（运筹学与控制论专业论文）基于偏度的多期组合投资调整模型.pdf

中文摘要 投资组合理论是金融学中的重要研究课题之一，其目的是寻求一个在给定收 益水平下使投资风险最小化，或者在给定的投资风险水平下使投资收益最大化的 最优投资组合。v a r ( v a l u e ：a t - r i s k ) 是近年来提出的新的风险度量方法，尤其 其计算方法，已经引起众多研究学者们的注意，成为金融风险管理领域研究的前 沿课题。 本文首先介绍了投资组合理论的现状和风险管理与v a r 的历史背景。随后在 介绍经典的均值一方差模型的基础上，总结了近年来几种拓展模型；介绍了v a r 的定义、性质、计算方法及其应用。在建立模型时，本文创新有以下几个方面： 1 将单一期模型扩展到多期 由于不同时期资产收益率以及投资者对风险和收益偏好的变化，加之资金 等条件的限制，大多数组合投资问题具有明显的动态特征。本文把单期投资组合 拓展到多期，建立了多期投资组合调整模型，并给出实证分析验证模型的有效性， 这对投资者的连续投资行为具有一定的指导作用。 2 加入v a r 限制条件，研究了偏度下的带有交易费用的组合投资模型 迄今为止，对于均值一方差模型，其研究的局限和不足很多，般都是侧重 或者只考虑交易费用、或者只考虑三阶矩，本文同时考虑了交易费用和三阶矩， 并在期望收益中减去交易费用得到净收益作为一个约束条件；在投资者具有一定 的风险承受能力的假设下，加入了v a r 限制条件，提出了基于偏度的多期投资组 合模型，讨论了解的矩阵形式。 在最后，总结了本文的研究工作并对进一步的研究方向进行了展望。 关键词：投资组合；多期；交易费用；v a r ；偏度 a b s t i 认c t p o r t f o l i ot h e o r yi so n eo f t h ei m p o r t a n tr e s e a r c hc o n t e n ti ne c o n o m i e s i ta i m st o a t t a i nt h ep o r t f o l i o so ft h em a x i m 哪o fi n v e s t m e n t sl e 栅l mw i t ht h e 西v e nv a l u eo f t h er i s ko f p o r t f o l i oo ro f t h em i n i m u mo f i n v e s t m e n t sr i s kw i t ht h eg i v e nl e v e lo f t _ h e i n v e s t m e n t sl e t l l r l lv a r ( v a l u e - a t - r i s k ) , w h i e ha l en e wr i s km e a s u r e m e n tm e t h o d s ， a l cp u tf o r t hr e c e n t l ya n di s g i v e na t t e n t i o n sb ym o l ea n dm o r er e s e a r c h e r si n p a r t i c u l a r , a n db c c o l l l e sal a t e s tr e s e a r c hc o n t e n ti nt i l l a l l e e sr i s km a n a g e m e n t m u p d a 埘d e v e l o p m e n ts i t u a t i o no fp o r t f o l i oa n dt h eb a c k g r o u n do fv a ra r c i n t r o d u c e da tf i r s t t h el a t e s te x t e n s i o nm o d e l sa r cd i s c u s s e do nb a s i so ft h ec l a s s i c m o d e li np o r t f o l i o st h e o r i e s ，w h i c hw a st h em e a n - v a r i a n c em o d e l ；o nt h ef o u n d a t i o n o f t h ed e f i n i t i o na n dc h a i a c t e 格o f v a r , t h ec o m p u t a t i o nm e t h o d sa n da p p l i c a t i o na t e p r o p o s e d o nc o n s t r u c t i n gt h em o d e l ，t h em a i ni n n o v a t i o n si nt h et h e s i s a r ca s f o u o w s 1 e x t e n d i n gt h eo n e - p e r i o dp o r t f o l i