（应用数学专业论文）临界增长的plaplace的p双调和方程的非平凡解.pdf

隘界增长的p - l a p l a c e 和p 一双调和方程的非平凡解 摘要 本文首先就临界增长的p - l a p l a c e 和p 一双调和方程的非平凡解这两方面近年来的 研究成果作了简单的叙述在此基础上，本文作者在更一般条件下对此作了一定的研究， 获得一些新结论 关键词：p l a p l a c e 算子；p 一双调和算子；临界增长；集中紧性原理；弱连续性 e x i s t e n c eo fan o n t r i v i a ls o l u t i o ni np - l a p l a c ep o b l e m sa n d p - b i h a m o n i cp o b l e m s w i t hc r i t i c a lg r o w t h a b s t r a c t i nt m sp a p e r ，t h er e c e n ta c h i e v e m e n t so fan o n - t r i v i a ls o l u t i o ni np - l a p l a c ep o b l e m sa n d p - b i h a r m o n i cp o b l e m s w i t hc r i t i c a lg r o w t ha r er e l a t e d o nt h eb a s eo ft h e m ，is t u d yt h ep r o b l e m o nt h em o r e g e n e r a lc o n d i t i o n ，a n do b t a i n s o n i cn e wo u t c o m e s k e y w o r d s ：p l a p l a c eo p e r a t o r ；p - b i h a r m o n i co p e r a t o r ；c i r i t i c a lg r o w t h ；c o n c e n t r a t i o n c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ；w e a k l yc o n t i n u i t y 第一章近年来临界增长的p - l a p l a c e 和p 一双调和方程的非平 凡解的研究进展 1 1 关于本艾中的一些标记 为了方便讨论，特作如下记号： p 4 = 志( 2 p 2 ) ；舻惫( p 1 ) ) z + = 是( 4 ) ；z + = 篙( 2 ) ； e l = 哪。( q ) ；e 2 = 孵巾( n ) ；q 是r 。中的光滑有界区域 i i ui i 。：= ( w l ，d z ) 1 7 ；i lu i i 。= = ( 二i u l ，如) 1 7 9 ；l | ui i 。，( 。) = = ( 。：l u i d 。) 1 7 9 ； b p ( x o ) = u r 。i i z x o i p ) ( p o ) ； b ；( o ) = “e l l | | u1 1 1 _ p )( p o ) ；b ；( o ) = “玩li l u1 1 2 _ p ) ( p o ) ； r “ f ( 。，t 正) = ，( 。，t ) d t ，茁n ，u r ； j 0 “。马u 在n 中指u 。在q 内一致收敛到u ； “。- + “在n 中指u 。在n 内几乎处处收敛到u ； u 。叶u 在l 9 ( n ) 中指“。在口( n ) 内收敛到u ； p 。与p指测度脚依测度收敛到肛； “。一u 在l p ( n ) 中指“。在p ( n ) 内弱收敛到u ； 韪2 锗i n f ( 口v 岬a z ) ( 肼z ) 1 冲忙嚣i n f ( 厶v 衅如) ( 加如) 。 岛2 尝( 厶酬出) ( 肼) 1 加m 罢( 厶叩z ) ( 加如) 。 1 2 近年来关于临界增长方程的非平凡解的研究进展 关于有界区域上非临界的非线性、拟线性方程解的存在性、正则性等问题，早就得 到了很好的解决。