（课程与教学论专业论文）八年级学生数学推理与证明的现状调查与教学策略.pdfVIP

m 鹤t e rd i s s e r i t a l i o n0 fg r a d u a 瞳c si n2 01 lc o d co fu n i v e r s 时：l0 2 6 9 c o d co f s t u d e n t ：5 1 0 8 0 6 0 l o l 5 励s 幼加口0 厂m 口j 咖f v e 坶f t h er e s e a r c h & i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g i e s o nt h ep r e s e n tg r a d e e i g h ts t u d e n t s ， r e a s o n i n g a n d d e d u c t i n ga b i l i t y d e p a r t m e n t ：d e p t o fm a t h e m a t i c si ns c h o o lo fs c i e n c e & e n g i n e e r i n g s p e c i a “z e ds u b j e c t ： c u r r i c u i u ma n di n s t r u c t i o n a lt h e o 哆 o r i e n t a t i o no fr e s e a r c h ：i n s t l l j c t i o ni nm a t h e m a t i c s u p e r v i s o r s ： p r o b a oj i a n s h e n g m a s t e rg r a d u a t e ：z h uj i a l i a p r i l2 0 m2 0 1 1 厂 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文八年级学生数学推理与证明的现状调查 与教学策略，是在华东师范大学攻读硕孟博士( 请勾选) 学位期间，在导师 的指导下进行的研究工作及取得的研究戡果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期：力，f 年易月日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 八年级学生数学推理与证明的现状调查与教学策略系本人在华东师范 大学攻读学位期间在导师指导下完成的顶孟博士( 请勾选) 学位论文，本论文 的研究成果归华东师范人学所有。本人j 一意华东师范人学根据相关规定保留和 使用此学位论文，并向主管部门和棚关机构如国家图书馆、中信所和“知网” 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范人学图巾馆及数 据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入伞国博士、硕士学位论文共建单 位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编版，采用影印、缩印或者 其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部l j 巾查核定的“内部或“涉密”学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 2 不保密，适用卜述授权。 导师签名 本人签名不缱丽 如l | 年参只ib 塞焦匾硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名 职称单位备注 赵小平副教授华东师范大学主席 李士绮教授华东师范大学 熊斌教授华东师范大学 吴颖康副教授华东师范大学 陈月兰副教授华东师范大学 摘要 青浦实验中，根据学生的认知水平，共分为四个层次：计算、概念、领会 和分析其中计算与概念属于较低层次的认知水平，学生的数学证明与推理能力 在其认知程度上要达到后两者才能有所体现同时，在领会与分析两个层次中， 学生在测试中的表达水平也有所差异。本文以青浦实验认知水平分析框架为基 础，进一步细化后作为本文的分析框架；并以八年级学牛数学推理与证明的认 知水平为研究对象，于2 0 1 0 年7 月至2 0 1 1 年4 月问，做了以下工作： 首先，以华东师范大学暑期进修的教师为样本，进行问卷调查。测问卷内 容土要有二方面：1 对学生数学推理与证明现状的看法；2 影响学生推理与证 明水平的可能因素的看法；3 对相关教学策略的认同程度。 