（应用数学专业论文）lfuzzy紧商序同态与lfuzzy紧商拓扑.pdf

内蒙古师范大学硕十学位论文 中文摘要 本论文由相对独立的两篇文章组成：一、一f u z z y 紧商序同态与 一f u z z y 紧商拓扑；二、强不定映射、强半开映射与强半连续映射 现将两篇文章的内容摘要简述如下： 一、l f 紧商序同态与印紧商拓扑 良紧性是腰拓扑学中一个重要概念，它是分明拓扑学紧性概念的 一好的推广文 3 在分明拓扑学中利用紧性概念定义了紧商映射与紧 商拓扑，并研究了它们的若干性质本文在职拓扑学中利用良紧性定义 了 紧商序同态与l f 紧商拓扑，成功地将文 3 推广到凹拓扑学中由 于良紧性不是紧性概念形式上的照搬，而是比紧性概念更复杂、更深刻， 因此我们的工作是有意义的 二、强不定映射、强半开映射与强半连续映射 强半开集继半开集之后，受到许多学者的重视，如李厚源相继研究 了半开集与强半开集的若干性质1 4 , 5 j ，张广济研究了强半开集的覆盖性 质t 6 】等本文中，我们利用强半开集的概念定义了强不定映射、强半开映 射与强半连续映射，研究了它们之间的关系与性质 关键词：l f 紧商序同态，l f 紧商拓扑，强不定映射，强半连续映射， 强半开映射，强半闭映射 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，i tw a sc o n s i s t e do ft w oi n d e p e n d e n tm a i ne l e m e n t s ： f i r s t l y , l - f u z z yn c o m p a c tq u o t i e n to r d e r h o m o m o r p h i s m a n d l - f u z z yn - c o m p a c tq u o t i e n tt o p o l o g y s e c o n d l y ，s t r o n gu n c e r t a i n t y m a p p i n g ，s t r o n gs e m i c o n t i n u o u sm a p p i n g n o wt h eb r i e fs u m m a r yo ft h e c o n t e n t so ft h et w op i e c e so fe s s a y si sa sf o l l o w s ： 1 l - f u z z yn c o m p a c tq u o t i e n t - m a p p i n ga n dl - f u z z yn - c o m p a c t q u o t i e n tt o p o l o g y i nt h el - f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e s ，n - c o m p a c t i sa t o p o l o g i c a l i m p o r t a n tc o n c e p t i ti s ag o o de x t e n s i o no fc o m p a c t n e s s p a p e r 3 】g i v e s t h ec o m p a c t n e s sq u o t i e n tm a p p i n ga n dc o m p a c t n e s sq u o t i e n tt o p o l o g y , a n d s t u d yas e r i e so ft h e i rp r o p e r t i e sw i t h i nt h er a n g eo fg e n e r a lt o p o l o g y b u ti n m yp a p e r , w ed e f i n el - f u z z yn - c o m p a c tq u o t i e n tm a p p i n ga n dl - f u z z y n - c o m p a c tq u o t i e n tt o p o l o g yb yu s i n go ft h en c o m p a c t n e s s ，e x t e n dp a p e r 3 】s u c c e s s f u l l yt ol - f u z z yt o p o l o g y n c o m p a c t n e s si sn o tc o p i e df o r mi n t h ec o n c e p to fc o m p a c t n e s s t h ec o n c e p to fn c o m p a c t ，b u tr a t h e rt h a nt h e c o n c