（理论物理专业论文）de+sitter狭义相对论及其实验检验.pdf

附图索引 图l 。综合m a x i m a 1 、b o o m e r a n g 9 8 实验和c o b e d m r 观测结果给出的 c m b r 的角幂律谱。第1 3 页 图2 w m a p 给出的c m b 功率谱。第1 4 页 图3d es i t t e r 时空。第1 7 页 图4 d e s i t t e r 时空的整体坐标表示。第1 9 页 图5 d es i t t e r 时空的共形坐标表示。第2 0 页 图6 d es i t t e r 时空的平面坐标表示。第2 1 页 图7 d es i t t e r 时空的静态坐标表示。第2 2 页 图8 光锥。第4 4 页 图9 光锥是全空间定义的。第4 6 页 图1 0 杆在水平方向的分量随坐标系原点改变而改变的规律。第4 9 页 图1 1 杆在竖直方向的分量随坐标系原点改变而改变的规律。第4 9 页 图1 2 杆的总长随坐标系原点改变而改变的规律。第5 0 页 图1 3 杆与x 1 方向的夹角随坐标系原点改变而改变的规律。第5 0 页 图1 4 杆的总长度随着坐标变换前杆的坐标而变化的规律。第5 1 页 图1 5 杆与x 1 轴的夹角随坐标变换前杆的坐标而变化的规律。第5 1 页 图1 6 时间膨胀对坐标系原点的依赖关系。第5 3 页 图1 7 时间膨胀随时钟位置的改变而改变。第5 3 页 图1 8 迈克尔逊一莫雷实验。第5 4 页 图1 9 光行差。第5 5 页 附表索引 表一d es i t t e r 狭义相对论的守恒量。第3 9 页 表二q s o 观测对于精细结构常数的约束。第6 3 页 表三o k l o 实验对精细结构常数的约束。第6 4 页 摘要 本文采用拉格朗日哈密尔顿语言系统地讨论了d es i t t e r 时空的b e l t r a m i 表示下的狭义相对论观。，从物理上严格定义了 正则动量和守恒动量，并发展出一套系统方法来讨论弯曲时空中 的狭义相对论。此外，分析了一些典型的d es i t t e r 相对论效应， 如运动时钟延缓，运动尺度缩短，多普勒效应等，讨论了相关的 实验，如光行差，迈克耳逊一莫雷实验等，指出在实验室和天文 观测中区分s r c r 与爱因斯坦狭义相对论的方法。并通过对光速的 讨论，初步解决了类星体光谱和o k l o 史前天然核反应堆实验对 精细结构常数是否随时问改变的结论的矛盾。 关键词：d es i t t e r 时空，b e l t r a m i 表示，狭义相对论，多普 勒效应，精细结构常数，q s o ，o k l o a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ep r o v i d eas y s t e m i ca n dac a r e f u ls t u d yt ot h e l a g r a n g i a n - h a m i l t o n i a n f o r m u l i s mo ft h ed es i t t e ri n v a r i a n t s p e c i a l r e l a t i v i t yw i t hb e l t r a m im e t r i c t h r o u g ht h i sw o r kw ec l a r i f ys o m e c o n c e p t st h a ta r en o tp r o p e r l yt r e a t e db e f o r e ，a n dg i v eaf i r md e f i n i t i o no f t h ec a n o n i c a lm o m e n t u ma n dt h en o e t h e rm o m e n t u m a l s ow e p r o v i d e d ag e n e r a lm e t h o dt oq u a n t i z et h er e l a t i v i s t i cs y s t e mi nc u r v e ds p a c e t i m e a f t e rt h a tw ed i s c u s s e ds o m et y p i c a lr