om o d e lt om u l t i - p e r i o d a st h ev a r i a t i o no ft h er a t eo ft h er e t u r na n dr i s k , i na d d i t i o nt ot h el i m i t a t i o no f t h em o n e y , t h ep o r t f o l i oh a se x a c t l yc l y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s s ow ec o n s t n l c tt h e a d j u s t i n gm o d e lo fm u l t i - p e r i o dp o r t f o l i ow i t hi r a n s a e t i o nc o s t s a n df i n a l l y , a n u m e r i c a le x a m p l e i sd i s p l a y e dt ot e s tt h em o d e l 2 o u rm o d e lc o n s i d e r st h ef a c t o r so f 、，a rl i m i t , t r a n s a c t i o nc o s t sa n ds k e w n e s s s i m u l t a n e o u s l y u pt on o w , r e s e a r c h e so na v o i d i n gt h ed r a w b a c k so f u s i n gm v m o d e la r el i m i t e d o ns o m es e c t i o n so fc o n s i d e r i n go n l yt r a n s a c t i o nc o s to ro n l yt h i r dm o m e n t a n dt h e n e te x p e c t e dr e t u l nw h i c hi so n eo ft h el i m i to ft h em o d e l ，i st h ee x p e c t e dr e t u r n s u b s i d e db yt h ec o s t s o u rm o d e l ，w h i c hi n l r o d u e e s ri n t ot h el i m i t s ，c o n s i d e r st h e t w of a c t o r sa b o v es i m u l t a n e o u s l yu n d e rt h el l s s t l m p t i o no fi n v e s t o r s s t a t e d e n d u r a n c e 。t h e nt h em a t r i xf o r mo f t h es o l u t i o ni sd i s c h s s e d f i n a l l y , w eg e tt o g e t h e rt h ep a p e ra n dm e n t i o n e dt h ed i r e c t i o n so ft h ef u r t h e r r e s e a r c h k e y w o r d s ：p o r t f o l i o ；m u l t i - p e r i o d ；t r a m a e t i o nc o s t ；v a r ；s k e w n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：雀红岩 签字日期：p f 年f 2 - 月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：崔二1 名 签字日期：p o f 年二月，日 导师签名： 秘 签字日期：埘广年位月形日 第一章综述 第一章综述 1 1 关于证券投资组合理论的研究 1 1 1 证券投资组合及其风险的定义 证券投资组合( p o r t f o l i o ) 是指同时投资于多种证券，如股票、债券、存款 单等。投资组合不是券种的简单随意组合，它体现了投资者的意愿和投资者所受 到的约束，即受到投资者对投资收益的权衡、投资比例的分配、投资风险的偏好 等的限制。之所以进行证券组合投资，是因为在充满风险的证券市场上，单独投 资于某一种证券，人们将不得不面临价格下降所带来的损失，而进行分散的投资， 即组合投资，可以在一定程度上降低风险，达到尽可能高的收益。 经济风险是经济系统中的重要概念之一。它的起因是经济系统中存在与未来 有关的不确定性。经济中的不确定性通常分为两类：一是产出的不确定性，二是 价格的不确定性。风险可以定义如下： 定义( 风险) 1 1 风险为未来结果的不确定性所产生损失的可能性。 