（一般力学与力学基础专业论文）悬挂结构的非光滑模型建立.pdf

申请同济大学硕士学位论文 摘舞 摘要 对于悬挂式悬索结构，事实表明，在外激励作用下，下部悬挂结构可能会发生 飘浮，致使部分联系吊索发生松弛现象。如1 9 6 3 年瑞典v i l l a r s 的车站大厅，悬索 屋盖在风荷载作用下，发生像手风琴一样的皱折。模型试验发现，在不对称荷载 作用下，部分联系吊索发生松弛，这被认为是屋盖风振破坏的机理之一。 由于索结构只承受张力，松弛情况下索对结构不起约束作用，因此，将吊索作 为一类单向约束考虑更符合实际。吊索考虑为单向约束，具有非光滑性，从而整 个结构成为非光滑非线性的动力系统。对于具有s 根吊索的悬挂结构，每一瞬时可 能产生的约束有2 5 种，而其中只有一种为真实发生，研究结构动力特性的关键在 于确定每一步真实发生的约束情况。 基于以上理论，本文分别以( 1 ) 下部悬挂结构型式为梁的简单悬挂结构；( 2 ) 下部悬挂结构型式为二维的悬挂屋盖结构为研究对象进行讨论。 本文先以简单悬挂结构为研究对象，( a ) 对结构下部有外支座约束和无外支 座约束两种情况，分别建立非光滑动力学模型；( b ) 为了在可能产生的约束条件 中确定真实发生的约束组合，本文将单向约束问题等价为优化决策问题，再发展 为神经网络决策手段：( c ) 对基本的龙格一库塔法进行修改，提出适用于单向约 束系统的数值方法，并编制m a t l a b 程序，求解结构动态响应。 算例结果指出，( a ) 当模型结构发生松弛现象，对于吊索轴向张力，如不考 虑非光滑性，将出现张力为负，不符合实际的情况；( b ) 整体结构频率随着吊索约 束数的减少而减小；当整体结构频率出现等于零的情况时，结构会出现失稳现象； ( c ) 改变结构下部外约束条件，非光滑性对结构造成的影响将发生变化。 其次，对于悬挂屋盖结构，( a ) 将简单悬挂结构的非光滑动力学模型，以及 所建立的神经网络算法，推广到下部悬挂结构型式为二维的悬挂屋盖结构；( b ) 运 用编制的m a t l a b 程序，对结构进行数值研究。 算例分析结果表明，( a ) 如不考虑非光滑性，吊索的轴向张力在吊索发生松 弛现象时，将出现负值，这不符合实际；( b ) 代表性计算指出，板的弹性变形远大 于索弹性变形，是吊索动态响应变化的主要影响因素；( c ) 结构是否考虑非光滑性， 对结构各动态响应均有较大影响。 关键词：非光滑；单向约束；悬挂结构；神经网络 串请间济大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t ot h es u s p e n s i o ns t r u c t u r e ，i ti si n d i c a t e dt h a tt h eu n d e rs u s p e n d e dp a r tm a yb e l e v i t a t e du n d e rt h ee x t e r n a ll o a d s f o ri n s t a n c e ，i n19 6 3t h es u s p e n s i o nr o o f o fv i l l a r s r a i l w a ys t a t i o ni ns w e d e nf o l d e dl i k eaa c c o r d i o nu n d e rt h ee x t e r n a lw i n dl o a d s w h o s e s u s p e n d e rr o p e s ，c o n n e c t i n gt h em a i nc a b l ew i t ht h er o o fb o a r d ，p a r t l yw a sr e l a x e d i ti sk n o w nt h a tc a b l eo n l yc a r lb es u b j e c tt ot e n s i o nb u tc a nn o tb es u b i e c tt o c o m p r e s s i o nf o r c e 。a c c o r d i n gt ot h i sc h a r a c t e r i s t i c ，t h es u s p e n d e rr o p e ss h o u l db e c o n s i d e r e da sn o n - s m o o t hu n i l a t e r a lc o n s t r m n s 。s ot h a tt h ew h o l es y s t e mi sa n o n - s m o o t ha n dn o n - l i n e a rd y n a m i cs y s t e m a s u s p e n s i o ns t r u c t u r ew i t hss u s p e n d e r r o p e s 谢l lh a v e2 5k i n d so fc o n s t r a i n s ，a m o n gw h i c ho n l yo n ea c t u a l l yt a k e sp l a c e 。 