（应用数学专业论文）oldroyd+b型流体流动的混合有限元方法和收敛性质的研究.pdf

摘要 有限元方法是r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出来的，我国冯康教授和西方 科学家各自独立奠定了有限元方法的数学理论基础目前，混合有限元方法、 最小二乘混合有限元方法、多尺度混合有限元方法、无网格法、自适定网格和 多重网格法被广泛应用于许多工业领域，解决了很多实际问题 本文的主要工作是应用混合有限元、最小二乘混合有限元和v 循环多重网 格法去解决o l d r o y db 型流体流动问题一方面，我们将混合有限元方法应用 于求解非定常型的服从0 l d r o v db 型本构律的黏弹性流体流动问题另一方面， 我们将运用混合有限元方法、最小二乘混合有限元方法和v 循环多重网格法去 逼近o l d r o v d b 型流体流动问题，并讨论了逼近解与真解的误差估计和收敛性 其主要内容如下： 第一章绪论部分介绍了有限元方法的历史背景与研究动态及本文主要解 决的问题 第二章讨论用混合有限元方法去研究0 1 d r o y db 型流体流动问题的解的 存在唯一性，并给出了逼近解的误差估计 第三章介绍应用混合有限元的最小二乘法去逼近o l d r o y db 型流体流动 问题，并讨论了逼近解的收敛性 第四章讨论0 1 d r o y db 型流体流动问题的v 循环多重网格格式，并给出 了迭代解的存在唯一性和误差估计 关键词：0 i d r o y db 型流体流动；混合有限元方法；最小二乘混合有限元方法； v 循环多重网格法 a b s t r a c t r c o u r a n tf i r s t l yp r e s e n t e dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di n1 9 4 3 p r o f e s s o rk f e n ga n dw c s t e r ns c i e n t i s t sr e s p e c t i v e l ys t r u c t u r e dt h em a t h e m a t i c a lt h e o r y0 f f i n i t cc l c m e n tm e t h o d s a tp r e s e n t ，m i x e df i n i t cc l e m e n tm e t h o d ，i e a s t - s q u a r e m i x e df i n i t ec l e m e n tm e t h o d m u l t i - s c a l em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d m u l t i g r i dm e t h o dh a v eb e e ng e n c r a l l ya p p l i e di nm a n yi n d u s t r ya n ds o l v e dm a n y f c a l l yp r o b l e m s 1 nt h i sp a p e f ，o u re s s c n t i a lw o r ki st os o l v ev i s c o e l a s t i cf l u i dn o w o b e y i n ga no l d r o y dbt y p cc o n s t i t u t i v el a wb ya p p l yt h em i x e df i n i t ce l e m e n t m e t h o d ，l e a s t - s q u a r em i x e df i n i t ec l e m e n tm e t h o da n dv - c y c l em u l t i g r i dm e t h o d 1 nt h cf i r s tc h a p t e r ，w cm a i n l yi n t r o d u c ct h eb a c k g r o u n da n dt h es t a t u so f f e c e n tr c s e a r c h e so ft h ef i n i t cc l e m e n tm e t h o d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h cm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o do fo l d r o y db t y p ev i s c o e l a s t i cf l u i df l o wm o d e l ，a n dw cg i v ct h ec x i s t e n c ca n du n i q u e n e s so f a p p r o x i m a t i o ns o l u t i o na n de r r o rb o u n d e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，b ya p p l y i n gt h el e a s t - s q u a r cm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d t os t u d yo l d f o y dbt y p cv i s c o c l a s t i cn u i dn o wm o d e l ，w cd i s c u s st h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s0 fa p p r o x i m a t i o ns o l u t i o na n dc o n v e r g e n c e i nt h ef o u f t h c h a p t e f w ea n a l y s i s t h c v c y c l cm u l t i g r i df o 珊u l a t i o n o f 0 l d r o y dbt y p ev i s c o e l a s t i cn u i dn o wm o d e l ，a n dw cg i v ct h ee x i s t e n c ca n d u n i a u e n c s s0 fi t e r a t i v cs o l u t i o na n de r r o re s t i m a t e s k e yw o r d s ：0 i d r o y dbt y p ev j s c o e i a s t i cn u i dn o w ；m i x e d 矗i t ee i e m e n t m e t h o d ；l e a s t s q u a 北sm i x e d 矗n i t ee i e m e n t ；v c y c i em u l t i - g r mm e t h o d 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担 拓者签名： 鲁组缸日期：易矽年 堂月z j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密嘭 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：力唧年 月z j 日 日期：呷 月p 声段 夕 舷御 第一章绪论 1 1 有限元的历史背景和研究动态 偏微分方程的研究无论在理论和实践上都有很重要的意义，它的数 值解法长期以来吸引着数学家、物理学家和工程师们的注意有限元方法 作为求解偏微分方程的一个强有力的手段随之产生 有限元方法是r c o u f a n t 于1 9 4 3 年首先提出，二十世纪5 0 年代由航 空结构工程师们所发展，随着逐渐波及到土木结构工程，到了6 0 年代， 在一切连续领域都愈来愈广泛地得到运用 我国冯康教授和西方科学家各自独立奠定了有限元方法的数学理论 基础【纠】由于愈来愈多的数学家加入了发展有限元方法的行列，这种方法 便由工程局限性中解脱出来，代之以统一的观点和严密的数学描述，并 确定了它的数学基础 有限元方法是利用场函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程 的，也就是说，有限元方法依赖于这样的有限维子空间，它的基函数系 是具有微小支集的函数系，这样的函数系与大范围分析相结合，反映了 场内任何两个局部地点场变量的互相依赖关系任何一个局部地点，它的 影响函数和影响区域正是基函数本身和它的支集【1 2 】 混合有限元方法是一种基于限制、或者约束条件的变分形式的有限元 方法混合有限元直接对未知函数的微分算子进行求解，同时得到函数本 身与通量的相同阶的逼近，与标准的有限元只能通过后处理对微分算子 进行计算相比，其数值解的精度往往会提高很多混合有限元的一般理论 由b a b u s k a 和b r e z z i 于2 0 世纪7 0 年代初创立，其主要结果就是b b 相 容性条件【r a v i a r t 和t h o m a s 在1 9 7 9 年针对二阶椭圆问题，提出了 r a v i a r t t h o m a s 混合有限元的构造方法【1 ”2 0 世纪8 0 年代初，f a l k 和 o s b o r n l 2 1 1 提出了一种改进的方法，扩展了混合有限元的适应性混合有限 