（应用数学专业论文）两类脉冲微分系统的稳定性判别准则.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 抽韦幻 导师签字 学位论文版权使用授权书 结诲 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 整可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 导师签字 形谬 签字同期：2 0 06 年箩月；日签字同期：2 0 06 年卵j 同 山东师范大学硕士学位论文 两类脉冲微分系统的稳定性判别准则 李安楠 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要研究脉冲泛函微分系统 fz m ) = y ( t ，乩) ：t t o ，t t k ： a z ( t ) = 五( z ( t ) ) ，f = t k ，k = 1 ，2 ，- - ( 1 ) iz 。 = 妒 及脉冲混合微分系统 fz = f ( t ，z ，a ( z 女) ) ，t ( t k ，t k + 1 ) ， z ( t 毒) = z 毒，z 古= = z + 厶( 。k ) ，k = 0 j1 ：2 ：t - - ， ( 2 ) 【x k = 工1 ( k ) ，- 飞( z o ) 三o z ( j _ ) = t o 的稳定性和有界性 本文借助l y a p u n o v 第二方法中的广义二阶导数方法讨论了脉冲泛函微 分系统和脉冲混合微分系统的稳定性问题 众所周知，l y a p u n o v 第二方法在研究微分系统的稳定性时起着重要的作 用，在以往的研究中，人们通常利用l y a p u n o v 函数的一阶导数来讨论脉冲微 分系统的各种性质而且总是独立的对系统的离散及连续部分设置条件而文 5 提出了一种新的方法，即l y a p u n o v 函数沿系统解轨线的导数不再局限于 常负或定负，而允许l y a p u n o v 函数沿系统解轨线的连续部分递增，或在脉冲 点跳跃后增大，但是必须设置条件保证其不能增长太快基于这个思想，给出 了l y a p u n o v 函数的广义二阶导数的定义在l y a p u n o v 函数的广义二阶导数 满足一定条件的前提下通过对系统的离散及连续部分设置混合条件，进行综 合估计，在这旱简单的称这种方法为l y a p u n o v 函数广义二阶导数方法使用 此方法时不必再考虑一阶导数的符号问题因此，当l y a p u n m ，函数的一阶导 数符号不确定、而广义二阶导数存在且符号确定时，使用此方法研究脉冲微分 系统特别有效 近几年，应用广义二阶导数方法研究脉冲微分系统稳定性的文章已不少， 但是应用此方法研究脉冲泛函微分系统和脉冲混合系统的稳定性的文章还是 很少见、因此还有很多工作要做所以本文就利用此方法来研究这两个系统的 稳定性 在第一章中，我们首先研究了脉冲泛函微分系统的稳定性理论众所周 山乐师范大学硕士学位论文 知，l y a p u n o v 函数方法并结合r a z u m i k h i n 技巧是研究脉冲泛函微分系统稳 定性的一种行之有效的工具，如文献 1 1 】- 1 4 ：本文就利用l y a p u n o v 函数的广 义二阶导数方法结合r a z u m i k h i n 技巧得到了系统( 1 ) 的稳定性、有界性；并 且我们在两个测度下的稳定性理论的基础上，利用广义二阶导数方法研究了 系统( 1 1 的两个测度下的稳定性其中在研究稳定性时引入了函数在某一区 间上或其间断点处有界增长的概念：它限制了l y a p u n o v 函数的增长 在第二章中，我们讨论了脉冲混合微分系统的稳定性问题，脉冲混合系统 是一类特殊的但很重要的具有可变结构的脉冲微分系统，它的特点是不同时 间段内的微分系统可以不同，并且后一时间段内的系统依赖于前一时间段的 系统关于混合系统的稳定性问题的文章已不少见，如文献【1 8 【1 9 2 0 2 1 ，但 利用广义二阶导数来研究的文章还不是很多在这部分中我们就利用广义二 阶导数方法给出了系统( 2 ) 的稳定性及有界性定理并最终举例说明了定理 的实用性 关键词：脉冲泛函微分系统，脉冲混合微分系统，l y a p u n o v 函数；广义二阶导 数r a z u m i k h i n 技巧，稳定性，有界性，两个测度 分类号：0 1 7 5 2 1 9 山东师范大学硕士学位论文 t h es t a b i l i t yo ft w oc l a s s e so fn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hi m p u l s e s l i a n n a n s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p rc h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ys t a b i l i t ，a n db o u n d e d n e s sf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a ls y s t e m sa 8f o l l o w s i 石心) = ，( t ，z t ) ，t 三t o ，t t k ： i z ( 。) = “( 2 ( 。) ) ，扛圮。