（应用数学专业论文）破产时刻罚金折现期望的研究.pdf

破产时刻罚金折现期望的研究 摘要 当代研究破产论的国际著名学者h a n su g e r b e r 和e 1 i a ss w s h i u 于上世 纪末首次提出破产时刻罚金折现期望的概念，风险理论中的一些有兴趣的重要 精算量都是破产时刻罚金折现期望的特例，这些精算量包括破产概率，破产时刻 的l a p l a c e 变换，破产前瞬间盈余和破产时赤字的联合分布、边缘分布以及各阶 矩等破产时刻罚金折现期望作为一个有力的数学工具，使得可以用一种统一的 方式分析破产时刻、破产前瞬间盈余、破产时赤字以及相关的精算量， 本论文致力于对破产时刻罚金折现期望的性质和应用做了如下三个方面的 工作： 一。h a n su g e r b e r 秘e l i a ss 砚s b i u 在经典风险模型下就利息力为常数的 情形讨论了破产时刻罚金折现期望的种种性质并由此得到许多关于经典风险模 型的新结论本文在此基础上，通过标准w i e n e r 过程和p o i s s o n 过程描述利息的 随机性，再在这类随机利率的情形下，利用微分方法得到破产时刻罚金折现期望 满足的更新方程及其渐近公式；利用鞅方法得到l u n d b e r g 基本方程由此推导出 破产概率和盈余首次到达某给定水平的概率的表达式：利用这个更新方程对经 典风险理论中的一些结果作了进一步的讨论：最后给出个体理赔服从指数分布 对的一些结果 二考虑类带有关卡红利策略的复合p o i s s o n 风险模型在这类模型下，若 保险公司的盈余不高于某给定水平，则无红利支付：若保险公司的盈余高于给定 水平，则按不大于保费率的一常数支付率支付红利针对该模型，本文就利息力 为常数的情形给出破产时刻罚金折现期望满足的积分一微分方程及其解析表达 式，由此推导出破产概率、盈余首次低于初始盈余的概率和破产时刻的l a p l a c e 变换常见的经典风险模型为我们的模型在关卡水平等于无穷时的特 例；x s h e d d nl i n ，g o r d o ne ，w i l l m o t 和s t e v ed r e k j c 研究的带有常界限红利 策略的复合p o i _ s s o n 风险模型为我们的模型在红利支付率等于保费率时的特例 三引入类具有p o i s s o n 过程和e r l a n g ( n ) 过程的风险模型该模型中保 险公司具有两类保险，每类保险的理赔次数过程都是p o i s s o n 过程与一个共同的 e r a n g ( n ) 过程的和针对这类理赔裙关黔风险模型。本文就利息力为常数的情 形得到破产时刻罚金折现期望的积分一微分方程和l a p l a c e 交换自然地，我们的 结果是对k a mc y u e n ，j u n y ig u o 和x u e y u a nw u 研究的一类具有p o is s o n 过程 和e r l a n g ( 2 ) 过程的风险模型下的相关结果的推广。也是s h u a n m i n gl i 和j o s e g a r r i d o 研究的e r l a n g ( n ) 风险模型下的相关结果的推广 关键词：破产时刻罚金折现期望：更新方程：积分一微分方程：破产概率：w i e n e r 过程i 关卡短剥策路：e r 】a n g 过程 o nt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t ya tr u i n a b s t r a c t a tt h ee n do fl a s tc e n t u r y , t h ec o n c e p t i o no ft h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y f u n c t i o na tr u i nw a sf i r s ti n t r o d u c e db yh a n su g e r b e ra n de l i a ss w s h i nw h o a r e e o u t e m p o r a r yi n t e r n a t i o n a ll e a d i n ge x p e r t sa tr u i nt h e o r y an u m b e ro fp a r t i c u l a r c a s e so ft h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i nl e dt oi m p o r t a n tq u a n t i t i e s o fi n t e r e s ti nr i s kt h e o r y t h e s ei n c l u d e dt h ep r o b a b i l i t yo fu l t i m a t er u i n ，t h el a p l a c e t r a n s f o r mo f t h et i m eo f r u i n ，t h e j o i n ta n dm a r g i n a ld i s t r i b u t i o n sa n dm o m e n t so f t h e s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i