（计算数学专业论文）三阶微分方程的多区域谱方法.pdf

摘要 随着科学技术的发展和人类认识问题的不断深入，人们在求解工程中各种 微分方程的过程中，越来越需要一种不但求解精度高、并行程度高，而且还可以 在更加复杂的区域上应用的数值求船方法正是在这样的背景下，本文主要研究 三阶线性偏微分方程和某些三阶非线性偏微分方程，如k o r t e w e g - d ev r i 铭( k d v ) 方程等的初边值问题通过把区域分裂思想和l e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法 以及l p g c c 配置方法思想结合起来，给出了解决此类问题的一种有效、精确， 稳定的多区域谱方法求解格式文中证明了格式的稳定性和收敛性质数值例子 表明了算法的有效性 第一章，介绍了谱方法的起源和历史背景，以及近年来单区域和多区域谱方 法的发展情况阐述了研究多区域谱方法的意义和重要性 第二章，针对初边值问题的三阶线性微分方程，建立了线性问题的多区域 p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法全离散格式证明该格式是稳定的和收敛的，并具有谱精 度数值例子验证了该格式高精度性同时，给出了多区域和单区域方法数值结 果的误差比较可以看出多区域方法在计算量和精度上具有一定的优势 第三章，我们以广义k d v 方程为例说明了如何使用多区域谱方法如何计算 某些三阶非线性微分方程等问题，数值结果表明该格式提高了数值计算的精度， 扩大谱方法的应用范围这正是本文的主要结果 关键词；多区域p e t r o v - g a l e r k i n 谱方浅三阶微分方程，k d v 方程 l e g e n d r e ( c h e b y s h e v ) 一g a u s s - l o b a t t o 点 a b s t r a c t i nt h et h e s i s ，a ne f f i c i e n tm u l t i d o m a i np e t r o v - g a l e r k i ns p e c t r a lm e t h o di sc o n - s i d e r e df o rs o m el i n e a ra n dn o n f i n e a rt h i r d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n i t i a l - b o u n d a r yc o n d i t i o n s b yc h o o s i n ga p p r o p r i a t eb a s ef u n c t i o n s ，t h em u l t i d o m a i n p e t r o v - g a l e r k i ns p e c t r a lm e t h o dc a nb ei m p l e m e n t e de f f i c i e n t l yf o re a c ho fa b o v e e q u a t i o n sw i t hh i l l yd i s c r e t es c h e m e s t h es t a b i l i t ya n dt h er a t eo fc o n v e r g e n c eo f t h em e t h o da r ep r o v e d s o m el i n e a ra n dn o n l i n e a rt h i r d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es o l v e db yt h e m u l t i d o m a i np e t r o v - g a l e r k i ns p e c t r a lm e t h o d n u m e r i c a lr e s u l t sa l s oc o n f i r mt h e e f f i c i e n c yo ft h em e t h o d i nt h ec h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dr e c e n td e v e l o p - m e n t so ft h es i n g l ed o m a i na n dm u l t i d o m a i ns p e c t r a lm e t h o d s w je x p l a i nt h e a d v a n t a g ea n du r g e n tr e q u i r e m e n to ft h es t u d y i n go nm u l t i d o m a i ns p e c t r a lm e t h - o d s i nt h ec h a p t e r2 ，w ed e v e l o pt h em u l t i d o m a i ns