但对于带临界项的非线性、拟线性方程，则因为临界项使原来日。q l 。( n ) ( 1 0 4 利用一在n 中的第一特征函数，推出，( z ，u ) 满足存在u o 础( q ) ，“o 0 使得 s u p i ( t u o ) 0 ，使： ( i v ”2 - - a ( 刮”1 2 ) 如卢上”1 2 如；怕嘲( n ) ； ( 4 ) 存在n 中的非空开子集w 和函数，( u ) 0 ，使得 ，( 茁，u ) ，( u ) 0 ( ，o r e 茁i e o ) ， 黔厂( 嵩) 。v 2 卜o 。； 。味。0 f ii 南)r 。如= + 叫 此时方程一 有解。 随后他在该文中还给出了其他的一些推论。 朱熹平1 9 8 6 在文 2 中讨论了方程( 1 4 ) 非平凡解的存在性：( 1 p 2 ，条件阳，一叫，俾砂成立，且存在n 中的非空开q - 集w 及非空开区 间( e 1 ，e 2 ) c ( 0 ，+ 。) 使得 ，知，钍) 0 ，v z w j u 0 ； ，( 。，u )盯 0 ，v z 矸u ( e 1 ，e 2 ) 则方程“圳存在非平凡解 推论1 2 假设n = p 2 ，条件倒，一砂，( i i i ) 成立，且存在n 中非空开集和p 0 ，a 0 使得f ( x ，“) 0 ，一z m u 芝o j ，还假设下面条件之一成立 ，( z ，u ) 芦“p 一1 ，v 茁i e t 上 0 ，a 或者 ，( $ ，u )p t 土p 一1 ， v z i e “c a ，十o o ) 则方程以利存在非平凡解 推论1 3 假设p n 0 ，有： f ( 。( 。) i v 。r 一6 ( 。) i u i ，) d z 万 v 。严d z ，v u e 1 ； 若b ( z ) l o 。( n ) ，o ( z ) n 0 ，且有： 上( n 如) i a ”1 9 山( 蚓呐i 如 - 卢i o l ”p 岫v u 翰 成立，则存在万 0 ，有： ( o ( ) i 叫9 一b ( x ) l v ) d z 万j ”r d x ， v u e 2 ； j nj n 证明：我们证明第一个结论，第二个结论的证明完全相同。对于v u 曰l ，e 0 ，有： 五( 。( 刮v u l 9 山( 训”n 出= r 毛 五( 。如) i v ”1 9 山( 删叫9 ) d 外e 上。( 圳v 训d z e 五b ( 圳叫9 d z r 1 矗 e 厶。( 圳v ”r 如十五( 卢一e b ( z 圳u r 如 因b ( x ) l 。( q ) ，故可取e 足够小，使卢一e b ( x ) o ，q ，则： 厶( 。( 圳矾i kb ( 圳卵) 如最以v 卵峨v ”玩j n1 十ej n 取妒( 铲( q ) ，o s 妒l ；妒( b 1 2 ( o ) ) = ( 1 ) ；妒( r 1 ( o ) ) = o ) ；l v 妒( z ) lsg ；f 妒0 ) j c ；对于 0 及z r 定义恍d = l p ( 扛一唧) 肛) ，其中巧r 。 引理2 3 对于1 p n 时，任意“e l 有； 厶。问墨掣( 厶l v 妒l 器a z ) 警五。一v u 对于l p n 2 时，任意e 2 确： 加棚扩蜒掣( 加咿i 翔z ) ”k 。一出 小酬鲥( 0 酬高a z ) 铲k 。出 证明：我们证明第二个结论，第一个结论的证明完全相同。根据s o b 。l e v 不等式及h 6 l d 8 。 不等式，可得 r r , v u v 忱, j = 上删嘎1 v 妒( 孚胪出 、一 f j ，b , ( x j ) v m 胪协1 p r , , f p ( k ，l 可妒( 孚) l 嚣d z ) “ 曼即厶雠) 1 p d x a - p s n ( 加劬) i 巍”) “ = s _ 1 ( 厶，l v 妒l 云鸶出) ”厶如严衅出， 小陬扩如；胁唧恻竿胪如。 ( 她出胪如) p p * e - 2 p ( 厶如，孚，岛a z ) 矿 ；s ，厶幽p 删，出矿2 p 学。