（应用数学专业论文）h系统热流的整体存在性和部分正则性.pdf

中文摘要 摘要 本文主要研究h 系统热流方程弱解的整体存在性和部分正则性以及 奇点的奇性分析。 h 系统方程来源于微分几何，具有悠久的历史，它和几何中许多重要 的问题，例如极小曲面问题、p l a t e a u 问题等都有非常紧密的联系它和 其他来源于微分几何的方程，如调和映射方程等都是变分学所关心的主 要问题1 9 0 0 年，h i l b e r t 5 0 】在世界数学家大会上提出的著名的2 3 个公 开问题中就有三个涉及变分问题，这充分凸显了变分方法的重要性，也使 得变分学在2 0 世纪迅速发展变分学中一系列新方法、新理论的提出使 这些来源于微分几何的方程成为人们关注的焦点问题，由此也得到了许 多存在性和正则性的优美结果 本文所采用的研究方法是热流方法，该方法是1 9 6 4 年e e l l s 和s a m p s o n 3 5 】在研究调和映射方程时引入的关于调和映射热流的研究吸引了人们 的注目，并取得了丰硕的研究成果h 系统热流方程和调和映射热流具 有类似的非线性增长，这表明他们之间可能会有很多相似的性质但是两 者存在本质的区别，调和映射热流是d i r i c h l e t 能量的梯度流，对d i r i c h l e t 能量自然的满足能量不等式，这表明解的d i r i e h l e t 能量是衰减的，这是得 到解的全局存在性和部分正则性的关键所在遗憾的是，h 系统热流对 d i r i e h j e t 能量是否具有能量不等式还是个公开问题，这正是研究h 系统热 流方程的难点所在 关于h 系统热流弱解的整体存在性和部分正则性已经有一些结果，在 二维情形，1 9 9 0 年，o r e y 【7 6 】在i i 驯i o 。 1 的假设下，证明了h 系 统热流方程全局正则解的存在性2 0 0 2 年，对一般咖1 ( q ) ，x h ( a q ) 的初边值， c h e n l e 啊n ef 2 4 】证明了方程直到第一次爆破时间前存在唯一 正则解，在方程的解满足一个强制性假设，即满足能量不等式的假设下， 她们证明了方程全局弱解的存在性，这个全局解除去有限个点外是正则 的，并讨论了奇点处的b u b b l e 现象对于高维情形结果还非常的少 本文主要在以下几个方面发展了前人的结果： ( 1 ) 在二维情形，我们去掉了c h e n l e v i n e 2 4 】中关于解满足d i r i c h l e t 能 量不等式的假设，给出了d i r i c h l e t 能量的一个和时间有关的估计，用经典 的脱靴方法，证明了对任意的时间，h 系统热流方程弱解存在且唯一， i i 厦门大学理学博士学位论文 并且这个弱解对任意的有限时间最多只有有限个奇点 ( 2 ) 在二维情形的有限奇性时刻，我们证明了b u b b l e 现象只能产生在 区域的内部同时给出了h 系统热流方程存在有限时刻爆破的例子，说 明在某些特殊情况下，方程存在有限时刻爆破 ( 3 ) 得到了二维情形有限时刻处奇点的精确结构，证明了有限时刻的 能量等式，表明爆破前的能量等于爆破之后弱解的能量与产生的b u b b l e 的 能量之和在这一点上， c h e n l e v i n ef 2 4 1 只得到了一个不等式 ( 4 ) 对高维h 系统热流，当边界值x c 2 + 口( 瓦) 时，在旧怯i i 咖 1 的 假设下，或者在惮| i 乱。怯1 并且初值咖具有充分小能量的假设下， 我们都可以证明h 系统热流方程存在一个全局正则解当方程的解满足 能量不等式时，我们也证明方程存在一个全局弱解，这个弱解除去有限个 奇点外是正则的，在这些奇点处有和二维问题相似的b u b b l e 现象( 集中现 象) ，并且在每个奇点上只有有限个b u b b l e 全文共分四章 。 第一章介绍了h 系统方程和h 系统热流来源和背景 第二章介绍了相关的定义和性质 第三章研究了二维h 系统热流弱解的整体存在性和部分正则性在 分析能量集中的过程中，我们所采用了l i n 、v a n g 【5 9 】在研究调和映射热流 时所采用的方法，通过构造方程的p s 序列来分析能量集中的过程 第四章研究了高维h 系统热流解的整体存在性和部分正则性 关键词：h 系统热流，整体存在性，部分正则性，奇点结构分析 英文摘要 a b s t r a c t 1 l l i nt h i sp a p e r ，、 ，ea r ec o n e e r n e dw i t ht h eg l