（应用数学专业论文）一类具有“抑制抑制”连接双耦合振子系统的同步动力学研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本学位论文主要论述具有“抑制一抑制连接双耦合振子系统的同步动力学性 态，绝对同步性，平衡点的存在性，稳定性和分岔( 包括余维1 分岔和余维2 分岔) 。 同步动力学已经应用于通信、激光、生态系统、神经元系统的各个领域。通过研究 具有“抑制一抑制”连接系统可以了解耦合振子系统的一些基本机理。本论文主要 的内容如下： 第一，主要介绍了耦合振子系统的同步动力学的背景、意义及进展情况，一 些神经网络模型研究结果，并简单介绍了分岔的产生及其一般的研究方法。 第二，借助于l y a p u n o v 函数这一工具，我们得到了系统绝对同步性的充分条 件。 第三，通过分析相应的超越特征方程来研究模型线性的稳定性。借助于空间 分解，我们巧妙地讨论了特征方程零点的分布，并且导出保证所有的特征根具有 负实部的一些充分条件，即使得该模型是渐近稳定的。 第四，以系统的连接矩阵的特征值作为分岔参数( 以区别于传统的以信号传输 时滞为分岔参数) ，我们讨论了平凡平衡点处的余维1 分岔( 包括h o p 盼岔和f o l d 分 岔) 和余维2 分岔( 包括f o l d h o p 盼岔和h o p f - h o p 盼岔) ，并借助于中心流形约化和 正规型理论，推导出分岔方向和不同分岔周期解的稳定性，也就是具有不同时空 模式的周期解。 最后，我们给出了一些数值模拟验证了得到的结果。 关键词：耦合振子；同步；时滞；稳定性；分岔；余维2 分岔；范式 i i 硕士学位论文 a b s tr a c t t h ef o c u so ft 1 1 i st h e s i si st os t u d yi 8 s u e sr e l a t e dt os y n c h r o n o u sd y n 锄i c so f t w 0c o u p l e do s c i l l a t o r sw i t hi n h i b i t o r y - t 伊i n h i b i t o r yc o n n e c t i o n ，s u c ha u sa b s 0 1 u t e s y n c h r o n i z a t i o n ，e ) ( i s t e n c e ，s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o n ( i n c l u d i n gc o d i m e 瑚i o no n e b i f h r c a t i o 璐a n dc o d i m e n s i o nt w ob i f u r c a t i o 璐) o fe q u i u b r i a s y n c h r o n o u sd y n a m i c sh a u sa l r e a d yb e e na p p l i e dt oe a c hd o m a - i no ft h ec o m m u l l i c a t i o n ，t h el a s e r ，t h e e c ( ) s y s t e m ，n e u r o ns y s t e m ，a d l dc a nb e8 t u d i e dt og a _ i ni 瑚i g h ti n t ot h em e c h a i l i s i 璐 u n d e r l y i n gt h eb e h a v i o ro fc o u p l e do s c i l l a t o r s8 y s t e m t 1 1 i st h e s i si so r g a i l i z e da s f o u 昭： f i r s t l y ，t h eb a c k g r o u n da | n dt h em o t i v a t i o nf o rt h es t u d yo fs y n c h r o n o u sd y - n a m i c so fc o u p l e do s c i l l a t o r 8s y s t e m 盯ep r e