（应用数学专业论文）异维环、异宿环分支问题及时间尺度上动力方程的边值问题.pdf

摘要 本文主要研究异维环分支问题，连接非双曲奇点的异宿环分支问题及时间尺度 上p - l a p l a e i a n 动力方程的三点边值问题全文内容分为四章 第一章主要介绍了本论文的研究背景、意义及主要工作 由文献 3 4 】可知，具有异维环的系统是很常见的，而且异维环的存在性往往隐 含着动力学行为的极端复杂性因此，研究异维环的分支问题不仅有着广泛的应用 背景，而且有着重要的理论价值本文第二章采用文献【6 9 ，7 1 】首先引入并经文献 【2 8 3 1 】等改进的方法( 即在异宿轨道附近建立局部活动坐标系，构造新坐标系下的 p o i n c a r 6 映射，并导出分支方程的方法) ，分别研究了三维空间和四维空间中的异维 环在满足通有条件下的分支问题，给出了异维环保存及同宿环、周期轨存在的条件 与分支曲面值得提出的是，本文还得到了关于保存的异维环与分支出的周期轨共 存的结果，从而揭示了与非异维的异宿环在分支性态方面的差别众所周知，在研 究非异维的异宿环分支问题时，当且仅当未扰动的异宿环满足一些非通有条件( 如 轨道翻转，倾斜翻转等条件) 时，保存的异宿环与分支出的周期轨才可能共存 事实上，在已有的文献中，大部分同宿，异宿轨道分支问题都是考虑连接一个 或两个双曲奇点的我们知道，非双曲奇点的结构不稳定性会导致奇点分支( 如鞍 结点分支，超临界分支，草叉分支等) 的产生，从而使连接非双曲奇点的轨道分支 问题的难度大大增加因此，对于此类问题的讨论还相对较少文献 3 7 】和 3 s 分 别研究了连接一个非双曲奇点的通有和非通有同宿轨道的保存问题及分支出周期轨 的情况在此基础上，本文第三章研究了连接一个双曲鞍点和一个非双曲奇点的异 宿环分支问题，并假设非双曲奇点具有超临界分支特征利用在异宿轨道附近建立 局部活动坐标系，构造p o i n c a r 6 映射，从而导出分支方程的方法对伴随超临界分支 的通有，非通有异宿环的保存问题，同宿环、周期轨的存在性及分支出异宿轨道的 情况进行了讨论，并且揭示了伴随超临界分支的通有异宿环和非通有异宿环在分支 样式上的差异 与已有文献相比，本文所采用的研究分支问题的方法适用范围更广，而且所得 的分支方程有较强的可计算性 时间尺度上的动力方程是近年来兴起的一个新的数学分支，随着其理论的发展 及p - l a p l a e i a n 微分( 差分) 方程的备受关注，时间尺度上p - l a p l a c i a n 动力方程的边 值问题引起了越来越多的学者的兴趣本文第四章借助于非线性泛函分析的有关理 华东师范大学博士论文 论，利用a v e r y 和p e t e r s o n 8 0 】引入的一个新不动点定理和文献 9 2 】中的一个不动 点定理讨论了时间尺度上一类p - l a p l a c i a n 动力方程的三点边值问题，给出了该边 值问题至少存在三个解的判定定理，并举例说明了定理的可行性该问题的讨论避 免了对连续的和离散的p - l a p l a c i a n 动力方程的三点边值问题的重复性研究 关键词：局部活动坐标系，p o i n c a r $ 映射， 超临界分支。通有异宿环，非通有异宿环， 不动点定理，p - l a p l a c i a n 动力方程 1 l 后继函数，同宿环，异维环，周期轨， 时间尺度，跳跃箅子，锥，边值问题， a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h eb i f u r c a t i o n so fh e t e r o d i m e n s i o n a lc y c l e s ， t h eb i f u r c a t i o n so fh e t e r o c l i n i cl o o pw i t hn o n h y p e r b o l i ce q u i l i b r i u m ，a n dt h r e e - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rp - l a p l a c i a nd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s t h ew o r ki s d i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，ab a s i cs u m m a r i z a t i o no f t h ep a p e ri sg i v e n m e a n w h i l e , w ei n t r o d u c e t h em a i nr e s u l t sa c h i e v e di nt h i sp a p e r a sw ek n o wf r o m 【3 4 ，s y s t e m s 证t l lh e t e r o d i m