e p to fc o m p a c t n e s s ，i sm o r ec o m p l i c a t e da n dm o r ep r o f o u n d ，s oo u r w o r k sa r ea m e a n i n g f u le x t e n s i o n 2 s t r o n gu n c e r t a i n t ym a p p i n g ，s t r o n gs e m i o p e no p e nm a p p i n ga n d s t r o n gs e m i c o n t i n u o u sm a p p i n g 内蒙古师范大学硕士学位论文 f o l l o wt h e s e m i - o p e ns e t ，m a n ys c h o l a r sp a y a t t e n t i o nt o s t r o n g s e m i o p e ns e t f o re x a m p l e ，h o u y u a nl i h a ss t u d i e dt h e t o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s o fs e m i o p e ns u b s e t s a n d 口一s e t s 4 渤，g u a n g j iz h a n gh a s s t u d i e dt h ep r o p e r t i e so ft h ec o v e r a g eo fs t r o n gs e m i o p e ns e t s 吲e t c t h i s p a p e r ，w ed e f i n es t r o n gu n c e r t a i n t ym a p p i n g ，s t r o n gs e m i - o p e no p e n m a p p i n ga n ds t r o n gs e m i - c o n t i n u o u sm a p p i n gb yu s i n gs t r o n gs e m i o p e n s e t s ，f u r t h e rs t u d yi t sr e l a t i o n s h i pa n dp r o p e r t i e sb e t w e e nt h e m k e yw o r d s ：l - f u z z yn c o m p a c tq u o t i e n tm a p p i n g ，l - f u z z yn c o m p a c t q u o t i e n tt o p o l o g y ，s t r o n gu n c e r t a i n t ym a p p i n g ，s t r o n g s e m i c o m i n u o u sm a p p i n g ，s t r o n gs e m i o p e no p e nm a p p i n g ， s t r o n gs e m i o p e nc l o s e dm a p p i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名： 吣j _ o7 引茂j 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：否碲 导师签名：熹方 i c日期：跏7 年( ，月 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 本论文由相对独立的两篇文章组成： 一、l f u z z y 紧商序同态与l f u z z y 紧商拓扑；二、强不定映射、强半 开映射与强半连续映射现将两篇文章的内容摘要简述如下： 一、l f 紧商序同态与凹紧商拓扑 良紧性是l f 拓扑学中一个重要概念，它是分明拓扑学紧性概念的一好的推广 文 3 在分明拓扑学中利用紧性概念定义了紧商映射与紧商拓扑，并研究了它们的 若干性质本文在职拓扑学中利用良紧性定义了 紧商序同态与 紧商拓扑，成 功地将文 3 】推广到历拓扑学中由于良紧性不是紧性概念形式上的照搬，而是比紧 性概念更复杂、更深刻，因此我们的工作是有意义的本篇文章主要有四个方面的内 容： 1 借助良紧闭集概念定义了 紧商序同态与职紧商拓扑，进而研究了胆紧 商序同态与胆紧商拓扑的性质 2 研究了序同态成为 紧商序同态的条件 3 讨论了腰商拓扑与三f 紧商拓扑的关系对x 上的等价关系r ，研究了 p ：一彩成为肛紧商序同态的系列定理 4 证明了l f 紧商序同态与 紧商拓扑是紧商映射与紧商拓扑的一好的推 广 二、强不定映射、强半开映射与强半连续映射 