s e n t e d t h e n ，s o m ek n 仞mr e s l l l t 8 o fn e u r 出n e t w d r km o d e l i sa r ei n t r o d u c e d o c c u r r e n c eo fb i f i l r c a t i o na n d8 0 m e t r a d i t i o n a j lr e s e a r c hm e t h o ( ba r ei n t r o d u c e di nb r i e f s e c o n d l y ，b yu s i n go ft h el y a p u n o vf u n c t i o n ，陀o b t a i n e ds o m es u m c i e n t c o n d i t i o 璐e n s u r i n gt h ea b s o l u t e8 y n c h r o l l i z a t i o n t h i r d l y ，1 i n e a _ rs t a b i l i t yo ft h em o d e li si n v e s t i g a t e db ya n a l y z i n gt h ea i s s m c i a t e dc h 盯a c t e r i s t i ct r a n s 砌e n t a le q u a t ：b n b ym e a i l so fs p a u c ed e c o m p o s i t i o n ， w es u b t l yd i s c u s st h ed i s t r i b u t i o no fz e r o so ft h ec h a r a c t e r i s t i ce ( 1 u a t i o n ，a n dt h e n w ed e r i v e8 0 m es u m c i e n tc o n d i t i o 璐e n s u r i n gt h a ta ut h ec h a r a u c t e r i s t i cr o o t sh a e n e g a t i v er e a lp a r t s h e n c e ，t h ez e r os o l u t i o no ft h em o d e li sa s y m p t o t i e a l l y8 t a b l e 1 1111 1，1o p 上f b u r t n l y b yr e g a r d l n ge l g e m r a l u e so 士t n ee o n n e c t l o nm a t r a sb l m r c a t l o n p a r 锄e t e r s ，w h i c hi sd i 丘e r e n tf r o mt r a d i t i o n a lr e s e a r c hu s i n gt h et i m ed e l a ya s b i f u r c a t i o np a r a m e t e r s ，w ed i s c u s sc o d i m e n s i o no n eb i f u r c a t i o n s ( i n c l u d i n gf o l d b i f u r c a t i o na n dh o p fb i f i l r c a t i o n ) a n dc o d i m e l l s i o nt w ob i f u r c a t i o n ( i n c l u d i n gf o l d - h o p fb i f u r c a t i o n sa n dh o p f - h o p fb i f u r c a t i o n s ) b a s e do nt h en o r m a l lf o r mt h e o 珂 a n dc e n t e rm a n i f 0 1 dr e d u c t i o n w eo b t a j nd e t a i l e di n f o r m a t i o na b o u tt h