e n s i o n a lc y c l e sa r en o r m a l ，a n dt h e e x i s t e n c eo fh e t e r o d i m e n s i o n a lc y c l e sa l w a y si m p l i e se x t r e m ec o m p l e x i t yo fd y n a m i c a l b e h a v i o r s s o ，t h es t u d yo fh e t e r o d i m e n s i o n a lc y c l e sh a st r e m e n d o u sp o t e n t i a lf o ra p p l i - c a t i o n sa n ds i g n i f i c a n tt h e o r e t i c a lv a l u e i nc h a p t e r2 ，b ye s t a b l i s h i n gl o c a la c t i v ec o o r - d i n a t es y s t e mi nas m a l ln e i g h b o r h o o do f t h eh e t e r o c l i n i co r b i t s ，w ec o n s t r u c tap o i n c a r d m a pa n di n d u c eb i f u r c a t i o ne q u a t i o n st oi n v e s t i g a t e t h eb i f u r c a t i o n so f h e t e r o d i m e n s i o n a l c y c l e si nr 3a n dr 4 r e s p e c t i v e l y u n d e rs o m eg e n e t i cc o n d i t i o n sa n db a s e do nb i f u r c a - t i o ne q u a t i o n s ，t h ep e r s i s t e n c eo fh e t e r o d i m e n s i o n a lc y c l e s ，t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i c l o o p sa n dp e r i o d i co r b i t s ，t h ec o e x i s t e n c eo fo n eh e t e r o c l i n i cl o o pa n do n ep e r i o d i co r - b i ta l ee s t a b l i s h e d a l s o ，b i f u r c a t i o ns u r f a c e sa r eg i y e na n ds o m eb i f u r c a t i o np a t t e r n s d i f f e r e n tt ot h ec a s eo fn o n h e t e r o d i m e n s i o n a lh e t e r o c l i n i cl o o pa r er e v e a l e d i ti sw e l l k n o w nt h a t , i nt h ec a s eo fn o n h e t e r o d i m e n s i o n a lh e t e r o e l i n i cl o o pb i f u r c a t i o np r o b l e m s , ap e r s i s t e n th e t e r o c l i n i cl o o pc a l lc o e x i s tw i t hab i f u r c a t e dp e r i o d i co r b i to n l yw h e nt h e o r i g i n a lc y c l ef u l f i l ss o m en o n g e n e r i cc o n d i t i o n s ( o r b i tf l i p ，i n c l i n a t i o nf l i pe r e ) i nf a c t , a ni n c r e a s i n gn u m b e ro fp a p e r sa l ed e v o t e dt os t u d y i n gb i f u r c a t i o n so f h o m o c l i n i co rh e t e r o c l i n i co r b i t sw i mh y p e r b o l i ce q u i l i b r i a h o w e v e r , r e s e a r c hw o r k