（应用数学专业论文）不确定时滞系统的时滞依赖保性能控制.pdf

摘要 本文考虑了不确定中立型时滞系统的时滞依赖保性能控制，非脆性保性能控制和不确 定时滞关联大系统的时滞依赖保性能控制 第一章，首先介绍了与研究内容相关的背景，然后给出了文中将要用到的引理 第二章，我们考虑了一类含有非线性扰动的不确定中立型时滞系统的时滞依赖保性能 控制，所设计的控制器对于所允许的参数不确定性和时滞，能保证闭环系统是渐近稳定的 且闭环的性能函数值不超过某个给定上界最后，两个数值例子说明了所设计控制器的有 效性和较少保守性 第三章，考虑了一类含有分布时滞和离散时滞的不确定中立型时滞系统的非脆性保性 能控制基于系统的描述模型变换和p a r k 的不等式，我们用线性矩阵不等式的方法给出 了非脆性保性能控制器存在的充分条件最后，数值例子证明了所设计控制器的有效性 第四章，研究了不确定时滞关联大系统的时滞依赖保性能控制，所设计的分散状态反 馈控制器对于所允许的的参数不确定性和时滞，能保证闭环系统是渐近稳定的且闭环的性 能函数值不超过某个给定上界最后，数值例子说明了所设计控制器的有效性 关键词t 中立系统；大系统；保性能控制；非脆性保性能控制；线性矩阵不等式 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ed e l a y d e p e n d e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o la n dn o n l f r a g i l eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e _ d e l a y s ，a n dd e l a 汁 d e p e n d e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nl a r g e - s c a l es 弘t e m sw i t ht i m e - d e l a y s i nc h a p t e ro n e ，硼f i r s t l yi n t r o d u c es o m er e l a t e db a c k g r o u n do ft h ep a p e r ，t h e ng i v e s e 、吧r a ll e m m a sw h ic ：hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e r i n 出a p t e rt w o ，w ec o i l s i d e rt h ed e l a p d e p e n d e n tg u 舡舭1 t e e dc o s tc o n t r o lf o rac l a s s o fu n c e r t a i nn e u t r a ld e l a y8 y s t e m sw i t hn o n l i n e a rd i s t u r b a n c e f o ra l la d m i s s i b l el l 】1 c e r _ t a i n t i e sa n dd e l a y s ，t h ed e s i g n e dc o n t r o l l e rc a ng u 盯a n t e e dt h a tt h ec l o s e d - l o o ps y s t e mi 8 瓢秽m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dc l o s e d - 1 0 0 p0 0 s tf u n c t i o n 、强l u ei sn o tm o r et h a nag i v e nu p p e r b o u n d f i n a l l mt w on 哪e r i c a le x 锄p l e s8 h o 哪rt h a 七t h ep r o p o s e dc o i i c r o l l e ri se f f e c t i v ea n d l e s 8o o n s e r v a t i 、，e i nc h a p t e rt h r e e ，t h en o n f r a g i l eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rac l a s so fu n c e r t a