o b a le x i s t e n c ea n dp a r t i a lr e g u l a r i t y o fw e a ks o l u t i o nt ot h eh e a tf l o wo fh s y s t e m sa n dt h es t r u c t u r eo fs i n g u l a r i t i e s ( b u b b l e s ) t h eh s y s t e me q u a t i o n sc o m ef r o mt h ed i 髓r e n t i a lg e o m e t r ya n dh a v eal o n g h i s t o r y i t i sr e l a t e dt o l i n i m a ls u r f a c ep r o b l e m ，p l a t e a up r o b l e ma n dc o n s t a n t m e a ne u r v a t u r ep r o b l e ma n ds 0o n t h i sp r o b l e ma n dt h eo t h e rp r o b l e m sc a m e f b md i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，s u c ha sh a r m o 碰cm a p s ，a r em 出n 】ye o n s i d e r e di nv & r i a t i o n a lm e t h o d t h e r ea r et h r e ep r o b l e m sr e l a t e dt ov 打i a t i o n a lm e t h o di nh i l b e r t s f a m o u s2 3p r o b l e m s t h i si n d i c a t e dt h ei m p o r t a n c eo fv a r i a t i o n a lm e t h o da n d m a d ei td e v e l o p e df a s t e ri n2 0c e n t u r y t h ed i s c o v e r yo fn e wp r i n c i p l e si nv a r i a - t i o n a lm e t h o da l s om a d e t e rd e v e l o p m e n t si np a r t i a ld i 雎r e n t i a le q u a t i o nr e l a t e d t od i 雎r e n t i a lg e o m e t r y t h em e t h o dw eu s e di no u rp a p e ri sh e a tf l o wm e t h o d t h i sm e t h o di si n t r o d u c e db ye e l j sa n ds a m p s o n 3 5 i n1 9 6 4w h e nt h e ys t u d i e dh a r m o n j cm a p s t h e n o n l i n e a rt e r mw h i c ho c c i l r si no u rc a s ei so ft h es a m eo r d e ra st h en o n l i n e a rt e r m w h i c ho c c u r si nt h ec a s eo fh a m o n i ch e a tf l o w s t h i ss u g g e s t st h a tw ec a j lg e t s i m i l a rr e s u l t sf o rt h e m h o w e v e r ，t h e ya r eq u i t ed i 艉r e n t t h eh a r m o n i cm a ph e a t f l o wi s 乞h eg r a d i e n tn o wo ft h ed i r i c h l e t 朗e r g y ，w h i c hn a t u r a l l ys a t i s 6 e st h ee n e r 盯i n e q u a l i t y t h i si st h ek e ye s