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复巨大学硕士学位论文转子一町颧坛轴承系统完拿动力模型及稳定忖分析 摘要 转子一可倾瓦轴承系统完全动力模型及稳定性分析 本文改进传统的转子一可倾瓦轴承系统建模方法，建立系统的完全刚度阻尼 模型( 包括瓦块摆动自由度) 并研究其稳定性 传统的当量刚度阻尼模型，是以系统的稳态运动为前提，以转子的转速( 或 菜一给定的频率) 为轴颈和轴瓦作谐运动的频率来凝聚瓦块摆动自由度，建立仅 反映轴颈自由度的运动微分方程。由于系统运动微分方程的解应由瞬态响应和稳 态响应两部分所组成，只有当系统确实作己知谐振频率的单频谐振动时，当量刚 度阻尼模型才可用( 系统的不平衡响应即是) 。但在对系统运动微分方程进行复 特征值分析时( 包括系统自由振动频率和稳定性分析) ，系统( 包括转子和轴瓦) 的运动频率事先无法预知，必须通过求解系统运动微分方程的复特征值才能得 到。因此，该模型在系统特征值分析时显然不具有合理性。 本文依据前入所提出的“可倾瓦轴承完全动力系数”思想，首先以轴颈和单 块轴瓦组成的子系统为研究对象，构建了随轴瓦摆动的局部动坐标系，导出了轴 颈绝对运动和相对运动的解析关系，采取系列坐标变换并线性化油膜力，建立子 系统的刚度矩阵和阻尼矩阵的解析形式。在求得每一个子系统的刚度系数矩阵和 阻尼系数矩阵然后，采用p a da s s e m b l y 法，将这些系数矩阵按油膜力的作用方 式，以一定的规则进行扩阶并叠加，得到转子一可倾瓦轴承系统且反映轴颈自由 度和所有轴瓦自由度的刚度矩阵和阻尼矩阵的解析形式，并建立系统的自由振动 方程。 为研究完全动力模型的稳定性，本文分别以对称的单盘刚性转子一可倾瓦轴 承系统和复杂转子一可倾瓦轴承系统为数值模型，采用n e w t o n r a p h s o n 法求解系 统的静平衡位置，系统的刚度矩阵和阻尼矩阵可一并获得。对自由度相对较少的 单盘刚性转子系统，将其二次特征值问题化为标准特征值问题来求解。而对于复 杂转予一可倾瓦轴承系统，采用广义反迭代方法求解其二次特征值问题。通过在 一定范围内改变轴承的相关参数，诸如，预负荷系数、长径比、轴瓦支点位置及 转速，分析轴瓦的临界质量、系统阻尼或对数衰减率、涡动频率随轴承参数的变 化情况，进而研究轴承参数对系统稳定性影响。 关键字：稳定性分析，动力系数，可倾瓦，轴承，完全动力模型 复q 人学碗1 ：学位论文 转于一可倾壬i = 轴承系统完伞动力模型及稳定性分析 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , i no r d e rt oi m p r o v et h et r a d i t i o n a lr o t o rt i l t i n g p a dm a t h e m a t i cm o d e l ， ac o m p l e t ed y n a m i cm o d e li n v o l v i n gt h ed e g r e e so fp a df r e e d o mi sd e s c r i b e d ，a n di t s s t a b i l i t ya n a l y s i sa l s oc a r r i e do u t f o rt h ee q u i v a l e n tm o d e l ，b e e nu s e dt oo c r f o r m d y n a m i ca n a l y s i sb ym a n yb e a r i n gr e s e a r c h e r s , w i t ht h er o t a t i n gs t , t e do rag i v e i l f r e q u e n c ya st h eh a r m o n i cm o t i o nf r e q u e n c yo f t h es h a f ta n dt h ep a d s ，t h ed e g r e e so f p a df r e e d o mc o u l d b ec o n d e n s e d ，a n dt h ei t e m so fm o t i o ns t a t ei ns y s t e md i f f e r e n t i a l e q u a t i o na i l eo n l yr e f l e c t e db yt h ed e g r e e so ft h es h 心f r e e d o m 1 j e c a u t h es o l u t i o n o f t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sm a d eu po f t r a n s i e n t 托回，0 n a n ds t e a d y - s t a t er c s p o l l s e , o n l yt h er o t o rt i l t i n g - p a db e a