= 1 , 2 , - - - , 1 ) 【o o = 妒， 艨磐( 。x 未k 譬te 酬( t k , 2 k + ，a ， i 。= x ( t ) ，4 ( 5 0 ) 三0 ，z ( t 手) = 嚣o ， ( 2 ) i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d ys o m es t a b i l i t yp r o p e r t i e sf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f i e r e n t i a ls y s t e m sa n di m p u l s i v eh y b r i dd i f i e r e n t i a ls y s t e m se m p l o y i n g t h em e t h o do fg e n e r a l i z e ds e c o n do r d e rd e r i v a t i v e si nl y a p u n o v ss e c o n dm e t h o d a se v e r y o n ek n o w s l y a p u n o v ss e c o n dm e t h o dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ew h i l e s t u d y i n gt h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，i np a s tr e s e a r c h ，p e o p l e u s u a l l ym a k eu s eo fo n eo r d e ro fd e r i v a t i v e so fl y a p u n o vf u n c t i o nt od i s c u s sr a y i o u sk i n d so fn a t u r eo ft h ei m p u l s i v ed i f i e r e n t i a ls y s t e m s ：a n da l w a y st os e t t i n g u pt h ei n d e p e n d e n t l yc o n d i t i o no nc o n t i n u o u sp o r t i o na n dd i s p e r s e dp o r t i o no f t h es ) - s t e m s b u t ，t h ea r t i c l e 【5 p r o p o s e do n en e wm e t h o d ，t h ed e r i v a t i v eo f l y a p u n o vf u n c t i o na l o n et h es y s t e mr a i ll i n en ol o n g e rc o n f i n et on e g a t i v eo rd e f - i n i t e l yn e g a t i v e ，a n da l l o wt h ec o n t i n u o u sp a r to fl y a p u n o vf u n c t i o na l o n et h e s y s t e mr a i ll i n ei n c r e a s ep r o g r e s s i v e l y ，o ra f t e rj u m p i n gi n c r e a s i n gi np u l s e b u t m u s ts e tu pt h ec o n d i t i o nt og u a r a n t e ei tc a n l ti n c r e a s et o of a s tb e c a u s eo f t h i st h o u g h t ，t h e yd e f i n e dt h eg e n e r a l i z e ds e c o n do r d e rd e r i v a t i v e so fl y a p u n o v f u n c t i o n t h e ym e e tu n d e rt h eg r o u n dp r e r e q u i s i t eo fc e r t a i nt e r m st h eg e n e r a l i z e ds e c o n do r d e rd e r i v a t i v e so fl y a p u n o vf u n c t i o n ，t h r o u g ht os e t t i n gi l pt h e c o n d i t i o no