i nn e u t r a l d e l a ys y s t e m sw i t hd j s c r e t ea n dd i s t r i b u t e dd e l a y si sc o 璐i d e r e d b a s e do nt h es y s t e m d e 8 c r i p t o rm o d e lt r a n s f o r m a t i o na _ n dp 盯k 8i 1 1 e ( 1 u a l i t y ，w eg i v et h es u m c i e n tc o n d i t i o nf o r e ) 【i s t e n c eo ft h en o n _ f r a g i l eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ri nt e r m 8o fl m i s f i n a l l y n 砌e r i c a l e x 锄p l ei l l u s t r a t e st h e 疆e c t i v e n e s so ft h ed e s i g n e dc o n t r o l k r i nd l a p t e rf 0 1 l r ，w ec o n s i d e rt h ed e l a 扩d 印e n d e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rac l a s so f u n c e r t a i n1 盯g e - s c a l es y s t e mw i t ht i m ed e l a y s f o ra ua d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e sa n dd e l a y s ， t h ed e s 远n e dd e c e n t r a l i z e ds t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rc a ng u a r a n t e e dt h a tt h ec l o s e d - l o o p s y s t e mi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b i ea n dc l o s e d 1 0 0 pc o s tf i l n c t i o nv a l u ei sn o tm o r et h a na g i v e nu p p e rb o u n d f i n a l l y ，n u m e r i c a le x a 皿p l ei sg i v e nt os h d wt h ee 艉c t i v e n e s so ft h e p r o p o s e dm e t h o d k e y w o r d s ： n e u t r a ls y s t e m 8 ；l 盯g 争s c a l es y 就e m s ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ；n o n f r 岛舀l eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ；d e l a p d e p e n d e n t ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y 1 1 第一章引言 本章中我们首先介绍了所研究课题的背景和现状，然后给出了文中将要用到的引理 1 1 研究背景 在许多动态系统中，时滞现象是极其普遍的，如：通信系统，生态系统，传送系统，化 工过程系统，电力系统等都存在时滞现象时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加困 难，同时时滞的存在也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源因此，在过去几十年内， 不确定时滞系统的稳定性分析和镇定问题受到很多学者关注，并取得了丰硕成果 1 7 在 所取得结果中，根据是否依赖系统中时滞的大小，可分为时滞独立的和时滞依赖的两类 在时滞独立的稳定性条件下，对所有时滞d 0 ，系统或闭环系统都是渐近稳定的；而在 时滞依赖的定性条件下，对小于或等于时滞d 