r i n gs y s t e me x a c t l yd o e sh a r m o n i cm o t i o nw i t hag i v e n f r e q u e n c y , t h es o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ee q u i v a l e n tm o d e li st h e u n b a l a n c el e s p o n s eo ft h es y s t e m i nf a c t , t h ef r e q u e n c yo ff r e ev i b r a t i o no ft h e s y s t e m , w h i c hn e e d st ob ed e t e r m i n e db yt h ec o m p l e xe i g e n v a l u e sc o m p u t e df r o mt h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o f t h es y s t e m , i s n o t e q u a l t o t h e a s s t t m c d f r e q u e n c y o f v i b r a t i o n s oe m p l o y i n gs y n c h r o n o u sr e d u c e dd y n a m i ce o e t f i e i e n t sc a n te f f e c t i v e l yp r e d i c t s t e a d ys t a t ea n dd y m m i eb e h a v i o ro f t h ed l t i n g - p a db 嘶n gs y s t e m a c c o r d i n gt ot h ei d e ao fc o m p l e t ed y n a m i ce o c 伍c i e n t s t h i sp a p e rf i r s t l yd e f i n e sa s u b s y s t e mc o m p o s e db yt h e j o u r n a la n das i n g l ep a d t h e nb ys e t t i n gu pt h ea n a l y t i c a l e x p r e s s i o no fm o t i o nr e l a t i o n s h i pb e t w e l e nt h ej o u r n a la n dt h ep a da n dl i n e a r i z i n g o n f i l mf o r c e s t h ea n a l y t i c a lf o r mo ft h es t i f f n e s sm a t r i xa n dd a m p i n gm a t r i xo ft h e s u b s y s t e mc b eo b t a i n e d a f t e r 曲盎l t h ep 鼋l da s s e m b l ym e t h o di se m p l o y e d t h r o u g ha u g m e n t i n ga n da d d i n g 印t h es t i f f m s sa n dd a m p i n gm a t r i xo fe a c h s u b s y s t 弧0 1 1 eo b t s i l 3 st h es t i f f n e s sa n dd a m p i n gm a t r i xo ft h er o t o r - b e i l t i n gs y s t e m , t h e nt h ef r e ev i b r a t i o ne q u a t i o no f t h es y s t e m 啪b ee s t a b l i s h e d a s y m m e i r i eb e a r i n gs y s t e mw i t har i g i dr o t o ra n dac o m p l e xr o t o r - b e a r i n gs y s t e m a r es e l e c t e da sn u m e r i c a lm o d e lt od os t a b i l i t ya n a l y s i s t h en e w t o n - r a p l a s o nm e t h o d i su s e dt of i n dt h ee q u i l i b r i u mp o s i t i o no fj o u r n a la n dp a d s , a n dt h es t i f f n e s sa n d d a m p i n gm a h i xo