fm i x i n go nc o n t i n u o u sp o r t i o na n dd i s p e r s e dp o r t i o no ft h es y s t e m st o 3 山东师范大学硕士学位论文 e s t i m a t es y n t h e t i c a l l y w ec a l lt h i sk i n do fm e t h o dt h em e t h o do fg e n e r a l i z e ds e e o n do r d e rd e r i v a t i v e so fl y a p u n o vf u n c t i o nb r i e f l yh e r e w h i l eu s i n gt h i sm e t h o d ， w en e e d n tc o n s i d e rt h es y m b o lq u e s t i o n so fo n eo r d e ro fd e r i v a t i v e s s o ，w h e n t h es y m b o l so fo n eo r d e ro fd e r i v a t i v ef o rl y a p u n o vf u n c t i o na r eu n c e r t a i n ，a n d t h eg e n e r a l i z e ds e c o n do r d e ro fd e r i v a t i v e so fs y s t e me x i s ta n dt h es 3 ，m b o li sc o n f i r m e d ，u s et h i sm e t h o ds t u d yi m p u l s i v ed i f i e r e n t i a ls y s t e mv e r ym u c he f f e c t i v e i nr e c e n ty e a r s ，t h ea r t i c l eo fs t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e me m p l o y i n gg e n e r a l i z e ds e c o n do r d e rd e r i v a t i v em e t h o dh a v eb e e nm a n y ，b u tt h ea r t i c l eo f a p p l i e st h i sm e t h o dr e s e a r c hs t a b i l i t yo fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m a n dt h ei m p u l s i v eh y b r i ds y s t e mi sv e r yr a r e 、t h e r e f o r ea l s oh a sm a n , w o r km u s t d o t h i sa r t i c l eu s e st h i sm e t h o ds t u d i e st h e s et h es t a b i l i t yo ft h et w os y s t e m s i nc h a p t e ro n e w eh a v es t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft h ei m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f - f e r e n t i a ls y s t e m sf i r s t l y a se v e r y o n ek n o w s t h el y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o da n d n n 墒e st h er a z u m i k h i ns k i l li so n ek i n do fe r i e c t i v et o o jb ys t u d y i n gt h es t a b i l i t yo ft h ei m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ：f o re x a m p l ea r t i c l e 1 1 一【1 非i n t h i sc h a p t e r ：w eg e tt h es t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s so ft h es y s t e m ( 1 ) e m p l o y i n gt h e g e n e r a l i z e ds e c o n do r d e rd e r i v a t i v e si nl y a p u n o v 8s e c o n dm e t h o da