（一般力学与力学基础专业论文）悬臂梁非线性振动分析与实验.pdf

中文摘要 非线性动力学的基础理论与数学或应用数学有着非常紧密的联系，同时又是 机械、土木、航空航天、水陆运输、兵器等工程学科的重要基础。它与技术学科 结合推动了现代工程技术的蓬勃发展，具有应用性很强的鲜明特色。 作为一种典型的承载结构，悬臂梁在航空航天、机械、建筑等工程领域都有 重要的应用。在不同场合所受激励不同，激励的方向既可能与轴向垂直，也可能 成一定的角度。 本文考虑具有轴端质量的悬臂梁在不同角度周期激励下的非线性振动问题， 论文工作包括两部分： 研究了激励频率在共振频率附近轴端加摆系统的减振问题。使用多尺度法解 得定常解方程，利用奇异性理论进行数值计算和方程的分析，画转迁集图和分岔 图。讨论不同参数对转迁集分布的影响。 在理论研究的基础上，通过实验研究激励振幅的变化和悬臂梁固定端倾斜角 度的变化，悬臂梁在共振频率附近轴端加摆系统的振动问题。从实验结果得出， 激励振幅和倾角的变化对系统的振动效果有非常显著的影响。设计了扫频程序， 测量了系统的幅频响应曲线。并研究了新型压电材料p v d f 对系统的减振作用。 关键词：非线性奇异性理论轴端加摆系统实验设计扫频p v d f a b s t r a c t t h eb a s i ct h e o r yo fn o n l i n e a rd y n a m i c sh a sc l o s ec o n t a c tw i t ha p p l i e dm a t h e 。 m a t i c sa n dm a t h e m a t i c s ，a tt h es a m et i m e ，i ti sa ni m p o r t a n tb a s i sf o re n g m e e n n g d i s c i p l i n e ss u c ha sm e c h a n i c a l ，c i v i lw o r k s ，a e r o s p a c e ，l a n da n d w a t e rt r a n s p o r t a t i o n ， a n dw e a p o n s c o m b i n i n gw i t ht h et e c h n i c a ld i s c i p l i n e so fm o d e me n g i n e e r i n ga n d t e c h n o l o g y , n o n l i n e a rd y n a m i c sp r o m o t e st h er a p i dd e v e l o p m e n to f a p p l i c a t i o n sw i t h h i 曲l yd i s t i n c t i v ec h a r a c t e r i s t i c s a sat y p i c a ll o a d b e a r i n gs t r u c t u r e ，ac a n t i l e v e rb e a mh a sw i d ea n di m p o r t a n t a p p l i c a t i o n i ne n g i n e e r i n g ss u c ha st h ea e r o s p a c e ，m a c h i n e r y ，c o n s t r u c t i o na n d o t n e o p r o j e c t si m p o r t a n ta p p l i c a t i o na r e a s s u b j e c t t od i f f e r e n te x c i t a t i o ni nd i f f e r e n t o c c a s i o n s ，b o t ht h ed i r e c t i o no fe x c i t a t i o nm a yb er e l a t e dt ot h ev e r t i c a la x i sm a y a l s o b eac e r t a i na n g l e i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h en o n l i n e a rv i b r a t i o np r o b l e mo f a u n i f o 彻c a n t i l e v e rb e a mc a r r y i n gam a s sa tf r e ee n ds u b j e c t e dt op e r i o d i ce x c i t a t i o n i nd i f f e r e n to r i e n t a t i o n s i nt h i sp a p e r , t w op a r t si n c l u d e da r ea sf o l l o w ： t h ep r o b l e mo fs u p p r