（应用数学专业论文）多线性marcinkiewicz算子有界性研究.pdf

摘要 本文主要研究m a r c i n k i e w i c z 算子与某些局部可积函数所生成的多线性交换子的 有界性问题。也就是说，我们系统地研究了m a r c i n k i e w i c z 算子分别与b m o 函数和 l i p s c h i t z 函数所生成的多线性交换子p 2 ( 0 6 n ) 在2 ( 1 p o 。) 空间、h a r d y 空 间、h e r z h a r d y 空间、t r i e b e 2 一l i z o r k i n 空间等的有界性以及各种端点估计。 首先，我们证明t m a r c i n k i e w i c z 算子的多线性交换子p 2 的s 口r p 不等式，并利用 此s h a r p 不等式证明了p 2 的护( 1 p m p + 6 n ；从h p ( j 沙) 到l 9 ( 尼。) 有界的；从日k 护( 舻) 到k 有界的； 从日端( 1 _ 1 9 1 ) 扣p ( 舻) 到w 霞善1 - 1 9 1 ) + 5 p ( 彤) 有界的。 最后，证明了m o r 西n 耽e t ，i c z 算子的多线性交换子p 2 的端点有界性，即p 2 是从p 6 到b m o ( r ”) 有界的；然后，令0 6 礼，1 p n 6 ，6 = ( b 1 ，) 其中 对于1 歹冬m ，b m o ( r “) 则p 2 是从磁( 舻) 至i j c m o ( t f f ) 有界的；最后， 设0 6 n ，6 = ( b l ，6 仇) 其中对于1 歹m ，幻b m o ( t p ) 如果对以 任意一个支撑在方体q 上的日1 ( 彤) 一原子和当缸q ， 喜暑“诎恤鼢舢妇掣旷m 。， 则p i 是从日1 ( 尼。) 到l n m 一5 ) ( 尼。) 有界的 关键词：m a r c i n k i e w i c z 算子；多线性交换子；b m o 空间；h a r d y 空间；h e r z 空间； h e r z h a r d y 空间；t r i e b e l l i z o r k i n 空间；l i p s c h i t z 空间 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rm a r c i n k i e w i c zc o m m u - t a t o r sg e n e r a t e db ym a r c i n k i e w i c zo p e r a t o ra n dl o c a l l yi n t e g r a b l ef u n c t i o n s w e s t u d ys y s t e mt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r sp 2 ( o 6 礼) ，g e n e r _ a t e db ym a r c i n k i e w i c zo p e r a t o rp 6a n db m of u n c t i o n so rl i p s c h i t zf u n c t i o n so n 2 ( 1 p 0 0 1s p a c e 、h a r d ys p a c e 、h e r z h a r d ys p a c e 、t r i e b e l l i z o r k i ns p a c e m o r e o v e r ，w ec o n s i d e rs o m ek i n do fe n d p o i n te s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rm a r c i n k i e w i c z c o m m u t a t o r s a tf i r s t ，t h es h a r pi n e q u a l i t i e sf o rm u l t i l i n e a rm a r c i n k i e w i c zc o m m u t a t o r sp 3 a r ep r o v