n ，e r e t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e d p e n a l t yf u n c d o na tr u i nb e i n gap o w e r f u la n a l y t i c a lt o o lm a d ei tp o s s i b l et oa n a l y z e t h et i m eo fr u i n ，t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，t h ed e f i c i ta tr u i n ，a n dr e l a t e d q u a n t i t i e si nau n i f i e dm a n n e r ， b yv i r t u eo fs t u d y i n gt h ep r o p e r t i e sa n dt h ea p p l i c a t i o no ft h ee x p e c t e d d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i n ，t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt oa c h i e v i n gt h r e e a s p e c t so f w o r ka sf o l l o w s ： 1 i nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，h a n su g e r b e ra n de l i a ss w s h i nd i s c u s s e d t h ep r o p e r t i e so ft h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i ni nt h ec a s eo f c o n s t a n tf o r c eo fi n t e r e s t ，a n df r o mt h i so b t a i n e dal o to fn e wr e s u l t sa b o u tt h em o d e l o nt h i sb a s i s ，w ed e s c r i b et h ei n t e r e s tr a n d o m n e s sb ys t a n d a n dw i e n e rp r o c e s sa n d p o i s s o np r o c e s sa n do b m i nt h er e n e w a le q u a t i o na n dt h ea s y m p t o t i cf o r m u l af o rt h e e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i ni n t h i ss i t u a t i o nb yu s i n gd i f f e r e n t i a l a r g u m e n t b ym a r t i n g a l ea p p r o a c h , w eg e tl u n d b e r g sf u n d a m e n t a le q u a t i o n ，a n d f r o mt h i sd e r i v et h ep r o b a b i l i t yo fu l t i m a t er u i na n dt h ep r o b a b i l i t yt h a tt h es u r p l u s r e a c h e st h eg i v e nl e v e l s o m er e s u l t si nc l a s s i c a lr i s kt h e o r ya r ea l s od i s c u s s e db y v i r t u eo ft h i sr e n e w a le q u a t i o n i nt h ee n d ，w eo b t a i ns o m er e s u l t si nt h es p e c i a lc a s e w h e r et h ec l a i ms i z eo b e y st h ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n 2 t h ec o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e li sc o n s i d e r e di nt h ep r e s e n c eo fa t h r e s h o l dd i v i d e n ds t r a t e g y i nt h i sm o d e l ，n od i v i d e n d sa r ep a i di ft h ei n s u r e r s s u r p l u si sb e l o wc e r t a i nt h r e s h o l dl e v e la n dd i v i d e n d sa r