0 的某些值，系统或闭环系统都是渐近稳 定的，对大于时滞d 0 的某些值，系统或闭环系统是不稳定的一般说来，当时滞较小 时，时滞依赖的定性条件具有较小的保守性 近年来，许多学者对中立型时滞系统的稳定性分析和镇定问题做了大量研究睁18 】 中立型时滞系统是更为一般的时滞系统，它的状态变量和状态变量的导数含有时滞对中 立时滞系统的研究具有重要的理论和实际意义，因为它经常出现在人口动态，自动控制， 生态模型和输电线中电流与电压波动的模型等中 在许多控制过程中，我们希望设计的控制器不仅要镇定整个闭环系统而且要实现系统 满意的性能，考虑该问题的一种方法是保性能控制保性能控制的个优点就是能够给出 系统性能指标的一个上界，使得由时滞及不确定性所造成的系统的性能的退化不超过该上 界基于这种思想，许多学者通过设计状态反馈控制器考虑了不确定时滞系统的保性能控 制需要说明的是，在文献【2 0 _ 2 2 】中，尽管所获结果是时滞独立的，但性能指标的上界是 依赖时滞的，这说明时滞依赖的设计方法更加适合时滞系统的保性能控制最近，时滞系 统的时滞依赖保性能控制到很大关注，在文献 2 3 _ 2 5 中，数值例子说明了相对于时滞独 立的保性能控制，时滞依赖保性能控制能实现更小的性能上界 在文献2 6 _ 2 7 1 中，j uh p a r k 考虑了中立型时滞系统的保性能控制，但所得结果是时 滞独立的，因此考虑中立型时滞系统的时滞依赖保性能控制是非常必要的在第二章中， 第一章引言 我们考虑了一类含有非线性扰动的不确定中立型时滞系统的时滞依赖保性能控制，数值例 子说明了所设计的保性能控制的有效性和较少保守性 近年来，非脆性控制成为控制领域的一个研究热点在文献3 0 1 中，数值例子说明了 所设计的控制律尽管对系统的不确定性具有较好的鲁棒性，但对控制律自身系数的微小变 化是非常敏感的 3 1 3 3 】考虑了时滞系统非脆性保性能控制，然而较少有人考虑过中立 型时滞系统的非脆性保性能控制基于上述思想，在第三章中，我们考虑了一类含有状态 时滞和分布时滞的不确定中立型时滞系统的非脆性保性能控制，数值例子说明了所设计的 保性能控制的有效性 近年来，许多学者对不确定时滞关联大系统的稳定性分析和镇定问题做了大量工作 3 垂3 6 对关联大系统的研究具有重要意义，因为许多实际的控制过程可以摸仿为关联大 系统，例如：通讯系统，交通系统，生态系统，经济系统和电力系统等最近，m u k 缸d a n i 在 37 】中考虑了不确定非线性关联时滞大系统的保性能控制，在【3 8 】中，k w o n 和p a r k 用记忆控制器考虑了不确定时滞关联大系统的保性能控制在第四章，我们考虑了不确定 时滞关联大系统的时滞依赖保性能控制，基于描述摸型变换和p a r k 的较小的保守的放大 不等式，我们用线性矩阵不等式的方法给出了保性能控制器存在的充分条件最后，数值 例子证明了所设计控制器的有效性 1 2 引理 下面我们给出一些引理，这些引理在后面章节中的讨论中是必需的 引理1 例( s c h l l r 补性质) 对给定的对称矩阵l s 1 1 & 2 l ，其中函1 是r r 维的，则 慨1 2 j 以下三个条件是等价的； ( i ) s 0 ， ( 托) s 1 1 o ，岛2 一s 五跖1 & 2 o ( 涮) 岛2 o ，向量函数u ( t ) ：【or 】一形，则有 ( 小帅t ) r m ( 小岫) r p 螂肺 3 第二章一类非线性中立时滞系统的时滞依赖保性能控制 本章研究了一类含有不确定参数的非线性中立时滞系统的时滞依赖保性能问题，所设 计的控制器对于所允许的的参数不确定性和时滞，能保证闭环系统是渐近稳定的且闭环的 性能函数值不超过某个给定上界最后，我们通过解优化问题得到系统的最小性能上界 数值例子说明了所设计控制器的有效性和较少保守性 2 1 问题描述及基本假设 考虑下面含有非线性扰动的不确定中立型时滞系统： 圣( ) 一g 士0 一r ) = ( a + a 0 ) ) 茹( ) + ( a d + a d ( ) ) z 0 一危) + ，( f ，。0 ) ，z 一 ) ) + ( 且+ 日( t ) ) ( f ) ， z ( ) = 妒( t ) ，v t 【- d0 】，d = m a x r ， ) ( 2 1 ) 其中z ( t ) 咒”是系统状态向量，“( t ) r “是系统控制输入，妒( t ) 岛是初始函数， a ，a d ，b ，g 是具有适当维数的已知实常矩阵，a ( t ) ，也( t ) ，b ( t ) 是时变不确定参 数矩阵且满足； a ( t ) a d ( t ) b ( t ) = d f ( t ) 马上乃上b ， 其中d ，e 。