元方法的优点是通过引入中间变量( 一般具有实际的物理意义) ，可以将 高阶微分方程降阶，从而也就能够降低有限元空间的光滑性的要求在处 理许多实际问题，如多孔介质渗流问题、石油蓄存两相流的易混合位移 问题、不可压缩两相驱动渗流问题和一些水文和生化现象时，混合有限 元方法就经常被用到 最小二乘混合有限元方法是由b r a m b l e 和n i t s c h e 在研究d i r i c h l e t 问题时最早提出来的【1 3 i ，r a v i a r t 【1 7 l ，t h o m a s 和b r e z z i 【1 ”，c a r e y 和 0 d e n 【1 2 1 发展了这一方法近年来，最小二乘混合有限元方法引起了国内外 学者的广泛兴趣，l a z a r o v 和p e h l i v a n o v 【1 们，e w i n g ，w a n g ，b r a n d t s 和我 国的羊丹平【”、罗振东闭、黄云清和陈艳萍m 4 1 1 都对最小二乘混合有限 元的发展作出了卓有成效的工作 两层网格方法是由许进超【“删首先提出来的，主要过程是在粗网格上 求解的基础上加一次细网格上的牛顿迭代( 两步) 他把非线性椭圆边值 问题在两个子空间b 和l 上进行有限元离散化在粗空间k 中，利用标准 的有限元离散化来获得粗空间逼近，然后在粗空间逼近的基础上在细空 间r 上解以牛顿迭代为基础的线性方程组，而获得一组校正解接下来， 他又针对半线性椭圆问题提出了三步和四步两层网格法之后，陈艳萍和 黄云清运用这种两层网格法的思想，提出了一种求解非线性奇异两点边 值问题的分层迭代校正法【“黄云清和薛伟民也将这种思想运用到d 一 波超导体的g i n z b u r g l a n d a u 模型中，建立了多层网格的线性化方 法2 0 0 4 年，石钟慈、黄云清和汤涛也运用此法建立了关于非线性椭圆问 题的多层逐步代入法侧d a w s o n 和w h e e l e r 首次将这种思想应用于系数 k 是非线性的抛物型方程，建立了混合有限元的多层网格法【”w u 。a 1 1 e n 和陈艳萍又运用混合有限元方法讨论了非线性反应扩散方程，并进行了 收敛性分析l ” 高精度理论的研究最早始于前苏联的0 9 a n e s y a n ，r u k h o v e t z ， s h a i d u r o v 等人之后，东欧数学家k r i z e k ，l a z a r o v ，z 1 a m a l 及其合作 者发展了这一理论后来，美国数学家a r n o l d ，b a b u s k a ，d o u 9 1 a s ，e w i n g ， 。w a h l b i n ，w h e e l e r 和德国数学家b l u m ，h e l f r i c h 及他们的合作者，还 有我国陈传淼【”、朱起定【 l 、黄艾香【卸和黄云清【卅等人又对高精度理论 作了进一步的发展 总而言之，有限元方法作为偏微分方程数值解法的两大基本方法之 一，在处理工业生产中的许多实际问题时发挥着十分巨大的作用 1 2 本文研究的主要问题 本文考虑在q r 2 上边界为r 的o l d r o y db 型流体流动模型的一般形 式( o l d r o y d 问题) ”l ： a q + 盯+ a 0 v p + 幻。( 盯，v “) 一2 谢0 ) - o ，在q x 【o ，丁】上 ( 1 1 ) “，一v c r 一2 ( 1 一口) v d ( “) + 1 e p - ，在q 【o ，r 】上 ( 1 2 ) v “一o 在q x 【0 ，丁】上 ( 1 3 ) h - o 在r 【0 ，r j 上 ( 1 4 ) 当f 一0 时，“一l i o ，仃- 盯为弹性应力张量，它是对称的即盯7 - 盯，u 2 是流速矢量，d o ) - 去( 砚+ 砚7 ) 为形变率张量，p 是流体压力， a 乏。为 w e i s s e n b e r g 常数，口为延滞参数( 当口一0 时，问题退化为协旋转m a x w e l l 问题，当口一l 时，问题退化为对流m a x w e l i 问题) 这两类方程已有大量 的文献专门研究【4 ，因此本文只考虑0 口1 的情形乳：r 4 x r 4 一r 4 是双 线性映射： 六p ，钆) 优和) 一似弦一口( d ( “p + 0 d 0 ) ) + 半砌铆一半( 轨+ 引) ， 其中一1 c 4 t 1 ，o ) 一妻( 乳一砚7 ) 为扭曲张量 针对0 l d r o y db 型流体流动问题，本文提出了几种不同的思路，其主 要内容涉及到如下几个方面： 1 2 10idr o y db 型流体流动的混合有限元 在第二章中，首先为了简化0 l d r o y db 型流体流动问题解的存在性 分析，我们首先考虑它的较简单形式( s t o k e s o l d r o y d 问题) ： 口一2 谢 ) - o ，在q x 【o ，r 】上 。