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非线性压电弯曲执行罄的静动力数值分析 中文摘要 摘要 本文研究简支，固支和悬臂压电层合梁在强电场和机械荷载联合作用下的非线性 静力变形以及可移简支弯曲压电层合梁在交变强电场作用下的非线性动力学行为。考 虑材料的电致伸缩和电致弹性压电效应以及几何非线性导出压电层合梁的数学模型， 并求得在常电场和均布力联合作用下各种边界条件梁的挠度和位移解析表达式及压 电可移简支执行器的弯曲振动控制方程，它的刚度是关于时间的慢变函数利用非定 常振动的渐近理论和g a l e r k i n 方法对具有慢交系数的非线性动力方程进行求解，得 到了可移简支压电层合梁的动力特征。通过对双压电晶片梁和单压电晶片梁的数值计 算及分析得到线性与非线性模型之间的差别和适用范围。同时得到了压电可移简支梁 的共振频率、固有频率和电场频率三者之间的变化关系，压电执行器谐振幅度与作用 电场强度的关系 关键词压电材料，强电场，电致伸缩，电致弹性，几何非线性，材料非线 性，层合梁，渐迸理论，共振频率 作者：王伟 指导教师：姚林泉 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析英文摘蔓 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h en o n l i n e a rs t a t i cd e f o r m a t i o n so fs m p l ys u p p o r t e d , f i x e ds u p p o r t e d a n dc a n t i l e v e rp i e z o e l e c t r i cl a m i n a t e db e a m su n d e rc o m b i n e ds t r o n ge l e c t r i cf i e l da n d m e c h a n i c a lf o r c ea n dn o n l i n e a rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so f p i e z o e l e c t r i cb e n d i n ga c t u a t o r s u n d e rs t r o n ge l e c t r i cf i e l dh a sb e i n gs t u d i e d t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fp i e z o e l e c t r i c l a m i n a t e db e a mi so b t a i n e dw i t hav i e wt oi n f l u e n c eo ft h ee l e c t r o s t r i c t i v en o n l i n e a r p i e z o e l e c t r i ce f f e c t , e l e c l r o e l a s t i c n o n l i n e a r p i e z o e l e c t r i c e f f e c t sa n d g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y t h ea n a l y t i ce x p r e s s i o n so fd e f l e c t i o na n dd i s p l a c e m e n to ft h eb e a m sf o r v a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n sa o b t a i n e du n d e rc o m b i n e de l e c t r i cf i e l da n du n i f o r m l y d i s t r i b u t e dl o a d u s i n gt h ea s y m p t o t i ct h e o r yo fn o n s t a t i o n a r yv i b r a t i o n sa n dg a l e r k i n m e t h o d t h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h el a m i n a t e db e a m sa r eo b t a i n e d b yn u m e r i c a l c a