2010_2011江苏省常州市高三(下)期初数学试卷.doc

2010-2011学年江苏省常州市第一中学高三（下）期初数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）设集合 ，N=xR|mx2+4mx40对于任意的实数m恒成立，则 MN=_2（5分）函数的单调递减区间是_3（5分）若是纯虚数，则tan的值为_4（5分）已知数据a，4，2，5，3的平均数为b，其中a，b是方程x24x+3=0的两个根，则这组数据的标准差是_5（5分）已知关于x方程，其中、是非零向量，且、不共线，则该方程实数解的个数为_个6（5分）已知，若，则ABC为直角三角形的概率是_7（5分）在算法流程图中，令a=sin2，b=cos，c=sin，若在集合中，给取一个值，输出的结果是b，则的值所在范围是_8（5分）设平面，直线a，b，集合A=与垂直的平面，B=与垂直的平面，M=与a垂直的直线，N=与b垂直的直线，给出下列命题：若AB，则；若，则A=B；若a，b为异面直线，则MN=；若a，b相交，则M=N；其中不正确的命题序号是_9（5分）如图，已知F1、F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则=_；椭圆C的离心率为_10（5分）如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2，则AE=_11（5分）已知圆O的半径为1，圆心为（2，3），P为x轴上的动点，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则的最小值为_12（5分）已知函数f（x）=mx+knx（0m1，0n1，mn=1，kR）为奇函数，且；若g（x）=m2x+m2x2af（x）上的最小值为2，则a=_13（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”则圆x2+y2=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是_14（5分）用，三个字母组成一个长度为n+1（nN*）个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同例如n=1时，排出的字符串可能是或；n=2时排出的字符串可能是，（如图）若记这种n+1个字符串中，排在最后一个的字母仍是的所有字符串的种数为an，可知，a1=0，a2=2；则a4=_；数列an的前2n项之和a1+a2+a3+a2n=_二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且：（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sinC（1）若a=3，b=4，求的值（2）若C=60，ABC面积为求的值16（14分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BB1，AC1平面A1BD，D为AC的中点（1）求证：B1C1平面ABB1A1；（2）在CC1上是否存在一点E，使得BA1E=45，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由17（15分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为 ，左准线 l与x轴的交点为M，P为椭圆C上的动点（）求椭圆的标准方程；（）若P与 A1，A2均不重合，设直线 PA1与 PA2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值；（）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线18（15分）（2012营口）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区已知ABBC，OABC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）19（16分）设an是等差数列，其前n项的和为Sn（1）求证：数列为等差数列；（2）设an各项为正数，a1=，a1a2，若存在互异正整数m，n，p满足：m+p=2n；求集合（x，y）|SxSy=1，xN*，yN*的元素个数；（3）设bn=（a为常数，a0，a1，a1a2），数列bn前n项和为Tn对于正整数c，d，e，f，若cdef，且c+f=d+e，试比较（Tc）1+（Tf）1与（Td）1+（Te）1的大小20（16分）已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t）的切线方程；（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）kx+b对任意xR成立；（3）若f（x）kx+b对任意x0，+）成立，求实数k、b应满足的条件2010-2011学年江苏省常州市第一中学高三（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）设集合 ，N=xR|mx2+4mx40对于任意的实数m恒成立，则 MN=0考点：交集及其运算。