，毋，岛是具有适当维数的已知实常矩阵，f ( t ) 是未知时变矩阵且满足t p ( t ) 一( t ) 兰f ，( ) 是未知的非线性扰动，且满足t 0 ，( t ，茹( t ) ，z 0 一 ) ) i 茎o n0 0 ) i + o l | | z ( t 一 ) 1 其中o o ，l 是非负常数 定义系统( 1 ) 的性能指标 p j = 【z 7 ( ) m ( t ) + u 7 ( t ) s u ( t ) 】批( 22 ) j 0 其中r 0 ，s o 是已知正定权矩阵 本章假设系统的状态是可以盲接测虽，我们设计无记忆状态反馈控制器为： 本章假设系统的状态是可以直接测量，我们设计无记忆状态反馈控制器为： “( t ) = k 。( ) ( 23 ) 4 第二章一类非线性中立型时滞系统的时滞依赖保性能控制 5 应用控制器( 2 3 ) 到系统( 2 1 ) j 可得闭环系统 士o ) 一g 圣 一7 _ ) = 4 ( t ) z ) + a d 0 ) z 一 ) + ，( t ，z ( t ) ，z 一 ) ) ，( 2 4 ) 其中a ( f ) 一爿+ a ( ) + b + b ( t ) ，a d ( ) = a d + 4 d ( ) 本章的目的是设计形如( 2 3 ) 的控制器，使得对所有允许的参数不确定性，闭环系统 ( 2 4 ) 渐近稳定且存在 o 使得性能指标j ，具有这些性质的控制器( 2 3 ) 称为系 统( 2 1 ) 的一个状态反馈保性能控制器 本章我们假设ij g i11 在讨论中立型系统的稳定性时该假设是必需的 2 2 主要结果 定理2 1 考虑系统( 2 1 ) 及相应的性能指标( 2 2 ) ，在给定假设下，如果存在常数e 0 ，卢 o ，矩阵p 1 0 ，马，b ，q o ( i = 1 ，2 ，3 ) ，k ，彬m ，使得下面矩阵不等式成立： n = 皿p t o a 舶r mp t o c 叮】r e 1 + 风j ro 】r 2 卢q n j q 1 o 霹 十 一q 2 0 瞄弘 0 ，( 2 5 ) ( 2 6 ) 其中 p = 酬， = p r a 0 二 + 0 a j k ) r p + 出口g t q ，+ 。卢一d 。，+ r + k t s q 。+ q 。，+ h w + f m 0 + r m 。，r + s p r 罡。三t p + 口p t 尸 第二章一类非线性中立型时滞系统的时滞依赖保性能控制 6 那么形如( 2 3 ) 的控制器就是所要设计的保性能控制器，且性能指标j 的一个上界 ，or 0 j + = z t ( o ) p 1 z ( o ) + z 丁( 5 ) q 。z ( s ) d s + y t ( s ) q 2 ( s ) d s j 一j 一7 + ( s + ) 了1 ( s ) q 3 ( s ) d s j 一 证明首先，我们把闭环系统( 2 4 ) 写成等价的描述模型形式 圣( t ) = 掣( t ) ， o = ( a ( t ) + 五d ( 亡) ) z 0 ) 一! ， ) + g 暑，0 一r ) 一a d ( t ) 可( s ) d s + ， ( 2 7 ) 选取l y 印u n o v 函数：y ( ) = u ( t ) + k ( t ) + k 0 ) + k ( t ) ， 其中 ( t ) = 。r ( t ) p 1 z ( t ) ， ，t k ( t ) = z t ( 5 ) q 1 z ( s ) d s ， j t 一九 ， k ( t ) = t ( s ) q 2 ( s ) d s ， j t r k ( t ) = ( s t + ) t ( s ) q 3 鲈( s ) d s t 一 v ( t ) 沿着系统( 2 7 ) 求导 k ( t ) = 2 护( t ) p 1 圣( t ) = z 叩t 。， 一y 。，+ 。五：0 五。，。， + i l ， 一下， 一胁) d s + 舢 皿s ， 也( t ) = z t ( t ) q 。( 亡) 一z t ( 亡一 ) q 1 z ( 亡一危) ，( 2 9 ) 也 ) = 丁( ) q 2 掣( t ) 一t ( 一r ) q 2 掣0 一下) ，( 2 1 0 ) 吃( ) = t ( t ) 0 3 ( t ) 一3 ，t ( s ) q 3 y ( s ) d s ，( 2 1 1 ) 其中叩t ( t ) = 陋t ( t ) t ( ) 假设职m 满足式( 2 6 ) ，由第一章中引理3 得 第二章一类非线性中立型时滞系统的时滞依赖保性能控制 7 一z 叩丁c t ，尸t a 二。