l c u l a t i o na n da n a l y s i so f b i m o r p ha n du n i m o r p hp i e z o e l e c t r i cb e a m s , t h ed i f f e r e n c ea n d a p p l i c a b l es c o p eb e t w e e nl i n e a ra n dn o n l i n e a rm o d e l sa r cf o u n d a n dw ea l s og e tt h e f u n d a m e n t a lr e s o n a n tf r e q u e n c yo fp i e z o e l e c t r i cs l i ps i m p l ys u p p o r t e db e a m sw i t ht h e v a r i a t i o ni ne l e c t r i cf i e l dt h er e l a t i o n sb e t w e e np r e d i c t e dl 七5 0 n a l l c ea m p l i t u d eo fm a x d e f l e c t i o n sf o r t h ep i e z o e l e c t r i ca c t u a t o r sa n dt h ee l e c t r i cf i e l d k e yw o r d sp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，s a r o n ge l e c t r i cf i e l d ，e l e c t r o s t r i e t i v e ，e l e c t r o e l a s t i c ， g e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y , m a t e r i a ln o n l i n e a r i t y , l a m i n a t e db e a m ，a s y m p t o t i ct h e o r y ， l = e s o n a n o ef r e q u e n c y n w r i t t e nb y w a n g w e i s u p e r v i s e db yl i n q u a ny a o 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：丛笠日期： 趔：垒兰l 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：& 缒日期：递! ，垒上7 导师签名：鑫捧邀 日 期：皇竺垒兰 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析引言 引言 压电传感器和驱动器是分别利用压电材料的正、逆压效应制成的传感器和驱动器， 它具有控制精度高、响应速度快、功耗低、分辨力高、体积紧凑、对磁场不敏感、可 应用于高真空及超低温环境等优点，被广泛应用于大规模集成电路光刻设备、超精密 计量设备、超精密加工设备及微细作业系统等需要纳米级甚至亚纳米分辨力的仪器设 备中因此利用压电机敏材料作为传感器和驱动器对结构进行监测和控制代表了目 前研究和应用中一个很广阔而又非常活跃的研究领域，近几十年来功能材料还被广泛 应用于航空、航天、机器人、精密仪器、微电子工业等领域，主要起精确定位、振动 控制和噪声控制、微操作及检测的作用。虽然压电元件具有很多优点，提供了一种较 为简便的方式将输入的驱动电压转换成形变，或者将这种形交转化成电压，但它同 时也存在一些固有的缺陷，比如，在实际应用过程中，压电传感器和驱动器本身一些 固有特性( 如迟滞、蠕变、温度等特性) 也给高精度的位移控制带来一定的影响其 中的迟滞特性是影响位移输出精度的主要因素，对迟滞特性的建模和补偿是获得压 电驱动器高精度输出的关键，而导致这些缺点其中主要原因之一就是其非线性特性 卜4 ，在实际器件中为了达到有效控制结构的目的，往往要在作动器上施加大的交 变电压，致使压电材料表现出较强的非线性。为减小压电作动器非线性特性所造成的 影响，更好地发挥压电元件的性能，研究其控制系统非线性特性和控制策略是非常 重要的 在实际的压电结构应用中以下几个方面是值得人们关注的课题。 第一，几何非线性。大型化、低刚度与柔性化结构是航天器制造的一个重要发展 趋势它可以增加有效载荷的重量、增加空间结构的功能，提高运载效率由于这类 大型柔性结构的刚度低，一旦受到某种外界因素( 如，激振力、冲击力、变温等) 的 作用，其引起的变形及振动往往很大即使在微机电系统( m e 骼) 中，也往往需要作 动器有大的位移，而引起几何上的非线性。