ep a i da tac o n s t a n tr a t e1 e s s t h a nt h ep r e m i u mr a t ew h e nt h es u r p l u si sa b o v et h i st h r e s h o l dl e v e l a st ot h i s m o d e l ，w eo b t a i nt h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o nf o r t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i ni nt h ec a s eo fc o n s t a n tf o r c eo f i n t e r e s t t h e s er e s u l t sa r eu t i l i z e dt od e r i v et h ep r o b a b i l i t yo fu l l i m a t er u i n ，l h e p r o b a b i l 时o f t h ef i r s ts u r p l u sd r o pb e l o wt h ei n i t i a ll e v e la n dt h el a p l a c et r a n s f o r m o f t h et i m eo f r u i n i f t h et h r e s h o l dl e v e le q u a l si n f i n i t y , o u rr i s km o d e lr e d u c e st ot h e c l a s s i c a lm o d e lw i t h o u tc o n s t r a i n t s ；i ft h et h r e s h o l dl e v e le q u a l st h ep r e m i u mr a t e ， o u rr i s km o d e lc o i n c i d e sw i t ht h ec o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lu n d e rt h ec o n s t a n t b a r r i e rs t r a t e g y , s t u d i e db yx s h e l d o nl i n g o r d o ne w i l l m o ta n ds t e v ed r e k i c 3 w ep r e s e n tar i s km o d e lw i t hp o i s s o na n de r l a n g ( n ) p r o c e s s e s i nt h i sm o d e l ， t h ei n s u r e rh a v et w od e p e n d e n tc l a s s e so fi n s u r a n c eb u s i n e s sf o re a c ho fw h i c ht h e c l a i mn u m b e rp r o c e s sr e l a t et op o i s s o np r o c e s sa n dt h es a m ee d a n g ( n ) p r o c e s s a b o u tt h i sc o r r e l a t e da g g r e g a t ec l a i m sr i s km o d e l ，t h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n dt h el a p l a c et r a n s f o r mf o rt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tm i na r e o b t a i n e di nt h ec a s eo fc o n s t a n tf o r c eo fi n t e r e s t n a t u r a l l y , o u rr e s u l t sa r e g e n e r a l i z a t i o no ft h o s eo b t a i n e db yk a mc y u e n ，e t c a n ds h u a n m i n gl ie t c r e s p e c t i v e l yi nar i s km o d e l 晰t hp o i s s o na n de d a n g ( 2 ) p r o c e s s e sa n di nt h ee r l a n g ( n ) r i s km o d e l k e yw o r d s ：e x p e c t e d d i s c o u n t e d p e n a l t y a tr u i n ；r e n e w a l e q u a t i o n i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；r u i np r o b a b i l i t y ；w i e n e rp r o c e s s