e d b yu s i n gi t ，w eo b t a i np 3a r eb o u n d e do n 2s p a c e ，w h e r e1 p 邢+ 6 n ，俨( 舻) t ol q ( 舻) ，剧醒p ( 舻) t o 霹尸，日端1 1 1 愚) + e p ( r n ) t ow g 裂( 1 1 肺) + 8 p ( 舻) ，w h i c hg e n e r a t e db ym a r c i n k i e w i c z o p e r a t o ra n df u n c t i o n si nl i p s c h i t zs p a c e f i n a l l y , t h ew e i g h t e de n d p o i n te s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rm a r c i n k i e w i c zc o m m u - t a t o r sp 2a r es t u d i e d t h e ya r eb o u n d e df r o ml n t ob m o ( r n ) m o r e o v e r ，l e t 0 6 n ，l p n 石a n d 云= ( b l ，b m ) w i t h b m o ( t 沙) f o r1 歹sm t h e n p 2i sb o u n d e df r o m 磷( 舻) t oc m o ( r n ) l a s t ，l e t0 6 礼a n d b = ( b l ，6 m ) w i t h6 ，b m o ( r n ) f o r1 歹m i ff o ra n yh 1 ( r n ) - a t o mns u p p o r t e do i lc e r t a i n c u b eqa n du q ，t h e r ei s m f f 一t 二一 j = l 口哆厶) c ( 1 ( 川矿恤鼢国州则可啬每旷。妪c ， t h e np ii sb o u n d e df r o mh i ( r n ) t ol n 他一6 ) ( 舻) k e yw o r d s ：m a r c i n k i e w i c zo p e r a t o r ；m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r ； b m o s p a c e ；h a r d ys p a c e ；h e r z h a r d ys p a c e ；h e r zs p a c e ； t r i e b e l l i z o r k i ns p a c e ；l i p s c h i t zs p a c e i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者等名：水新 吼盼，月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密晒 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者躲书却 导师躲彬锡 e l 期：以年j 月细 日期：舻年r 月，6e l 1 1 本文的研究背景 第一章绪论弟一早 三百y 匕 调和分析从产生到发展都是与微分方程的研究密切相关的，特别是二十世纪五十 年代以来由a p c a l d e r 6 n 和a z y g m u n d 建立和发展起来的一整套奇异积分算子理论在 微分方程研究中得到广泛的应用以后，m a r c i n k i e w i c z 算子就是在对微分方程的研究中 产生的另一类重要算子。l i t t l e w o o d 和p a l e y 在研究f o u r i e r 级数时引入了l i t t l e w o o d p a l e y 一夕函数，它是通过单位圆周的内部来给出的。因此人们希望找另外一种函数来 替代它，这种函数具有和l i t t l e w o o d p a l e y g 函数类似的性质，但它不再需要通 过单位圆的内部给出，它就是m a r c i n k i e w i c z 积分。