同时，考虑到压电材料，特别是压电陶瓷， 是一种脆性材料，不能承受很大的应变因此，应该对于变形较大的结构应考虑在正 常允许形变范围内的几何非线性效应 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析引言 第二，材料非线性压电效应和电场之间的线性关系只有在弱电场强度才适应。 然而在强电场作用下这种关系是非线性的，而且会发生滞后现象，如p z tg - 1 1 9 5 ， p z t 一4 等压电陶瓷。非线性特性的存在使压电元件重复性、检测精度降低。瞬态位置 响应速度变慢，可控性变差，成为压电元件进一步工程应用及进一步提高其使用性 能的主要障碍因素之一 4 而为了提高精确定位、振动控制和噪声控制、微操作及 检测的作用，往往要在作动器上旌加大的交变电压，致使压电材料表现出较强的非 线性。因此，为减小这种非线性特性所造成的不良影响，必须考虑由强电场引起的材 料非线性效应 第三，动力学分析正是由于这种柔性结构使得结构的稳定性较差，当受外界干 扰力和载荷( 特别是交变强电场) 作用后，使结构易发生振动和失稳。即使在静态情 况下，当电场和应力场耦合作用时，结构的临界载荷也将会发生很明显的改变当结 构发生振动或失稳时，设备的灵敏度将减低或不能正常工作。甚至造成结构的损坏 为了使结构具有较强的抗外界干扰能力，且更好地发挥压电元件的性能，也是为了能 更好地对结构进行主动控制，故有必要考虑结构的非线性振动特性，进而采取有效的 方法来抑制结构振动和失稳。 因此，充分研究压电结构在几何和材料非线性情况下的静动力特性是非常必要 的，它具有很强的工程应用背景和学术价值 在最近的几十年中，在压电材料作为传感元件和执行元件的智能结构的分析和应 用中，研究人员从实验、模型建立、理论分析到数值计算等方面做了很多的研究。特 别对线性效应的研究比较全面和成熟，而对于非线性方面的研究比较少。而且，在大 部分的非线性问题的研究中只考虑几何非线性而没有考虑非线性压电效应，如文 6 - 1 0 。近几年，压电元件非线性领域的研究已开始引起科技工作者的重视。国内外 很多科研机构从非线性特性形成机理、控制方法及数值计算等方面开展了相关研究 i t - 1 5 ，如，非线性压电材料本构关系 1 1 - 1 2 ，静力和动力学分析 1 3 ，振动控制 和优化设计 t 4 、1 5 等。但对于在强电场作用下非线性压电效应的压电智能结构的动 力学研究还远远不够。 在国内，利用压电材料作为传感元件和激励元件与控制电路一起控制智能结构的 研究已取得了一定的成果。已有一大批研究人员对压电结构进行了非常有益的研究， 2 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析引言 涉及到压电材料在力学中的各个领域i t - 4 ，6 - 9 ，1 1 ，1 3 - 1 7 但，对在强电场作用 下同时考虑几何非线性和非线性压电效应对结构的影响机理还缺乏深入的研究，还存 在许多值得研究的课题。因此，深入开展强电场作用下几何和材料非线性压电智能结 构的振动分析研究，探讨非线性压电的特性，使其更好地改善对振动的控制条件，对 压电智能结构方面的理论研究水平和工程应用都是非常有意义的 双压电晶片或单压电晶片式弯曲执行器是最常见的驱动元件目前虽然已有大量 的文献报道关于对双压电晶片和单压电晶片的研究 1 8 2 3 ，如，压电弯曲执行器在 机电联合作用下的输出功率 1 8 ，压电陶瓷弯曲模型执行器在强电场作用下的非线性 压电行为 1 9 ，压电弯曲对称层合圆板的结构方程 2 0 ，压电悬臂弯曲执行器的变形 分析 2 1 ，双压电晶片执行器在不同的外载作用下的机械工作效力 2 2 ，双压电晶片 执行器的本构方程 2 3 等，但很少考虑在强电场作用下执行器的非线性电致伸缩和电 致弹性效应。 本文研究简支，国支和悬臂压电层合梁在电场和机械荷载联合作用下的非线性变 形和压电可移简支执行器在交变强电场作用下的非线性动力变形。考虑材料的电致伸 缩和电致弹性压电效应以及几何非线性导出压电层合梁的数学模型。并求得在静电场 和荷载联合作用下挠度和位移的解析表达式，通过对双压电晶片梁和单压电晶片梁的 数值计算及分析得到线性与非线性模型之间的差别及适用范围。同时利用非定常振动 的渐近理论中的三级数法，讨论了可移简支压电执行器的动力特征，并且根据目前的 非线性模型计算压电可移简支梁的固有共振频率与作用交变电场的变化关系 3 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析 基本方程 第一章基本方程 考虑长为- ，总厚度为扛有打层各向同性的压电层与基础层层合的梁，如图l 所示。