t i m a t ef o r 醇o b a le 妃s t e n c ea n dp a r t i a l r e g u l a r i t y u n f o r t u n a t e l y ，i ti ss t i l lo p e nw h e t h e rs m o o t hs o l u t i o n st oh e a tf l o wo fh s y s t e m s s a t i s f yt h ee n e r g yi n e q u a l i t yp r o p e r t y t h i si st h em a i nd i 伍c u l t yi no u rs t u d y t h e r ea r es o m er e s u l t so nt h ed o b a le ) 【i s t e n c ea n dp a r t i a lr e g u l a r i t yo fw e a k s 0 1 u t i o nt ot h eh e a tf l o wo fh s y s t e m s i nt w 0 - d i m e n s i o n a lc a s e ，i n19 9 0 ，o r e y 1 v 厦门大学理学博士学位论文 【7 6 】h a sp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fg l o b a lr e g u l a rs o l u t i o nt ot h ee q u a t i o n sw i t ht h e a s s u m p t i o ni l h | i o 。i | 钆oj j o 。 0 勰e ( u ( 。) ，如( 铷) ) e 0 ， 其中 1， e ( u ( c ) 玩) ) = 言 f v 钆( ) 1 2 b r 0 0 ) 对n 2 的情形， s t r u w e ( 1 9 8 8 ) f 8 3 】，c h e n s t r u w e ( 1 9 8 9 ) 【2 6 1 给出了全局弱解的 存在性，并证明了这个弱解的奇点集具有有限的扎维h a u s d o r f f 测度对m 有边 界的情形，c h a n g ( 1 9 8 9 ) 1 4 】，c h e n l i n ( 1 9 9 3 ) 2 5 】也得到了类似的结果另外，最 近c h a n 分l i u ( 2 0 0 3 2 0 0 4 ) f 1 6 】f 17 】( 1 8 】成功的将热流方法应用到p l a t e a u 问题的研 究，得到了类似的结果 对于解是否能有限时刻爆破的问题， c o r o n - g h i d a g l i a ( 1 9 8 9 ) 【2 9 】，d i n g ( 1 9 9 0 ) f 3 2 】 c h e n d i n g ( 1 9 9 0 ) 【2 2 】分别给出了高维有限时刻爆破的例子，1 9 9 2 年，c h a n 分 d i n 分y e 1 5 给出了二维有限时刻爆破的例子于是人们开始关心这些奇点的精确性 质，q i n g ( 1 9 9 5 ) 7 4 】，q i n g t i a n ( 1 9 9 7 ) 【7 5 】，d i n 分t i a n ( 1 9 9 5 ) 【3 3 】，“n w a n g ( 1 9 9 8 ) 5 9 】 证明了弱解在爆破点处存在b u b b l e 现象，每个爆破点处有有限个b u b b l e 并且爆破前 的所有能量等于爆破后弱解的能量与所有b u b b l e 的能量之和他们所采用的方法是 6 厦门大学理学博士学位论文 1 9 8 1 年s a c k s 和u h l e n b e c k 【7 8 】在研究极小曲面时引入的局部重新参数化( s c a l i n g ) 方法，通过构造方程的p s 序列来构造b u b b l e ，进行爆破分析 m 2 时，p 调和映射方程为 p u = l v 扎i p 一2 a ( 钆) ( v 钆，v 扎) ， 1 p 。o ，( 1 。2 3 ) 相应的热流方程为 a 乱一p 乱= i v “p a ( 乱) ( v 札，v 乱) ，( z ，z ) m ( o ，o 。) ，( 1 删 i 札( z ，o ) = 札o ( z ) ， z m ， 、 1 9 9 4 年， c h e n h o n g h u n g e r b u h l e r 【2 3 】证明当是一个球面时，方程( 1 2 4 ) 对 任意初始值札o w 1 ，p ( m ，) 存在一个全局弱解“三。