之后，m a r c i n k i e w i c z 算子在许多 空间的性质得到研究，如l e b e s g u e 空间，h a r d y 空间，h v s o b o l e v 空间，弱h a r d y 空间， h e r z 型h a r d y 空间，b m o 空间，o r l i c z 空间，广义c a m p a n a t o 空间，乘积空间等f 1 1 2 。 又由于交换子对研究变系数偏微分方程很有帮助。这样，研究m a r c i n k i e w i c z 积分算子 的交换子就很有意义。 1 9 9 0 年t o r c h i n s k y 和、a n g 【1 3 】证明了当q 连续且满足l i p a ( r n ) ( o q 1 ) 条件 时，m a r c i n k i e w i c z 算子的交换子【p n ，6 】对于1 p o 。，伽如是在驴( 叫) 上是有界 的。2 0 0 2 年薛庆 1 4 i 正b y j m a r c i n k i e w i c z 算子的交换子是( 日 妒，2 ，) ( o p 1 ) 型 的，这里q 是满足一类d i n i 条件或l t p n 条件的舻上的零度齐次函数，王p ，是弱h a r d y 空 间，b 是b m o 空间的函数。2 0 0 3 年陈冬香，王娅昕【1 5 】证明了m a r c i n k i e w i c z 算子的交换 子g 在t r i e b e l l i z o r k i n 空间的有界性即当1 p 0 0 ，0 p m i n 1 2 ，q ，且b a s ，则g 是驴( 口) 到霹，有界的。2 0 0 4 年刘岚菇和吴柏森 1 6 】证明了当b b m o ( r n ) ， 伽a z 时，m a r c i n k i e w i c z 算子的交换子肛n ，6 是从研( w ) 至j j l l ( 叫) 有界的和从研( 硼) 到 l 1 , o o ( ) 有界的。2 0 0 4 年陆善镇和徐莉芳【1 7 】证明了若q l t 孙( 肝) ( 0 q 1 ) ， b l i v a ( r n ) ( o p o , 1 2 ) ，n ( n + p ) p 1 ，1 q = l i p p n ，则【，6 】是 从舻( 舻) 到l 口( 舻) 有界的；若q l i p a ( 舻) ( o a 1 ) ，b l i p a ( 舻) ( o p 0 2 ) ，则 肛q ，6 】是从日n ( n + p ) ( j ) 到弱l 1 ( j p ) 有界的；若q l 旬叶( j p ) ( o 一r 1 ) ，b l i p a ( r n ) ( o p 7 2 ) ，0 p o 。，1 q z ，9 2 o o ，i q 2 = 1 q z 一卢n ，n ( 1 一l q 1 ) 口 佗( 1 1 q 1 ) + p ，则【p n ，6 是从日娣p ( 弦) 到栳p ( 形) 有界的。此外，还有 1 8 - 2 3 等 等。以上的结果都较分散，本文作者将对m a r c i n k i e w i c z 算子的多线性交换子的有界性 做较系统的研究。 1 2 预备知识及常用符号 在本文，q 表示舻中平行于坐标轴的方体，在q 上函数6 的平均值吣= 南尼6 ) 如， 6 的s 危口印函数定义为 6 券( z ) = s z u q pl 专1 ，乞1 6 ( 可) - b q i 匆 1 我们又知6 的s n 叩函数也等价于( 见【2 4 】或 2 5 】) 6 孝( z ) = 凳吕。i n u fi v l _ l i - ，f q 6 ( 可) 一c i d 可 若6 孝l 。o ( 舻) ，则我们称b b m o ( r n ) 且定义恻l b m o = i i b # l l l m 。若云= ( 6 1 ，6 m ) ， 幻b m o ( r ”) ( j = l ，m ) ，那么令 b m o = n 俐b 胎 事实上我们有 l i b b a k q i b m o 冬c k l l b l l s m o 令m 表示h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子 m ( 似z ) = s u pi q i 。