( 厶。脚( 洲离d ) 甲 = s 1 ( 厶。i 妒f 毒苦出) y 厶出u 9 出 引理2 4b r e z i s l i e b 设厶- ，在n 中，且1 1 厶 i l ，( n ) 墨a o 。；n = 1 ，2 ，3 ，1 p o o ，则： 。l i r a 怖n ) 一i l 一川剖州) 证明：见【1 0 。 口 引理2 5 设 。) ce 1 “e 1 ，l i “。一致有界， 1 p ，且： 1 v “艚。v u n i v u ：。v u ) ( v u n v u ) 出_ o _ 。 则存在子列u 。_ u 在n 中( k _ 。) 。 设 u 。) ce 2 ，e 2 ，l u 。1 1 2 一致有界， 1 0 ，当 k 时， ( u ( z ) ) t 坚坚学生，因a 0 ) 严格凸，贝4d a ( v b ( g ) ) 一d ；a ( ( z ) ) d i a ( 兰垒 生) 一d a 如( 茁) ) 0 ，( n 4 扣 ) ) 一现4 如( z ) ) ( ( 0 ) ) t 一如( z ) ) i ) 0 ，同理当v j 0 ，由u + 口扛) 知： ( d a ( v 女) ) 一d a ( ( z ) ) ( ( z ) 一 ( z ) ) 0 ( k - o 。) 则矛盾。 当v k ( z ) - + 0 0 时，同理可以得到矛盾。因此存在子列u 。 “在n 中( 女_ + o 。) 。 口 引理2 6 若 n ) c 三7 ( n ) ，且f fu 。f f l ，( n ) 一致有界，u 。_ 在q 中i 则存在子列 。一v 在l 7 ( n ) 中( 7 1 ) 。 证明：先证v 妒c 矿( n ) ，有：恕如( ”。一u ) 妒如= 0 。 因”。 u 在q 中，则有t v e 0 ，j 叱cn ，使： m e s q 啦) e ，且有：马u 在n 。中 又因 v - v ) 妒d z 厶，n 一圳咖l 如+ 厶。，。一u i i 币l d 。 厶、o n 一训妒( 厶、挣一叩出) ( 厶、 奇如) 孚s g e 孚 故： 。概协刊岫卜撬五，。一u i i 妒l d z + g s 孚= g s 早； 令_ 0 + ，则有：，溉如( 一u ) 妒如= 0 。 因j f ”ni l l ，( n ) 一致有界，则存在子列”。一u 在l 7 ( n ) 中 故v 妒帮( q ) ，有：熙f n ( v t u ) 妒出= 0 故有：”= u 在n 中几乎处处相等； 则命题成立。 对后面问题中的非线性项，”) ，本文一般作如下假设 ( f 1 ) ，( z ，“) ：矗r 十r 连续；，( 。，0 ) = 0 ； 7 口 【f 2 ) 存在a ( 。) l 8 7 ”“( 吼i i a ( z ) i i l t m a ) f n l2a ，其中1 s o ，使得关于。q 一致地成立 c - c l l i 。r a 啷i n 糍 l i ms u ，糍 o ，| 6 0 ，使得 ，( z ，札) s ( 。) 1 u 1 5 2 “十( 6 ( 。) + e ) 1 让| 一2 “ ，( 。，“) a ( 。) i u i5 2 u + ( b ( x ) + e ) f u 严一2 “， 当0 兰u d 时， 当一d u 0 时 故当川d 时可得 聊，“) 半 i + 竽川一 由条件( f 3 ) 我们也知道存在k 0 ，使得当u k 时及当u 一k 时分别有 ，和，) ( c 2 ( 口) + e ) i “1 2 2 札及，( z ， ) ( c 2 ( 。) 十e ) l u l 2 2 u ， 故当川k 时，我们得到f ( z ，“) ( c 2 ( z ) + e ) l u i 。女再利用条件( f 1 ) ，可知存在g 以及 对于p s 护玉k ，存在c k 。0 使得如下不等式对所有的u ( 一。，+ o o ) 成立 ， ，u ) u ( c 2 ( x ) + s ) l u l 2 + ( 鼍， 弛半l u 卜学一+ ! 学川t + 彬i 同理由条件( f 1 ) 和( f 3 ) 可知对于“( 一o 。