（应用数学专业论文）非线性演化方程组的广义条件对称和精确解.pdf

西北大学硕士学位论文 非线性演化方程组的广义条件对称和精确解 摘要 非线性现象广泛地呈现在物理、化学、生命等领域。因此，对于描述非 线性系统的非线性方程的求解研究成为研究者的重要课题之一。在非线性方 程的约化和约化解方面，对称群法已被证明是寻找非线性偏微分方程的精确 解的有效方法，例如经典l i e 对称方法、非经典对称方法、广义条件对称、 直接法等等。我们知道现实世界中许多模型不单单只是单个的演化方程，更 多的是以方程组的形式出现的。因此有很多文章是去讨论方程组解的存在 性、唯一性、渐近性，而对于方程组精确解的讨论，相关的文章却很少。对 于一般的非线性方程组来说，只有少部分文章用经典的l i e 对称考虑了非线 性偏微分方程组的对称群及精确解，或者用广义条件对称对非线性偏微分方 程组进行对称约化和分类。本文将由z h d a a o v ，f o k a s 和l i u 提出的广义条件 对称运用于研究非线性演化方程组，并寻求到某些非线性演化方程组的精确 解。 本文将容许特征为 6 1 ( u ，t ，) = 魂一入( 牡，移) 如( u ，钉) = v t 一叩( 钍，口) 的广义条件对称运用到两类非线性演化方程组中来研究非线性演化方程组在 上述广义条件对称下的精确解，并给出例子。 本论文的主要结构如下： 第一章给出论文的引言； 第二章列举了本文所需要的对称群法和广义条件对称的预备知识； 第三章讨论几类非线性演化方程组的广义条件对称和其精确解； 第四章总结全文并讨论了问题的推广。 关键词：非线性演化方程组；广义条件对称；精确解 1 西北大学硕士学位论文 e x a c ts o l u t i o n s 锄dg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r i e 8 f b rs y s t e h 培o fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a b s t r a c t 1 1 h en o n l i n e 盯p h e n o m e n a 丽d e l ya p p e a ri nm a n y6 e l d s ，s u 出嬲n a t u r e ， 8 0 c i e t ya n ds oo n a sar e s l l l t ，t od e a l 丽t ht h en o n l i n e a re q u a t i o 璐t h a td 争 s c r i b et h en o n l i n e a rs y s t e m sb e c o m e so n eo ft h em a i na n dh o tt o p i c sf o rt h e r e s e a r c h e r s i “sw e l l - k n o w nt h a ts y m m e t ug r o u pr e l a t e dm e t h o d sh a v eb 咖 p r o v e dt ob ee 仃e c t i v et os e e ks y m m e t 珂r e d u c t i o n 8a n d e x a u c ts o l u t i o 瑚o fn o n - l i n e a rp a r t i 甜d i 能r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) ，w h i c hi n c l u d et h el i e sc l 鹪s i c a l m e t h o d ，t h en o n c l 蠲s i c a l8 y m m e t wm e t h o d ，t h ed i r e c tm e t l l o d ，t h eg e i l e 卜 址z e dc o n d i t i o n a ls y m l e t r y ( g c s ) i n e t h o da n d8 0o n w ，ek n o wt h a tt h e m o d e l sf r o mt h er e a lw o r l da r es i n g ke v o l u t i o ne q u a t i o i l s ，鹪w e l la s8 y 8 t e m 8 s ot h e r ea r em a n yp 印e r sd e v o t e dt ot h ei 1 1 v e s t i g a t i o no fe ) d s t e n c ea n du i l i q u 争 n 嘲p r o b l e 脚，a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o l l s ，a n ds oo n o nt h e o t