_ l f ( y ) l d y ； z q ，q 那么坞( ，) 表示坞( ，) = ( m ( i f p ) ) 1 p ( o p o 。) 。设0 6 佗，0 r o 。，令 蜥= 翟( 南加训协) v r 对0 r p n 6 ，1 q = 1 p 一6 n ，有 i i 坼，d f ) l l l a e l i f i l l , 为了方便对给定正整数m 和1 歹m ，我们令哆表不集合【1 ，m 】的具有歹个 不同元素的子集盯= 仃( 1 ) ，仃( 歹) ) 的集族。对i = ( 6 1 ，h ) ，盯c ，定义c r c = ( 1 ， ，m 扒口，爵= ( b ( 1 ) ，b o ) ) ，k = 虬( 1 ) b 。) ，i l 爵l l b f d = 1 1 6 口( 1 ) l i m o i i b 嘶) i i b m o 。 定义1 2 1令o 1 ， 有h 翻d e r 不等式： 南z 眦z ，厶c 删如( 高么瞰圳7 如) v 7 ( 高名拟删8 如) v 5 引理1 2 2 ( 见【1 3 】) 设q 是舻上的零阶齐次函数且使厶一，q ( z 7 ) 如( ) = 0 ，假 如q l 缸h ( s n 一1 ) ，若q = q ( x o ，d ) ，y ( 2 q ) 。，贝0 q ( z y ) f z y i n 一1 一占 引理1 2 3 ( 见【2 9 】) 对1 r 0 ，令 w 嘲( 击zi f ( y ) r d y ) l r 若r p 6 n ，且1 g = l i p p 肛，那么 m r ，a ( f ) l l l a c l i ，l i p 3 第二章m a r c i n k i e w i c z 算子的多线性交换子 2 1符号及引理 水j s h a r p 估计 z j l t 里2 1 1 ( 见 1 3 1 ) 设o 占sn ，1 r p q 礼6 ，l g = 1 p 一6 n 所以肋 是从扩( 形) 至u l q ( r n ) 有界的 引理2 1 2 令1 1 ，当1 j 七时，使i p l + + 1 肋知= 1 t f l l l + + 1 q k = i r 然后我们应用h 6 l d e r 不等式1 肋1 + + 1 屈七= 1 和l q l - 4 - + 1 弛= 1 r ，我们就可以得到结论 2 2定理与证明 定理2 2 1 设幻b m o ，歹= l ，m 因此对于1 r 0 便 得任何厂卵( 彤) 和任意的z 舻， ( p ；( 埘孝( z ) cfi i 两i b m o 蚝彬) ( 矛) + 妻慨i i b m 。坼( 毋v ) ) ( 面) ) ，_ l 盯q “ 证明：只需证明对于函数，e 留( 舻) 存在常数岛，如下不等式成立： ( 高加( ) ( z ) - c o l d x ) c 删，噻丢蚴似面，) 4 固定方体q = q ( x o ，d ) 和孟q 我们首先考虑m = 1 的情况记，1 = ，) ( 2 q 和，2 = f x m 2 q ， 砖，( ，) ( z ) = ( 6 - ( z ) 一( 6 ) 2 q ) r ( ，) ( z ) 一r ( ( 6 t 一( b 1 ) 2 q ) f 1 ) ( x ) 一r ( ( 6 - 一( 6 ，) 2 q ) 如) ( z ) ， 因此 l p 争( ，) ( z ) 一5 ( ( ( b 1 ) 2 q b 1 ) f 2 ) ( x o ) f = 砖1 ( ，) ( z ) i i l f t ( ( ( b x ) 2 q b 1 ) f 2 ) ( x o ) l l i i | 砖1 ( ，) ( z ) 一r ( ( ( 6 ) 2 q b 1 ) a ) ( x o ) l l i i ( b t ( z ) 一( b 1 ) 。