f 也cs y s t e mc a l lb eo b t a i n e ds i m u l t a n e o u s l y t h e ns t a b i l i t yo ft h e s y s t e md e p e n d so nt h ec o r r e s p o n d i n gs e c o n d - o r d e re i g e n v a l u ep r o b l e m t h er e s u l t s s h o wt h a ts o l n ef a c t o r s ，s u c ha st h ep r e l o a de o e f f i e i e n t t h ep i v o tp o s i t i o na n dt h e r o t o rs p e e d , s i g n i f i c a n t l ya f f e c tt h es t a b i l i t yo f t i l t i n gp a d j o u r n a lb e a r i n gs y s t e m k e y w o r d s ：l i n e a r , s t a b i l i t ya n a l y s i s , d y m m i ee o c f l f i e i e n t s , t i l t i n g - p a d 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名： 豸： 日期：幽：多 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：叠亡 导师签名：掣 复口- 人学硕士学位论文 转了一可倾_ i i = 轴承系统完拿动力模型及稳定住分析 1 i j l 刖舌 旋转机械是能源领域和现代工业中最为重要的机械设备之一，其核心部件转 子一轴承系统对保障设备安全运行，提高生产效率起着决定性的作用。随着社会 工业化的发展，为满足实际工程需要，人们对旋转机械的性能，诸如旋转速度、 容量、效率以及稳定性等方面，提出了越来越商的要求。这促使人们对转子一轴 承系统的建模和动力学行为进行更为深入的理论和实验研究，并为解决工程难题 提供依据和方法。 上世纪六七十年代，流体润滑理论和转子动力学这两门学科的发展和融合使 得轴承一转子系统动力学的研究逐步兴起。此后，经过国内外众多学者的潜心钻 研以及计算机科学的发展，轴承一转子系统的力学机理不断得到揭示并日益趋于 完善。对于不同轴瓦类型的油膜轴承，如固定瓦轴承和可倾瓦轴承，其对应的系 统模型虽相似，但也存在一定的差别。固定瓦轴承无需考虑轴瓦的自由度，其模 型的建立和动力学分析相对比较简单，国内外针对它的研究也具有一定的深度和 广度。对可倾瓦轴承而言，由于轴瓦自由度的存在，使得系统有着较多的自由度， 这给系统的建模和动力学分析都带来一定的困难，目前，国内外在这方面开展的 研究工作并不是很深入，相关的文献也不多见。 与传统的固定瓦轴承相比，可倾瓦轴承在设计、制造和装配上都显得更为复 杂。尽管如此，由于可倾瓦轴承本身具有良好的稳定特性，使其被广泛应用于高 温、高速和大载荷的工作环境中。其稳定特性主要体现在，不仅对外载荷所产生 的变形( 轴径变形，轴承本身和机架的变形) ，熟变形以及装配工差等有着良好 的适应性，且在转子高速运转时，每块轴瓦可绕支点摆动从而产生收敛和发散的 油楔来适应转子的运动状态，而通常的固定瓦轴承却无法做至z j u , 2 l 。 在探究可倾瓦轴承稳定本质的过程中，众多学者认为，在转子一可倾瓦轴承 系统运动过程中，轴颈和瓦块是以单频作微小谐振动，且轴瓦的运动可由轴颈的 运动来表达，即轴瓦的自由度可被凝聚掉f 3 】。在该前提下，可依据八个简化的当 量刚度系数和阻尼系数来建立系统的运动微分方程，并且交叉耦合刚度几乎为 零，没有起到促进轴颈涡动作用，从而使得可倾瓦轴承表现出近乎天然的稳定。 事实上，瓦块惯性，支点摩擦以及其它非理想因素的存在，可倾瓦轴承绝对不会 不引起不稳定问题，这已在工程实际和实验中得到了证实。而通常的理论研究往 往高估了可倾瓦轴承的稳定性，原因在于不合理的假定和建模本身的缺陷，因此， 在当前可倾瓦油膜轴承广泛应用的背景下，建立合理的转子一可倾瓦轴承系统模 型并对其动力学行为进行深入研究已成为迫切需要解决的问题。本文的研究工作 复口| 人学硕士学位论文转子一町倾瓦轴承系统完全动力模型及稳定性分析 j f 是在这一背景下展开的。 一、转子一可倾瓦轴承系统的刚度和阻尼系数的计算 转子一轴承本质上为非线性系统，原因是油膜力起着非线性的弹簧和阻尼作 用，但对于大多数的轴承一转子系统而言，通常的动力学分析是在转子在其静平 衡位置作小扰动的基础上进行的，因此可采取线性化油膜力方法，获取轴承的刚 度和阻尼来建立系统的线性模型。对于传统的固定瓦轴承，其系统模型的线性化 理论已发展的比较完善，通常的做法就是将油膜力进行t a y l o r 展开并取其线性部 分。