j 。，c s ，d s ( 。巴蓦 1 ? m p 三a 歌严 巴蓦 如 = h 7 7 t o ) w ，矿 ) + 2 ( m 一尸r oa 吾 ) ) ( z 0 ) 一z 0 一危) ) + 暑，丁( s ) q 3 可( s ) d s ( 2 1 2 ) 由于 ，丁，= | l ，1 1 2 q ；| | 卫0 ) 1 1 2 + a i | 。 一 ) | 1 2 + 2 q o a l | z o ) | | | | 石0 一危) | | 茎n ：l iz ( t ) 1 1 2 + 凸! ；| | z 一 ) 2 + ( n 3 | | z 0 ) 1 1 2 + a ；i iz 一 ) 旷) = 2 q 3 z ( t ) t z ( t ) + 2 q ；z 一 ) t z 0 一 ) 由第一章中引理2 ( 1 ) 及上式可得 一。矿c 功p r ； ! 励t c p t p 町c 。+ 卢一1 o ，t ， 爿 。， 砌r ( t ) p r p 叩( t ) + 2 卢一1 q 3 2 7 ( t ) z ( t ) + 2 卢一1 。i z t ( t 一危) 茁 一 ) 定义 荨t ( 亡) = 叩t ( t ) z t 一 ) 可r 一丁_ ) ， 西r = 【( od t ) p o o 】，豆= ( 毋+ 1 1 3 ko ) z 强o 】 由( 2 8 ) 一( 2 1 3 ) 可得 矿( t ) 墨t ( t ) ( q o + d f ( t ) 豆+ 萨f 丁( t ) d t ) f ( t ) 一【z t ( t ) r z ( t ) + 钍t ( t ) s 钍( t ) 】 西p t 【o a 羽t 年 一q l 女女 mp t o e t t 0 一q 2 第二章一类非线性中立型时滞系统的时滞依赖保性能控制 1 1 证明由舒尔补引理，我们可得式( 2 1 8 ) ，( 2 。19 ) ( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 分别等价于 瑶x - 1 。，矸国i 1 l 1 1 l ， 孵宙1 2 r 2 ，手禽1 3 r 3 从巾口j 得 r 0r 0 上。，( s ) 国i 1 。( s ) d s2 - 。打( z t ( s ) 斩1 茁( s ) ) 如= t r ( 1 于国i 1 ) = t r ( w 国i 1 1 ) 打( r 。) ， ，0，0 圣t ( s ) 国i 1 士( s ) d s = 打( 士t ( s ) 国i 1 圣( s ) ) d s = t r ( j 孵国i 1 ) j r，一r t r ( 謦国i 1 2 ) 打( r 2 ) ， ( s + ) 圣r ( s ) 国 1 圣( s ) d s = 打( ( s + ) 峦t ( s ) 国i 1 圣( s ) ) d s = t r ( 3 尹国i 1 ) j 一 j h = 乃( 联1 国i 1 3 ) 扣( r 3 ) 因此由( 2 1 7 ) 我们可得， 0 o ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 1 = y + y t + 厩+ 卢，2 = z y t + x ( a + 6 a d ) t + 露r b r + 厩， 3 = x 砰+ 露r 霹，4 = 一z z t + 危i 砚+ 卢，+ d d r 那么形如( 2 3 ) 的控制器就是所要设计的保性能控制器，其中= 蟊x ，且j 的一个闭 环性能上界为 r 0r 0 j + = z t ( o ) x 一1 z ( o ) + 。t ( s ) 国i l z ( s ) d s + g t ( s ) 国i 1 f ( s ) d s j 一j 一7 + ( s + ) 丁( s ) 国i 1 可( s ) d s ( 2 1 7 ) 第三章一类不确定中立型时滞系统的非脆性保性能控制 由( 3 8 ) 一( 3 1 4 ) 可得 其中 且 n = 矿( t ) t ) q f 0 ) 一【z t ( t ) r ( f ) + u r ) s 钍0 ) ， ( 3 1 5 ) 西p r 。 一p t 。 p r l a ( t ) jl a 。( ) j k k + k o q 2 十 b 0 o 一q 4 + 旧 一匕。