s c o n c e m e dw i t lt h ec o r r e s p o n d i n gp r o b l e mo fo r b i t sj o i n i n gn o n h y p e r b o l i ce q u i l i b r i aa r e m o r ed i f f i c u l ta n dr e l a t i v e l ys c a r c e a si sk n o w n ，t h en o n h y p e r b o l i ce q u i l i b r i u mi su n s t a - b l ea n da l w a y su n d e r g o e ss a d d l e - n o d e ( t r a n s c r i t i c a lo rp i t c h f o r k ) b i f u r c a t i o n r e f e r e n c e s 3 7 】a n d 3 8 】d e a lw i t hb i f u r c a t i o n so fg e n e r i ca n dn o n g e n e r i ch o m o c l i n i el o o pw i t ha n o n h y p e r b o l i ce q u i l i b r i u m ，r e s p e c t i v e l y m o t i v a t e db y 3 7 ，3 8 1 ，i nc h a p t e r3 ，t h eb i - f u r c a t i o n so fh e t e r o c l i n i cl o o pc o n n e c t i n go n eh y p e r b o l i cs a d d l ea n do n en o n h y p e r b o l i c e q u i l i b r i u ma l es t u d i e d ，a n dw ea s s u m et h en o n h y p e r b o l i ce q u i l i b r i u mu n d e r g o e s t r a n s - i i i 华东师范大学博士论文 c r i t i c a lb i f u r c a t i o n b ym e a n so f l o c a la c t i v ec o o r d i n a t es y s t e mi nas m a l ln e i g h b o r h o o d o ft h eh e t e r o c l i n i co r b i t s ，w ec o n s t r u c t ap o i n c a l 6m a pa n di n d u c eb i f u r c a t i o ne q u a t i o n s t oa n a l y s et h eb i f u r c a t i o n so fg e n e r i ca n dn o n g e n e r i ch e t e r o c l i n i cl o o p ，r e s p e c t i v e l yt h e p e r s i s t e n c eo fh e t e r o c l i n i cl o o p ，t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i cl o o p s ，p e r i o d i co r b i t sa n d h e t e r o c l i n i co r b i t sb i f u r c a t e df r o mt h eh e t e r o c l i n i cl o o pa r ed i s c u s s e d t h ed i f f e r e n c eo f b i f u r c a t i o n sb e t w e e ng e n e r i ca n dn o n g e n e r i ch e t e r o c l i n i cl o o pi sd i s c o v e r e d t h em e t h o da d a p t e di nt h i sp a p e r , w h i c hc o p e sw i t hb i f u r c a t i o np r o b l e m s ，i sm o r e a p p l i c a b l ea n dt h eb i f u r c a t i o ne q u a t i o n sa c h i e v e dh e r ea l ee a s yt oc o m p u t e d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e si saf a i