eb i f u r - c a t i o nd i r e c t i o na n ds t a b i l i t yo fv 跚i o u sb i f u r c a t e de q u i l i b r i aa sw e l la sp e r i o d i c s 0 1 u t i o n sw i t hs o m ek i n d 8o fs p a t i 伊t e m p o r a lp a t t e r 璐 f i n a l l y ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sa l s og i v e nt os u p p o r tt h eo b t a i n e dr e s u l t s k e yw _ 0 r d s ：c o u p l e do s c i l l a t o r s ；s y n c h r o n i z a t i o n ；d e l a y ；s t a b i l i t y ；b i f u r c a t i o n ； c o d i m e n s i o n 切旧b i f u r c a t i o n ：n o r m 出f o r m i 硕士学位论文 插图索引 图1 1系统( 1 3 ) 的结构示意图4 图4 1参数曲线的结构示意图1 5 图7 1 系统( 7 1 ) 是渐近同步的，这里o = c 2 = 1 ，c l = 0 9 ，a = 一2 3 3 图7 2 当o ( q + = 砥) 2 ，系统( 7 1 ) 的平凡解对所有的7 o 是渐近 稳定的。这里n = 0 5 ，q = 2 1 ，c 1 = c 2 = 1 和7 - 一0 3 9 2 7 3 4 图7 3 当0 2 c l c 2 o ； ( 2 ) 对所有的z o ，有， ) z 0 ； ( 3 ) 一 1 i m ，( z ) + o o ， z 士 那么，就有下面给出的渐近同步的定义。 定义3 1 1 系统p 圳的一个解称为渐近同步，如果它的一个u 一有限集属于在 由下面给出的同步相集中， 妒= ( 矽1 ，妒4 ) t g ( 【一丁，o 】，酞4 ) ：妒1 = 咖，矽2 = 啦) 如果p 功的所有解都是渐近同步的，我们就说系统n 矽是绝对同步的，也就是对 任意给定的非负时滞r 有 和 成立。 j i mi e l ( t ) 一易( t ) i = o c o o 1 i mi 五( 亡) 一j 1 2 ( 亡) i = o t 3 2 系统( 1 3 ) 的绝对同步性 定理3 2 1 如果乜 o 和n ( c 1 + c 2 ) o 和n ( c 1 十c 2 + 2 q ) o 都存在p + ( o ，1 】使得p 1 ，2 ( 亡) p + 成立。首先，我 们考虑乜 0 时， 士( 叩，p ，入) = 队+ 1 士( 叩+ p ) e a 7 】盼+ 1 士( 叩一p ) e a r 】， 而当q 2 4 c l c 2 0 ) 或士( 卵士妒) ( 如果a 2 4 c l c 2 0 。这就意味着，随着亡的增加，曲线 上相对应的点( u ( 亡) ，u ( 亡) ) 围绕原点逆时针运动。此外，由于u 2 ( 亡) + 口2 ( t ) = 1 + 亡2 ， 则曲线+ = ( ( t ) ，口( 亡) ) ：亡r ) 是单的，也就是说，+ 和自身不相交。令 k ) 摇 是 ( 亡) 的非负零点所构成的单调增加的序列，而且对所有的他n o ：= 0 ，1 ，2 ， 令= u ( k ) 。显然，= o 而且对所有的n n o 有k ( ( 2 n 一1 ) 丌( 2 7 ) ，n 7 r 厅) 。 因此，曲线与u 轴相交于点( ，o ) ，其中佗吼。根据曲线的逆时针性质，有 对所有的佗n o 有( 一1 ) n o 。另外，我们可以得出1 i = 1 + 亡毳，这就意味 着对礼姚有= ( 一1 ) n 讯，而且 1 i n 。是一个单调递增的序列。此外， 对佗n o 有= 8 e c ( 鸭。) 。特别地，加= 1 ，饥= s e c ( 丁芒1 ) o ，( 一1 ) n u ( k ) o ， 佗n o ( 4 6 ) 当且仅当佗= 0 时( 4 6 ) 的第二个式子的等号成立。