p e c t r a lm e t h o d sf o rl i n e a rt h i r d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e nf o rb o t ht h es i n g l ed o m a i n m e t h o da n dt h et w od o m a i nm e t h o dt om a k eac o m p a r i s o n i nt h ec h a p t e r3 ，t h en o n l i n e a rt e r mi sc o l l o c a t e da tl e g r e n d r e g u a s s - l o b a t t o p o i n t si ne a c hs u b i n t e r v a lf o rt h en o n l i n e a rp r o b l e m s ，t a b l e sa n df i g u r e ss h o wt h e a d v a n t a g eo ft h i sm u l t i d o m a i ns p e c t r a lm e t h o d ， k e y w o r d s ： m u l t i d o m a i np e t r o v - g a l e r k i ns p e c t r a lm e t h o d s ，t h i r d - o r d e rd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ，k o r t e w e g d ev r i e se q u a t i o n ，l e g e n d r e ( c h e b y s h e v ) 一g a n s s - l o b a t t o p o i n t s 1 1 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表 示了谢意 签名：蝉日期：怂i ：z ：墨 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留，使用学位论文的规定，即：学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期：趁丑五； 第一章绪论 1 1 引言 谱方法可以看成为微分方程的一类离散格式的发展的最终结果，通常称之 为带权剩余残量法( m w r ) ( f i n l a y s o na n ds e r i v e n ，x 9 9 6 ) 带权剩余残量法主要 方面包括下面两个内容：一个是试探函数，也称函数的级数展开或函数的逼近； 另一个称检验函数，也称权函数试探函数是用于作为真解的级数的截断展开式 的基函数而检验函数主要用于级数截断展开后的方程能更好逼近原微分方程 而这一步我们可以用带有某一种合适的范数的最小剩余残量法来完成对应地。 我们往往要求剩余残量尽可能地和每个检验函数具有某种正交性 在谱方法中试探函数被取为无穷可微的整体函数，一般是正交多项式，如 三角多项式、c h e b y s h e v 多项式，l e g e n d r e 多项式等( 它们一般是奇异s t r u m - l i o u v i l l e 问题的特征函数) 根据检验函数的不同选举，可以分为三种不同类型 的谱方法，它们分别称为谱方法、t a u 方法或拟谱方法( 配置法) ，统称为谱方法 在g a l e r k i n 谱方法中，是指检验函数与试探函数相同。它们都是无限可微且满 足条件的，残量和检验函数的内积为0 ；而p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法则是g a l e r k i n 谱方法的一类特殊情况，是指检验函数和试探函数空问不相同在配置谱方法 ( 拟谱方法) 中试探函数与g a l e r k i n 谱方法相同，但检验函数是d i r a c5 函数， 即s ( z ) = j 一z 。) ，札= 1 ，2 ，其中z 。称为配置点，方程在配置点上成 立t a u 谱方法和g a l e r k i n 谱方法很相似，只是它不要求检验函数满足边界条 件 谱方法选取的整体无限光滑的函数为基函数，其优点就是由这样的基函数张 成的近似空问具有良好的逼近性质；而且函数本身的性质越好，逼近阶就越高， 从而适当的谱方法数值解就收敛阶越高即如果原方程的饵具有无限阶光滑，那 么用适当的谱方法求的近似解将以_ 1 的任意幂次速度收敛到精确解，这里的 为所选取的基函数的个数即谱方法最诱人之处是其具有所谓的“无穷阶”收 敛性这个优点是有限差分方法和有限元等其它方法所无法比拟的，众多的实际 应用和数值实例也证实了该方法的有效性因此，谱方法越来越受到人们的重 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 视 我们知道，有限差分法的逼近精度在构造格式时已确定，对于有限元来说， 其逼近的精度也受到所选择的多项式次数限制，但是谱方法的精度随着微分方程 的解的光滑程度的提高而自动提高谱方法同有限元都可以从r i t z - g a l e r k i n 方 法导出，但两者本质上的区别在于基函数的性质有限元选取的是具有局部紧支 集，形状简单的函数作为基函数这样一来，基函数的构造就极为方便灵活，而 且对于复杂形状区域也无本质困难由于有限元基函数具有局部紧支集性质，所 以得到代数方程的矩阵是稀疏的，计算量大大减少但从另一方面，其基函数的 简单性也限制了其精度的提高 科学和工程中的大量问题归结为微分方程为各种各样的微分方程寻找快速 有效的数值解法一直是计算数学工作者的重要课题到目前为止，微分方程数值 解法有三大基本解法。