e l a t i v i s t i ce f f e c t s ，s u c ha st h e c o n t r a c t i o no fb o d i e si nm o t i o n ，t h er e t a r d a t i o no fm o v i n gc l o c k s ，t h e d o p p l e re f f e c t s ，t h e s t e l l a ra b e r r a t i o na n dt h e m i c h e l s o n - m o r l e y e x p e r i m e n t s s o m eo ft h ee f f e c t sc a nb eu s e dt od i s t i n g u i s hd es i t t e r s p e c i a lr e l a t i v i t yw i t he i n s t e i n ss p e c i a lr e l a t i v i t yt h e o r y r e c e n t l yt h eq s os p e c t r u ms h o w e dt h a tt h ef i n es t r u c t u r ec o n s t a n t v a r i e sw i t ht i m e ，w h i l et h ea n c i e n to k l on u c l e a rr e a c t o re x p e r i m e n t sw e r e i nc o n f l i c tw i t ht h a tr e s u l t o u rt h e o r yc a ns o l v et h ep r o b l e m k e yw o r d s ：d es i t t e rs p a c e t i m e ，b e l t m m ic o o r d i n a t e ，s p e c i a l r e l a t i v i t y , d o p p l e re f f e c t ，f i n es t r u c t u r ec o n s t a n t ，q s o ，o k l o 第一章背景 本章将回顾经典力学和狭义相对论，由此引入关于惯性系的讨论，介绍d e s i d e r 时空相对论的出发点，并简要介绍d es i d e r 时空的基本性质和几个典型坐 标表示。 第一节爱因斯坦狭义相对论趴 经典力学是以惯性定律为基础的。惯性定律可以表述为：任何物体，在不 受其他物体的作用时，将保持静止或匀速直线运动状态。物体的运动状态是相对 于其他物体( 参考物体或坐标系) 而言的。惯性定律的上述表述并不对任何坐 标系都适用，只对于那些称为“惯性系”的坐标系才有效，在非惯性系中物体会 做加速运动，受到惯性力。或者反过来说，惯性定律成立的那些坐标系才能叫 惯性系。在经典力学里面，相对于一个惯性系做匀速直线运动的坐标系也是惯性 系。 经典力学中，联系两个惯性系之间的坐标变换是伽利略( g a l i l e o ) 变换： x = x w t = t ( 1 1 ) 其中v 是坐标系的相对速度。力学定律在伽利略变换下保持形式不变，这 就是经典力学中的伽利略相对性原理。若物体在某一个惯性系中遵循某种力学 定律，那么该物体在一切惯性系中也遵循同样的力学规律。物理定律不随时间和 地点，以及认识对象的改变而改变，从而可以被预言和证实，这是物理学能够存 在的基础。 以上述惯性定律和伽利略相对性原理为基础的经典力学中，时间和空间是 绝对的，可以分离的：存在绝对的时间和空间，物体的大小与惯性参考系无关， 不随着惯性系的时空原点的变化和相对运动而改变；时间的流逝也不因惯性运动 而改变；不同地点的同时性是绝对不变的，对于发生在不同地点的两个事件，如 果在一个坐标系中看来是同时发生的，那么在任何另一惯性系中看来，也是同时 发生的。 时间和空间是没有任何关联的；存在瞬时相互作用，运动的传播速度 可以为无穷大。存在绝对质量，一个物体的质量不随惯性系的改变而改变。 十九世纪末，随着对电磁现象的研究的深入，人们发现经典力学和电磁现象 存在很多矛盾。电磁现象所遵循的是麦克斯韦( m a x w e l l ) 电动力学，电磁波在 真空中传播的速度是常数，不随着坐标系的变化而变化，不满足伽利略相对性原 理。