（概率论与数理统计专业论文）椭球等高分布族中的二次型及分解.pdf

摘要 最近二十多年来，统计学家发现，椭球等高分布族有许多类似于多元正态 分布的性质。这种分布族包含了多元正态分布，多元均匀分布等许多种的多元 分布。许多统计学家在椭球等高分布的基础上建立了类似于经典多元统计分析 的理论和方法，这就是所谓的广义多元统计分析。 在经典多元统计分析中，奇异正态分布，高阶矩，以及二次型的分布及分 解都是值得研究的问题，这些问题已经得到了很多重要结果；但在广义多元统 计分析中，上述问题尚待迸一步研究。阻下是本文将要研究的三个问题： ( 1 ) 将奇异多元正态分布的一个定理推广至椭球等高分布的情形 ( 2 ) 通过分解椭球等高分布x e c 。( ，m ) ：x = + 删“+ 将求e _ ) 和 v a r a ( x x ) 的问题转化为求e ( r 2 ) 及e ( 月4 ) 的问题：利用x e e ( ，o ) 的特征函 数求x 的四阶矩： ( 3 ) 运用外微分求得下三角分解a = t t ( a o ，t = ( f 。) 。t 0 ) 的j a c o b i a n ， 然后得出椭球矩阵分布族中的w i s h a r t 分布，矩阵b e t a 分布，逆矩阵b e t a 分邗 矩阵f ( 及其逆) 分布实行分解后的下三角阵的元素之问的分布系 关键词： 椭球等高分布奇异正态分布多元均匀分布下三角分解外微分w i s h # w t 分布矩阵b e t a 分布逆矩阵b e t a 分布矩阵f 分布拟b a r t l e t t 分解 a b s t r a c t d u r i n gt h e r e c e n tt w od e c a d e s ，s t a t i s t i c i a n sh a df o u n dt h a tt h ef a m i l y o fe u i p t i c a l l y c o n t o u r e dd i s t r i b u t i o nh a sm a n yp r o p e r c i e sw h i c ha r es i m i l a rt ot h o s eo fm u l t i v a r i a t en o r m a l d i s t r i b u t i o n t h i s t y p eo fd i s t r i b u t i o nf a m i l y e m b r a c e sm a n yk i n d so fm u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i o n ，i n c l u d i n g m u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o na n dm u l t i v a r i a t ee q u a ld i s t r i b u t i o n t h e r e f o r e ，m a n ys t a t i s t i c i a n se s t a b l i s h e dt h et h e o r i e sa n dm e t h o d sw h i c ha r es i m i l a rt o t h o s eo f m u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o nb a s e do nt h e f a m i l yo fe l l i p t i c a l l yc o n t o u r e d d i s t r i b u t i o n ， w h i c ha r es o c a l l e dg e n e r a lm u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a la n a l y s i s i nt h ec l a s s i c a im u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a la n a l y s i s ，t h ep r o b l e m sc o n c e r n i n gs i n g u l a rm u l t i v a r i a t e n o r m a ld i s t r i b u t i o n ，h i g h e r - o r d e rm o m e n ta n dt h ed i s t r i b u t i o na n dd e c o m p o s i t i o no fq u a d r a t i c f o r m sd e s e r v em u c hc o n s i d e r a t i o n ，w h i c hh a