一v 盯一2 ( 1 一口) v d ) + v p - ，在q x 【o ，r 】上 v n o ，在q 【0 ，r 】_ 上 球- o ，在r 【o ，r 】上 ， 1 5 1 6 1 7 1 8 对于s t o k e s 0 l d r o y d 问题，我们分析了逼近解的存在唯一性，、并给 出了它的误差估计 进一步，我们考虑包含扭曲张量的0 l d r o y db 型流体流动问题： 仃+ 砌v 矽+ 幻。p ，孔) 一2 谢 ) 一0 ，在q x 【o ，r 止( 1 9 ) “，一v 仃一2 ( 1 一口) v d o ) + 可- ，在q 【0 ；r 】上 ( 1 1 0 ) v h - o 在q 【o ，丁】上( 1 1 1 ) “- 0 ：在r 【0 f 业( 1 1 2 ) 我们构造两个双线性函数，利用b r o u w e r 不动点定理证明了这种完全 形式o l d r o y db 型流体流动问题的有限元逼近解的存在唯一性 1 2 2 0 i d r o y db 型流体的最小二乘混合有限元 第三章，我们讨论考虑流体所受压力p 为常量且流动情况不随时间 3 变动的情形，即定常0 l d r o y db 型流体流动问题( s v 问题) ： 一2 耐 ) 一0 在q 上( 1 1 3 ) 一v 盯- ，在q 上( 1 1 4 ) v h 0 ，在q 上( 1 1 5 ) h - o 在r 上( 1 1 6 ) 对于这种定常0 1 d r o y db 型流体流动问题，我们提出了一种最小二 乘混合有限元方法，并给出了相应的误差估计 1 2 30ld r o y db 型流体的v 循环多重网格法 第四章，我们考虑不考虑扭曲张量的较简单形式的0 1 d r o y db 型流 体流动问题： 盯一2 谢 ) 一o ，在q “0 ，丁】上( 1 1 7 ) h ，一v a 一2 ( 1 一a ) v d ) + | p 一，在q x 【o ，r l 匕( 1 1 8 ) v h - 0 ，在q 【0 ，t 】上( 1 1 9 ) “- 0 在r 【o ，r 】上 ( 1 2 0 ) 我们运用v 循环多重网格法去逼近这种0 1 d r o y db 型流体流动问题， 并分析了迭代解的存在唯一性和逼近解与真解之间的误差估计 为了论述方便，我们给出一些在文中需要用到的记号： 砚向量h 的微分算子 鲫咖向量“的梯度 疵石向量j 散度 l 向量的l a p l a c e 算子 a q区域q 的边界 “向量“对时间的导数 f ( q )区域q 的p 次可积函数空间 ”( q )区域q 的s o b 0 1 e v 空间 n o )外法单位向量 ”0s o b 0 1 e v 空间上的范数 d )向量“的扭曲张量 五区域q 的闭包 a h 向量n 的时间离散化导数 f 。 工2 ( q ) 上的f 行，列矩阵 4 第= 章o idr o y db 型流体流动的混合有限元 2 1 引言 0 l d r o y db 型流体流动问题一直是有限元研究的一个热点在许多领 域，如油藏稠油渗流、二维漕道的流动、注入过程和挤出过程，0 1 d r o y d b 型流体的数值模拟都是其中的一个重要研究课题对于服从0 1 d r o y db 型微分模型的黏弹性问题有限元方法的研究始于j b a r a n g e r 和 d s a n d r i ，他们分别对应力、速度和压力使用p 不连续、p ，连续和p | 连 续的分片多项式去逼近，并且对于附加应力张量的对流项使用了 l e s a i n t r a v i a r t 方法【1 在此之后，j b a r a n g e r 、 a m a c h m o u n 、 r a r a v i a r t 和m f o r t i n 等人又对有限元逼近的稳定性和收敛性进行了 研究【1 9 1 我们将混合有限元方法【矧应用于求解0 1 d r o y db 型流体流动问 题，对于逼近子空间中应力以不连续，速度既+ ，连续，压力n 连续的情形， 分析了逼近解的存在性、稳定性和收敛性 要研究完全的o l d r o y d 问题的数值方法存在很大困难，因此我们先考 虑它的较简单形式s t o k e s o l d r o y d 问题： 仃一2 耐 ) 一o 在q 【0 ，丁】上 。一v 盯一2 ( 1 一a ) v d o ) + v p - ，在q x 【0 ，r 1 上 v “一o 在q 【o r 】上 “- o 在r 【o ，r l - e 对于s t o k e s o l d r o y d 问题的能量空间，我们定义如下： 2 1 2 2 2 3 2 4 r 一扣- ( ) ；工2 ( q ) ，1 s f ，墨2 ， x - 僻1 ( q ) ) 2 ， q l p f ( q ) ；正p 出l 田 定义l 我们定义标准的s o b o l e v 空间缈“7 ( q ) ，其中i i 妒i i ： ，一k 两 0 d 。