，廿牌 p + 川舢渤瑚s ， + h w + mo 】+ m0 1 t 如果n 0 ，我们可得 ( 3 1 6 ) 矿( ) o 使得矿( t ) 一训z ( 圳2 由舒尔补引理，我们可得q o 等价于 p 忆卜严p 恻旧 一q 1 十 其中西，露与( 3 1 6 ) 中相同由于 0 一q 2 0 0 一q a 0 o 0 一s 一1 0 ，e 3 0 ，由第一章中引理2 ( 3 ) 可得 国sq o + e 1 d 1 d + i 1 霹西+ e 2 d 2 d + s i l 霹岛+ 3 凰d + e i l 霹岛 由舒尔补引理可得( 3 5 ) 等价于 彘o + l d l 亩 + e i l 砰岛+ 2 d 2 霹+ i 1 霹岛+ 3 d 3 d 手+ i 1 霹磊 o 因此，如果( 3 5 ) 式成立，则有国 o ，从而q o 由假设保证差分方程z ( t ) 一( a 2 + a 2 ( t ) ) z o 一下) = o 的稳定性，从而可得闭环系统( 3 4 ) 是渐近稳定的 由( 3 1 7 ) 可得 。t ( t ) 兄。( t ) + u r 0 ) s 札( t ) o ，z ，露，g ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，厩0 = l ，2 ，3 ) ，使 得下面线性矩阵不等式成立 第三章一类不确定中立型时滞系统的非脆性保性能控制 2 0 其中 0 2 0 2 0 一 一q 2 十 0 a 3 q 4 0 0 一；审4 x e t 0 0 ，回 0 2 e 审a 露 0 一l j 霄7 硪 0 0 o o 0 0 一旬， 元t 瑶 0 0 0 e 3 ， 眦 o 饵觑6 a 1 国3 o 帕手钟 国s 0 r t z r 0 0 0 0 0 0 0 2 1 = y + y r + 哦，2 = z y t + x ( 山+ 6 a 1 ) t + 矿b r + 仍 n 3 = 一z z t + 危吼+ e 1 d 1 d + 2 b d 2 d ；b t ， 4 = ( 1 6 ) a 1 国1 ，5 = 一s 一1 + 3 d 2 d y r z t 0 0 0 0 0 0 乱 0 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 那么形如( 3 3 ) 的控制器就是所要设计的非脆性保性能控器，其中t= 霞x ，且j 的 一个闭环性能上界为 j + = 。r ( o ) x z ( o ) + ，( s ) 国i l z ( s ) d s + 掣r ( s ) 国i 1 ( s ) d s j 一 j r r 0，0 + ( s + h ) r ( s ) 国i 1 ( s ) d s + ( s + r ) 。t ( s ) 国i l z ( s ) d s 证明注意到p 1 = ；翻，其中x = p 1 ，y = 一丐1 恳只一1 ，z = 哼1 x。鲰+ y 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 十 x o 0 o 0 0 0 0 o r 护。砜+ 。毗臼。+。+ 毗毗 + 。 + 。 + m十+十 第三章一类不确定中立型时滞系统的非脆性保性能控制 2 2 其中 3 3 数值例子 例子l 考虑含有状态时滞和分散时滞的不确定中立型时滞系统 圣0 ) = ( a o + d 1 日( t ) 1 1 0 ) 茹( t ) + ( a 1 + d 1 日 ) 马) 茁( 一o 3 ) + ( a 2 + d 1f l ( t ) 局) 圣o o 2 ) + ( a 3 + d 1f 1 ( ) 马) z ( s ) d s + b u 0 ) ， r t j t 一05 忙删，忙眺弘书小一i 爿 岛= o 1o 1 ，目= 【o 1o 1 】 o 1 】，日( t ) t f l ( t ) ， 初始条件z ( t ) = 1 1 】t ，觇 一o 5o 】 性能指标 ，= k i ( t ) + 口：( ) + o 2 让2 0 ) 】d 亡 ，o 。 j 0 假设控制器中不确定性取为 仍= 【o 5o 5 】，玩= o 1 ；o 1 ，马( t ) t 最( t ) j 取6 = 1 ，解定理3 3 中的优化最问题，我们可得闭环性能指标的最小上界，= 2 1 1 5 2 ，相 应的状态反馈控制器的增益矩阵k = 【一2 5 5 4 3 5 9 6 8 5 】 ， l j叫吖旧 一m m 一 = 一一 历 d 叱 ， o叫ij， 一m p = = b 邑 第四章一类不确定时滞关联大系统的时滞依赖保性能控制 2 5 虻g 【a 。