q ) r ( ，) ( z ) l i + l i f t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) f 1 ) ( x ) l i + l i f t ( ( b z 一( b 1 ) 2 q ) f 2 ) ( x ) 一r ( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) f 2 ) ( x o ) l l = a ( x ) + b ( x ) + c ( z ) 对于a ( z ) ，取1 r + 1 r = 1 应用h s l d e r 不等式得 ( 而1 上a ( z ) 如) = 南上1 6 1 ( z ) 一( 6 t ) 。q i i 鳓( ，) ( z ) i d x ( 丽c 小邓出订如) v 一( 高加以删7 矿 c i i b l l l 肼o m r ( 坳( ，) ) ( 孟) 对于男( z ) 令1 ， p t ，j x o - | ，l t - v l t ，i x o - v l t 紫l ( b ，( y ) - ( b l h q ) l 叫2d t ) v 2 i n ( x 一剪) i i z 一引n 一1 6 因此，通过m i n k o w s l 【i 不等式和h 5 1 d e r 不等式我们得到 愀州删洲y 2d t i 1 7 2 、i r 7 ) i r d y1 c 荟2 - k 2 1 6 1ii b m o m ，, 6 ( ，) ( 岔) c l l 6 1 l i b m d 尬，占( ，) ( 面) ； 同理，我们可以得到j 1 2 c i l 6 1 i i b m o 尬，5 ( ，) ( 圣) 现在我们通过引理1 2 2 估计，3 厶c 丘q 产1 6 c ，一c 6 ，2 q i 瞥( 丘。一训厶渖一掣i 。窘) 1 7 2 d y + c 五q 卜1 6 c 可，一c 6 - ，z qi 甚! 糕( 以。一训易i 霉一掣i 。害) 1 7 2 d y 6 磐 二卜 。一秒 i i 阻面 一 石名k ”厂厂 一 + 一鞴滩燃 黼剁黜一小船吖w 沁一 而 而扩 口 口 q ) 一叫 一q q n m 捌 _ 矸 地州 陬 m 叼叼厂厶水 一 一 一 i q 再 l 妾 万 气一一m批赫以 呐班 m 叼舭 卜 卜 产，儿 r r 再 r k k k 弘p p b p 一 一 一 一 一 一 c 善k 2 m 旷吼k i ( 者精+ 啬岛) 洲咖 鲫蔷( 2 “+ 2 嘶) 南l 口帅) _ ( 6 1 ) 2 q l l f ( 可) i d v c 善0 0 ( 2 _ 嘶) 1 2 m 卵 ”州m ( i 南kl ( 6 如) _ ( 6 1 ) z 洲r d y ) 纠一七= l 、 。i 。v ( 两耘ki f ( 训圹 c l l 6 1 i i b m o 尬，6 ( ，) ( 面) 这就完成了当m = 1 时定理的证明 现在我们考虑当m 2 时的情况对于5 = ( b 1 ，6 m ) ，我们有 勋) = l 9 匿( 吣m ) 卜q ( 铲洲俨卯一5 咖 = l 。匦( ( 蜘) - ( ) - ( 蛐) _ ( 锄小惭刊卜计一6 匆 = ( 一1 ) 一( 6 ( z ) 一( b h q ) 口一( 6 ( 可) 一( 6 ) 2 q ) ，c f ( y ) n ( x v ) l z - y 1 - 1 - 6 d y j = o 矿c ， ji x - y l _ t = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m ( z ) 一( b r a ) 2 q ) f t ( f ) ( x ) + ( 一1 ) m r ( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 仇一( b m ) 2 q ) f ) ( x ) + ( 一1 ) 一( 6 ( z ) 一( 6 ) 。q ) 矿砖9 。( 似z ) ， j = l 盯叩 “ 因此 l p ；( ，) ( z ) 一肛6 ( ( 6 1 一( 6 。) ：q ) ( b i n 一( 6 m ) 。q ) ) 厶) ( z o ) i i l 砖( ，) ( z ) 一( 一1 ) m r ( ( 6 。