妒i i = ，( o ) 当p = 2 时，h 。( q ) = 矽“2 ( q ) 且i i 忆刮k ：，0 0 卅： 定义2 若对于任意的g r ( q ) ，满足( 绋g ，) 一( g ，) ，眠；则称q 为f ( q ) 投影到睨的投影算子，即q ：工2 ( q ) 一 5 定义3 设三角形剖分族均为拟一致剖分，且任何两个相邻单元构成 | 1 1 2 一近似平行四边形( 即存在与h 无关的常数c ，使得1 只只一只只k 劭2 ) ，则 称剖分族是一致三角形剖分h ( 如图一) 图一 定义4 若k 为一致三角剖分族中的一个剖分，令a k 一 ) 一忸a k ；“ 一 ) to ，a k 是k 的边界，n 为外单位法向量，f 2 ) ) - 溉f + 出o ) ) 剖 分k 上的内积我们定义为： ， p ，f ) 。善p ，f ) x ， ，。p 2 ，盯) 鬈， 盯。，f 2 舢。墨丘p 。 ) ：f 2 ) ) l 行。i 出 2 2 混合有限元方法 假设q 是多边形区域，在其上有一致三角剖分族r ，使得 西一 u k ，足r 我们对时间【0 ，t 】离散化 r 0 ，出一丁和f “疗m ， 一。“( f 一) ，a ，“一。兰二三竺二二 m 构造有限元空间瓦r ，x 。z ，幺q ， 瓦一如r ；f k 最( k ) 4 ，v k r ， j 一p z ；川毋( k ) 2 ，v k l ， q - 目q ；gi 。己( k ) ，v k l 于是s o 问题转化为) 问题： ( 口 ，) 一2 口( d 。) ，) 一o v “瓦 ( 2 5 ) ( o ) ，) + ( 巳，d ( ) ) + 2 ( 1 一a ) ( d 0 。) ，d ( v ) ) 一( p ，v 匕) 一( ，匕) ，v j j( 2 6 ) 6 ( v h ，鼋 ) 一o ，v 口 蜴 ( 2 7 ) 进而我们就可以得到一族时间离散的混合有限元逼近，假设 ( 川，：，p ：) 瓦x 以幺，对于n = 1 ，2 ，n ，我们寻找( 一，“：，) 邑q 使 得满足1 6 j ： ( 盯：，) 一2 口 ：) ，“) - 0 ，v 吒瓦( 2 8 ) ( 兰亭，h ) + 科，d 帆) ，+ 雄一口凇) ，d 以) ) 一饼，v h ) 一( 厂，) ，v h 以 ( 2 9 ) “：，吼) - 0 ，v g 酝( 2 1 0 ) 为了证明方便，我们引入一些s o b o l e v 空间的性质： 设q 盯4 ，幺h 。，q p 。分别是矿，“4 ，p 。在瓦，z 。，幺中的r - 投影算子，令 易- q 盯。一盯。，乞一q 。一“。，亭一- q p 。一p 4 ，仃。“l ，“4 日，“，p 。日“足 够光滑，那么存在下列插值不等式： i i 易1 1 2 柚2 翟i v 易i i ：c p 。) j i 琊”， 古。乞- 1 1 2 + i i d 瓴) 1 1 2 舶2 盈i v d 瓴一) 眨s c 。4 ) j l ”， o 韩一1 1 2 拍2 盈i v 。易旺c ( p 4 ) j i 枷+ 1 对于一致三角剖分，有限元瓦，z 。，级中有下列逆不等式成立2 卅： 2 副v d 叫2 叫叫o 2 剖v 吖主c 2 | | 址- 为了方便说明解的存在性，我们特意引入了一个双线性算子 爿( ( 钟，：，成) ， ，h ，吼) ) ，则问题变为： 问题( s d ) ：求( 盯：，“：，西) 瓦以玩，使得彳( ( 西，“：，拼) ，瓴，心，吼) ) 一l ，其 中双线性形式爿( ( 研，“：，西) ，瓴，心，吼) ) 一( ，) 一孙p ：) ，) + 缸( 吖，d “) ) h 4 一“。4 + 2 口( 1 万l ，匕) + 4 口( 1 一口) ( d ：) ，d ( k ) ) 一缸( p ：，v ) + 勉( v 球：，吼) ( 2 1 1 ) 线性形式h ，y 。，吼) 一( 厂，h ) 当问题( 阳) ：不满足l b b 条件时，其解可能会出现病态( 如近似解发 散，边界震荡等) ，所以我们寻找一种更为稳定的形式： 问题 z d ) ：求( 仃：，“：，硝) 瓦工。q ，使得口( ( 西，“：，硝) ，瓴，吼) ) 一k ，其 中日( ( 仃：，“：，p ：) ，( r ，v 。，g ) ) t 彳( ( 口：，：，p ：) ，p ，吼) ) 7 - 盏一划) ，1 一划似) ) r + 6 ：j 1 2 ( 一v w 一2 ( 1 一口) v d o ：) + 丫p ：，2 ( 1 一口) v d o ) + v 吼) 。 ( 2 1 2 ) 虚t 线性形式k 吒以 鼋 卜l 瓴以慨) + 6 ：譬2 ( ，2 ( 1 一a ) v d “) + v g k ，其中 6 。