设第七层处于：= 毛和：= 。之间假设每层被完好地粘合在一起并略去粘合层 的厚度和粘弹性影响。压电层的极化沿z 轴方向，并设只沿厚度方向作用电场五，而 另外两个分量又为零，所以对于狭窄层合梁，所有的位移及其导出分量独立于坐标乃 髟叹仅考虑轴向位移u ( x , z 。f ) 和横向位移h ：，t ) 。根据k i r c h h o f f 假设，位移场为 。x , z , t ) = ( 毛f ) 一：誓，w ( 碥r ) = g o ( x , t ) ( 1 1 ) x 轴向应变以与位移之间的非线性几何关系为 毛t + 础= 誓哇争一= 警 ( 1 2 ) 考虑非线性压电效应的本构关系可表示为 2 4 - - s , 。吒+ 呜，马+ 弓。以乓+ 坞写 ( 1 3 ) 其中，和心分别是梁中面的轴向和横向位移，妒是薄膜应变，是弯曲应变， 瓯；l 且是弹性柔顺度系数，占是杨氏模量，矗是压电柔顺度系数，鸭是电致伸缩柔 顺度系数，秀。是电致弹性柔顺度系数。由于铁电材料电场与应变呈蝴蝶形滞洄曲线， 加载与卸载时应变的路径不同，( 1 3 ) 式对电加载阶段适用，本文仅考虑电场加载的 情况。 图1 层合梁 f i gi l a m i n a t e db e a m 4 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析基车方程 从方程( 1 3 ) 可以求得应力吒的表达式 以一毯亳铲 ( 1 4 ) 由于电致弹性效应与柔顺度相比要小得多，即蟊。马 o 时：心- 1 肌2 矿一q d l 2 e + 万q + 争警+ ， c 0 时； gg q l g 凫。面瓦i 两62 丽2 一五万 岛气1 - 一r 小o ( 4 万o + 而q 一奢+ 丽g q l ，岛。i + r 小4 万+ 而一孝+ 丽 c o 时：g 。要+ 置, 2 2 d + 型掣 4 l 4 c 0 的情况，通过试解法由( 2 2 1 ) 可 解出五，然后由( 2 2 0 ) 确定各常数双晶和单晶压电梁两种情况下中心点最大挠度随 电场的变化由图9 和图l o 给出图1 1 给出了在给定均布载荷及外电场下，固支梁的 挠度分布。 1 4 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析静力分析 剖 嚣 自 岳 电场( v i m ) 霄9 固定双压电晶片粱中心点挠度与电场的关系 f i g9 c 咐d e f l e c t i o n8 saf i m c d o no f t h cc l o c 晡c 丘c m f o r 缸c d 辄p p o n e d b 脚r p h 蛐蝴 3 倒 墨 宅 锵 青 3 魁 堪 壬 圈l o 固定单压电晶片集中心点挠度与电场的关系 f - g1 0 c t 霄悯e 商蛐勰a 胁甜明o f m c d 啊c f i c l df o rf i x c ds u p p o r c c du n i m o r p ha c t u a t o r 飞焉二7 1 02 03 0 集的长度( ) 图1 l 固支双压电晶片架和单压电晶片粱的挠厦 f i g1 1 b 黜 d c f l c c t i o n 髂af u n c t i o no f b c a m 名l e n s t hf o rf i x e ds u p p o r t e db i m o f p ha n dt m i m o r p ha c t u a t o r ( c ) 悬臂梁 由( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 式并分别利用( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 得到对于双压电晶片执行器和 单压电晶片执行器悬臂梁自由端挠度和中面位移图1 2 图1 5 ，给出了在不同外载 情况下自由端挠度与电场以及位移与电场的变化关系。由( 2 2 4 ) 式给出了在给定均布 载荷及外电场作用下，悬臂梁的挠度分布，如图1 6 所示。 