强半开集继半丌集之后，受到许多学者的重视，如李厚源相继研究了半开集与强 半开集的若干性质1 4 s ，张广济研究了强半开集的覆盖性质吲等本文中，我们利用强 半丌集的概念，定义了强不定映射、强半开映射与强半连续映射，研究了它们之间的 关系与性质主要有以下三个方面的内容： 1 定义了强不定映射、强半丌映射与强半连续映射的概念，讨论了强连续映射、 强半连续映射、强不定映射、连续映射、半连续映射的关系，用反例说明了强不定映 射与连续映射的互不包含关系 内蒙古师范大学硕上学位论文 2 研究了强不定映射、强半连续映射的等价条件及其他一些性质 3 研究了在强不定映射、强半连续映射下拓扑空间的连通性、紧致性，并定义 了弱s 一闭空间，讨论了它与s 一闭空间的关系 1 2 预备知识 我们将本文中用到的一些基本概念、基本知识与记号概要介绍如f ： 一、盱紧商序同态、胆紧商拓扑一文的预备知识 定义1 2 1 i s - i s 设( x ，3 ) 为拓扑空间，y 为一非空集合，f ：x y 为满映 射，y 的子集族= kcy ：s 一1 ( y ) 3 ) 是】，上的拓扑，称是】，上关于厂与3 的商拓 扑此时称厂为商映射 定义1 2 2 【3 1 设( x ，s ) 为拓扑空间，y 为一非空集合，p ：x 专】，为满映射， 3 。( 】，p ) = u c y ：p - ( u ) 是x 中的紧闭集) u 】，) 记3 ( y ，p ) = u c y ：u 7 3 c ( 】，p ) ) ，则s ( 】，p ) 是y 上的拓扑，称它是】，上由p 决定的紧商拓扑并称( 】，3 ( 1 ，p ) ) 为紧商拓扑空间 定义1 2 3 m 设x ，y 为拓扑空间，p ：x y 为满射如果y 的拓扑恰好是 由p 决定的紧商拓扑，则称p 为紧商映射 定义1 2 4 m 2 1 设厶与l 2 是f 格，f t ljl 2 是映射 如果( 1 ) ，是保并映射，( 2 ) 。是保逆合映射，即，v b l 2f 一( 6 ) = ( 厂。1 ( 6 ) ) 7 ，则称 厂为厶到2 的序同态 定义1 2 5 m 2 1 设( 。兄，q ) ，( 2 ，仃2 ) 是 拓扑空间，f ：厶墨_ 三：x 2 是序同 态 ( 1 ) 若v b i ：y 2 ，f 一( b ) q ，则称厂为连续序同态 ( 2 ) 若v a o r l ，f ( a ) 仃2 ，则称厂为开序同态 第一章绪论 ( 3 ) 若w 0 i i ( 彳) 7 2 7 ，则称为闭序同态 定义1 2 6 旧设( ，仃) 是腰拓扑空间，厶是f 格，】，f ：l x - - 厶y 是满 序同态，则= 徊厶y ：厂一1 ( 曰) 仃) 是厶r 上的职拓扑，称( 厶y ，) 为( r ，盯) 关于 的己f 商空间，此时称厂为腰商序同态 定义1 2 7 设厂：x 哼y 是通常映射，v a ，y 令 厂( 彳) ( y ) = v a ( x ) ：f ( x ) = j ， ，得一映射f ：专，称厂为值z a d e h 型函数为 简单起见，仍将厂记为厂 引理1 2 8 1 1 , 2 ( 1 ) z a d e h 型函数厂：专是序同态 ( 2 ) 当厂：x 专】r 是单射时则它诱导的值z a c l e h 型函数f ：专是单序同 态 ( 3 ) 当f ：x y 是满射时，则它诱导的值z a d e h 型函数f ：专l r 是满序同 态 ( 4 ) 当f ：x 专y 是恒同映射时，则它诱导的值z a d e h 型函数f ：l x 专是恒 同序同态 ( 5 ) 设厂：r 寸z a a e h 型函数，则，f - 1 ( b ) = 曰。f 即v xe x ，f _ 1 ( b x x ) = b ( 厂( x ) ) 定义1 2 9 设( r ，c r ) 是职拓扑空问，s = s ( 甩) ，l d ) 是中的分子网， 令y ( s ) = y ( s ( ，1 ) ) ，玎d ) 是s 的值网，这时f ( s ) 是中的分子网设口m ( 三) ，如果 对任一re ( 口) ，s 的值网最终大于或等于，( 即，存在n o d ，当玎n o 时，y ( s ( 甩) ) 厂) ，则称分子网s 为口一网 引理1 2 10 例设( ，彩( t ) ) 是由分明拓扑空间( x ，t ) 生成的职拓扑空间， 口m ( ) ，则中网s = ( 。，：行d ) 收敛于矗，当且仅当s 的底网扛”) 在x 中收 敛于x ，rs 是口一网 内蒙古师范大学硕：仁学位论文 定义1 2 1 1 1 设( ，o r ) 是凹拓扑空间，a r ，c 仃7 ，口肘( 三) 如果对 么中的每一个高为口的分子( 即a ) ，有p 使p 7 7 ( 吒) ，则称中为彳的 口一远域族，记作 a ( a ) 如果存在，缸) ，使a ，则容易证明p 。