e s s i n gt h ev i b r a t i o n so f an o n l i n e a rs y s t e mw i t hac a n t i l e v e r b e a mo fv a r y i n go r i e n t a t i o ns u b j e c tt op a r a m e t r i c a n dd i r e c te x c i t a t i o nw 鹊 i n v e s t i g a t e d t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e s ，w a sa p p l i e d t og e tt h ea v e r a g i n ge q u a t l o n s i n g u l a r i t ya n a l y s i sa n dn u m e r i c a lc o m p u t a t i o nw e r eu s e dt oa n a l y z et h e s o l u t i o n 1 r a n s i t i o ns e t sa n db i f u r c a t i o nd i a g r a m sw e r ed r e w d i f f e r e n tp a r a m e t e r si n f l u e n c e s o nt h ed i s t r i b u t i o no ft r a n s i t i o ns e t sw a sd i s c u s s e d b a s e do nt h et h e o r e t i c a ls t u d y , t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e dt h ev i b r a t i o np r o b l e m o fa c a n t i l e v e rb e a mn e a rt h er e s o n a n c ef r e q u e n c yb yt h ev a r i e t yo ft h ea m p l i t u d eo f t h e e x c i t a t i o na n dn l eo r i e n t a t i o n r e s u l t sf r o mt h ee x p e r i m e n t ，t h ev a r i e t y o ft h e a m p l i t l j d eo ft h ee x c i t a t i o na n dt h eo r i e n t a t i o np l a ya ns i g n i f i c a n tr o l et ot h e v i b r a t i o n e f l e e t s w e e pf r e q u e n c ye x p e r i m e n t a lp r o c e d u r e w a sd e s i g n e d ，a n dm e a s u r e ds y s t e m a m p l i t u d e f r e q u e n c yr e s p o n s ec u r v eo ft h es y s t e m t h i s p a p e ra l s os t u d i e dt h e d a m p i n ge f f e c to f an e wt y p eo fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a lp v d fo nt h es y s t e m k e yw o r d s ：n o n l i n e a r i t y , s i n g u l a r i t ya n a l y s i s ，c a n t i l e v e rb e a m ，e x p e r i m e n t ， s w e e pf r e q u e n c y , p v d f 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：幺 n 签字日期：仞口7 年占月歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学在敝储躲弘倦 签字日期呷引日 憎 导师签名： 灭 口 台 签字嗍。罗年月广日 1 1 非线性动力学发展综述 第一章绪论 人们一直被一类现象所困扰，那就是对于非线性的确定性系统来说，它的解 有时表现出异常的随机性，即确定性动力系统有时不存在一个“稳定 的终态。 混沌学的兴起，确定性和随机性的鸿沟正趋于消失，由确定性可产生随机性，而 且是内在随机性【l 】。通过近百年的研究，这类现象才逐步被人们所认识。直到7 0 年代，它们才被定名为“混沌( c h a o s ) 。因此，有学者认为混沌学是二十世纪继 相对论、量子力学之后的又一次物理学革命。