n du n i f i e st h e r a z u m i k h i ns k i l l ：a n du n d e rt h es t a b i l i t yt h e o r yo ft h es y s t e m si nt w 0m e a s u r e s f o u n d a ，t i o n ，w et h e nu t i l i z i n gt h em e t h o do fg e n e r a l i z e ds e c o n do r d e rd e r i v a t i v et o s t u d , s t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s si nt e r m so ft w om e a s u r e so fs y s t e m sf 11 i n t r o d u e ef u n e t i o ni nac e r t a i nb l o c ko ri t sd i s c o n n e c t e dt h e r ei sc o n c e p tt h a tc i r c l e s i n c r e a s ew h i l es t u d y i n gt h es t a b i l i t ya m o n gt h e m ，i th a sl i m i t e dt h eg r o w t ho f l y a p u n o vf u n c t i o n i nc h a p t e rt w o ) w eu t i l i z et h em e t h o do fg e n e r a l i z e ds e c o n do r d e r so fd e r i v a - t i r et op r o v i d et h es t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s so ft h eh y b r i dd i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h ei m p u l s i v eh y b r i ds y s t e mi so n ek i n do ft h es p e c i a lv e r yi r n p o r t a n t l 3 i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t ht h ev a r i a b l es t r u c t u r e i 协c h a r a c t e r i s t i ci 8i nt h ed i f f e r e n t t i m ed i f f e r e n t i a ls y s t e mm a yb ed i f f e r e n t ：a n da f t e rs y s t e mr e l i e so nf r o n ts y s t e m h a sn o tb e e nr a r ea b o u tt h ea r t i c l ea b o u tt h es t a b i l i t yp r o b l e mo fh y b r i ds y s t e m ， f o re x a m p l e 1 8 1 9 2 0 2 1 ，b u tt h ea r t i c l ew h i c hu s e st h eg e n e r a l i z e ds e c o n do r d e r d e r i v a t i v es t u d i e sa l s oi sn o tv e r ym a n y i nt h i sp a r to fc e n t e rw ep r o d u c e dt h e s t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s so ft h es y s t e m ( 2 ) b 3 ru s et h eg e n e r a l i z e ds e c o n do r d e r d e r i v a t i v em e t h o da n df i n a l l yg a v ea ne x a m p l et oe x p l a i nt h et h e o r e mu s a b i l i t _ 、? k e y w o r d s ：i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ， i m p u l s i v eh y b r i d 4 山东师范火学硕士学位论文 d i f f e r e n t i a ls y s t e m ， s e c o n do r d e rd e r i v a t i v e ，l y a p u n o vf u n c t i o n ，i , a z u m i k h i n t e c h n