c ( 0 ，。；1 ，p ( m ，) ) ，z z t l 2 ( o ，o 。；l 2 ( m ) ) 1 9 9 6 年，h u n g e r b u h l e r 【5 3 1 证明当2 p 他时，如果为具 有左不变距离的奇次空间，那么方程对任意具有岛( u o ) 0 ，tcq ) 都是有限集 2 0 0 2 年，c h e n l e v i n e 【2 4 】对于一般的初值钆o h 1 ( q ) ，x h ；( a q ) ，证明了 方程( 1 2 5 ) 的解在第一个爆破时间之前是唯一且正则的，在奇点( 黝，) 处满足， 存在e o 0 ，对任意的r o l i me ( u ( ) ，b 尺( 黝) ) e o 玎1 0 另外假设方程的解满足能量不等式( 1 2 6 ) ，那么方程( 1 2 5 ) 存在一个除去有限个点 外处处正则的全局解，并且讨论了奇点处的b u b b l e 现象 目前，对高维h 系统热流的研究结果还非常少 本文考虑h 系统热流方程弱解的全局存在性和部分正则性以及奇点的奇性分 析 第二章，较完整的介绍了文中用到的一些基本符号和基本知识，包括证明过程 中用到的基本不等式和变分学的基本概念 第三章研究了二维h 系统热流弱解的整体存在性和部分正则性我们首先给出 了d i r i c h l e t 能量的一个和时间有关的估计，在此基础上用经典的脱靴方法，证明了 对任意的时间，h 系统热流方程弱解存在并且唯一，并且这个弱解对任意的有限时 间最多只有有限个奇点由于我们得到的能量估计和时间有关，因此当一时， 如果产生爆破，我们无法用上面的方法进行分析在有限的奇性时刻，我们证明了所 谓的b u b b l e 现象( 集中现象) ，在每个奇点处只有有限个b u b b l e ，并且这些b u b b l e 只能产生在区域的内部我们给出了h 系统热流方程存在有限时刻爆破的例子，说 明在某些特殊情况下，方程有有限时刻爆破其次，我们得到了奇点处的精确结构 我们证明了有限时刻的能量等式，表明爆破前的能量等于爆破之后弱解的能量与产 8 厦门大学理学博士学位论文 生的b u b b l e 的能量之和我们所采用的方法l i n w a n g 5 9 】在研究调和映射热流时 所采用的方法，主要是通过构造方程的p s 序列来分析能量集中的过程 第四章研究了高维h 系统热流解的整体存在性和部分正则性当边界值x 俨+ 口( 西) 时，在j l h | i o oj i ”o | i o 。 1 的假设下，或者在| l i f o o i | 钆o i i o o 1 并且初值呦 具有充分小能量的假设下，我们都证明了h 系统热流方程存在一个全局正则解当 方程的解满足能量不等式时，我们证明方程存在一个全局弱解，这个弱解除去有限 个奇点外是正则的，在这些奇点处有和二维问题相似的b u b b l e 现象( 集中现象) ，并 且在每个奇点上只有有限个b u b b l e 基础知识 第二章基础知识 9 本章我们罗列一些对后面的证明有用的定义、引理和定理，以及其他相关基础 知识 定义2 1 1 设q 是r n 中一个l e 6 e s 舭e 可测集，函数u ( z ) 是定义在q 上的 实值或复值的可测函数，且iu 扛) f p 在q 上可积，则称札 ) 属于此6 e s 9 扎e 函数空 间妒( q ) ，这里l p 。是实数，即：( q ) 表示定义在q 上，所有满足 的可测函数札构成的函数类 上| 钆( z ) i p 如 ， 设qcr n ，用哦( q ) 表示在q 上七次连续可微的函数组成的集合记： 乱i o ，q = 【乱】o ，q = s u pi 札( z ) l ， n 旷i 三酬叩，( 有时等式右边也记为l 鬻刚o ，q ) i i = 七 r r _ “ 其中七为正整数， = ( 1 ，屹，) 为多重指标，耽o ( i = 1 ，2 ，n ) ，川= n 阮， i = 1 d ”u = a 川札 a z ：1 a 磁 定义2 1 2 对七= o ，1 ，2 ，空间伊( q ) 是所有瓯( q ) 中具有下列模 的函数组成的空间 t 【钆b 0 定义2 1 3 设钆( z ) 是定义于q 上的函数，z o q ，如果对于o a 1 吆【札；q 】= 磐背 。 