甚至有学者说【z 】：“二十世纪科学 被永远铭记的只有三件事，那就是相对论、量子力学和混沌”。 混沌现象真正发现混沌的第一位学者是法国伟大的数学、物理学家 h p o i n c a r e ，他在研究天体力学时，特别是在研究三体问题时发现了混沌现象。 他与l y a p u n o v 奠定了微分方程定性理论的基础，他还提供了许多有效的方法和 工具，如小参数展开法、摄动方法、h p o i n c a r e 截面法等。他提出了h p o i n c a r e 猜想【3 】：“可以发生这样的情况：初始条件的微小误差在最后的现象中产生了极 大的差别，前者的微小误差促成了后者的巨大误差，于是预言变得不可能。 这 些描述实际上已经蕴含了确定性系统具有内在的随机性这一混沌现象的重要特 性。 在h p o i n c a r e 之后，一大批数学家和物理学家所做的出色工作为混沌学的建 立提供了宝贵的知识积累。特别是g d b i r k h o f f 于1 9 1 7 年至1 9 3 2 年间在动力学 系统研究中发表了一系列论著，他在h a m i l t o n 微分方程组的正则型求解及不变 环面的残存等问题上、在对不可积系统的轨道特征、对遍历理论方面都有重要的 贡献。 早期混沌研究的一个重要阶段是把h p o i n c a r e 的拓扑动力学思想推广应用 于耗散系统。最早的工作进展是在电工学领域。1 9 2 7 年，荷兰物理学家 b v a n d e r p o l 在研究三相复振荡器时，建立了著名的v a n d e r p o l 方程。早期混沌探 索的另一个突出成果是在生态领域，经过数代人的努力，提炼了l o g i s t i c 方程h j ： 矗+ l = a x ( 1 一) ( 1 - 1 ) 这就是描述生物种群系统演化的典型模型，常称为虫口模型。 至二十世纪五六十年代，混沌理论的研究发生了两个重大突破。第一个重大 突破发生在以保守系统为研究对象的天体力学领域，k a m 定理被公认为是创建 混沌学理论的历史性标记。混沌学研究的第二个重大突破发生在遍布于现实世界 的耗散系统。美国气象学家e n l o r e n z 把大气对流模型，用计算机作数值计算， 观察这个系统的演化行为。他发现了同一系统在某些条件下可出现非周期的无规 则行为，这就是有趣的“蝴蝶效应”。他意识到【5 】：一串事件可能有一个临界点， 在这一点上，小的变化可放大为大的变化，而混沌的含义就是这些点无处不在。 之后，他发表了确定性非周期流【6 】等一系列论文。这些论文是混沌研究的第 二个突破，他提示了一系列混沌运动的基本特征，如确定性非周期性、对初值的 敏感依赖性、长期行为的不可预测性和第一个奇怪吸引子l o r e n z 吸引子，为 耗散系统中混沌研究开辟了道路。 到7 0 年代，在美国马里兰大学攻读博士学位的华人李天岩和他的导师j y o r k e 联名发表了一篇震动整个学术界的论文周期3 蕴含混沌1 7 j 。基本思想 是y o r k e 受l o r e n z l 9 6 3 年的论文启发而得，李天岩给出了具体证明，这就是著 名的l i y o r k e 定理。l i y o r k e 还率先引入了“混沌”( c h a o s ) - - 词，为这一新兴 研究领域确立了一个中心概念。 第一次国际混沌会议在意大利召开( 1 9 7 7 年) ，标志着混沌科学的正式诞生。 物理学家j f o r d 认为混沌学是二十世纪物理学的第三次革命，与前两次革命相 似，混沌学也与相对论及量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。他说悼j ：“相对 论消除了关于绝对空间与时间的幻象；量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿 式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想”。 8 0 、9 0 年代以来，混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象和基本课 题、独特的概念体系和方法框架的新学科，与几乎所有的自然学科交叉，并向工 程领域和社会经济领域渗透，形成蓬勃发展的态势【9 】。国际上混沌同步及混沌控 制的研究已取得了实质性进展，混沌学出现了应用的契机，其主要标志是1 9 9 0 年美国马里兰大学的物理学家o t t 、g r e b o g i 和y o r k e 提出了混沌控制方法，同年， 美国海军实验室的p e c o r a 、c a r r o l i 1 2 】发现了电路中的混沌自同步现象，以及 d i t t o 在一个磁弹性体实验室中首次实现了对周期一的稳定控制。混沌控制及混 沌同步的突破性进展激发了理论与实验应用研究的蓬勃发展，使混沌的可能应用 出现了曙光m j 。 非线性动力学理论在实际工程中的应用：非线性动力学的基础理论与数学或 应用数学有着非常紧密的联系，同时又是机械、土木、航空航天、水陆运输、兵 器等工程学科的重要基础。