1 ( y ，) = a 因为a 的承集为有限集，由引理 1 2 1 5 ，a 是良紧集，又因l x 是正型空间，故彳作为有限个分子的并集是闭集， 从而彳是中良紧闭集，由p 是f 紧商序同态及p 一1 ( y ，) = a ，知y ，是中的 闭集由y ，的任意性，得为正空间 推论2 1 10 设为互空间，p ：一为单一、，紧商序同态， 则是互空间 证明因为p ：x 寸y 是单序同态，故砂y ，p 一1 ( j ，) 为有限集，由定理 r 第二章l - f u z z y 紧商序同态与l - f u z z y 紧商拓扑 2 1 9 口j 让 定理2 1 ”设非连通空间，p ：r _ 为腰紧商序同态，则为 良紧空间 证明因是非连通空间，l y = 互ue ，鼻，最是中非空闭集，且 en 五= 矽 于是1 x = p 一1 ( eu f 2 ) = p - 1 ( e ) up 一1 ( e ) ，显然e i t , 最1 y 由p 是凹 紧商序同态，p 一1 ( 互) ，p _ ( e ) 为r 中的良紧闭集，l x 作为两个良紧闭集的并集， 所以为良紧空间 2 2 序同态成为 紧商序同态的条件 定理2 2 1 设( i x ，盯) ，( l r ，i ) 是l f 拓扑空间，p ：一为满序同 态，则p 为腰紧商序同态的充分必要条件是 ( 1 ) 对中的任意闭集f ，f 1 y ，p - 1 但) 是中的良紧闭集： ( 2 ) 对r 中满足条件p - 1 p ( ，) = f 的良紧闭集f ，p ( ，) 是中的闭集 证明必要性( 1 ) 设f 是中的任意闭集，若，1 y ，则由p 是盯紧商序同 态，p - 1 伊) 是r 的良紧闭集：( 2 ) 由p 是 紧商序同态，显然 充分性若f l ，是中闭集，由( 1 ) p 。1 ( ，) 是中的良紧闭集反之， 若p 一1 ( f ) 是中良紧闭集，因为p - 1 ( f ) = p p p - 1 ( ，) ，由( 2 ) f = p p - 1 ( f ) 是 中闭集，于是p 为f 紧商序同态 命题2 2 2 设r 是良紧空问，p ：j 为连续、闭的满序同态，则p 为f 紧商序同态 证明对中任意闭集f l ，由p 的连续性，p 一( ，) 是中的闭集，又 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 是良紧空间，从而，p 。( f ) 是中的良紧闭集 其次对中满足条件p p 仃) = f 的良紧闭集f ；由p 是闭的序同态，故 p ( f ) 是中的闭集 综上，由定理2 2 1 ，所以p 是l f 紧商序同态 推论2 2 3 设是良紧空间，为满层的互空间，p ：专为连续 满序同态，则p 为印紧商序同态 证明由 1 3 定理6 2 2 0 ，从良紧空问l x 到满层的五空间l y 的连续序同 态p ：专是闭序同态，由命题2 2 2 得证 命题2 2 4 设是良紧空间，p ：专r 是连续满序同态，若存在连 续满序同态g ：一l x 使p 。q = i ，这里，：l x 专l x 是恒等映射，则p l f 紧 商序同态 证明设b 是中的闭集，由p 连续，从而p 1 ( b ) 是中的闭集，又是 良紧空间，所以p 1 ( 曰) 是良紧闭集：反之，对中集合b ，若p _ 1 佃) 是中良 紧闭集，b = i - i ( 曰) = ( p 。g ) - 1 ( b ) = q - l p 。1 ( b ) 由q 的连续性，知曰为中闭集故p 是胆紧商序同态 定理2 2 5设r ，r 是f 拓扑空间，p ：l x 专是凹紧商序同 态，q ：l 7 - 9 , r 为满序同态，则q 是腰紧商序同态的充分必要条件是 q 。p ：一r 为f 紧商序同态 证明必要性设g 是 紧商序同态，则对r 中任意闭集b l z ，q - ( b ) 是 中的良紧闭集，gq - 1 ( b ) l ，又由p 是职紧商序同态，p 。1 q _ 1 ( b ) 是l x 中 的良紧闭集而( g 。p ) 叫( b ) = p q - 1 ( 曰) ，所以( g 。p ) 。1 ( b ) 是中的良紧闭集： 反之 v b l z ，b 1 z ，若( g 。p ) 一( 曰) 是中的良紧闭集，则由p 是紧商序同态， 1 0 第二章l - f u z z y 紧商序同态与l - f u z z y 紧商拓扑 q - i ) 是中的闭集，r q - 1 ( 曰) 1 r ，由定理2 1 5 ，q - i ( b ) 是中的良紧闭集， 再由q 是印一紧商序同态，所以b 是r 的闭集 综上证明了q 。p 是朋紧商序同态 充分性假设q 。p ：一t , z 是 紧商序同态，下证q ：l r 专l z 为f 紧商 序同态 若b r 为任意闭集，且口1 z ，由q 。p 是腰紧商序同态，则( g 。p ) - 1 ( 曰) 是r 中的良紧闭集，而( g 。