有限差分方法，有限元素法和谱方法近几十年来谱方法 伴随着快速f o u r i e r 变换产生已经被广泛用于求解各种实际问题倒如天气预报， 数值湍流模拟，孤立子的计算和研究，量子力学的计算等等特别是在计算流体 力学上获得了巨大的运用 1 2 谱方法研究现状 1 2 1 单区域谱方法的发展 谱方法在单区域上已经有很多文献和著作进行了介绍 1 7 】其中g o t t l i e b 和 o r s z a g 3 j ( 1 9 r 7 年) 对谱方法的这三种具体形式作了详细的介绍，建立了关于线性 数值分析的一些基本理论，对谱方法在偏微分方程( 特别在流体力动力学问题) 数值计算中的应用情况做出了概述而c a n u t o 和h u s s a z n i 等在【2 】中，讨论了波 动方程的f o u r i e rg a l e d d n 谱方法、热传导方程的c h e b y s h e v 配置法，p o s s i o n 方程 的l e g e n d r et a u 方法在高维的流体力学上成功了研究了可压缩的n a v i e r - s t o k e s 方程、不可压缩流问题、可压缩的e u l e r 问题以及边界层等问题文中给出各种 问题的谱方法应用实例，在理论都作了严谨而又详实证明大量的数值模拟进一 步证实理论结果面对初边值奇数阶微分方程问题，m a 和s u n 在【5 提出一种 l e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法，文中给出了稳定性和最优的误差估计而同样 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文3 的s h e n 在文【7 】中也提出d u a l - p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法也给出解决了上述问题的 一种新的求解方法 1 2 2 多区域谱方法的发展 尽管谱方法具有“无限阶”的收敛率，但它的应用却受到许多因素的限制 谱方法最大的障碍是处理问断问题和复杂区域问题对于间断问题使用谱方法 存在g i b b s 现象，逼近精度严重丧失对于复杂区域问题，由于一直没于适当的 谱函数，不能直接使用谱方法如何克服这两个障碍，也是近两年来的谱方法研 究的热点和重点目前已经取得了一定的结果倒如，对于间断问题，可以采用 适当的滤波和重构的方法以恢复谱逼近的精度【2 8 】对于复杂区域或一般形状的 区域问题，较早的基础工作是在 3 4 】和【3 5 】中讨论的两种方法一种是采用映 照法，即采用适当的变换，把某些非矩形区域化成矩形区域，例如圆形区域和圆 柱形区域区域，可以采用柱坐标和球面坐标化为方形区域使用谱方法进行求解 3 3 】，但对于复杂的区域，要找出适当的变换，存在很大的困难另一种方法就是 拼接法，是区域分解方法的一种即把一个复杂区域先分解成若干个互不重叠的 简单形状的子区域，然后再每个子区域上使用谱方法，通过连接面的连接条件求 解 区域分解算法是十九世纪八十年代发展起来的新方向这种方法具有两个 优点t 其一 它可以把大问题化成若于个小问题，以缩小运算规模；其二，便于 设计出高度并行化的数值算法按照区域分裂方法的不同可以分为两类：第一类 方法是将区域化分成若干个相互重叠的区域，然后再在子区域上求解，即所谓的 s c h w a r z 交替法，s c h w a r z 交替法最早是由德国数学家s c h w a r z 提出来并应用到 论证非规则椭圆方程解的存在性和为一性二十世纪5 0 年代，才开始有人把此 方法用于计算，但并未引起计算数学家的重视由于并行计算机问世，经典的串 行计算方法不太易于应用到并行计算机上，因此这种区域分裂方法开始发展起 来了第二类方法是将区域化分成若干个互不重叠的子区域，相邻的区域上的解 通过较界面的条件连接，这种方法又称拼接法1 9 8 5 以前，仅有少量的文献研究 区域分裂算法在得到人们的普遍关注之后这一方法已经成为计算数学热门领 域1 9 8 7 年至今，每年召开一次国际会议 谱方法的区域分裂方法最早由o r s z a g 3 4 提出的文中以l 型区域的p o s s i o n 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 4 方程为倒，将区域分解成三个互不重叠的子区域，在每个区域上用c h e b y s h e v 级 数进行展开，并给与一定的连接条件这种类型的谱区域分解方法，成为多区 域谱方法早期的应用还可见文献【2 9 】等多区域谱方法的优越性在于它基于 交接面的连接条件只需要物理连接条件，显然比有限差分方法方便f u n a r o 3 1 】 分别对l e g e n d r e 和c h e b y s h e v 逼近证明了二阶方程此种方法的。