1二次函数面积最值问题.doc

内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密启用前2019年02月16日小丁的初中数学组卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一解答题（共5小题）1（2015遵义）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作M，直线经过点E（1，5），并且与M相切，求该直线的解析式2（2018遵义）在平面直角坐标系中，二次函数yax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，2）点E是直线yx+2与二次函数图象在第一象限内的交点（1）求二次函数的解析式及点E的坐标（2）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标（3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标3（2015安顺）如图，抛物线yax2+bx+与直线AB交于点A（1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标4（2017毕节市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积5（2017安顺）如图甲，直线yx+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）第卷（非选择题）请点击修改第卷的文字说明试卷第3页，总4页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。2019年02月16日小丁的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共5小题）1（2015遵义）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作M，直线经过点E（1，5），并且与M相切，求该直线的解析式【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；H7：二次函数的最值；H8：待定系数法求二次函数解析式；HF：二次函数综合题；KQ：勾股定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）只需运用待定系数法就可解决问题；（2）过点D作DHAB于H，交直线AC于点G，如图2，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后用割补法得到ADC的面积是关于m的二次函数，运用二次函数的最值性就可解决问题；（3）设过点E的直线与M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，根据切线的性质可得MFEN易得M的坐标、ME、MF、EF的长，易证MEFNEM，根据相似三角形的性质可求出MN，从而得到点N的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题【解答】解：（1）如图1，由题可得：，解得：，抛物线的解析式为yx2x+2；（2）过点D作DHAB于H，交直线AC于点G，如图2设直线AC的解析式为ykx+t，则有，解得：，直线AC的解析式为yx+2设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，DHm2m+2，GHm+2，DGm2m+2m2m2m，SADCSADG+SCDGDGAH+DGOHDGAO2DGm22m（m2+4m）（m2+4m+44）（m+2）24（m+2）2+2当m2时，SADC取到最大值2此时yD（2）2（2）+22，即点D的坐标为（2，2）；（3）设过点E的直线与M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，则有MFENA（4，0），B（2，0），AB6，MFMBMA3，点M的坐标为（4+3，0）即M（1，0）E（1，5），ME5，EMN90在RtMFE中，EF4MEFNEM，MFEEMN90，MEFNEM，NM，点N的坐标为（1+，0）即（，0）或（1，0）即（，0）设直线EN的解析式为ypx+q当点N的坐标为（，0）时，解得：，直线EN的解析式为yx当点N的坐标为（，0）时，同理可得：直线EN的解析式为yx综上所述：所求直线的解析式为yx或yx【点评】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、运用割补法求面积，二次函数的最值性、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，当直接求一个图形面积比较困难时，通常可考虑采用割补法，另外，过圆外一点作圆的切线有两条，不能遗漏2（2018遵义）在平面直角坐标系中，二次函数yax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，2）点E是直线yx+2与二次函数图象在第一象限内的交点（1）求二次函数的解析式及点E的坐标（2）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标（3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】15：综合题；535：二次函数图象及其性质【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；（3）令y0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标【解答】解：（1）把C（0，2），D（4，2）代入二次函数解析式得：，解得：，即二次函数解析式为yx2+x+2，联立一次函数解析式得：，消去y得：x+2x2+x+2，解得：x0或x3，则E（3，1）；（2）如图，过M作MHy轴，交CE于点H，设M（m，m2+m+2），则H（m，m+2），MH（m2+m+2）（m+2）m2+2m，S四边形COEMSOCE+SCME23+MH3m2+3m+3，当m时，S最大，此时M坐标为（，3）；（3）连接BF，如图所示，当x2+x+20时，x1，x2，OA，OB，ACOABF，AOCFOB，AOCFOB，即，解得：OF，则F坐标为（0，）【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键3（2015安顺）如图，抛物线yax2+bx+与直线AB交于点A（1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；（2）设直线AB为：ykx+b将A、B的坐标代入可得到k，b的方程组，从而可求得k，b于是得到直线AB的解析式，记CD与x轴的交点坐标为E过点B作BFDC，垂足为F设D（m，m2+2m+）则C（m，m+），依据三角形的面积公式可得到S与m的函数关系式，接下来由抛物线的对称轴方程，可求得m的值，于是可得到点C的坐标【解答】解：（1）由题意得解得：，yx2+2x+（2）设直线AB为：ykx+b则，解得直线AB的解析式为y+如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E过点B作BFDC，垂足为F设D（m，m2+2m+）则C（m，m+）CD（m2+2m+）（m+）m2+m+2，SAEDC+CDBFCD（AE+BF）DCm2+m+5Sm2+m+50，当m时，S有最大值当m时，m+点C（，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、三角形的面积公式、二次函数的性质，用含m的式子表示出CD的长，从而得到S与m的关系式是解题的关键4（2017毕节市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PEx轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出PBC的面积，利用二次函数的性质可求得PBC面积的最大值及P点的坐标【解答】解：（1）设抛物线解析式为yax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为yx23x4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，POPC，此时P点即为满足条件的点，C（0，4），D（0，2），P点纵坐标为2，代入抛物线解析式可得x23x42，解得x（小于0，舍去）或x，存在满足条件的P点，其坐标为（，2）；（3）点P在抛物线上，可设P（t，t23t4），过P作PEx轴于点E，交直线BC于点F，如图2，B（4，0），C（0，4），直线BC解析式为yx4，F（t，t4），PF（t4）（t23t4）t2+4t，SPBCSPFC+SPFBPFOE+PFBEPF（OE+BE）PFOB（t2+4t）42（t2）2+8，当t2时，SPBC最大值为8，此时t23t46，当P点坐标为（2，6）时，PBC的最大面积为8【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PBC的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中5（2017安顺）如图甲，直线yx+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MCMP、MCPC和MPPC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EFx轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标【解答】解：（1）直线yx+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为yx24x+3；（2）yx24x+3（x2）21，抛物线对称轴为x2，P（2，1），设M（2，t），且C（0，3），MC，MP|t+1|，PC2，CPM为等腰三角形，有MCMP、MCPC和MPPC三种情况，当MCMP时，则有|t+1|，解得t，此时M（2，）；当MCPC时，则有2，解得t1（与P点重合，舍去）或t7，此时M（2，7）；当MPPC时，则有|t+1|2，解得t1+2或t12，此时M（2，1+2）或（2，12）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x24x+3），则F（x，x+3），0x3，EFx+3（x24x+3）x2+3x，SCBESEFC+SEFBEFOD+EFBDEFOB3（x2+3x）（x）2+，当x时，CBE的面积最大，此