v eo b t an e dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s b u ti nt h ef r a m e so f g e n e r a lm u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a la n a l y s i s ，t h ea b o v e p r o b l e m sn e e df u r t h e r s t u d i e s t h ef o l l o w i n gt h r e ep r o b l e m sw i l lb ee x p l o r e di nt h i sp a p e r ( 1 ) t h ee x p a n s i o no f t h er e s u l to f a t h e o r e m i ns i n g u l a r m u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o n t o t h e f a m i l yo f e l l i p t i c a l l yc o n t o u r e dd i s t r i b u t i o n ； ( 2 ) c o n v e r to ft h ep r o b l e mo fc a l c u l a t i n ge ( x x ) a n dv a r ( x x ) t oc a l c u l a i n ge ( r2 ) a n d e ( r4 ) b yd e c o m p o s i n g ：x e c ( ，) ：x = + r a 甜；c a l c u l a t i n g t h ef o u r t h o r d e rm o m e n to fx b y t h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o no f x e c j ( ，) ( 3 ) c a l c u l a t i n gt h ej a c o b i a n o f t h el o w e r t r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o na = t t ( a 0 t ， 0 ) t h r o u g ht h em e t h o d s o fe x t e r i o rd i f f e r e n t i a l ，a n dt h e ng e e i n gt h es t a t i s t i c a lr e l a t i o n s h i pa m o n gt h e e l e m e n t sw i t h i nac e r t a i nv i a n g u l a rm a t r i xd e c o m p o s e df r o mt h ew i s h a r tm a t r i x ，b e t am a t r i x ， i n v e r s eb e t am a t r i xo rfm a t r i x ( a n di t s i n v e r s e ) i n t h e f a m i l y o fe l t i p t i c a l l yc o n t o u r e d d i s t r i b u t i o n k e y w o r d s ： e l l l p t i c a l l yc o n t o u r e dm a t r i xd i s t r i b u t i o n ；s i n g u l a rm u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o n ；m u l t i v a r l a t e e q u a ld i s t r i b u t i o n ；e x t e r i o r d i f f e r e n t i a l ；l o w e r - t r i a n g u l a r m a t r i x d e c o m p o s i t i o n ；w i s h a r t d i s t r i b u t i o n ；m a t r i xb e t a d i s t r i b u t i o n ；m a t r i x f d i s t r i b u t i o n ；g e n e r a l q u a s i - b a r t l e t t d e c o m p o s i t i o n 东南大学学位论文独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独刨性声明 本人声i ! j j 所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中小包含j e 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东南大学或儿它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 j 件和电子文档 容相一致。