r l yn e ws u b j e c t ，a n dr e s e a r c hi nt h i sa r e a i sr a p i d l yg r o w i n g w i t hi n c r e a s i n ga t t e n t i o n so nt i m es c a l e sa n dp - l a p l a c i a nd i f f e r e n t i a l ( o rd i f f e r e n c e ) e q u a t i o n s ，m o r ea n dm o r ep e o p l ef o c u st h e i ri n t e r e s to nb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so f p - l a p l a c i a nd y n a m i ce q u a t i o n s o l lt i m es c a l e s i nc h a p t e r4 ，b a s e do ns o m e k n o w l e d g eo fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，b yv i r t u eo fan e wf i x e d - p o i n tt h e o r yi n t r o d u c e db ya v e r ya n dp e t e r s o n 8 0 】a n da n o t h e rf i x e d p o i n tt h e o r e mi n 9 2 ，w ee s t a b l i s h t h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e es o l u t i o n st oak i n do ft h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o rp - l a p l a c i a nd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s w h i c ha v o i d st h ec o r r e s p o n d i n g 静 p e a t e di n v e s t i g a t i o n sf o rc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ep - l a p l a c i a nd y n a m i ce q u a t i o n s a sa n a p p l i c a t i o n s o m ee x a m p l e sa f ei n c l u d e dt oi l l u s t r a t eo u rm a i nr e s u l t s k e yw o r d s ：l o c a la c t i v ec o o r d i n a t es y s t e m ，p o i n c a l 6m a p ，s u c c e s s o rf u n c t i o n ，h o - m o c l i n i cl o o p ，h e t e r o d i m e n s i o n a lc y c l e s ，p e r i o d i co r b i t ，t r a n s c r i f i c a lb i f u r c a t i o n ，g e n 甜c h e t e r o c l i n i cl o o p ，n o n g e n e r i ch e t e r o c l i n i cl o o p ，t i m es c a l e ，j u m po p e r a t o r , c o n e ，b o u n d - a r yv a l u ep r o b l e m s ，f i x e d p o i n tt h e o r e m ，p - l a p l a c i a na y n a m i ce q u a t i o n s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：至匣业 日期：j 丝弓乙l 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：乏睦! 叁垫 导师签名 第一章引言 1 1 研究背景 微分方程是数学中一个古老而重要的分支，它不仅在自然科学，工程技术、航 天技术，自动控制等领域有着广泛的应用，而且在计算机科学，人口生态学等领域 中成为不可缺少的数学工具因此，微分方程理论的研究一直吸引着国内外大批的 专家学者，其基础理论及应用性意义越来越被人们所关注。 