它与技术学科结合推动了现代工程技术的蓬勃发展， 具有应用性很强的鲜明特色。在国民经济、国防工业和工程技术中，有大量的重 要实际问题迫切需要用非线性动力学理论和方法加以处理，动力学理论的工程应 用在带来巨大经济效益的同时，也为推动高维复杂非线性动力学系统的基础理论 研究提供更广的发展空间，其意义十分重大【l 引。 在制造业中，大型、高速、高参数化的重型旋转机械超超临界汽轮发电机组、 燃汽轮机组、风力发电机组，存在着大量引起重大故障的复杂非线性动力学现 象。例如在汽轮机轴系中，转子裂纹、转子轴承松动、油膜振荡等，它们都是非 线性因素造成的。在航空航天飞机的制造和设计上，飞机机翼颤振，起落架抖动， 航天器太阳能帆板抖动，天线振动，火箭接头动力学问题，卫星的总体构型设计 等都涉及非线性动力学。其非线性主要体现在材料非线性、几何非线性和间隙非 线性三个方面。 在建筑工业中，建筑结构中存在着大量的非线性振动问题。大跨度悬索桥、 斜拉桥的悬索和斜拉索的抖动以及风雨激励下的大幅振荡，桥面的气动颤振，高层 和超高层建筑在阵风、地震力激励下的振动及其主动、被动、半主动控制，车桥 耦合的大型复杂动力系统等都涉及非线性动力学与控制的研究。 在能源工业中，电力系统中常常发生大挠动，如母线上负荷或发电机功率的 突变，或由于事故和线路切合而造成的输电系统图形的突变。这些突变都会造成 系统建模非线性因素的出现影响安全性。田立新等1 1 4 j 建立了江苏省能源系统的非 线性动力学模型，分析了该系统的动力学行为，给出了系统随参数变化由稳态、即 分岔到混沌行为的变化过程。表明通过调节参数可以使系统处于稳定发展或周期 震荡区域中。 在交通运输业中，高速交通系统装备及智能管理动力学问题。高速运行的列 车在轨道上的运动是一个复杂的动力学过程，其中车辆的蛇行运动是典型的非线 性问题。由车辆、轨道与轨枕构成的耦合车辆动力学系统包含轴箱悬挂非线性【15 | 、 楔块摩擦减振非线性、轮轨接触非线性、轮轨蠕滑非线性等复杂非线性因素都是 非线性动力学的重要研究内容1 1 6 。 1 2 奇异性理论方法简介 函数的奇异性理论是2 0 世纪6 0 年代中期发展起来的，它使我们能够用统 一而明确的方式处理不同的静态分岔问题。利用奇异性理论研究微分方程在奇异 点邻域内的性态，可以判断在该奇异点处是否出现了静态分岔，静态分岔的类型 及性质如何等。奇异性理论在分岔研究中的应用包括三方面内容：首先通过奇异 性的分析，将其平衡点的分岔转化为比较简单的规范型，即识别问题，从而利用 幂级数展开的有限项确定多重解的性态；然后可以研究静态分岔在一般的小扰动 下解的结构稳定性问题及其不变性质，即开折问题：最后，我们可以对解的多重 情况以及涉及的分岔进行分类，即分类问题。 开折问题，当分岔方程受到小扰动时，分岔性态受到影响。分岔问题中的常 微分方程是物理现象的一个理想化的数学模型。然而真实状态往往与理论状态有 微小的差别，这称为非完全性。我们把非完全性看作对理论系统的一个小扰动， 对于这种扰动所引起的分岔性态变化的研究我们称为非完全分岔问题。非完全性 可以通过引进一些附加参数地方法去描述，因此需要扩展为多参数分岔问题，这 就是所谓的“开折”问题。 定义1 1 8 】：设g g 是g 的某个开折，若g 的任何开折都可由g 代理， 则称g 是g 的一个通用( v e r s a l ) 开折。所含参数数目最少的通用开折称为普适 ( u n i v e r s a l ) 开折，其开折参数个数成为g 的余维数，记作c o d i mg 。若g 没有 普适开折，则称g 的余维数为无穷大。 由定义知，g 的普适开折g 在等价意义下，包含了g 的所有扰动函数，且g 含有最少数目的开折参数。因此，在研究g = o 受扰后可能出现的各种分岔行为 时，普适开折将起这十分重要的作用。g 的普适开折在等价的意义上以最简单的 形式包含了g 的所有扰动函数，因此在研究方程g = 0 受扰后可能出现的各种分岔 性态时又十分重要的作用。 利用普适开折去研究当分岔方程受到扰动时，分岔性态可能发生的变化。设 g ( x ，五，口) 是g ( x ，五) 的普适开折，( 0 ，0 ) 是g 的一个奇异点，由于普适开折g 已 包含了对g 的一切扰动，因此g 的静态分岔图反映了当g 受扰时可能出现的各 种分岔性态。下面讨论了开折参数口对普适开折g 的分岔图影响，即“保持性” 问题。 如果对口r 的一个邻域u 中的任何厉g ( ，口) 与都等价，从而当g ( x ，五，口) 受到小扰动时分岔图的定性性态保持不变，此时称g 在口处得分岔图是持久的， 即分岔是通有的；否则，称分岔图是非持久的，即分岔是退化的。 4 研究表明，当且仅当o f 属于下列点集之一时，g ( x ，旯，口) 的分岔图是非持久 的。 分岔点集b = 口r ：存在( x ，五) 使得在( x ，力，口) 处有g = q = q = 0 ) ； 滞后点集日= 口r 。：存在( x ，五) 使得在( 石，五，口) 处有g = q = 吒= o ) ； 双极限点集d = o f r ：存在( 薯，允) ( f - 1 ，2 ) ，五屯，使得在( 薯，名，o f ) 处有 g = g x = 。 