一( 6 。) ：q ) ( 6 m 一( 6 m ) 2 q ) ) 尼) ( z o ) 1 1 i i ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 mx ) 一( 6 m ) z q ) r ( ，) ( z ) i f + l l ( b ( x ) 一( 6 ) 2 q ) 盯砖。( 州z ) | i j 2 l 盯叩 + i i r ( ( 6 l 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( h ) 2 q ) ，1 ) ( z ) i l + i i r ( ( 6 l 一( b 1 ) 2 q ) ( b m 一( 6 m ) 2 q ) 五) ( z ) 一r ( ( 6 l 一( b 1 ) 2 q ) ( k 一( ) 2 口) 厶) ( z o ) = 岛( z ) + 岛( z ) + 昆( z ) + & ( z ) 对于岛( z ) ，当l r + 1 r = 1 时应用h 6 1 d e r 不等式，我们可得 亩厶& ( z ) 如 鲫南以i 娶( 吣) _ ( 捌肋( ，) ( 恤 7 对于岛( z ) ，应用h s l d e r 不等式我们得到 m - 1 c e 1 1 磅1 1 b m 。尬( p 争。( 川( 矛) j = l 口叩 对于岛( z ) ，我们选取1 r p g 佗石，1 g = l 肋一6 加，r = p s ，通过坳的驴( 舻) 到印( j p ) 有界性和h 6 l d e r 不等式，我们有 i q 一i $ 3 ( z ) 如 丽1 小r ( 垂( 蛐) - ( 删忪 ( 耳葑- li 肋c 垂c 一c 易，z q ，厂x 2 q ，c 茁，i 。如) v g c 南酗沪z 驯w 猢) 聊 c i - 6 1 - p ( 厶廛c 嘶，一c 址洲如) u 即( 厶搬硎阳枷 叩j ( _ 1 g ) + ( 枷，) - ”m n ) 伽( 南堋l i ( b a x ) - c b j ) 2 q ) l d x 厂 x 蜘加删舯圹 对于& ( z ) ，和m = 1 时c ( z ) 的证明相似，我们有 & ( z ) = i i f , ( ( b l 一( 6 - ) 2 q ) ( 6 m ( ) 2 q ) 如) ( z ) 一r ( ( 6 一( 6 1 ) 2 q ) ( 6 仇一( 6 仇) 2 q ) ，2 ) ( ) 8 嘶 帆 协 q 疗 一 硷 动 一 、) 2 6 口 刁 慨 如 动 地捌拍 跚州触濂，呵 厂如厂如氟=吼 渺抛赫嘲 i i 一 一 一 = 一 一 一 一 一 因此 k 冬 “z 。一掣i s 。坚笔薏掣l 亟c 如c ，一c 如，：q ，l 叫2 + c z r 以一甜i 。，l z 。一掣l 。l 掣一掣l l f l ( 蛐) 吨) z q ) 旧驯圳2 d t ) 1 2 i j = ll 三+ k + k ， o o = c 2 一七2 1 2 七+ 1 q i ( 6 n ) + 矗( 1 一r 一 o k = l c l i e i i b m o m , ，6 ( ，) ( 孟) ； 同理，我们可得c i1 6 ll b m o m r ，6 ( ，) ( ) 9 厶+ 。ql i j f l = lc 6 ，c y ，_ c 如，z 口，r 咖) 1 一 匆多 1j 2 、，i 、划 咖 、， 扎1，j 0 一 i 卜 纱 ( 如 一 了如i 晕啦9 厂k 、lli，、lif， 蹴一垆 如一沪 匆 胆匆 匐二i 刊 物协 坐晶y黔撕一 磐蓑砷叫 训一p洲一卜洲一卜ii m m 司沙 攀牿器斗如唐圹 丙 f f q 卜 k k k 而 叭 吻 慨 鸭 渤 丽 f 叼 一 一 一 mm一俨，一厂厶 计 协 计l l 忧j 旧 再 i 。 b b 舭 丽，i、 i 咖吣灿掘“懒 一q l一卡 一妒 胁 斯ln n j 饥 如 舢 懈 批征找1 i j 遇辽引埋1 2 2 米佰计虼 k c 丘q ，。l 垂c 6 ，c 剪，一c 6 ，z q ，l 紫( 以。一训s 纠z 一可i 。害) 1 7 2 d y + c 以q ，。f i c 6 ，c 剪，一c 幻，。q ，l 丢鬻( 丘。一纠纠霉一引s 。害) 1 7 2 妇 c 引k ：lk 咖渺q 酗沪c i ( 趟每+ d 每) 抓训匆 鲫k = l ( 2 “+ 2 嘶阿知k 阶 ) - ( 6 j ) 2 。