二心州髯卅甜g 乏 g ； + e 班砰罡。二妻 g ；+ g 姜e 。玎e 。二毛 g t + d i n g 粪乃i + 烁1 + 五1 磁毋t + s 交1 砰磁玛i 尬+ r + 酵& 尬，b q j t + b + 坞粕蝣 那么闭环系统( 4 4 ) 是渐近稳定的，且性能指标( 4 3 ) 的一个上界 ，= 喜( 砜。，只魏c 。，+ 妻，巧c s ，码巧c s 灿+ 粪。z 。疗c s 胁协c 蚰删) 证明我们把系统( 4 4 ) 写成下面的等价的描述模型形式 血( t ) = 玑( t ) ， nn “ 0 _ 五。k o ) _ 鲥。+ 若如 水) _ 萎知。l 以s ) 山 ( 4 一 ，产j 手t ” 选取l y a p u n o v 函数 其中 y ( t ) = ( k l ( t ) + k 2 ( t ) + k 3 ( t ) ) 忙= 1 k 。( t ) = z ，( t ) 只鼢( t ) “ 酬2 k 巧( 掘啪) d s k 3 ( t ) 粪。谚c s ，协c s 棚 ( 4 8 ) 笠堕重二耋丕堕枣堕煎羞壁盔墨笙丝堕鲎垡塑堡焦堂塑型 2 6 k 1 ( t ) 沿着系统( 4 7 ) 对t 求导 1 ： 1 ( ) = 2 z ( t ) 只玑( t ) = z 谚c 砷凹 l 水，。篇) - 玑。， + 姜l 二。， 巧c 一跳托d s ) ， 。， 其中一( t ) = z ，( t ) 订( t ) 】由第一章中引理3 可得 一。- ，c t ，c ；，姜l 三。， 仁。，。c s ，d s 粪f b 巴翻t ? 心一g 翟碍1 置翻出 ( t ) 和( t ) 沿着系统( 4 7 ) 对t 求导 由第一章中引理2 可得 j 协( s ) d s 2 谚( t ) ( ) 订( t ) ( 商嵋) 哺( t ) + 巧( t ) 饬- q ( t ) ， ( 4 1 3 ) “ v川 j 4 j 4 ，2 船 谬 扛仁 巧 旧 圹 凹 科 一 、， 一啦 ，池 就傅硅傅 ，i r 州 孵 乒 + 爿 埘 嘲 h 、二、 鬼 0 一 珊 町 旧 _ 小， 江 乳 玎 可 0 一 t “p 巧 一 一 珊 巧 暖 疗 巧 b 孑彬 = | i 力 幻 吒 第四章一类不确定时滞关联大系统的时滞依赖保性能控制 2 7 z 订c t ，g ， 三。， “t ，s 谚c g 三i 。互 吼c t ， + e 五1 z ( t ) 磁e 1 托( ) ， ( 4 1 4 ) 。识蜩 粪 。砷 。一，裾霹粪( e 锄 ：巧 【。毛，) q 称， + 圭。曷巧( 一) 磁局订 一) ， ( 4 1 5 ) z 订c t ，g 最乙甄 引鼬谚c g 匕。 。乏， 吼c 砷 注意到 由( 4 8 ) 一( 4 1 9 ) 可得 其中 nn 括1j i n n i = 1j i n n t = 1 t nn 巧( t ) 菇1 巧( ) = z 翮( 妊1 ) 以 o = 1 j l nn 巧( ) ( ) = z ( 乃i ) 如( t i = 1 j 2 矿( t ) ( t ) 墨 = 1 。q 。1 玑( t ) f 0 ) = 谚( t ) z 一 t ，) z ； 一 。) 。斋0 一忍t - v ) 如果三。 o ，由( 4 2 0 ) 可得 矿( ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) 崩 ， 谚 试 | | 幻 珊，蚶00好 0净 甄&砰 + 砬巧 斟 0 净 磁& 霹 + 砬0 又 z 斟 第四章一类不确定时滞关联大系统的时滞依堑僵。堕堂塑剑2 8 这说明闲环系统( 4 。4 ) 是浙近稳定的由( 4 2 1 ) 可碍 茁 ( t ) ( 忍+ 砰鼠甄) ( ) 一矿( t ) ， ( 4 2 2 ) = 1 对( 4 2 2 ) 两边从。到巧积分可得 州 ，t 萎z m ) 她( 卅鼠( d 】出 o ，瓢 o ，矩阵夏 o ，k ，互，或， o ，霭 o ，屹l ，民2 ，甄3 ，使得下 面的矩阵不等式 第四章一类不确定时滞关联大系统的时滞依赖保性能控制 2 9 t 1，2 00 t 51 6 0 + 一矗l 元- 境：。 + 一e 2 t 1 o 。7 o 0 0 t 3 00 00 00 一正 丑耳。 oo 一2 ；j 00 十十 h - 8 0 t十 + 一 1 1 0 1 。 2 w j 3 幻铝a ； 对所有的i ，j = 1 ，2 ，j i 均成立，其中 0 6 b 氏j q t 3 q 灯 h t y ， “ h n 。