除在 部分内容。论文 鬻嚣阻一 篓辜 兰戮降 幕席力学砑士学岔始止 第一章多元统计分析中一个定理的推广 在经典多元统计分析中，奇异正态分布是一个较为活跃的领域，但在广义多元 统计分析中，奇异椭球等高分布还有很多问题值得研究本章将把有关奇异正态分 布的一个定理推广至椭球等高分布的情形。 经典定理 若x ，( p ，) ，r a n k ( z ) = r ，则z i t 以概率为l 落在子空间 e ( 2 ) ( 由的列向量张成的子空间，下同) 内，且在此子空间内有密度函数( 关于该 子空间的l e b e s g u e 测度) ： ( 2 万) 一；( 五。五，) 一i p 一i 1 ( x 一) 一( x 一) 此处 1 - ，旯，为的非零特征值。这个结果是由k h a t r i 得到的( 见s o m e r e s u l t s f o rt h es i n g u l a rn o r m a lm u l t i v a r i a t er e g r e s s i o nm o d e l s ，s a n k h y a ，3 0 ( 1 9 6 8 ) 2 6 7 2 8 0 ) ，以下是本章推广的结果： 推广定理 设j e c 。( i t ，f ) ，其中= c o y ( x ) ，r a n k ( z ) = r 月，则 p ( ( x i z ) ( ) ) = 1 ，若x = + r a u 中r 有密度，则x 一在f ( ) 上有形如 卜卜厂b i x ) 一 一) j 的密度函数，其中a ；= d i a g ( ，丑，) ；弘”， ， 为的 非零特征值 证明 设q = ( q ，! q ：) 为的标准正交化特征向量组成的正交阵，q 。为”r 矩阵， 其r 个列对应于非零特征值 ，五，q ：为n 铆一，) 矩阵，其一一，个列为对应于 特征根零的特征向量。 记a = 名1 ： 则q q = ( 要 c q 。g ：，= ( 曩至曼笺至曩 = ( 名1 ： c ， 作正交变换y = q x ，则： y 戡卜= 埘。孵 ， ，小其啪m c z ， 东南大学硕士学短论文 e ( y ( 】) ) = q b ，c o v ( y ( 】) ) = 人1 e ( y ( 2 ) ) = q ；，c o y ( y ( 2 ) ) = 0 ( 3 ) ( 4 ) 由( 4 ) 有p ( q 2 x = q z , u ) = 1 ，即p ( q 2 ( x 一) = 0 ) = 1 ，即x 一以概率l 和q 2 的各 歹0 正交。即：p ( x 一g ( q 1 ) ) = 1 因为= q 。人，纠，所以z ( ) = g ( q 。) ，故p ( x 一l ( ) ) = 1 。 此外，因r a n k ( a ) = r 满秩，而r 有密度，故y “、也有密度，由 a 了( y m q ) s 。( ) 知其密度形如：i a 。卜 l y 一q “) a _ 1 ( y 一q ) 作正交变换x = q y ，由q 的正交性知变换的j a c o b l a n 为1 ，r y 。= q 江，故得x 的 密度函数为： t a , 一 ( 纠x q ；f 1 ) 7 a _ 1 ( q 0 一) ( 相应于l e b e s g u e 测度) = i a , i 一； ( x 一卢) q 1 a 1 纠 一) 】 = 一； i x 叫) + 一) 】 由于p ( x 一l ( ) ) = 1 ，故o 一) 一0 一) 与广义逆一选择无关，于是： 0 一) + ( x 一) = 血一们一似一“) ，所以定理得证。 注 相应于奇异正态分布的概念，也可因此提出奇异椭球等高分布的概念，即中 心化后的随机向量以概1 分布于该随机向量的协方差矩阵的列向量组成的子空间 内，且在该子空间内，该随机向量具有密度函数。 苈席力学留士半越蘑卫 第二章椭球等高分布中二次型的高阶矩及应用 在经典多元统计分析中，关于随机向量的二次型和高阶矩的问题得到了一些 较为深刻而重要的结果，这些结果无论是在理论还是实践方面都有着十分广泛的 应用，但在椭球等高分布族中，上述问题还需进一步探讨，本章将运用广义多元分 析的理论和方法得出相应的一些结论。 吲酬踟a - s ”础= j 口( 掣，掣 s i n m x c o s 砌= 半i 字，刳 证明 ( 1 ) 令t = s i n 。 