证券投资风险的实质是投资者遭受损失的可能性和损失的大小，这也是投资 者最为关心的风险内容。但这样的风险定义没有定的客观性，它随着投资者的 不周而有着不同的内涵和大小，这取决于投资者所处的外部环境和内在素质，所 以难以对风险进行具体量化。为了使每一个证券的投资风险有一个客观标准和数 值量化，一般把证券投资风险定义为投资结果的不确定性，即证券的实际收益率 和期望收益率的偏离的可能性和偏离的程度。从这个意义上说，证券投资风险并 不完全意味着损失，而只是意味着预期收益的不确定性、波动性，损失只是风险 的一半内涵，它的另一半内涵是盈利的可能性和盈利的大小。高收益一定伴随着 高风险，高风险一般也会给投资者带来较高的风险补偿。 证券投资风险可以分为非系统性风险和系统性风险。通常因某个行业或企业 素质改变而带来的证券价格变化，且与其他证券的价格收益没有内在的必然联 系，不会因而影响其他证券的收益的风险，由于这种风险是非系统的，所以这种 风险被称为非系统风险。这种风险是投资者在进行投资时，由于选择的投资种类 和分配的投资比例不同而引起的风险，它是可以通过合理投资而分散的，因此又 称为可分散风险或可回避风险。系统风险是经济系统中固有的、所有投资者都要 承担的风险，它主要由经济活动的不确定性而引起。系统风险包括信用风险和经 营风险。 第一章综述 1 1 2 现代证券投资组合理论研究的历史和发展现状 1 9 5 2 年芝加哥大学的哈里马克维茨( h m a r k o w i t z ) 教授提出的“证券组合 选择理论”( p o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r y ) 标志着现代投资组合理论的诞生，马 克维茨在该文中第一次从风险资产的收益率与风险之间的关系出发，讨论了不确 定性经济系统中最优资产组合的选择问题，并得出了著名的基金分离定理。 在此之前，投资者在进行投资时普遍采用的原则是：最大化未来收益的贴现 值，其结果导致早期经济学家( 通常称之为新古典主义经济学家) 忽视了对风险进 行定量分析的努力而一直停留在定性分析上【2 翔。马克维茨对此提出质疑，指出： 在这样的准则下，证券组合将由唯一的一个证券，即具有最高贴现率的股票所组 成。这与实际观测到的投资分散现象相矛盾。在此期间，一些经济学家已注意到 风险的危害性及当时的证券组合理论的缺陷，并对风险的描述进行了多种尝试。 1 9 3 8 年马尔夏克( m a r s c h a k ) 1 4 1 提出了用均值一方差空间中的无差异曲线来描述 投资者的偏好问题；冯诺曼( n e u m a n n ) 和莫根斯( m o r g e n s t e m ) 1 5 j 提出了不确定情 形下证券组合选择问题。在此基础上，马克维茨【6 】于1 9 5 2 年发表了题为 “p o r t f o l i os e l e c t i o n ”的开创性文章，标志着一种全新的证券组合理论的诞 生，使人类在风险的定量描述和证券组合选择理论方面大大地迈进了一步，马克 维茨也因此获得了1 9 9 0 年的诺贝尔经济学奖。此后，马克维茨1 7 】和托宾( t o b i n ) 雎l 的进一步研究完善和解决了单阶段证券投资组合问题，具有历史性的意义。 在马克维茨的工作之后，另外两位美国经济学家、诺贝尔奖获得者威廉夏 普( s h a r p e ，w i l l i a mf ) 和约翰林特纳( l i n t e r ，j o h n ) ，分别在1 9 6 4 年发表的 论文资本资产定价：风险条件下的市场均衡理论1 9 和1 9 6 5 年发表的论文风 险资产的价值：股票资产组合的风险投资选择，资本预算【i 卅中，在比较强的 市场假设下，给出了马克维茨均值一方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型 ( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ，简称c a p m ) 。 此后，投资组合理论得到了较快的发展。在这些研究中，一个较为突出的问 题是对投资风险的概念及度量方法的把握。马克维茨的“方差( v a r i a n c e ) ”风 险评价指标对以后人们关于证券投资的研究工作有着十分深远的影响。现代证券 组合选择理论经过四十年的蓬勃发展，研究者对风险的度量方法不断进行改进， 取得了丰硕的成果，基于不同的风险刻画( 如方差、半方差、绝对偏差、口系数、 模糊数等) 和不同投资准则( 如最大化期望收益率、最小化风险、最大化几何平均 收益率、最大化单位风险收益、安全第一准则等) 下的证券组合选择理论如雨后 春笋般的相继出现“”，其中最具有代表性和广为采用的是均值一方差理论、效 用理论和随机排序方法。近年来，金融学家和研究者们又提出了新的度量方法， 如文献 1 2 提出的“收益率倒数损失”、文献 1 3 提出的“差异系数”等。但是， 第一章综述 这些风险的度量都没有脱离“方差”这个框架。 1 9 9 3 年，国际清算银行宣布有意引入一种针对市场风险的资本金要求的“风 险价值”( v a l u e a t - r i s k ，简称v a r ) 的概念。