其次，在收集教师问卷信息的基础 ：，分别对三所不j 一性质的中学( 西南 位育中学、吴泾中学、华东模范中学) 的学生进行认知水平的测试；并对学生 在测试中的表现情况进行分析。 第三，对华东模范中学七八年级的三名数学教师进行访谈，内容为学生的 认知水半、相关教学策略、课堂准备等方面。 第1 j q ，笔者在参与了华东模范中学八年级数学教学、教研活动的过程中 ( 时长为三个月) ，积累了与数学推理与证明有关的教学案例两篇，并对此作了 一定量的分析。 最后，在对上述调查、测试、访谈、案例的基础上，提山了螳许教学策略。 更多的教学策略需要一线教师在实践中总结、升华。 通过木次调查研究发现，关于学生的数学推理与证明能力，被试学生在证 明的规范性；思维的严谨悄：；归纳、概括、抽象能力以及纠错能力等方面存在 一定的缺陷，并日存在一定的思维定势。 本文的不足之处在于：1 样本容量较小；2 缺少对教学策略的实践，若有 更多的时间，对此进行相关实验研究，将会更好。 关键词：八年级，数学推理与证明，教学调查，教学策略，心理过程，思维定势 m a b s t r a c t l nq i n g p ue x p c r i m e n t a lr e s e a r c h ，t h er c s e a r c h 掣0 u pv e r i f i e dt h es t u d e n t s m 础e m a t i ck n o w l e d g ec o m p e t c n c ei n t of o u rc o 窖：n i t i o nl e v e l s ，t h e ya r ec a l c u l a t i o n l e v e l ，c o n c e p tl e v e l ，c o m p r e h e n s i o nl e v e la n da n a l y s i sl e v e l w h i l et i 把f i r s tt w o l e v e l sb e l o n gt ol o w e rc o m p e t e n c ep e r f o r r n 锄c e ，t 1 1 es t u d e n t s c o 鲫i t i o na b i l i t yi n m a t h e m a t i cr e 硒o n i n g 锄dd e d u c t i n gc 鲫b ew a k e du pi nt h ei 弱tt w ol e v e l s h o w e v e r ， b yt h e l e s el e v e l s ，c o m p r e h e n s i o nl e v e la n da n a l y s i sl e v e l ，s t u d e n t s p e r f o 肌锄c c i nt t l ee x p e r i m e n t a lt c s t sc 锄n o tb cp r e s e n t e de x a c t l y ，弱t h e ym e m s e l v e sh a v es o m e b i gd i 饿r e n c e si nt h ep e r f o 丌n 绷c e i nt h i sp a p e r ，w ew 川s e et h e 锄a l 蛳c a lf a m e w o r k r e f i n e di nd e t a i l a n d ，b yt i l i sf b u n d a t i o na n ds o m eg r a d e e i g l l t s t u d e n t sa sm eo b i e c t o ft h es t u d v id i dt h ei o bb yt h ef o i l o w i n g s ： f i r s n y ，w ei n v i t e dt l l es u m m c r 仃a i n i n g t c a c h e r si r ie a s tc h i n an 0 f m a l u n i v e r s i 田t ob et i l cs a m p l eq u e s t i o l l l l a i r e s t h ec o n t e x to ft h eq u e s t i o n n 撕r e sw e r c m a i n l yi nt h r e ea s p e c t s ： 1 t h ev i e w so f 协es t u d e n t s s t a t u si nm a t h e m a t i c a l r c a s o n i i l g 锄dp r o v i n 