t h ei m p o r t a n tp o i n to ft h er e s e a r c hi st od e t e r m i n et h ea c t u a lc o n s t r a i n s i nt h i sp a p e r ，( i ) as i m p l es u s p e n s i o ns t r u c t u r ew h o s eu n d e r s u s p e n d e dp a r ti sab e a m a n d ( 2 ) as u s p e n s i o nr o o fs t r u c t u r ew h o s eu n d e rs u s p e n d e dp a r ti sab o a r do ft w o d i m e n s i o n sa r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y t ot h es i m p l es u s p e n s i o ns t r u c t u r e ，t h i sp a p e r ( a ) m o d e l st h en o n - s m o o t hd y n a m i c s y s t e ms u b j e c t e dt od i f f e r e n te x t e r n a lc o n s t r a i n s ；( b ) t h en e u r a ln e t w o r km e t h o di s u t i l i z e dt od e t e r m i n a t et h ea c t u a lc o n s t r a i n sa m o n gt h ep o s s i b i l i t i e s ，a n d ( c ) m a t l a b p r o g r a m sa r ep u tf o r w a r db a s e do nt h er u n g e - k u t t am e t h o dt oa t t a i nt h ed y n a m i c r e s p o n s e s t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t ( a ) t e n s i o no f s u s p e n d e rr o p e sw o u l db em i n u sw i t h o u t c o n s i d e r i n gn o n ”s m o o t h ；( b ) t h es t r u c t u r a lf f e q u e n c e sd e c r e a s ew i t ht h er e d u c i n go ft h e n u m b e ro fs u s p e n d e rr o p ec o n s t r a i n s ；a n d ( c ) t h ei n f l u e n c eo ft h en o n s m o o t hi s c h a n g e db yd i f f e r e n te x t e r n a lc o n s t r a i n s t ot h es u s p e n s i o nr o o fs t r u c t u r e ，i nt h i sp a p e r ( 鑫) t h en o n s m o o t hm o d e la n ds t a t u s e q u a t i o n so fn e u r a ln e t w o r ka r ei n t r o d u c e da n d ( b ) t h em a t l a bp r o g r a m sa r ea p p l i e dt o a t t a i nt h ed y n a m i cr e s p o n s e s 。 t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t ( a ) t e n s i o no fs u s p e n d e r r o p e sw o u l db em i n u sw i t h o u t c o n s i d e r i n gn o n s m o o t h ；( b ) t h ee l a s t i cd e f o r m a t i o no ft h eb o a r di sm u c hl a r g e rt h a n t h ee l a s t i cd e f o r m a t i o no ft h ec a b l e sa n di s m o r es i g n i f i c a n tt oa f f e c