这三种集合及其扰动情况如图： 图l l 扰动前后分岔图变化图( ( a ) 分岔点，( b ) 滞后点，( c ) 双极限点，经扰动后( a ) ，( b ) ， ( c ) ) 约束分岔简介：在前面理论的铺垫下，引入约束的概念，就进入了另一个更 接近实际的研究方向约束分岔1 9 。2 0 】。如前所述，分岔( b i f u r c a t i o n ) 2 1 1 是性 质的突变。约束顾名思义，限制，包括单边约束、双边约束、一般约束。在实际 工程背景下状态变量( 如振幅) 的变化往往受到限制( 总是非负的) ，称为约束， 这样的分岔问题称为约束分岔。约束分岔问题，在模态相互作用、分岔控制、非 光滑系统的动力学中广泛存在。 下面对约束分岔问题的一般结论做简单总结。 单边约束分岔问题1 1 9 - 2 0 】 ig ( u ，允；口) = 0 1 万 “一u 】0 ， 其中”，a ，口分别为状态变量，分岔参数，开折参数。艿= 5 ：1 分别代表两类约束： u u 0 ，u u 0 。其转迁集包括： ( b i ) j g ( u ，五! 口) = o 【( u ，名；口) = 0 f g ( “，旯；口) = o ( b i i ) j 以抽) = o l g _ ( “，2 ；a ) = 0 【研“一u 】o ( h i ) j g ( u ，名；口) = o 【( u ，2 ；0 0 = 0 f g ( u ，彳；口) = 0 ( h i i ) 一( 材，伽：) = o l 邑。( “，2 ；a ) = 0 【研“一u 】o i g ( u ，2 ；a ) = 0 ( d l i ) g ( “，名；口) = g 。( “，名；口) = 0 i u u & a u u 】0 ( d l i i ) j g ( u i ，允口) 2 邑 ，抛) = o 【u l u 2 & 研吩一u 】0 ；i = 1 , 2 双边约束分岔问题 ig ( “，2 ；口) = 0 【u 1 甜u 2 根据单边约束的结论，可直接得到相应的转迁集为： j g ( ，2 ；a ) = 0 ( b i ) 乳姒，g ；a t ) = 0 p = l ，2 i g ( u ，2 ；a ) = 0 ( b i i ) j ，a ；口) - o i g z ( z ，2 ；a ) = o 【u u 6 ) 誊竺品 ( h i i ) g ( u ，五；口) = 0 g 。( “，旯；口) = 0 g 。 ，2 ；a ) = 0 u i “让 i g ( u ，2 ；a ) = 0 ( d l i ) j 她_ ) _ 咖_ ) - o i “u f & u i “u 2 l i = l ，2 ( d l l i ) j g ( ，五；口) 2 9 “( “f ，五；口) = o h “2 & u i u f ；江1 ，2 如前所述，约束不含参分岔问题在单边约束或是双边约束情况下，转迁集包 括：约束分岔集( b i ) 、非约束分岔集( b i i ) 、约束滞后集( h i ) 、非约束滞后集 ( h i i ) 、约束双极限点集( d l i ) 、非约束双极限点集( d l l l ) ，与约束边界含参 的约束分岔问题转迁集的类型相同。 约束分岔问题与非约束分岔问题相比，出现了新的转迁集( b i 、h i 、d l i ) ， 它们是由约束边界导出的，称为约束分岔问题的约束转迁集。而原来非约束分岔 问题的转迁集b 、h 、d l 仍然存在，但因分岔点受到约束而发生了变化，成为 b i i 、h i i 、d l i i ，把它们称为约束分岔问题的非约束转迁集，它们是非约束分岔 问题转迁集的子集。 分岔方程中，万= 一l 和万= l 的非约束转迁集( b i i 、h i i 、d l i i ) 的并集是 非约束分岔问题的转迁集。 在实际的静态分岔问题中，奇异性理论不但提供了统一方便的理论研究方 法，而且还可以根据实验或数值计算得到的某些有代表性的分岔结果进行讨论， 从而得到完整的分岔分析结果，因此是很有用的。 1 3 压电材料及压电振动控制方法简介 1 3 1 压电材料 压电材料( p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ) 作为一种特殊的材料，除了具有弹性体的弹 性性质外，还具有压电效应，并且这种效应是完全可逆的。 压电材料的压电现象是p i e r r ec u r i e 和j a c q u e sc u r i e 于1 8 8 0 年在水晶 ( a s i 0 2 ) 上发现的【2 2 1 。2 0 世纪4 0 年代以来，对压电介质及其应用的研究取得 很大进展。目前已知的压电材料超过千种。在实际应用中，一般将其分为压电晶 体、压电纤维、压电陶瓷和压电聚合物等几类。在众多压电材料中，压电陶瓷( p z t ) 因具有应变常数大、频响带宽大、容易建立计算机自动控制系统，且成本低廉、 生产工艺比较成熟。有利于开发应用等特点，适合做作动器。聚偏二氟乙烯( p v d f ) 能制备成任意形。 压电效应可分为正压电效应和逆压电效应。 