氍2 t h ep o s s i b l ef - a c t o r so nt i l ei n f l n c eo fs t u d e n t s p e r f 0 咖锄c el e v e l s ：鲫d3 t h er e l a t e dt e a c h i n gs t r a t e g i e s s e c o n d l y ，o nt h eb 弱i so f c o l l e c t i n gi n f o r m a t i o nf - r o mt h eq u e s t i o n n a i r c t e a c h e r s ，im a d es o m et e s to ns t u d e n t s m a t h e m a t i c a lr c a s o n i n g 觚dp r o v i n ga b i l i t i e s i nt h r e ed i 行e r e n tt y p es c h 0 0 l s 一s o u t h w c s tw e iy um i d d l es c h o o l ，w uj 玳g m i d d i es c h o o l 鲫de a s tc h i n am o d e lh i g hs c h 0 0 1 a 触rt h e n ，ig a v et h et e s t c a s ea n a l y s i si nt h eb e l l o w i n gp a p e r t h i r d l y ，ii n t e n ，i e w e dt h r e em a t ht c a c h e r sf 南m2 r a d es e v e no re i g l l ti ne 嬲t c h i n am o d e ls c h 0 0 1 b vt h eh e l po ft h e m ，lg o tm o r ev i e w so ft h ec 0 2 印i t i v el e v e lo f s t u d e n t r e a s o n i n g - a n d p r o v i n g s t a t u s ， t h er e l e v a n l t e a c h i n gs t r a t e g i 舒， c l 鹬s p r e p a r a t i o n s 踟ds 0 f o r t h iy ，t h ea u t h o rp a r t i c i p a t e di ne i g h t h 一伊a d em a t h e f n a t i c st e a c h i n ga f f a i r s ， t h ep 雠e s so ft e a c h i n g 觚d 代s e a r c ha c t i v i t i e s d u r a t i o no ft h r c em o n t h s ) i ne a s t c h i n am o d e ls c h o o i w h a t sm o r e ic o e c t e dt w ot e a c h i n gc a s e s ，w h i c hw i l lb e a n a l v s e di nt h i sa r t i c l e ，郅m n u l a t e dt om a t h e m a t i c a lr e 签o n i n ga n dp r o v i n 2 f i n a l l y ，t h ea b o v es u e y ，t e s t i n g ，i n t e n r i e w s ，c a s es t u d i e s ，b 嬲e d0 nt h e t c a c h i n gs t r a 位g i e sp u tf o n a r dal i t t l e t e a c h i n gs t r a t e g i e sn e e dm o r et e a c h e r si nt t l e p r a c t i c co f 行o n t 1 i n es u m m a r y0 f s u b l j m a t i o n f r o m l i ss u r v e y ，w ef i n d ，a c c o r d i n gt ot h es t u d e n r sm a t h c m a t i c sr e a s o n i n g a n dp r 0 v i n ga b i l i 毗t 1 1 a t t t l ei n v e s t i