，+ 。) 有 ，0 ，“) ( c l ( z ) 一) i u i 。一q ， m ，“) 警 川一倪 v a 0 ，由条件( f 4 ) 知存在m 0 ，当l uj m 时，有 ；，扛，“) u f ( x ，u ) 一a l u f 又由条件( f 1 ) 可得，对于n ( o o ，+ 。o ) 有 ；m ，u ) u f ( x ，“) 芝一a 坩一g 8 m 埘 固脚 印 但但 口 互 引理2 7 当“。一“在肠a = l ，2 ) 中，玎“满足条件f 以，、f 瑚八f 朋时，其中当 i = 1 时，k = p ，j 当i = 2 时，k = p + ，则存在子列，不妨仍设为 “。) ，使： i “。产。“。一l “l k2 u 在( l k m ) ) + 中 ，扛，u 。) 一f ( x ，“) 在( l k ( n ) ) + 中 证明：因u 。一u 在e 。中，故对于任意l 0 ，使得对于任意u 毋“= l ，2 ) 有： ( 。( z ) i v 4 u r 一6 ( $ ) i u p ) d z p i - 1 9 d x j nn 我们得到的主要结果如下： 定理3 1 设条件f w ，一弼，l 见第6 页j 以及阻 ，似印成立p l 时江1 ，k = p l j 则存在常 数j 0 ，使得当a o 时，将( 2 4 ) 代入( 3 2 ) ，( t u o ) 石t p 居( 刮v u 。i ，出一等詹- ( z ) 一刮u 。i m 如一q i n i 取e = c l 2 ，由条件( f 3 ) ，( a 1 ) 则有： 邢u 。) 了a 2 t p 以v “。1 9 如一i c l t _ p * 以“。i m 如一g n i ； 当t _ o o 时有：i ( t u o ) _ + 一。，故存在t o 0 ，当t t o 时，i ( t u o ) 0 故对于( 3 4 ) 中的p o ，a o ，任意某个固定的u o e l 且“o 0 ，可取正数t 足够大使 i ( t u o ) o ( 3 5 ) 由山路引理形式的e k e l a n d 变分原理，我们知道存在序列 “。) 箍。ce 1 使得当n _ 。时 i ( u n ) _ c o ， ( 3 6 ) ，协n ) 0 在研中( 3 7 ) 引理3 2 上述序列 u 。) 在e 1 中有界 证明：既然，( “n ) _ 0 ，我们不妨设咿( u 。) i i l 1 因此根据( 3 6 ) 和( 3 7 ) ，当。_ 。时， 我们可写( “。) = 。o + d ( 1 ) 及( ，( “。) ，u 。) 一 i 1 1 1 ，故 。o + 。( 1 ) + ；1 lu n1 1 1 i ( u n ) 一；( 7 ( “n ) ，t z n ) = ( ；一1 ) o n ( 刮v u 。i ，出+ 正 ；，( 。，“。) u n - f ( “。) 7 如；( 3 在( 2 4 ) 中取e = c l 2 ，再一次利用( 3 6 ) 和条件( f 3 ) 有 ；f na ( 刮v u 胛如= j ( u 。) 十二f ( z ，“。) 出= c o 十。( 1 ) 十五f ( z ，u n ) 出 去上( c ，( z ) 一詈) i u 。i p * d x - c ( 吲+ 1 ) ( 3 9 ) i c lf n l “n p 如一g 在( 2 5 ) 中取o = ( 日一p ) c l 4 0 p + ，将其代入到( 3 8 ) 式并利用上式可得 ( ；) 五n ( 刮v “n f 9 如一五川“舻+ + c ， d z 詈( ；1 一i 1 ) n 1 1 ：- c i 吼 由此便不难得知 u 。) 在e - 中有界 引理3 3 对于序列 u n ) 罢l ，存在子序列r 协记为 。) 是l j 及“e l ，使当n 斗o 。时有 v u n _ 十v u在n 中 l v u 。f 9 v u 。一i v u w v u 。在( 妒( n ) ) + 中 证明：因 u n ) 黑1 在e 1 中有界，则存在子列，不妨仍设为 u 。) 