微分方程分支理论是微分方程理论的重要组成部分分支理论起源于p o i n c a r 6 时代，到二十世纪五、六十年代，由于实际问题应用的推动和数学理论的发展，有 关分支理论的研究取得了长足的进展目前，微分方程分支理论内容非常丰富，这 方面的专著有 1 ，6 ，7 1 8 ，1 9 ，2 4 ，3 3 ，4 1 ，5 6 , 5 7 , 5 8 ，6 2 ，7 0 等 随着在结构稳定系统的研究中取得的突破性进展，对结构不稳定系统的研究受 到越来越多的关注而同宿异宿轨道分支问题是众多专家学者关注的热点之一 同宿、异宿轨道在许多领域都有重要的应用但凡具有各种复杂的物理、化学， 生化生理等作用的学科及其相应的研究领域，同宿，异宿轨道及其分支问题都在 其中占有重要的地位事实上，同宿，异宿环分支问题在空气动力学方程的激波解、 反应扩散方程的行波解、磁性流体激波的粘性界面的存在性等问题中有着广泛的应 用同宿、异宿轨道是复杂动力学行为的最主要源头之一。而其相应的分支现象则 又是非线性系统结构不稳定性的重要源头之一 近几年来，除了在应用学科( 特别是在控制问题) 中的应用研究之外，同宿、 异宿轨道分支问题的理论研究的主流已转向高维系统的高余维分支问题 高余维的同宿、异宿轨道分支主要包括异维环( h e t e r o d i m e n s i o n a lc y c l e s ) 、共振 环轨道翻转环( o r b i tf l i p ) 倾斜翻转环( i n c l i n a t i o nf l i p ) 及上述几种情况交叉发生 且还有可能同时伴随着双曲奇点和法向双曲不变流形退化为非双曲的具有较高余维 数的奇异环分支现象这类分支现象往往具有极其复杂的分支样式 目前，人们已经获得了许多高维系统中余维数较低( 2 ) 的同宿，异宿轨道分 支的结果例如，文献 5 ，9 ，2 8 ，2 9 ，6 9 】讨论了同宿环分支问题；文献 3 2 研究了扭 曲同宿环分支问题；文献 3 0 ，3 1 ，5 4 研究了异宿环分支问题关于高维系统的高余 维分支问题，如因出现各种共振、轨道翻转或倾斜翻转以及这几种情况交叉发生而 1 华东师范大学博士论文 引起的同宿、异宿轨道分支问题的研究近年来也取得了较大的进展文献【5 9 ，6 0 ， 6 l 】讨论了具有轨道翻转+ 共振的余维3 同宿环分支问题；文献 5 0 ，5 l ，5 2 】讨论了 双倾斜翻转和轨道翻转+ 倾斜翻转的余维3 同宿环分支问题；文献 4 8 】讨论了具有 一轨道翻转的余维3 异宿环分支问题；文献 4 9 】研究了一倾斜翻转的余维3 异宿环 分支问题 但关于异维环分支问题的研究却屈指可数文兰教授在介绍动力系统发展概 况、前沿方向及他的研究小组最近对异维环研究的兴趣等多个学术报告中都曾提到 下述对动力系统结构稳定性理论的发展有着重要影响的结论：在由g 1 微分同胚构 成的空间中存在一个开集，使得无同宿切、但具有异维环的系统是稠密的 由参考文献 3 4 】可知，在寻求k u r a m o t o s i v a s h i n s k yp d e t k + 乱“z + 札$ $ + 乱z z 黜= 0 的定态解或行波解时，必然导致3 维反转( r e v e r s i b l e ) 的m i c h e l s o n 系统，而该系 统的奇点o 有一对纯虚特征值和一个零特征值，表现出h o p f - z e r o 分支该文证明 了具有h o p f - z e r o 分支的单参数反转可微向量场空间中存在一个由2 - j e t 确定的开集 u ，使得在奇点0 附近具有可数无穷多个连接两个由该h o p f - z e r o 分支而分支出的 鞍焦点的异宿环( 必为异维环) 的系统在中构成剩余集 上述两个结论强有力地说明了具有异维环的系统是很常见的，而且异维环的存 在性往往隐含着动力学行为的极端复杂性因此。研究异维环的分支问题不仅有着 广泛的应用背景，而且有着重要的理论价值这两个结论还说明了，相对于退化性 较高的共振环、轨道翻转环和倾斜翻转环而言，异维环的研究在整个高余维同宿， 异宿轨道分支问题的理论研究中应该占据中心的位置显然，对于异维环分支问题 的讨论极具难度和挑战性 定义1 1 1 如果两个周期点( 奇点) 的不稳定流形具有不同的维数并且它们的 不稳定流形与稳定流形分别相交构成异宿环，则称此异宿环为异维环 考虑连接p 和q 两点的异维环时，若p 和q 的不稳定流形维数为p ，q ，那么多 数情况下假设p = q 十1 显然异维环只能存在于大于等于3 维的空间图1 1 1 为 三维空间中一个异维环的示意图【4 】 最初研究异维环的学者足n e w h o u s e 和p a l i s 【4 4 ，此后，d i a z ，r o c h a 等做了一 系列关于异维环的系统研究，见文献【1 2 1 6 最近，由b o n a t t ic ，d i a zlj ，m a r c e l o 2 第一章引言 v 4 】合著的d y n a m i c sb e y o n du n i f o r mh y p e r b o l i c i t y ：ag l o b a lg e o m e t r i ca n d p r o b a b i l i s t i cp e r s p e c t i v e ( 一致双曲性之外的动力学：一种整体的几何学的与概 率论的观点) 一书在第六章介绍了异维环的基本概念，给出了异维环的简单例子， 描述了异维环是导致周期点的同宿类爆炸( e x p l o s i o n o f h o m o c l i n i c c l a s s e s o f p e r i o d i c p o i n t s ) 及产生稳健非双曲传递集( r o b u s tn o n h y p e r b o l i c t r a n s i t i v es e t s ) 的强大机制， 并介绍了异维环的开折等 图王。量1 目前，一些专家学者对研究异维环的分支问题抱有很浓厚的兴趣，但对于该同 题的研究还尚属初级阶段在文献 4 7 】中，作者讨论了连接一个奇点和一个周期轨 的异维环分支问题，给出了可数无穷多的同宿轨聚集在余维为1 或余维为2 的异宿 环附近的存在性和唯性条件其它关于异维环的研究可参看文献 3 ，3 5 ，5 5 我们注意到，在上述所提及的同宿，异宿轨道分支问题中，大部分考虑的都是 连接一个或两个双曲奇点的轨道分支问题，而对于连接非双曲奇点的同宿、异宿轨 道分支问题讨论的相对较少众所周知，双曲奇点是结构稳定的，而非双曲奇点结 构不稳定，因此非双曲奇点常会产生奇点分支，如鞍结点分支，超临界分支，草叉 分支等( 见图1 1 2 ) 3 华东师范大学博士论文 山 一 0 + 0 。、 _ _ 9 一 z 0 一。 o 一 ( a ) 鞍结点分支( b ) 超临界分支( c ) 草叉分支 图1 1 2 显然，伴随奇点分支的同宿，异宿轨道分支问题耍困难的多故关于这方面的 工作尚不多见【8 ，1 0 ，3 7 ，3 8 ，4 1 ，4 5 ，5 3 ，6 4 ，6 5 c h o w 和l i n 【8 】讨论了任意有限维系 统中连接鞍结点的同宿轨道分支问题，d e n g 【1 0 】研究了高维系统中连接一个非双 曲奇点的余维1 同宿轨道分支问题，刘兴波和朱德明在文献【3 7 ，3 8 】中，分别对伴 随超临界分支的通有和非通有同宿轨道的保存问题及分支出周期轨的情况进行了讨 论 对于连接非双曲奇点的异宿轨道分支问题的研究比相应的同宿轨道分支问题的 研究更具难度和挑战性s u n 和l u o 【5 3 】用奇异性理论和广义m e l n i k o v 函数方法 讨论了连接个非双曲奇点和一个双曲鞍点的局部和全局分支问题，并分别给出了 非双曲奇点经历鞍结点分支超临界分支和叉形分支时异宿轨道的分支图形朱德 明 6 4 】讨论了连接一个非双曲奇点( 鞍结点) 和一个双曲奇点的奇异轨道的分支问 题作者通过发展指数3 分性理论，在奇异轨道邻域建立主法向标架场，给出一种 适用面广且实用的新方法，研究了连接非双曲鞍点的通有异宿轨道的保存问题文 献【6 5 】把 6 4 所采用的方法进一步改进并推广应用到伴随鞍结点分支的非通有异 宿轨道的保存问题 到目前为止，关于连接非双瞳奇点的通有和非通有异宿环的保存问题及分支出 异宿轨道、同宿环、周期轨道的系统分析尚未发现，故在文献【3 7 ，3 8 】的基础上，本 文研究了连接一个双曲鞍点和一个非双曲奇点的通有和非通有异宿环的分支问题 另一方面，时间尺度上的动力方程( d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s ) 是近年来 兴起的个新的数学分支众所周知，很多重要的动力过程要用微分方程或差分方 程来构建数学模型而差分方程可看作是微分方程的离散化过程，关于微分方程的 4 第一章引言 很多结论可以推广到相应的差分方程然而有些其它的结果从本质上讲与其相应的 连续方程的结果是完全不同的例如，由一阶微分方程碍到的一阶差分方程所具有 的混沌性质，仅在高阶微分方程中才可能发生 从建立数学模型的观点看，也许更为现实和本质的方法是通过一种动力系统去 建模一种现象，这一系统中包含连续和离散的时间因此自然要问。能否提出一个 体系来同时研究两个动力系统，由此可以更好地了解两个不同系统的微妙差别作 为测度链上( m e a s u r ec h a i n s ) 的动力系统理论的一种特殊情况，时间尺度上的动力 系统理论为人们提供了统一离散与连续系统的方法 时间尺度上的动力系统这一课题最早是由h i l g e r 【9 5 ，9 6 】于1 9 8 8 年在他的博士 论文中提出的，他给出了时间尺度( t i m es c a l e s ，即具有有序和拓扑结构的r 的任意 非空闭子集) 和定义在时间尺度上的函数的d e l t a ( a ) 导数概念，他还给出了时间尺 度的微积分框架，若时间尺度是一个区间，则退化为经典的微积分；如果时i 可尺度 是离散的，则退化为有限差分( 向前差分) 的问题，除此之外还有很多定义在其它 的时间尺度t 上的方程。