g a t e ds t u d e n th a v ec e n a i nf l a wi nt h er i g o rp r o o f a n dt h o u g h t s ：i n d u c t i o n ，s u m m a r ma b s t r a c ta b i i i t ya sw e l la se n 0 rc o r r e c t i o na b i l i 眦 a l s o ，t h e yh a v ec e r t a i np a r a d i 擘mw h i l et i l e ya r em i n k i n g t h e r ea r es o m ei n a d e q u a n c i e si nt h i sa r t i c l e ：1 t h es a n l p l es i z ei sn o tb i g e n o u g ht og i v ef u l i vs t a t e m e n t so ft h es t u d e n t s s t a t u s ：2 i ft h e r ew 雒m o r et i m e ，w e c o u l dm a i ( ear e l a t e de x p e r i m e n t a lr c s e a r c h a n dt h a tw o u l db em u c hb e t t e r k e yw o r d ：g r a d ee i 曲t ，r e 弱o n i n g 锄dd e d u c t i n ga b i l i 吼i n s t m c t i o n a l s 仃a t e 西e s ，t e a c h i n gr e s e a r c h ，p s y c h i c a lp r o c e s s ，p a r a d i g m 目录 l 问题的提出。i 1 1 数学推理与证明的重要性。1 1 2 新课程实施以后，学生的数学推理与证明水平是否降低? 1 1 3 关键期：八年级2 1 4 研究问题。4 2 文献综述s 2 1 各国数学新课程对数学推理与证明的要求s 2 1 1 美国5 2 1 2 英l 蚕7 2 1 3 新加坡。8 2 1 4 我国9 2 2 关于学生数学推理与证明的相关研究1 2 2 2 1 推理与证明的水平分析1 2 2 2 2 推理与证明的认知过程1 9 2 2 3 推理与证明的认知困难2 l 2 2 4 推理与证明的信念与态度2 2 2 3 国内教师采用的教学策略的相关研究2 6 3 研究方法与工具3 0 3 1 数学推理与汪明的分析框架3 0 3 2 学生的测试卷与问卷3 3 3 2 1 测试问题及其目标3 3 3 2 2 各样本学校测试卷编制情况3 9 3 2 3 样本学校选择与具体情况3 9 3 3 教师的问卷与访谈4 0 3 3 1 教师f 哥卷的编制4 0 3 3 2 教师访淡4 0 3 4 教学案例分析4 2 3 5 研究流程4 3 4 初步结果与讨论 4 1 学乍的数学推理与征明的现状4 4 4 1 1 测试情况与测试题分析4 4 4 1 2 在常规教学过程中的体现的问题5 7 4 1 3 学乍的信念与态度5 9 4 2 教师的问卷与访谈结果6 1 4 2 1 教师对学乍现状的看法6 2 4 2 2 影响学乍的推理与证明的因素6 3 4 2 - 3 教师关于数学推理与证明的教学策略6 6 4 3 教学案例分析7 1 4 3 1 案例之一：勾股定理7 1 4 3 2 案例之二：平行线的性质8 1 5 小结9 8 5 1 学生数学推理与证明的现状9 8 5 1 1 证明的规范性仍有欠缺9 8 5 1 2 思维的严谨性有待提高9 8 5 1 3 归纳、概括、抽象能力有待加强9 8 5 1 4 在推理与证明的过程巾，存在思维定势9 9 、5 1 5 关于纠错能力9 9 5 1 6 学f e 的态度与信念1 0 0 5 2 问题的成闪1 0 0 s 2 1 数学证明的习惯1 0 0 5 2 2 证明能力的训练1 0 0 5 2 3 证明过程巾思维定势的成闪1 0 1 5 3 教学策略。1 0 2 5 3 1 合理、有效地培养学生良好的数学证明习惯1 0 2 5 3 2 观察、重视学生产生推理与证明错误的原冈。