p ) 1 ( 日) = p - 1 q - 1 ( b ) ，且g - 1 ( 曰) l r ，由p 是胆紧商 序同态，g - 1 ( 曰) 是中闭集，由p 是职紧商序同态及定理2 1 5 ，g - 1 ( 召) 是 中的良紧闭集：另一方面，r ，b l z ，若q - 1 ( b ) 是的良紧闭集，则因p 是 胆紧商序同态，又q - i ( b ) l y ，p q 一( b ) 是r 中的良紧闭集但 ( g 。p ) 一( b ) = p 1 q 1 ( 口) ，所以( g 。p ) - 1 ( 曰) 是r 中的良紧闭集由qo p 是印紧 商序同态的假设知，曰是中的闭集 综上，证明了g 是腰紧商序同态 定理2 2 6 设是胆拓扑空间，是良紧空间，p ：一l r 为满序 同态，则p 为盯紧商序同态的充分必要条件是：对任意，拓扑空间r 及满序 同态q ：寸r ，当g 。p ：专r 为f 紧商序同态时，g 为腰紧商序同态 证明必要性由定理2 2 5 知必要性显然 充分性假设对任意的腰的拓扑空间r 及满序同态q ：l r - - 9 , l z ， 当q 。p ：_ 为f 紧商序同态时，g 是 紧商序同态 下证p ：l x - 9 l r 是职紧商序同态 以表示集合上由序同态p 及l x 上的拓扑产生的f 紧商拓扑空间令 f ：l 7 一l 7 为恒等z a d e h 型函数，r = f 。p ：l x _ 7 显然，作为从l 到上 的序同态， r = p ，由定义p ：l x 专l 7 是f 紧商序同态，所以 l l 内蒙古师范大学硕上学位论文 r ：i 。p ：专l y 是腰紧商序同态由题设条件知i ：专是紧商字同 态y g i i f _ p ：l x 专r 是凹紧商序同态，根据定理2 2 1 ，只需证明： ( 1 ) 对中的任意闭集f l y ，p 一1 ( f ) 是中的良紧闭集因f 是中的 闭集，由是良紧空间，故f 是r 中的良紧闭集但f 可作为中的集合在 中的逆像i - l ( f ) = f 由i 是腰紧商序同态知，f 是中的闭集，又由 r ：专是胆紧商序同态，r - 1 ( ，) 是中的良紧闭集，而p = r ，故 p 一1 旷) = q - i ( f ) 是中的良紧闭集 ( 2 ) 若b 是中满足条件p - 1 p ( b ) = b 的良紧闭集，则p ( b ) 是中的闭集 因为b = p 一1 p ( b ) 是中的良紧闭集，由p = r ，故b = r _ 1 ( p ( 曰) ) 是中的良 紧闭集，由j r 是f 紧商序同态，所以p ( b ) 是中的闭集，再由i l f 紧商序同 态，从而是连续序同态，p ( b ) = i - ! ( p ( 曰) ) 是中的闭集证毕 定理2 2 7 设是良紧空间，是凹拓扑空间，p ：l x 一是连续 满序同态，则p 为 紧商序同态的充分必要条件是：对任意 拓扑空间r 及 满序同态g ：专r ，当g 。p ：专l z 为连续序同态时，g 为连续序同态 证明必要性设p 为”紧商序同态，q 。p 是连续序同态，召是中的任 意闭集，于是p 。q - 1 ( b ) = ( g 。p ) 1 ( b ) 是中闭集，从而是中良紧闭集，故 q - i ( b ) 是l r 中的闭集，即q 是连续序同态 充分性设曰为中的闭集，由p 的连续性及的良紧性，知p 1 ( b ) 为l y 中良紧闭集反之，如果p 。( b ) 是的良紧闭集，仍以l 7 表示定理2 2 6 中所设 之空间，r = f 。p ：l x 寸，由l 7 的定义知r 是f 紧商序同态，当然也是连续序 同态由题设条件，i 是连续序同态，因为尺一( b ) = p 一( b ) 是中的良紧闭集，而 r 是 紧商序同态，所以b 是一l r 中的闭集，再由f 的连续性，所以一( b ) ：召是 1 2 第二章l - f u z z y 紧商序同态与l - f u z z y 紧商拓扑 中的闭集 综上所述，当且仅当p 一( b ) 是r 中的良紧闭集时，口是中的闭集，故p 是印紧商序同态 从定理2 2 7 的证明中可以看到下面的推论成立 推论2 2 8 设是良紧空间，是玎拓扑空间，p ：专是连续 满序同态，则p 是 紧商序同态的充分必要条件是：对任意腰拓扑空间r 及 满序同态g ：j ，当g 。p ：r 哼l z 为凹紧商序同态时，g 为连续序同态 2 3l f 紧商拓扑 设是 拓扑空间，r 是x 上的一个等价关系，p ：x _ 为自然投 射，则由p 可诱导出l 值历搠型函数p ：一彤现在在商集彤上有两个 职拓扑：一个是由r 决定的胆商拓扑，记为盯俾) ；另一个是由p 及上的 拓扑决定的胆紧商拓扑，记为c r ( p ) 由l f 商拓扑与 紧商拓扑定义： 盯( r ) ：垆弘- p t ( 曰) 是r 中的开集) 而盯( p ) = 徊彤：p 一1 ( 召7 ) 是中的良紧闭集) u 1 ) 在上述两种情形下，p ：l x 一三分别称为仃商序同态与腰紧商序同态 关于这两个拓扑之间的关系，我们可得到下面两个命题 命题2 3 1 仃( p ) c 盯( r ) ，但相反的包含关系不成立 