，6 ：是待定的常数 2 3 混合有限元解的存在性与收敛性分析 对于任恿的p ，球，p ) 瓦x q ，我们引入一个剖分范数： b 唧2 - 2 + ) 1 1 2 + 奢2 i i 印峨 引理l ( 强制性) 任意取( 钟，“：，纠) 瓦邑幺，则存在c ，o ，使得 口( ( 钟，“：，p ：) ，( ，口：，p ：) ) c m 盯：，h ：，p ：嘲2( 2 1 3 ) 证根据算子彳，“：，p ：) ，( 町，：，睇) ) 的定义，我们有 彳“讲，球：，p ：) ，( 钟，：，p ：) ) 刈w1 1 2 一孙似 ：) ，) + 缸( 以，d 似) ) 化( 譬川) + 钇帅舭2 一勉( p ：，v ：) + 孙( v “：，p ：) 硼钟| 1 2 + 孙( 丝云，“：) + 缸( 1 一口) 忙。引1 2 2 a ( v “：，p ：) + 2 口( v “：，p ：) 卅町| | 2 + 撕( 堕云，“：) + 钇( 1 一口) 忪) ， 曰( ( w ，“：，p ：) ，( 钟，“：，p ：) )一- ：一 _ ( ( 钟，“：，p ：) ，( 研，“：，p ：) ) 一磊4 讲8 2 圳- 口2 ”+ 6 ：翟2 硼蹦喉郴一口) 2 i i v d 唰：) + 6 ：| 1 1 2 ( 一v 田，狮一口) v d ：) + 印：) 。， 凰 将4 ( p ：，“：，群) ，( 盯：，h ：，西) ) 代入口( p ：，“：，以) ，( 盯：，“：，p ：) ) 中，我们有 础西硝，p a ，味p ：) ) 一( 1 也) i | 训| 2 + 詈一，啪 + ( 4 口( 1 一口) + 缸2 6 。) 0 d ：) 1 1 2 4 0 一口) 2 6 ：_ i 1 2 0 v d o ：) i 仨 苁t + 6 2 2 2o 即：1 1 2 + 6 ：2 2 ( 一v 吖，砸一a ) v d o ：) + 印：) r 为了方便，我们令 五一詈叫。，啪，7 五川一口) 2 6 ：1 1 2 到v d ) 魁 毛6 ：2 2 ( 一v 研，雄一口) v d ：) + 印：) x 于是得到 、 五一詈。一一啪 - 詈舭川2 刊4 ，枷 乏铷训1 2 - 螳掣呲) 孙0 “川2 一i i “：41 1 2 一 血2 之一警帕。川1 2 t 。邯一口) 2 6 ： 2 掣v d 唰： 4 c 。6 ：( 1 一口) 20 d ：) 1 1 2 ， l 1 6 z 罾2 ( 一v 西，狮一口) v d ) + v p ：) x 七一扣2 掣v 川一口) 2 i i v d i ：) 一扣2 剖v 训：+ 哟 z 一委6 ：( c ：o 盯：0 2 “( 1 一a ) 2 c 。o d o ：) 1 1 2 ) 9 一 6 ：( c ：0 吖1 1 2 + 20 勖川：) ， z袁吐 所以 口( ( ，“：，p ：) ，( ，“：，p ：) ) - ( 1 一叫1 1 2 + 詈o ：一“一：) + ( 4 口( 1 一口) + 4 口2 6 。) 0 d ：) 1 1 2 一锥一口) 2 6 ： 2 犁v d 唰唼 7 + 6 ：_ j 1 2o 勖钏2 + 6 ：j i l 2 ( 一v w ，狮一口) v d ) + v p ：) 。 j 氲碰 啦2 一警唰2 + ( 4 口( 1 一a ) + 4 口2 6 ，) 0 d 0 ：) 1 1 2 一嵋6 ：( 1 一曲2i l d o 圳2 + 6 ：盏厅2o 蹦1 1 2 一言6 ：( c zi i 0 2 “( 1 一a ) 2 c 。od o ：) 1 1 2 ) 一寺6 ：( c ：o 钟1 1 2 + 2 印钏之) z鼠 ( 1 6 ，一6 ：c 2 ) 0 1 1 2 + 【缸( 1 一口) + 们。口2 6 ( 1 一口) 2 6 ：c l c o 詈】i i d o 圳2 + 三6 ：荟 2l 蹦峨 于是适当取定6 。，6 ：后，我们可以得到： b “盯：，h ：，p ：) ，( a ：，“：，p ：) ) 2 c m 仃：，h ：，p ：m 2 从而我们证明该结论成立 引理2 ( l a x m i l g r a m 定理) 设v 是h i l b e r t 空间，( 1 ) 若v 上的双线 性算子口 ，v ) 连续( 即存在正常数m ，o ，使得i 口v ) 扭m 删v i i ， ，y ) ， ( 2 ) 4 ，v ) 满足强制性条件( 即存在口，o ，使得口l i 川1 2 s 口o ，v ) ，v y 矿，( 3 ) ，连 续，则存在唯一解“y ，使得口0 ，v ) - ，p ) ，帕y 证引理的证明过程参见文献【7 】的第一章定理1 6 定理l 问题( s 加) ：求( “，“：，露) 瓦z q ，使得： 口( ( 钟，h ：，p ：) ，h ，口 ) ) - 厶p ，吼) ，其中双线性函数b 和线性形式l 分别 由前面所给定，则问题存在唯一解 证显然，双线性算子口( p ：，“：，西) ，帆，h ，q 。) ) 是连续的，线性形式工。