td y n a m i c r e s p o n s e so fs u s p e n d e rr o p e s ；a n d ( c ) d y n a m i c b yn o n s m o o t h r e s p o n s e so ft h es t r u c t u r ea r ea f f e c t e d k e yw o r d s ：n o n - s m o o t h ；u n i l a t e r a lc o n s t r a i n ；s u s p e n s i o ns t r u c t u r e ；n e u r a ln e t w o r k 声明 本人郑重声明：本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的 成果，撰写成硕士学位论文“墨挂结趁的韭羞造槿型建童”。除论文中 已经注明引用的内容外，对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其 他个人或集体已经公开发表或未公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：历循 2 0 0 4 年2 月 申请月济大学碗学位论女第一窜言 l - 1 问题的提出 第一章引言 悬索结构具有节省材料，外形美观、适应多样化的建筑造型等特点，特别适用于各粪太 跨度建筑，自1 9 5 3 年第一十现代悬索屋盏襄国的g a l e ig i l ( 雷里) 体育馆建成以来，悬索 结构在工程上得1 4 广泛的应用”1 。但由于太多数悬索结构重量轻、8 恒小、自振频率低对外 激励作用十分敏感一殷情况下在索上作用预张力，从而使结构不会羞生松弛现象，但当设 计不当或外澈励过于猛烈时自重较轻的下部悬挂结构在外馓励作用下可能会发生飘浮，致 使部分联系吊索产生松弛。如 9 6 3 年瑞典v i l i a r s 的车站大厅，悬素屋盖在风荷载作用下，发 生像手风琴一样的皱折，见图11 。模型试验发现，在不对称荷载作用下部分联系吊索发生 松弛，这被认为是屋盖风振破坏的机理之一。 由于索结构只在受拉情况下承受张力 将吊索作为一类单向约束考虑更符台实际 结构成为非光滑非线性的动力系统。 松弛情况下索对结构不起作用，基于这一特点， 吊索考虑为单向约束具有非光滑性从而整个 由于事实表明，悬挂结构在外激励作用下联系吊索可能发生橙弛现象，因此在对悬挂结 构建模时，有必要考虑索只能承受张力的特性建立考虑非光滑性的悬挂结构模型。 1 2 历史的回顾 对于非光滑力学系统中的碰撞动力学相关问题的研究至少已有三个世纪早在1 6 6 8 年 r o y a ls o c i e t yo f l o n d o n 曾组织过极有影响的辩论，许多著名的学者在这个领域做出过贡献 如rd e s c a r t e s ( ri5 9 6 - 1 6 5 0 ) ，jw a l l i s ( u k ，1 6 1 6 1 7 0 3 ) ，em a r l o t t e ( e1 6 2 0 - 1 6 “) ，c h h u y g e n s ( n l ，1 6 2 9 - 1 6 9 5 ) c hw r e n ( u k 1 6 3 2 - 1 7 2 3 ) ，ln e w t o n ( u k ，1 6 4 2 - 1 7 2 7 ) 1 6l e l b n i z ( d 1 6 4 6 - 1 7 1 6 ) j a c o bb e r n o u l l i ( c h 1 6 5 4 - 1 7 0 5 ) m a c ml a u r i n ( s c o t l a n d 1 6 9 8 - 1 7 4 回j e a nl er o n d d a i e m b e r t ( r1 7 1 7 - i7 8 3 ) ，lc a m o t ( e1 7 5 3 - 1 8 2 3 ) ，sdp o i s s o n ( e1 7 8 1 - 1 8 4 0 ) ，h n a v i e r 低 申请同济大学硕士学位论文 第一章引言 1 7 8 5 1 8 3 6 ) ，gc o r i o l i s ( f ，1 7 9 2 18 4 3 ) 。其中，l e i b n i z 学派，n e w t o n 学派和c a r t e s 学派之间 的辩论可参考文献 3 】。作为刚体碰撞的基本模型，至今，n e w t o n 以及p o i s s o n 恢复系数公式 仍然具有很强的生命力【4 1 。 对于现代非光滑力学研究来说，最重要的两篇论文为gd a r b o u x 5 l 和j j m o r e a u l 6 】分别 在1 8 8 0 和1 9 8 0 年所作，这两者相距整1 0 0 年。1 0 0 年前，数学家d a r b o u x 主张模拟冲击过程， 并计算系统响应；一个世纪后，一个在凸分析中已有突出贡献的数学家m o r e a u ，应用凸分析 工具，为单向约束力学系统的建模问题，确立了一般的框架，他的著作不仅在数学理论方面， 而且在数值仿真方面都具有重要的意义。 