h e rh a n d ， t h e r ea r eo i l l yf e wp a p e r sd e v o t e dt os e e kf o re x a u c ts o l u t i o 瑚o ft h es y s t e i n s0 f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s f 脚p a p e r s 跗ec o n c e r n e dw i t ht h es y m m e t w r e d u c t i o na n dt h ec o n s t r u c t i o no fe x a c t8 0 l u t i o no fs y s t e m 8b yl i es y m m e t 巧 a n dg e n e r a l i z e dc 0 n d i t i o n a ls y m m e t ui nt h i sp a p e r ，w eu t i l i z et h eg e n e r a l i z e d c o n d i t i o n a ls y m m e t r yt os t u d ys y s t e m so fn o n l i n e a re v 0 1 u t i o ne q u a t i o 璐a n d w eo b t 越ns o m ee x a c ts o l u t i o 瑚o ft h ec o r r e s p o n d i n gs y s t e m 8 t 妇p 印e rw e 印p l yt h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a l8 y m m e t 珂 6 1 ( t 正，秽) = 地一a ( u ，口) 如( 乱，口) = 仇一町( 牡，u ) t os t u d y 霞归t e m so fn o i l l i n e a re v 0 l u t i o ne q u a t i o 璐w eo b t a i l ls o m ee x a c ts o l u - t i o 璐o ft h ec o r r e s p o n d i n gs y s t e i 璐a n d 西v es o m ee x 锄p l 髑 t h er e m a i no ft h i sp a p e ri sa sf o l l i d w s ： i nc h a p t e r1 ，w e 舀v et h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp 印e r i nd l a p t e r2 ，w ep r o v i d et h ep r e l i m i n a 叮l 【i l o w l e d g eo ft h es 瑚m e t i ym e t h - o d 8 i nc h 印t e r3 ，w e 印p l yt h eg c st os y s t e i i l so ft h ee v o l u t i o ne q 嘣i o 瑚趿d c 0 瑚t r u c ts o m ee x p l i c i ts 0 1 u t i o n st ot h ec o 瑚i d e r e d8 y 8 t e 玎【1 s 2 西北大学硕士学位论文 i nc h a p t e r4 ，w eg i v et h ec o n c l u d i n gr e m a r k so nt h i sw o r k k e yw o r d ：s y s t e m so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ；g e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a l s y m m e t r y ；e x a c ts o l u t i o n s 3 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 荽位论文拓；签名：三越主 指导教师签名：2 墼鎏垒垦 如) 3 年6 只| 。b譬年只f 3b 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：杀晚j 亍 砂口亨年厂月。日 西北大学硕士学位论文 第一章引言 在线性理论日臻完善的今天，非线性科学已经蓬勃发展于各个研究领域而成 为研究焦点。非线性现象也广泛存在自然科学，工程技术甚至社会科学等众多领 域中。特别是本世纪6 0 年代以来，非线性现象的研究有了巨大的进展，应用也越 来越广泛，进而形成研究非线性现象普遍规律的学科非线性动力学。它的研究对 象主要包含分形、混沌和孤立子等方面。