无穷阶”收 敛性h e i n r i c h s 则对四阶方程的谱区域分裂方法提供了一定理论分析【1 0 文 【1 0 ，3 1 】中考虑到定常线性问题的区域分裂c h e b y s h e v 谱方法，为了处理权函 数在内边界出的奇异性，引进了低次多项式，将问题改写现在，多区域谱方 法已经成功地运用到流体力学，海洋学，空气动力学，石油勘探等各个领域上 1 0 ，3 0 ，3 2 ，3 6 】但目前的多区域谱方法还有待进一步研究，尤其是在奇数阶和非 线性微分问题上的数值试验以及数值分析上还需要做很多的工作 1 3 本文主要工作 本文在结合运用区域分裂思想和l e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i n 方法以及l p g - c c 配置方法的基础上，给出了解决三阶线性和非线性微分方程问题的一种有效 的多区域p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法求解格式文中证明了格式的稳定性和收敛性 数值例子表明了算法的有效性 我们以线性三阶方程和广义k d v 方程为例说明了如何使用多区域谱方法计 算三阶方程和广义k d v 方程等文中建立了多区域p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法数值 求解格式，并给出相应的理论结果，在本文中我们给出了大量的数值例子，其中 既给出了三阶线性微分方程的多区域和单区域谱方法数值结果的误差比较结 果显示多区域谱方法p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法，不仅具有经典谱方法的高精度，而 且具有更少的计算量和更多的自由选择度多区域方法在计算某些问题数值精 度更高文中还对k d v 型方程的多个孤子相互干涉情况进行数值模拟，文中图 像显示数值格式具有良好的稳定性和收敛性我们还给出了以g a u s s i a n 初始值 进行计算获得一系列的孤波情况，发现随着区域分裂的越多处理某些问题的能 力越强 第二章三阶线性偏微分方程的多区域p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法 2 1 格式的建立 谱方法由于其方法的高精度而成为解决偏微分方程三大方法之一在许多 文献中已经给出单区域上许多有效的求解数值格式的谱方法，并且获得良好的 数值结果和理论分析【1 7 】但是为了使谱方法能很好的应用到复杂的区域上，多 区域谱方法在这方面有着一些其它方法无法比拟的优越性文献 8 - 1 0 】上的数值 结果和理论分析也证明了这一点在本节中，我们研究和分析了具有初边值的三 阶线性微分方程的多区域p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法 考虑下面具有初边值条件的三阶线性微分方程； ， ia t u + 磋矿= ，( 。，t ) ， z ，= ( 一1 ，1 ) ，t ( 0 ，司， u ( - 1 ，t ) = u ( 1 ，t ) = 岛u o ，t ) = 0 ，t 【0 ，邪， ( 2 1 1 ) lu ( 茹，0 ) = ( 。) ， z ， 设m 是一个正整数，= ( - 1 ，1 ) 分割成m 个子区间；五= ( a 1 ，a i ) ，i = 1 ，2 ，m ；- i 0 0 a l 0 ，当u ( z ) i1 时，我们就省略u 对于任何一个非负整数r ，王r ( j ) ：= w 喝( ，) ，皤( ，) ：= w 铲( ，) 是s o b o l e v 空间其范数与半范数为分别定义为”忆l l r 令肼2 ( ，) ：= 扣口2 ( ，) ：u ( 一1 ) = v ( 1 ) = ( 1 ) = o ，则方程( 2 1 1 ) 的弱 形式可写为：寻找u ( t ) 硪2 ( ，) ，使得对任意的 础( ，) 有 ：uo,(u。)v，口)-：(o(!u，ou,)v，=，口，x击ei，=uo 一1 ，1 ，。，7 1 ( 2 1 2 ) i ( o ) ，口) = ( ，u ) ， 击， 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 6 我们现在分别令 w n l = t j 硪( ，) n 日2 ( ，) ：t t ，k 一1 ) v n = ：u = ( 1 一z ) 埘；w w 一l 为检验函数空间和试探函数空问 为了写出全离散，我们记时间步长为r t k = 打，( k = 0 ，1 ，钾；t = r 竹) 为了简便我们记舻( ) = “( z ，t k ) 且 u ；= u k + _ l _ _ u ku 峨= 掣 问题( 1 1 ) 的多区域谱方法的全离散格式就是找u n v 使得 ( ， ) 一( 。