卜匆 c 0 0 ( 2 - k + 2 一h ) f ii i l i b m 。尬，6 ( ，) ( 矛) c i l 荫i r ，n 厶 ( 厂1 f 牙1 定理2 2 1 证毕口 定理2 2 2 令如b m o ( r ) ，j = 1 ，m 则p 2 是从p ( 形) 到l q ( 彤) 有界的， 其中1 p n 6 ，1 q = 1 p 一6 n 证明我们首先考虑m = l ，应用引理1 2 3 因此我们有 l i p ：1 ( ，) i i l 。0 m ( p ：1 ) ( ，) i i 肋sc i l ( 磁1 ( ，) ) 带i i l 。 c l l 尬( 肛艿( ，) i i l a + c i i m j 。6 ( ，) l l l 。 q l # d ) l l ：+ e l l 露，6 ( ，) l i l a c 0 州驴+ o l l l l p 冬e l i i l l , 当m 2 时，定理2 2 2 我们可以通过归纳法证明因此定理2 2 2 证毕口 1 0 第三章m a r c i n k i e w i c z 算子的多线性交换子 在h a r d y 空f f i $ nh e r z h a r d y 3 1符号及引理 空间上的有界性 定义3 1 1 令b i ( i = 1 ，m ) 为局部可积函数，0 p 1 。舻上的一个有界可 测函数口被称为0 ，两原子，如果满足下列三个条件： ( 1 ) s u p pacb = b ( x o ，r ) ， ( 2 ) i l a l l l * i b i p ， ( 3 ) 厶a ( y ) d y = 厶o ( 秒) 兀z 日b l ( y ) d y = 0 ，对任何盯c 尹，1 歹m 。 一个分布函数，被称为属于珲( 舻) 空间，如果，在s c h w a r t z 分布意义下能写成下 列形式 m ) = ( z ) ， j = l 其中是 ，两原子，a c ，墨1i ) , l p 。o 。并且i l 川碟( 舻) ( 嚣1i l p ) 1 p 。 给定一个集合ec 舻，e 的特征函数定义为x f 。令b k = z 形：2 k ) ， c k = b k b k 一1 ，x 知= x b k ，z 。 定义3 1 2令0 p ，g 。o ，q r 当七z ，令b k = z 形：矧2 k 】， 仇= b k b k l 。记姚为仉的特征函数，洳为岛的特征函数。 ( 1 ) 齐次h e r z 空间定义为 砰巾( 酽) = ，l ( 舻 o ) ) ：i l 川留，p o 。 ， 其中 r o o 11 p i i f l l 嚣一l 2 k a p 慨此i 、 h = 一o oj ( 2 ) 非齐次h e r z 空间定义为 砰炉( r n ) = ，l l ( r “) ：i i f l b q ， o 。) ， 其中 ro o11 p i i f l l 砰一l 2 七卸慨此+ 慨。叫 l k = lj 定义3 1 3 令q r ，1 q o o ，0 q n ( 1 一：) ，阮b m o ( r n ) ，1 is m 舻上的函数n 被称为( a ，q ，两中心原子( 或( 口，q ，d 中心原子限制型) ，如果满足下列三个 条件： 1 l ( 1 ) s u p pa b = b ( 0 ，7 ) ， ( 2 ) i l a l l l a l b i 一嚣， ( 3 ) 厶a ( x ) d x = 厶a ( x ) 兀蛔b l ( x ) d x = 0 ，对任何盯哆，1 j ；m 一个分布函数，被称为属于h k 孑( 舻) 空间( 或日贬孑( 形) ) ，如果，在s c h 伽a r t z 分 布意义下能写成形式，= 凳一o oa j a j ( 或，= 器o ) ，其中是支集在b ( o ，2 j ) 的( q ，q ，6 ) 中 心原子( 或( a ，q ，西中心原子限制型) 和名i l p 。( 或器。i l p o o ) 。并且， l l 1 1 日妒? ( 或m l h k a 詈) ( ，m p ) 1 p 3 2定理与证明 定理3 2 1 设0 6 1 ，q s 2 d ，可b 时，防一! i i z x o i l z x o i + 2 d 。