z ： o 00 00 0o 一 t q 。 0 ，9 o r ，= + 铲+ b 甄， j t 。= 磊一铲+ 五鬈+ 霹霹+ b 厩。 i 3 = 阢墨五k 诅= 阢磁霹碟五霹】， nn ；s = 一五一霉+ 危u 帆。+ 5 - t d t d 五+ e 。甜功巧d 毛 j tj t + 玩t 磁+ 喏a 巧砀a ；， 6 = ( 1 一魂1 ) a i l 正l i 7 = ( 1 一疋) a 正， 8 = 出叼卜h t 一蜀_ 一磊t 一西t 。9 = d i 0 9 一1 。 一e 3 。 一r i l一s _ 1 ) o ，e 2 玎 o ，e 3 i o ， 矩阵五 o ，m ，五，丘，囝巧 o ，霭 o ，吼j l ，2 ，厩3 ，使得下面的最优化问题 幽 a t + ( t r ( 屿) + n ( ) ) ) ( 4 2 4 ) 和( 4 2 5 ) 成立， 墨孙。， 心z ， 降擘l o ， ( 4 2 8 ) 1 一j 磁m l = o。 g 到 意注明证 更定 第四章一类不确定时滞关联大系统的时滞依赖保性能控制 3 1 瞄孙。， 。， 对所有的i ，j = 1 ，2 ，j i 有可行解，那么钍。( t ) = 藏五一1 z ；( ) 就是所设计的系统 ( 4 1 ) 的次最优保性能控制器，且性能指标( 4 3 ) 的一个最小上界 ，= q 。+ ( 嗡) + t r ( ) ) ) ， 其中 。( s 蚓s 舳s = 锈，z 。珊( s m 矿d s 硼= 瑶 证明由舒尔补引理可得式( 4 2 7 ) ，( 4 2 8 ) 和( 4 2 9 ) 分别等价于 砰( o ) 耳1 五( o ) 。t ，c 弓专1 嗡，瑶国云1 ( 4 3 0 ) 又由于 厂巧( s ) 专1 ( s ) d s = t r ( 锷专1 ) ，却。一“”j l = n ( c 孑豸1 ) 打( 嗡) ， j lj t p 0，0 萎上z 疗( s ) 1 协( s ) d s 硼2 丢n 。j 国i 1 = n ( 瑶国i 1 ) 打( ) ， 由( 4 3 0 ) 一( 4 3 2 ) 司得 ，= ( 茹 ( o ) 耳1 托( o ) + 厂巧( s ) 专1 q ( s ) d s t = 1 壬io n t j + 粪。砌涮删训) 曼 a 。+ ( t r ( 嗡) + 丁r ( ) ) 因此 e + 篆。( t r ( 坛j ) + t r ( 巧) ) ) 的最小化即得性能指标j 的最小上界 口 ( 4 3 1 ) ( 4 3 2 ) 第四章一类不确定时滞关联大系统的时滞依赖保性能控制 3 2 4 3 数值例子 例子1 考虑由两个子系统复合而成的大系统 其中 圣1 ( t ) l ( t ) 圣2 ( t ) 。 + a ，c t ，) 观。，+ 1 + b 1 ( t ) h l ( t ) j 【一o 5 ，o 一o 7 o 一0 7 0 6 3 1 + 以z c ) 如c + 一：4 ：萼 1 + b 2 ( t ) 缸2 ( t j 螂，_ 爿蚓一o s ，o 】 权矩阵取为 j 4 1 ( t ) = b 1 ( ) = a 2 1 ( 亡) = oo ls i n ( 2 t ) o 2 o 2 j 1o o1 c o s ( 2 ) ，a 2 ( t ) = + a 。c t ，) z 。c t 一。a ， + a 。c t ，) z ， 一。s ， o a 1 2 ( 亡) = i - 1 c o s ( t ) o1 o o 10 1 is i n ( 2 亡) l o 1 o 1 jl o 1 j 小m “删= 耻 曼 品= 0 2 ，r 2 0 1 0 c o s ( 3 t ) 岛= 0 1 ( 4 3 3 ) 1 1 l o 0 o 叫 第四章一类不确定时滞关联大系统的时滞依赖保性能控制 3 3 我们取j 1 2 = o ，如1 = 0 ，应用定理( 4 3 ) ，可得次最优保性能控制器为： “1 ( t ) = 一4 2 9 0 22 4 7 0 1 】z 1 ( ) ， u 2 ) = 一1 7 6 1 9 6 2 4 9 4 2 7 z 2 ( t ) ， 性能指标j 的最小上界，= 2 2 9 2 7 8 如果取6 。z = 0 5 ，如。= o 5 ，应用定理( 4 3 ) ，可得次最优保性能控制器为； “1 ( t ) = 【一5 1 5 3 23 0 4 0 1 z 1 ( t ) ， “2 ( ) = 一9 2 9 1 0一1 4 1 1 9 1 】。2 0 ) ， 性能指