766895 专题：综合题；综合法。分析：先化简两个集合，再根据交集的定义求出两个集合的交集即可得到正确答案解答：解：M=（1，0，N=xR|mx2+4mx40对于任意的实数m恒成立=xR|m（x2+4x）40对于任意的实数m恒成立=4，0故MN=0故答案为：0点评：本题考查交集及其运算，解题的关键是对两个集合进行化简，尤其是对N集合的化简，要根据不等式的恒成立判断得出集合为4，0，思维含量不小，极易判断不出或判断出错误结果本题比较抽象，题后应好好总结一下2（5分）函数的单调递减区间是考点：函数的单调性及单调区间。766895 专题：计算题。分析：先求函数f（x）的导数，然后利用导数小于0解得其单调减区间解答：解：f（x）=，令f（x）0得x且x2或xf（x）的增区间为（1，1）函数的单调递减区间是故答案为：点评：本题通过函数的导数探讨函数的单调性，同时考查了运算能力，是中档题3（5分）若是纯虚数，则tan的值为考点：复数的基本概念。766895 专题：计算题。分析：根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为0，虚部不为0，解出关于的正弦的值和余弦不等于的值，从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系，得到正切值解答：解：是纯虚数，sin=0，cos0，sin，cos，cos，tan，故答案为：点评：本题考查复数的概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件4（5分）已知数据a，4，2，5，3的平均数为b，其中a，b是方程x24x+3=0的两个根，则这组数据的标准差是考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数。766895 专题：计算题。分析：由已知数据a，4，2，5，3的平均数为b，其中a，b是方程x24x+3=0的两个根，可以建立关于a，b方程组，求两者的值，再有求标准差的公式计算出标准差解答：解：数据a，4，2，5，3的平均数为b，其中a，b是方程x24x+3=0的两个根，解得；这组数据的标准差是=；故答案为：点评：本题考查极差、方差与标准差，解题的关键是根据题高条件建立方程求出a，b的值以及熟练掌握标准差的求法公式，本题属于统计中的基本题5（5分）已知关于x方程，其中、是非零向量，且、不共线，则该方程实数解的个数为0或1个考点：根的存在性及根的个数判断。766895 专题：计算题。分析：先将向量 移到另一侧得到关于向量 =x2x，再由平面向量的基本定理判断即可解答：解：=x2x因为 可以由不共线的向量唯一表示所以可以由、唯一表示若恰好形式相同，则有一个解，否则无解所以至多一个解故答案为：0或1点评：本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任意向量都可由两不共线的非零向量唯一表示出来6（5分）已知，若，则ABC为直角三角形的概率是考点：几何概型；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。766895 专题：计算题。分析：本题考查的知识点是古典概型，我们根据 及kZ易求出满足条件的所有的k，然后分类讨论ABC是直角三角形时k的取值情况，然后代入古典概型计算公式，即可得到答案解答：解：由 及kZ知：k3，2，1，0，1，2，3，若 垂直，则2k+3=0k=2；若 与 垂直，则k22k3=0k=1或3，所以ABC是直角三角形的概率是 故答案为：点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解7（5分）在算法流程图中，令a=sin2，b=cos，c=sin，若在集合中，给取一个值，输出的结果是b，则的值所在范围是（，）考点：选择结构；正弦函数的单调性。766895 专题：计算题；图表型；数形结合。分析：由框图可以得出，此程序是一个选择结构，其功能是求出三个数中的最大的数，由于输出的结果是b，故三数中cos最大，由此得出的值所在范围解答：解：由题意，本程序输出的是三数在最大数，由于由于输出的结果是b，故三数中cos最大，即又在集合中，故有解得（，）故答案为（，）点评：本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出正确的不等式关系，再由三角函数的性质解三角不等式，得到的值所在范围，解三角不等式是一个难点，要掌握借助单位圆求不等式解集的方法8（5分）设平面，直线a，b，集合A=与垂直的平面，B=与垂直的平面，M=与a垂直的直线，N=与b垂直的直线，给出下列命题：若AB，则；若，则A=B；若a，b为异面直线，则MN=；若a，b相交，则M=N；其中不正确的命题序号是（1），（3），（4）考点：平面与平面之间的位置关系。766895 专题：阅读型。