i q u e ，s t a b i l i t y ， b o u n d e d n e s s ，t w om e a s u r e s c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 52 1 山东师范大学硕士学位论文 第一章具有界滞量脉冲泛函微分系统的稳定性理论 1 1引言 脉冲可咀使不稳定的系统变得稳定这就使得它在许多领域都有很广泛的 应用比如，物理，化学，生物人口动力学，工业机器人的应用等等脉冲微分 系统作为研究自然界现象中的数学模型比微分系统更广泛近几年，关于脉冲 微分系统的标志性的进展有f l 】一 4 1 _ 但是，在自然界中，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖 于过去的状态，并且还往往会带有瞬时突变现象，这些现象的数学模型可以用 脉冲泛函微分系统来描述脉冲泛函微分系统有着广泛的实际应用背景，因 此对该系统的研究逐渐成为一个热点据我们所知，最早研究脉冲泛函系统 的是a n o k h i n 1 近几年：其各种稳定性也被系统的广泛的研究过，代表性文 章有 8 1 7 _ 获得这些结果时，大部分都是应用l y a p u n o v 函数的一阶导数结 合r a z u m i k h i n 型技巧的方法得到了关于系统的稳定性的结果，并且所用的 l y a p u n o v 函数的导数一般都局限于常负或定负 而实际上由于脉冲的影响l y a p u n o v 函数可以沿系统解轨线的连续部分 递增，或在脉冲点跳跃后变大，但是必须有条件保证其不能增长太快因此我 们可阻利用广义二阶导数方法、来研究脉冲微分系统f 6 和f 7 1 应用这种方法研 究了脉冲微分系统和脉冲泛函系统的稳定性，并对此方法进行了改善，而应用 l y a p u n o v 函数方法中的广义二阶导数方法并结合r a z u m i k h i n 技巧来研究脉 冲泛函微分系统的文章还不多见本章正是借助于这种思想，采用了l y a p u n o v 函数广义二阶导数与t t a z u m i k h i n 技巧相结合的方法，给出了广义二阶导数方 法下的新的r a z u m i k h i n 型条件，从而研究了脉冲泛函微分系统的各种稳定 性问题， 本章利用上述方法给出了脉冲泛函微分系统的稳定性，一致稳定性，渐近 稳定性有界性，致有界性定理以及两个测度下的稳定性：一致稳定性渐近 稳定性定理等 6 山东师范大学硕士学位论文 5 1 2预备知识 考虑如下脉冲泛函微分系统 lz 心) = f ( t z t ) ，t 之t o ，t t k ， a z ( t ) = ( z ( t ) ) ，t = t k ，= i ，2 ，( 1 ) 【。 = 妒， 其中，：r 十_ 舻，= 妒c ：| | 妒l i 日 ，c = v i i r ，0 r “ ， ：兄“_ 兄“，轨( 目) = z ( t 十口) ：p 一r ，o ，妒o c ，l 妒| | = m a x | 妒( 口) i ：一rs 口o ) ，z 兄“，o t l t 2 0 ：x t 。( 日) = x ( t o + 目) ) = 妒( 口) ，0 一r ：o l 对于系统( 1 ) ，我们有如下假设： ( h 1 ) 对所有n = 1 ，2 ，) i k ( x ) c ( r “：r ”) ，且0 t l t 2 0 充分小使得 ( t + h x ( t4 - ) ) u ， ( t + h x ( t ) + h f ( t ，x t ) ) 矿 从而我们有 1 7 ( t + hz ( t + ) ) 一v ( t ，z ( ) ) = 矿0 + h ，。( t ) + h f ( t ，z 。) + e ) 一1 7 ( t ，z 0 ) ) 茎、? ( t + 九：z ( t ) + h f ( t ，z t ) ) + l h e v ( t ，z ( t ) ) 则 l i 篇9 扣( h ，z ( z + ) ) 一矿( ( ) ) _ l i 。m + s 。u + p ； 矿( t + ，。( t ) + h f ( t ，现) ) 一矿( t ：z 。) ) 综上我们得到 为方便起见，我们引入下列记号： 蜀= 砂：r + - - r + ，当s20 时，妒( s ) 芝0 且妒( o ) = o ) ， p = t 】p o ，且不减) ， k o = 砂p o 当s 0 时，咖( s ) o ) ， r r = 币k o 且严格递增) ， k r = 妒蛹且规妒( s ) = 。) ， p c + = 口：r + - r + 在( t k l ，t k 上连续，且1 i r a 。o ( t ) = 盯( t j ) ， p c + k = 盯：兄 r + _ r + 对于任意的r + ，口( ，“) p c l 对于任意的 t r + ：口( t ，) k ： p c + c = 口：r + r + _ r + 对于任意的u r ，口( - ，u ) p c 。