1 0 2 5 3 3 关于思维定劳1 0 2 6 启看专与建议1 0 4 6 1 教学亦足一个不断积累、探索的过程1 0 4 6 2 细心观察，积累问题与对策1 0 4 7p f 憬1 0 s 7 1 教师问卷1 0 5 7 2 学生问卷1 8 参考文献1 培 9 致谢1 2 0 证明之于数学，犹如拼写之于诗歌如同诗歌由字符组成一样，数学工作是 由证明组成的 阿尔诺德1 l 问题的提出 1 1 数学推理与证明的重要性 从认知论的观点来看，数学知识不能简单地由教师传递给学生，而应该通 过学牛自己认知结构的改变和构造去建构学牛自己对数学的理解因此，在数 学教学中，如果只重视逻辑演绎式的数学证明将无助于学生真正掌握数学知识， 无助于学生形成良好的认知结构命题教学的目的，应当足要让学生通过证明 去理解命题，并能重新构建学生臼己的新认知结构，而不应足强求核实命题的 正确性 综合队卜观点，我们认为数学证明的教育价值在于( 王中怀，2 0 0 0 ) ： 1 通过韵f 明的教与学，使学生理解相关的数学知识； 2 通过证明，训练和培养学生的思维能力( 包括逻辑的和j e 逻辑的思维) 以 及数学交流能力； 3 通过证明，帮助学生寻找新l h 知识之叫的内在联系，使学生获得的知识 系统化； 4 通过证明，使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去 发现新知识 1 2 新课程实施以后，学生的数学推理与证明水平是否降低? 新教材与老教材相比，在探究与背景水半有了较大的提高，课程中不仅增 加了许多开放性、操作性的数学探究活动，而且更多地考虑了数学问题的实际 背景，其中特别是加强了数学与学牛日常牛活的密切联系而往传统的数学 “双基 ，卜则有所下降，减少了符n 运算与推理的复杂程度，特别在几何课程 的处理上，增加了几何变换的作用，减少了理论深度，已逐渐从“在定理的层 1 p r o o f sa r et om a t h e m a t i c sw h a ts p e l i n g ( o re v e nc a l l i g r a p h y ) i st op o e t 哆 面上展开的课程”转变为“在定义的层面上展开的课程”，使几何论证回到 “原始的生长点 ( 刘兼，1 9 9 7 ) ( 转引自鲍建生，2 0 0 6 ) 例如，在上海教育出版社七年级的教材中，“垂直于同一直线的两条直线互 相平行 这条定理并没有直接出现，而是在“平行线的判定 这一节的课后练 习中出现，在后续出现的相关习题中，都要求学生利用“平行线的判定定理 “原始的生长点 ，做出证明后来解决相关的证明与计算在老教材中，这 条定理作为引理的形式出现，学牛在解题过程中可以亢接利用 可见，在老教材的基础一卜，新教材作出了较明显的变化，那么在新课程实 施后我们关心的是，这样的变化，会对教学产生怎样的影响，学生在这样的教 学影响下，他们的数学推理与证明能力是否会降低? 1 3 关键期：八年级 我们从上海教育出版社的中学数学教材米看，各个学期学爿内容主要为以 下几个方面： 表卜1 卜教版初中阶段数学内容 六年级第一学期： 第一章数的整除第章分数 第三章比和比例笫四章圆和扇形 六年级第学期；第五章有理数第六章一次方程( 组) 和不 等式 第七章线段与角的幽法第八章长方休的再认识 七年级第一学期：笫九章整式第十章分式 第十一章图形的运动 七年级第学期：第十章实数第十二章棚交线平行线 第十l jl i 章三角形第十五章平面直角坐标系 八年级第一学期：第十六章_ 次根式第十七章一无次方程 笫十八章正比例函数和反第十九章几何证明 比例函数 八年级第二学期：第二十章一次函数、第二十一章代数方程 第二十二章四边形第二十三章概率初步 九年级第一学期：第二十四章相似三角形第二十元章锐角的三角比 第二十六章二次函数 九年级第_ 学期：第_ 十七章网与币多边形第十八章统计初步 从教材的编排来看，六年级至七年级第一学期期问，侧重的足数与式的认 知与运算，同时也有图形的亢观认识与理解；到了七年级第二学期，图形的亢 2 观认识上升到了一定的理性阶段，第十三章中，要求学生利用平行线的性质定 理和判定定理解决简单的相关证明，第十四章中，要求学生利用定理判断等腰 三角形、两个三角形全等，并解决相关证明的习题等等因此，七年级第二学 期起，学生已经开始接触简单的数学证明语言了 到八年级，第一学期单独一章几何证明，共2 6 谍时，其余三章的总课 时为3 1 ，占总课时的4 5 6 ，也就是从第十九章起，学牛丌始接受正规的数学 证明的训练一一从什么是命题，什么是数学证明丌始，到学会利用定理( 如垂 直平分线定理，角平分线定理等) 解决相关几何证明；第学期，l l i 边形一章 占2 5 课时，其余三章的总课时为3 3 ，占总课时的，1 3 1 ，此章节内容与卜学期 的“几何证明 一章，承卜启下，使学生学习相关概念、性质与定理的同时， 更关注培养学牛的数学证明推理能力和逻辑思维能力 九年级凶为升学等凶素，教材内容编排相对较少，但在难度卜有进一步提 高其中，“相似三角形 一章以七年级“三角形一章内容为基础，往三角形 伞等的基础卜作h 