非光滑力学主要涉及机械工程和应用数学领域，与此相关的文献中，有关机械领域的书 籍主要有三本：1 6 7 3 年由z m a r i o t t e ( f 1 6 2 0 1 6 8 4 ) 撰写的关于冲击理论的书：以及最近出版 的两本，分别由r m b r a c h 【7 1 和f p f e i 仃e r ，c g l o c k e r l 8 1 所撰写，前者针对刚体碰撞，以 及在许多实验支持下，得到类似n e w t o n 恢复系数：后者通过所谓的l c p 问题和p o i s s o n 推测， 将单向约束系统动力学公式化，并分析了许多带摩擦碰撞系统的工程实例，实验结果证实了 理论计算。 与应用数学领域相关的文献：在【9 中，v v k o z l o v 和d v t r e s h c h e v 提出一个关于弹球 动力学的详细分析：在【1 0 中，m m o n t e i r o m a r q u e s 讨论了s w e e p i n g 问题的存在性，虽然【9 ， 1 0 】也是针对动力分析，但这两者都属于应用数学范畴：b a b i t s k y i 1 发展了碰撞振子 ( v i b r o i m p a c ts y s t e m ) 的系统理论：d d b a i n o v 和p s s i m e n o v 在【1 2 】中讨论了碰撞动力系 统的稳定性：书【1 3 覆盖了许多主题，其中值得一提的是，它最早涉及高速碰撞问题：在 j o h n s o n i m j 的书中，有一章关于有趣的碰撞动力学问题，它们涉及变形和波效应；较早的文献 有p 6 r 色s t ”j 和m o r e a u1 1 6 l 的著作。 自上个世纪下半叶起，单向约束动力系统的研究从简单走向复杂，它要求研究者更好地 了解数学工具：另一方面，冲击和摩擦的宏观模型仍然是一个积极的研究领域。目前，国外 的研究者感兴趣的课题大致分为以下8 判5 】： ( 1 ) 研究碰撞动力学方程特性，即解的性质( 存在性。唯一性，初始条件与参数的依赖 性，稳定性) ： ( 2 )单向约束系统运动的总体研究。它包含对于带有多重单向约束的多体系统的复杂非 光滑动力学的专门研究，其重点在于解的唯一性，联立问题以及可能的接触破坏； ( 3 ) 通过对两刚体之间碰撞宏观规律的研究，提出新的接触模型，作为对一些基本定律， 如n e w t o n 以及p o i s s o n 定律的扩充。特别是有摩擦碰撞的恢复律； ( 4 ) 基于h e r t z ，c a a a n e o m i n d l i n 理论，有限元方法等，发展新的接触碰撞模型： ( 5 ) 研究作为离散时间系统( 庞加莱映射) 的碰撞系统动力学。调查v i b r o i m p a c t 系统 的复杂动力学( 周期轨道，分岔，混沌性质) ，该系统可以模拟带有间隙的机械系 统。这些工作的核心在于系统的复杂性取决于非常简单的连续及离散事件动力学相 结合的结果： ( 6 ) 单向约束动力系统的数值算法研究以及通用计算软件的编制。目前主要算法涉及所 谓的并协性问题( 线性并协性问题( l c p ) 用于平面系统：非线性并协性问题( n l c p ) 用于空间系统) 。这个算法对了：凋奄基于经典碰撞摩擦律建立的单向约束动力系统 是一个有力的= 具： 2 申请同济大学硕士学位论文 第一章引言 ( 7 ) 发展实验手段和装置，用于验证解析方法得到的模型和结果： ( 8 )当系统与环境重复碰撞时，设计控制策略改进系统力学性质：或采用“碰撞控制器” 稳定系统。 非光滑动力系统作为一个年轻和活跃的分支，目前在数学界也得到相当的重视， “d y n a m i c a ls y s t e m s ：a ni n t e r n a t i o n a lj o u r n a l ”朵志2 0 0 2 年出版了有关专辑，其征文内容包栝 以下几方面： ( 1 ) 在非光滑动力系统中，解的分析和分类，以及分岔： ( 2 ) 对于非光滑系统仿真的数值分析； ( 3 ) 在物理和工程系统中，非光滑和不连续事件的建模； ( 4 ) 在应用问题中，特殊的分段光滑和不连续系统动力学特性。 根据以上分析，非光滑力学研究可以归纳以下三个主要主题：接触一碰撞问题：碰撞系统 数学建模与离散动力学研究；多重单向约束多体系统的离散事件建模和并协性问题。 单向约束系统是非光滑力学的一个重要亚类，单向约束系统其本身又有两个主要亚类：单 边接触多体动力学及索结构。 其中对于单边接触多体动力学这一亚类研究很多，理论比较成熟，如接触碰撞系统。对于 有f ( f = l ，s ) 个接触点的碰撞问题， im ( q ) q + h ( q ，口) 一q o ) + w 7 a = 0 i z ( g ) 0 ，江1 , 2 ，j 在给出的时刻，z0 0 ) ) ：o 并且娑口( ，) ：0 ，那么根据d e l a s s u s 问题的第一问题，人 们想知道在碰撞时，哪些接触将保持，哪些不保持。