麦克斯韦方程组只能在一个坐标系成立。当时人们普遍相信，这个坐标系 是以太静止坐标系。 以太这个概率最初是从力学中引入的，用来解释电磁力，重力等非直接接触 力。以太学说否认超距作用力的存在，它假说认为，牛顿的所谓的超距作用实际 上是靠了充满空间的媒质来传递的，传递方式是靠了这种媒质的运动，或者媒质 的变形。用以太来解释电磁现象的力学学说是“光以太”假说，它认为，以太 是电磁作用传播的媒质，电和磁是以太的应力和应变，电磁波是以太的波动。这 种光学非常类似于经典力学中的声学，声音的传播则类似于光的传播，而空气或 其他传声媒质相应类比于以太。由于声速受到传声媒质对于观察着的运动的影 响，也就是受到风的影响，那么一个自然的问题是，如果地球相对于以太运动， 那么这种相对运动效应也应该影响光相对地球的运动，由此应产生一些可观察到 的光学效应，使我们能够确定地球相对于以太静止坐标系的运动。 当时出现了很多实验来检验这样效应，其中1 8 8 7 年的迈克尔逊( m i c h e l s o n ) 一莫雷( m o r l e y ) 实验最为著名。这个实验测量了光速不同方向的差异，精确到 矿2 c 2 精度，这里v 是假设的以太风速，取为地球绕太阳公转的速度，即3 0 公 里秒，v c * 1 0 - 4 。实验细节和分析见第三章，最终得到的结果是否定的：按 照以太学说，干涉仪的条纹将发生约o 3 7 的移动；而实验观测到的条纹移动最 多不到0 0 1 。自从第一次实验以来，不同的实验组多次进行了迈克耳逊一莫雷 实验，以不断提高的精确度否定了地球相对于以太的运动。除了这些用光学方法 进行的试验以外，近年来还用其他技术进行过类似的实验，如1 9 5 8 年用微波所 做的实验【1 】和1 9 7 0 年用穆尔斯堡效应所做的实验【2 】。 这两个实验定出地球 相对于以太运动速度的上限分别为3 1 0 _ 4k l r f f $ 和5 1 0 。k m s ，综合所有实 验结果，可以肯定实际上不存在地球相对于以太的运动。 迈克耳逊一莫雷实验否定了特殊参考系的存在，它表明光速不依赖于观察者 所在的参考系。用星光做光源的实验还证明了光速也不依赖于光源相对于观察 者的运动。光速与光源运动无关的另一个实验证据是对双星运动的观察【3 】。双 星绕其质心运动，若光速依赖于光源速度，则双星中向着地球运动的一颗星发出 的光将比另一颗星发出的光传播得快，因而在地球上观察到的双星运动轨道将受 到歪曲。而实际上没有观察到这种现象，这表明双星中两颗星发出的光的传播速 度是一样的，光传播的速度与光源本身的运动情况无关。到目前为止，所有的实 验都指出光速不依赖于观察者所在的参考系，且与光源的运动速度无关。真空中 的光速c 是基本的物理常数，是在任意惯性坐标系中测出的真空中的电磁波传 播速度【4 】。 爱因斯坦分析了经典力学和电磁实验的矛盾，提出了一系列新的物理观念 【5 - - 8 1 ： ( 1 ) 抛弃了“以太”观念，认为电磁场不是媒质的状态，而是独立的实体； ( 2 ) 将力学中的伽利略相对性原理进行了推广，使之包括电磁现象，提出 了相对性原理； ( 3 ) 改变了对同时性的认识，认为不存在绝对的同时性，提出了光速不变 的假设； 在相对性原理和光速不变原理的基础上，爱因斯坦建立了狭义相对论艘， 突破了牛顿的绝对时空观，确立了新的时空观念。 狭义相对论的基本假设是： ( 1 ) 相对性原理：所有惯性参考系都是等价的。无引力情况下的物理规律 对于所有的惯性系都可以表为相同形式，不论通过力学想象，还是电磁现象，或 其他想象，都无法觉察出所处的参考系的任何“绝对运动”。 ( 2 ) 光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c ，与 光源的运动状态无关。 光速不变这个假设导致了时空观念的改变。考虑一个简单的例子：考察两个 惯性系和7 ，相对以匀速v 沿公共正o x 轴运动。设一束光线在t = t 7 = 0 时刻沿公共的x 轴发出，此时z 和7 的原点重合，设光在t 时刻到达中x 位 置处的接收器，设在中静止的观察者记录这件事为在t 时刻x 位置，那么根据 光速不变原理，在中有x t = c ，而在中x t t k c ，由于原点已经相对移动， 所以x 必然比x 小。因此，按照光速不变，同时性不是绝对的，t t 7 ，传统的 经典力学时空观需要修改。 