从此，国内外的经济学家和研究者 们对这种风险度量方法进行了广泛而深入的研究，使y a k 方法在度量风险、预测 风险和确定投资组合方面取得了较大的成功。现在已经有许多的研究机构如三十 人小组、国际掉期交易商协会等都把y a r 作为测量市场风险的尺度。欧盟从1 9 9 7 年起，美国从1 9 9 8 年起，在许多大银行中已经使用其内部模型计算交易帐簿下的 v a r 损失，并计算针对市场风险的资本要求。 对v a r 的研究分为两个方向：一是对y a r 理论的进一步深化，主要表现在对y a r 的经济意义的进一步解释，即把由国际清算银行定义的v a r 的概念发展到投资组 合收益率损失的v a r 上来。 另一个方向是对v a r 计算方法的研究【l ”，主要的计算方法分为三种：历史 模拟法、分析法、m o r t ec a r l o 方法。历史模拟法即对历史数据利用统计方法来 估计市场因素的参数，再模拟市场因素未来的变化；分析法是首先分析市场因素， 且将组合价值用市场因素表示，然后假设市场因素所服从的变化，估计出其分布 的参数，再模拟市场因素未来的变化；m o r t ec a r l o 方法则是直接根据历史数据 模拟市场因素未来的变化。对计算方法的研究主要是对三种方法的改进或修正 1 1 4 ，如使用非参数方法来代替参数法、把历史模拟法和参数法结合起来等，使 计算出的结果更符合实际的经济情况。 1 2 本文的选题背景和意图 现代投资组合理论中的马克维茨投资组合理论嘲、夏普资本资产定价理论 0 6 等给我们提供了理论上的指导，然而一些理论由于与实际之间存在较大的差 异，因此缺乏可操作性。 1 2 1 马克维茨证券组合理论及其假设条件 马克维茨证券组合理论认为：投资者进行决策时总希望用尽可能小的风险获 得尽可能大的收益，或在收益率一定的情况下，尽可能降低风险；或在满足即定 风险的情况下，使其收益最大。这一组合投资思想被投资者广泛接受，但它的定 量模型是建立在一系列严格的假设条件基础之上的1 6 j ，主要包括： ( 1 ) 投资者以期望收益率来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方 差来衡量收益的不确定性，因而投资者在决策中只关心投资的收益率和方差。 ( 2 ) 投资者的目标是：在给定风险上收益最大，或者在给定收益水平上风险 第一章综述 最低，就是说，投资者都是风险避免型的。 ( 3 ) 证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的内在经济价值，每个投资 者都掌握充分的信息，了解每种证券的期望收益率及其标准差。 ( 4 ) 各种证券的收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相 关系数或者收益率之间的协方差来表示。 ( 5 ) 每种证券的收益率都服从正态分布；证券无限可分，也就是说投资者可 以购买股份的一股；投资者可以无限借入资金；并且税收和交易成本不予考虑。 其中假设条件( 1 ) 一( 4 ) 为马克维茨对模型的假设，假设条件( 5 ) 为模型的隐 含假设。 1 2 2 马克维茨证券组合理论在运用上存在的问题 假设条件( 1 ) 是意味着运用方差作为风险的测度工具，但方差未必是最好的 风险测度工具。 假设条件( 2 ) 牵涉到投资者对风险的效用评价问题，这个问题是目前国际投 资理论界的一个热点问题。 假设条件( 3 ) 是相当苛刻的条件，即使在成熟的股票市场也是无法满足的。 信息具有不对称性是普遍情况，证券市场更是如此。 假设条件( 4 ) 不仅要求每种证券收益率是相互关联的，还要求这种关联的相 对稳定性。马克维茨是根据以往各种证券之间的关联方式和关联程度来推测它们 未来的关联情况。由于投资者之间的博弈的影响，证券之间的关联情况常常发生 较大的变化，这使得通过以往的数据计算出来的证券收益率的协方差矩阵未必能 够代表未来的情况。 多数统计资料表明，各种证券收益率并不一定服从正态分布，即假设条件( 5 ) 不一定能够得到满足，在证券收益率不服从正态分布情况下马克维茨的模型会失 败。交易单位无限可分在中国证券市场上是不能得到满足的，我国股票市场上股 票的最小交易单位是一手( 1 0 0 股) ，若以马克维茨模型的计算结果进行近似可能 造成较大的偏差。同时假设投资者可以无限制地借入资金也是在当前市场中不可 能做到的。众所周知，目前我国的证券市在进行证券交易时是收取佣金和印花税 的，佣金和印花税属于交易费用中变动的部分，因此在金融交易实证中，必须要 考虑交易成本。 1 2 3 证券投资优化模型改进的一些思路 通过以上分析可知，在证券市场实际中，马克维茨的证券投资组合模型的前 提假设部分可能失效，因此模型的可操作性差。为了满足证券投资领域的需要， 第一章综述 改进马克维茨模型已势在必行。基与以上分析与结论，本文将以新的思路提出更 符合实际的风险度量指标和优化模型。 本文研究内容来源于现代金融市场中的一个主要研究方向有风险控制 的最优资产组合问题。