事实上，我们可以验证当u ( k ) = 0 时可他n ) 0 。再结合曲线的逆时针性质，我们就可以得到( 4 6 ) 的第一个不等 式。由乱( 亡) 2 + u ( 亡) 2 = 1 + 亡2 ，我们则有( 亡) 钍( 亡) + u 讹) u ( 亡) = 亡，其中亡r + 。特别 地，对所有的n n o ，有u ( k ) = t n 成立。这样，联合( 一1 ) n o ，其中佗姚， 我们马上就可以得到( 4 6 ) 的第二个不等式。最后，由钆( 亡) 2 + ( 亡) 2 = 1 + 亡2 1 可 知，曲线不在单位圆内，而且与单位圆有且只有一个交点( 1 ，0 ) 。 对每一个佗，令n = ( u ( 亡) ，u ( 亡) ) ：亡 一t 时l ，一厶】u ，t n + 1 ) ，这是一 条包含( 0 ，0 ) 在内的闭合曲线。曲线的结构示意图如图( 4 1 ) 所示。在这个数列 中，我们将等同于 u ( 亡) + 锄( 亡) ：亡r cc 。下面介绍的引理对于分析特征方 程( 4 3 ) 根的分布情况起着很重要的作用。 引理4 1 1 ( 【5 7 ) 对函数只( 入) ，有下面几个命题成立。 ( 1 ) 只( a ) 有一单纯虚根当且仅当z 。而且，如果z = u ( 9 ) + 锄( p ) 除了z = ，几n 时有一对共轭的纯虚根士i 如外，其余纯虚根均为i p 。 一1 4 硕士学位论文 f ；o r 伽 f o r k 0 一 、 。 ，。 、。、) 。 。| ， ，7 j l t ，峙 |、 f 、丫3丫1 f 、，| 飞 t心 。k 0 ( t = 1 ，2 ，m ) ，我们叙述本章中需要用到的一个重要引理，该引理证明在相关文献 中能找到，在此不再重复描述。 引理4 2 1 ( 5 5 ，5 6 】) 特征方程心圳的根与似矽的零根的稳定性有如下关系： ( 1 ) “矽的零根为一致稳定的充要条件似圳的根只有有限个单重纯虚根，而其他 根皆具有负实部f ，包括虚部为d 的单重零根入= 0 ) i ( 2 ) “砂的零根为一致渐近稳定的充要条件是“砂的所有根皆具有负实部； ( 3 ) “矽的零根为不稳定的充要条件是似圳有正实部根。 为了简化表述，我们介绍如下r 2 上的点集： r 2 + = ( 叩，p ) 已2 ： o ) ， q 手= ( 7 7 ，p ) r 2 + ：叼士p = ，叩千p 和对所有的尼有叩千p 一饥) ， 呼= ( 叩，p ) 酞2 + ：，7 士p = 一，叩千卢和对所有的尼n o 有叼千p 一仇) ， 其中歹姚。我们称q 手，r 手，歹，为临界线。 推论4 2 1 假设q 2 4 c l c 2 o ，如下命题成立， ( 1 ) d e t ( 叼，p ，a ) 的所有根有负实部当且仅当o ( q + 万= 虿丽) 2 。 ( 2 ) 当且仅当( 7 7 ，p ) q ：uq ：ui 、嘉ur 二，其中竹n ，则d e t ( 叩，p ，入) 有一对单 共轭纯虚根士锄。 ( 3 ) 当且仅当( 叼，p ) q 吉uq iur 吉ur i ，则入= o 是d e t ( 7 7 ，p ，入) 的单零根。而 且，如果( ? 7 ，p ) q 手，那么d e t ( 叩，卢，a ) 的所有根除了入= o 外都有严格负实 部。 推论4 2 2 假设a 2 4 c l c 2 0 ，如下命题成立， ( 1 ) d e t ( 叩，p ，入) 有纯虚根当且仅当( ? 7 ，p ) 或一( 叼，p ) 落在曲线上，并且纯虚根 由i p 给出，其中口满足让( 9 ) = 7 7 和u ( p ) = p 或者“( p ) = 一叼和u ( 口) = 一。 ( 2 ) 当且仅当n 2 c l c 2 1 ，则d e t ( 叩，p ，入) 的所有根有严格负实部。 ( 3 ) 如果1 0 ，那么如下命题成立 ( 1 ) 系统以剀的平凡解是渐近稳定的，当且仅当凸( 口+ 芦= 趸丽) 2 。 ( 2 ) 在每一个( 7 7 ，) u n n q ：u q ：u r 去u r 二) 附近，系统以矽产生了一个删 分岔，也就是，周期解的一个独特的分支从原点分岔出来。 ( 3 ) 在每一个( 叼，p ) q 手uq 孑u 咐u 聍系统以矽产生了一伸纪分岔障者s o 砌f e - 扎d d e 分岔j ，也就是，平衡点的一个独特分支从原点分岔出来 ( 4 ) 在( ? 