分析：当AB，这两个集合有公共元素，即两个平面有公共点，两个平面不平行，根据面面垂直和平行性质知（2）正确，若a，b为异面直线，两条直线没有公共点但两条直线有一条公垂线，若a，b相交时，两条直线也有一部分垂线不是共同的解答：解：当若AB，这两个集合有公共元素，即两个平面有公共点，两个平面不平行，故（1）不正确，根据面面垂直和平行的性质可知（2）正确，若a，b为异面直线，两条直线没有公共点但两条直线有一条公垂线，则MN，故（3）不正确，若a，b相交时，两条直线也有一部分垂线不是共同的，则MN故答案为：（1）（2）（3）点评：本题考查直线与直线，平面与平面之间的关系，是一个基础题，题目把位置关系同集合结合起来，题目比较新颖9（5分）如图，已知F1、F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则=0；椭圆C的离心率为考点：平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质。766895 专题：数形结合；方程思想；转化思想。分析：本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算，及椭圆的简单性质，由F1、F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，连接OQ，F1P后，我们易根据平面几何的知识，根据切线的性质及中位线的性质得到PF2PF1，由此易得的值，并由此得到椭圆C的离心率解答：解：连接OQ，F1P如下图所示：则由切线的性质，则OQPF2，又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点OQF1PPF2PF1，=0故|PF2|=2a2b，且|PF1|=2b，|F1F2|=2c，则|F1F2|2=|PF1|2+|F1F2|2得4c2=4b2+4（a22ab+b2）解得：b=a则c=故椭圆的离心率为：故答案为：0，点评：本题涉及等量关系转为不等关系，在与所求量有关的参量上作文章是实现转化的关键，还有离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a，b，c的关系式，最后化归为a，c（或e）的关系式，利用方程求解10（5分）如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2，则AE=考点：三角形中的几何计算。766895 专题：计算题。分析：设AE=x，则 CE=x，直角三角形BCE中，BE2=+2，三角形ABE中，BE2=x2+42x2cos45，故有 +2=x2+42x2cos45，解方程求得x的值解答：解：由题意可得，AC=BC=CD=DA=，BAD=45，设AE=x，则 CE=X，直角三角形BCE中，BE2=+2，三角形ABE中，由余弦定理可得 BE2=x2+42x2cos45，+2=x2+42x2cos45，解得 x=，故答案为点评：本题考查勾股定理、余弦定理的应用，得到 +2=x2+42x2cos45，是解题的关键11（5分）已知圆O的半径为1，圆心为（2，3），P为x轴上的动点，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则的最小值为考点：直线与圆的位置关系；向量在几何中的应用。766895 专题：计算题。分析：根据题意可得，当点P的坐标为（2，0）时，最小，利用两个向量的数量积的定义求得其最小值解答：解：要使最小，需使PA、PB的长度最短，求角APB最大故当圆心C（2，3）到P的距离最小时，最小当PA最小时，点P的坐标为（2，0），PA=2，sinCPA=，cosAPB=12sin2CPA=12=，=22=，故答案为 点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，两个向量的数量积的定义，求出点P的坐标是解题的关键12（5分）已知函数f（x）=mx+knx（0m1，0n1，mn=1，kR）为奇函数，且；若g（x）=m2x+m2x2af（x）上的最小值为2，则a=2考点：奇偶性与单调性的综合。766895 专题：计算题。分析：根据所给的函数是一个奇函数，得到函数的图象关于原点对称，且0的函数值是0，得到函数的解析式里的字母系数值，构造新函数，根据新函数的最小值得到字母系数的值解答：解：函数f（x）=mx+knx（0m1，0n1，mn=1，kR）为奇函数，且；f（1）=f（0）=0k=1，m=2，n=若g（x）=m2x+m2x2af（x）=g（x）=m2x+m2x2af（x）上的最小值为2，a=2故答案为：2点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，本题解题的关键是求出函数的字母系数，本题是一个基础题13（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”则圆x2+y2=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是考点：两点间距离公式的应用。766895 专题：新定义；分类讨论。