征笈凼劢坦狭义市甘对论甲，为j 保让狭义彳目对住原理和光递小夏原理，在一 个惯性系中某事件的坐标和时间与在相对于该惯性系作匀速运动的另一个惯性 系中测量的同一事件的坐标和时间相互之间的关系是通过洛仑兹( l o r e n t z ) 变 换相联系的。假设惯性系的笛卡尔坐标轴x ，y 和z 分别和惯性系的笛卡 尔坐标轴x t , y ，z 平行，并且在t = t = 0 时刻和的原点重合，则两个惯性系 的坐标变换是： 尹邓m - 1 ) 卢等h 叩2 ) ，：，( 卜盟) ( 1 3 ) 这里声= 苛7 c ，2 j 矧，2 夕i 歹2 ，夕名i 丽，c 是真空中的 光速，芦( x ，y ，z ) ，= ( x ，y ，z 7 ) f 和t 是z 系中观察者测量同一物理事件所获得 的空间坐标和时间坐标。我们可以把上式写作 拈【1 + ( 川) 嘶_ 1 ) 等恐地_ 1 ) 等而哪f 办旷1 ) 了v l v 2 ”l l 十旷v 势v 2 2 州川等而州( 1 4 ) 拈( 川) 等五+ ( r - 1 ) 等州l 地_ 1 ) 2 铂f 知一，等一y 等一，等 即 j ”= 上：x ” 影= y - a t 一9 d 一9 a 一9 d ( ，一1 ) 届厦 1 地_ 1 ) 譬 ( y 一1 ) 屈屈 一屈y 一】墉尼 ( y 一1 ) 屈屈 l + ( 一) 譬 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 由此变换可知，在相对论中时空不再是独立和绝对的了，时间和空间是不可 分割的，当参考系改变时，时空坐标相互变换，三维空间和一维时间将构成一个 统一体一四维时空。狭义相对论所适用的时空是闵可夫斯基( m i n k o w s k i ) 时空， 其线元是d s 2 = 刁。，d ) 【”d x ”，玎。，= ( 1 ，一1 ，一l ，一1 ) ，p ，y = o ，1 ，2 ，3 ，；其中0 表示时间分量， 1 ，2 ，3 表示三个笛卡尔空间分量。为了方便起见，取惯性系相对于惯性系z 的速度v 是平行于x 轴的，即讧化o ，o ) ，这时洛仑兹变换简化为下列常见形式： 拈滞产= 芬x = 券m 乃 可以看到，在低速极限p = v c01 下，洛仑兹变换回到伽利略变换，说明 经典力学只是狭义相对论的一种特殊情况。由洛仑兹变换可以得到下列速度变换 形式：假设在惯性系中，质点的速度为诘( u 。，u ，u ：) = ( d ，哆磊，哆t ) ：在惯 性系中，该质点的速度为 = ( 蚪“h ，) 蜘斋务杉= 厢熹= 而高彷( 1 8 ) 这里v 是惯性系相对于惯性系的速度。对于光，由于u 。= c ，u ，= u ：= 0 ， 于是在中： = 熹毛= c ，杉= “o ( 1 9 ) 蚊2 而；2 。，q 。“：2 u ( 1 9 ) 可见，真空中的光速仍然为c 。为了保证物理事件的因果律，物体的速度 不应超过光速。 盈履 孱 ，d 区 反 射曲 嘴 嘴 一 驴 一 一 刊 驴 对t - 自由粒子，其拉格朗日量为： 厶= 一c = 一m o c 历( 1 1 0 ) 正则动量为：瓦，= 熹= 一m o y r l v 圣( 1 1 1 ) c 哈密顿量为：皿= = ；万j 云7 干面7 ( 1 1 2 ) 由此可以定义四维正则动量= 唼皿，元) 。( 1 1 3 ) 对于爱因斯坦相对论来说，正则动量和n o e t h e r 动量数值大小是相同的。这 可以从粒子运动所遵循的庞加莱对称性看出来，在庞加莱变换下粒子所遵循的作 用量保持不变： x ”专曼”= ( x ”一口”) e 彤s 0 ( 1 ，3 ) ( 1 1 4 ) 叫垆垆等等啪闱小州5 ) 疋；p 胁= 皿( r ) = 一巾佤丽砺砑( 1 1 6 ) s c = s c 。 我们来看无穷小变化下对应的物理量。庞加莱变换可以分为 ( a ) 时空平移，一= - a 。( 1 1 7 ) 在这种变换下不变的四个守恒量是n o e t h e r 能动量，可以写成四矢量： = y m o x ”= ( 丘c ，虎) ( 1 1 8 ) 守恒四动量和正则四动量有这样的关系：= - 1 ”刀0 ，这里是粒子的 总能量，在经典极限口口1 下，它相当于粒子的静止能量加上粒子动能： 驴糯如黄 1 9 ) ( b ) 洛仑兹b o o s t ：，以x l 方向为例： x p 膏9 = ( y ( x o p x l ) ，y ( x 1 一声x o ) ，x 2 ，算3 ) ( 1 2 0 ) 相应的三个守恒量为= y m 。