是 1 0 有界的由引理l 和有限元空间中的l a x - m i l g r a m 定理，即可知问题( s m ) ： 存在唯一解 定理2 设p ”，“，p “) 瓦邑统是问题( o ) 解， 且( 口4 ，“”，p 。) 日“1 ( q ) 4 h f l ( q ) 2 ( 日。“( q ) n 工：) ，( 畎，：，p ：) 瓦x q 是问 题岱m ) ：的解，那么我们有 ( 盯。一仃：，。一“：，p 。一p ：) 2 sc ( 矗2 + 9 + 型+ 2 似+ 1 )( 2 1 4 ) 其中c 是与h 无关的常数 证令o - 一矿，巳二口：一h 。，。，p ：一p 。，同时利用前面的投影算子 定义，我们令一q 矿一，一幺“。一“：，。以一q p 4 一p ： 由三角不等式：m e ，巳，p ，硼2 s 哪8 ，。，：1 0 2 + 哪易，乞，乞m 2 ，而我们 利用逼近性质可以推得： ( 易，乞，知) i i l 2 硼易1 1 2 + i i d 魄- ) 1 1 2 柏2 翟i v 易k 量c ( 盯4 ) j l 琊“+ c 0 。) j l 封+ c p “) j l 枷椰 蔓c ( 盯4 ，n 。，p 4 x 一2 耻+ 廿+ 掣+ i l 烈。1 ) 于是只要证明8 ，。心2 s c 伪雄椰+ j 1 4 + i l 狮+ 1 ) 下面我们证明该 结论： c 珊，e ，：m 2 s 口( 忙以，) ，气，) ) - b ( ( 乞一巳- ，乞- 一巳，知一e ，- ) ，g 石，。，：) ) i 口“易，乞，知) ( e 西，巳：，) ) i 。，8 嵋) 一勉p ( 乞- ) ，p 酊) + 孙( d ) ，易) + 孙( 生) + 她( 1 一a m 晦) d p ) ) 一缸( 乞，v 。：) + 孙p 片，v 乞一) + 瓯荟( 乞一刎( 一一捌) ) r 幔2 2 “哥乞一矩训v - d ( 乞- ) + v 乞一) 狮一口) v d 瓴：) + ) ) x 硼易ie 可0 + 勉0 d ( 乞) i i l + 勉i i d 吒) 舢乞0 + 詈乞一乞。i i | + 缸( 1 一a ) i i d 魄) m id ) o + 勉0 乞l v | | + 印i ie 以l v 乞0 + 6 t d 乞- i i + 勉i i d 魄一) 踟ie 耐i | + 缸l i d 也：) d + 6 ：。删v 乞怕+ 雄一口) i i v d ( 乞) l i v 知l d ( 狮一口圳v d 瓴：) 0 柏i i v 8 西| d 我们分别令 g l 卅易肌以i i + 孙眦魄) m le i i + 勉0 d ) 洲易i i ， g ：- 丢i i 乞一乞。ie l i ， g 3 - 铀( 1 一口) i i d 魄- ) i d ( ) i | + 孙0 乞咖v l i ， g 4i 孙l i p 麻咖v 乞- i l + 岛硼易0 + 缸0 d 魄。) | d ( | i p i i + 孙i l d ) i d ， g - 6 ：硼v 。乞- + 2 ( 1 一a ) i i v d 瓴) 0 v 易i d ( 砸一口) j l v d ) + 圳乳矗l d 利用p o i n c a r e 不等式，我们有 g 1s 圣。乞_ i | 2 + k 旷) + 等魄川1 2 + k 嵋1 1 2 - “即2 忪1 1 2 + 却引| 2 1 2 g ：。扣乞一知i 气o 南( 驯2 根：叫1 2 ， g 3 缸( 1 一a ) ( 击归魄_ ) 1 1 2 + 心肌瓴：) | 1 2 ) + 圣n 乞l l j 2 舶2 蚓l 峨) | 1 2 ) g 4 等唬巾柑z 鼢2 i i 叫1 2 + 引勺钳根h 1 1 2 + 击l 乞川2 瞿2 丘牝) 0 2 + 等牝瓴_ ) 1 1 21 k o 气0 2 + 等归( | 1 2 甜剐i ) 1 1 2 】， g 5 鲋：【警忭引2 枷卅) 2 忪l | 2 + 丢旷旧引2 + 玛_ 1 1 2o 乳片i | 2 + 兰坐丢坚譬l i v d 瓴i ) 1 1 2 心毛( 1 一口) 2 | i d 卅 + 竺i 生忭叫乞) | 1 2 + 墨 28 乳硝| 1 2 + 笔o v 知1 1 2 + 毛_ 1 1 28 1 1 2 + 譬忭知1 1 2 瑚。毛( 1 一2 忖) 0 2 】 然后，将各项相加并将含有。西，。，：的项移到等式左边，选取适当 的k ( i = l ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，则我们有：，气，。心| i | 2 s c 2 忙哪+ j i 。