因此，我们有 c 厶旺卅2 d 圹酗沪蜘川咖挈咖 c 厶i 南一南悃队沪帕川咖，l 啬苫匆 1 2 c 厶亟 c 上坦 m 一1 冬c 一厶一l 一 m 啡) 1 1 l 器锑勿 6 ，( z ) 一6 ，( y ) 1 1 口( y ) i 下孑端l y - x o l l 2 d 秒 j = l 盯哼 m - - 1 cf f 一一厶一 j = l 矿哆 x z o i ”1 2 6 d n ( 1 - 1 p + z 2 ) z z o i n + 1 2 6 对于，厶，应用引理1 2 2 我们可得 1 1 2 = 因此 c ( 仁卅2 d 圹 c 一厶一 ( 上鳓叫a r c i i n ( 可) l l 可- x o l l 2 咖) 陋圹札 瓦。i i b m d 1 ( 取z ) 一a ) 口i 酗圹删咖，啬咎 ( 幻( z ) 一幻( 剪) ) 口( 可) ( 掣一器 ( z ) 一幻( 矽) l i o ( 可) j = z 仃叩 ( 品+ 墨薹呈穹三i ；害皇喜二i ( 取可) 一入) 口。i i 。( y ) 1 1 秒一z 。i d y i ( 取可) 一入) ，。i l a ( y ) i 剪一z o i 匆 j b cm-1嘲h。(筹筹+i=1a e c 7 1 、。一” 邪蓥k 卜圳泌d 瞄 m - - i c 怫悒m d j = z 仃叩 k = l 恤) 一入) 仃卜 t r i 一1o o c 嘛性m d j = l 盯呼 k = l a m ( 1 1 舛1 n ) $ 一z o l r i 竹一6 厶(丽dn(1+i2n-1p)+ z z o i + 2 d ( 6 ( z ) 一入) 盯1 d n ( 1 + l n l p ) d n ( 1 + 1 n 一1 p ) i x - - x o n + l - $ 上i x - - x o n + 7 - 6) 口 d 口n ( 1 + 1 2 n 一1 q j n ) d q n ( 1 + l n 一1 q 一6 n ) d q n ( 1 - h n 一* q 一6 住) ( 2 k d ) q ( n + 1 2 6 ) ( 2 k d ) q ( n + l 一6 )( 2 七d ) g ( n + 1 6 ) ( 2 渺( 南小鼢洲如) 口 c 一厶一厶一 j = l 口叩 k 口( 2 - k ( 9 ( n + 1 2 6 ) 一n + 2 一七( q ( n + 1 5 ) 一n + 2 一七( g ( n + 1 6 ) 一n ) il 两l 刍m o 1 3 m 博 厂厶 豢 m n 触 n l 厂厶一 c -lo 埘再 二巾咎 唧 一触 c sc i l 两i 量肘d 综上，定理3 2 1 证毕。口 定理3 2 2 定理设o 6 n ，0 p 。o ，1 q l ，9 2 o o ，1 q l l 9 2 = 6 n ， n ( 1 1 q 1 ) + 1 2 + 6 q m i n ( ( n ( 1 1 q i ) + 一y + j ，n ( 1 一：q 1 ) + 1 + 6 ) ，b i b m o ( r ) ，1 i m ，i = ( 6 1 ，6 m ) 则肛；是日露( 舻) 到砖p ( 舻) 有界的 1 z b ( f ) ( z ) ， 对j j ，由p 2 是l q 到l 口2 有界的， 3j 1 0 1 对以令z b k 鼠“6 ；= i 易i 一1 如b , ( x ) d x ，1 i m ，矿= ( 酵，咿) ， p 2 ( q ) ( z ) = ( o 1 ，i 霉一可i t = o + 2 一 + ( 仨力 、 = g + h - f l t ( 蛐) 叫纠普秽响) 咖 l ，l z y l t 2 ( 玩( z ) 一6 t ( 妒) ) 掣町( ) d 2 酗垆掣响) 妇 1 4 我们得到 1 2 害) 1 2 却d t 1 1 2 解分子原的，中 313 义 定为 町知一 卢 = 功以n ， 舻 瓢 驴吼 h ， 设明 证记们我 一 七 c c ，i-jll ，、li 一嗍 一 一 2 2 、lij， 如一铲 m ：l m 汹 对g ，由于掣马，z b ( 0 ，2 k ) b ( o ，2 k - 1 ) ， ； 则类似于对定理3 2 1 的证明，有