z ql z 一铷l “ 则称乱在黝点具有指数为q 的舶掰e r 连续性，半模吆【u ；q 】称为札在z o 点关 于q 的q 次日d 纪e r 系数在上述定义中如果q = l ，则称钆在如点l 印s c 危i 如连 续 c ： 卜 札 钞 d 七触 i | c ：七 u 1 0 厦门大学理学博士学位论文 相应于h 6 l d e r 连续，我们也要引入一类空间，通常称为h 6 l d e r 空间 定义2 1 4 对于o q 1 ，首先引入以下半模 【】o ，o ，q = 【u 】o ，n = s u pi u ( z ) i ， n 乱k ，q = 【u 】叩= s u p 蠼： 札，q 】， z o q 【钆h ，q =【u 】啪= d 。钆 o m = 是 【让 咖，q = 【d ”钆】q ，q m = 七 为简单起见，以p 七札】口，q 表示 定义2 1 5 以c 七，口( q ) ( o q 1 ) 表示c 七( q ) 中满足 乱】七“q 。的所有函 数组成的空间，称为d 弘e r 空间在c 七，n ( q ) 中引入范数 都有 不难验证 u l 七，口；q2i 牡l k q +【u k 卵 定理2 1 6 c 七( q ) 心七( q ) j 与c 七，。( q ) p 七，q ( q ) 都是b o 佗n c 空问 定义2 1 7 假设u ，仃l k ( q ) ，q 是多重指标，如果对所有检验函数 ( q ) 上札。n 矽如= ( 一，) 陋iz u 多如， 则称移是铭的q 阶弱偏导数，记为d n 缸= 杉 定义2 1 8 设1 p o o ，七是非负整数空间七，p ( q ) 定义为所有局部可积 函数乱：qh 兄，对每个满足i q l 忌的多重指标口，d 。u 在弱意义下存在且属于 妒( q ) 组成的空间如果u 七，p ( q ) ，定义模 i ( 厶i d 口钆i p 如) ；，( 1 p 删， 钆，( q ) ：= 川垫 【i 纂凫e s 8 8 u p j 俨乩= ) c ：口 d k 啦 叁丝坌望 l l 一一 定理2 1 9 限入定理) 设a q 适当光滑，有 彤1 ，p ( q ) l 口( q ) ， l 口茎p + = 祟， p n ， l g ( q ) ，1 g + o o ，p = 佗， 俨( q ) ， o n 即对任意u 删p ( q ) ，存在c ，p ) 使得 乱i i 恶c | ld 让l | l ， p n ， 钆i i 口ci ld 钆| l l ， 1 口 n 定理2 1 1 0 一向异性嵌入定理) 设a q 适当光滑，有 即对任意u 叼1 ( q t ) 且a q 适当光滑，存在c ( 佗，p ) 使得 d 乱钏c | lu l l 睇，1 )1 g 冬端， p 警， d 乱l i l a ( q t ) c | | ul l 昨，t ， 1 口 字 设x 是实的b a n a c h 空间，具有摸i i 定义2 1 1 1 空间妒( o ，丁；x ) 包含所有可测函数u ： o ，t 】一x 具有模 u 忆，( 。卫x ) ：= ( z t 怕( 驯l p d ) ； 。，l p 。o ， 且jj u | j l o 。( o ，t ；x ) = e s s s u p o ti | u ( ) i i 。o 空间c ( 【o ，t 】；x ) 包含所有连续函数u ：【o ，丁】一x 具有模 札1 0 ，刀；x ) ：2 腑愀刚 o o 监。 唯一 嘴基p媸孚p p = 量， p舻学端麓一 一 口 力 一 ，r，i “ 以以 伊 q q，f 心p 陟 1 2 厦门大学理学博士学位论文 定义2 1 1 2 设扎l 1 ( 0 ，丁；叉) ，如果对所有检验函数矽翠( 0 ，7 ) t ( ) 扎( ) d = 一z 丁妒( t ) u ( ) d ， 则称u l 1 ( o ，t ；x ) 是锃的弱导数，记为锃7 = u ， 定义2 1 1 3 例空间w 1 ，p ( 0 ，丁；x ) 是所有乱汐( o ，丁；x ) 并使得钆7 在弱意 义下存在且属于扩( o ，丁；x ) 的函数的全体组成的空间进一步 j | 札i i ( 。，t ；x ) ： ( 譬i | “( 川p + | j 钆7 ( 川p d ) ；，( 1 p o 。) ， 【e s ss u p o 丁( m ) 忡m 洲，p = 。) 