忍。，u e ，使得 u 。一u在局中 n - u 在l ( q ) 中( 1 0 ，记n 。= 扣q l d i s t ( x ，x i ) ) 选取 r 0 使得q c b 咒( o ) ，因j 有限，则可选取e 0 使得诸球b 。( ) ( j = l ，2 ，m ) 互不相 交，且u 饕1 b s 。( ) cb r ( 0 ) ，对于。r ，0 0 ， l i e m 。s + u p n l - + i r a o 。2 e 口， 其中? 是与a 无关的常数现在我们可以估计( 3 2 4 ) 式中的其余项，对每个j t ，由 五 警f v 叫一即胁慨蛇五( 警j v 叫，一孔。) 如一如 2 ( ；一；) 五。( 圳v u 鸭，如；，一最+ ； ，( 。) ，。魄j ) ( 。) 1 4 由测度的性质以及测度弱收敛的性质不难得到 。l i ，m 。+ 。l i + m 。f n n ( 。) i v “。1 9 妒。，d 。 。l i 加r a + f n 口( 。) 妒e ，j d p 28 扣j ) 弘j 联合以上诸式，在( 3 , 2 4 ) 式中先令n - 0 0 ，再令e _ + o ，最后令口斗+ o 再由( 3 1 7 ) 、 ( 3 2 0 ) 式和条件( a 1 ) ，则有 ( ；一；) 驴加，( ；一舻n ? c 声 慨z r ， 另一方面，由山路引理的几何条件及定理3 2 的条件知： 。 s 踟u p 球训 0 ) 1 5 黔晔z 5 一气( 嵩) 学卜虻悯 则方程似，有非平凡解 注记1 其实从下面的证明中我们可以看到本节的假设“在问题( 3 1 ) 中a ( x ) ii ”并非 是必要的，o ( z ) 只需满足第二节中的条件( a 1 ) ，并且在w 中恒为常数a ，则定理3 3 的 所有结论仍然成立 证明：令： 2 百品褊；地2 瓜蒜；( 3 。s )2 西砑而面而历；地2 吒丽； ( 3 2 8 ) 利用文 1 的方法或类似后面的估计易知：当e _ o 十时： i iv ”e i 巴，( r 一) = s 1 + o ( 盟笋) ；i i ”。j l p l 。( r 。) = 1 ；i i ”。| 埕，( r ，) = 。( 1 ) ； ( 3 2 9 ) 由( 3 2 ) 知： 坤叫= 吾以v 计如一廖t v 。) d x ； ( 3 3 。) 由前面的推导知：当t _ + 十。时，i ( t v 。) _ 一。，则存在t 。0 使：，( 。叱) = s u p z ( t ) ， 且有： t ) u 磊d ，( 如圳e t 。= ( ，( k ) ，) = 瑶- 1 以v 魄1 9 如一厶( 。，) 地出= o ； ( 3 m ) 由条件( f 1 ) ，( f 2 ) 可得类似于( 2 2 ) 的关系式，取k + = p + ，代入上式有： 正i v 仇1 9 如= 詹( z ，如班) k s 以6 ( 。) + 刮1 9 如+ q 瑶+ 以i n 如； 取一万2 岛，注意i i 嵫+ f r 。1 = 1 ，再由条件( a 2 ) 和引理2 2 有： ；五| v 计id z 。； ( 3 3 。) 故t s 有正下界。令：k = 如f v i 如，因护k p c 2 t p t p + 在 o ，+ o 。) 上，当t ：( k c 2 ) i 0 + 一p ) 时有最大值将( 3 3 0 ) 中的t 换为t 。，再由条件( f 1 ) ，( f 5 ) ，( 3 2 9 ) ，有； 拯一磐一厶 f ( x ，t e v e ) 一鼢计i + d x 玉( ；1 一去) c 声谤一肛池叫出 ( ；一去) 乒s 产+ 。( s 学) 一彦他出； 由定理3 , 2 易知：当下式成立时，方程有非平凡解： 。味蜂毪萨= + 。 1 6 因妒( 。) 0 为增连续函数，又由地的定义和( 3 2 9 ) ，( 3 3 2 ) 可知 妒( k u 。) 妒( g 1 畦舢一u 。) 妒( a 。) = 心 塑蛐 ( e + l x l p ( p 一1 ) ) ( 一p ) p8 ( n - - p ) p 2 尸( 毒端) 故有： 胁以眦k 埘妒( 两篇) 如； 利用文 1 中的方法易知由条件( 皿) 可推出上式，故定理3 3 成立。 