7 ，) 等于如下中的一个( 警，士字) ，( 字，士警) 其中歹n 附近，系 统( 1 3 ) 产整飞一个f o t d - h o 耐分岔。 ( 5 ) 在( 叩，p ) 等于( 丝产，丛产) 或者( 丝产，丝笋) ，其中佗和歹是两个不同的自然 数，畚统( 1 3 ) 产生- i 一个h o p | h o p l 分岔。 定理4 3 2 假设q 2 4 c l c 2 o ，如下成立， ( 1 ) 系统p 圳的平凡解是渐近稳定的，当且仅当0 2 c l c 2 1 。 ( 2 ) 如果( 一7 7 ，卢) 或者( 叼，p ) 落在曲线上，那么邻近( 叩，) 系统以砂产生了一 个舶万分岔，也就是，周期解的一个独特的分支从原点分岔出来。 注1 在假设条件口2 4 c l c 2 o 和易得到的叼+ 徊土1 ，则有 当q 2 4 c l c 2 o ，那么系统以矽的平凡解在( 刀，p ) 砖u 巧份别 地，( 叼，p ) q 者uq ：) ，其中n n ，产生了一个h 9 分岔，生成一个同步份别 地，反相j 周期解。 证明：一方面，如果( 叩，p ) r 嘉u r ：，其中佗n ，那么( 4 1 ) 联系特征值士的 中心空间彩是由口( p ) 和虿( p ) 展开的，其中 口( p ) = ( 1 ，d ，1 ，d ) r k 口，护 一丁，0 】，( 5 2 ) 其中d = 一( o c l ) 。显然，彩是z 2 s 1 一同构于c 。因而断定在c 上的z 2 s 1 表 示由以下给出， j d z = z ， 口z = e n p z ( 5 3 ) 即，z 2 s 1 的迷向子群是唯一的z 2 ( j d ) ，这就隐含了分岔周期解是同步的，也就 是，取z ( 亡) = ( u ( 亡) ，钐( 亡) ，“( 亡) ，u ( t ) ) t ，其中u ( 亡) 和u ( 亡) 是具有最小正周期的周期函 数。 另一方面，如果( ? 7 ，p ) q 者u q ：，其中礼n ，那么( 4 1 ) 联系特征值士t 如的 中心空间彩是由g ( 9 ) 和虿( p ) 展开的，其中 口( p ) = ( 1 ，d ，一1 ，一d ) t e k p ， p ( 一1 - ，o 】( 5 4 ) 显然，彩是z 2 s 1 一同构于c 。因而断定在c 上的z 2 s 1 表示由以下给出， p 2 = 一za n d 目名= e 乱n 日z ( 5 5 ) 一1r 一 硕七学位论文 即，z 2 s 1 的迷向子群是唯一的z 2 ( j 口，7 r ) ，这就隐含了分岔周期解是反相的，也就 是，取如下形式 z ( 亡) = ( 心( 亡) ，u ( 芒) ，t 正 + 呈) ，秽 + 罢) ) t ， 其中p 是z ( 亡) 的周期。 通过类似的讨论，我们能够检验如下的结论是正确的。 口 定理5 1 2 假设q 2 4 c l c 2 o 和( 珈，风) 1 1 ：ur ：，其中n n 。 情形( i i ) ：a 2 4 c l c 2 o 和( 一伽，阮) 。 在情形( i ) 中，伽+ 岛= 一或者叩0 一岛= 一。情形( i i ) 中，稍+ 席= 1 + 瑶， 其中蛐= 赢不f 1 。为了简化叙述，在情形( i ) 中令p = ? 7 士p 和伽= 一，情 形( i i ) 中令p = ( 叩，p ) 和脚= ( 伽，岛) 。再令入( p ) 为对所有足够小的川满足a ( 肋) = 叫。和入( p ) + 1 + 肛e a m ) r 三。的光滑函数，其中在情形( i i ) 中u o 等于t j 。显然，根 据引理4 1 1 ( i i ) ，在情形( i ) 中有舶入7 ( 伽) o 和在情形( i i ) 中品乳 入( p o ) ) o ， 其中毋是在肛。沿向外指向曲线的标准向量。因此，在两种情形中，入= 土i 是d e t ( 伽，岛，) 的虚根。基于h a s s a r de 亡以【5 8 】中介绍的中心流形约化和规范形方 法，我们将计算中心流形上的约化系统，其具有一对共轭复数，纯虚特征根圭 龇。 通过约化计算我们能确定h o p f 分岔方向，也就是，回答周期解的分岔分支是否存在 局部超临界分岔或亚临界分岔的问题。出于此目的，我们进一步假设厂c 3 ( r ，r ) 和z 厂( z ) o 其中z o 。 