证明由 商拓扑及l f 紧商拓扑的定义，证明是明显的相反的包含关系 不成立，反例如下 取x = ( o ，1 ) ，三= 【o ，l 】规定l x 上的拓扑盯= 彳：坛x ，彳( 工) 圭) v i x ) 显然( ，0 9 是，拓扑空问的闭集族f = 曰：协x ，b ( x ) 去) u o ) x 上的等价关系r 为：x r y ，当且仅当x = y ，即= x 自然投射p ：x 专实 内蒙古师范大学硕：l = 学位论文 际上是恒等映射f ：x x 此时彩上的三f 商拓扑仃( 尺) 与胆紧商拓扑仃( p ) 是：盯( 尺) = 仃，仃( p ) = 即：彳7 是中的良紧闭集) u l x ) 蚴加售二三器显然刮耽但胁( f ) 虽删= 售二三蹦是中的闭集，但它不是良糕 因舯叫1 ) 舯= 售芝誊涕不难验证叫即啦，1 ) ) 是 中的闭集族，且是b 7 的口= 号远域族，但不存在m 的有限子族仍是b 7 的口= 号 远域族故曰7 不是r 中的强f 紧集，从而也不是良紧集 于是包含关系仃( 尺) co - ( p ) 不成立 命题2 3 2o - ( r ) = 盯( p ) ，当且仅当是良紧空间 证明证明是明显的 在命题2 1 6 及推论2 1 7 中取】，= 时，有 命题2 3 3 设p ：专为 紧商序同态，则 ( 1 ) p 为闭序同态，当且仅当对中的任意闭集f ，当p ( f ) l x 时，v r e 工厂【r ，( f ) 】是中的良紧闭集其中 =缸x：，(x)厂)，【0(f)】表示rr(f) 0 ( f ) 的r 等价类即【0 ( f ) 】= 扛x ：3 t r ，( f ) 且根f ) ( 2 ) p 为开序同态，当且仅当对l x 的任意开集b ，当p ( 曰) o x 时，砒( 厂v 【参( b 7 ) 】) 是中的良紧闭集其中专( b 7 ) = 缸，7 ( d 厂) c x ，v b 嘭( 曰j ) 】是量( 曰7 ) 的r 等价类 证明只证( 1 ) ，( 2 ) 的证明类似 根据命题2 1 6 ，p 是闭序同态，当且仅当对l 并的任意闭集f ，p 。1 p ( f ) 是 中的良紧闭集，或p ( ，) = l 由，集的分解定理f = v ，e 上，( f ) ， 1 4 第二章l - f u z z y 紧商序同态与l - f u z z y 紧商拓扑 其中州耻骺x x 吲e r r ( 矿f ) ， 不难验证p q p ( f ) = v m 厂【r ，( ，) 1 ，得证 在定理2 1 9 中取】，= 时，有 命题2 3 4 设是j r i 空间，r 是工上的等价关系，如果坛x ，工的r 的等价类【x 】为有限集，则由协紧商序同态p ：一弘诱导的胆紧商拓扑空 间膨是互空间 证明由定理2 i 9 显然 定理2 3 5 设r ，r 是胆拓扑空间，r 是x 上的等价关系， p ：r 一彤为凹紧商序同态，g ：r 专也是f 紧商序同态，如果 印一1 ：一】r 为单值映射( 即觇x ，g ( b 】) ) 是y 中单元集) ，则 印一- ：彤一是腰紧商序同态 证明 首先注意这里的p ，q ，p - i , q p 。1 均是z a d e h 型函数，作为分明集之间的 映射p ：x 专，q ：工一】，我们证明砂】，q 一1 ( y ) 是x 中若干r 等价类的并 集事实上，坛q 一1 ( y ) ，y = g ( 力，p ( 功= 【x 】，由题设g 一1 p 的单值性并注意到 【z 】作为的元，其p 的逆像p 一1 ( 【叫) = 【x 】是x 中的子集( 即【x 】作为的元， 在x 中是集合) ，所以q p - 1 ( 【x 】) = g ( 【x 】) 是y 中单元集，又因为g ( j ) = y ，所以 g ( 【工】) = j ，即【x 】cg 1 ( y ) ，这样证明了砂y ，q 1 ( y ) 是x 中的r 等价类的并集 下面证明印一- ：寸是 紧商序同态，只需证明下述两点： ( 1 ) 若艿是中任意闭集，且b l ，则( 印一) 一，( 曰) 是彩中的良紧闭集 ( 2 ) v bl r ，若它在印一- 之下的逆像( 印一- ) 一- ( b ) 是中的良紧闭集，则b 是l 7 的闭集 ( 1 ) 首先证明对l 7 中的任意闭集b 1 ，有p 叫p q 一( b ) ：口叫( 曰) 注意到等式 内蒙古师范大学硕上学位论文 左右两端均为r 中的子集，只需证明v x x ，p 一1 p q 一1 ( 曰) ( x ) = q - i ( b ) ( x ) 令 y = g ( 功，根据z a d e h 型函数的运算法则，上式右端g - 1 ( b ) ( x ) = 曰( g o ) ) = 曰o ) ，上 式左端 p - 1 p q 。