为得到下面的结论，我们首先作一些准备工作： 取机( z ) = 妒( 2 e 1 。) ，妒( z ) 同前，0 a ( p 一1 ) p ，o 待定。则l v 九( z ) isc c 又令 口 u e = 百翥骞丽；一蠢；( 3 s 。)2 百酉嵩渺；。瓜蒜；( 3 删 现来估计：l l v u s 嵫( r w ) 、i iu e 嵫( r n ) 、i u e 哆( r w ) 的值。首先估计| | v u e 慨( r “ v u 。( z ) = 1 1 + 2 ；其中： 并九( z ) h 罄。 忙+ x l v ( p 1 ) ) p 里垒堕 忙+ ) z l v ( p 一1 ) ) ( n - p ) l p 胁9 出= ( 等) 9 厶篇扣( 等) 9 厶南如 一( 万n - p ) 9 阻。、 z l 者 b ( o ，e a ) ( e - 4 - i 。i p 扫一1 ) ) ”出十r n z ( o , 。蔫叫 其中右端后两项可估计为： 。( 再p - 1 ) t k 。蔫出k 。 = s 宁k 池。叫志旬鲰学詹r 昔_ 打 ：g 。学卜昔 6 一：c e 型p - 1n ； l j + 。 ，s a ) 忙+ i z l p l ( p 1 ) ) ” 厶j j l d z = 2 正。，。n b 。，。 ，z i 如厶。，。，、口。，。i j i ：i f ；：；。：；i i 巧a z c _ j + 譬如：c e 岩a ； (3，34)j b ( o ，2 e o ) b ( 0 ，e n ) 、 因而有： 厶v 叫刮出2 厶j 厶+ 如阳z 2 厶j 严出一厶、即尹川9 如+ 厶即一严十如严出 、尸，d 、 j 卜+ 。卜静j ；( 3 3 5 ) 南 再 ， v 厶 宁= 厶j u 。c z ，p + d z = 厶。( i ；：i i ：i 南) + d z 一厶。、b ，。，( i ：i i ：i 扣) a z + 厶。、日，。，( i ；：i i ：i ) + a z ； 其中后面两项可估计为： 0 0 ，q 中的非空开子集彬和单调递增的连续非负函数妒( “) ，使得： 妒( “) 茎f ( 。，u ) 一孑j “i p 。 ( v x i eu 兰 彳) ，妒( o ) = o ； 定理3 4 假设y ( x ，“) 满足条件f 兀j ，( f 2 ) ，俨剐，似j ，( f 5 ) 和似别，且( f 5 ) 中的妒( “) 满足如下条件： ， 黔瓣f 鼍( 蒜) 学卜把悯 则方程阳， 有非平凡解 证明：取仇如上面定义。 同上可知：存在如0 使： j ( 屯吨) = s u p i ( t v 。) ，屯有下界，( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) 仍然成立。 仍令k = 如f v 魄( z ) 1 9 d z ，同上可知： 池，( ；一去) c 声庐一厶胁伽卜叫，d x ； p 、 志 r 一圳 取w m = z ew i l t 。( 。) m ，且u 。( $ ) o ) ，显然l w m l = d ( e “) ，又由f ( x ，“) ，妒( “) 连 续，条件( f 1 ) ，( f 5 ，) j ( 3 3 7 ) 知当e - 0 时： 邢艇) ( ；1 一去) c 声诂办他a 叱池) 如l m f ( x , t e v e ) 一铲+ 卜 5 ( ；1 一i 1js i v 南一办他如+ 。) ； 其中一r 划n ( 塑p 一等p a ，删= 一l l 当0 o ，万 0 ，q 中的非空开子集眦和单调递增的连续非负函数1 】f i ( “) ，使得t 1 】f i ( u ) f ( z ，“) 一( 景一口) i u i “( 忱wu m a - m ) ，o o ，9 ( 。，o ) = o ，。商警毛= 0 ，关于z n 一致地成立，g ( 。，u ) 连续且满足第三节中条 件( a 2 ) 。