研究思路是采用目前研究最多、最为广泛的风险度量方法 v a r 作为风险度量工具，对最优资产组合模型进行研究，克服了投资者绝对风险 厌恶的假设；考虑到证券市场不可忽略的交易费用；使研究不再局限在二阶矩的 框架下，并把单周期扩展到连续操作的多周期情形。 1 3 本文的内容安排 本文共分为五部分，内容安排如下： 第一章综述部分，介绍证券组合问题及风险度量问题的研究背景及研究现状， 对本文的选题进行了分析，给出了本文主要的研究工作。 第二章在介绍传统的均值一方差模型的基础上，对最新的单期投资组合研究状 况进行了总结。对基于二阶矩的各类风险刻画方法下的投资组合模型，主 要研究y e - 一s h ( 半方差，也称e s v ) i 1 7 , 1 s l 、绝对离差呻】、基于“差异系 数”、基于“收益率倒数损失”的投资组合模型及一般均值一方差效用函 数下的投资组合模型。 第三章在风险价值v a r 定义的基础上，介绍了三类计算v a r 的主要方法：历史模 拟法( h i s t o r i c a ls i m u l a t i o n ) 、蒙特卡洛模拟法( o n t ec a r l o s i m u l a t i o n ) 、分析法( a n a l y t i cm e t h o d s ) ，并研究了两种计算风险价值 v a r 的改进模型基于极值理论的v a r 估计模型和基于b o o t s t r a p 的区间 估计模型，并用数理统计的方法进行了分析。最后分析了v a r 在投资组合 中的应用。 第四章介绍了基于偏度的多期投资组合模型的建立及模型的分析、讨论，这是 本文的重点。该模型以各期的累积偏度作为目标函数，采用风险价值v a r 代替方差作为风险度量指标，并考虑交易费用的影响，迈出了二阶矩及单 周期投资组合操作的限制，对多期投资决策的最优资产组合问题进行了数 学建模基于偏度( 即三阶矩) 的多期最优资产组合模型，并对模型的 解的形式进行了有益的探讨。为验证多周期下基于偏度的最优资产组合模 型的有效性，本章利用我国股票市场的实际数据进行了安证计算与分析。 第五章总结与展望，对本文进行了总结，并对进一步的研究工作进行了展望。 第二章基于不同风险刻画的单周期组合投资模型 第二章基于不同风险刻画的单周期组合投资模型 m a r k w i t z 在1 9 5 2 给出的均值一方差组合投资基本模型奠定了现代金融理论 的基础。该模型建立在一个无摩擦的市场上，按一定的投资比例将资金投入到各 种风险证券( 或加入无风险证券) 上，以较小的风险获得较高的收益。在这个模 型的基础上，许多学者将其拓展为不同的数学模型，本章将简单介绍几种主要模 型： ( 1 ) e - 一s v 风险度量下的最优投资组合模型 ( 2 ) 绝对离差风险度量下的资产组合模型 ( 3 ) 基于“差异系数”风险度量下的资产组合模型 ( 4 ) 基于“收益率倒数损失”的资产组合模型 ( 5 ) 一般均值方差效用函数下的投资组合模型 2 1 传统的均值一方差投资组合模型 首先，对证券市场作如下的假设： 1 、设投资者将资金投入到疗种证券，并设证券市场无摩擦( 即不考虑交易费 用、无税收、资产无限可分) ： 2 、没有卖空限制； 3 、风险和收益分别用收益率的方差和均值来刻画。 设n 种证券的收益率分别为，；，f = l ，2 ，疗，用向量 ，= ( _ ，r 2 ，) 7 来表示；期望收益率分别为鸬= e ( ) ，i = 1 ，2 , - - - , n ，用向量 u = l i ，】= ，鸬，以) t 采表不；方差分别为砰= d ( ) ，j - 1 ，2 ，行，协方差 为嘞= 州( ) ，岛= c o v ( 秽焰表示第f 种证券与第_ ，种证券收益率的 相关系数，的协方差阵用q 来表示。j = “，而，而) 7 表示组合的证券投资比 例向量，满足e n t x = i ，p 。= ( 1 1 ，1 ) 7 为元素全为1 的栉维列向量。组合证券投 资的收益率为r = r 7 z = 薯，则投资组合的期望收益率为 r p = e ( r ) = 窆卢，墨，投资组合的风险( 方差) 2 = 窆窆z ，_ ：x ，似。 i - if 。l 1 = 1 m a r k w i t z 证券组合理论认为：投资者进行决策时总希望以尽可能小的风险获 第二章基于不同风险刻画的单周期组合投资模型 得尽可能大的收益，或在收益率一定的情况下，尽可能降低风险，即研究在满足 预期收益群的情况下，使其风险最小；或在满足即定风险厅；的情况 下，使其收益最大，亦即通过下面模型( 2 - 1 ) 或( 2 - 2 ) 来进行证券组合投资决策。 m m s j m a x s 1 = 而_ t = 1 = 1 pixi芝r0p(2-i) 薯= 1 = 朋 1 f f i l x | 0 9 x js 口- 2 p j ，l 工= 1 该模型成立的前提条件为( i = 1 ，2 ，以) 服从正态分布。 2 。2 均值一方差投资组合模型的拓展模型 ( 2 - 2 ) 本小节主要介绍从2 0 世纪5 0 年代以来许多学者研究较多的一些模型： e s h ( 半方差，也称e s v ) 风险度量下的最优投资组合模型；绝对离差风险度量 下资产组合模型；基于“差异系数”风险度量下的资产组合模型；基于“收益率 倒数损失”的资产组合模型等。 