例如定义在矿= 口，q 2 ，q 3 ，矿1 q 1 ) 上的口差分 方程，定义在 h z ：h o 上的步长为h 的差分方程等 时间尺度上的动力方程的基本特点是统一( u n i f i c a t i o n ) 和推广( e x t e n s i o n ) 它还 有很大的应用前景例如，有些昆虫的数量在某些季节是连续变化的，在冬季产下卵 后死去，而第二年产下的卵重新成长这类昆虫数量的变化就可以用时间尺度上的 动力方程来研究可见。时间尺度上动力方程理论的研究有其广泛的背景及意义 关于时间尺度上动力方程的研究已引起很多国际学者的关注近年来，美国、加 拿大、德国和保加利亚一批数学家得到了关于时间尺度上动力方程解的基本理论， 边值问题，稳定性问题及振动性问题等一些基本结果，国际上已出现了几本专著【8 2 ， 8 3 ，1 0 2 】和综述文章 7 2 7 4 ，7 7 ，9 4 9 6 等 在上面所提到的问题中，时间尺度上动力方程的边值问题尤为吸引学者们的注 意，从9 0 年代末到现在对时间尺度上动力方程的边值问题的研究已经取得了很多 的成果，可参看文献 7 5 ，7 7 , 7 8 ，8 2 ，8 4 ，8 6 - 8 9 , 10 6 10 8 ，1 11 】等2 0 0 2 年，a r i e l 和g u s e i n o v 7 7 引入了n a b l a ( v ) 导数的概念，n a b l a 导数是a h l b r a n d t 等 7 4 】 引入的a l p h a ) 导数的一种特殊情况( 即o = p ) 当时间尺度为一个区间时， n a b l a 导数就是经典的导数，当时间尺度为整数集时，n a b l a 导数为向后差分( 即 ( t ) = z ( t ) 一z ( t 一1 ) ) 在【7 7 】中，作者还引入时间尺度上n a b l a 积分，l e b e s g u e 5 华东师范大学博士论文 d e l t a ( ) 积分等概念，作为应用，文章还构造了非线性v 方程 i 一眵( ) 可( t ) 】v + q ( t ) y ( t ) = ( ) ， ia y ( p ( a ) ) 一p 可l ( p ( q ) ) = 0 ，7 可( 6 ) + d 可| j ( b ) = 0 的格林函数，并给出了此格林函数的对称性质及边值问题解的存在性定理 a t i c i 和g u s e i n o v 的工作和其它文献如【7 2 7 4 ，8 2 ，8 3 ，1 0 2 】等使时间尺度上动力方程的理 论得到了进一步完善 国际的学者如a g a r w a lrea v e r yri ，a t i c ifm ，a n d e r s o ndr b o h n e rm b o e y k l ，c h y a l lcj e r b el ，g u s e i n o vgs h ，h e n d e r s o nj ，l a k s h m i k a n t h a mv l e e l as ， o r e g a nd ，p e t e r s o na ，w o n g pjy 等做了大量关于时间尺度上动力方程边值问题 的工作，得到很多很好的结果目前，国内的学者如何智敏，李万同，孙红蕊，孙 建平，邢业朋等也做了不少关于此问题的工作，在此不再一一列举 最近几年，p l a p l a c i a n 微分方程 7 9 ，8 1 ，9 3 ，9 7 ，1 0 3 ，1 0 9 】和p l a p l a c i a n 差分 方程【8 5 ，9 8 ，1 0 5 】也颇受关注p l a p l a c i a n 算子( 1 l o p ( u ) = l u l p - - 2 u ，其中p 1 ) 出现在一些反映- 扩散问题，非线性弹性力学，石油提取等问题里，因此，对于p l a p l a c i a n 微分( 差分) 方程的研究有其一定的应用背景事实上，在已有文献中，大 部分p - l a p l a c i a n 差分方程边值问题的结果都是与p - l a p l a c i a n 微分方程的结果平行 的，参看文献【9 8 ，1 0 5 随着时间尺度上动力方程理论的发展和不断完善，一些专家 学者把兴趣转移到了时问尺度上p l a p l a c i a n 动力方程的边值问题我们知道，对于 此类问题的讨论可以避免对连续的和离散的p - l a p l a c i a n 动力方程的重复性研究 a n d e r s o n 等【7 6 】于2 0 0 4 年讨论了时间尺度上一类p - l a p l a c i a n 动力方程的三点 边值问题 b ( o ) ) j v + c ( t ) f ( u ) = 0 ，口 t 1 ，l ，( a ，b ) ct 作者利用泛函类型的锥扩张压缩不动 点定理建立了该边值问题至少存在一个正解的判定定理2 0 0 5 年，h e 9 9 ，1 0 0 】将 a v e r y , a n d e r s o n 引入的双不动点定理和a v e r y 引入的锥中五个泛函的不动点定理分 