( b ) ( 工) = p q 一1 ( 曰) ( p ( 功) = p q 一1 ( 曰) x 】= p ( 脚) x 】= v b q ( t ) ：t x ，p o ) = 【x 】) 2 v f e f 工lb q ( t ) = 励( z 】) = 曰( 少) ；( 由前面所证，当g ( z ) = y 时，g ( 【x 】) = y ) 以上证明了p - 1 p q _ 1 ( 曰) = q - t ( b ) 因为q 是 紧商序同态，所以q - i ( b ) 是 中的良紧闭集，又由p 是l f 紧商序同态，p g 一- ( 口) 是膨中的闭集，且因 曰1 y ，p q 一。( 曰) 1 ，根据定理2 1 5 ，p q 一1 ( b ) 是崩中的良紧闭集，容易证明 ( q p - 1 ) 1 ( b ) = p q - 1 ( 曰) ，至此证明了l r 中任意闭集曰1 】，在序同态印一1 下的逆像 是彩中的良紧闭集 ( 2 ) v b l r ，及曰l y ，如果它在序同态印一1 之下的逆像( 印一t ) 一- ( b ) 为膨中 的良紧闭集，由( q p - 1 ) 。( 曰) = p q - 1 ( 曰) ( 由题设条件g 之z a d e h 型函数的运算法则容 易证明) p q 一1 ( b ) 是中的良紧闭集又由( 1 ) 中所证p - i 粥一1 ( 曰) = q - i ( 口) 及 p ：l x 专l 为f 紧商序同态，p q 1 ( b ) 1 x ，故知q - i ( 曰) 是中的良紧闭 集，再由q 是f 紧商序同态，知b 是l r 中闭集 综上( 1 ) ，( 2 ) 所证，知伊一1 ：l x 月- - l r 为 紧商序同态 注定理2 3 5 中的序同态印一- - l 专】，是满序同态，但不必是单一序同 态( 题设条件中的单值不是单一) 定理2 3 6 设，l r 是，拓扑空间，q l x _ l r 是f 紧商序同态，r 是x 上等价关系：_ ，z ：x ，x 。r x 2 当且仅当q ( x 。) ：q ( x 2 ) ，p ：_ 三是腰紧 商序同态，则空间l r 与，紧商拓扑空间彤同胚 证明 首先容易证明q p 一1 ：- - - y 是单值映射且是单一映射( 即 v 【_ 】，【x 2 】当i x l 】【x ：】时，q p 叫( 【_ 】) q p _ 1 ( 【t 】) ，应用定理2 3 5 ，知序同态 第二章l - f u z z y 紧商序同态与l - f u z z y 紧商拓扑 卵一，：彤一为l f 紧商序同态，由于印一1 是单一、满的序同态，则 ( q p 一- ) 一- = p q - i ：1 7 专弘也是单一满序同态，与定理2 3 5 证明类似，我们容易 证明p q 1 也是l f 紧商序同态因为l f 紧商序同态是连续序同态，所以 卵一：三j 与朋一- ：一彩都是单一、满的连续序同态，且互逆，故空间 与空间彤同胚 2 4l f 紧商序同态与l f 紧商拓扑是紧商映射与紧商拓扑的 三一好的推广 下面的定理将证明腰紧商序同态、凹紧商拓扑是分明拓扑中紧商映射与 紧商拓扑的一好的推广 定理2 4 1 设( ，缈( t ) ) 与( ，缈( 盯) ) 是分别由分明拓扑空间( x ，t ) 与 ( 】，盯) 生成的胆拓扑空间，p ：x 专y 是满映射，p ：哼是由p x 专y 诱导 的三值z a d e h 型函数，则 ( 1 ) 当仃是由p 及t 产生的紧商拓扑时，缈( 仃) 是由p2 及c o ( t ) 产生的腰紧 商拓扑 ( 2 ) 当国( 仃) 是由p 及c o ( t ) 产生的f 紧商拓扑时，仃是由p 及t 产生的紧商 拓扑 为证明定理2 4 1 ，我们先证明下面的 引理2 4 2 设( ，缈( t ) ) 是由分明拓扑空间( x ，t ) 生成的腰拓扑空间，则 ( 1 ) a l x 是闭集，当且仅当v 口肘( ) ，f 口( 彳) 是x 中的闭集，其中 f 。( a ) = x x o 彳( x ) 口) ( 2 ) a 是的强f 紧集，当且仅当v 口肘( ) ，吃( 彳) = x 或乙( 彳) 是中的x 中的紧子集 1 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( 3 ) a 是中的闭集，彳是良紧集，当且仅当彳是强f 紧集 ( 4 ) a 是r 中的闭集，么是良紧集，当且仅当v 口m ( 三) ，吃( 彳) = x 或l ( 彳) 是x 中紧子集 ( 5 ) a 是中的良紧闭集，当且仅当v 口膨( 三) ，乇( 彳) = x 或气( 彳) 是x 中 的紧闭子集 证明( 1 ) 是众所周知的，略 ( 2 ) 先设彳l x 是强，紧集，证明v 货肘犯) ，l ( 彳) 是底空间z 中的紧集，设 g i ：i i ) 是x 中f 口( 4 ) 的任意开覆盖，即v x r 口( 彳) ，存在某个i j ，使x g s 因x 仨g f 7 ，则x a z g , ，( 这里z 6 j ，是特征函数，且z g ，是r 中的闭 集，( x ) = o ) 又因工f 口( 彳) 等价于a ，故在( ，仃) 中，= z g ，：f ，) 是 a 的口一远域族由于彳是强，紧集，应存在的有限子族 z 矗，：f i o ) ( 其中j o 是j 的有限子集) 是么的口一远域族，即v xe r 口( 么) ，存在南厶，使矗苤z g j 口，于 是x 诺嚷，z 瓯，这说明 g i ：f i o ) 是f 。