t h r e s h o l dd i v i d e n ds t r a t e g y ；e r l a n gp r o c e s s 独创性声明 本人声明所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得 金g b 王些盍堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 姗虢壬后奈期：诺步加 学位论文作者签名：卢f 乞7 孓签字日期：；l ，存朗另徊 ，t ，1 3一 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解佥照王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金 目b 工些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 乒禾 签字日期：) 叱晦厶月3 日 t 学位论文作者毕业后去向 ，l ：作单位 通讯地址 导师签名： 弘讹 签字日期：，p 衫年厂月乡日 电话：移够产。g 形”中 邮编：三多d 0 2 2 r 致谢 本人硕士期间的工作在我的导师杜雪樵教授的指导下得以顺利完成三年 来，杜教授的研究风格和研究方法使我受益非浅，他严谨的治学态度，循循善 诱的教导，更使我收获颇丰特别是杜老师在讨论班中和讨论班外与我就模型、 概念、结论的一次次讨论是我能顺利完成本篇论文的基础，在这里我要向我的 导师表达我由衷的感激之情。 其次，我想向所有在这三年中帮助过我的老师和同学表达我深深的谢意正 是在凌能祥教授、惠军博士等人的直接教导下，我得以完成概率与统计专业的 硕士课程并得以步入概率和统计的广阔天地我要向理学院网络中心的所有老 师表示感谢，是他们为我收集许多宝贵的文献资料提供了方便我还要向袁国军 同学、姚梅同学、吴素琴同学、闰桂芳同学、陈刚同学、吴波同学、徐鑫同学 等人表示感谢，正是在这几位同学的经常鼓励和帮助下，我才能够克服种种困 难，完成学业 最后，我要感谢我的所有家人，是他们的鼓励和关怀化成了我前进的动力 作者：王后春 2 0 0 6 年5 月 第一章绪论 摘耍：本章简要介绍风险过程的产生和发展情况，经典风险模型及其主要成果。破 产对刻罚金折现期望鲍研究现状以及本文所做抟主要工捧。 关键词：经典风险模型：破产时刻罚金折现期望 1 1 风险过程的产生和发展情况 保险风险理论产生于保险公司承傈项耳的可行性研究，其研究对象来自保 险商业的各种随机模型初期的风险理论主要与寿险有关，研究的是个体风险模 型，通常称为个体风险理论。集体风险理论把全体投保者看成一个整体，索赔 的产生为一个随机过程，如今在风险领域里研究的各种风险模型都是在此基础 上逐步发展起来的。风险理论作为保险精算数学的一部分，是当前精算界与数 学界研究的热门课题，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率、 调节系数等问题经典风险模型是主要研究对象之一，国内外的学者们已对其进 行了大量的研究，现已公认，其研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年 发表的博士论文 1 他首先进行了破产论的研究，提出了一类重要的随机过程， b p p o i s s o n 过程不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格 化是以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠定 在坚实的数学基础之上，他们给出了l u n g b e r g c r a m e r 经典破产模型的砖切表 述、有关假定和主要结果现已公认，l u n d b e r g 和c r a m e r 的成果为经典风险理论 的基本定理因此，风险理论较为系统的理论形成应该说始于l u n g b e r g 1 ，2 和 c r a m e r 3 ，4 5 了随机过程理论的逐渐系统和成熟为风险理论的研究提供了 强有力的方法和工具当代研究破产论的国际领先学者h a n su g e r b e r 以严谨的 概率论基础，简练清晰地进一步研究了破产论对风险理论的系统论述当属于 g e r b e r 6 ，7 和g r a n d e l l 8 近年来，风险理论的研究十分迅速，研究问题的 范围也逐渐扩大，其中破产概率的计算和估计一直是风险模型研究的核心问题 风险理论发展至今，已形成许多处理风险模型的方法国内对其研究主要是南开 大学的吴荣 9 ，1 0 教授及她的学生们，他们研究了经典风险模型中盈余过程在 首次破产前的极大盈余额大于某一定值、首次破产前瞬间的盈余额、破产赤字 辐末离零点前极大盈余额，j 、于某一定值四者的联合分布以及盈余过程在末离零 点前极大值、极小值及零点数的联合分布 近年来，保险风险理论的研究基本上是对古典风险模型作如下几个方面的 推广；对p m s s o n 过程作新的假定：考虑利率因素：考虑扩散过程的干扰：考虑保 费收入过程为某随机过程 1 2 经典风险模型及其主要结果 一般来说风险模型出三个过程组成 ( 1 ) 保费收入过程 r ( f ) ，0 ，r ( f ) 表示 o ，r 】内收到的总保费： ( 2 ) 理赔到达的计数过程 ( r ) ，r 0 ，( f ) 表示在 o ，t 】内发生的理赔总次 数： ( 3 ) 理赔额序列 五，k l ，五表示第七次理赔的理赔额 若令s ( ，) = 以，则s ( ，) 表示【o ，r 】内的理赔总额，而u ( r ) = “+ r ( f ) 一s ( r ) 表示盈余过程，也就是保险公司在t 时刻的盈余( 或累积资本) 。