一定拓展，可认为足对推理能力的要求的提高；“三角比”与 “圆与正多边形两章，侧重更多的是从计算能力培养出发，进而从数字结果 来认识几何图形或图形之间的关系 我们不难发现，如果将刚接触数学证明的七年级学生比作足“证明的婴儿 期”，那么要求能使用“朋和“进行严格数学推理证明的八年级学生，就 是“证明的成长期 ；到了九年级，对整个初中阶段的学习而言，学生处于“证 明的巩同期 因此，八年级学牛正处于数学证明与推理能力培养的“关键 期 1 4 研究问题 本文要研究的问题包括： 七、八年级学生在推理与证明的现状，以及其中存在的问题； 针对学生的这螳问题，进行相应的课程、教学、心理方面的分析； 针对学生的这些问题，我们该采取怎样的教学策略? 本文将从1 教师问卷、2 学牛测试问卷、3 教师访谈、4 课堂实录与案例 分析，p q 个方面了解当下八年级学生推理与证明的现状，在此基础卜，归纳学 牛在推理与证明中存在的问题； 接着，我们将对这些问题进行棚应的课程、教学、和心理三个方面的分析； 最后，在所得分析结果的基础上，探讨作为教师该采取怎样的教学策略来 改善学生在推理与证明方面的表现情况正如我们常拿老中医与教师作比较， 中医看病治人，讲究“望闻问切”，这四个字要求医牛在仔细了解病情的基础上 对症下药，而之所以能对症下药，重点往往并不在于这个医生医书看了多少 ( 即理论知识) ，而在于对相似病例的“方子 积累了多少( 即实践能力) i 司 样的，教师若有较强的实践教学经验与理论知识并驾齐驱，那么这也就足本文 的写作目的之挖掘有价值的教学经验，使得教师能够更好地抓住学生的 薄弱环节、了解其知识结构的建构情况，以此“对症下药 4 2 文献综述 2 1 各国数学新课程对数学推理与证明的要求 2 1 1 美国 美国现行的主要有三个课程标准，n c t m 课程标准、加州课程标准以及核心 州课程标准。分别列述如下： 2 1 1 1n c t m 的课程标准 美国数学教师协会n c t m 的课程原则与标准( n c t m ，2 0 0 0 ) 把“推理和证明” 列为五大发展性同标之一，强调数学教学应当集中精力学会，并将推理和证明 作为理解数学的一部分，以便所有学生： 承认推理和证明是数学的本质和有力的部分； 提出和考察数学猜想； 发展和评价数学争论与证明； 选择和使用各种适当的推理形式和证明方法 该标准要求在几何教学中，低年级的学生能够使用动下操作的方法确定新 图形的面积；中年级的学生能够拆开三角形的角来说明三角形内角和足平角； 高年级学生能够严密地证明这些性质 2 1 1 2 加州课程标准 尽管n c t m 在2 0 0 0 年颁布了学校数学的原则和标准，但美国并没有在 伞美具有强制约束力的数学课程标准，凶此，n c t m 也只足行业住的参照标准 美国力i i 利福尼业州( 简称力| i 州) 的数学课程在全美颇具代表性，其数学课程标准 很人程度卜可以作为美国数学课程标准的代表在数学推理与证明方面，有这 样的要求： 学生决定如何处理问题 1 通过找到关系、从不相关的信息中找到关联处、将信息先后和优先 排序，以及观察图像来分析问题 2 决定何时与如何将问题分解成更小的问题 学生应使用策略、技巧和概念以便寻找解答 1 估计计算结果的合理性 2 将简单问题的解决方式和结果利用到复杂的问题中去 3 使用词语、数字、符号、图表、曲线、表格和模型等方法术解释数 学推理 4 使用恰当的数学记号、方式和简洁的语言米清晰地符合逻辑地解释 解决方法；用语言和符几证据来支持解 5 指出确切和近似的问题解决方法中的相关有利之处，并日往规定的 精确程度下给m 答案 6 精确计算，并检查结论往问题背景中的合理性 通过概括一个特定的问题将知识迁移到其他情境中去 1 估计原情境中解决方式的合理性 2 注意得到解决方式的方法，通过解决类似问题形成概念性的理解 3 将得到的结果一般化，并在其他环境中运用它们 该标准征推理与证明的教学中，不i 一年级学生行不l 一要求，如低年级学生 会用教具或符几等说明简单的十以内加减法；中年级学生能在解题过程中找到 相应的规律、能说明自己解题方法的准确性；到了高年级，则要求将这螳基本 的思想方法运用到几何、代数、三角学、概率与统计、线性代数、数学分析、 微积分等了学科中去 6 2 1 1 3c c s s m ( c o m m o nc o 代s t a t e ss t a n d a r d so fm a t h e m a t i c s 核 心州课程标准) 美国核心州课程标准与n c t m 和加州标准不同，它对每个年级的代数、几 何、方程等内容都有详细要求，却- 并未对明确给出证明与推理能力的要求，但 我们可以从几何、代数等内容的相关标准中找到一螳有关证明与推理的要求： 在低年级的课程中要求： 利用图形及其特征推理或思考( r