由于油膜力是通过求解r e y n o l d s 方程得到的，而r e y n o l d s 方程与轴颈在轴 承中的位置有关，但对于可倾瓦轴承，油膜力不仅与轴颈的位移和速度有关，而 且还与瓦块的角位移和角速度有关，因此如何通过这些变量来正确表达出作用于 轴颈和各轴瓦上油膜力，将是获得可倾瓦轴承刚度系数和阻尼系数的关键。 从过去到现在，可倾瓦轴承当量刚度阻尼模型，即以八个当量的刚度系数和 阻尼系数所建立的系统运动方程，近乎一直采用。当量刚度阻尼模型，是以系统 的稳态运动为前提，即假定轴颈和轴瓦作同频作微小谐振动，以转子的转速( 或 某一给定的频率) 为轴颈和轴瓦作谐运动的频率来凝聚瓦块摆动自由度，建立仅 反映轴颈自由度的运动微分方程。由于系统运动微分方程的解应由瞬态响应和稳 态响应两部分所组成，只有当系统确实作已知谐振频率的单频谐振动时，当量刚 度阻尼模型才可用( 系统的不平衡响应即是) 。但在对系统运动微分方程进行复 特征值分析时( 包括系统自由振动频率和稳定性分析) ，系统( 包括转子和轴瓦) 的运动频率事先无法预知，必须通过求解系统运动微分方程的复特征值才能得 到。因此，该模型在系统特征值分析时显然不具有合理性。 本文首先以轴颈和单块轴瓦组成的子系统为研究对象，通过寻求轴颈和轴瓦 运动关系的解析表达式，采取系列坐标变换并线性化油膜力，建立子系统的刚度 矩阵和阻尼矩阵的解析形式在求得每一个子系统的刚度系数矩阵和阻尼系数矩 阵然后，采用p a da s s e m b l y 法，将这些系数矩阵按油膜力的作用方式，以一定 的规则进行扩阶并叠加，得到能够反映轴颈自由度和所有轴瓦自由度的转子一可 倾瓦轴承系统的刚度矩阵和阻尼矩阵的解析形式。 二、转子一可倾瓦轴承系统稳定性问题 判断轴颈静平衡位置是否稳定的方法，是使轴颈以任意方式偏离其平衡位置 上的运动参数，然后看轴颈是否不断趋近其平衡位置。轴颈的瞬时运动方程及油 膜力与轴颈运动参数间的关系是这种分析的基础【3 】。传统上对可倾瓦轴承一转子 2 复日_ 大学i 承 学位论文转于一可倾瓦轴承系统完全动力模型及稳定性分析 系统稳定性的分析是建立在当量刚度阻尼模型的基础上，但是由于模型本省的缺 陷，必然使得系统稳定性的分析缺乏一定的可靠性。采用完全刚度系数和阻尼系 数所建立的系统自由振动方程，即转子一可倾瓦轴承系统的完全刚度阻尼模型 ( 包括瓦块摆动自由度) ，不仅考虑了轴颈的自由度而且考虑了轴瓦的自由度和 惯性，以其作为完全动力学方程作为系统稳定性分析的基础，其结果更趋于合理 性。为研究完全动力模型的稳定性，本文分别以对称的单盘刚性转子一可倾瓦轴 承系统和复杂转子可倾瓦轴承系统为数值模型对自由度相对较少的单盘剐性转 子系统，将其二次特征值问题化为标准特征值问题来求解。而对于复杂转子一可 倾瓦轴承系统，采用广义反迭代方法求解其二次特征值闯题。通过在一定范围内 改变轴承的相关参数诸如，预负荷系数、长径比、轴瓦支点位置及转速，分析 轴瓦的临界质量、系统阻尼或对数衰减率、涡动频率随轴承参数的变化情况，进 而研究轴承参数对系统稳定性影响。 三、本文研究工作概述 本文共分四章。建立简单、高效的转子一可倾瓦轴承完全动力特性模型并对 其进行稳定性分析是本文工作的核心内容。其创新点为：( 1 ) 在可倾瓦轴承建模 过程中，构建了随轴瓦摆动的局部动坐标系，导出了轴颈绝对运动和相对运动的 解析关系，从而使可倾瓦轴承的动力学建模与固定瓦轴承样简便易行。( 2 ) 用 可倾瓦轴承完整动力学模型对刚性转子一可倾瓦轴承系统进行了稳定性分析，提 出了轴瓦临界稳定质量的概念。为可倾瓦轴承的工程设计提供了理论判据。( 3 ) 建立了包括瓦块摆动自由度在内的复杂转予系统动力学模型，给出了系统的复模 态分析方法。并对一个工程实际应用转子进行了稳定性分析。 全文主要工作如下： 第一章对油膜力的计算和可倾瓦轴承的研究做简要的归纳和综述，并提出需 要解决的问题和发展方向。 第二章建立计算可倾瓦轴承一转予系统动力特性系数的几何模型并给出稳 定性的相关判据，为下面各章的分析计算做好准备。 第三章给出了可倾瓦轴承的完全动力特性系数的数值计算过程，并结合计算 例详细地讨论了可倾瓦轴承的相关参数对系统稳定性的影响，并和传统的当量刚 度阻尼模型进行比较，验证完全动力模型的有效性。 第四章在前两章的基础上，迸一步建立复杂转子一可倾瓦轴承系统的完全动 的力模型，将完全动力模型和当量模型应用于一工程实例，并比较两类模型稳定 性的计算结果。 复q 人学确e 学位论文转子一町倾坛轴承系统完仝动力模型及稳定性分析 第一章综述 自1 9 3 1 年米切尔和金斯堡对可倾瓦轴承的发明1 7 j ，轴承技术获得革命性的 突破，此后可倾瓦轴承便以其良好的稳定性吸引学术界和工程界众多学者的兴 趣。几十年来，可倾瓦轴承已获得广泛的研究，这些研究主要集中在，可倾瓦轴 承油膜力的计算，可倾瓦轴承的刚度和阻尼、热效形及热弹动力分析，可倾瓦轴 承参数对其性能的影响，转子可倾瓦轴承系统的稳定性分析，线性或非线性特 性及相关数值计算方法的研究等方面。 1 1 油膜力算法的研究概述 对于一个转子一轴承系统而言，油膜力的计算是建立系统模型的关键，其特 性在系统的动力学计算中起着至关重要的作用。油膜的动力特性，反映了当轴颈 偏离了静平衡位置并在此位置附近作变位运动时油膜力的相应的变化情况网。