d e l a s s u s 指出当表面无摩擦时，一般在2 个可能性中，只有一个解是真实发生的。但当j 1 时，搜寻这唯一解需要花费大量的计算 机时间，有时候甚至不可能实现。为了解决这个困难，m o r e a u 将不等式约束等价为并协性问 题( c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) ，并导出其优化解1 6 阢1 引。 当相对位移厂( q ) 0 ，接触力五，= 0 ： 当相对位移z ( g ) = 0 ，接触力 0 ， 可以写成线性并协性( l c p ) 问题： 0 m o r e a u 指出，线性并协性问题( l c p ) 与系统l a g r a n g e 乘子相关，具有一个唯一解。计 算l a g r a n g e 乘子允或加速度孕的问题可通过g a u s s 原则达到。即是说，唯一的加速度是一个 g a u s s 函数的最小值。这属于动力学问题，它们能通过线性并协性( l c p ) 和非线性并协性 ( n l c p ) 问题公式化，并协性条件的广义形式能在l o e t s t e d t 19 1 ，b a r a f f t 2 0 j 和m o r c a u l 2 1 l 中找到， 3 0 o = 一 一， ，一 ，l 申请例济人掌硕士= 学位论文第一章，j l青 并协性公式提供了良好的数值分析j 二剐2 2 l ；在实际应用中，线性并协性( l c p ) 和非线性并协 性( n l c p ) 阿蘧的重簸结果埔数值计算方法尽可能有效解决盼2 。 2 3 t 鬟。 对手索结构，囱予索只能承受挝力，獭索紧绷霹，它对缩构产生张拉你用，弱当索发生松 弛现象，它对结构的作用力将为零，因此索对结构产生的约束力属于单向约束。 当索变形( q ) 0 ，索对结构产生的约柬力v 。f ( q ) a 0 ； 当索变形厂( g ) 0 ，索对结构产生的约束力v 。f ( q ) x = 0 ， 因此，不同于碰撞接触问题，索结构不能写成线性并协性( l c p ) 问题。 相对予单边接触多体动力学，索结构单向约束问题，目前研究相对较少，相关文献也很少。 位由予索结构应翊j “泛，井有事实表明，索结构在外激励作用下可能发生松弛现象，从而 改变结构的约束条件，可能造成结构破坏，因此有必要将索作为单向约粜考虑，分柝结构的 菲光滑性。 1 3 本文的工作 本文所做的工作主要有： ( 1 ) 以具有s 根吊索，下部悬挂结构型式为梁的简单悬挂结构为研究对象，对结构下部 有外支廛约束和无终支座约柬嚣群情况，分别建立菲光港动力学模型； ( 2 ) 为了在2 5 个可能产生的约求条件中确定寞实约束条件，本文将索结构单向约束闯题 等价为优化决策问题，再运用神经网络决策乎段。确定每一步真实发生的约束组合： ( 3 ) 对基本的龙格一库塔法进行修改，提滋适羽予单向约柬系统的数值方法，并编制 m a t l a b 程序，求解结构动态响应； ( 4 ) 将简单悬挂结构的非光滑动力学模型，以及所建立的神经网络算法，推广到下部悬 挂结构整式为二维的惫挂麓盖维榴； ( s ) 运震编豢| l 懿鹾a t l a b 程序，求解惹挂屋箍缝构的各动态璃应。 本文的主要贡献是将单边接触多体动力学发展到豢结构，建立索结构在外激融作羯下豹 非光滑动力学模型：为了确定每一时刻真实发生的约束条件，本文将单向约束问题等价为优 纯决策阁题，再发展魏神经隧络决策手段，扶焉确定每一步粪实发生的约束缝合：对基本的 龙格库塔法进行修改，提出适用予单向约束系统的数值方法，并编制m a t l a b 程序，求解结 构动态嘀应。 索结竣作为擎闫约束，考虑结构熬! | # 光滑牲，是一个内容丰富复杂麴润题，盘予时闻和本 人能力有限，对索结构的非光滑问题只做了有限的分析研究。今后尚可在以下几点做进一步 的研究： ( 1 ) 本文只对结构的垂肉运动馋了分析，可进一步考虑结橡其缝方趱静运动： ( 2 ) 考虑索结掏在随机外激励作用下的动态响应： ( 3 ) 确定结构各参数对结构非光滑性的影响，为索结构的设计做指导。 4 申请同济大学硕士学位论文第二章璀奉理论 第二章基本理论 2 1 一类非光滑动力系统 一类非光滑系统具有如下一般形式4 1 ： 文= g ( x ，”) f ( x ，f ) 0 ( 2 1 ) 式中，x r ”是系统的状态矢量，u r ”是输入矢量，而矢量函数厂( - ，) 表示施加在状态上 的单向约束。系统( 2 1 ) 的一般性质是非光滑的，其非光滑性是由于当轨线达到表面厂( x ，) = 0 时，系统中物体发生碰撞而产生的，而约束条件要求轨线被限制在亚空间= 扛：f ( x ，) o ) 之中。在系统( 2 1 ) 中，一个重要的亚类是单向约束的力学系统，它的动力学方程可以作如 下描述： 百= g ( q ，口，“) f ( q ，) 0 ( 2 2 ) 式中，q r ”是系统的广义坐标矢量，甜是输入或控制器，该控制器一般包含一个带有 三= z ( z ，q ，口，t ) 的，状态反馈环u = u ( q ，口，z ) 。属于这一亚类的重要系统有物体之间具有相 对运动的多体系统。 