令钆( 亡) = ( 日( 亡) ，厶( 亡) ，易( 亡) ，己( 亡) ) t 和地( 口) = u + p ) ，其中目【一下，o 】，我们 将系统( 1 3 ) 重新记为 吐( 亡) = 己弘u t + g ( 饥，p )( 5 6 ) 一1 9 一类具有“抑制一抑制”连接双耦合振子系统的同步动力学研究 其中l p 妒= 一妒( o ) + b 妒( 一丁) 和 g ( 妒，p ) = ；厂( o ) + ；尸( o ) 鼋妒；( 一7 - ) c 2 妒1 ( 一7 - ) 一口仇( 一7 - ) 】2 鼋妒i ( 一丁) c 2 妒3 ( 一7 - ) 一q 妒2 ( 一7 - ) 】2 一贯妒2 ( 一丁) f c 2 妒1 ( 一7 - ) 一q 似( 一7 - ) 】3 一日妒i ( 一7 - ) 【c 2 妒3 ( 一丁) 一q 妒2 ( 一下) 】3 + 0 ( i 妒1 4 ) 根据m e 8 z 表示定理，存在一个矩阵值函数三( p ，p ) ：p 【一r ，o 】，它的每一个元素 都是有界变差函数，使得 l p 妒= 拒( p ，p ) 妒( p ) f o r 妒c ( 一7 ，o 】，r 4 ) 事实上，我们可以选取 即川= ：某刊，：毫哦 其中6 ( p ) 是d i r a u cd e l t a 函数，i d 是4 4 的恒等矩阵。接下来，对任意的妒 g 1 ( 一丁，o 】，酞4 ) ，我们定义： i 学， p 一7 ，o ) ， 咖2 t 叠唧洲驴咖，；i 一乃 和 7 妒= 2 。妒，p ， 吕三 丁，。l 由于智= 等，进一步可将( 5 6 ) 改写为： 讥= 饥+ 7 u t ( 5 7 ) 通过直接计算，我们选取 g ( p ) = ( 1 ，d ，1 ，d ) t e 讪。口，p 一丁，o 】， 其中d = 一( 1 + u o ) e 讥r ( n c l ) 是a o 对应于特征值z 蛐的特征向量。也就是， 4 。g ( p ) = t u o q ( p ) ( 5 8 ) 我们引进的共轭算子椎定义为 f 一警， ( o ，7 1 ， ( 代) ( 92 t 膨( 卅础0 ) ；茹u 硕士学位论文 记和么乙的定义域为c 1 ( - 7 ，o 】，c 4 ) 和c 1 ( o ，7 】，c 4 + ) ，其中c 4 + 是垂维的复数 行向量空间。根据( 5 8 ) 有一i 是4 k 的特征值和 4 乙q + ( ) = 一曲o q + ( ) ， ( 5 9 ) 其中口+ ( 荨) 为非负的行向量函数， o ，7 】。 为了构造等同的在原点处描述中心流形巳，我们采用双线性形式 ( 矽，妒) = 矽( o ) 妒( o ) 一 矽 一p ) 扼( p ，p o ) 妒( ) 必，( 5 1 0 ) 其中妒c ( o ，丁】，c 4 + ) 和妒c ( - 7 ，o 】，c 4 ) 。那么，一般而言，( 矽， 。妒) = ( 心。矽，妒) f o r ( 妒，妒) d o m ( 凡。) d o m ( ) 。我们通过条件( 矿，g ) = 1 和( 矿，虿) = 0 规范口和口+ 。通过直接计算，我们得到 q + ( ) = 万( 石，1 ，5 ，1 ) e 讥， o ，卅 其中6 = n c 2 e 一“o r ( 1 + 蛐) 和d = 2 ( 6 + d ) 1 + 丁( 1 + 知o ) 】) 。 对每一个p d o m ( ) ，我们然后联系其对( z ，叫) ，其中z = ( 矿，u ) 和叫= 一2 r 电 钾 。作为( 5 7 ) 在p = p o 处的解札( 亡) 。我们定义z ( 亡) = ( 旷，饥) 和伽( 亡，目) = 饥( 9 ) 一2 r e z ( 亡) 口( 口) ) 。事实上，z 和乏在口+ 和矿的方向c 厶上时局部等价的。容 易得到( 矿，伽) = o 。现在，对( 5 8 ) 的解u t ，有( q + ，讥) = ( 矿，锄+ 7 。毗) 。 那么，当p = p o ， 之( 亡) = i u o z ( 亡) + 夕( z ，乏) ，( 5 1 1 ) 其中9 ( 名，乏) = 虿+ ( o ) 矗( z ，乏) 和如( 名，虿) = g ( 叫( z ，乏，臼) + 2 r 启_ z 口( 口) ) ，p o ) 。