2 2 1e s v 风险度量下的最优投资组合模型s 1 使用此种风险度量的研究者们对风险的认识与其它学者是不一样的。他们认 为：投资风险来源于期望收益率的减少，只有当实际的证券收益率低于期望收益 率时，才产生投资风险。设x 为一随机变量，h 是一实数，记 ( 工一h ) - = m i n ( x - h ，o ) ，( x 一而) + = m 寂( x 一矗，0 ) 。 p s v 风险度量的数学表示式为： 厂( 耶) = 町_ ( 2 3 ) ，l l ，l 其中，= e ( r 一眺) 一( 弓- 码) - ，( i ，j = l 2 ，押) 。 一7 一 第二章基于不同风险刻画的单周期组合投资模型 e s v 风险下的资产组合模型为： r a i n f ( r , ) - - z x 岛x j ，i l j - i s 1 h 群 1 1 ( 2 - 4 ) 五= l - 1 1 五0 ( i = l ，2 ，刀) 此模型虽然消除了均值一方差模型中对风险资产的收益服从正态分布的假 设，但其半方差与半协方差阵计算较繁琐。 2 2 2 绝对离差风险度量下的资产组合模型d q 绝对离差风险度量的数学表示式为： l h l ，( x ) = e l 而一而鸬i ( 2 埘 l ，t l i 。i l 而在该风险度量下的组合证券投资模型为： inhi m i n f ( x ) = e l t 一五鸬i “t 畔 薯- - l 薯0 ( f - - - l 2 ， ) ( 2 6 ) 该模型以离差作为风险度量，因此可以转化为一个线性规划问题进行求解， 并确定其有效边界。e _ 一s v 与绝对离差风险模型都对均值一方差模型进行某些改 进：如不需要正态分布假设( e _ 一s v 模型) ，不需要计算协方差阵( 离差风险模 型) 等，但它们都是均值一方差框架下的模型，仍假设投资者为风险厌恶者，且 没有对风险厌恶程度进行具体的描述。 2 2 3 基于“差异系数”风险度量下的资产组合模型m 利用各种改进的均值- - ：y t 模型求出的解并没有直接反映出投资组合的期 望收益率巧和风险之间的内在关系。文 1 3 提出了差异系数鲁，其经济学含 第二章基于不同风险刻画的单周期组合投资模型 义是投资者在所承受的单位风险下的收益率。在投资组合中，差异系数很好地反 映了投资组合的期望收益率和风险之间的均衡关系。由投资的目标可知，在所承 受的单位风险下的收益率值越大越好，所以基于“差异系数”风险度量下的资产 组合模型如下； m m m 驭 鸬而= 群 t = l z x , = l s = l 而 - 0 ( i = l ，2 ，一) 当然，在求解此模型时必须同均值方差模型一样，在给定的“差异系数” 下求最优投资组合使方差最小，且有群【。，j k 。】。 2 2 4 基于“收益率倒数损失”的资产组合模型【1 2 】 “收益率倒数损失”的风险度量方法来源于质量损失函数。设产品质量特性 为y ，目标值为f ，其损失函数定义如下：三( y ) = k ( y f ) 2 ，其中七是损失系数， 随质量特性之价值而定。 仿此方法，将投资损失设定为投资收益率的倒数，则投资损失函数可表示为： 嘶) = 七( 2 - 8 ) 其中， 0 ，七为损失系数，随投资者的风险偏好而定。因为七为相对概念， 不妨设j = 1 。 对损失函数利用泰勒近似法：e l ( r ) = 版1 + 7 2 ，其中r 为投资收益率。 由此可以看出，收益率倒数损失风险度量的近似式是差异系数风险度量的一个特 殊函数。 2 2 5 一般均值一方差效用函数下的投资组合模型 在风险投资中，每个投资者对风险的态度是不相同的：一部分投资者为了获 取最大的收益而不顾风险的增大，这样的投资者是喜好风险的；另部分投资者 总是选择最小的风险资产来进行投资，但对其所得的较小收益却不太在意，这样 的投资者是厌恶风险的。衡量这种风险厌恶程度的方法可使用效用函数。“效用” 1 o 而 。一 芝。饵畔，嗽 第二章基于不同风险刻画的单周期组合投资模型 是指人们对于一项行为的满意程度，是一种主观心理感受。 定义f 1 7 j ( 风险态度) 设某个投资者的效用函数为u b l ，设其二阶连续可导， 且严格单调递增，那么：如果扩( x ) 0 ，则称该投资者是风险喜 好的。 根据风险厌恶的定义知，具有凸效用函数的投资者都是风险厌恶的，称 ( x ) = 茜楞为爱罗一伯瑞特( a r r o w p r a t t ) 绝对厌恶风险函数，相应地分别称 r o ) 2 百石1 了，月( 工) = 州o ) 为风险容忍函数和相对风险厌恶函数 对于均值方差效用函数u ( r 1 ，这里的r 为证券投资组合收益率，于是 e ( ( 厂( 矗) ) = 矿( 彤，) 。因此按照效用最大化准则，对证券组合的决策模型可以 写成嘲： m a x 矿( r ，仃；) s j p ：x = 1 ( 2 9 ) 选择投资组合是一种使投资者期望效用最大化的活动，这需要先推导出投资 者关于风险和回报率的效用函数u ( r 1 。