由于这些非线性现象大部分可以归结为 求解非线性方程，其中包括非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性差分 方程和函数方程等等，因此对非线性方程的研究成为广大数学、力学、物理学、 化学、地球学、生命科学和工程技术等科学工作者的重要研究课题。不同于线性 方程，由于线性叠加原理的失效，还没有办法给出本质上非线性的非线性系统的 一般解。因此，求解非线性系统还没有统一的方法，目前仍处于八仙过海，各显 神通的阶段。 在研究非线性科学中，非线性演化方程的求解和定性分析占重要地位。对于 非线性演化方程的研究，具有许多重要的理论研究和应用研究方向，其中精确解 的研究是其中最重要的研究方向之一，在实践中人们也建立了许多行之有效的方 法。一方面，由于精确解包含了相关系统的精确信息，因此在分析各种物理现象 时起到了至关重要的作用；另一方面，精确解为控制数值解的精确度也提供了有 用的信息。与对称群相关的方法是研究非线性演化方程的精确解的有效方法，无 论由其得到的显式解还是隐式解均具有重要的理论意义和实用价值。 对于单个的非线性方程，人们已经建立和发展了各种各样的求解非线性方 程的方法但求解非线性方程组的方法却很少。对称群法已经被证明是寻找非 线性偏微分方程及方程组的对称约化和精确解的有效方法。事实证明，绝大部 分的非线性微分方程仅仅容许各种各样广义的对称群，例如条件对称群，广义 条件对称和非局部对称群。求解偏微分方程对称约化的古典方法是无穷小变换 的l i e 群法f 1 1 。l i e 群，也称为不变群或对称群，是群这个代数概念与流形这一几 何概念相结合的产物，其强有力的无穷小分析已被广泛应用到各种数学物理和 力学之中。虽然李点对称方法【2 5 】已经完全代数化，但该方法往往会引入繁琐 的代数运算和辅助运算。有些很重要的非线性偏微分方程没有好的李对称群， 例如非线性演化方程只有很差的李对称性。因此，研究李对称方法的推广是 很有必要的。基于古典李群法的推广法陆续被引进，如非古典法 6 - 1 0 2 4 - 3 0 1 ， - 直接法 1 2 ，2 5 ，4 8 ，4 9 】和广义条件对称( g c s ) 【3 1 4 6 】等等。b l u m a n 1 0 和c o l e 通过在 1 西北大学硕士学位论文 群变换中引入因变量的导数项推广古典李对称方法推广了李群法，提出了非 经典李群法；c l a r k s o n 和k r u s k a 1 2 ，2 5 】开发了一种直接的数学方法用来发现方 程的对称约化，直接法的特点是不需要使用群的理论；在对偏微分方程的约化 给出的精确的数学定义下，z h d a n o v 2 1 等证明了直接法和条件对称方法等价； 由z h d a n o v 1 5 ，2 8 3 0 】，f o k a s 和l i u 1 2 】提出的广义条件对称得到的解一般不能由 古典李群法或条件对称方法求得。 我们知道现实世界中许多模型不单单是单个的演化方程，更多的是以方程组 形式出现的【5 0 5 5 1 。对于方程组的讨论，由于它比单个的演化方程的讨论更为复 杂，因此对它的讨论大部分是关于解的适定性的研究，即去讨论方程组解的存在 性，唯一性，渐近性等。对于其精确解，只有很少的文章去考虑【5 6 5 7 】。对于一 般的非线性方程组来说，只有少部分文章考虑了非线性偏微分方程组的对称约化 分类及精确解 4 0 ，5 4 ，5 5 】。本文将由z h d a n o v ，f o k a s 和l i u 提出的广义条件对称应 用于非线性演化方程组中，并寻找到某些非线性演化方程组的精确解。 2 西北大学硕士学位论文 第二章预备知识 我们首先对几种对称群方法作一个介绍。 ( 1 ) 经典l i e 对称方法 l i e 【1 】首先运用微分方程的群理论构造方程的精确解。该方法是研究偏微分 方程对称的古典方法，一般称之为李点对称方法或无穷小变换李群方法。l i e 2 5 】 计算了一维热传导方程的最大不变群并运用该对称群构造了方程的精确解。 h p l i e 对热方程进行了对称约化。从上个世纪7 0 年代后期开始，对称约化成为求解 非线性偏微分方程应用最广泛的工具。 定义1 方程组 p ( z ，牡，警，扩，孑) = o ，= 1 州2 一，帕 ( 2 1 ) 允许单参数李变换群 矿= x ( x ，u ；g ) ， 矿= u ( z ，u ；s ) ， 即y = 矗+ 矿赤是( 2 1 ) 的古典对称当且仅当对每一个= 当f p ( z ，u ，警，警，警) = 0 ，p2 l ，2 ，m ) 时， ( 2 2 ) 1 ，2 ，m ， 俨f u ( x ，u ，警，扩，警) = o ，口= 1 川2 一，m ) ( 2 3 ) 在f u ( x ，让，u ，u ，) = 0 的条件限制下( 2 3 ) 可以化为一个关于“，u ，罂，磐 - q q 的多项式方程组。由u ，u ，u ，u ( 对固定的z ) 取值的任意性知，要使方程 1z g 组( 2 3 ) 恒成立，每一个多项式系数必须独立地消失。