2 咐k + l 2 ，以u ) = ( ，v 2 ， ) ，o 七砑一1 ( 2 1 ，3 ) i ( u ( o ) ，u ) = ( ，”) ， 讹w n - 1 下面我们来简短地介一下多区域p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法试探空问的基函数 的构造 记 我们令厶为z 次l e g e n d r e 多项式 = r + 3 ) - 舵l t + l ( 甸二攀麓 妒= r + 3 卜：攀o 盯， 2 0 0 7 上海大学丽士学位论文 f 鼎垆 【 岛( l l + 4 ( 佥) 一l f + 2 ( 圣) ) 一j 云i ( 工“r 2 ( 岔) 一工( 童) ) ， = 0 ，1 ，批一5 ， = 2 ，m 一1 ， 0 ，其它 由上面定义，可以得到 。：竺兰尝 a i - l ，a i 0 2 i 一 以硝1 ( n 1 ) = 0 ，科1 ( o ) = 庐 1 ( 。) = 0 如硝盯( 卧f 一1 ) = 0 ，西”a m 一1 ) = 硝1 a f ) = 0 以硝( m 一，) = 以 ( n ) = 0 ，硝( n ；一，) = 耐。( 口 ) = 0 而对于i = l ，2 ，m l 时，我们另外记 矿，( ( z ) = 驴2 t 吼z ) = 7 等( ( l z ( 金) 一l o ( 岔) ) + ( l s ( 孟) 一l - ( 圣) ) ) ， 善= 笪学，a i - l , 毗】 ! i 4 丝( 寻( 二2 ( 童) 一三o ( 童) ) + i ( l 。( 鸯) 一l 1 ( 童) ) ) ， 石= 生竽；出a i , a i + 1 由定义，可以得到 其它 如研4 ( d 一1 ) = 如咖抄( 口t ) = 如舛( o 件1 ) = 0 攀 嘶衅舵 一 十 l l + 一 ，i-ll，、ii【 0 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 8 甜“( 毗一1 ) = 甜旧( 啦+ 1 ) = 0 ，钟o ( 皿) = 1 以砰“( n | 一1 ) = 蟊砰( 口件1 ) = o玩砰( 啦) = 1 ， 砰“( 啦一1 ) = 砰( a 件1 ) = 砰( 啦) = o 现在，我们对任意的口( z ) = u ( x ，t + r ) v k ( z ) ，我们都可以展开成： ( z ) = ( 1 一$ ) ( c ，r + c i - 渺( z ) + c t 2 2 杈。) ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 9 2 2 预备知识 这一节我们来讨论一些关于区域分裂的逼近结果，我们给出了一些引理和 结论，以便证明全离散格式的稳定性和收敛性 首先我们明确下面的关系 ( 3 1 )口( 。) = 移( 岔) ， z = ；( 风童+ 皿一1 + 啦) ， g i l z s0 4 定义l e g e n d r e 谱投影算子，日2 ( ，) 一p 帆( j ) ( 3 2 )户1 ，t o ( 金) = o ( 1 ) 十( 童一1 ) o ( 1 ) + 毒；2 一2 缸( 岔) 其中霹1 0 ( 圣) = 一j ：a 扣( 2 ) d ；霹”o ( 盒) = ( 露1 0 ( 岔) ) ” 进一步我们定义算子：只n ( 3 3 ) p 1 ，n u i c 。) = ：局， u ( 。) = ：只，坼矿( 岔) ， 下面我们引入分片s o b o l e v 空间 厅叮( ，) = ：三札j 日4 ( 厶) ；0 i 肘 其半模 m 川加( d = ( m i i ，2 l ) 1 胆， i = 1 粘蟛m a 扩xh ( 肌- 1 ) ，弘= 兰 若g 是一个不依赖于乜，m 和任何函数的正整数，则我们可以得到以下的结果t 引理3 1 【4 】设口，卢- 1 和v z p ( n 那么有 l | 瑶( 蹄4 v v ) l l 。c n * 一| l 甾( 尸孑9 v v ) l l 。 sc n 一7 i i v i i u 。口。0 s ” 引理3 2 ( h a r d y si n e q u a l i t y ) 2 5 】设v s j ( ，) 且卢 1 ，那么有 y 2 ( z ) ( 1 一z 2 ) 4 - 2 如s u p r 1 刁，矿1z 。池y ) 2 ( z ) ( 1 一p ) 4 如 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 0 引理3 3设y ( z ) h 4 ( j ) 且盯2 ，那么当0 曼f 2 有 0 砬( 户1 眦y y ) 0 。一。se 艇一7 l i 磁( 户1 ，肌y v ) l l 。喝，一： c 川一7 i i 磁v l l 。，一。