对 于实际的轴承，油膜力的解析表达式并不存在，必须通过数值方法求解r e y n o l d s 方程。r e y n o l d s 方程的求解是一个十分复杂的数学过程。对于无限长和无限短的 径向轴承的油膜力模型1 4 6 ，则r e y n o l d s 方程可退化为常微分方程，能够得到油 膜力的解析解。但是在实际应用中的轴承都是有一定长径比的有限长轴承，其油 膜力的解析解通常是以无穷及数的形式给出【7 4 3 1 ，在实际应用中要视具体情况来 截取一定的项数。该算法计算精度有限，且对冗长的压力表达式再迸一步作数学 处理以计算轴承的承载力，动力特性系数等值时，极为不便。文献1 7 j 曾在无限长 轴承解析解的基础上，采用简化的稳态边界条件，即s o m m e r f e l d 条件和半 s o m m e r f e l d 条件，用平均本征值方法进行二维修正，其结果有一定的工程精度， 也易于应用，不足之处在于求解过程较为烦琐。 随着计算机和数值方法的进步，数值求解方法在r e y n o l d s 方程的求解中已 经得到了广泛的应用。最主要的当数有限差分法和有限元法配合冲零算法1 1 4 1 ， 它们是求解偏微分方程的两种主要数值方法。对于常用的简单轴承，用有限差分 法可以用较少的时间获得很好的结果。这种方法的优点是，不与具体问题的物理 模型直接发生联系，只与反映问题物理本质的数学方程有关，因此对具有共同方 程形式的物理问题具有同样格式，这一点在求解一般的轴承流体润滑的雷诺方程 中具有相当大的优势。但是对于复杂的几何结构情形，在某些部位上不能直接化 为差分方程，就无法使用有限差分法。此时，有限元法就适合克服这些困难，它 比有限差分法更能适应复杂的结构情况，更宜于程序实现。再则就是变分原理有 4 复q 人学硕，：学位论文转予可颧瓦轴承系统完伞动力模型及稳定性分析 限元法1 1 4 ，b l ，当不苛求油膜压力的逐点精确性时，而是要求其总体效应一油膜 力具有足够的精度时，变分方法恰是解决这一问题的有效途径。而对于一类广泛 的椭圆自由边值问题中的一种特例，即要求满足雷诺边界条件的流体涧滑问题， 传统的变分原理对此并不实用，但该问题可以由变分不等方程来描述。 由于油膜力在系统中起着非线性的刚度和阻尼作用，则转子一轴承系统本质 为一非线性系统。但在实际分析中，根据具体的要求，以转子在其静平衡位置周 围所受扰动的大小，一般可将油膜力的模型分为线性模型和非线性模型。 对油膜力按线性化处理就是对转子在其静平衡位置周围进行小扰动分析，显 然在该情况下所得到油膜的动力特性( 轴承的刚度和阻尼) ，与轴颈在轴承中的 静平衡位置密不可分。由于最小油膜厚度是r 巧i d s 方程的组成项，因此轴承 的刚度和阻尼不仅取决于轴承自身构造，还与作用在转子上的静载荷以及转子的 转速有关。通常建立油膜力线性模型的方法有：( 1 ) 偏位角法b1 6 】：这种方法的 特点是先通过偏位角迭代求取轴颈静平衡点，然后再求轴承的刚度和阻尼。但由 于在迭代过程中不考虑实际外载，仅是固定轴颈的偏心，通过对轴颈偏位角的迭 代使轴承油膜反力与外载方位一致。但此时的油膜反力大小并不能与实际外载相 平衡，为获得轴颈的真实平衡点，还需对不同的轴颈偏心或进行迭代或通过插值 求取；( 2 ) n e w t o n - - r a p h s o n 迭代法i l 飞用变分不等式有限元方法处理r e y n o l d s 方程自由边值问题( 雷诺边界条件) 。采用收敛极快的n e w t o n 法对轴颈位置的 全方位迭代直接求得轴颈的真实平衡点。而油膜力的j a c o b i a n 矩阵正是其线性刚 度系数矩阵，因此迭代结束时平衡点的轴承刚度矩阵已自动获得，而阻尼矩阵也 可在迭代最后一次求解r e y n o l d s 方程时一并求出，无需额外增加求解r e y n o l d s 方程的次数。n e w t o n 迭代法具有平方收敛特点。且求j a c o b i a n 矩阵又几乎不增 加计算量，因此这种方法的效率很高，其精度优于采用偏位角法所计算的结果。 对于柔性较大的转子，在高速旋转过程中发生的扰性偏移是大扰动运动。在 这类问题中，对油膜力不再按线性化处理，必须开展对非线性油膜力的研究。传 统求解非线性油膜力的方法为：( 1 ) 有限元和有限差分法【l s 憎】，只要单元划分 足够细可达到理想精度，但计算量很大，不适合非线性分析：( 2 ) 短轴承和长轴 承近似理论1 2 0 , 2 n ，虽然解析表达式但使用范围有限且结果近似；( 3 ) 非线性油 膜力数据库方法阱，2 3 1 和近似算法叭2 5 1 ，前者针对特定轴承建立三参数油膜力数 据库，插值求解非线性油膜力；后者改进了短轴承结果。文献刚直接引用整周 油膜压力所满足的变分不等方程与实际轴承，用有限元互补法计算了椭圆轴承的 非线性油膜力。文献【2 7 ，2 8 针对离散变分不等方程所具有的互补特性，提出了一 种约束迭代法，该方法可以对所有轴承统一处理，提高了计算效率和通用性。文 献1 2 9 1 针对径向滑动的润滑域形状较为规则的特点，通过适当的节点编号方案， 5 复口人学r 晚卜学位论文转于一町颧6 c 轴承系统完全动力模型发稳定性分析 可使有限元离散化的变分不等方程系数矩阵具有沿破裂边简单分块的特征提出 了一种避免迭代直接求解二维离散变分不等方程互补解的方法，降低了问题求解 的计算时i 日j 。