2 2 高斯函数 质点系动力学方程： 构造高斯函数： m ，玩= e g = 车去( 翔耵 5 ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 申请同济大学硕士学位论文第二章基本理论 根据高斯最小原则，得旦呈里：0 ， o q o 掣_ _ 2 n ( f 哪。) o q it 因此，证明了所构造的高斯函数正确。 对于非完整约束系统 构造高斯函数： 研詹= e ：黧“吼烈g ) _ q 。) + r 八们元 ( 2 5 ) 【厂( g ) 0 躐) = v 轵m - l ( 妒轵拼+ a rv q f ( q ) r m - ( q ) z + 如n q 石 其中，z = - c ( q ，口) 口一g ( q ) + q ( f ) 。 丽o g = v q f ( q ) r 川g ) v ，f ( q ) 2 + v 川( 咖+ 丢( v 轵砌7 口 = v g ) ，奇+ 丢( v 以g ) ) 7 口 ：幽 d t 2 根据高斯最小原则，得罂：o ， o a , 因此，验证了所构造高斯函数的正确性。 f ( q ) 0 高斯函数在优化问题中为目标函数，优化问题的关键在于构造正确的高斯函数。 6 申请同济大学硕士学位论文第二章 基本理论 2 3 优化问题 所谓优化问题，是求解满足一定约束条件下的目标函数的极小值问题。单向约束问题可 以等价为优化问题来解【2 6 1 ，考虑多重单向约束多体力学系统： 警婴向( q , i t ) - q ( d 埘_ 划( 2 - 7 ) 【，( g ) 之0 ，i = 1 , 2 ，m 约束厂( g ) 0 。对于刚体力学系统，w r = vf ( q ) ，等价的优化问题，可写成有约束优化问 题： m 脚i n l 2 2 rv v 几) 7 m 一1 ( g ) v g m ) 五 ( 2 8 ) 或无约束优化问题： m 脚i n l 2 2 r v ( g ，7 m - i ( q ) v q 八g ，a “7 v ，八q ) t m i ( g 弦+ 曩。八砌7 司c 2 柳 其中，z = - h ( q ，口) + q ( t ) 。 约束方程： v 。( g ) 7 m 一( g ) v q ( g ) 旯+ v q ( g ) 7 m 。1 ( g ) z + 丢( v 。厂( g ) ) 7 口o ( 2 1 。) 2 4 神经网络 人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ，简称神经网络) 是在物理机制上模拟人脑信息 机理机制的信息系统【2 7 3 3 】，它不但具有处理数值数据的一般计算能力，而且还具有处理知识 的思维、学习、记忆能力【3 4 1 。 按其信息流向来分类，神经网络可被分成前向网络和反馈网络。本文将使用反馈式神经 网络。反馈式人工神经网络的结构如图2 1 所示【3 5 3 6 1 ，对于单层全反馈网络，每个神经元的 输出都与其他神经元的输入相连，它的输入与输出关系为： 一= w f + x = g ( s j ) 巧= f ( x j ) 7 ( 2 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) 申请同济大学硕士学位论文 第二章 基奉毽论 这里f ，分别为l ，2 ，s ，x ，为第_ ，个神经元的输入状态，一第个神经元的输出状态， k ，z ，分别为雕络联接权襄输入 型2 1 反馈式蜒终 嘲于反馈网络的输缴同上一时刻的状态有关， 果t = s ，并且厂( 0 ) 是一个二值的便函数，一 因此x ；的作用比较突出，在反馈网络中如 = s g n ( x j ) ，那么这种网络为离散型的反馈 d x 网络。如果式( 2 - 1 2 ) 用状态方程来表述x ，= 一寻+ s ，矿，= f ( x ，) 中厂( ) 为一个连续单 。 缓 。 调上升的有界函数，这类网络为连续型的反馈网络。反馈式的单层网络有多种，这里主要讨 论由h o p f i e l d 提出的一种网络，称为h o p f i e l d 网络。h o p f i e l d 网络又：； ：为两类，对离散型的称 为d h n n ( d i s c r e t eh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k ) ，对连续型的称为c h n n ( c o n t i n u o u sh o p f i e l d n e u r a l n e t w o r k ) 。这秘单层网络输入与输出的神经元数是相同的，对于一个由s 个神经元组成 的反馈网络，在某一时刻t ，其状态矢量x = ( 五，x 2 ，x ，) 。，x r 5 ，它的输出矢量为v ， v = ( k ，圪，t ) 1 ，v 震5 ，翔x ( ) 。矿( ) 来表示。透过式( 2 - 1 1 ) 、( 2 一1 2 ) ，壹矿( f ) 褥 下一时刻的x ，即x ( t + 1 ) ，而x ( t + 1 ) 又引起v ( t + 1 ) 的变化，这种反馈演化的过程，使状态 矢量x 以) 随时间发生变化l ”j 。 