1 5 非线性压电弯曲执行嚣的静动力数值分析静力分析 3 越 嚣 i 忸 皿 电场( v - i ) 圈1 2 悬臂双压电矗片集自由期挠度与电场的关系 f i g1 2 md c f l c c t t o a a 觚o f t h ee l e c o - i cf i e l d f o rm n t i l c v c rb i m o r p ha c t u a t o r 屯场“m ) 圈“悬臂双压电晶片粱自由靖位移与电场的关系 f i s1 4 唧d i s p l a c e m e n tm saf u n c t i o no f t h ee l e c t r i cf i c l f o rc 4 m t i l e v e rb i m o r p ha c t u a t o r 电场( v m ) 圈1 3 悬臂单压电晶片粱自由端挠度与电场的关系 f i g1 3 t i pd e f l e c t i o n af i | m n o ft h ec k c t f i c 血m f o r m n t i l e v c r m m o r p ha c t u a t o r 电场( v m ) 圈1 5 悬臂单压电晶片粱自由端位移与电场的关系 f i g1 5 1 i pd i s p l a c e m e n th af u n c o f lo ft h ee l c c u i c f i c lf o r c a n t i l e v e r u n i m o r p ha c t u a t o r 1 6 非线性压电弯曲执行器的静动力敷值分析静力分析 3 魁 嚣 宅 球 豳1 6 悬臂双压电晶片粱和单压电晶片粱的挠度 f i g1 6 一b e a m sd e f l e c t i o n af u n c t i o no f b e a m sl e n g t hf o rc a n t i l e v e rb i m o r p ha n dt m i m o r p ha c t u a t o 1 7 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析动力分析 第三章动力分析 本章利用非定常振动渐近理论的三级数法考虑简支弯曲执行器在强电场激励下 的非线性特性。 3 1 非定常振动方程 为了研究交变电场对结构振动的影响，设结构只受电场作用而没有机械外载荷作 用，并忽略轴向惯性项考虑可移简支压电梁( 对于悬臂梁的情况 2 5 己做研究) 从 而，根据( 1 8 ) 、( i i t ) 和边界条件( 1 1 7 ) 中关于札的条件可求得轴力为 札t 。( + 吃) 一县。，一彤= o ( 3 1 ) 根据方程( 1 1 2 ) 和( 3 i ) 得到 m = 且- + ；吃卜q - ，一嵋= 譬一d i 挑，+ 鱼竺丝 ( 3 2 ) 由上式可知，弯矩由两部分组成：一是由挠度引起的，另一是由电场引起的 将( 3 2 ) 式代入( 1 9 ) 式得弯曲振动的控制方程为 z o 丛0 t 2 + 。( r ) 等= 虿 ( 3 3 ) 其中d ( 0 是考虑拉伸和弯曲后得到的等效弯曲刚度。 d ( f ) = 。( 郇) ) 咄一鲁 ( 3 4 ) 彳为由作用电场乓在x = 硝镕产生的弯矩的等效载荷 2 5 ， 删= 她鲣芝竽趔圳= 嘶一o m ( o ( 3 5 ) 其中万是单位脉冲函数，肘( f ) 是由电场引起的等效端部弯矩 1 8 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析动力分析 j | l f ( r ) ，彬( r ) 一安以( t ) ( 3 6 ) 方程( 3 3 ) 描述7 l 目v j 度随时间变化的可移简支梁的非线性振动系统。由于这系统 的复杂性，要精确确定它的非线性振动特性是非常困难的。为此，假设这刚度是时间 的连续且慢交函数。从而可以利用非定常振动的渐近理论对原振动系统进行求解设 d ( f ) = d ( r ) 是慢时间r = 甜的函数，其中f 是小的正参数。这个参数表示系统是近似线 性保守系统( 未受扰运动) 慢变系数是指它们关于独立变量t 的导数是与小参数s 成正比的，如 生皿，巫剑妾：。塑盟 ( 3 7 ) 出dr出dr 刚度d 和载荷彳可以用参数表示为： d ( f ) = d ( 1 一( 与) ) ，彳( 南f ) = s ，o p ( 墨局) ( 3 8 ) 将( 3 8 ) 式代入( 3 3 ) 得到， 窘+ 导( 一( 剐) 窘一s ( p ( 茸蹦- g ( i + y 涵i ) 期 7 ( 3 9 ) 这里考虑了由阻尼引起的力并假设阻尼系数与作用电场的振幅有关f ；三盟，叩是 执行器的相对粘性阻尼系数，碗为系统未扰动的第一阶固有频率。实际的阻尼比随作 用电场的振幅大约线性地增加这在方程( 3 9 ) 中由s 卯+ ，旧p 项反应出来 设电场的变化为 马= 霹s i n o ( 3 1 0 ) 霹为作用电场的振幅，口为相位角，则简支执行器在电场作用下的扰动项可表示为： ，( e ) = 霹s i n o + a ( 霹s i n o ) 2 ；，( 毋 鹏与) = f ( 目s j n 口+ 夕( 霹s i n 回2 ) 艿协一j ) = ，o 。