c ( x - t ：x ) ， ( 1 2 1 ) 一般情况下b o o s t n o e t h e r 荷为零。 ( c ) 空间旋转，以绕z 轴方向的转动为例： x 一舅一= ( x o ，x 1 + x 2 0 ，x 2 一x 1 9 ，x 3 ) ( 1 2 2 ) 相应的三个守恒量为角动量 z = 一y m o d j k x 7 矿( 1 2 3 ) 上述十个守恒量可以构成两个不变量 ，7 。，= m g c 2 ( 1 2 4 ) 嘁t h j l j i = m 2 0 s ( s + 1 ) = o ( 1 2 5 ) 它们正好对应着庞加莱群的第一，第二阶卡什米尔算符： e l = 掣只( 1 2 6 ) c 0 2 = 仉，掣掣= 1 - - c a ，掣掣( 1 2 7 ) 这里掣和彰”是平移群和齐次洛仑兹群的生成元，他们构成了庞加莱代 数。这里彰是p a u l i - l u b a n s k y 算符，它决定了粒子的自旋s 。 在爱因斯坦的狭义相对论中，隐含了一些附加的假设。例如，它假设了存在 惯性坐标系，而且在此坐标系中，物体的运动若不受外力便保持匀速直线的运动。 这一定义取自牛顿力学，同时他还假设在这样的坐标系中，光在自由空间的传播 是直线和各向同性的，这样就假设了空间的所有区域和所有方向是等价的。在 狭义相对论中，还假设可以用欧几里得几何来计算各种几何量的关系，并假设所 有时间间隔是等价的。后面将可看到，去掉这一假设，而保留相对论的两个基 本原理，在某些特殊的惯性系中，我们可以同样建立起力学，本文所建立的就是 在d es i t t e r 时空下的狭义相对论 1 0 第二节宇宙学常数和测量 随着天文学的发展，已经可以对宇宙学参数作非常精密的测量。天文观测 表明，可观测宇宙是加速膨胀的，总能量密度接近于l 临界密度，其中宇宙学常数 贡献占总能量密度的7 3 。今天的宇宙学是渐进d es i t t e r 的。 下面来回顾一下标准宇宙学【9 】。近代宇宙论大部分是建立在宇宙学原理的 基础上的，即假设宇宙中的所有位置本质上是等价的。宇宙学原理假设宇宙在空 间上是均匀和各向共同性的。一般的文献倾向认为，在宇宙的所有时期宇宙学原 理都满足，而非仅在其历史上某个短暂阶段才满足。这里均匀不适用于宇宙的细 节，而只适用于对直径在1 0 8 到1 0 9 光年的区域取平均后得到的“抹匀的”宇 宙，这些区域达到足以包括许多星系团。一般用r o b e r t s o n w a l k e r 度规来描述均 匀各向同性宇宙： 凼2 = 西2 捌( 品+ ，2 ( d o s + s i n 2 删2 ) ) ( 1 2 8 ) 这里r ( t ) 是尺度因子，空间坐标固定的两个点间的距离与之成正比。k 是归 一化的空间曲率。k = 0 表示闵氏时空，空间是平坦的；k = l 对应于d es i t t e r 时空， 空间是闭的，可以看作是四维伪欧式空间中半径为r ( t ) 的球面；k - 1 对应与 a n t id es i t t e r 时空，空间是开的，并且可以看作是四维伪欧式空间的超双曲面。 宇宙的动力学演化由爱因斯坦场方程来描述。设宇宙学常数为a ，方程为： 尺一，一号g p ，一人g ，= 一8 石g l ，( 1 2 9 ) 在标准宇宙中物质的能动张量取为理想流体的能动张量形式： t u ，= ( p + p ) u u ，一p g f ，( 1 - 3 0 ) 这里p ，p 是宇宙的能量密度和压强，玑是速度四矢量。把宇宙学常数项移 到方程右边，可得到下列等效的场方程： 也，一 乳，= 一8 ，? r g t u ，； 五r5 乃v 一意2 ( 卢+ 卢) 玑一两一v ( 1 3 1 ) 。aa p 2 p 一丽p p + 丽 这里p ，卢是包括宇宙学常数的等效压强和等效能量密度，可以看出，一个 正的宇宙学常数贡献一个负的压强，推动宇宙膨胀。 宇宙学中有三个基本方程。 