e a s o nw i t hs h a p e sa n d t h e i r a t t r i b u t e s ) 如认识三角形，矩形等一般图形，能用分数表示几个图 形的公共部分等( 二年级) 六年级时要求： 推理思考和解一元方程和不等式( r e a s o na b o u t a n ds o l v eo n e v a ，r i a b l ee q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e s ) 在高年级的代数课程中要求： 利用方程和不等式进行推理 在高年级的代数、方程、几何等课程中的数学实践活动中要求： 能进行抽象化和量化的推理( r e a s o na b s t r a c t l ya n dq u a n t i t a t i v e l y ) 2 1 2 英国 1 9 8 9 年英国颁布了有史以来的第一个统一的国家数学课程标准英国 5 、1 6 岁数学教学人纲，其土要内容由数学学习计划和数学学习达成目标2 部 分绀成数学学_ = i 计划分为1 4 个f 1 标，其中第一和第九个开标为使用和应用数 学，第二垒第四个f 1 标为数，第五个厅标为数与代数，第六和第七个f 1 标为代 数第八个f 1 标为测量，笫十和笫十一个同标为图形与空间，第十二垒笫十四个 f 1 标为数据处理，在数学学_ = i 达成f 1 标中每一个f 1 标均被描述成难度渐增的1 0 个级别的学习水平 7 在第一个国家数学课程标准的实施过程中，来自各学校的反馈信息表明， 数学教学大纲的1 4 个目标的结构不利于操作测试和评估，影响了国家统一考试 的连续性与一致性等，于是便有了1 9 9 1 年的第一次修订以及1 9 9 5 年的第二次 修订和1 9 9 9 年的第三次修订 而在各个目标中，对学生数学推理与证明的要求与教学f 1 标并无明显的体 现，而是分散在各个学习水平中。一般在较高学j 水半中，会对数学证明与推 理能力有相应的要求，这与我国青浦实验中的学牛能力水半分析框架中的表述、 与分类情况向类似。 2 1 3 新加坡 由新加坡教育部颁布的数学教学大纲中指出，“数学学习的核心是数学i u j 题 的解决抑，对于数学问题的解决能力，人纲中有这样的框架： 表2 1 新加坡k 1 2 数学课程框架 关注自己的思维 元认知 学习的自我调节 推理、交流、联系 过程 思维方法和启发式教学 应用和建立模犁 数 代数 内容 几何 统计 数学问题的解决 概率 分析 数的计算 代数运算 卒问想象 技巧 数据分析 测量 数学工具的使用 估测 2 “m a t h e m a t i c a lp r o b l e m s o l v i n gi sc e n t r a l t om a t h e m a t i c sl e a m i n g i ti n v o l v e s t h e a c q u i s i t i o na n da p p l i c a t i o no fm a t h e l n a t i c sc o n c e p t sa n d s k i l l si naw i d e r a n g eo fs i t u a t i o n s ，i r i c l u d i n gn o n - r o u t m e ，o p e n - e n d e da n dr e a l - w o r l dp r o b l e m s m a t h e n 协t i c ss y l l a b u sp r i m a 哆m i n i s t 哆o fe d u c a t i o ns n g a p o r e p a g e6 8 信念 兴趣 态度 欣赏 自信 坚持 该框架展示了数学教学计划的有效性原则一一从小学到a - 1 e v e l ，适合各 个层次同时，这规定了数学的教学、学j 和评估方向 在此框架中体现出：数学推理与证明的能力属于数学问题的解决能力中的 一个方面一一“过程”中的一部分大纲中指出，数学推理是分析数学情境和 建立逻辑论据的一种能力，可以从数学在不同环境下的应用过程中米培养这样 的思维习惯 2 1 4 我国 根据上海市中小学数学课程标准( 试行稿) ，初中数学课本内从的绀织 和处理，棚对于卜海市原来的初中数学课木进行了一些调整内容变化的主要 方面如下： 1 在引进计算器和建立数字化数学活动平台的背景下，在确保学生 获得关于数及式的运算、解方程、画图等基本技能的切实训练的 前提下，删减用纸笔进行繁复的数值计算的内容；削减孤立的加、 减、乘、除、乘方、开方的繁复演练；精简关于式的运算、变形、 求值以及单纯解方程( 组) 