文献【3 0 j 和文献1 2 2 j 基于变分不等方程进一步获得了油膜压力的半解 析公式。文献1 3 ”提出了滑动轴承油膜力j a c o b i a n 矩阵的一种快速算法，从 r e y n o l d s 边界条件下的变分不等方程出发，首先把二维变分不等方程降为一维， 建立了系数矩阵为三对角阵的代数互补方程。然后利用互补性质，提出修正的追 赶法，无需迭代可直接求得满足r e y n o l d s 边界条件的解，且只需在正压区域进 行有效计算。最后将系数矩阵分解为轴颈运动相关量和常矩阵乘积叠加的形式， 其中常矩阵一次求得，可在非线性动力分析中反复引用，避免了冗余运算，最终 算例表明，与二维有限元方法相比，该算法在达到千分位相对误差的前提下，运 算时问仅为前者的数百分之一。除上述的轴承非线性油膜力的解析方法和数值计 算外，文献【3 2 l 对圆柱轴承轴颈某一位置的油膜力以转速和轴颈振动速度的线性 函数来表示，基于有限元法建立模型来模拟线性函数中的系数与轴颈偏心和偏位 角的函数关系以计算轴承油膜力大小。文献【3 3 l 利用无网格方法，建立了基于径 向基函数配置理论的滑动轴承压力分步数学模型，采用全局逼近模式求解并分析 了形状参数对计算结果精度和可靠性的影响。 1 2 可倾瓦轴承的研究概述 可倾瓦轴承动力特性在在转子振动，转子响应和稳定性等方面起着重要的 作用，学者们普遍重视这方面的研究。早在1 9 6 4 年l t m d 3 4 1 就提出了一种计算 可倾瓦轴承动力特性系数的方法，即把每一瓦块的运动方程与其对应的油膜力的 线性化方程进行耦合，获得每块瓦的动力特性系数，然后将其叠加，得到近似反 映可倾瓦轴承动力学行为的8 个当量动力特性系数。l u n d 的工作在可倾瓦轴承 的理论计算方面迈出了积极的一步。在此后的可倾瓦轴承理论和实验研究工作 中，众多学者采用了他所提出的方法。文献p 5 】在l u r i d 所提出的模型的基础上， 通过改进油膜力的数值计算方法，即用有限元法取代先前的有限差分法，进一步 修正l u r i d 的计算结果，并研究预负荷、长径比及不同载荷等轴承参数对五瓦可 倾瓦轴承刚度系数和阻尼系数的影响。但是在早期研究工作中，由于先进实验设 备的缺乏，很难从实验中获取可倾瓦轴承的动力特性数据，动力特性系数的研究 基本上集中在理论方面。随着实验设备先进性的不断提高和实验方法的不断改 进，实验研究已成为人们研究可倾瓦轴承动力学行为的常用手段之一。通过轴承 一转子测试装置或其所依附的旋转机械装置本身来获取可倾瓦轴承的动力特性 系数 3 6 1 已成为可能。文献1 3 7 1 对实验中所测数据的分析处理方法给予了相关的介 绍和评论。文献【7 j 建立转子一可倾瓦轴承实验装置并结合有限元法测定了具有四 6 复旦大学硕士学位论文转子一可倾瓦轴承系统完全动力模型及稳定性分析 块瓦的小长径比可倾瓦轴承在不同转速下的八个当量动力特性系数，并将所测的 实验结果与通过热弹流理论所计算的结果进行了对比，其误差约1 0 。由于可倾 瓦轴承本身的复杂性，加之八个当量动力特性系数的近似性在工程上缺乏足够的 检验，至今绝大部分的可倾瓦轴承的动力学分析都以八个当量动力特性系数为基 础而建立分析模型。事实上，可倾瓦轴承的动力特性系数不仅应反映轴颈的动力 特性而且应反映瓦块的动力特性。在7 0 年代末，j k p a r s e l l 和p e a l l a i r e 等提出可倾瓦轴承完全动力系数思想1 3 o j ，认为具有一自由度的可倾瓦轴承应具 有8 + 1 0 n 个动力特性系数。因为系统的各个部分的自由振动是在涡动频率( 系统 特征值虚部) 下进行的，不是与转速同步，对可倾瓦轴承加以简化同步假定而建 立的数学模型是不正确的。虽然这一思想得以提出，但并没有建立轴颈和瓦块两 者动力特性的联系，使得j kp 舢塔e l l 在研究频率和可倾瓦轴承动力特性系数 相互关系的工作中1 4 l l 。本质上仍采用简化的当量模型。尽管如此，可倾瓦轴承 完全动力特性系数思想的提出，进一步推进了可倾瓦轴承的理论建模的完善。 在对可倾瓦轴承动力特性研究的基础上，随着可倾瓦轴承研究内容的不断拓 展和深入，需要考虑的因素也逐步增多，研究方向也趋于分散化。近些年来，热 效应及轴瓦的变形，可倾瓦轴承油膜润滑机理的揭示成为部分学者的研究焦点并 取得了一定的成果。越来越多的学者认为，想要准确预测轴承的特性，在实际设 计过程中，温度和热弹变形必须被考虑，因为由流体动压和温度的作用而导致的 轴承变形的对转子一可倾瓦轴承系统有着不可忽略的影响。l u r i d 和p e d e s s e n 4 2 1 就曾研究过瓦块的弹性对可倾瓦轴承的动力特性系数的影响。文献 4 3 1 认为轴承 总体变形是热变形和载荷变形的共同的结果，而大多数的可倾瓦轴承设计是依据 轴颈和瓦块都是刚性体，在轴承承受较轻载荷的情况下这种假定通常被认为是合 理的近似。但是在大载荷情形下，诸如用于气轮透平机和发电机的可倾瓦轴承， 其轴承和轴颈的变形就具有重要的意义。