a 将r o b e r t s o n - w a l k e r 代入爱因斯坦方程，司以得剑： 应2 + 毒：8 ；r ：g r 2 尹( 1 ，3 2 ) 引入h u b b l e 常数日- 景，得到f r i e d m a l l i l 方程： n 2 + 七：8 _ 7 r _ g r 一2p + _ a r - 2 ( 1 3 3 ) b 能量守恒方程：妥( p r 3 ) = 一3 p r 2 ( 1 3 4 ) 积 c 物态方程p = p ( p ) = 印( 1 3 5 ) 对于任意哈勃常数h ，都存在一个临界能量密度成= i 3 石h 2 ，使得空间部分 为平坦，既可以使k = o 。用临界密度可以很好的表示宇宙中各组分所占的份额， 引入参数q ，= 乡名。由f r i e d m a n n 方程，空间曲率和宇宙学常数的能量密度贡 献分别为：见= - 3 k 8 g ，r r 2 ；p a = a 8 g # 。宇宙中各组分的表达式为： q 。= 筹卟筹办卟矛a 挪。= 一丽k ( 1 3 6 ) 给定了物态方程以后，就由能量守恒方程来定出物质能量虽标度因子变化 的规律 p 。c r 4 ( 1 3 7 ) 比如，当宇宙的能量密度是由压强可以忽略的非相对论物质所贡献时， p r - 3 ) p 1 3p ，d 0 - - - - - 0 ；而对于相对论粒子( 如光子) ，有p 。c r _ 4 ，p = p 1 3 ，c o = 1 3 ： 当宇宙的能量密度是由宇宙学常数贡献时，有p = c o n s t ，国= 一1 ；而对于曲率项， 由f r i e d m a n n 方程，等效的有凤。c 胄2 ，a ) = - l 3 。天文学观测表明，今天的宇宙 中辐射( 包括光子和中微子) 所贡献的能量密度远小于物质的能量密度，其中光 子的贡献主要来自宇宙微波背景辐射。 宇宙学常数的主要天文观测有两类：宇宙微波背景辐射各向异性，以及 t y p ei a 超新星光谱观测。在早期宇宙中，标度因子很小，物质和辐射出入热平 衡，温度很高。随着宇宙的膨胀，辐射和物质冷却下来，当温度降低到大约4 0 0 0 k 时，自由电子和原子结合，结果不透明度急剧下降，切断了物质和辐射的热接触， 光子在宇宙中自由传播。随着宇宙的继续膨胀，那时存在的任何辐射都大大红移 了，形成了今天充满宇宙的2 7 3 2 k 微波背景辐射背景。由于原初扰动的不均匀 性，微波背景辐射存在约万分之一的不均匀性，分析微波背景辐射在不同方向上 的不均匀性，可以得到许多宇宙学参数。一般地，我们将微波背景辐射的温度各 向异性分解为球谐函数的叠加： 俐) ：= 鬻= 莓聃捌( 1 3 8 ) 从而温度各向异性的信息就可以完全由球谐函数的组合系数来描述。 假设r 1 r 2 是相对于观测者不同的两个方向，他们于观测者之间的夹角是a ，一 般定义空间中r 1 ，r 2 之间的温度涨落的关联函数为： c ( 口) = ( 硫，豫( r 。) 取马) = 乞 c f 弓( c o s 口) ( 1 - 3 9 ) l m lml 微波背景辐射的不均匀就反映在角功率谱c ，上。【1 0 ，1 1 】指出，c ，主要依赖于 这些宇宙学参数：总能量密度q 。，哈勃常数h ，重子能量密度q 。h 2 ( 以临界密 度为单位) ，初始标量场与张量场涨落的幂指数 和l l t t ，初始标量场与张量场涨 ，、 落的幅度l - i ：；，= 2 ，j 么，二次离子化的光学宽度r 等等。通过精确测量微波背景辐 翰 射的角功率谱c ，可以确定上述宇宙学参数。对微波背景的测量随着时间的推 移越来越精确，比较著名的有1 9 9 2 年的c o b e 卫星观测( c o s m i cb a c k g r o u n d e x p l o r e r ) ，1 9 9 8 年的气球探测m a x i m a ( m i l l i m e t e ra n i s o 仃o p ye x p e r i m e n t i m a g i n ga r r a y ) 和b o o m e r a n g ( b a l l o o no b s e r v a t i o n so fm i l l i m e t e r i n g e x t r a g a l a c t i cr a d i a t i o na n dg e o p h y s i c s ) ，2 0 0 3 年及以后的w m a p ( w i l k i n s o n m i c r o w a v ea n i s o t r o p yp r o b e ) 卫星观测等。