正压电效应是指：当晶体受到某固定方向外力的作用时，内部就产生屯极化 现象，同时在某两个表面上产生符号相反的电荷；当外力撤去后，晶体又恢复到 不带电的状态；当外力作用方向改变时，电荷的极性也随之改变；晶体受力所产 生的电荷量与外力的大小成正比。压电式传感器大多是利用正压电效应制成的。 逆压电效应是指对晶体施加交变电场引起晶体机械变形的现象，又称电致伸 缩效应。用逆压电效应制造的变送器可用于电声和超声工程。压电敏感元件的受 力变形有厚度变形型、长度变形型、体积变形型、厚度切变型、平面切变型5 种 基本形式。压电晶体是各向异性的，并非所有晶体都能在这5 种状态下产生压电 效应。例如石英晶体就没有体积变形压电效应，但具有良好的厚度变形和长度变 形压电效应。 1 3 2 压电振动控制方法 压电材料的应用领域可以粗略分为两大类：即振动能和超声振动能电能换 能器应用，包括电声换能器，水声换能器和超声换能器等，以及其它传感器和做 动器应用。 压电材料用于振动控制中，控制系统的设计通知有三种方法，即主动控制、 被动控制和及主被动混合控制【2 3 1 。 压电被动控制是利用压电材料的正压电效应，通过在压电元件的电极之间并 联适当的外部电路来耗散或吸收压电元件所感应到的那部分结构能量。按照消 耗能量的方式，压电被动控制可分为压电粘弹性阻尼器和压电吸振器。前者的外 部并联电路为电阻元件，后者的外部电路为电阻与电感元件。受压电材料自身性 能的限制，压电被动控制适于结构的高频振动控制。对于低频振动，控制系统需 要较大的电感元件，给实际工程应用带来了一定的困难。 主动控制系统具有很强的环境适应能力。基本方法是以压电材料作为受控结 构的传感器和作动器，由传感器感受因振动而产生的结构应变，将其转变为相应 的电信号，并通过一定的控制律产生控制信号，经放大后施加于作动器以实现结 构的振动控制。压电材料的主动控制方法具有修正设计方便，适于低频振动控制 等特点，目前已得到了应用【2 4 1 。其中压电作动器利用逆压电效应，将电能转变为 机械能或机械运动，聚合物驱动器主要以聚合物双晶片作为基础，包括利用横向 效应和纵向效应两种方式，基于聚合物双晶片开展的驱动器应用研究包括显示器 件控制、微位移产生系统等。要使这些创造性设想获得实际应用，还需要进行大 量研究。 另外，被动控制与主动控制相结合的混合控制是目前振动工程的一个新兴方 向。其基本思想是用可控的压电材料代替传统约束阻尼控制中的不可控约束层， 通过反馈控制主动调节压电约束层的轴向变形，影响被动阻尼层( 常为粘弹性阻 尼) 的剪切变形，并同时给结构施加控制力，以抑制结构振动响应。压电主被动 控制中的被动阻尼部分可以降低结构的高频振动响应，因为拓宽了主动控制的减 震频带。主动阻尼还可以提高控制系统的反馈增益和相位裕度，降低了系统对结 构参数摄动的敏感性，提高了系统的稳定性和鲁棒性1 2 引。 1 3 3 压电材料p v d f 在振动控制中的应用 p v d f 是透明或半透明的结晶性聚合物，化学名是聚偏氟乙烯p o l y ( v i n y l i d e n ef l u o r i d e ) 。聚偏氟乙烯是一种新型的聚合物压电高分子薄膜材料，具有密度 低，重量轻，易成型，可塑性强等优点且成本低廉，有很好的使用价值。 目前，在智能结构中，p v d f 的应用主要集中在将其制作成传感器和作动器 上。 p v d f 材料因其本身的优点，p v d f 传感器对系统的振动响应影响很小，目 前已广泛用于振动控制领域【2 5 】测量梁的结构模态【2 6 】。目前有学者已经实现了用 p v d f 传感器来测量振动参数，通过设计正弦和余弦形状【2 6 i p v d f 传感器，可以 同时精确测量位移、弯矩、角位移、剪力和功率流等振动参数。 p v d f 材料的介电常数较小，因此在电场的作用下可产生较大的变形，又因 为其柔软耐冲击且可与被测物体贴合的特点，将p v d f 制成作动器从而控制振动 9 物体，也是目前研究的热点。 1 3 4 压电材料在振动控制中的前景展望 目前，影响智能结构振动控制向实用研究发展的重要问题之是传感器和作 动器。智能复合材料结构的制作是一项困难而又急待解决的问题。将来的研究趋 势是对现有适宜作智能结构振动控制的传感器、作动器作进一步的工艺技术改进 和精巧的结构设计和解决各种智能材料结构的制作问题并发展具有更加优良性 能的复合功能材料。尽管主被动振动控制技术已经取得了一定的成就，但是在集 成技术上还需要进一步开发研究。材料的相容技术，高强度、高可靠性绝缘封装 技术，作动、传感器设计及其配置，控制器设计等环节联合进行的研究也必将成 为热点【1 】。 1 4 论文工作安排 在第一章中，介绍了非线性动力学的发展，奇异型理论方法，和压电材料及 压电振动控制方法。 在第二章中，研究了轴端加摆系统在共振激励下的减振问题。对多尺度法得 到的平均方程进行奇异性理论分析并讨论不同参数对转迁集分布的影响。 在第三章中，在理论研究的基础上，通过激励振幅的变化和悬臂梁固定端倾 斜角度的变化研究了在共振频率附近轴端加摆系统的振动问题。从实验结果得 出，激励振幅和倾角的变化对系统的振动效果有非常显著的影响。