训练的繁难内容；削减复杂的求函数 定义域和用描点法画复杂函数图像的内容同时，有关内容的教 学重点柏应发牛转移，如数与式的运算，侧重于引导学牛体会算 理，理解和掌握运算法则、运算性质、运算顺序，寻找和选择合 理、有效的运算途径；方程的学爿，侧重于引导学牛探究解法， 体会解方程的基本原理和一般过程，获得列方程解应用题的过程 体验和绛验：函数的研讨，侧重于引导学牛树立运动、变化的观 点，懂得运用函数思想和数形结合思想分析问题，了解函数研究 的内容、方法及其基木应用 2 在数与运算中，渗透数系扩展的基本思想和原则，突m 数系i 一性； 9 在一元一次方程中，通过运用有理数的运算性质和等式性质解方 程，展示以通性求解的代数主题，同时提供学习代数式的经验基 础；在一元二次方程中，强化代数主题以及划归的思想、策略和 方法；通过进一步研究简单的高次方程、分式方程、无理方程和 二元二次方程组以及方程的应用，升华对方程基础知识和解方程 的基本思想的认识 3 降低认识函数的起点，以两个变量存在确定的相瓦依赖关系水描 述函数，突m 函数的本质；利用函数图像，直观认识函数的基本 性质 4 把网柱、网锥和球的有关内容移到高中，在图形运动中对等腰三 角形、半行四边形和圆的有关性质不展丌讨论；改善实验几何到 讨论几何的衔接，展现“实验归纳一一猜测论证的过 程；对圆的有关知识内容进行分层处理，对几何论证的难度加强 控制；在论证几何中，重视发挥图形研究过程对学生学习演绎推 理方法的载体作用和对培养学牛的理性精神、逻辑推理能力所具 有的教育价值 5 结合有关几何内容，引进向量及其线性运算：结合有关数的运算 和图形的知识，引进“可能性一和“数据整理”问题再集中学习 “概率 和“统计 的初步知识 6 加强数学与现实牛活的联系，重视数学模型及其应用；增设“阅 读材料 ，加强数学与文化的整合，进行人为精神的教育；安排 “探究活动”和“实践活动”，促进学牛的体验性学爿和探究性 学习 7 设置“拓展i i 板块，把“一元二次方程的根与系数的关系”、 “次函数解析式的确定及其一无次方程的联系”、“网与直线 位置关系定理以及与圆有关的角和四点共圆”等列为丁香拓展内 l o 容，规定今后要进入普通高中的学生必须学习3 从上述这些改动中，我们可以发现，二期课改后，新教材在数学与推理方 面，对学生的要求特点如下： 以实验几何为基础，培养学生探究、思考等理性精神与逻辑推理 能力； 弱化、简化相关定理与推论的教学，引导学牛从基础、基本条件 “元起点出发完成推理与证明，从本质而言增加了推理与 证明的难度； 增加“向量的内容，将几何与线住运算相结合 从教材综合难度的五个方面而言，新教材在“探究和“背景 两个 因素上占有优势，而在“运算、 “推理 、“知识量”三个反映传统 “双基”的凶素卜与老教材棚比均有所下降 2 ( 鲍建生，2 0 0 6 ) ；从教材与教 学参考资料中，我们发现，课本中给学牛作为推理证明依据的定理或推论减少 了，每次遇到类似问题，学生都要从更原始、更基础的定理或公理出发；在教 学实践中，由于定理或推论的减少，实际也减少了相关知识点之间的逻辑联系， 从而增加了学生理解各知识的难度 所以，自我国卜海地区在期课改以来，学生学习的数学内容，即知识点 栩比课改前行所减少，但数学推理与证明的难度与要求，从，卜述这些方面而言， 却有所增加 3 以卜选摘于九年制义务教育数学教学参考资料p 2 3 ( 课本简介，六至九年级各 本教学参考资料均有) 2 2 关于学生数学推理与证明的相关研究 2 2 1 推理与证明的水平分析 2 2 1 1 范希尔的工作 范希尔夫妇早年在荷兰的中学教几何时发现，学生之所以在几何学习中出 现困难的一个重要原因是教学任务所需要的思维与学牛所具备的儿何思维水平 不一致在通过多年的研究后，他们提出了几何思维的一个五层次的分析框架 ( b u d i e r a u l d s h a u g h n e s s y ，1 9 8 6 ，p 4 3 一，1 5 ，转引白鲍建生等，2 0 0 9 ) ： 1 层次o ：视觉( v i s u a l i t y ) 儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作 其几何构图元素( 如边、角) ：能画图或仿画图形，使用标准或不标准 名称描述几何图形：能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用 图形的特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述例如： 儿童可能会说某个图形足三角形，凶为它看起来像一个三明治 2 层次l ：分析( a n a l y s i s ) 儿童能分析图形的绀成要素及特征，并依此 建立图形的