令 z 2 - 2 z 2 i 夕( z ，虿) 2 眈。百+ 夕1 1 历+ 卯2 百+ 夕2 1 百+ 联合( 5 7 ) 和( 5 1 1 ) ，我们有 = 一 i ，。叫一2 r e 矿( o ) ( z ，乏口) ) ， p 【一7 - ，o 】， 归旷z g 叫口2 1 。训一2 州o ) ( z ，_ 口) ) + 矗( 彳，乏) ， p ：o ( 5 1 2 ) 我们改写( 5 1 2 ) 为 曲= 4 加叫+ 日( 名，虿，秒)( 5 1 3 ) 其中 叫( z ，乏，日)= 叫2 0 ( 口) 譬+ 叫。( 9 ) 历+ 叫0 2 ( 目) 萼+ 叫3 0 ( p ) 警+ ， 日( z ，乏，p ) = 皿o ( 臼) 譬+ 皿。( p ) 历+ 凰2 ( 口) 警+ 日3 0 ( p ) 萼+ 展开上述级数并比较其系数，我们可以得到 ( - 一。一2 t u o ) 叫2 0 ( 口) = 一日r 2 0 ( p ) ， 。叫1 1 ( 口) = 一皿1 ( p ) ， ( 5 1 4 ) ( a 。+ 2 i 蛐) 叫0 2 ( p ) = 一凰2 ( 日) ， 一2 1 一 i 毋( 亡+ 口) = z ( 亡) e 讪。p + 乏( 亡) e 一曲。口+ 叫( 1 ( 亡，p ) 雠浆裂筹篡嚣篙褂“ 一) 瑚 i 易 + 伊) = 名 ) e 讥口+ 虿( 亡) e 一讪o p + 训( 3 ，臼) j 叫 【 厶( 亡+ 口) = z ( 亡) e ( 口+ 下+ 乏( 亡) _ e 一讪。( 口+ r ) + 训( 4 ( 亡，p ) 伽( 亡，目) = 叫砦( 口) 掣+ 叫舯) z ( 亡) 万( t ) + 谢( 目) 掣+ 。：1 ，2 ，3 ，4 记为9 ( 名，- ) = 矿( o ) g ( 硼( z ，孑，口) + 2 r e 钾( 9 ) ) ，o ) ，然后我们有 仍o = 2 d 厂( o ) o 【m 2 鼋e 一讪r + ( c 2 e 一r q ) 2 】， 9 1 12 2 d ，( o ) o f m 醌；e r + ( c 2 e 一讪。下一口) ( c 2 e 咖r q ) 】， 夕b 2 = 2 d ，( o ) n m _ 鼋e 一蛔r + 渤e 讥r q 丙) 2 】， 和 9 2 1 = d ，( o ) o m 鼋e 一讪r ( 加g + 伽籍+ 丙西身+ 醌岩) + ( c 2 e 一讥下一q ) ( c 2 叫i j 一q ”鬟+ c 2 伽箝一q 训籍) + ( c 2 e 讪。r q - ) ( c ；2 铷岩一q 叫窘+ c ；2 叫嚣q 伽砦) 】 + 2 d ，删( o ) 口f - 留m 2 矾一讥r + ( c 2 e 一“。r q ) 2 ( c 2 e 讪r q 一) 】 我们仍需要计算叫1 1 和叫2 0 其中臼 一7 - ，o ) 。事实上，我们有 日( z ，牙，口) 与( 5 1 3 ) 比较系数可以得到 一2 r e 矿( o ) ，0 ( z ，乏) q ( p ) 一9 ( z ，乏) 口( 臼) 一歹( z ，乏) 虿( p ) 一( 现。譬+ 夕1 1 z 虿+ 卯2 萼+ 仍1 譬+ ) 口( 口) 一( - 2 0 莩+ 玩1 历+ - 0 2 萼+ ) 虿( p ) 凰o ( 口) = 一眈。口( 口) 一- 0 2 虿( p ) ，皿1 ( p ) = 一9 1 1 9 ( 臼) 一歹1 1 虿( p ) 根据( 5 1 4 ) 有 西2 0 ( 护) = 2 i 蛐她o ( p ) + 蚴g ( 0 ) e 讥一十虱2 虿( o ) e 一讥口 解关于伽2 0 ( 口) 的方程，我们得到 唧) 一掣e 口一掣e 粕胡怕抄p ， ( 5 1 6 ) z u 03 z u o 。1 7 、。7 同样的处理，我们有 虮= 掣e 讥p 一掣e 咖p 托， ( 5 1 7 ) z 蛐 z u 0 、。7 2 2 其中e l 和e 2 都是垂维向量，它们由在日( z ，虿，目) 中取p ：o 确定。事实上，通过 日( z ，乏，o ) 我们有 和 其中 一2 r e 矿( o ) 如( z ，乏) g ( o ) ) + 厶( z ，虿) 一( 夕2 0 譬+ 9 1 1 历+ 肌2 萼+ 现1 譬+ ) 口( o ) 一( 夕2 0 等t 歹1 1