1 9 8 2 年h o p f i e l d l 2 鹫将能量函数弓| 入神经网络，使得网络稳定 垒能有了鹗确的判据阳。 对予状态方程缱萁输出： 它的麓量函数定义隽： q 鲁= 专卜车k _ + “叱，s 陋m ， g 中请同济大学硕士学位论文第二章 基本理论 她去r = 吾+ 军。 lr 厶 e 一圭李李_ 一李+ 李去影f j ( 懒 ( 2 - 1 4 b ) = 一专_ 一+ 莓寺叫( 叩) 砌 ( 2 - 二j l 、； 人为地设计神经网络之间的联接权矩阵和输入，把优化问题中的目标函数、约束条 件与h o p f i e l d 的能量函数联系起来，那么电路达到的平衡点就是能量函数的极小值，也是优 化中满足约束条件下的目标函数的极小点，这就可以利用人工神经网络来完成优化问题，由 于人工神经网络是并行计算，其计算量不随维数的增加而发生指数性质的“爆炸”，因而对于 高速的优化处理特别有效【3 5 1 。 下面给出能量函数设计的一般方法。 设优化的目标函数为f ( x ) ，x r 5 为人工神经网络的状态，也是目标函数中的变量， g ( x ) = 0 为约束条件，优化问题就归结为满足约束条件下使目标函数最小，从而设计出能量 函数e ： e = ( ) f ) + c l g ( x ) i 0 ( 2 - i 5 ) 这里，c k ( x ) i 也称为惩罚函数，因为在约束条r f 不能满足时，c k ) i 值将很大，造成e 很 大，这意味着一定要满足约束条件。 若e 的全导数要小于零，则要求满足： _ x - i ：一8 e i ( x 一) ( 2 - 1 6 )一= = 一 d la x ： 因为i d e = 莩瓦o e 百d x f = 军一( 鲁) 2 。，按照h o p m 涨量函数的要求，只要e 在负的方 向有界，e e m i n ，同时兰答o ，则系统最后总能达到e 最小且堕：0 的点，同时又是 d td t 系统的稳定点d x _ i l ：0 。 a r t 对于目标函数f ( x ) ，一般总取一个要求值和实际值之间的误差的平方或绝对值，这样 f ( x ) 总是大于零的，而约束条件也可以设计为一个大于零的数。 9 中请l 卅济人学顺l ：学位论义 第二章崔本理论 h o p f i e l d 能量函数不是直接与状态变姑x 有关，而是与输出变链v 直接有关，但输出变量 y 与x 的关系为： 或 ：f ( x ，)a v _ l , ：f - ( x ，) o x 只要旱竺 o ，f ( x ，) 在e 函数中采用什么形式，其结果都是相同的。 苏 具体设计步骤如下： ( 1 ) 根据要求的目标函数，写出能量函数的第一项( 石) 7 ( 2 ) 根据约束条件g ( x ) ，写出惩罚函数，使其满足约束条件时惩罚函数最小，作为能 量函数的第二项： ( 3 ) 加上一项去f f 一( 刁) d 7 7 ，这一项是人为的，因为在神经元状态方程中，存在 项一砉，是人工神经网络电路设计中产生的，为了使设计优化的结果能在电路 中得以实现，在能鼙函数中加上了这一项上f f 一( 7 7 ) d ，7 ，这是一个正值函数， 表现出在边缘上能量大，并且k 值越小，能i 量r 值也越小，在运算发大器放大倍数 足够大时，又可忽略，因而它对能量e 和优化问题的结果影响不大： ( 4 ) 根据能量函数e 求得状态方程，满足式 拿：一_ o e ( x ) ( 2 - 1 6 ) 一= = 一一 d l a ) c 。 ( 5 ) 根据状态方程，对照公式( 2 1 4 ) 求出k ，i j ，i ，分别为1 ，2 ，s 。 1 0 鱼西 啪 l ，_ 趴 邓 呶百 彤一钆 u 0 。 下 丝以 弘 申请同济大学硕士学位论文 第三章 简睢悬挂结构的非光滑模型建- i i 第三章简单悬挂结构的非光滑模型建立 本章的研究对象是由上部承重索、下部悬挂梁、s 根联系吊索组成的简单悬挂结构。分别 在下述两种情况下对结构建立非光滑动力学模型： ( 1 ) 下部梁有外支座约束： ( 2 ) 下部梁无外支座约束。 并将索结构单向约束问题等价为优化决策问题，建立神经网络算法判别结构的真实约束 条件。对基本的龙格一库塔法进行修改，提出适用于单向约束系统的数值方法，并编制m a t l a b 程序，对模型进行算例分析。 3 1 结构建模 对于整体结构，首先引入以下几个假定： ( 1 ) 结构较扁平，其垂度相对于跨度是微小的： ( 2 ) 仅考虑平面内竖向振动： ( 3 ) 外激励作用在下部悬挂梁上； ( 4 ) 所有外支座均为固定铰支座。 3 1 1 下部悬挂梁有外支座约束 首先考虑下部悬挂梁有外支座约束的情况，研究对象如图3 1 所示。 x 图3 i有外支座约束的简单悬挂结构 由图3 1 可得第f 根联系吊索轴向变形为： a i = m o w 一u ，( 3 1 ) 式中，m o 一吊索静伸长：w 一梁的弹性变形：坼一索的弹性变形。 申请同济大学硕士学位论文第三章简，毪悬挂结构的非光滑模型建立 1 下部悬挂梁的运动方程 均匀梁的振动方程为： 聊占拿+ 日窘+ c i 讹a s w 。