该文献以重型可倾瓦轴承为例，通过雷 诺方程和能量方程建模并结合有限元和有限差分法，研究了弹性瓦的变形，以及 分别采用不同类型瓦块( 刚性瓦、弹性瓦和橡胶瓦) 对最小油膜厚度，最大油膜 压力和不平衡离心率的影响。文献 4 4 1 采用n e w t o n - r a p h s o n 法对可倾瓦轴承的静 力特性进行了热弹动力分析文献嘲为描述可倾瓦轴承油膜润滑过程的特征， 根据可倾瓦轴承的特点和热流动力润滑理论，开发了一套热动力润滑计算的有限 元程序。该程序可求解雷诺方程、油膜厚度及损耗等。文献1 4 6 1 认为在可倾瓦轴 承的弹性流体动力润滑研究中，需反复地计算在不同载荷下瓦块内表面的法向 弹性变形和热变形，会消耗很多机时。针对这一问题，该文献通过编制一个求解瓦 块弹性变形矩阵和热变形矩阵的通用有限元程序，以计算不同载荷下瓦块的弹性 变形和热变形，从而大大节省机时。文献 4 7 1 用n e w t o n - r a p h s o n 法一次性求出所 7 复d - 大学硕士学位论文转予一可倾瓦轴承系统完令动力模型及稳定件分析 有瓦块的压力分布和轴心位置，用步进扫描法对轴承进行了三维温度场分析，用 2 0 节点有限元法构造了瓦块的压力变形矩阵和热变形矩阵。文献1 4 s 叫用有限元 法建立瓦块3 维弹性变形计算模型。文献”o l 研究了作谐振动的转子一可倾瓦轴 承系统的时变热弹润滑数值解。文献垆1 1 详细分析瓦块三维弹性变形及热效应径 向可倾瓦轴承静态特性和动力特性的影响。文献1 5 2 j 认为计入轴瓦弹性变形后， 在设计计算瓦的动力特性时都需要进行压力与变形的反复迭代，耗用机时多。如 从计算模型的合理性和易算性方面综合考虑，用平面应变曲梁作为可倾瓦弯曲变 形的计算模型。是一种既足够接近实际又有高度计算效能的方法。 由于可倾瓦轴承性能受诸多因素影响。如预负荷、瓦块支点位置、迸油压力、 瓦块惯性，载荷等，揭示这些相关参数与可倾瓦轴承性能的相互关系对改良和提 高这类的设计和性能有着重要的意义。目前，对于可倾瓦轴承的相关参数对系统 动力学行为影响的研究，也取得了一定的成果b “。 文献削研究了可倾瓦轴承的预负荷系数对轴颈横向振动的影响，其结果表 明，在不平衡力的作用下轴颈的振幅会随着预负荷系数的增大而减小，预负荷的 增大有助于系统稳定性的提高。文献f 5 5 】通过对径向可倾瓦滑动轴承支点沿圆周 方向分布情况对轴承性能影响的分析，提出了在低速重载条件下，合理设计可倾 瓦滑动轴承瓦块支点位置分布，将有利于提高轴承的润滑性能。文献m5 7 】研究了 进油压力对可倾瓦径向滑动轴承动力特性系数的影响。文献1 5 列以四瓦可倾瓦轴 承为例，分别就不同的进油压力来计算轴承的静、动特性，分析计算结果，并较 为系统地研究了进油压力对轴承承载力，流量、摩擦阻力系数、平均温升、剐度 系数、阻尼系数等参数的影响。文献( 铡讨论了各种参数对系统稳定性的影响， 如瓦块惯性、预负荷系数、支点系数、外交叉刚度和外阻尼等，并给出了这类系 统的失稳转速计算公式。该文献认为“转子一可倾瓦轴承系统是本质稳定的”这 一定论并不正确，在这类系统中同样存在着与转子固定瓦轴承系统一样的不稳 定性问题。 1 3 转子一可倾瓦轴承系统稳定性的研究概述 关于可倾瓦轴承的稳定性、线性或非线性的研究，不如固定瓦轴承这方面的 研究成熟，不过国内外的学者们也已经在可倾瓦轴承研究上做了不少工作。文献 圆在假设轴颈和轴瓦同步运动的基础上，采用变分法建立具有刚性转子的可倾瓦 轴承系统的非线性稳定性分析模型，并通过谐波平衡法求得系统非线性运动方程 的近似解析形式。文献【删通过对顶瓦固定的混合型径向滑动轴承和另一具有相 同参数的可倾瓦径向滑动轴承特性参数的比较，总结了混合型径向滑动轴承的特 点，并分析了原因。为了验证混合型轴承计算模型的正确性，还对该种轴承进行 s 复q 人掌硕i ：学位论文 转子一町侦瓦轴承系统完伞动力模型及稳定忭分析 了承载能力试验测试，并与理论计算作了比较。文献1 6 ij 分析了可倾瓦轴承的润 滑过程，讨论其设计计算方法和求解过程。并对某一年产3 0 力吨合成氨设备中 空气涡轮压缩机的可倾瓦轴承进行设计计算，预测其工作时的润滑特性。为该类 产品的制造提供依据。文献1 6 2 】研究了可倾瓦径向滑动轴承支承的转子一轴承系 统瞬念响应的计算方法，建立起可倾瓦油膜力的数据库，对非齐次精细时程积分 法加以改进。并将其引入至4 转子一轴承系统瞬态响应的计算中。文献| 6 3 1 采用在线 分析方法考察了3 0 0 m w 汽轮发电机组可倾瓦轴承的静、动力特性，探讨了载 荷、轴颈转速以及动态激振力频率等参数变化对可倾瓦轴承的静、动态性能的影 响。文献舭愧出，转子可倾瓦轴承系统的动力特性不仅包含轴颈的自由度而且 应包含瓦块的自由度，并详细介绍了获得轴承全部动力特性系数的p a da s s e m b l y 方法。但是由于缺乏有效的计算模型，最终仍采用传统的当量模型对系统的进行 动力学分析。文献【6 5 l 认为可倾瓦滑动轴承的油膜力具有强烈的非线性特性如 采用线性化刚度与阻尼特性系数的油膜力模型1 6 6 - 7 0 l ，会使转子轴承系统存在的 非线性油膜力引起的各种复杂动力学行为很难被揭示 7 1 - 7 3 1 ，同时会导致轴承- 转 子系统得不平衡响应、稳定性等的计算存在很大的误差1 2 4 7 4 , 7 5 。