刃 1 9 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 非线性压电弯曲执行嚣的静动力数值分析动力分析 这里忽略了0 ( 霹) 以上的高级项，a 。，和f 是由执行器的构型确定的量。然而，方程 ( 3 9 ) 位具有慢变参数占的非定常振动方程，为了对它进行求解，先考虑结构的自由 振动 3 2 自由振动的频率和振型 对于由方程( 3 9 ) 描述的未扰梁振动系统( 令占= 0 ，且不考虑阻尼，即为自由振 动系统) 的控制方程为 厶窘+ d o 丽。4 w = 。 ( 3 1 3 ) 相应的简支梁边界条件为： l | o i 。= w o i ，= 也l 。= o ，l 。= l l 。；坂i 。= o ( 3 1 4 ) 设振动具有简谐形式 。 w - - - - - - z 纯( 力c o s ( q ，+ 岛) ( 3 1 5 ) 其中，纯为振型，q 为固有频率，以为初相位角。将( 3 1 5 ) 代入( 3 1 3 ) 可得 其中 硝( 功一吼( 力= o ，k ；1 ，2 3 。 口。：丝 d o ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 求解方程( 3 1 6 ) 得 纸( 力= q e 掣+ 乞口。v + c 3s 吒力+ c c o s ( d ( 3 1 8 ) 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析 动力分析 其中c i ，乞，岛，气为积分常数，再由边界条件( 3 1 4 ) 得 2 吼( o ) - - c , + c 2 + c i = 0 鬟器筝+ c 2 e - 叫篇s i 2 n ( 吒o + f i o o s ( a , o 。0 饵 吼u ) = c l b 叫+ 白 = ”。 戎( ) = q 2 e 4 一+ c 2 a k 2 e 一吖一c 3 吒2s i n ( a j ) 一c 4 a k 2 c o s ( 口k o = 0 这是关于q ，c 2 ，c 3 ，c 4 的齐次线性方程组，为了得到非零振型吼则要q ，c 2 ，q ，c 的系数行 列式等于0 。即 展开得 由此解出 进而解得 0 o s i n ( a , 1 ) s i n ( 口, o 8 彳s i n 瓴d ( e 叫一e 叫) = o 七石 略2 丁 1 i 一彳 i _ o c o s ( a , o l 一彳c o s ( a , o i q 1 1 0 ，c 2 1 1o ，q = 0 ，岛为任一常数。 从而振型函数为 纯= 岛s m t h x ，七= l ，2 ，3 ， 显然纯( 矽为正交函数，不妨设 ；f 识触= 可解出 2 l ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 娄杀 。瑟 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析动力分析 c 3 = 压 从而可得可移简支梁的固有圆频率q 为 地= 竽辱 因此，自由振动的解为 w = 宝压蛳竽x ) c o s + 幺) k - i 3 3 非定常方程求解 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 对于( 3 2 5 ) 中w ，我们主要关心结构的自然频率及其振型。因此可以设非定常方 程( 3 9 ) 的解形式为 护= 妇( x ) q ( f ) ( 3 2 6 ) 再甲研( 力为无扰动目由振动时的振型。将( 3 2 6 ) 代入( 3 9 ) 后方程两边【司乘纯( 力井 对x 从o z 积分，即利用g a l e r k i n 法，并考虑仍( 工) 的正交性可得 甄( r ) + ( 1 一占厂( 毛) ) 砰q ( f ) = d m + y i 马嗽( r ) + f p ( x ，马) 仍( 功出】 ( 3 2 7 ) 而( 3 2 7 ) 右端的积分可化为 2 6 ；f p ，马) 识( 力出= f f ( 马+ 夕马2 ) 万o 一，) 纯g ) c 6 c = 一f ( 马+ 毛2 ) 科( d ( 3 2 8 ) 代入( 3 2 7 ) 可得 蔼( ，) + ( 1 一f 厂( 与) ) q 2 m ( f ) = d 百a + ，l 马i ) 呶( r ) 一；f ( e + e 2 ) 科( ，) 】 ( 3 2 9 ) 萁中 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析动力分析 ，硝陋孚 方程( 3 2 9 ) 中含有慢交参数占，则可以利用渐近理论中的三级数法对上式进行求 解 2 7 ，令 蚝( f ) = a c o s ( e + ￥) + s u , ( r , o ，口，占+ 矿) 鲁叫( f ，口 ( 3 警= q 叫力+ 娼( 础川 其中口为扰动力电场的相位( 警= v ( f ) 是扰动力的瞬间频率) ，“是口，p + 矿的以2 石 为周期的周期函数，口为最大振幅，i f ，为扰动相位，口，矿均为时间r 的函数 由( 3 3 0 ) 可知1 ，只要确定了函数4 ，置，u 后u c t ) 也将确定，进而可求得”。