= 砉胜坝m p 2 ， 式中，w 是梁的挠度，m 占、e 、1 和c 分别为粱的单位长度质鼍、拉压弹性模量、断面惯 性矩及内部粘性系数：k 为吊索刚度，工表示各吊索的位置，s 代表吊索的根数；尸为外荷 载。 假定外部支座约束均为固定铰支座，下部梁作为两端简支梁考虑。双简支梁边界条件为： 在此，令梁的弹性变形为： 蚋) - w 归窘k 害卜。 ( 3 3 ) w ( x ，f ) = 力( 石) 吼( ，) = ( x ) q ( ，) j = l ( x ) = 协( x ) 欢( x ) 谚( x ) j q ( f ) = q l ( f ) 9 2 ( f ) q j ( t ) r 式中，q j ( t ) 为各阶广义坐标；力( x ) 为各阶弹性振动模态，令 删= s i 呼x ( j = 1 ，2 ，3 ) ( 3 4 ) 将式( 3 4 ) 代入式( 3 2 ) ，并对各项左乘7 ( x ) ，沿梁全长积分，并利用振型正交性，于是得到 第j 阶的梁振动微分方程： 铆见嘞2 旷喜等f j + 老啦! 2 ，3 ) 仔5 ， 式中，m 占= m b 胁( x ) d r ； 2 承重索的运动方程 索振动方程为： ”c 唇： 1 2 1 c 8 8j2 岽： e = f 力( x ) p d x 。 申请同济大学硕 学位论文第三章简单悬拽结构的非光滑模型建立 豫露一h u 一舰= x a l , 5 ( x - x , ) ( 3 - 6 ) i i i 在此，u 为振动状态索单元的垂向位移，聊。? 、日和肼分别为悬索单位长度质量、索的水 平张力及水平力的变纯1 4 2 i 。 索结构振动冀基本振型为反对称振型，本文仅对索反对称振动进行研究。索在微幅振 动时，其反对称掇型与对称质量分布正交，因此索力变化埘等于0 f 孙。于是，索振动微分方 程简化为： 边界条件为： m c 蠢- h u - e k a i a ( x 一蕾) j = i u ( o ，) = u ( t ，f ) = 0 在此索仅考虑反对称振黧，令索弹 生变形为： u ( x ，o = ( x ) v 2 。( ) = 甲( x 罗( 磅 n w l 甲( x ) - k ( x ) ( x ) 。( x ) 】 y ( f ) = i v y ( t ) v 4 0 ) v 2 n ( t ) r 令索振动模态为： c ，2 。 ) = s i n 至工( 以：l ，2 ，3 ) 。将式( 3 9 ) 代入式( 3 7 ) ， 弹性振动方程，可得第n 阶的索振动微分方程： 0 7 ) ( 3 8 ) 岱一9 ) 如同离散梁 v ”2 n + 。2 = 窆鼍坐( 删，2 ，3 - ) ( 3 - 1 0 ) # ；i w c 2 ” 式孛，收：。= 聪r 【2 n 2 ( x ) d x ； 3 结构整体方程 在此小节中，利用以上各小节的结果推导如未考虑结构非光滑性的整体结构运动方程： 篱j 2 芎8 j 8 囊j + c o a j 2 q j 2 喜等卧卺 ”订2 n 2 n 拦喜警 1 3 ( 歹= 1 , 2 ，3 )( 3 11 ) ( ，l = 1 , 2 ，3 ) 辱 丝， i t 则 申请同济大学硕士学位论文 第三常简单悬挂结构的非光滑模型建立 令y = 【譬l 曼露唿毪毪。 ，詹考虑结构= | # 光滑性的整体结构运动方程整理为： 其；一p 址= 屏= = 战一 y + _ - - y 七f 2 y = 荽k a l 专f p q ：阻 l 饯= 厶五。 k 谚( 五) 政( 薯) ( 墨) 磊( _ ) 秀( ) 鞔( 誓) 螽( 为) 置 m 疗i 咖( 一) k 掰疗， 妒2 ( 麓) k 歹+ 嚣) x 毒 ( 3 一1 2 ) 蓦8 ，q 町为_ ，阶对角阵，对角阵元索分别为2 靠c o n ，2 ：q c 。为珂阶对角阵，对角阵 元素为c o c 2 。2 ：蛾为月阶零矩阵；石。为门阶零列阵。 3 1 2 下部悬挂梁无夕卜支座约束 考虑研究对象如图3 2 所示的下部悬挂梁无外支座约束情况。 第i 根联系吊索轴向变形为： 厶t = o 一以一磁一辑( 3 1 3 ) 式中，f i o 一吊索静伸长；只一梁的刚体运动，且m = y c + ( 婶- ，2 ) o ，其中，虬一 刚体垂向平劝质心位移，秒一刚体绕质心转动角度；彬一粱的弹性变形：蝇一索的弹性变形。 1 4 ) ) 捧 肘 + + “o r-，j 撑(c l ) ) 牲 一 + + o 。u 1；，j 阡 n y + 毒x ，h 1，；，； 、，、， 萎 弋；， 开 n 2 2 娩 定一 k 一 一 啪一；啪一雠一 概一峰：型眺一 k 一 2 、一 汰蚝；如一 沙 足一 2)一融；如一 妙一 = 吆 1；，；，；。上 霉：c一魏 申请同济大学硕士学位论文 第三帝 硒惟恳挂结构的j 光滑模型建立 图3 2 无外支座约柬的简单悬挂结构 x 1 下部悬挂粱的运动方程 均匀梁的振动方程为： 卅等+ e 1a 萨4 w + c 嘉= 川主k a i , 砸吲+ 尸 ) 当悬挂梁无外支座约束，可考虑为两端自由梁，边界条件为： 氯t 。= 氟，