该文献建立了可 倾瓦滑动轴承的非线性油膜力模型，并对j e f f c o t t 转予一可倾瓦轴承系统的不平 衡响应进行了非线性分析。 综上所述，目前转子一可倾瓦轴承系统的动力学分析无论在理论建模和实验 测量、数值求解方法上都取得了阶段性的成果，正逐渐向热弹效应和非线性方向 发展。但是，由于系统有着较多的自由度，加之实验设备和方法的限制，可倾瓦 轴承完全动力特性系数的测量报道至今还未发现。而在理论建模方面，由于轴颈 与轴瓦之间的动力学行为的相互关系，难以通过现有当量模型精确反映，仍需建 立更简单的数值计算模型。除上述重点考虑因素外，轴瓦变形等在高速、大载荷 等工况下对系统的动力学行为的影响也不容忽视。 从已发表的论文来看，论文多集中在轴颈和轴瓦作同频谐振动的前提下，对 转子一可倾瓦轴承系统进行动力学研究，考虑温度和轴瓦的弹性变形因素也不 少，能够考虑非线性振动也有一些，但够考虑轴瓦自由度，建立转子一可倾瓦轴 承系统的完全动力模型很少见到。这进一步表明了该类轴承建模的难度和复杂 性。建立更为简单、有效的可倾瓦轴承一转子系统的计算模型并能够为实际工程 提供参考是本文的工作重点。 9 复q 人学顾f 。学位论文转子一町倾瓦轴承系统完幸动力模型发话定性分析 第二章转子一可倾瓦轴承系统完全动力模 型 2 1 可倾瓦轴承的几何模型 2 1 1 可倾瓦轴承的全局描述 3 图2 - 1 三瓦油膜轴承系统截面图图2 2 转子一可倾瓦轴承系统 考虑宽度为的径向可倾瓦轴承( 图2 1 中以三瓦油膜轴承为例) ，是以中 心分布在半径为，o 圆周上的彪块轴瓦所组成，并用标号f 对各瓦编号tc 为轴颈中 心，轴承中心口定在轴承长度中央定义轴颈半径为玛，瓦弧内半径为如，瓦 弧外半径为也，轴瓦支点所在圆的半径为r ，瓦块包角为口+ 。 2 1 2 可倾瓦轴承单块轴瓦描述 图2 3 中以第块轴瓦为铡，d 删为原点在轴承中心的总体坐标系，o 一砂 是固定在轴承中心和瓦支点的局部坐标系。由于系统在运动过程中，轴瓦会绕着 支点来回摆动则取z 一聊为原点在轴瓦中心的动坐标系，其中局部坐标系和总 复口大学顾j 二学位论文 转了一町倾轧轴承系统完拿动力模型及稳定t 牛分析 体坐标系的央角为，动坐标系和局部坐标系的夹角为庐。 图2 _ 3 单块瓦示意图及其坐标系 闰2 - 4 轴颈和轴瓦及动其坐标 根据上述几何关系，则有下列局部坐标和总体坐标、动坐标和局部坐标的转 换方程： 其中 凡，= 融挑 * = 融h ； 2 1 3 间隙和预负荷系数 e = 墨朝 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 驴出朝 汜4 ， 每块轴瓦与轴颈的间隙函数h ( 如图2 _ 4 ) ，即所谓的油膜厚度 h = c b 一# c o s ￥一q s i n ￥ 式中， 一轴承工作面上的周向坐标 c b 一装配间隙，即瓦弧内半径与轴颈半径之差，c b = 一髟 复q 大学硕j 二学位论文 转了：一町倾比轴乐系统完伞动力模型发稳定性分析 | i ，对和时问f 的导数分别为 预负荷系数艿定义为 昙生：善s i n 妒一叩c o s 缈 d t 矿 婴：一善c o s c v - 堙s i n 吵 百5 一 叩5 吵 艿：鱼：1 一c _ l c bc h 式中，a 一制造间隙，即轴承内切圆半径与轴颈半径之差。 2 2 雷诺方程及可倾瓦轴承动力特性系数 2 2 1 雷诺方程 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 通过求解描述润滑压力分布的r e y n o l d s 方程可得出油膜压力的分布， 上旦f 旦至1 + 旦f 旦鱼1 ：一旦堕一丝 ( 2 8 ) 码a l 1 2 a y ，勿l 1 2 aa 2 2a a 其中r e y n o l d s 边界条件为，在+ p = 宴= 0 ( 2 9 ) z 为轴向坐标，z + 是气穴发生的边界，且刀是边界z + 外法线向量 压力分布的合力即为每块瓦的油膜承载力； 乓= - i ，础，z ) c o s y d f d z ( 2 1 0 ) e = 一j j ，p 舻，z ) c o s f d y d z ( 2 1 1 ) 其中仃是油膜区域。根据r e y n o l d s 方程和边界条件，采用变分法，油膜力及 j a c o b i a n 矩阵可一并求得1 1 0 1 。 复口人学硕i ：学位论文 转子一町倾瓦轴承系统完伞动力模型及稳定性分析 2 2 2 可倾瓦轴承动力特性参数 对单块轴瓦而言，在动坐标系下轴颈所承载的油膜力可表示为 m 问= 能糍碧 汜 记a = ( 善，印) 7 ，矗= 婊本) 7 ，取式( i i ) 的微分形式，可得 d l 。( j b 宣) = d 。f ( 擘，i ) d a + d d f ( a ，a ) d i ( 2 1 3 ) 其中d 。f ( a ，i ) 和d 。f ( a ，a ) 为油膜力f ( a ，矗) 的雅可比矩阵，如下所示