，0 z s2 ，1 s l 肘： 证明：易知a 肌y ( 1 ) = y ( 1 ) ，色户l ，肛y ( 1 ) = 以y ( 1 ) ； 户l ， y ( 一1 ) = 矿( 1 ) 一2 y ( 1 ) 一o + 1 ) 霹1 氏一2 磋y ( z ) 1 1 1 + + 1 ) 雹v ( x ) d x ，一i = v ( 1 ) 一2 v ( 1 ) + ( z + 1 ) o 。v c x ) l l l 一o v ( x ) d x ，1 j l = v ( - 1 ) ， 如a m 矿( - - 1 ) = y ，( 1 ) 一氏一。磷y d x = 以y ( 一1 ) ； 因此危m v v 瑶( j ) ，u 一2 一2 ( 户1 t v v ) 工2 ( ，) 首先证明f = 2 的情形：由引理3 2 和户1 ，的定义我们很容易得到， i l 谚( a ，肌v v ) l l 一0 ( 氏一。一1 ) v l l c 孵_ 2 f j 磁一2 ( b 吼一。一r ) a ! v l l 。：， = g m 一2 l i ( 氐一2 一x ) v l l 。，一。g m 一2 i i v l l 。，一， 当f = 1 ，记g ：馥( 户1 ，t v y ) ， 显然由上面易知g 珊( j ) ， w - l , - l g l 2 ( j ) ，我们得到 i i 以( p l ，m y v ) l l ：。一。= ( 岛( 户l ，一矿) ，巩爵1 缸一吐以】) = i ( ( 氏一2 一，) 磋k 霹1 曲u - 1 一- 】) f = ( ( 氏一2 一，) 磋川( ，一氐一。) 霹1 _ 1 一- 】) 剑( 氏一。一i ) a ! v l l l l ( x 一氏一。) 霹1 咖一1 ，一1 1 1 i e 研”i i 一2 ( 一2 一i ) a ：v l l 。，一：_ 1 i l g u 一1 ，一t l l 。 = c 埘i l a ：( p l ，一x ) v l b 。一吲j 。 由此知在f = 1 成立 同理我们对f = 0 ，记g = 户l ，m y v 我们由引理3 2 ( h a r d y si n e q u a l i t y ) 和上面 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 1 可以推出户l ，肌y v 瑶( j ) ，0 ) - 2 , - - 2 ( 户1 ，y v ) l 2 ( j ) 0 a ，肌y y 屺。一，= ( 户1 n , v v 碡露2 b u - 2 ，一2 】) = i ( ( 氏一。一，) 醒k ( j 一氏一：) 爵2 _ 2 一。】) i c n ? ”- 2 ( 户御一z ) 谚v i i 。y , - 2i k n 2 一2 0 。： = c n , - i l ( p 1 ，炳一，) y | | 。u g l l 。 综上所述。即可完成该引理的证明 引理3 4设v h 4 ( 五) 且盯0 ，那么有 i 矿l 矾f g 碍一1 ，2 i v l 以j i v l 五c ；2 4 i 矿i ， 引理3 5设v h 4 ( j ) 且盯2 ，那么有 i p l ，n l y y l 尉( f ) g ( 酽p 一。i v l 奢 ) 1 2 ， 1 i m ，0 ls 2 1 l 蔓吖 引理3 6设u ( 1 一$ ) h 4 ( ，) 且盯2 ，那么有 i ( t - z ) ( 禹h 蚓。三洲f ( 禹一) l 2 1 i m 0 z 2 引理3 7 【5 】设下列条件成立； ( 1 ) e k , p 七( = 0 ，1 ，抑) 是非负函数集，矿是递增函数，且f ，c 是正常数； ( 2 ) 对于任意的1 礼抑，当m a x l _ k _ ，1 e 。e 时，可推出 n 一1 酽矿+ c r 砂 = 0 ( 3 ) e o 矿且p n t e 四e 2 那么对任意的1 n s “t 有 e ”矿7 e 踟7 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 2 2 3 全离散格式的稳定性和收敛性 2 3 1 稳定性分析 首先我们有下面的两个结论成立 若t ，w ，- l ，则我们有 一( 畿f ( 1 一茹) 口】，a , v ) 2 1 1 a v l i + ( ( 1 一z ) 磋t ，以”) 鲔w + 刚w 2 叫 一2 1 。“ 若钍= ( 1 一x ) v ， h ，一1 ，贝q 有 巩u ( 一1 ) = 2 以 ( 一1 ) ，i l 以u l l 2 ( 1 1 ( 1 一z ) a , v l i + i l a 。v 1 1 ) 2 9 1 1 a 1 1 2 ( 2 3 2 ) 假设格式( 2 2 ) 中的t 和右端项分别有误差讪和，其中鼬v n 则有 ( 面i ，m ) 一( 键面+ 1 2 ，a l 口) = ( ，”) v u w n l ，= k t , 0 k ，圩一1 当u = ( 1 一善) 一，我们取带1 7 2 = - k + 1 2 ，u = 2 拶1 胆，由( 4 1 ) 和( 4 2 ) 我们有 若我们记 ( 0 面奄i 忍) 。