由 ( 3 3 0 ) x c a ，矿关于r 且只考虑占的一次项，得 事= 球q v ) 势卜) 睾= 占尝一妄柏一帕卜住s t j 再对“( f ) 关于t 的一次和二次求导，并只考虑占的一次项，则 亟d t - - c n l a s 咄口+ + “4c o s ( 口+ 一磷s 试p + ”+ 等v + 石磊q 】+ 以) 万d 2 u l = - a 砰c o s ( 日啪州岛似- v ) 一2 鸥q ( 口州一【2 4 q + 口嚣( q 叫酬护训 + 罟v 2 + 磊磊州东黯砷詹。， ( 3 3 2 ) 非线性压电弯曲执行嚣的静动力数值分析动力分析 再将( 3 3 0 ) 中的第一式和( 3 3 2 ) 代入( 3 2 9 ) ，比较s 一次项系数，可得 穆( q - v ) 2 酬唧训一 2 4 q + 口嚣( q v ) s i n ( 帅) + 器i ，2 + 丽2 而a 2 u 1 州瓦等0 ) 1 2 + 砰u _ ，( 州删帅) ( 3 3 3 ) 百( 1 + r l z , 1 ) o 魄口s 姒口+ y ) 一；f ( 霹如曰+ d ( e , 。s m a ) 2 ) 仍u ) 下面利用等式两端同次谐波的系数相等来确定阢，4 ，马令( 3 3 3 ) 右式为 f ( o ，a ，口+ y ) = ，( 岛) 砰口c o s ( 口+ y ) 吖( 1 + ，i 马1 ) q 口s i n ( e + y ) 一f ( 霹s i n 9 + 夕( 霹s m o ) 2 ) 仍u ) ( 3 3 4 ) 对其进行傅氏级数展开 2 7 ，得 f ( o ，口，口+ 矿) = e e 4 咖h 嘶m ( 3 3 5 ) 其中， 只，= i 万i r r 。尼一衲州嘶m d o d ( t ，+ y ) ( 3 3 6 ) 同理珥( f ，a ，0 ，口+ 妒) 也可表示为傅氏级数 u ( f ，口，0 ，口+ y ) = g - p 忡。竹” ( 3 3 7 ) j q 其中g _ 为待定系数。 将( 3 3 5 ) 和( 3 3 7 ) 代入( 3 3 3 ) 可得 【砰一( w + 埘q ) 2 】“，e 4 棚“呻”= e ，9 4 肌- 竹” p -p + 2 q 鸲一券( q v ) e o s ( 口m + 【2 q 4 + 口嚣( q 叫】s i n ( 护州 ( 3 3 8 ) 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析动力分析 令上式中同次谐波的系数相等，我们考虑v = q 的共振情况，则当 时 而当 片+ ，纷1 厶，= 百而f 而m r ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) 厅+ 舶= l( 3 4 1 ) ： 时( 3 3 8 ) 左式等于0 ，则可见( 3 3 8 ) 左式中不舍o + g 的一阶谐波，要( 3 3 8 ) 成立则 需右式中关于p + 缈的阶谐波系数为零，现将f 中关于s ( 口+ y ) ，s i n ( o + y ) 的项列 出，因为， p 枷_ p + r m = e 枷_ _ + “日+ 棚= p 联舯。x “r 卜审1 再考虑( 3 4 1 ) 得 g 玎胂+ _ + r = p _ ( c o s ( 口+ y ) f s i n ( 占+ y ) ) ( 3 4 2 ) 本文只考虑关于口+ 矿的一次谐波，所以满足( 3 4 1 ) 条件的，0 只有四项，由( 3 3 6 ) 可得 f o ，t - z l | - f 锄( ，) 霹f ，层j = 西1 锄( d 霹f ， = 三砰职曰2 + 击弼口( 2 石+ 4 ；i 霹防， e 。j = 丢砰霹2 一击妈口( 2 石+ 4 ，i 霹眦 ( 3 4 3 ) 则由( 3 3 8 ) 右式中c o s ( 口+ y ) ，s 瓤护+ y ) 项的系数和分别为零可得 非线性压电弯曲执行器的静动力数值分析动力分析 ( 3 “) 安l 舞, z 篡：慧嚣叩瑚 l 手锄霹c o s y 一去卿口( 2 肘4 y 霹) + 2 q 4 蜘嚣( q v ) = o 由( 3 4 5 ) 的第一式可推出 岛= 赤喏( q - v ) 一兰q 2 口口乎一7 1 锄( 0 霹s i n 纠 ( 3 4 6 ) 代入( 3 4 5 ) 的第二式可得 鼍等+ 锄4 一垡等半产t 0 一去弼口+ 删，= 。