这样就得到了关于( n + m ) 个函数6 ( z = 1 ，2 ，n ) ，7 1 ( x ，让) ( i = 1 ，2 ，m ) 的微分方程组，称之为决定方 程组。解该方程组就俨( z ，u ，u ，u ，札) = 0 可确定方程组允许的李点对称群。 1z q 一般说来，决定方程组是一超定系统，可能只有平凡零解。虽然李点对称广泛地 应用于各种非线性偏微分方程的研究中睁7 】，但该方法往往会引入繁琐的代数运 算。有些很重要的非线性偏微分方程没有好的李对称群，例如非线性演化方程只 3 西北大学硕士学位论文 有很差的李对称性。因此，研究李对称方法的推广是很有必要的。基于古典李点 对称的各种各样的对称群推广方法逐渐发展开来。 o v s i a n n i k o v 8 提出了部分不变解。n o e t h e r 9 提出了l i e - b a c l d u n d 对称方法， 也可称之为广义对称方法p 5 】b l u m a n 等人【1 0 】提出了条件对称方法。也可称之为 非经典对称方法不同于对称的思想方法，c l a r k s o n 4 7 - 4 8 $ 1 1 k r u s l m l 1 2 提出了直 接方法。f o k a s 和l i u 1 3 ，1 4 】以及z h d a n o v 1 5 提出了广义条件对称方法，一般也可 称之为条件l i e - b a c l d u n d 对称方法。 ( 2 ) 一般对称方法 e n o e t h e r 第一个认识到可以通过在群变换( 更确切地是无穷小生成子) 中引入 因变量的导数项推广古典李对称方法，一般称这种推广方法为广义对称方法， 即l i e - b 五c k h m d 对称方法 定义2 方程组( 2 1 ) 允许单参数变换群 ： ( 2 4 ) 即y = 矿南是( 2 1 ) 的l i 争b 删吼d 对称当且仅当对每一个矿= 1 ，2 ，m ， 当f p ，u ，警，警，警) = 0 ，p2 1 ，2 ，m ) 时， 俨p ( z ，u ，警，扩，警) = o ，p 。1 州2 一，m ) ( 2 5 ) 对于一个给定的微分方程组，决定他的l i e - b 赫k l u n d 对称的算法本质上和李 点对称的情况一样。一个细微的区别在于方程 p = o 包含有u 的直至物+ 口阶导 数，这就使得我们必须使用f p = o 的导数的结果。即： 现= 0 ，d i d j f j , = 0 ，d i d j 仇p = 0 ( 2 6 ) 方程( 2 6 ) 就是变量z ，u i ，必须满足的条件。 在f p ( z ，u ，警，u ，等) = o 和d i f p = o , d i 磷p 。o , d i d i d k f 。 = o 的条 件t ( 2 5 ) 可v a 被分解，这样就得到了关于函数叩的一个线性徽分方程组，称之 为l i 争b 剃a n d 对称的决定方程组解该方程组就f p ( z ，让，警，警，等) = 0 可确定 方程组允许的l i e - b 苞c k h m d 对称群。一般说来，决定方程组是一超定系统，可能 4 ， 、l ， 2 t o ，l i 、 d+ 、i ， 让口 ， ， u 2 ， u 1 ， u ，z ，i + ，z 让 西北大学硕士学位论文 只有平凡零解。显然，l i e - b i c k l u n d 对称比李点对称方法更为广泛既然无穷小生 成子依赖于因变量的导数。该方法使得对称群方法的应用更为广泛。 ( 3 ) 非经典对称方法( 条件对称方法) 1 9 6 9 年，b l u m a n 和c o l e 1 0 推广了l i e 群方法，提出非经典l i e 群方法( 即条件 对称，或第一型的对称) 。李点对称方法的基本思想是借助于特殊代换( 不变解) 对 偏微分方程进行降维约化。对在李变换群作用下方程具有不变性的要求保证了降 维约化的可行性。除了满足古典方法的约化还存在其它的约化。针对这种约化的 对称( 非经典对称 1 0 1 与非李对称【1 1 】) 被b l u m a n 等人【1 6 】和f u s h u c h y 1 7 分别以条 件对称的定义提出。该方法要求偏微分方程的不变性要限制在群的不变曲面上。 偏微分方程的不变性要限制在群的不变曲面上的条件使得一些没有李变换群 的非线性偏微分方程可以有新的对称群，继而可以求得方程在该弱变换群下的不 变解。后来的研究【1 8 ，1 9 】表明c l a r k s o n 和k r u s k a l 1 2 】引入的直接方法包含在非经 典对称方法中z h d a n o v 2 0 ，2 1 等证明了一给定的偏徽分方程可以约化为含有更少 自变量的徽分方程的充要条件是该方程允许非平凡的条件对称。这样就限制了非 古典方法的应用。 ( 4 ) 广义条件对称 与古典约化方法有别，g a l a l k i t o n o v 2 2 1 引入的“非线性分离变量方法” 和f u s h - c h y c h 等人 2 3 1 引入的“反约化方法”的思想均基于在对一族微分方程的 研究中对某个方程进行约化。1 阶对称形式不能解释这些现象。自然想到用 高阶l i e - b i i c k l u n d 对称表征这些现象的特性。f u s h c h y c h 和z h d a n o v 1 5 ，2 3 】引入条 件l i e - b i c k l u n d 解决了该问题。条件l i e - b i c k l u n d 对称是对l i e - b i c k l u n d 对称的自 然推广如同条件对称是李点对称的推广一样，又称之广义条件对称。 演化向量场矿生成的无穷小变换为 巨燕三兰? j j j 潞， 定义3 演化向量场矿是非线性演化方程t t = k ( t ，z ，u ，让l u n ) 的广义条 5 西北大学硕士学位论文 件对称当且仅当矿( 心t k ( t ，z ，让，锄，) ) i 工n m = 0 其中l 和m 分别表示砘一 k ( t ，z ，仳，撕，u n ) = o 和n ( z ，钍，仳1 ，u 2 ，u p ) = 0 对z ，亡的所有微分序列。 命题1 ( f o k a s 和l i u 【1 3 】以及z h d a n o v 1 5 ) 方程饥= k 允许广义条件x , i 称v 的 充分条件是存在一个函数w ( t ，z ，让，7 7 ) 使得 等= 【k ，明+ w ( t ，z ，让，7 ) ，w ( t ，z ，牡，0 ) = 0 ， l ，d 其中【k ，, 7 1 = 刀7 7 一k7 表示f r e c h e t 导数r w ( t ，z ，t ，7 ) 是t ，$ ，u ，u l 和 r t , d 。r ，珑7 7 的解析函数。 推论：若? 7 与t 无关，方程饥= k 允许广义条件对称矿充分条件是【k ，叩】i ，= 0 = 0 即叼g l ：o = 0 。 该推论基于u t = k 和7 7 = 0 是相容的，它们具有相同的解流形。先求解常 微分方程7 7 = 0 可以得到u 是一个含有不依赖z 的积分常数的关于x 的函数。然后 将u 代入方程u 。= k 确定含有t 的任意函数 同其他对称方法的思想类似由决定方程组确定方程允许的广义条件对称，继 而可求得在该广义条件对称下的不变解广义条件对称方法的一个显著特点是可以 构造非线性偏微分方程的具有重要物理意义的精确解【2 4 】该方法己成功地应用于 寻求某些非线性偏微分方程的精确解和对称约化的研究中【3 2 3 4 】这些解一般不能 由古典对称方法或条件对称方法求解在 3 3 3 5 - 3 7 4 1 4 2 1 中，屈长征等人系统地 研究了只具有弱的李点对称的非线性演化方程，对方程进行了分类，并找到了很 多有重要惫义的精确解， 下面我们给出非线性演化方程的广义条件对称( c c s ) 的一些结果。 假设伽阶非线性发展方程其形式为 u t = e ( z ，t ，u ，u l ，) ，t r + ，z r ， ( 2 7 ) 其中= o 御u o x j ，在一个非李点无穷小变换群下 = u 4 - e n ( t ，z ，u ，t 正1 ，u n ) - 4 - d ( e 2 ) ， 嘭= 仳t + e 现叩 ，z ，t 正，让1 ，i t n ) - 4 - d ( c 2 ) ， 心= + e 见叼( 亡，z ，u ，i t l ，l t n ) - 4 - d ( e 2 ) ， 6 西北大学硕士学位论文 是不变的。上面的群是由一个演化的向量场生成的，7 的特征为 y = 嘞去， (28)k= 0 一 其中我们使用下面的符号 玩= 岳+ 尚u k + l 彘， 甜1 = 见( 珑) ，磁= 1 定义4 演化的向量场生成的特征为( 2 8 ) 是方程( 2 7 ) 的一个广义对称的充要条件是 y ( 饥一e ) i l = 0 ， 其中三是方程的全部微分结果的几何，即 毗一e = 0 ， 魂研( 饥一e ) = 0 ，歹，k = 0 ，1 ，2 ， 定义5 演化的向量场( 2 8 ) 是( 2 7 ) 的g c s 当且仅当 y 他一e ) i 们m = 0 ， 其中m 表示方程叩= o 关于茁的全部微分结果的全体，即d 主叩= 0 ，j = 0 ，1 ，2 ， 命题2 ( f o k a s 和l i u 1 3 】以及z h d a n o v 【1 5 】) 方程u t = k 允许广义条件对称矿的 充分条件是存在一个函数w ( t ，z ，u ，叩) 使得 象= 【e ，喇+ ( t , x , u , r 1 ) ，眦，刚，0 ) - o ， 其中陋，明= f 7 7 一c e7 表示g a t e a u x 导数且( ，z ，仳，7 ) 是亡，z ，仳，u l 和 y , d 茹o ，d ：刀的解析函数。 