+ 3 1l a 嗣1 2 1 1 2 + 2 1 1 a , f f 品+ w = ( 一1 ) 1 1 2 = 2 k p + 1 2 ， ) o h - i ( 1 ) = 删s u p ，v # o 掣u 1 1 且：( f ) ，i ( i i ”。，z | f 。2h + 2 i 以掰1 7 2 1 1 2 + 2 0 以钟1 脂( 一1 ) 1 1 2 l i p + 1 2 i i 备一- ( d 将上式从= 0 累加到n 一1 ，我们获得下面的结果t n 一1n - 1 ( 懈+ 2 r ( 慨带1 2 1 1 2 + 慨秽1 2 ( - 1 ) 1 1 2 ) r 垆州2 j i ；! 卜- ( d4 - 慨旺 k = 0 k = 0 ( 2 3 3 ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 3 2 3 2 收敛性分祈 假设问题( 1 1 ) 的真解u 满足c ，足够光滑，m 足够大，f 充分小，取比较 函数 = ( 1 一z ) r ， ，一1 ( u - l , o u ) = ( i 一。) p 1 一z ( 吆) ， 啦v e 备= 知一昂u v ，由( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 ) 我们有： j 商， ) 一( 醒e 铲v 2 ，以 ) = ( 玑t ，) ，0 r v l - 一1 ( 2 3 4 ) i ( e ( o ) ，口) = ( 一，t ，) ， w n - 1 其中g = 9 1 + 9 2 ，9 1 = o t u k + l 2 一哦，9 2 = ( 谚矿+ 啦一磋u ? + 1 2 ) 取旅= u e 知和 k + 1 2 = 2 带1 2 w 一l 同样可以由( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 我们可以得 到： ( | | e 备i b ) 。+ 3 1 1 0 , 讲1 7 2 1 1 2 + 2 l i 以叩 1 2 ( 一1 ) 1 1 2 = 2 1 ( g ，前歹1 2 ) 1 ( 2 3 5 ) ( 仇，叩 1 肛) l = 1 2 ( o t u + 1 ，2 一峨，q 铲1 7 2 ) l = 1 2 ( & v 。+ 1 2 一瞬，耐1 2 ) + 2 ( ( 1 一z ) 噬。一只仉，前1 7 2 ) c l l a 。v k + 1 2 _ 咖她矿扣见带m i l 2 + c h 曲憾吨1 1 2 + 到1 附k + 1 7 2 1 1 2 c ( 1 l a , u + 1 2 一啦l i 备一。( j ) + 舻i l 噬。0 2 ) + i i 如町；1 7 2 | 1 2 ( 卯，带1 7 2 ) i = i 一2 ( o i u t o + i 2 一磋咿1 2 ，锄妒1 2 ) i = i 一4 ( 以( a 肌u 磐1 2 一u 二l ，o 【，) ，以耐1 2 ) + 2 ( 鳄( p 1 ， 眩邶一w - i , o u 2 ) ，( 卜x ) o ：r # 嚣+ l i ) l sc ( 危2 r 一2j i 略1 7 2 1 1 2 + 舻一4 0 【，磐1 2 1 1 2 ) + 0 也带1 7 2 1 1 2 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 4 把上面的估计代入( 4 4 ) 中，并且从k = 0 加到 = t i 一1 得到 而 n 一1 剑e 圳0 。2 + 所( 1 l o , u m 7 2u ：l i 一- ( ，) + 卅i 噬。1 1 2 k = 0 + 护一2 憾眩蝴1 1 2 + h 2 一慨【，磐1 7 2 1 1 2 ) r 慨噬。1 1 2sg 怜魄嗽咿妒) r 慨眩忡l i 2 e o 弘疋州，) ) f | e 备i k 以l l c x p k ) 【：o l l c n l l u o l l ， 因此由上述估计结果，我们记 啪忆+ r 静翱蚓i e 她删) ， 矿= c ( z 4 + h 2 ”4 ) 则由g r o n w a i l 不等式可得到如下的收敛性结论， 定理2 1设r 2 ，玩h 1 ( o ，r ；h 1 ( j ) n h ( 聊n h 3 ( o ，t ；h - 1 ( 功，那么有 ：r u ”0 、压i i t 蜀一u “i l 一。c ( f 2 + 一2 ) ， i n n t ( 2 3 6 ) d 一 胆 抖咿 以 十 2 胆 n ?允 脚 r十 2 un e f h r o 驴 矿 霹 4 阶 一 r 一 2 h吩 一 2 v 矿 b “脚 r 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 5 2 3 3 数值算例 这一节我们将给出三阶线性偏微分方程关于单区域和两个区域的谱方法的 数值结果的比较 例2 1 我们取矿( 。