其中“为初始准 备金 风险模型的最简单情形为经典风险模型经典风险模型需要如下附加假设 ( 1 ) 保费收入过程 r ( f ) ，0 为时间t 的决定性函数r ( ，) = c t ，0 ，其中c 是一常数，表示单位时间内收到的保险费： ( 2 ) 理赔到达的计数过程 ( f ) ，t 2 0 为一齐次p o i s s o n 过程，具有参数五： ( 3 ) 理赔额序列f k ，k l 为独立同分布的随机变量序列，它们有共同的分 布函数f b ) = l f b ) 和密度函数p ( x ) ，且e 【鼍】= 芦 。： ( 4 ) 理赔到达的计数过程 ( ，) ，t 0 和理赔额序列 以，k 1 ) 相互独立 也就是说经典风险模型的盈余过程为 ( t ) u ( f ) = “+ 甜一五 ( 1 2 1 ) k = l 该盈余过程的一条样本路径见下图 u ( t u o ， u ( t ) 彳 ， 刚唯邓 j u ( t ) l ： | r 在风险理论中一个重要问题是研究破产概率，也就是盈余过程 u ( ，) ，t 0 在某时刻小于零的概率，写成数学表达式即为 y ( “) = p ( r 0 称为相对安全负载 当然，我们这里定义的盈余并非财务意义上的，我们只是为了数学上的方 便而已，所以我们这里所说的破产也不一定就是保险公司无力偿还债务或即将 倒闭，如果把财务上其他影响盈余的因素都考虑在内的话，盈余仍然可能为正 的或者可能回复为正的但是，我们所研究的破产概率仍是衡量一个保险公司或 者所经营的某个险种的金融风险的极其重要的尺度，可以为保险公司决策者提 供一个早期风险的警示手段，也为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提 供依据因此，破产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管都是有 非常重要的指导意义的 在对破产理论的研究中，无论是最初建立的经典风险模型还是大量研究者 推广后的模型，在一般的情形下，要找到破产概率的明确表达式都是非常困难 的，所以寻找破产概率p ( “) 的上界不等式是众多概率研究者研究的核心问题 在经典风险模型中得出了l u n d b e r g 不等式 0 ) 口一， 其中r 称为l u n d b e r g 指数，有时也称为调节系数，一r 为关于f 的方程 z e - a f ( x ) = 一c 孝+ 旯 ( 1 2 2 ) 的唯一负根，方程( 1 2 2 ) 称为l u n d b e r g 基本方程，有时也称为调节方程 我们知道了调节系数r ，就知道了破产概率的上界因此，在保险和再保险 中，对于调节系数r 的计算是非常重要的调节系数r 也是保险和再保险中的衡 量安全目标的重要指标 对经典风险模型研究得出的结果主要有以下几个方面 ( 1 ) v ( o ) = 竺= 去， ( 1 2 3 ) ( 2 ) y ( “) = 芸r ( “一z ) f ( x ) 出+ 詈f f ( x ) 出 ( 3 ) l i m e “( “) = c ( g 为常数) 。 - ( 4 ) v “) e 一， ( 5 ) 吣) = ( t 一薹( 纠( - 州“) ) ， 其中g ”( “) 是g ( “) = i 1r f ( x ) 出的疗重卷积 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 经典风险模型的结果为破产理论的发展奠定了基础，但是由于风险模型本 身有着许多缺陷，对保费收入的描述不够合理，理赔到达过程的描述有待于改 进，于是很多研究人员对经典风险模型进行了多种推广和改进，其中 a s m u s s e n 1 1 ，1 2 ，f e l l e r 1 3 ，g e r b e r 6 ，7 ，g r a n d e l l 8 ，吴荣 1 4 ，1 5 ，1 6 ， 成世学 1 7 2 0 等为风险模型的发展做出了巨大的贡献 1 3 破产时刻罚金折现期望 文献 2 1 中，g e r b e ra n ds h i u 在经典风险模型下引入了破产肘刻罚金折现 期望的概念，定义经典风险模型( 1 2 1 ) 下的破产时刻罚金折现期望为 庐( “) = e p ”w ( v ( r - ) ，l u ( r ) 1 ) ( r 0 分别为保险公司的初始盈余和单位时间的保费收入； u ( o ，t 0 是参数为a 的p o i s s o n 过程且( r ) 表示时间区间【o ，以上的理赔次数；( t ，i l 为 非负独立同分布的随机变量序列，t 表示第k 次理赔量，每个置都有相同的分 布函数f ( x ) 和密度函数p ( x ) ，且f ( o ) = o ，e 【t 】= a o ： ( f ) ，t o 与 五，t 1 相 互独立对于r o , u ( t 1 表示保险公司在时刻f 的盈余 破产时刻r 定义为r = i n f t o ：u ( f ) u ( o ) = “，盈余首次到达x 的时刻t 定义为= i n f t o ：u ( t ) = x ，其 中_ m f o = * ( 注：由t u ( t ) 无向上的跳跃，这里没有定义为= i n f t 0 ：u ( r ) x ) ) ： 盈余首次到达x 的概率定义为_ p 伍c m l u ( o ) = “) 首先介绍有关鞅的一些概念和知识 定义2 4 1 在完备概率空间( n ，f ，p ) 中，令 f f , t 0 是f 的非降子7 代数流， 称随机过程 x ( ) ，t o ) 是关于 ，t o 的鞅，若有 ( 1 ) x ( t ) 是f ，可测的： ( 2 ) e i l x ( 钏 ( d o ，v t 0 ： ( 3 ) 对0 s 0 ，恒有 e 【x ( t ) 】= e 【e x ( t ) l f 0 】= e 【x ( o ) 】 ( 2 4 1 ) 定义2 4 2 称非负广义随机函数f ：q 斗f o ，m 1 是关于随机过程 x ( t ) ，t o ) 的随机时间，若对一切t 0 ，有 7 _ 茎好盯( x ( 8 ) ：s t ) ，其中 a 僻( s ) ：s t ) 表示包含一切形如 x ( 8 ) sz ( s s 毛盘冗1 ) 的事件的最小o - 代 数 特别，称随机时间f 是关于随机过程 x ( ) ，t 2o 的停时，若尸( f m ) = 1 称停时f 是关于随机过程 x ( ) ，t o ) 的有界停时，若存在常数k ，使得 p ( f k ) = 1 不难验证，若f 是关于随机过程 x ( t ) ，t o ) 的随机时间，则对任意固定的 时刻f ，f r = m i n v ， 是关于随机过程 x ( ) ，t o ) 的有界停时 鞅论的一个重要结果是有界停时定理，即给出适当的条件，使得 驯x ( t ) 】= e 【x ( o ) 中的t 置换成随机时间时仍然成立 引理2 4 3 假设f 是关于鞅 x ( ) ，t o ) 的有界停时，则有 e p ( r ) = x ( o ) ( 2 4 2 ) 鞅论的另个重要结果是收敛性定理 引理2 4 4 设 x ( t ) ，t o ) 是一非负鞅，则存在几乎处处收敛的有限极限， 即有 懋x ( ) = x ( o o ) 0 ) 都是平稳独立增量过程，对o s c f ，恒 有 e 叫。+ 砷o i f ， = e ”o ”。 p 。o ”o 卜“州l f 玎巾”州4 e p 。巾”州”州一小州。层 一h 。o “o ” ：e - r ( ，州幢卜( _ 州卅俐州巾p i ) ) e 脚。卜9 善以l 【j 玎巾p 舡忱 。刊州州枷 棚川审一十叫 ；e 却) + 肌) e 嘶叫芳( f _ “e 州一) 卜) e 肿叫e 廿，川t 一) ：州训，) j ( 1 r 一( 枷一牛r m ) ) ：e - ( 小( 4 ) 0 “) o ：p 一7 ( 小p u ( “ 故p “o ”。，f o 为关于e ，f o ) 的鞅 同理可证 e 一州“呻，f 0 也为关于 f r ，f o 的鞅口 定理2 4 6 若调节方程( 2 2 2 ) 有唯一非负根点= p o 和唯一负根最= 一r ”0 。有 p ( t l 【，( o ) = ”) = g p ( “ e e - ( “譬一r p l l ) 卜i t ，【，c 。，= “ ( ”) = p ( 7 o 取定的i 0 0 ，易知，、瓦和，n t 都为有界停时。由引理2 分别得 e p _ = e e 。n ”“以，( t 0 l u ( o ) = “】+ e e 。o ”4 “o ，( ，o i u ( o ) = “ ， e - r u = e e 一“7 “p i ( r - ，) i c ，( o ) = ” ee e - 呻”一o ，( ( ，) sx ) p ( o ) = ” ：e i 。一( f 譬一r 一，一1 1 + p u ( u ( o ；) u ( 。) ；。 ， l j 由6 z 譬埘er - i ) 得：o s 少譬。砷巾( ，) 玉。) 妒 注意到舰u ( ，) = m ，一，由控制收敛定理得 现e 。( “譬。( f 。- i 口+ ( f 】，( 【，( ，) ；，) | u ( 。) ；。 ：。 由( 2 4 7 ) 和( 2 4 8 ) 知： 骢e e 砷”挑j ( t ，0 1 u ( o ) ；“ = o 再由单调收敛定理得 憋e p 删淝s o l u ( o ) = “ = 占p 孙眺也t m ) ) = ” - 在( 2 。4 。5 ) 两端令，- + * ，并注意到( 2 4 9 ) ，( 2 。4 。i 0 ) 得 e ”= 吐e 叫引训引啦co o ) l u ( o ) = “ = e ”e e 叫j 伍cm ) i u ( o ) = ” 由此可得 j p ( c p ( 0 ) 2 ”) 2 i f 了瓦可i e - 二p o ：- 碉) = ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 4 1 0 ) 酽翮 且( 2 4 3 ) 成- 0 对于( 2 。4 6 ) ，有 o e e - 7 o 。“9 ，( r ，) f c ，( o ) = “ - o ) l u ( o ) = ：e 。( j 一譬一r 1 一i ) i - e u ( q l ( ：u ( ，) ：。) j 【，( 。) ：。 ( 2 4 11 ) l j 由6 ：譬+ ( 。一一1 ) 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