命题2 的一个直接结论是方程( 2 7 ) 允许g c s 条件是其特征叼满足 功，7 = 0 注如果向量场y 的特征叼可以写成如下形式 ，7 = ，2 ，u ) 一r ，z ，t ) t h f ，z ，t ) ， 7 西北大学硕士学位论文 那么广义条件对称( g c s ) 等价于李点对称，且g c s 退化为条件对称。 其结果是g c s 是条件对称的一个自然的推广正如广义对称是古典对称的一个 推广一样。因此计算g c s 的算法本质上和条件对称的算法是一样的。第一步是 用y 对札t _ e 作用，这里的u t e 被认为是一个关于自变量为t ，z ，u ，舰，牡1 ，的 函数。第二步是消去毗，j = 0 ，1 ，2 ，和u ，u n + l ，通过方程毗一e = 0 和7 7 = 0 以及他们的微分结果谚( 让一e ) = 0 ，珑叩= 0 ，j = 1 ，2 ，。令这些结果 为零就得到一个线性的p d e s 系统，这个系统被称为决定方程组。 解这些方程就得到了g c s 的一般形式。关于计算p d e s 的g c s 的进一步的细 节和大量的例子可参考文献【3 2 4 7 】。 8 西北大学硕士学位论文 第三章 非线性演化方程组的广义条件对称( a c s ) 和精 确解 3 1引言 在本章中我们运用广义条件对称来讨论下面两类非线性演化方程组： 僻芝：箍裟：篡： 仁l ， 仇ut：=。(u=+gv。=仳-，i-可g，(霉u,+v)m)=。铭-t-，钉h，(移) c 3 2 ， 其中，u = u ( x ，t ) ，t ，= v ( x ，亡) 函数的下标t 和8 分别表示函数对其分量 求相应的偏导数，g ( u ，口) ，q ( u ，u ) ，h ( u ，钉) ，m ( u ，秽) ，f ( u ，v ) 和p ( u ，口) 为光滑的 未知函数。在过去的很多年中，这些方程组是对于自然界现象的很自然的演 匕 5 8 一o o 。有很多文章去考虑方程组解的存在性，唯一性以及解的渐近形态。 在【4 0 】中，已经研究了非线性演化方程组容许特征为 5 1 ( u ， ) = 缸霉霉z t k ， 如( 乱，u ) = 黝一， 的广义条件对称。在本章中我们讨论两类非线性演化方程组容许特征为 6 1 ( 心，钉) = u t 一入( “，u ) ， 如( t 正，钉) = 仇一叩( 牡，u ) ， 的广义条件对称，并寻求非线性演化方程组的精确解。 9 西北大学硕士学位论文 3 2两类方程组的广义条件对称和精确解 3 2 1 方程组( 3 1 ) 容许的g c s 现在我们考虑方程组( 3 1 ) 容许的广义条件对称及其精确解。我们首先给出关 于方程组( 3 1 ) 的一个结果。 定理3 1 方程组( 3 1 ) 容许广义条件对称g c s ，其特征是 毋( u ， ) = 饥一a ( “，秒) ， 如 ，钐) = 仇一叼( u ，u ) ， 如果夕( u ，口) ，q ( u ，t ，) ，m ( u ，移) ， ( 钍，t ，) ，a ( u ，口) 和7 7 ( 让，u ) 满足下面的条件： 证明：令 根据 九 = a 伽= a 删= = 吼u = 吼口= 0 ， ，7 9 钿+ 入吼一a t ，q u + 9 0 叼h = 0 ， r i g , , + 入吼 + ( 吼一九) 跏+ k ( 乳一) = 0 ， y h 世一h a u m + a u = 0 ， ( 3 3 ) 7 乳 + 入口t + 吼( 吼一乳) + ( k 一吼) 乳= 0 ， 7 7 9 伽+ 入+ q u 一吼蜘= 0 ， 叩m 哪一h y u m y v + a m u = 0 三5 l ( u ，勘) = u t a ( 让，钉) ， 以兰如( u ，u ) = v t 一7 ( u ，伽) d t 瓯= o ( i = 1 ，2 ) 将 和也关于t 求偏导，我们得到 五t = a u ( u ，移) = u u 一入u 地一k 仇， j 2 t = 如t ，t ，) = 魄一r h , u t 一v t 从方程组( 3 1 ) 中解出让缈，并将饥。，v t t 的表达式代入上式，从以和五中解 出仇，t ，时，饥，u x t 和耐并代入上式，上式化为关于，u x v x 的表达式。 】0 西北大学硕士学位论文 于是，我们得到下面形式的两个式子： a 1 谚+ 如缱+ a 3 + a + 如+ a 三0 ， a 7 记+ 也记+ a 9 + a l o t k + a 1 1 + a z 2 = 0 ， 其中a ( i = 1 ，1 2 ) 分别为： a 2 三a t ，t ， a 3 兰k ， a 4 兰叼乳t ，+ a 乳u a 口乳+ 吼吼， a 5 三叩舶 + 入乳口+ ( 吼一k ) 舶+ ( 乳一铷) ， a 三t h , , 一h a 一m a p + a 7 k ， a 7 三，k u ， a s 三， a 9 兰臻埘， a l o 三7 7 钆口+ a + 吼( 吼一乳) + ( 凡一啦) ， a l l 三叼q _ 删+ a + 一吼吼， a 2 三，7 m 一，l 仉一m 吼+ 入竹k 由a = 0 ( i = 1 ，1 2 ) 推出方程组( 3 3 ) 成立，定理得证。 