即将i ( x ，u ) 的临界项和非i i 缶界项分开，并且临界项的系数为常数，这是我们 1 9 a 等 一 学 常讨论的一种。显然这个方程满足定理31 中条件( f 1 ) ，( f 2 7 ) ，( f 3 ) ，( f 4 ) ，( a 2 ) 。 若存在9 ( “) 0 ，n 中非空的开子集w ，使当z 比u20 时，g ( z ，u ) 9 ( “) ；且有 黔h 学厂毫i f 嵩一扩，一叫 l 、 7 j 其中：g ( u ) = 臂g ( 0 d t 。 则易知方程满足定理3 3 中条件( f s ) ，( 皿) ，其中c 2 = c ，币( u ) = g ( u ) 故方程有非平凡解， 这正好是定理1 3 ，则必有推论1 1 ，1 2 ，1 3 下面例2 一例4 在如下假设下讨论：方程3 1 中：f ( x ，u ) = h ( x ，“) i u l 舢q u + g ( x ，“) 9 ( 。，u ) 同例l ，如( z ， ) 连续；撬h ( 。，n ) = c = c 2 o ，关于。n 一致地成立， 则方程显然满足定理3 3 中条件( f 1 ) ，( f 2 ) ，( f 3 ) ，而且易证满足条件( f 4 ) 。 例2 ：若存在9 ( “) ，q 中非空的开子集w ，使当z 暇“0 时，9 ( 。，u ) g ( u ) ； ( z ，u ) c o ；且g ( u ) 满足例l 中的条件。 则同上可知方程有非平凡解。同理有类似于推论1 1 ，1 2 ，1 3 的结论。但这个结论比文它们 的结论强，因为对于临界项的系数可以不是常数，只需是满足一定条件的函数。而且对 于一般函数的讨论，我们可以将之分为两部分，分别考察l 临界项的系数部分和非临界项 的部分。 同理有下述结论： 例3 ：若存在9 ( “) 0 ，m 0 ，n 中非空的开子集w ，使当z 彬u m 时： g ( z ，u ) 9 ( u ) ；h ( z ，u ) c o ；且有： 黔籍f 瓮( 嵩抖妊悯 l 、 7 j 方程则有非平凡解 现给出更具体的例子，存在m o ，l 高：；胥寻，q 中非空的开子集w ，使当z 彬u m 时：h ( x ，u ) c 0 ，9 ( z ，u ) 卜1 容易证明方程满足上面的条件。( 易知 高! 粥斋与 0 ，q 中非空的开子集w ，使当0 0 ，c 万 o ，1 两司m ( 。n 霄2 p 雨= 可，q 中非空的开子集w ，使当：0 o ，g ( x ，u ) ( c 一口) u h 时，容易证明方程满足上面的条件。( 易知阿司r ( a 。n 2 7 1 耵= 玎 p + ，说明此条件是有意义的。) 第四章一种临界增长p 一双调和方程的非平凡解 4 1 简介 含临界指数的p 一双调和方程非平凡解的研究尚不多见，对于某些特殊问题的讨论， 可参见【8 ，至于一般的情形未在文献中查到我们对于带临界指数的p 一双调和方程的 边值问题( 见方程( 4 1 ) ) 的处理方法，也是使用b r e i z 的证法，但此方法中第4 步需利用 2 在q 中的第一特征函数( 见马) ，即达到s o b o l e v 嵌入蜕9 ( r ) l 三矿( r ”) 最佳常数 s 3 的函数来构造逼近函数，从而推出，( z ，u ) 需满足的具体条件。但除了p = 2 的特殊情 形外，此函数无显性表达式 1 1 ，其中1 p 0 ，使得当a 0 时，将( 2 4 ) 代入( 4 2 ) 可得 j ( t u o ) 吾五。( 删u 。如一等上( c - ( z ) 一刮u 。r 如+ q 吲 取e = c ：2 ，由条件( f 3 ) 和( a 1 ) ，( t u 。) 了a 2 t p 五i 蚓9 如一等五r 出+ g f n | 1 当t _ c o 时有( t u o ) 斗一。故存在t o 0 ，当t t o 日寸，( 地o ) 0 ，且t u o 掣b 磊( o ) 因此我们得到对于( 4 4 ) 中的p o ，a o ，任意固定的“o e a 0 ，取正数t 足够大使得 ，( t u o ) 0 根据山路引理形式的e k e l a n d 变分原理， u 。) 