实验还设计了 扫频程序，测试悬臂梁自由端的振幅随激励频率的变化，实验结果与理论值有较 好的接近且观测到了弱非线性现象。并研究了新型压电材料p v d f 对系统的减振 作用。 1 0 第二章方向变化的轴端加质量悬臂梁的振动分析 受参数和直接激励下的非线性系统悬臂梁不同取向的振动抑制的问题，其反 应增长是受限于非线性的。因此，一阶模态悬臂梁的振动控制和高振幅反应抑制 可以用一个简单的非线性反馈法。这种控制法是基于立方速度反馈的。多尺度法 用来建造一阶非线性常微分方程控制调理幅值和相位。本文对稳定性和不同系统 参数进行了数值研究。 2 1 方向变化的轴端加质量悬臂梁模型建立 2 1 1 介绍 外部谐振激励可能是非期望弯曲振动的来源。外部共振中有主要共振和次要 共振和参数共振。为减少共振干扰的非期望影响，很多方法已被运用过，从直接 的干扰拒绝经典控制理论技术到振动吸收器的使用。例如，理论和实验的分布参 数系统的控制横向振荡参数型控制行动的问题，或者通过耦合自动参数系统的电 子电路，利用二合一内部共振得到饱和现象。y a b u n oe ta 1 ( 1 9 9 9 ) 1 2 7 l a n dy a m a na n d s e n ( 2 0 0 4 ) t 2 8 】研究了悬臂梁的参数和主共振可以通过在悬臂梁的端部附加一个摆 动吸振器而得到抑制。作为一种替代的被动方法，闭环控制法在理论和实验上得 到了发展，来稳定贴有压电陶瓷片的悬臂梁主参数共振y a b u n oe ta 1 ( 2 0 0 1 ) 2 9 采 用多尺度法，速度和位移基础的线性反馈律可以改变非稳定区域，可以使参数共 振得到抑制。 y a b u n o ( 1 9 9 7 ) 3 0 j 结合线性加非线性反馈法，实施了参数激励d u f f i n g 系统的 分岔控制。他提出了基于控制法的线性速度反馈和线性和立方位移反馈，他的研 究表明，非直线位移反馈降低了参数激励响应曲线的响应振幅，而速度反馈稳定 了频率响应曲线的平凡解。 h ue ta 1 ( 1 9 9 8 ) t 3 1 】认为主共振和1 3 亚谐共振的强追d u f f i n g 振子有时滞状态 反馈。他们表明，用多尺度方法，适当的选择增益反馈和延迟时间有可能更好的 进行振动控制。h ya n dz h ( 2 0 0 0 ) 1 3 2 j 认为机械控制系统存在时间延迟，特别是主共 振和亚谐共振的谐波强迫d u f f i n g 振子存在时间延迟。对车辆主动底盘的周期运 玉拄去生驱堂擅监塞差三垂直囱变化鳇拍端女日厦量盘暨霆曲握弛盐盘 动和应用的稳定性进行了讨论。 o u e i n ia n d n a y f e h ( 1 9 9 9 ) t ”墟出了一种非线性控制的法律，制止悬臂梁当受 到主参数激励的第一阶振动模态，它是基于抑制振动的立方速度反馈的。多尺度 法用来推导控制幅度的时间演化和相位的反应的两个一阶微分方程。然后，用一 个分岔分析检验了的闭环系统稳定性并检查控制法的性能。理论和实验结果表 明，控制律可以有效地起到振动抑制和分岔控制的作用。 a n d e r s o ne ta l ( 1 9 9 6 ) t 州在实验和理论上研究了一个参数激励细长悬臂粱的 第一模态和第二模态反应。他们指出，模型的二次阻尼的提高让实验与理论的研 究结果更加吻合，他们得出结论认为，可能有必要考虑不同的非线性阻尼模型对 应不同的模态。 大多数研究文献中只考虑柱或粱的问题，本文考虑了受主参数共振的有不同 方向的悬臂粱的振动抑制问题。第一模态的动力学模型用二阶非线性常微分方程 和立方速度反馈的控制律模拟。 线性速度反馈的增加，在数学上相当于增加了粘性阻尼，因此由共振引起的 振动幅度不会得到有效较少。然而，立方速度反馈与限制共振幅度的立方非线性 等价。多尺度 击用来得到微分方程的近似解和反应的稳定性。不同参数的影响由 数值模拟得到。 212 系统和扰动分析的模型 图2 - 1 轴端加质量悬臂粱示意图 图2 ，i 显示了等截面悬臂梁自由端载有一质量块受到正弦运动，正弦为 y g ( t ) 穹g s i n ( n t ) 。悬臂梁初始假设为直的，长度l ，质量连续每单位长度为p a t 刚度连续。数量e i 中e 是材料的杨氏模量1 是主横截面积的转动惯量，e l 是 梁的抗弯刚度，n 是粱的方向角，s 是用来表示沿粱的弧长。悬臂粱的运动方程 由y a m a na n ds e n ( 2 0 0 4 ) t 2 8 】给出。 p 彳佛+ a 五，+ 日 矿。+ ( w ，( w ，厂) ) ) + 【w 7 户么( l s ) 】+ ，咒( w ) ) ( j 0 + g s i n ( a ) ) 受边界条件限制： i 讹 + c + 研s - ( l - 6 ) m ，站 w ( o ，f ) = 0 和w ( o ，t ) = 0 e 1 w ( l ，t ) + m gs i n ( a ) w ( l ，t ) = ，l 以，t ) 和e 1 w ( l ，t ) = 0 这里( ) = a ( ) 丞，( ) = a ( ) 西，是y 文t ) 分别在x 轴和y 轴的投影。