分析：根据新定义直接求出d（A，O）；求出过圆上的点与直线 的点坐标的“折线距离”的表达式，然后求出最小值解答：解：设直线 上的任意一点坐标（x，y），圆上任意一点的坐标为； （cos，sin）由题意可知：d=|xcos|+|22xsin|分类讨论：a）xsin可知x1cosd=xcos2+2x+sin=3xcos2+sin3（sin）cos2+sin=sincos=sin（+）b）sinxcos解同上C）xcos解得，d圆x2+y2=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是1故答案为：点评：本题是中档题，考查新定义，利用新定义求出函数的最小值问题，考查计算能力，对新定义的理解和灵活运应是解好本题的关键14（5分）用，三个字母组成一个长度为n+1（nN*）个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同例如n=1时，排出的字符串可能是或；n=2时排出的字符串可能是，（如图）若记这种n+1个字符串中，排在最后一个的字母仍是的所有字符串的种数为an，可知，a1=0，a2=2；则a4=6；数列an的前2n项之和a1+a2+a3+a2n=考点：数列的求和。766895 分析：将递推公式为an+1=pan+qn的数列转化，在转化成an+1t=s（ant），再利用换元法转化为等比数列求解解答：解：由树形图得an+1=2nan=（）=（）数列an的前2n项之和a1+a2+a3+a2n=故答案为：点评：利用待定系数法，构造等差等比数列求通项二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且：（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sinC（1）若a=3，b=4，求的值（2）若C=60，ABC面积为求的值考点：余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；三角形中的几何计算。766895 专题：综合题。分析：直接利用两角差的正弦函数以及正弦定理与余弦定理化简表达式，（1）根据a=3，b=4，判断三角形的形状，然后求出的值（2）C=60，则a2+b2c20，推出a=bABC为等边三角形，然后求出的值解答：解：由已知有：有：即：（a2b2）（a2+b2c2）=0（1）若a=3，b=4，则aba2+b2=c2ABC为直角三角形，C=90，c=5，而（2）若C=60，则a2+b2c20，由（a2b2）（a2+b2c2）=0a=bABC为等边三角形，设边长为x，则x=2，点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，正弦定理，余弦定理的应用，以及向量的数量积的应用16（14分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BB1，AC1平面A1BD，D为AC的中点（1）求证：B1C1平面ABB1A1；（2）在CC1上是否存在一点E，使得BA1E=45，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定。766895 专题：证明题。分析：（1）证明 A1B面AB1C1，得到 A1BB1C1，又 BB1B1C1，从而证得 B1C1平面ABB1A1 （2）设AB=BB1=a，CE=x，求出 BE和A1E，在A1BE中，由余弦定理得到 =2ax，解得x的值，可知E是C1C的中点，故DEAC1，由AC1平面A1BD，可得DE平面A1BD，平面ABD平面BDE解答：解：（1）AB=B1B，四边形ABB1A1为正方形，A1BAB1，又AC1面A1BD，AC1A1B，A1B面AB1C1，A1BB1C1又在直棱柱ABCA1B1C1中，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1 （2）证明：设AB=BB1=a，CE=x，D为AC的中点，且AC1A1D，A1B=A1C1=a又B1C1平面ABB1A1 ，B1C1A1B1，B1C1=a，BE=，A1E=，在A1BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E22A1BA1Ecos45，即a2+x2=2a2+3a2+x22ax2 a，=2ax，解得x= a，即E是C1C的中点，DE分别为ACC1C的中点，DEAC1，AC1平面A1BD，DE平面A1BD，又DE平面BDE，平面ABD平面BDE点评：本题考查证明线面垂直，两个平面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、两个平面垂直的判定定理的应用，求出x的值，是解题的难点17（15分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为 ，左准线 l与x轴的交点为M，P为椭圆C上的动点（）求椭圆的标准方程；（）若P与 A1，A2均不重合，设直线 PA1与 PA2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值；（）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程。