对于任意的 t r + ，o ( t ，) c r + ，r + ) ， p c h = 砂p c ： i 妒1 l o ：0 0 ，0 0 ，0 d 2 6 1 ：使 得 当m ( b + ) 0 、o 如 d 1 ，使得对所有k 一致地有 当m ( “) 0 ，使当| | 0 存在 t = t ( t o ，e ) 0 ，使当l i 妒i o ，使当 h o ( t o ，妒) 0 存在t = t ( t o ，e ) o ，使当h u ( t o ，妒) d 时，有 ( t ，( t ) ) e ：t 如+ t ； ( i u ) ( h o ，h ) 一一致吸引的：若( i ) 中d 和t 都与t o 无关： ( v ) ( h o ， ) 一渐近稳定的：若( i ) 和( 锄) 同时成立； ( v i ) ( h o ，h ) 一一致渐近稳定的：若( i i ) 和( 她) 同时成立 注1 当h o ( t ，妒) = i f 妒眦h o ( t ，x ) = h ( t ，z ) = 时，定义1 21 0 可转化为系 统( 1 ) 的一般意义下的稳定性定义 注2 适当选取上述定义中的h o ，h o ，h 可以得到其它相应的稳定性定义 从而将多种稳定性统一起来：如轨道稳定性，部分稳定性，不变集的稳定性等 山东师范大学硕士学位论文 51 3脉冲泛函微分系统的稳定性 在本节中，我们利用l y a p u n o v 函数的广义二阶导数方法结合r a z u m i k h i n 技巧给出脉冲泛函微分系统的稳定性、一致稳定性、致渐近稳定性定理 我 门令x ( s ) = 妒( 口) ，t o r s t o ，一r 0s0 ，妒p c 一r ，0 兰尸c ，定义 妒l i = m a x ( 1 妒( s ) i ：一r s o ) 定理1 3 1 设v v o 且满足 ( i ) b ( i x t ) v ，z ) a , ( i x l ) ，a ，b k ； ( i i ) 存在0 p + p 对所有k n ：当z ( 女) s ( p + ) 时，z ( t k ) 十，( z ( t ) ) s ( p ) ( z z 。) 对任意( 1 ) 的解x ( t ) ：当p ( v ( t ，z ( ) ) ) 兰l j ( t ，z ( t ) ) 1 7 ( s ，z ( s ) ) t rss t 时，有 d v ( t ，x ) 0 ，( t ：z ) ( t k 一1 ，t ) s ( p ) 且对所有的k 有 x t k v ( t k z ) + a v ( t k ，z ) 0 ，2 2 s ( p ) 其中尸c ( r 。：r 十) ，尸( s ) 三m s ，m 1 ； ( u ) v ( t ：z ) 在( t 一l ，靠) 上一致有界增长； ( u z ) 1 j ( t ，z ) 在“处有界增长； 则系统( 1 ) 是稳定的 证明：v ( t ，x ) 在( t k “) 上一致有界增长，则 d ( v ( t ，z ) ) sd k ( v ( t ：z ) ) v e p + 3 v 1 = “l ( ) 6 ( e ) ，有 高拟t 取口= m i n k ：靠2t o ) 出v ( t ，x ) 在屯上有界增长 得当v ( t 。：x ( t q ) ) v 2 时，有 州t ，z ( t 。) + i ( z ( t 。) ) ) u f 13 1 1 则3 v 2 = v 2 ( t 。e ) 1 ，使 ( 132 ) 再由v ( t ，x ) 在( t q _ 1 ，岛) 上有界增长：知3 v o = v o ( t o ，f ) v 2 ：使得 j 严熹2 知 ( 133 )d ”。 q ( s ) 一一” ”一1 1 2 山东师范大学硕士学位论文 珊使满足n ( 妁 ? 2 0 ，并且当l | 圳 6 时，有i z ( 碚) l 曼i 妒( o ) i | i 刚 6 ，从而我 们有 矿( t o + ，。( t 手) ) 58 ( 1 z ( t 亭) f ) 。( d ) o 6 ( e ) ( 1 34 ) 则z ( 讨) e 下证 、i 嚣( ) l e ，t t o ( 1 35 ) 利用反证法，若不然则存在一个t o ( t ，t j + 1 】，使得 l 尘( t o + ) l e ；i 茁o ) j e ，t 【t o ，t j ( 1 3 6 ) 则由1 z ( 岛) l e p + 知 z ( 寸) p ；那么存在# g t j ，t o 使得 esi z ( p ) l p ，且l z ( t ) l q ，= g + 1 ，j ； y ( 吉，z ( 毒) ) 一v ( t l l ，z + _ 。) ) = y ( ，茹( ) ) 一y ( “，。( 靠) ) + v ( t k ，。( 靠) ) 一v ( t l l ，z ( t + - 1 ) ) = a v ( t ，z ( “) ) + v ( t k ，z ( “) ) 靠50 则y ( t k ，。( t 吉) ) v ( t l l ，z ( t 0 。) ) ，从而有 y ( 寸，z ( 寸) ) 曼v ( q 。，z ( t j ) ) ( 1 38 ) 2 0 若j = q ，显然上式也成立 下证 v ( q ，茁( t j ) ) ( 1 3 9 ) 由( 1 3 1 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 可知 r 4 耻“高 虑裂d sg咄蛐。