( 彳) 的有限子覆盖，所以f 口( 彳) 是x 中 的紧子集 反之，若口m ( ) ，t a ( 彳) 是底空间x 中的紧子集，证明a 是中的强f 紧 集设= 嘏：i i ) 是彳的任意口一远域族故v x f 。( 彳) ，存在i i ，使苤只， 即只( x ) 芝口因为只是r 中的闭集，即是x 上的值上半连续函数，所以 g i = t x ：c ( f ) 芝口) 是底空间x 中的开集，rx q 这说明 g ；：f ，) 是l ( 么) 的开覆盖，由气( 彳) 是紧集，应存在有限子覆盖 g i ：i i 。) ，于是 坛f 。( 彳) ，s i o i o ，使x g f 0 ，依g “的定义，气( x ) 芝口，这说明有的有限子族 只：i i 。) 是a 的口一远域族，根据定义1 2 1 3 ，所以a 是强，紧集 ( 3 ) 若a l x 为闭集，且彳是强f 紧集时，证明a 是良紧集 我们将用预备知识中给出的口一网刻画良紧集与强f 紧集的引理1 2 1 7 来 1 8 第二章l - f u z z y 紧商序同态与l - f u z z y 紧商拓扑 p ( x ，t ) 二二( y ，盯) 国上 上缈 1 9 内蒙古师范大学硕j l 学位论文 集亓i j g ( p 一1 ( 曰) ) = z x ：p 一1 ( b ) ( 石) 口) = 工x ：曰( p ( 功) 口) 由吃( 曰) = y 】，：b ( y ) 口) ，知 一 ， p 一1 ( 毛( b ) ) = p 1 ( y ) ：b ( y ) 口) = x x ：b ( p ( 工) ) 口) 所以毛( p - 1 ( b ) ) = p - i ( 毛( b ) ) 因为b 是中闭集，由引理2 4 2 ( 1 ) ，r a ( b ) 是】，中的闭集，当 吃( p - 1 ( b ) ) x 时，则p - i ( 乇( b ) ) x ，从而吃( 印y ，由p ：x 哼y 是紧商映射， 故p - 1 ( 乞( 曰) ) 是x 中的紧闭集 b v b r ，若p - 1 ( b ) 是中良紧闭集，证明b 是中的闭集为此，只需 证明v 口m ( ) ，乇( b ) 是y 中闭集因为p - i ( b ) 是中的良紧闭集，由定理 2 4 2 ( 5 ) ，v 口m ( ) ，毛( p 一( b ) ) = x 或l ( p ( 口) ) 是x 中的紧闭集，由木式， 毛( p - 。( 曰) ) = p 一( l ( b ) ) ，所以p - i ( 毛( 曰) ) = x 或p - ! ( 毛( 曰) ) 是x 中的紧闭集，由 p ：x 专】，是紧商映射，故l ( 曰) 是y 中闭集证毕 ( 2 ) 若缈( 仃) 是由p 及r e ( t ) 产生的腰紧两拓扑，证明o r 是p 及t 产生的紧 商拓扑 同样需要证明两点： a 设f 是y 中闭集，f y ，证p - 1 ( f ) 是x 中的紧闭子集因，是y 中闭 集，f y ，则所是中闭集且所l y ，由p l xj 是胆紧商序同态，故 p - j ( 所) 是中的良紧闭集，而p 1 ( 舴) = z p - l ，) ，x p - z ( f ) 是中良紧闭集任 取口肘( ) ，由引理2 4 2 ( 5 ) ，l ( 4 - l i ，) ) = x 或( 砟_ i ( 尸，) 是x 中的紧闭集， 而p 一1 ( ，) = 乇( z p j i ，) ，因p - i ( ，) ，故p 一( f ) 是x 中的紧闭子集 b v fc 7 y ，f y ，若p 一( f ) 是x 中紧闭子集证f 是】，中闭集 因p 一( ，) 是x 中紧闭子集，易证以- l ( ，) 是中的良紧闭集， 因p - i ( 所) = z p l f f ，所以p - t ( 舴) 是r 中的良紧闭集，由p ：l xj l f 紧商 n 第二章l - f u z z y 紧商序同态与l - f u z z y 紧商拓扑 序同态，故诉是中的闭集，从而f 是y 中闭集 至此，定理2 4 1 证完 定理2 4 1 还可用另一种方式表述如果p ：( x ，t ) 专( y ，o r ) 是紧商映射，我 们将】，上的紧商拓扑表示为盯= p ( t ) ：若p ：( ，c o ( t ) ) 专( ，缈( 仃) ) 是l f 紧商序 同态，我们将上f 紧商拓扑表示为缈( 盯) = p ( c o ( t ) ) ，则定理2 4 1 可表示为： 国( p ( t ) ) = p ( 国( t ) )