766895 专题：计算题。分析：（）设椭圆方程为 ，半焦距为c，由题意能够导出a，b，c，写出椭圆方程即可；（）设P（x0，y0）（y00），分别求出k1，k2的表达式，再求得k1k2为定值即可；（）设M（x，y），先由已知及点P在椭圆C上可得（321）x2+32y2=6，下面对的值进行分类讨论：当时，当时，其中再分成三类：一类是：当时，另一类是：当时，最后一类是：当1时，分别说明轨迹是什么曲线即得解答：解：（）由题得，设所求椭圆方程为；则有所以椭圆方程为（）设P（x0，y0）（y00），则，即，则，即，k1k2为定值（）设M（x，y），其中由已知及点P在椭圆C上可得，整理得（321）x2+32y2=6，其中当时，化简得y2=6，所以点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段；当时，方程变形为，其中当时，M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分；当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足的部分；当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想属于中档题18（15分）（2012营口）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区已知ABBC，OABC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用。766895 专题：应用题。分析：根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键为了方便解题，可以建立适当的坐标系，通过坐标之间的关系建立矩形面积与动点坐标之间的函数关系，利用导数作为工具求解相应函数的最值问题解答：解：以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）依题意可设抛物线的方程为x2=2py，且C（2，4）22=2p4，p=故曲线段OC的方程为y=x2（0x2）设P（x，x2）（0x2）是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|=2+x，|PN|=4x2工业园区面积S=|PQ|PN|=（2+x）（4x2）=8x32x2+4xS=3x24x+4，令S=0x1=，x2=2，又0x2，x=当x）时，S0，S是x的增函数；当x（）时，S0，S是x的减函数x=时，S取到极大值，此时，S=9.5（km2）而当x=0时，S=8所以当x=即，矩形的面积最大为Smax=9.5（km）2答：把工业园区规划成长为km，宽为km时，工业园区的面积最大，最大面积为9.5（km）2点评：本题考查函数模型的应用问题，首先要建立矩形面积的函数关系式，可以通过坐标之间的关系实现这一过程，对所找到的函数关系利用导数作为工具解决该最值问题，体现了导数在求解函数最值中的工具作用实现了实际问题的数学化19（16分）设an是等差数列，其前n项的和为Sn（1）求证：数列为等差数列；（2）设an各项为正数，a1=，a1a2，若存在互异正整数m，n，p满足：m+p=2n；求集合（x，y）|SxSy=1，xN*，yN*的元素个数；（3）设bn=（a为常数，a0，a1，a1a2），数列bn前n项和为Tn对于正整数c，d，e，f，若cdef，且c+f=d+e，试比较（Tc）1+（Tf）1与（Td）1+（Te）1的大小考点：数列与函数的综合；等比数列的前n项和；等差关系的确定。766895 专题：计算题；证明题。分析：（1）an是等差数列，可以用首项a1和公差d来表示前n项的和为Sn再将其代入的表达式，再用相邻两项作差的方法，得到相邻两项的差为常数，从而证出数列为等差数列；（2）根据（1）中的结论，先设（其中、为常数），从而Sn=n2+n将此式代入已知式中第二个等式，通过整理变形得=0，再结合结合首项a1=，得=，故Sn=n2然后利用此表达式将集合（x，y）|SxSy=1，xN*，yN*化简为（x，y）|xy=15，xN*，yN*，根据15有4个正约数，得到满足条件的数对（x，y）的个数为4个；（3）根据等比数列的定义证出数列bn为等比数列，然后证明等比数列的一个结论：当nm时，TnTnTnm=qnmTm利用这个结论，结合c+f=d+e可以证得（Tc）1（Td）1比（Te）1（Tf）1大，最后通过移项证得（Tc）1+（Tf）1（Td）1+（Te）1解答：解：（1）an为等差数列，设其公差为d，则，于是（常数），故数列是a1为首项，公差为的等差数列（2）因为an为等差数列，所是等差数列，于是可设（其中、为常数），从而Sn=n2+n因为m+p=2n，所以由两边平方得Sm+Sp+=4Sn，即得，于是，两边平方并整理得2（mp）2=0因为mp，所以=0，从而Sn=n2，而a1=，所以故Sn=n2所以（x，y）|SxSy=1，xN*，yN*=（x，y）|=1，xN*，yN*=（x，y）|xy=15，xN*，yN