定凳j l ( 3 1 ) 的结果使得我们可以得到关于方程组( 3 1 ) 的广义条件对称的特征为 下面的形式： a ( u ，钉) = a l u + a 2 v + a 3 ， 叩( 札，u ) = b l u + b 2 v + 5 3 不失一般性，我们令a 3 = 5 3 = 0 ；如果a 3 0 ，b 8 0 ，我们可以做一个变换 篙：兰 4 ， 这样就可以使得a 3 = b 3 = 0 。因此我们有 入( t i ，口) = n l t + 眈u ， 1 1 西北大学硕士学位论文 ，7 ( u ，u ) = b l u + 6 2 要想解出方程组( 3 1 ) 的精确解，我们必须从决定方程组( 3 3 ) 中解出夕( “，t ，) ， g ( 缸，钞) ，允( 乱，u ) ，m ( 让， ) ，a ( 乱，v ) 和叩( u ， ) 。我们可以看到，对于一般的方程组 来说，我们很难从决定方程组中解出9 ( u ， ) ，g ( 让，u ) ，九( u ，钞) ，m ( u ，钉) ，a ( “， ) 和v ( u ，钉) ，那么这个时候方程组的解就很难找到。但是我们可以对于一些特殊情 形及特殊的方程组得到它的精确解。这里我们讨论当a 1 0 ，a 2 = 0 情形下，即 a ( 让，口) = a l u ， 刀( 让，钉) = b l u + b 2 v 时方程组( 3 1 ) 解的形式 当a 1 0 ，a 2 = 0 时，我们分 ( i ) a l b 2 ( i i ) a l = b 2 两种情况讨论方程组( 3 1 ) 解的情况。 ( i ) a l b n 此时， 入( u ，t j ) = a l u ， ，7 ( 仳，秽) = b l u + b 2 v 我们从决定方程组( 3 3 ) 中解出夕( u ，移) ，口( “， ) ， ( 让，t ，) ，m ( u ， ) 的形式为： ( u ，t 7 ) = u g l ( a ) ， 嘶m = 兰g - ( 卅u 等g 2 ( 毗 9 ( 缸，u ) = 牡【g 3 ( q ) + c 1 】- 4 - c 2 ， 咖川= 兰陆( 卅c 1 】+ 让鲁g 4 ( 卅警钍鲁+ c 4 ， a ：t ，缸一等一尘l _ u l 一等， a l d 2 u ( x ，芒) = l ( z ) e 口1 ， 心一= 击纵z ) e a l t 也( 咖蛳， 】2 其中1 ( z ) 和锄( z ) 为光滑函数，q ( i z ) 为任意的常数，也( z ) 和g t ( q ) ( i z ) 满足约束条件： 硝( z ) - 4 - 西( z ) 【l 孔( q ) 4 - c l 】4 - 。( z ) 【g - ( q ) 一n - 】 + 卜( z ) 1 。置。t l 锄i 恤i ) 一鲁( z ) 一鲁也( z ) 西 ) 岛( q ) = 。， 旌 ) + c 3 ，( z ) 一l + 盐a l “1 ( z ) 一6 2 也 ) + 1 如) 鲁g 2 ( 口) + 降扣) 一堕a l 咖- ( z ) - 1 也( z ) 西 ) a ( a ) + 口5 2 。( z ) 1 + 鲁矗( z ) g 4 ( q ) = 。 ( i i ) n l = b 2 此时， a ( 牡，u ) = a l u ， 7 7 ( 钍，钉) = b l u - 4 - a i r 我们从决定方程组( 3 3 ) 中解出夕( 让，u ) ，q ( u ，口) ，h ( u ，移) ，m ( u ，移) 的形式为： h ( u ，移) = u g l ( o e ) ， m ( 让， ) = 鲁u l n ( 让) g - ( q ) + u g 2 ( 口) ， g ( u ，钐) = 【g 3 ( a ) - 4 - c 1 】牡- 4 - c 2 ， 咖，”) = 鲁牡l n ( u ) 【g 3 ( q ) + q 】+ 牡 g 4 ( q ) 一百b l c l + c s 卜q ， 口= 兰一五b l 。1 i n ( u ) ， 口= i uj ， u口1 t 正( z ，t ) = 咖l ( z ) e n ， v ( x ，t ) = 【b l l ( z ) 4 - 也( z ) 】e 口1 ， 其中晚( z ) 和g i ( a ) ( t z ) 满足约束条件： 硝( z ) + ：( z ) 【g b ( a ) - 4 - c l 】- i - 咖1 ( z ) f g l ( q ) 一口1 1 + 降 ) 一石b 19 i 。 ) 一咖，( z ) 一1 也 ) 西( z ) 瓯 ) = 。， ( z ) 一a l q b 2 ( x ) + 硝( z ) 【g 4 ( q ) - 4 - c 3 1 + l ( z ) 【g 2 ( q ) 一b l 】 1 3 西北大学硕士学位论文 + 阮( $ ) 一订1 ( z ) 也( z ) 西( z ) 】( q ) + i b l 9 i 。