w ( s ，t ) 是指悬臂梁y 方向的位移。经无量纲处理后，方程变为： 舀+ 击m 7 一兰羞怯( m ) ， 受边界条件限制： 一( 一三) ) q 。2 s ；n c q 。f ，c 。s c 口， r ) ) s i n ( a r l = 0 o ( o ，f ) = o 和u ( o ，f ) - - 0 叭n ) + 警s i n ( 删l ，) = 孟哪m 们力= 。 其中 f ：4 e p 4 l 4 , 0 ：w l ，：少三， ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) g o = g ( p a l 3 e i ) ，q o = d ( p a l 4 e j ) 1 7 2 z = s l 控制方程( 2 - 4 ) 是非线性的，得不到解析解。因此，需要找到同时满足方程和边界 条件的近似解。用如下形式表示非线性问题： d ( 五f ) = 以( x ) 乙( f ) ( 2 7 ) 扩矿 。l m 一2 一 吖j 出 凼 捧曲 铲矿 正一p v 。l 4 p 一2 o 一 = ) ) ) o 2 ， o q 亿 q rl i i圳i 呱者鼬 扣 厂，一 j 孙 吖lj一卜 可咄 、l-， ， _ 弘 n ，一比 u 蹦一叫 肭者 铲一铲 硝 ，出 一 ， p 必 一 一 d 一2，、 一 其中，九( x ) 为第n 阶线性模态的形函数，乙( r ) 为第r l 阶模态的时间调制。轴负 载的无阻尼自由振动系统由下面的方程表示： m + 譬s i n ( 州叫州+ 警s 岫凇。- 0 ( 2 - 8 ) 受边界条件( 2 5 ) 和( 2 6 ) 影响。控制方程( 2 8 ) 是一个变系数四阶偏微分方程， 并且没有任何解析解。因此，需要获得近似懈，同时满足方程和边界条件。解决 这一问题得到了应用a d o m i a n 分解法( a d o m i a n ，19 8 8 1 3 5 1 ，1 9 9 11 3 6 l ；w a z w a z ， 2 0 0 10 7 1 ) 。 矽( 工) = 0 5 x 2 0 0 1 3 3 2 4 s i n ( a ) x 4 + 0 1 8 1 5 1 1 0 - 2s i n ( 口) 石5 + 【0 1 4 2 0 4 x 1 0 - ss i n 2 ( 口) + o 1 3 8 8 8 x 1 0 - 2 w z x 6 0 4 1 4 6 3 x 1 0 4s i n 2 ( 口) x 7 + + c ：c , o 1 6 x 3 - 0 2 6 6 4 9 1 0 - 2s i n ( a ) x 5 + 0 4 5 3 7 9 x 1 0 - 3 s i n ( a f ) x 6 + 0 1 9 8 4 1 x 1 0 _ 3 + o 2 0 2 9 1 x 1 0 一s i n 2 ( 口) 】x 7 0 6 9 1 0 5 1 0 5s i n 2 ( 口) p ( 2 9 ) 这里 c 2 c , = - 1 1 + 0 2 6 4 8 x 1 0 _ 2s i n 2 ( 口) + o 4 1 6 6 6 x 1 0 1 w 2 - 0 1 2 3 5 9 s i n ( o r ) - 0 4 5 4 2 3 x 1 0 。s i n 3 ( 口) 一0 8 8 8 3 2 x 1 0 。3s i n ( a ) w 2 1 + 0 4 6 5 2 x 1 0 。3s i n 2 ( 倪) - 0 3 9 6 8 x 1 0 一s i n ( a ) + 0 8 3 3 3 x 1 0 之w 2 】 ( 2 1 0 ) g a l e r k i n 方法是用来获得偏微分方程的近似解的常微分方程的形式。假设大 多数的能量激发系统的一阶模态，因此一阶模态占主导。一阶模态函数的截断位 移函数成为：u = 矽( z ) z ( f )( 2 - 11 ) ( 2 1 1 ) 带入偏微分方程( 2 - 4 ) ，得到了下面的梁的常微分方程： j 1 1 艺+ 础三+ ( h 2 + z + 一坼导( 咖一曩：q 扭2 n ( q 酬口) 一z 啊3 q ：s i n ( f 2 0 r ) s i n ( a ) = 0 ( 2 一1 2 ) 其中 j j l l = f 矽2 d x ，吃= p t a x ，坞= f 彤 卜z 】如 纥= f 研卯出，魄= f 纠矽( 矽矽。) 】出，吃= f 矽 f 扩出出 7 出 1 4 岛二f 矽p ，f 矿出 出，j 1 8 = f 筘( x 一( 1 - 占l ) ) d x ，= f 矽出 ”卜面mh 。) g o s i n ( 砒”如+ 盎岛卜= 卜盎唿卜 忙卜老缸卜 万= 詹x - p a e i ，2 掣= p i e 2 酽g 警m = 詈g ，蹦= 参，= 2 参 夕= 知江噼等，咖百h 1 2 口，卟q 定义无量纲参数，t + = 口2 f ，孬= q 0 2 ，v = o z ，这里广是新的时间尺度， 0 4 = ( 吃+ 啊。) i , 1 ，方程( 2 - 1 2 ) 变为无量纲方程： “t 纂+ 曼矿一篡：矿江砌2