以砂记1 ( o ，丁；x ) = w 1 ，2 ( o ，t ；x ) 定义2 1 1 4 设x 是一个b r z n 口c 空间，是定义在x 上的泛函，札x ， 如果存在a ( u ) x 7 ，使得 ，( u + 妒) = ，( 札) + + u ( 让，妒) ，x ， 其中 为x 和x 7 的共轭运算，u ( 乱，妒) = o ( 1 l 训) ，i 以， 勰掣- o 那么称，在札处砒眈e 可导，且a ( u ) 为，在乱处的砒c e 导数，记为a ( 乱) = ，( 乱+ 妒) = ，( 乱) + + o ( | i 妒| i ) ， v 妒x 如果，在任意的札x 处肌c 愚e 可导，且j 7 ：x x 7 是一个连续映射，那么称 j 是c 1 的，记为，c 1 ( x ，r ) 定义2 1 1 5 设x 是一个口鲫：n c 危空间，：x r 是定义在x 上的泛函， 如果对任意的钆，c ：| 9 x ，存在极限 l 觋塑掣型， o t ( 2 1 1 ) 基础知识 那么称j 在孔处g o 阢船可导，称极限俾f ，f ) 为，在钆处沿妒方向的g o 懈 导数，记作d ( 狂，妒) ，i e ， 叫w ) = ! 鸳塑掣 定义2 1 1 6 设x 是一个b 口n o c 空间，c 1 ( x ，r ) ，如果钆x 使得 ，7 ( ) = 0 ，i e ， = o ，v 妒x ， 那么钆叫做泛函，的临界点，否则叫做，的正则点，c = ，( u ) 称为，的临界值， 否则叫做，的正则值 定义2 1 1 7 x 中一列 钆m ) 染1 叫做泛函，的凡f o i s s m o f e 序列，简称，的 p ，s 序列，如果对m 一致的有i ，( u m ) l c ，并且当m o o 时， i i d ，( u m ) | l _ o 一个泛函，称为满足凡纪江s m n f e 条件，简称满足p s 条件，如果任意，的 p s 序列都有一个僻j 收敛的子列 1 4 厦门大学理学博士学位论文 第三章二维h 系统热流弱解的存在性和部分正则性 本章主要讨论二维h 系统热流解的整体存在性、部分正则性和奇点的奇性分 析，给出了在有限时刻爆破的例子，并讨论解在有限时刻奇点处的精确性质 3 1 主要结果 l 侥u = 札一2 日( 札) u z 八u 可，( z ，) q ( o ，。o ) ， 池舅裂 器邶砒 ( 3 1 1 ) 其中z = ( z ，可) qcr 2 ，日1 ，o o ( r 3 ) ，咖1 ( q ) ，x ( 臼q ) ，札o i d q = x ， 八表示向量的外积，即对任意的o = ( n l ，0 2 ，a 3 ) ，6 = ( 6 l ，6 2 ，6 3 ) 酞3 ，n 八6 = ( 0 2 6 3 6 2 乜3 ，n 3 6 1 6 3 n l ，n 1 6 2 6 1 0 2 ，) 定义3 1 1 如果函数钆w 1 ，2 ( q 【o ，】，r 3 ) ，对任意的妒印( q 【o ，扎r 3 ) 成立 z 上侥札妒+ 。zv 钆v 妒+ z z 2 日cz c ，“z 八u 掣妒= 。，c 3 ，2 ， 那么u 称为方程p f f ) 的弱解 关于方程( 3 1 1 ) 弱解的整体存在性和正则性有如下结果： 定理3 1 2 设乱o h 1 ( q ) ，x ；( a q ) ，i a q = x ( 名) ，那么方程p 7 f j 在 q ( o ，丁) 上存在唯一弱解扎，其中o ol i ms u pe ( u ( ) ；j e 7 r ( z 2 ) nq ) o t ，l ： 对于奇点还有如下精确的分析： 定理3 1 3 令饥c o o ( 西( 0 ，) ，r 3 ) 是p j j ，的解，其中 4 ，定义算子 k ：w 台，1 ( q o ，丁) ) _ l p ( q 【o ，丁) ) w 营一；( q ) 名一；( a q 【o ，f ) ) 满足 k u = ( u 一礼+ 2 日( 乱) 乱z 八u 掣，札( z ，0 ) ，乱j a q f o ，t ) ) k 在u 点的方向导数为 d k ( 让) 钞= ( 仇一秽+ 2 h ( 乱) 八札掣+ 2 h ( u ) u z 八+ ( 日7 ( u ) 秽) 乱z 八，钆( z ，o ) ，“l 锄i o ，t ) ) 记 由【5 7 】( 1 v 定理9 1 ) ，下面的抛物方程组在吆1 中存在唯一解 i 仇= ( d k ( 钆) u ) l + 9 ( z ，t ) q ( o ，丁) ， t 正( z ，o ) = 危( z ) ， z q ，( 3 2 1 ) it 正( z ，t ) = 七( z ) ， ( z ，) a q ( o ，丁) ， 1 6 厦门大学理学博士学位论文 其中( 9 ， ，后) 汐( q 【o ，丁) ) 睇一；( q ) 孵一；( a q 【o ，丁) ) 因此d k ( 札) 是一 个同构映射 另外令k 在锃。