c丽dsdqd q 厶。凼( s ) 、凡( t 拟c + ) j ( s ) 。”。”j ”。( 引 则v ( t q ，4 t q ) ) 口2 由( 1 3 2 ) 可知v ( q ，。( t 亨) ) v l ，那么由( 1 3 8 ) 可得 ( 1 39 ) 成立 ( 二) 当j q 时，t j t o ，那么v ( t ，z ( 亡+ ) ) o 丽d 8 0 + 1 ，矛盾 2 0 若f = t + ，则由( 1 3 1 ) ( 137 ) 0 3 1 0 ) 可得 6 ( e ) y ( 矿，z ( 矿) ) = v ( t ”，x ( t 蚪) l 肛 删 山东师范大学硕士学位论文 则系统( 1 ) 是一致渐稳的 证明： 由一致稳定性知，存在5 0 = 品( p ) ：p - p ；当i l z ( t ) p 1 v ( t ，。) sn ( p 1 ) ，t t o 取 k i n f c ( s ) ：a _ 1 ( m - 1 ( 6 ( e ) ) ) ssb - 1 ( o ( p 1 ) ) ) ； t = ( n + 1 ) t ，j a t k lsa t ，k = 1 ：2 ，c o ； 则t 。+ st o + t 令m n ( p ) ，由条件( v i i ) 存在n ，使得 誉驴掣 k = q + l 。 下证存在f t o ，t o + 丁1 ，使得 1 ( tz ( 刁) m 一1 6 ( e ) 6 0 时：有 ( 1 31 1 ) ( 13 1 2 ) ( 131 3 ) 若不然：对任意的t t o t o + t ，都有f ；z ( t ) ) 2m b ( d ，那么由( 1 31 1 ) 知 当t 【t o ，t o + t 时， p ( v ( t ，z ) ) m v ( t ，。) 2 。( p 1 ) y 0 ，z ) v ( s ：z ( s ) ) v ( ，z ) t rssst ， 令q = m i n k ：t k 三t o ) ，j = m a z k ：t k t o + t ) ，则由( 1 3 】2 ) 有 口+ y ( 丢，。( t 苒) ) 啡i ，z ( t ；) ) 一肛 c ( 女= 目+ 1 掣。l o 矛盾 故1 ，( f z ( 习) m _ 1 6 ( e ) 下证 t ( t ，。) t 有 v ( t + ，z ( + ) ) 6 ( e ) 令m = m i n k ：缸2 订，n = m a z k ：t k 茎t + ) 由v ( t ：x ) 在( t - 1t k ) 上一致有界增长及在“上一致有界增长可得 取m - 1 0 ( e ) o u 2 l 6 ( e ) ，我们有 ( 一) 若n m ， 1 5 h 坛 3 3 姐 q 山东师范大学硕士学位论文 f v ( t m ，z ( m ) ) d s r v ( t m ，z ( t m ) ) d s 。五丽 尢( 脚( 百：两 t 。一i a t 。 c 赤： 则v ( t 。，。( ) ) 2 ，再由v 在t k 上一致有界得，v ( t 嘉，。( 瑞) ) 7 3 1 于是就有v ( t ：，z ( f ：) ) t 2 1 2 0 当n = m 时，显然成立 ( 二) 若n m ，则t 。tv ( 矿，z ( 矿) ) u 1 综合( 一) ( 二) ，我们令= m a x t 。日，则 v ( 矿，。( 一) ) 1( 1 3 1 6 ) 易知t + k t m + 1 ) ， 1 0 若t + ，那么由( 1 3 ，1 5 ) ( 131 6 ) 知 f v ( t + z 0 + ) ) d s m l 2 一。上，( 斗。( p ) ) 五丽 、产”一皇生一 7 j 。，d 。+ l ( s ) a t 。+ l ，矛盾 2 0 若t + = ，那么由( 1 31 5 ) ( 1 3 1 6 ) 知 6 ( e ) 茎v ( 矿+ ，x ( t 科) ) = v ( 扩，z ( 矿) ) u b ( d 矛盾 综上可知，f 1 31 4 ) 成立从而就有 f z ( t ) l e ：t2t o + t 则系统f 1 ) 一致渐稳 当9 ( t ，z ( t ) ) 在( t 一1 ，t k ) 上不增时，我们得到定理1 3 1 13 3 的一个对偶 结果由于其证明与前面定理类似，我们仅列出如下： 定理1 3 4 设v v o 且满足 ( i ) b ( i x l ) v ( t ：z ) n ( z i ) ，n ，b k ； ( i i ) 存在0 p 4 p ，对所有n ，当z ( “) s ( p + ) 时z ( “) + ，( 口) ) 8 ( p ) ： ( 撕) 对任意( 1 ) 的解x ( t ) ，当p ( v ( t ；。( t ) ) ) v ( t ，z ( t ) ) 1 7 ( s ，m ( s ) ) ：t r s5 t 时，有 d v ( t ，。) s0 ，( t ，。) ( t k 一1 ，t k ) s ( p ) + 仇 z + m ， 【 c ， v