函数空间上的乘法算子，如时域空间l 2 ( 一，o o ) 上的一个算子g 是时不变的当且仅 当：它可以由频域空间三2 ( j r ) 上的乘法算子来表示，该乘法算子是由函数0 三o 。( j r ) 决 定的其中频域空间2 ( j r ) 是时域空间l 2 ( 一。o ，。o ) 经过傅里叶变换得到的【6 】；再比如， h a r d y 空间上的h a n k e l 算子实际上是一类线性系统的实现矩阵所谓线性系统的实现问 题就是由系统的外部表示推导它的内部表示的方法有限秩的h a n k e l 矩阵是一定存在有 限维线性系统的实现的i s 关于h a n k e l 算子及其应用，具体的我们可以参考v p e l l e r 的 专著【2 7 1 本文我们主要考虑算子理论在控制理论中的应用主要是在套代数中的算子理论结构 框架下对一些控制问题进行研究，给出了一些比较新的结果 1 4 本文主要工作 本文主要在套代数的框架下。研究h i l b e r t 空间中线性系统的稳定化、强稳定化及一 般时变估计问题其中，本文的第三章属于系统稳定化范畴；第四章属于强稳定性化范畴， 最后一章属于估计问题范畴本文的内容安排如下： 在第二章中，我们简要回顾了论文用到的泛函分析以及算子理论方面的基础知识对 一些基本概念、基本定理等做了描述。为后面的顺利写作打下基础 在第三章中，我们首先介绍了h i l b e r t 空间中的控制理论，在扩展空间的结构下引入了 物理上的“关联性 的概念其次着重介绍了线性时不变系统中的内部稳定性理论。基本思 想是将一个线性系统表示成个元素是关联的2x1 算子矩阵的值域，稳定性可被看作等 价于这样一个矩阵的左关联逆这通常称为素分解方法经典的y o m 加k u 苞e r a 定理就是以 此方式给出的最后利用y o u l a - k u 琶e r a 参数化定理给出了多个系统同时稳定化的一个充 要条件 在第四章中，我们研究了线性系统的强稳定化问题即要求控制器是稳定的系统稳定 化问题这主要是在实际的控制问题中，工程师们更愿意用稳定的控制器首先，不同于以 往的给定系统有双互素分解，我们考虑的系统是只有一个左或者右单素分解的对于有单 素分解的系统给出了稳定控制器的一个参数化表示，并将该结论应用到同时稳定化问题和 5 h i l b e r t 空间中线性系统的若干问题 鲁棒稳定性问题中，给出了一系列新的结果：其次，应用线性系统强稳定化的一个充要条 件f 3 】对强稳定问题进行化简，将其与一个最小化问题相联系，并给出了此最小化问题的一 个解，以及基于h a n k e l 算子的一个解最后，考虑了加权灵敏度最小化问题在强稳定下的 情形，将我们得到的稳定控制器参数化应用到加权灵敏度最小化问题中，给出了它的最优 解 在第五章中，我们讨论了一般的估计问题以及多目标h 2 h o 。估计问题以色列学者 a f e i n t u c h 【5 j 中已经考虑过一般的估计问题，利用套代数中算子的内外分解理论他给出 的公式仅依赖于给定的数据本章第一节，利用算子中的内外分解理论以及b a n a c h 空间的 对偶理论，将估计问题约化为某个算子与讨论的套代数之间的一个距离问题同时，给出了 一个最优时变估计器的存在性并且将该问题与一个同h a n k e l 算子类似的线性时变算子 相联系，这一算子可以用来求解线性时不变情形的标准最优日o o 问题我们指出了h a n k e l 算子是紧的一个充分必要条件，并且在此情形下最优估计器可以被计算出我们用到的方 法仅与输入输出有关，并没有用到任何的状态空间实现，因此所得结果可以用到无限维的 线性时变系统；本章第二节，我们引入了多目标日2 日估计问题，用b a n a c h 空间对偶理 论以及算子理论给出了一个最优解，并且证明了该解满足一个全通性质 6 大连理工大学博士学位论文 2 准备知识 本章主要给出本论文用到的一些基本概念、定义、定理等基础知识。首先介绍了度量 空间、拓扑空间和h i l b e r t 空间等的基本概念与性质，然后给出了算子理论方面的一些基 础知识本章的内容主要参考文献是 3 ，2 8 ，2 9 2 1 度量空间、拓扑空间和h i l b e r t 空间的基本概念 首先，我们简单介绍一下度量空间 定义2