+ | 1 1 2 扣哪) 于是， 结会亩f r 而的诊诛耱们证明了访幸弹 2 4 非定常0 i d r o y db 型流体的有限元离散化 对于0 l d r o y d 问题的能量空间，我们定义如下： 丁一t r o # ) ；f 口2 ( q ) ，1 s f ，j 2 ， z - ( 日1 ( q ) ) 2 ， q 一如2 ( q ) ；c 肚一o 于是，我们得到o l d r o y d 问题的弱形式：求p ，p ，h ) r x z q ，使得 ( ，刁+ a ( ( 如v ) 仃，f ) + a ( g 。( 盯，1 i k ) ，f ) 一2 口( d 0 ) ，f ) 一0 l v f ；r ( 2 1 5 ) o ，v ) + p ，d o ) ) + 2 ( 1 一口x d ) ，d o ) ) 一0 ，v - y ) - ( ，y ) ，v v 工( 2 1 6 ) ( 碍，v h ) 一o ，v 鼋q ( 2 1 7 ) 假设q 是多边形区域，在其上有一致三角剖分族l ，使得 西一 u k ，x l 构造有限元空间瓦r ，石 j ，幺q ， 瓦一和r ；f k 只( k ) 4 ，懈r ， x - p 工；vi 只“( k ) 2 ，v k r ， 级一幻q ；q k 最衅) v k r ) 于是，我们得到在有限元空间下( 2 1 5 2 1 7 ) 的逼近形式：求 ( 巳，p ，口) j q ，使得 h ，) + a ( v h ，) + a ( 乳( 吒，轨 ) ，h ) 一2 口 ) ) - o ，v 瓦 ( 2 1 8 ) ( o ) ，) + ( 吼，d o ) ) + 2 ( 1 一口) 0 ) d o ) ) 一( p ，v ) 一( ，) ，饥z ( 2 1 9 ) 瓴，v h ) - o ， 玩( 2 2 0 ) 下面，我们来对时间 0 ，t 离散化：取 o ，& - r 和f 。- 雄& ， 一球( ，) ，a ，“一坚进而我们就可以得到一个时间离散的有限元逼 近，我们假设初值为p ：，“：，p ：) 瓦以级，对于n = l ，2 ，n ，我们寻找 ( ，“：，刃) 瓦x 邑q 使得满足： ( ，h ) + a ( o ：可- ) 西，“) + a ( g 。( 嵋，现) ，) 一2 酬f ：) ，) 一0 v h 瓦( 2 2 1 ) - l ( 竺l 芒l ，h ) + ( 吖，d 以) ) + 狲一a ) “) ，d “) ) 一( 睇，v 吒) 一u ，吨) ，v 五 ( 2 2 2 ) 瓴，v “：) 一o ， 级( 2 2 3 ) 然后在l x q 上，我们定义算子a ： 1 一，? 飞3 ： ：v ) 一，) 一+ 壹( v “：钟，“) + t 町+ 一研一，+ ， ( 2 2 4 ) 定义l z 。婊上的双线性形式b ： b “：，p ：) ，瓴，y ，吼”一( w ，气) 一孙 0 ：) ，l ) + 勉 “) ，) + 撕( 竺王二荸，+ 缸( 1 一口) o a d 帆) ) 一孙o ：，v h ) + 孙瓴，v 吲) + | 1 1 2 ( 一v 一雄一口罗d 吣) + 勰域，一v 一狮一a ) v d 以) + 脯巩) 。 ( 2 2 5 ) 1 4 我们定义哦( 吖，“：，p ：) 2 。善 2i v 畎+ 2 ( 1 一口) v d o ：) 一a 印：i ：线性形式 ，瓴，吼) - 孙，h + 善 2 ，一v 一狮一口) v 。d “) + 胛饥 x 2 2 6 2 5 有限元逼近解的存在唯一性 为了研究问题方便，我们定义如f 一个算子： 妒：l x 。xq 一lx z 。xq ，这里对于任何p ：1 ，p 晶，“矗) 瓦邑q ，满 足( 口磊，“是，p ：) ；l f ，( 盯矗，“矗，p 矗) ，其中( ，“：，p 厶) 瓦邑q 满足： v ( l ，吼) x g ，我们有 联p 磊，屹，p 乏) ，瓴，屹，吼) ) + “0 矗，a 磊，靠) - 4 。，轨二) ，o ) + ，魄，h ，吼) ( 2 2 7 ) 定理3 双线性形式口畔一：，联) ，瓴，v ，吼) ) 是强制的 证首先利用双线性形式定义，我们有 曰“：，p ：) ，( ，h ：，或) ) 卅町1 1 2 一勉 ) ，) + 2 口 吣) ) + 勉( 竺2 荸= ，“：) + 缸( 1 一口) 忪 ：) 1 1 2 一缸p ：，v “：) + 孙。：，v q ) + z _ 1 1 2i v + 2 ( 1 一口) v d ：) 一a 蹦艮 化简上式可得 b “一：，p ：) ，。f ，。：，p ：) ) l l i | 2 + 2 口c 叠。= 若，n ：) + 4 口( 1 一口) o 碍 ：) 1 1 2 + 艺j i l 2i v 町+ 2 ( 1 一a ) v d ：) 一a 蹦i ： 适当的取定某个o t 口 + 罗 2 埔一t 喘一略，钟+ 碥- g