按照古典经济学的分析，这个效用函数 是用均值一方差来表现风险一回报率相互替换的大小和形式的，在风险一回报率 平面中把它称为无差异曲线( i d c ) 2 0 1 。图2 1 是某个投资者的无差异曲线，在曲 线上的各点进行风险一回报率相互替换对该投资者来说是无差异的，一旦这些曲 线是已知的，则最优的投资组合就可由无差异曲线族与有效前沿的切点r 来确 定，该切点r 是此投资者一切被选投资组合中效用最大的投资组合，见图2 - 2 。 图2 一l 避免风险的投资者的无差异啤线 图2 2 有效前沿上的最优投资组合选择 尽管效用理论的概念十分清晰，可是在实际应用中实现却极为困难，这是因 为建立一个投资者的无差异曲线的完全模型简直是不可能的，甚至即使是只建立 第二章基于不同风险刻画的单周期组合投资模型 风险与回报率间相互替换的近似关系也极为困难。但可以给出一种近似方法，即 确定性等价回报方法l “j ，该方法对此问题的解决提供了一些新的思路。 这种方法可以简单概括地描述如下：首先，假定回避风险的投资者要通过一 个确定的百分率来“惩罚”一个具有风险的投资组合的期望回报率，其幅度与涉 及的风险成正比。投资者察觉到的风险越大，则惩罚就越大。可以把风险惩罚系 统的概念公式化。假定每一投资者都能基于期望回报率和风险为各被选投资组合 给出一个效用次序，具有较高期望回报率和较低风险的投资组合会有较高的效 用。用于计算投资组合效用的一个函数如下，其自变量为期望回报率和回报率的 方差： u ( r ) = 彤一丢4 ( 2 圳) 其中：u ( r 1 为效用值，而彳是一个反映投资者回避风险程度的指数。 正如上式所示，效用会随期望回报率的增加而增加，随风险减少而减少。这 与传统概念是相一致的。方差减小效用的大小依赖于指数4 ，即投资者回避风险 的程度。注意：若对于非回避风险并且对风险无差异的投资者，系数4 将会是零， 这时效用函数变为期望回报率的一元函数。对于投资者是回避风险这种更实际的 情况，一的数值以及惩罚的程度，随着投资者避免风险程度的加大而增加。 作为一个比较的指标，应注意：由一个无风险的投资组合所给出的效用就是 期望回报率本身，因为这时不存在惩罚( 方差为零) 。由于在选择有风险的或无风 险的投资组合时，我们可以把其效用值看成无风险投资的回报率，从而可以把投 资组合的价值解释为它对投资者的确定性等价回报率。换句话说，投资组合的确 定性等价回报率是使投资者感到同等满足的无风险投资组合的回报率。 对一个投资者来说，他对风险回避的程度是可确定的，即式中的系数彳是已 知的。则得到如下模型： m a x 占j 虽然效用理论能很好的刻画投资者的偏好，但是假定投资人是风险厌恶的 【i ”，运用效用函数来指导投资时，有以下几个缺点： 一、所谓效用指人们对于一项行为的满意程度，是二种主观心理感受。因此， 用效用函数来指导投资时，具有很大的主观随意性。 二、用效用函数指导投资时，必须假定投资者是风险厌恶的，并且对待风险 的态度是不变的，这与实际不相符。 三、在m a r k o w i t z 模型中，指导投资者进行投资的效用函数只包含方差与收 益这两项，而在实际投资中，投资者的情绪、心理等诸多因素对投资决策有影响。 一 盯4 l 一2 一 略 = r = 叭私 第二章基于不同风险刻画的单周期组合投资模型 四、用效用函数指导投资有违最优投资决策程度。投资人在投资的风险不超 出投资人的容忍限度内使收益最大化，效用函数指导投资时忽视了这一点。 鉴于以上分析，需要找出一种更有效的方法来描述投资者的心理，这将是下 一章的内容。 2 3 小结 本章在m a r k o w i t z 证券组合模型的基础上介绍了几种常用的投资组合模型， 虽然它们对风险的刻画指标不同，但是都没有脱离一阶矩、二阶矩一均值和方差 的范围。而且用效用函数在描述投资者的心理感受方面存在很大的缺陷，这就需 要寻找一种新的更有效的工具来刻画投资者的偏好，在以后的章节中将会介绍这 些内容。 第三章风险价值v a r 及其在投资组合中的应用 第三章风险价值v a r 及其在投资组合中的应用 i a r k o w i t z 的均值一方差模型给出了投资决策的最基本的也是最完整的框 架，是当今投资理论和投资实践的主流方法。投资人的最优投资决策程序是给定 投资人对待风险的态度，投资人在投资的风险不超出投资人容忍的风险限度内使 投资收益最大化，从而确定最优投资组合。 在上一章中指出，均值一方差、e s v 、绝对离差，差异系数等风险度量都 存在一些问题，而假定投资人是风险厌恶的，用效用函数来指导投资时，具有很 大的主观随意性，因此需要找一个更切合实际的风险度量工具。行为金融学认为 投资者对风险态度体现在投资者的预期财富低于某一确定值的概率上，因此在本 章中，将介绍符合这一思想的新的风险度量工具v a r 。 3 1 风险价值的介绍 3 1 1 风险价值m a r 的定义 风险价值( v a r ) 是在2 0 世纪9 0 年代初创立起来的一种风险度量方法。简单地 说，风险价值是某一投资组合( 或头寸) 在某个时间间隔内和一定的置信水平下最 大的潜在损失。