c 。娜， 由( 3 4 7 ) 可解得 4 ：垒：嬖掣+ 业盟 1 ( q + v y 2 石 代入( 3 4 6 ) 解得 马= 甍等一蠼4 口【+ v ) ， 结合( 3 3 0 ) 可得n 和y 满足下列一阶近似方程 其中 i 害卸一，- 嘲妒 喀；a + 鲁如y ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) ( 3 5 0 ) 毒 撕 铊 诅鬟 非线性压电弯曲执行嚣的静动力敦值分析 动力分析 4t 学， ，= 案警， a = 啦十- 嘲- - - “7 剐- - - ，吖( ot 生i ( 3 5 1 ) 方程( 3 5 0 ) 可确定执行器的非定常振动特性在此，引入复函数 z 。a ，= u + v ，q t a c e s v 。v ：a s m y ( 3 5 2 ) 则方程( 3 5 0 ) 可表达为下列线性非齐次一阶微分方程 鲁一 + 识) z + ，l = o ( 3 5 3 ) 上式的解可表示为 z = “嘲p 【j ：，l f f 知柏别 ( 3 5 4 ) 求解方程( 3 5 3 ) 的解析式或解析积分( 3 5 4 ) 是非常困难的一般采用数值积分方法进 行求解。求出积分后，振幅和相位可表示为 挣i z l = 届孺，y = 嘴器 ( 3 5 5 ) 当振动的振幅和相位变化不大时可作为定常的情况，此时它的解可以被解析地 求得为此，设方程( 3 5 0 ) 中关于。和y 的导数为零，得到 磊口一 c o s y = 0 ， + - 鲁s i n y = o ( 3 5 6 ) 其中4 ，a ， 由( 3 5 1 ) 式给出容易求得 妒=蝴卜虹2盟e芎(rt瓣+2ye。 ( 3 5 7 ) ) 4 一考鳊 s s ， 菲线性压电弯曲执行嚣的静动力数值分析动力分析 田【3 5 8 ) 司知口是关于v 的函数，当v 达到共振频军时，口将取得最大值，故( 3 5 8 ) 将 口关于v 求导并令为零，可解得共振频率 v o ；扣c t 一年州肛事i i 孚磊， 如考虑非定常振动的情况，并设电场频率具有如下形式 v = 墨q + s 2 0 j 1 2 t ( 3 6 0 ) 其中 ，是为给定常数，则由( 3 5 4 ) 可得 跏一一p 脚毕【：意警等一e 钟砷毕州 ( 3 - e t ) 利用s i m p s o n 方法对上式进行数值积分( 将区间分成2 疗等份) ，并且令 朋= 意等薪h 讳 则可得 z ，h 脚旦竺乒去叭o ) + ，+ 4 艺，“2 + 1 ) 曲+ 2 艺，( 2 ，。) 】 ( 3 6 2 ) o ” 面面 其中a t = t ( 2 九) ，最后代入( 3 5 5 ) 解得口( f ) 3 4 数值分析 为了检验目前模型的特性，对双压电晶片式可移简支梁和单压电晶片式可移简支 梁两种模型进行数值计算。 对于可移简支双压电晶片执行器： 厶= 等咖风= 器一学，一小券( 3 e 3 ) 2 8 非线性压电弯曲执行嚣的静动力数值分析 动力分析 其中， 一= i + 3 b + 3 8 2 + j t ，段i i + 3 口+ 3 ，鸬= ( i + 2 b ) 4 ( i + b x i + b c ) i ， = - + 2 ，_ = e e , ，b = l 2 h , ，c = 以7 户， 下标m ，p 分别表示基础层和压电层相应的量。 对于可移简支单压电晶片执行器 其中， z 等咖 f ；丽再b 瓦d 瓦3 , h 万 f 。丛! ! 垦， ( 1 + 一日) “ 一蕾l + + 2 a b ( 2 + 3 b + 2 8 2 ) ，鸬= i + 2 a b + a 2 b 。( 4 + 6 口+ 3 酽) ， 一篇， 鸬= i + 2 a b + a 2 8 2 + a b p ，h i 气+ ，彳= 点i z , ，口皇 - h , ，c = a b ( 3 6 4 ) 这里先给出单压电晶片的计算结果如2 2 中所取模型，单压电晶片的尺寸为 4 0 0 m m x 7 0 m m 1 0 6 r a m 其中压电层的厚度为0 6 8 m m ，基础层弹性模量l = 2 1 0 g p a ， 厚度为0 3 8m m 材料参数为： = 6 0 6 g p a ， 氏= - 2 7 4 p n c ， 鸸l l = 2 8 5 x 1 0 4 7 一，y ， 羁l = - 3 7 0 x l o “m 2 y 2 ， 几= 8 0 1 3 x 1 0 3 k g m ， 以= 7 8 8 9 x 1 0 3 k g m 3 。另外，取相对阻尼系数为，7 = 0 0 5 6 ，随电场