，t ) = s i n 2 ( 口茹) s i n ( b x + c 亡) ，一1 z 1 是问题( 1 1 ) 的解，则该问题的右端项l ( x ，t ) = 【( c b a ) s i n 2 ( a x ) + 6 a 2 bc o s ( 2 a x ) 】c o s ( b x + d ) 一 a ( 4 a 2 + 3 b 2 ) s i n ( 2 a x ) s i n ( b x + 西) ，在t = 1 时，表( 2 1 ) 给出了两种方法数值结果 p 误差比较 fn s i n g l ed o m a i n( 1 ，2 ) t w od o m a j n s 1 0 e - 0 0 l6 43 9 3 0 1 昏0 0 3 ( 3 2 ，3 2 ) 3 9 3 0 1 e - 0 0 3 l ，o e 0 0 26 4 3 1 0 1 4 e 一0 0 5 ( 3 2 ，3 2 ) 3 1 0 1 舡0 0 5 l ，0 e - 0 0 36 43 0 9 5 9 争0 0 7 ( 3 2 ，3 2 ) 3 ，0 9 5 9 e - 0 0 7 1 o e - 0 0 46 43 0 9 5 9 争0 0 9 ( 3 2 ，3 2 ) 3 0 9 5 8 e - 0 0 9 衰2 1 单区域和多区域p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法在t = i 的误差比较 例2 2 ： 我们取c ，( 。，t ) = 1 2 k z s e c h 2 ( k x 一4 3 t ) 为问题( 1 1 ) 的解，则右端项 ( x ，t ) = 2 8 8 k 5 s e c h 2 ( k x 一4 k 3 t ) 2t a n h ( k x 一4 k 3 t ) ；当一5 0 x 5 0 ，= 0 3 ，在 t = 1 时，表( 2 2 ) 给出了两种方法数值结果驴误差比较 rn s i n g l ed o m a i n( 1 ，2 )t w od o m a i n s 1 0 e 一0 0 34 03 5 4 7 4 e 0 0 2 ( 2 0 ，2 0 ) 7 ，4 2 4 5 e - 0 0 4 1 o e _ 0 0 36 01 _ 5 4 7 6 e 0 0 2 ( 3 0 ，3 0 ) 2 0 7 9 6 e 一0 0 5 1 0 e - 0 0 38 03 7 3 2 7 e 0 0 3 ( 4 0 ，4 0 ) 1 0 9 0 5 e 一0 0 7 1 0 e - 0 0 31 0 03 9 8 6 0 e 0 0 4 ( 5 0 ，5 0 ) 2 1 1 6 4 e 一0 0 9 1 o e - 0 0 31 2 05 2 5 4 8 e - 0 0 5 ( 6 0 ，6 0 ) 1 2 5 6 8 e - 0 1 0 1 o e 0 0 31 4 06 5 8 3 2 e - 0 0 6 ( 7 0 ，7 0 ) 1 1 3 6 9 e - 0 1 0 表2 2 多区域p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法在t = i 的误差 第三章三阶非线性微分方程的多区域p e t r o v g a l e r k i n 谱方法 3 1k d v 方程的简介 孤子的发现可以追溯到1 9 世纪，1 8 3 4 年英国科学家s c o t tr u s s s e l 1 4 1 偶然 发现一种奇妙的现象他观测到一种奇妙的水波，在狭窄的河床中行走的船头然 停下来，时，被船体带动的水团聚集在船头的周围并且剧烈的翻滚着，不久，一 个滚圆光滑且轮廓明显的巨大孤立波开始形成，并急速离开船头向前运动波长 约十公尺，高约半公尺，在行进中波的形状和速度并没有明显的变化，以后高度 逐渐降低在两三公里后终于小消失在蜿蜒的河道中这种现象促使r u s a s e l 开 始广泛研水波的实验研究他相信这类水波应是流体运动的一个稳定解，并称之 为孤波但他始终没有给出令人信服的证据，没有从流体动力方程中推出孤波的 存在性结果r u s s s e l 向英国皇家科学院提交的报告引起但是的激烈的争论直 到1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 1 5 1 在对孤波进行全 面分析后指出这种波可以近似为小振幅的长波，并建立浅水波方程， 塑a t = 振刍( i q 2 + a t + 亟2 0 2 ，气1 2 面k h ， ( 3 ) 其中町为波面高度，h 为水深，g 为重力加速度，p 为水的密庞。是与水的匀速流 动有关的小常数，k 是水面张力此后他们用行波解方法求处与r u s s s e l 描述一致 的孤波解，从而从理论上证明了这种波的存在性 如果作下面的变化t t = 互1 v 孓g 一嘉一矿1 尹1 则方程( 3 ，1 1 ) 可以写成标准形式： u t + 6 u u 。+ “z = 0 ( 3 1 2 ) 1 6 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文1 7 后人为了纪念荷兰这两位著名的学者对孤渡做出的贡献将( 3 1 1 ) 或( 3 1 2 ) 称 为k d v 方程 1 9 6 5 年，美国物理