器1c 毋使得当n _ o 。时 ，( n ) - - - + 。o ， ，( “。) + 0 在彤中 ( 4 5 ) 我们知道存在序列 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 引理4 2 序列 “。) 。o o ：1 在e 2 中有界 证明：既然( u n ) 叶0 ，我们不妨设咿( u n ) l l z ；s1 因此根据( 4 6 ) 和( 4 7 ) ，当n _ 。 时，我们可写，( u 。) = c 0 十o ( 1 ) 及( j ( “。) ，u 。) 一ij “。故 c o + o ( i ) + o l i “。| | 2 ( “。) 一；( ，7 ( “。) ，u 。) = ( ；一；) 上。c 蚓u 舻如十五 ；，c z ，“。) u n - f c z ，u 。) 如h s ， 2 2 ；上n ( 。) i a u 舻如= m n ) + 上砷，d 。= c o + 0 ( 1 ) + f f ( 训枷z 专厶( c ( 。) 一詈) l u 。如一c ( 1 n l + 1 ) ( 4 剐 2 参五l i 旷出却 在( 2 5 ) 中取a = ( 日一p ) c l 4 0 p + ，将其代入到( 4 8 ) 式并利用上式可得 c 。+ 0 ( 1 ) + 知u 删。( ；一；) 二n ( z ) 1 a “。i r 如一+ e a i u 。i ，+ 。 如 竽( ：一百1 ) 刘g 卅吼 由此便不难得知 “。) 在e 2 中有界口 引理4 3 对于序列 ? a n ) 罢】，存在子序列伪记为 u 。) 罂，j 及u e 2 ，使当n _ o 。时有： 叶a u在n 中 i “。i 一2 “。一i , u l p 一2 “。在( 驴( n ) ) 中 证明：因 “n ) 。o o ：1 在e 2 中有界，则存在子列，不妨仍设为 u 。) 墨。，“e 2 ，使得 u 。一在岛中 n _ 在埘 ( q ) 中( 1 k p + ) un-+“ 在l ( q ) 中( 1 0 ，眈，忱( 。) 的定义同第三章由魄的 性质，利用引理2 3 同上可知：( 魄u 。) 在如中有界，且界与s ，j 无关因此不难看出 ( ( “。) 一，( u ) ，( u 。一u ) 也) = o ( 1 ) ( n _ 。o ) 另一方面 ( j ( “n ) 一，( u ) ，( n u ) 机) = 如扛) ( 1 u n | p 一2 u n i a “r 一2 a u ) ( u n 一“) 饥d 。 + 2 。( 石) ( 1 “。i p - - 2 a 札。一i a u l p 一2 a u ) v ( u 。一让) v 妒。d x + 出( z ) ( i “n 1 9 _ 2 u n i a u l 9 q “) ( “”一“) 讥如十厶( ，( z ，u n ) 一，( 。，u ) ) ( u n 一“) 叽d x 我们断言，当n _ o 。时上式右端第二，三，四项的极限为零，因此第一项亦然，即 上。( 。) “u 。1 9 2 “n l “l 一2 a u ) ( a u n 一u ) 饥d 5 = o ( 1 )( 4 2 2 ) j3 事实上，对于第四项我们可以处理如下由仇( z ) 的定义和( 4 1 8 ) 易知： 。l ，i m 。f 。l u n 饥r d 5 = 上i 也i p * d b 上f “妒。r 如 同前易知： ，( z ，u ) ) ( “n u ) 噍如= 上，( z ，u 。) ( 一“。) 噍出+ 。( 1 ) _ o ； ( 4 - 2 3 ) 用灭似阳刀缓也卜x 隹得到弟= ，四项的佰计： 居) ( i “n i p - 2 “n f 训9 2 ) v ( u n 一“) v 妒。d x = 蠡( z ) i a u 。1 9 _ 2 u 。v ( t t n - - ? t ) v 叽十。( 1 ) = 。( 1 ) 尽( 州恤n i ”2 驴阻r 2 酬( 旷u ) 触出= 尽扫) i a 计i 。u 小。叫触蚺。( 1 ) = 讲