图1 【1 2 】给出了c o b e 观测和 m a x i m a l ，b o o m e r a n g - 9 8 的观测结果，图中的曲线对应的宇宙学参数 ( q 。，q ，q 6 h 2q 。h 2 , 璩，f ) 分别为( 1 2 ，o 5 ，o 0 3 ，o 1 2 ，o 9 5 ，0 ) ，( 1 ，0 7 ，o 0 3 ， o 1 7 ，o 9 7 5 ，o ) 。实验数据表明今天的宇宙非常接近临界密度，且宇宙学常数占 总能量密度的7 0 。w m a p 的两次巡天结果( 2 0 0 3 ，2 0 0 6 ) 则更精确地证实了 这一点。w m a p 使用多个频段对全天空进行综合观测，其系统误差很少，测量 结果很精准。图2 1 1 3 ，1 4 ，1 5 是w m a p 第一次巡天得到的角功率谱，上半部分 图形表明w m a p 测量的温度( t t ) 与地面上的射电望远镜观测组c b i ( c o s m i c b a c k g r o u n di m a g e r ) 和a c b a r ( a r c m i n u t ec o s m o l o g yb o l o m e t e r a r r a yr e c e i v e r ) 结 果是相吻合的。连续曲线是宇宙学常数主导的宇宙学模型的预言值，与观测结果 吻合的很好。灰色区域时该模型所允许的宇宙变化。下半部分图形给出了温度极 化( t e ) 的交叉功率谱，即( t + 1 ) c 2 ；r 随角参数，的变化，该图很好的证实了 暴涨模型。为了跟前面的数据对照、下面给出w m a p 的一些主要宇宙学参数【1 5 】 为：( q 。，q ，q 乃2 ，珂。，f ) = ( 1 0 2 ，o 7 3 ，0 0 2 2 4 ，0 0 0 0 9 ，0 9 3 ，0 1 7 ) 图1 。综合m a x i m a - 1 、b o o m e r a n g 9 8 实验和c o b e 。d m r 观测结果给出的 c m b r 的角幂律谱。 1 4 图2 w m a p 给出的c m b 功率谱 第三节d es i t t e r 空间及其典型坐标表示 d es i t t e r 时空是含有正宇宙学常数的爱因斯坦场方程 1 ，一寺g p ，+ a g 。，= 0 ( 1 4 0 ) 的真空解。这个方程可以简化为： r = 去a o ( 1 4 1 ) 这里d 是时空维数，在这里d = 4 d es i d e r 时空是最大对称的时空，其局域 时空结构可以由常数曲率标量来表征： 屯一2 瓦未丽( g m g 一一以a g v p ) r ( 1 4 2 ) 是空间曲率为正的最大对称时空。我们可以把d es i t t e r 时空看成是嵌在 d + 1 维闵氏时空中的超球面，存在一个约束条件： t 8 x 。x b + 1 2 = o ( 1 4 3 ) 这里a ，b = 0 ，1 ，2 d ，其中1 为常数，它与宇宙学常数有下列关系： 人：( d - 器- 2 ) ( 1 4 4 ) 如果选取里奇张量的d d 分量为常数： = 一去人( 1 ，4 5 ) 则d + l 维闵氏时空的场方程可以化为： o - r a + i = g a b r a a = r + r a a = 发一是6 ) 从而回到前面的方程( 1 4 1 ) 。可以定义( d + 1 ) 维时空的整体坐标为 d s 2 = r l a b d x 。d x 8 ( 1 4 7 ) 在前面的约束条件下，可以将x 。坐标用x 。，似= o ，1 2 ，d i ) 来表示，从而： 弼= 乳，d x ”d x 7 ( 1 4 8 ) 巩，一格”叫”+ 丁x , u xv ( 1 4 9 ) 啥等巾+ 格) ( 1 s o ， r d - m 1 ，一知引， 整体几何可以用图3 来表示。可以看到，d es i d e r 空间存在w e y l 对称 性：对坐标进行w e y l 伸缩变换： z 4 x “= p x 。= x 7 , ( 1 5 2 ) 凼2 斗d s “= e - 2 # d s 2 n 5 3 ) 即d 维d es i d e r 时空可以定义为嵌入在d + l 维闵氏时空中的双曲d 维 超曲面。