卟纠 且d x = ( 1 一t 2 ) 2 d t c o s x = ( 1 一f2 ) 2 f s i n m x c o s 砌 = f r “( 1 一f2 ) j ( 1 一f 2 ) 一j d t ：吾l ( f 2 ) t m - i ( 1 ) 孚衍： ：1 2 弦) 了m + l ( 1 一f ：) 牛出： = ；占 字，孚 ( 2 ) r s i n ”瑚s ”x d x f s i y i m x c o s nx d x + 丘s i n m x c o s n x d x 2 j i s i r l m x c o s nx 出+ ( _ 矿f s i n m x c o s n x 出 = 三1 甘丁m + l ，等) + 半b ( 孚，丁n + 1 ) 末南大学硪士学往论文 = 掣曰( 筹! ，1 r t + ! ) 引理2 若“”= ( “一，) 表示酽中单位球面上均匀分布的随机向量( n 5 ) 则 e ( u ；“，“，) = 0 o j v ( i ，j ，臃) ) = 2 ( 且有个角标出现3 次) 。，3 甜4 杀6 ( f ，f ，m ) = 2 且每角标出现2 次 赤( ，椭) ) = 1 此处( i ，f ，m ) 表示集合 i ，j ，l ，m 的元素的个数。 证明 因为“”= 池，“。) 的边缘分布( “) ( 女( 刀) 有密度 r ， ；i 乏i ：i ：j ；5 ：j _ ( 1 一妻? ) 。r 卜对( “，“女) q 2 ( “l ，一，“k ) i 。羹；“； 1 1 、先看e ( “。“，“，) ( 1 ) ( 0 ：，f ) ) = 3 时，由于奇函数在对称区间上积分为零( 下同) ，故 脚一2 辫小唾哟扣_ 3 】叩鸺蛐幽：。 e ( 。，。，。，) ：j ：! 婪，( 。一主：。? ) ；。一，卜。? 。：d h 。d h ：。 e ( “f “，) 2 ；( 乏i ! ：j ： j ：_ ：( 1 一喜“? ) ；( ”一2 卜l “? “z d h d h ：2 。 ( 3 ) ( f ， ) = 1 时 幕府戈笋砑士学岔岔卫 r r ( 妒，p ( 1 一“矿1 。1 卜1 枷= o 故v f ，f 1 ，2 ，n ) 都确i e ( u ，“，) = 0 2 、再求e ( “，“，“，“。，) 因n 5 故4 维边缘密度必存在 ( 1 ) 当_ v ( f ，m ) = 4 时，类似1 ，显然e ( u 。“，“，“。，) = 0 ( 2 ) 当( f ，删 ) = 3 时，必j f i ，z ，m s f “，的次数为奇数，类似于1 e ( u 。“，“。) = 0 ( 3 ) 当( f ，j ，l ，所 ) = 2 时，若“，“，“。形如“? 叶( 障，) ，则类似于l ： e ( u ，“，u f u 。) = 0 因此以下只剩下形如e ( u t ) 和e ( “知；) ( f ) 不为零。 ( 4 ) 求e ( u ? ) 伊”咿。? 咖 “? ) 一幽? 幕席力学研士学岔蹬卫 ( 4 ) 求e ( “知；) ( f ) e ( “? “；) = 上式= r ( 纠 r 叫 r f 量0 l 2 ， r f ；( 棚) 。 z 则j = p ( i - p 2 广2 卜p 5 c o s 2 蚓n 2 0 d p d o ：鑫f s i n 2 8 c o s 2 o d o 冰，声“h 怖， = 盟n f ( 1 ( n - 2 ) 1 占( 习b ( 孚，3 r ( ；一) 付( 州字) 叩， r ( 3 ) r ( e ( 咖；) = 而1 鬲f d 注：由于“”的c f 十( t ) 已知，实际上可以通过求。、( r ) 的偏导数在零点的值来 计算其高阶矩，但由于吩“d = re x p ( 圳c 。s 印s i n ”2 口棚b ( 孚，爿计算较为 烦琐，故本文不用此法。 6 幽出 砰 一 一2 )砰 ：h 坩坩幽 d p | i = 2 一 令 、u 石叱杀 生堕苎兰堕兰竺生堂墨： 定理1 若x e c 。( ，z ，) ，铆5 ) ，e ( r4 ) o 宅f ) 舱c 。，f + 4 耙。- ”( ，e t ) v e c 2o 70 t z 警= 4 i 2 e a 。北f 。f 乞 脚 + 8 i e - ”( f z t ) e t0 f z0 0f 十4 秽o ”( t t , t ) 2 t z o + 4 矽。庐”( f z t ) z to ( v e c x ) u 0 _ ( 18 _ ) = 8 把“庐w ( r ，r ) f 。f e 。z f 。 o t + 1 6 p 牡( 4 ) ( f e t ) z t o f 0 e t o t z + 8 e “o ”( f z t ) eo t e0z t + 8 e “。“( t z t ) y to ( v e c z ) o2 t + 8 e 竹。”( t t t ) 2 t0 t z0 a 西( 19 ，) = 4 把m 庐”( f r ) v e c x 。