别应用到求解时间尺度上p - l a p l a c i a n 动力方程的三点边值问题，给出了所讨论的 边值问题存在两个正解和三个正解的条件文献【9 0 】利用锥扩张压缩不动点定理及 6 第一章引言 不动点指标定理讨论了时间尺度上p - l a p l a c i a n 动力方程的三点边值问题，给出了 所讨论的边值问题至少存在1 个，2 个及2 n 个正解的条件 众所周知，讨论各类边值问题解的存在性大部分是关于不动点定理的应用这 些不动点定理有k r a s n o s e l s k i i 不动点定理 9 0 ，9 8 ，1 0 6 ，11 0 ，不动点指标定理【9 0 ， 9 8 1 ，a v e r y 和a n d e r s o n 新引入的双不动点定理 9 7 ，9 9 ，1 0 5 】等近年来，一些学者 们开始应用不同的存在三个不动点的定理讨论各类方程的边值问题解的存在性最 经典也是学者们用的最多的是l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理 7 5 ，7 8 ，8 4 ，8 7 ，1 0 4 ，1 0 6 ， 11 0 ，a v e r y 引入的锥中五个泛函的不动点定理( f i v ef u n c t i o n a lf i x e d p o i n tt h e o r e mi n ac o n e ) 【7 9 ，9 3 ，1 0 0 ，1 0 3 】等最近a v e r y 和p e = t e r s o n 【8 0 】推广了l e g g e t t - w i l l i a m s 不 动点定理引入了一个新的不动点定理，并用此定理研究了一类二阶差分方程的解的 存在性问题关于这个新的不动点定理的应用可见【8 1 ，9 1 ，1 0 9 目前关于时间尺度 上p - l a p l a c i a n 动力方程边值问题的讨论尚不多见 1 2 主要工作 本文研究了异维环分支问题，伴随超临界分支的异宿环分支问题及时间尺度上 p - l a p l a c i a n 动力方程的三点边值问题全文内容共分为四章 第一章中，我们介绍了本文的研究背景，意义及主要工作 第二章研究了连接两个双曲鞍点的异维环分支问题考虑( r 5 ) 系统 童= ，( z ) + g ( z ，p ) 及未扰系统 三= ，( z ) ， 其中弘删，f 2 ，o 川1 ，9 ( z ，o ) = 0 ，慨) = 0 ，9 ，p ) = 0 假设未扰系统有 一连接其双曲鞍点p l ，p 2 的异宿环( 为异维环) r = r l u r 2 ，这里n = z = r i ( t ) ： t r ，r ( + o o ) = r i 十l ( 一o 。) = 胁十1 ，其中i = 1 ，2 ，r 3 ( t ) = r l ( t ) ，p 3 = p 1 在研究三维空间中的异维环分支问题时，假设z r 3 ，且d f ( p 1 ) 有特征值 a ，砖，一p 满足- p 0 a 增，簧23 ，d f ( p 2 ) 有特征值一以，一p 乞遐满足 一p ； 一p 5 0 a 5 ，鲁3 在研究四维空间中的异维环分支问题时，假设z r 4 ，d f ( p 1 ) 有特征值a ，砖， 7 华东师范大学博士论文 增，一p 满足一p 0 a i 增 增且鲁3 ，d ，( p 2 ) 有特征值遐，蝎，一p 5 ，一虞 满足- p ； - p ； 0 遐 弼且簧3 ，簧3 我们采用文献 6 9 ，7 1 首先弓l 入并经文献 2 8 3l 】等改进的方法( 即在异宿轨道 附近建立局部活动坐标系，构造新坐标系下的p o i n c a r 6 映射。并导出分支方程的方 法) ，分别研究了三维空间和四维空间中的异维环在满足通有条件下的分支问题， 给出了异维环保存及同宿环、周期轨存在的条件与分支曲面值得提出的是，本文 还得到了关于保存的异维环与分支出的周期轨共存的结果，从而揭示了与非异维的 异宿环在分支性态方面的差别众所周知，在研究非异维的异宿环分支问题时，当 且仅当未扰动的异宿环满足一些非通有条件( 如轨道翻转，倾斜翻转等条件) 时， 保存的异宿环与分支出的周期轨才可能共存 第三章，我们讨论了( r 5 ) 系统 2 = a ( z ，a ，肛) 及未扰动系统 三= ，( z ) ， 其中z r 4 ，a r ，肛r l ，f 2 ，0 曼i a i ，i p i l ，g ( z ，0 ，0 ) = ，( z ) ，( p i ) = 夕慨，a ，p ) = 0 ，i = l ，2 假没未扰动系统有连接奇点p l ，p 2 的异宿环r ，r = f iu n d f ( p 1 ) 具有实特征值0 ，a ，一p ：，一p 满足一西 - - p 0 a ，d f ( p 2 ) 具有实特 征值a 刍a 刍一比一p ；满足一p 2 一p 5 0 遐 l ，卵( 0 ，t ) t 借助于非线性泛函分析的有关理论，利用a v e r y 和p e t e r s o n 【8 0 】引入的