整体的拓扑为圆柱的：r x s “1 。x 。 o j 1 瓣一。j i 。夕 弋、：。，一一一 。_ 篡一j 7 i ，陟铲1 | 、 - - 7 1 一 7 、_ 一x t ，x z ， | 1 i 。 。| + ，。 ， 4 ，。， j j | | | j j，、 图3 。d es i r e r 时空 x d d es i d e r 时空一般有下列四种坐标 1 6 】 1 整体坐标：( f ，只) i = 1 2 ，d 一1 引入参数f ，考虑到约束条件( 1 4 3 ) ，我们定义 x 。= ，s i n h 手，x 4 = l r o 8c o s h 手，( 口= 1 ，d ) ( 1 尉) 这里是d 维空间的角分量： 国= c o s 臼1 ，o 鼠石 t 0 3 2 ；= s i n a i cos82,0_8，2，r只石(155sinols i n 0 2 c o s 0 30 ) 3 = ，岛石 ( - 0 4 = s i n s i n 0 2s i n 8 3 1 7 于是度规可以写做：d s 2 = 出2 一，2c o s h 2 手d q ；一- ( 1 5 6 ) 其中d q ；一l = d 砰+ s i n 2o , d o + + s i n 2b s i n 2 易一l d 旺i ( 1 5 7 ) 可以看出这种坐标覆盖了全部d es i t t e r 时空，所以叫整体坐标表示。这种 坐标不存在类时k i l l i n g 矢量，只存在对应于易一- 方向转动不变的岛一。k i l l i n g 矢量。此时测地线方程 警嵋i d x ”i d x p _ o ( 1 5 8 ) 可以写成： 参+ 城曲呼) c 。s h 呼) 菇s ；n 2q ( 警) 2 = 。( s ，) 塑d 2 2 + 了2 一m 。7 ri d r i d o j s i i l 佃，s 旦- l 。s i 吧( 云d o ) 2 + z ( 茎篑警) 鲁= 。 ( 1 6 0 ) 由于以一。是周期性的，上述方程中的巳一。可以用运动常量，来代替： 1 2c o s h 2 9 氯s i q d 岛叫1 6 1 ) 1 2 c o s 2 - , - , n 2 6 1 ) h 2 9 出s iq 4 7 幺= ，( 1 在( d 1 ) 维球面上任何两点之间的测地线是连接这两点的大圆弧，而由于 s “1 的旋转对称性，我们总可以对坐标系统进行旋转，从而使测地线在赤道上： q = 岛= = 吃一：= 三。这种解也可以通过直接解瞑方量的测地线方程得到。这时 有 吃2 丽j n 6 2 ， 而时间分量的测地线方程化为： 万d 2 r ：一丢掣( 1 6 3 ) 万一下：蕊u 6 通过积分，可以z 1 0 守恒“能量”e ： e = 三1 【d r2 + ( 彳) ( 1 6 4 ) 10 ( ，= 0 ) 以功廿1 砀1 一6 5 e 是另一个运动常量。消去上述方程中的仿射参数f ，可以得到测地线轨迹 方程： 毗- 2 了j 万覆s i n h 赢( v 彳1 ) 丽6 6 ) 下图给出了，= 0 和j 0 两种情况下的测地线。从该图可以看到，d es i u e r 空间 是可以用测地线完全覆盖的 图4 整体坐标表示，其中红线代表j = 0 这种特殊情况，蓝色线代表j 0 。 2 共形坐标仃，p ) i = 1 ，2 ，d 一1 班点( 一刀2 + 1 2 d q o , w h i l e - 三 手 弘，) c o s 2 ( ) 2。2 这种坐标表示也没有类时k i l l i n g 矢量，同样有一个对应于易一。方向转动不 1 9 变的吃一。k i l l i n g 矢量。共形坐标和整体坐标是一一对应的，可以通过一个共 形变换从共形坐标换到整体坐标。同样存在两个运动常量j 和e 用类似的方法可 以得到测地线轨迹，如图5 所示： 钆= 老c 厨瞅e 亭南一击脚砸亭匆s s ， 其中e l l i p t i c e ，e l l i p t i c f 是椭圆函数： 脚砸弓，南= p 一击s i n 2c 加朋， 脚州 格p 伍1 - 磊s i n 砀z ( ) ( 1 7 0 ) 图5 共形坐标表示，其中红色代表j = 0 的特殊情况，蓝色表示j 0 。共形 坐标同样是测地线可以完全覆盖的。 3 平面坐标( t ，一) 扛1 2 ，d 一1 引入新坐标t 和空间坐标