的值为 k ( 乱o ) = ( 9 0 ，钆o ，x ) ， 其中9 0 = 一札o + 2 h ( 乱o ) 扎脏a 札吩由反函数定理，在叼1 ( q 【o ，t ) ) 中存在札。 的邻域l ，在( q 【o ，丁) ) 嘭一；( q ) 嘭一；( a q 【o ，t ) ) 中存在( 觚奶，) ( ) 的 邻域2 ：使得k ：l 一2 存在反函数定义函数 舻怯嬲置器 对任意足够小的如，( 卯，铷，x ) 2 ，因此存在唯一的钆lc 昨1 ( q ( o ，t ) ) ，使 得锃= ( 夕6 ，铷，) ( ) ，即锃满足 隔篓m 巾舢 ( z ，t ) q ( o ，t ) ， z q ，( 3 2 2 ) ( z ，) a q 0 ，丁 因此方程( 3 1 1 ) 存在唯一解札6 叼1 ( q ( o ，如) ) 由s o b o l e v 不等式得v u 6 俨，号( 豆( o ，啪) ，对( 3 1 1 ) 应用1 5 7 】( i v 定理5 2 ) 可得札6 沪( 再( o ，如) ) 口 为了完成定理3 1 2 的证明，我们还需要下面的几个基本引理 引理3 2 2 对任意具有光滑边界的区域qcr 2 和函数h 1 ( q ) 成立 舢4 坯c 舢2 州zi v 卯蚺志加2 嘲， 慨2 其中常数c 0 只依赖于q 的形状 这个引理的证明见【5 7 】( i i 定理2 2 和注2 1 ) 引理3 2 3 存在常数c 和风 0 ，使得对任意的0 t 0 ， 使得对任意方程p 7 的解铭俨( q 0 ，丁】) 和任意r ( o ，嘞】，如果( r ) e o ， 那么对任意0 丁成立 e ( 钆( ) ) sc e c t ( 泞2 ( e ( 咖) + 丁h ) 全岛( 丁) ，( 3 2 7 ) z 上f v 2 钍f 2 c e ( 铷) + c 丁忱峙差+ c g ( 丁) 丁( r _ 2 + 1 ) ( 3 2 8 ) 以j v 计 c ( 岛( 丁) ，勖，丁，i i x | i h 鲁( ) 证明：令9 日2 ( q ) 满足 j 9 = o ， 在q 中， i9 = x ( z ) ，在a q 上 由椭圆方程理论，方程( 3 2 1 0 ) 存在唯一解9 h 2 ( q ) ，并有 钏日2 ( q ) 剑则h ；( 铀) ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 由于札一9 础( q ) ，由c a l d e r o n z y g m u n d 不等式和p o i n c a r e 不等式，可得 上i v 2 u 1 2 c ( z 2 上l u 一9 1 2 + z 上l “1 2 + t 怕怯砷，) c ( 上l v 札1 2 + z 上i 扎1 2 + 丁恢峙薹。a q ) ) ( 3 2 ，1 ) 为了控制启厶i u f 2 如疵，方程( 3 1 1 ) 两边同乘以一乱并分部积分得， 以ac 学，+ “脚 钏以l v 砰脚l 1 2以m + c z 由( 3 2 4 ) ，上面的不等式可变为 e ( 乱( t ) ) 一e ( 咖) + 丢z 上i 札1 2 i v 钆1 4 c 。列莲：l 。，丁，e ( 乱( c ) ；b r ( z ) nq ) o 使得对方程p ，j 砂的所有解缸c 2 ( q 【o ，丁】) ，对任意的r ( o ，风】和 z o q ，如果( 兄) o ，那么成立 e ( 乱( 丁) ；男r ( 2 j d ) nq ) 2 e ( u ( o ) ；玩尺( 匈) nq ) 十c t r 一2 ( 兄) ( 3 2 1 3 ) 证明：不失一般性可以设徇= 0 令叩曙( q ) 满足0 7 7 1 ，在b r 中 叩三1 ，在j e 7 2 r 外7 7 三o ，且在岛r 上i v 7 7 i 罢方程( 3 1 1 ) 两边同乘以一让7 7 2 二维日系统热流弱解的存在性和部分正则性 并在q ( o ，丁) 上积分得 z t ac 三i v u l 2 叩2 ，+ t zi 札1 2 叩2 + z t z u 。v u 2 叩v 叩 c tz i v 砰m 2 c z 1 上l v 钆h 2 + 三1z l u 1 2 叩2 由y o u n g 不等式和( 3 2 5 ) ，得 z 丁za c 三f v 乱i 2 叩2 ，+ 丢rz f 钍1 2 印2 c z tz i v u h 2 + 6 z tzi a u 2 + c c 6 ，z t 上i 傀。z t