t 乞 一 + 8 e 即”( t t t ) v e c x0 t t 0 ， + 4 e 。d ”( t z t ) v e c zo ( v e c x ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 5 7 ) 幕蔚奠学研士掌岔坦二【2 a ( 二2 了。一) 4 招“- 一( f r f ) ， a ， 。 、 。 。 + 8 e ”。”( f7 z t ) z t 圆o t z + 4 p 。西“( t z t ) zo 0 ( i 2 7 0 一= 2 f 2 e i t g 妒，o ，f ) 。p 。 a f 、 7 。 。 + 4 把“- 庐”( f x t ) x t z ! 粤：4 f e i t ) t 删f ) 鼢。卢 西 、 + 8 e 7 舡”o 宅r ) z t o f + 4 p “o d ”( t x t ) x 于是，根据特征函数的性质，即：r 4 = 万善丽c a t ) 瓦 ( 5 8 ) ( 5 9 ) ( 6 0 ) ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) ：o 。在从式( 2 3 ) 到式( 6 5 ) 的和在t = 0 时的值，其中，仅有，( 2 3 ) ，( 2 7 ) ，( 3 0 ) ，( 3 5 ) ，( 3 9 ) ( 4 4 ) ，( 5 7 ) ，( 6 0 ) ，( 6 1 ) ，( 6 5 ) 共十个式子在f = 0 处的值不为零。故： r 4 = ( 2 3 ) + + ( 6 5 ) 儿 = 1 2 0 0 o f 一2 7 ( o ) 1 2 0 固一2 庐( o ) 0 ( v e c x ) o 一2 ( o ) 固0 7 2 庐( 0 ) 固圆一2 7 ( o ) v e c x 卢圆 + 4 庐”( o ) z e c x 0 ( v e c x ) + 4 萨”( o ) 一2 ( o ) 0 0 声 + 4 ”( o ) 0 0 0 o 一2 ( o ) 1 2 0 p 一2 声( o ) 1 2 0 ( v e c x ) 一2 7 ( o ) 0 o 7 2 庐( o ) v e c x o 7 0 1 2 一4 ( o ) 0 p - 7 固 + 4 庐”( o ) v e c x0 ( v e c x ) + 8 ”( 0 ) o ( 6 6 ) 注 若x 的n 阶矩存在，可考虑用数学归纳法求r ( f _ 1 ，n ) ，故本文在求 1 2 府廊戈笋厩士学岔语卫 万百，时，虽然对于很多 的元素含中含有t 的项本应舍去，但为了在 求4 阶以上矩时的方便，以及易于发现l 的规律，仍将其保留。 以下是运用r 4 以及f ：的两个推论。 推论1 若并n 。( 2 ，) ，则e ( x o x o x7 ) = t o t 圆声f t 十o o + 2 ( v e c z ) o 24 - o 圆+ 2 o o ，f 4 - v e c e o o 2 + v e c z o ( v e c z ) + 2 e 0 证明 对于x n 。( ，) 啪) = e i t - p 卜 故而船一一o ( u ) l 。= - 2 l - ，警卜；4 d “l 。 2d “。 将声( 0 ) ，庐”( o ) 代入( 6 6 ) 式即得 推论2 对于x e c 。( 2 ，。，庐) 有 r 4 = e ( x x x 0 工) = 圆一2 ( 0 ) 口 弘 ，。一2 4 ( o ) ( v e c l 。) 一2 ( o ) v e c i 0 0 2 一2 声( 0 ) 2 固，。 一4 ( 0 ) l0 0 2 + 4 ( j ”( o ) v e c i 。o ( v e c l 。) + 8 声”( 0 ) o 值得考虑的一个问题是如何对“ f 4 ，此处n e n ，而非限于n 5 ，因为 q 刘h h = j r 唧i i ii c o s 岫“删项字，匀1 故而此姒咖f e x p ( f 刚) s i n - 2 0 d 8 b ( 丁n - i ，挣 ( 丰) 实际上，关键在于如何定义妒，如若直接定义( 十) 式为庐( t ) ，则可对( ) 式在 零点求高阶导数，此时涉及到向量对向量求偏导，矩阵对向量求偏导，过程烦琐， 因篇幅所限，以下不再赘述。 末南大学硬士学位论文 第三章椭球等高分布族中的下三角分解 在经典多元统计分析中，w i s h a r t 分布和矩阵b e t a 分布的类似c h o l e s k y 分解 已经取得了一些重要的结果。而且，最近对逆矩阵b e t a 分布和逆矩阵f 分布的 c h o l e s k y 分解也取得了相应的进展。但是，上述结果都是基于上三角分解，即所谓 的c h o l e s k y 分解，即：对于正定阵作分解：w = t t ，其中刊黾对角元全为正的上 三角阵对于相应的下三角分解则尚待研究，本章将给出一些较为重要的结果。 