( z ) l i l ( ( z ) ) 【g 3 ( q ) + c - 】 + 鲁西( z ) g 3 ( q ) + 堕a l 如( z ) 一町1 ( z ) 也( z ) 西( z ) l n ( - ( z ) ) 岛( 口) 一鲁西( z ) 鲁l n ( 咖- ( z ) ) 岛( 口) + 萌( a ) + 口b l 。- ( z ) l i l ( - ( z ) ) g t ( 口) = 。 例3 1 当 时，我们找到方程组 的广义条件对称为 h ( u ，口) = 0 ， 吣，垆秽一点牡， g ( u ，u ) = c l u + c 2 ， g ( 牡，口) = 石i b l c 五l 缸+ c 4 仇u t ：= u = = + + 击c l u = + 口一 方程组有下面形式的精确解： n l 一6 【2 入( u ，秽) = a l u ， 叼( t ，可) = b l u + b 2 v 仳( z ，t ) = 1 ( z ) e 以， 口( z ，t ) = 击1 e a “+ 九( z ) e 蛳， 1 ) = d i e ( 一c t + 侗霉+ 如e ( 一 c 一侗z ，盯= 鼋+ 4 a 1 0 ， 州加e 毒埔 d l s i n ( 主厅z ) + 如c o s ( 丢厅z ) ，盯 1 1 4 ( 3 5 ) 一 西北大学硕士学位论文 - = _ = = 方程组的精确解为： 7 ( u ，t ，) = b 2 v 仳( z ，t ) = 1 ( z ) e 口1 。， v ( x ，t ) = 九( z ) e 咄 其中咖( z ) 和也( z ) 满足的约束条件是： 硝( 卅慨( 龛严- n l 协- 0 ( z ) + 晒( 龛) q 2 一嘲也= o 3 2 2 方程组( 3 2 ) 容许的g c s 这一节，我们讨论方程组( 3 2 ) 容许特征为 6 1 ( u ，钉) = u t 一入( u ，口) ， 而( 乱，口) = v t r ( u ， ) ， 的广义条件对称和精确解。我们首先得到一个定理： 定理3 2 方程组( 3 2 ) 容许g c s ，其特征是 6 1 ( u ，口) = u t a ( u ，t ，) ， 昵( u ，钉) = v t 一，7 ( 牡， ) ， 如果9 ( u ，口) ，q ( u ，钉) ，m ( u ，口) ，h ( u ，可) ，入( 牡，口) 和，7 ( 牡， ) 满足下面的条件： k = a ，m = a 口 = = 碾地= 吼 = 0 ， 7 吼 + 入吼t ，+ ( a u a + 钆一吼) 舶+ ( 一t k a u ) 蜘+ a 甜乳= 0 ， r j ( h t ，一a u + 仉一仉) 一九( 入u + 吼) + a ( k + 吼) + m ( 入一入v + 一) = 0 ， 弛v + a 吼u + ( 九一一吼) g u + ( 乳+ 吼一吼) 吼= 0 ， ( 3 9 ) r l q u v + a + 吼( 一乳) + ( k 一吼+ ) 吼= 0 ， r q v t , 十a g 咖4 - g u 一吼吼+ 吼= 0 ， ，7 砜+ ( m h 一叩) 一m 吼+ a = 0 1 7 西北大学硕士学位论文 同样的证明过程，在定理( 3 2 ) 中我们得到下面形式的两个式子： a 1 记+ 如记+ a 3 u x v z + a + 如+ a = o ， a 7 + 山+ a 9 + a l o + a 1 1 + a 1 2 = o ， 其中a ( i = 1 ，1 2 ) 分别为： a i 三a t + u ， a 2 三入 t ，+ ， a a 三2 a u + 2 碾埘， a 4 三叩+ a 纨u + ( k 一一吼) 钆+ ( 纨+ 一乳) 吼， a 5 三t g v + a 鲰 + ( k a 口+ 仉一吼) 吼+ ( 吼一吼一九) 蜘+ 纨， a 8 兰7 7 ( k l + 吼一吼) 一 ( k + ) + a ( 九+ 伽) + m ( k 一+ 吼一粕) ， a 7 三叼乩， a s 兰 ， a 9 三2 吼们 a i o 兰7 7 吼 + a g u + 仉( 舶一乳) + ( 儿一吼+ 吼) 乳， a l l 三，7 9 唧+ a 钆t ，+ 凡一吼蜘+ 吼舶， a 1 2 兰r m v + ( m h 一，7 ) 吼一m 吼+ a 仃k 由前面的证明过程可以知道，要想得到方程组( 3 2 ) 的精确解，我们需要从 上面十二个决定方程中解出 ( u ，u ) ，g ( u ， ) ，m ( u ，u ) ，q ( u ，口) ，入( 牡，钉) 和? 7 ( ， ) 。同 样，我们可以得到 a ( u ，v ) = a l u + a 2 v ， 叼( 让，口) = 6 1 u + 6 2 秒 通常情况下，很难解出上面的决定方程组。观察决定方程组，为了做