y a r 定义如下： 定义3 1 1v a r 是指在一定的持有期内和给定的置信水平下，某一证券组 合所面临的最大潜在损失1 1 j 。其数学表示式为： p ( a p - v a r ) = a ( 3 一1 ) 其中a p 为证券组合在持有期“内的收益，v a r 为在置信水平a ( 通常取值为9 5 或9 9 ) 下处于风险中的价格。用图形表示，见图3 - 1 ： 图3 1y a r 的定义 第三章风险价值v a r 及其在投资组合中的应用 以上的定义是最一般的定义，如果考虑用回报率来表示v a r ，其定义为： 定义3 1 2v a r 是在市场正常波动与一定的概率水平下，投资者对手头的某 一金融资产在未来的一段时间内所能承受的最大损失i 蚓。其数学表示式为： 只( 0 时，有v a r ( c y ，口1 = c v a r ( y ，。 性质3v a r ( y , a ) v a r ( r ，1 口1 。 性质4v a r 关于s d o ) 单调的，即如果墨 ” ( 3 - 4 ) 该条件概率又可以写为： 跏) = 半篝：= 可r ( y + u ) - f ( u ) 净s ， 当z “时，x = y + u ，得下式： f ( 砷= 【1 一f ( 妒( 力+ ，( 砷 ( 3 6 3 3 1 2 广义帕雷托分布( g e n e r a ip a r e t od is t r i b u t i o l l ) 对充分大的阈值，超额数的分布可以用广义帕雷托分布近似。广义帕雷托分 布一般定义为： g 捌砷= l i f l + f 三丫 l7 j f 0 ( 3 - 7 ) 一e x p ( 一爿劁 其中，卢 0 。当f o 时，x 2 0 ；而当f 0 时，对应于厚尾的普通的帕雷托分布，这种情形 与风险测量最相关；f = 0 时，对应的是指数分布；f 甜 ( 3 8 ) 确定了阈值“之后，( “) 可以用业代替，是超过阙值的样本个数，玎 是样本容量。给定 第三章风险价值v a r 及其在投资组合中的应用 g 广一( + f 等厂 条件下，尾部估计变为： 即) - l 一小f 管厂 其中，f ，夕是极大似然估计值。 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 3 3 1 3 阈值的选取 要正确估计参数和f 需要选择适当的阈值u 。过高的u 值会导致超额数据 太少，从而估计参数的方差会偏高；而太小的值则会产生有偏的估计量。通常有 两种方法来确定阈值。 其一是h i l l 图，它的适用条件是声 o 令气。) 五：) 五。) 表示独立同 分布的降序统计量。尾部指数的h i l l 统计量定义为： 薅一n 隅 c ， h i l l 图定义为符合如下条件的点的集合： 似峨，。) ，l j s 撑一1 ( 3 1 2 ) 阈值“选择图形中尾部指数的稳定区域的起始点的横坐标k 所对应的数据 五。 另一个图形技术是样本超额均值函数( m e a ne x c e s sf u n c t i o n ，姬f ) ，定义为： o ) ：e ( x 甜i 工 。) ：掣 ( 3 一1 3 ) 其中，五，i = i ，2 ，n 表示超过阈值的样本观测值。作散点图 “，p ( n ) ，“ o ，选 取充分大的甜，使得当x 打时 ) 、“( x ) 近似线性的。如果某一阈值的m e f 是 正斜率的，说明数据遵循形状参数为正的g p d 分布。另一方面，如果数据来自指 数分布，它的m e f 是水平的；如果数据来自尾部较短的分布，它的m e f 是负斜率的。 将两种方法相比较以更准确地确定阈值。 3 3 2 基于极值理论的v a r 估计 广义帕雷托分布的形状参数f 和尺度参数可以用极大似然法估计。得到形 状参数f 和尺度参数后，就可用e v t 估计v a r y 。g p d 分布的密度函数为： 第三章风险价值v a l l 及其在投资组合中的应用 胁) = 如f 矿 净1 4 ) 相应的对数似然函数为： h ，= 砒c 分皓+ 喜h 薯 ( 3 - 1 5 ) 有似然函数可推导出似然方程，求解可得到f 、的最大似然估计值。给定 概率g f ( ) ，反解( 3 1 0 ) 式可得g 分位数( v a r ) 的估计： 啡净+ 北口 卜 c s - 极值理论的主要优点在于：它可以准确地描述证券组合收益分布尾部的分位 数，而且具有解析函数的形式，计算简便。但极值理论本身也有局限性，首先它 有特定的应用范围知识和描述尾部的分布，这是由极值理论的自身特点决定的； 其次是应用极值理论需要大量的历史数据，然而最后能用于估计尾部分布的数据 却少得可怜，这造成了大量的数据浪费，会丢失许多有用的信息；最后建立极值 v a r 定义理论的假设条件不一定成立，如样本极值的独立同分布假定及幂指规则 的假定等，都与实际不完全相符或需做出更进一步的验证。这些都限制了极值理 论的应用，所以极值理论是作为一种对前面常规v a r 计算方法的补充。 3 4 基于b o o t s t r a p 方法的v a r 的区间估计 从风险度量构成要素分折可知，历史模拟法和蒙特卡洛方法都是完全估值方 法，可以较好地处理非线