以下先证明一个下三角分解存在且唯一的结论，然后运用外微分的理论和方 法给出该分解的j a c o b i a n ，再分别得到w i s h a r t 分布、矩阵b e t a 分布、逆矩阵b e t a 分布和矩阵f 分布的下三角分解的相应结果。 引理1 ：设方阵a 0 ，r a n k ( a ) - j 一，则存在下三角阵，使得a = 丁7 并且r 的所有 对角元非负；如果a 0 ，则分解唯一。 证明 1 ) 首先我们对a 0 的阶数运用数学归纳法。 ( 1 ) n = l 时。结论显然。 ( 2 ) ”= k + 1 时假定a 。：= 正：其中疋：是k 阶对角元全为正的下三角阵，而月是 t + - 阶方阵，4 兰( ：a ? f 2 2 2 = 01 乏v a y x 羔2 2 l 口1 2l u j 2 则： 并且 口i l = y 2 + x x ，d ；2 = x l 2 ，x = 盯：2 丁妄 y 2 = d 1 1 - - x t x = 口1 1 一日：2 巧1 ( 丁刍) _ 1 口1 2 = l l 一口：2 4 丢口1 2 = a j l2 0 这样一来，我们可以先唯一确定x 再选取唯一y 0 因此如果a 0 ，则分解唯一 故对于”= + l ，分解成立归纳法完成，于是a 可以分解成7 17 丁，其中r 的对角元 r 。 0 ，并且r 唯一 2 ) 当a 0 时，对4 进行分解 因为a 0 ，故存在b 使得a = b b 且存在非奇异矩阵p 使得朋= f ，其中 ，= ( 弓) ( f u ，时，巧= 0 ) 于是= p - j v 于。由于p 一1 可分解为p = 鲫，其中q 为 正交阵而r 为下三角阵，于是：鲫，兰q 丁，且丁：r f 仍为下三角阵。如果k 0 哀席力学砑士乒岔甜卫 则使t 的第k 行的所有元素反号，于是7 1 的所有对角元均为非负数同时使q 的第 女列的所有元素反号，于是b 7 = q r 且q q = i 。仍然成立，于是 a = b b = t q q r = t t 。 为了运用外微分的方法得到下三角分解的j a c o b i a n ，下面先简要介绍外微分的 概念和方法 a ) 外微分的引出： 考虑多元积分： ，= i f ( x 1 ，x 。) d x l d x 。( a r ) ( 1 ) 作可逆交换： 一= x 1 ( y l ，y 。) 即： 于是，( 1 ) 变为 k 胁( 舭t ( 参卧吨 其中4 7 表示4 的象以下将不采用直接计算( 兰) 的行列式的方法，丽是用另一种 砂， 方法计算( 1 ) 。 考虑函数x ，= x ，( “，y 。) 的微分： 咖秘参饥 ”l ，| 一，肌) 现在将( 1 ) 式的线性微分形式用( 3 ) 式中的以砂1 ，一，g y 。表示的线性微分形 式替换，为简便起见，此处特设小= 2 ，于是： 2f ，似( 枷( 差咖- + 象咖z ) ( 象嘲+ 象砂：) ( 4 ) 现在将( 4 ) 式的微分形式直接相乘，则得到： c 参积+ 豪咖：，c 玺咖t + 象咖：， 互堕苎兰翌二生兰l 丛 = 蔷豪咖幽+ - - 誊- - 考：a y 砒+ 石o x i 瓦8 x 2 咖：幽+ 象象方：咖z 但 a e t c 争，= 鲁兰o y 2 一晏o y 2 篑缈，吵l妙1 ( 6 ) 比较( 5 ) 和( 6 ) ，显然必须： 咖。咖：= 一咖：咖。 ( 7 ) 于是，当使两个微分相乘时，不能使用可换积，而必须使用反对称积( 或称交错 积) ，也就是： 方。咖，= 一砂，匆， ( 8 ) 于是，特别有：咖。方，= 一咖，砂。= 0 ( 9 ) 这样的积称做外积，并以符号a 表示，于是( 8 ) 式变为： 咖。a 咖，= - 5 ，人咖， ( 1 0 ) 于是( 5 ) 式右边变为： ( 要挈一导誓) 方。a 咖： ) 、砂l 砂2砂2 砂l 这种使微分形式相乘的过程等价于计算7 a c o b i a n ，正如以下定理所述： b ) 定理 如果咖是m 1 的微分向量，且出= 助，b 为m 阶非奇异阵，( 于是出是 线性微分形式向量) ，则： 啦刊“b 噜 以下给出外微分形式的定义： c ) 定义 r 中的，度外微分形式定义为以下形式 h ( x ) d x ，。a a d x l ， ( 1 2 ) t i 。) 由引理2 得到，的密度函数为： 伽z p ( n 2 - 2 ) 吼秒i + l e 驴卜酗 = z 掣_ 锄n e 一_ ：i 孑s d ，) 将竽俘 c 炉江枉e 删 已知z 。2 + ，的密度函数为b 。( x ) 2 竽r ( 旦毛坐) 】- te x p ( 一号h y - z p + t ( x c x 0 ) ，于是有： ( 1 ) t v , i ， 相互独立；( 2 ) f f n ( 0 ，1 ) ，i j ；( 3 ) ，：。2 。l # 1 ，p ) 。 定理2 若b ( ，等) 且b = 丁7 ，r = ( r 。) 是对角元全为正的下三角啭则